教育的目的 · 第六章 數學課程

（1912年擔任英國數學家協會倫敦分會主席的演講） 如果不回溯幾個世紀前中世紀學習傳統的中斷，我們就不能為當下教育的形勢找到一個比較。傳統的智識觀，儘管曾經因為顯著的勝利而獲得權威，卻已經逐漸變得狹隘，無法服務於當今人類的利益。人類利益發生改變的結果是，要求教育的基礎作出相應的改革，從而適應學生的需要，向他們教授他們日後生活中能確實影響他們心智的觀念。人類社會智識觀的任何一次重大的根本性變化，都必然引起教育的改革。這種教育革命有可能會延遲一代人的時間，因為受到既得利益的影響，或是一些學界領袖固守自己求學時期所受精神激勵的影響，但法則不可抗拒，要使教育生動、有效，就必須直接向學生傳遞這樣的觀念，為自己創造能力，使自己能欣賞所處時代的流行思想。 任何成功的教育系統都不可能在真空中產生。也就是說，教育系統不能脫離與智識的氣氛之間的直接聯繫。如果我們的教育不是現代的，教育的命運就會像一切有機體那樣，難免會因為保存時間過長而腐壞 。 「現代」，這個被祝福的詞，並不真正拯救教育的困難。所謂現代的教育，就是用現代的思想去傳遞知識，用現代的思想培育能力。在這個意義上，有些事物只是昨天才剛剛被發現，卻不能真正算是現代的。它或許屬於某些以前流行的過去的思想體系，它可能太深奧了。當我們要求教育要跟現代思想相關，我們所說的思想指的是在文明社會中那些廣為流行的觀念。在普通教育中，深奧的課程不合時宜。這個問題就是我今天下午的演講的關鍵點。 對於數學家來說，數學的確是一門複雜的學科。外行都傾向於譴責我們的科目太複雜了。讓我們抓住這讓人煩惱的時機，向人坦率地承認：在通常的觀點來看，這的確是一個深奧的典型例證。但是，深奧並不等同於問題很難，而是相關觀念的運用是高度專業化的，沒能影響到人們的思想。 人們對數學課程太複雜的抱怨是一種特有的邪惡，摧毀了數學在通識課程中的應用。到目前為止，這個邪惡的力量還附著在學科的教育應用上；到目前為止，我們必須承認我們的數學素養普遍地處在一個讓人悲傷的低水平上。我比任何人都更渴望擴大數學教育範圍。要達成數學教育的加強，盲目學習更多數學知識並非良方。我們必須面對阻礙數學廣泛應用的真正困難。 數學課程到底是不是很深奧呢？總的說來，我認為是的。 Securus judicat orbis terrarium ，人們的一般判斷還是可信的。 數學這門學科，存在於人們的大腦里是深奧的，存在於學生們的數學書上也是深奧的。數學，從一般的原理出發，經過演繹得出無數的特殊的結果，每一個結果都比推論過程之前更加深奧。我今天下午的任務，不是為了要辯護說：數學這門學科的學習是多麼意義深遠。這一點，不證自明。我想強調的是：數學這門科學吸引學生的主要原因，也是使數學的應用成為一種教育障礙的原因，教育的無盡財富來源於此。這些原因即：來自一般原理的互相影響的大量推論，它們之間的複雜關係，它們與爭論的出發點之間明顯的疏遠，形式多樣的方法，它們的純抽象特徵，這些數學的禮物，帶來不朽的真理。 當然，所有這些特性對學生來說都是無價寶。古往今來，數學的特性吸引了很多具有最敏銳的智力的人們。我只發表一條見解：除了那些天選一般的高天賦的人們，數學教育對一般人來說都是致命的。學生們被各種各樣的細節給弄迷糊了，這些細節跟偉大的觀念無關，跟日常的思想也無關。為了教育的利益，最後一項衡量標準就是，這種培訓是否擴展到獲取更多細節的方向。 我們得到的結論是，數學，如果要在普通教育中被用到，必須經過一個嚴格的篩選和調試的過程。我認為，只要付出了一定的努力，即便是智商一般的學生也能有所收穫。為了即使只有一點點的進步，我們也要對數學教育作出改變。在數學教育的任何一個階段，我們都要嚴格排除一些不合時宜的因素。這門科學呈現在年輕學生面前的時候，務須丟掉深奧的一面。它必須能直接地、簡單地探討一些具有重要性的意義深遠的一般觀念。 在數學教育改革這件事上，現在這一代教師們非常有理由感到驕傲，因為他們取得了成就。改革中已經顯示出了巨大的能量，而且在不可思議的短時間之內完成。在公共考試制度下，改革一門根深蒂固的既定課程，一般人難以設想這個任務有多艱難。 儘管如此，他們還是取得了巨大的進步。至少，老舊僵死的傳統被打破了。我今天下午著重要談的，就是關於重建我們的數學教育體系。我已經以一句話來概括了我對這個問題的看法，即，必須要把深奧性從一門學科的教育用途中去除。 我們的教學過程中，應該被設計得能夠簡要地說明一系列顯而易見的、具有重要性的觀念。所有花哨的題外話都應該被嚴格去除。我們要設立的目標是：學生對抽象的思想獲得了親熟感，應該能夠在特定具體環境中意識到怎麼樣去運用這些抽象的思想，應該知道在符合邏輯的調查研究中怎麼樣去運用一般方法。懷著這種理想，你會發現，沒有什麼比盲目在課本中增加原理更糟糕的事兒了。那些原理在課本中占據一席之地，僅僅是因為學生能去學習它們，而考試出題人能夠對此提出簡答題來考查學生。學生要學習的書本知識，是能夠說明觀念的，也是非常重要的。所舉的例子，應該直接說明公理，也可以是在具體現象中應用的方式。只要老師覺得合適，例子越多越好。需要強調一點，如果考試中出現的實例需要很多深奧細節知識的話，精簡教材徒勞無功。人們往往存在一種錯誤的觀念，認為卷面試題能甄別能力與天分，而書本知識能檢測一個人的死記硬背。我的個人經歷並非如此。為了爭取獎學金而死記硬背的孩子，才會成功解答有難度的試卷。適當地編排教材，而不是按照通行的那種糟糕的教學計劃來編排，又以增添一些直接例證為前提，也是非常好的能力檢測呢。不過，這都是由考試對教學不良影響引出的題外話了。 基礎數學中的主要觀念其實根本不深奧，只能說它們抽象。在通識教育中開展數學教育，一個主要的目標就是培養學生掌握抽象觀念的能力。這門科學成了最初第一大組抽象觀念，以精審的方式，自然地進入學生頭腦中。為了教育起見，數學由數字關係、數量關係和空間關係組成。這不是數學的一般定義，在我看來，數學不僅僅是一般科學。我們現在討論的是教育中數學的應用，這三組關係：數字關係、數量關係、空間關係，是相互聯繫的。 在教育進程中，我們從特殊到一般。因此，兒童應該被教會在簡單事例中實踐這些觀念。我的觀點是，不要無目的地堆砌特殊數學理論，而是最終認識到，之前多年的學習說明了數量、質量和空間之間的關係，這才是數學教育的目標。這樣的培訓應該作為一切哲學的基礎。實際上，初等數學如果能夠很好地被接受的話，就會給人群中那些普通智力的人們以哲學的訓導。但是我們在數學教育中務必要避免一點，就是無意義的細節的堆積。去做一些實例題，愛做多少做多少，讓孩子們做上幾個學期，幾年也行。但是這些例題必須能夠直接說明主要觀念。用這種方式，也只能用這種方式，才能避免數學那致命的深奧。 我不是針對那些將來會成為專業數學家的學生，也不是那些因為職業原因被要求有一定數學細節知識的學生。我們考察的是指向所有學生的通識教育。也包括上述兩類學生。因此，數學的一般運用，應該是對某些一般真理的簡單的學習，能夠用實踐中的實例很好地說明。這種學習要從自身去構想，要和前面所講的專業數學研究完全區分開來，儘管這種數學教育為專業的數學研究做了最精彩的準備。數學教育的最終階段，學生掌握了那些在練習中已經被闡明的一般原理。據我所知，當今數學教育的最終階段是讓學生掌握和三角形相連的圓的關係證明。數學家往往會對這樣的數學題很感興趣，但是，它們難道不深奧嗎？它們與通才教育的理想之間又有什麼確切聯繫？在古典文化教育中，學生們學習語法，目的是為了閱讀維吉爾和賀拉斯 ——最偉大的人的最偉大的思想。這能一樣嗎？當我們為自己的科學（數學）辯護，稱其在教育中有足夠的代表性的時候，卻說我們數學教育的終點是學生知道九點圓 的性質？我很坦率地問你，是不是很掉價？ 這一代數學教師在改革數學課程方面做出很多勤勉的工作。我們不必灰心，我們一定會設計出課程，它能在學生頭腦中留下比「二義情況」 更高貴的東西。 讓我們想想，在基礎課程結束的時候，最後複習時怎麼引導那些天資聰穎的學生。在一定程度上，毫無疑問，需要對所完成的全部工作進行全面監督，而不必考慮過多的細節，以便強調那些用到的一般觀念，以及這些觀念在進一步學習中重要的可能性。同時，分析和幾何思想在物理實驗室中得到了直接的應用，在物理實驗室中，應完成一門簡單的實驗力學課程。這樣的應用具有雙重的意義，一方面學習物理知識，一方面學習數學知識，兩者互為印證。 在力學原理的精確公式化里，數學觀念是非常關鍵的。精確的自然法則的觀念，在我們的經驗中這些法則以何種程度被證實，以及抽象思想在其形成過程中的作用，對學生來說變得明明白白。課程的整個主題要求詳細展開，並充分詳細地說明，而不是死記硬背一些抽象論點。 然而，過分強調以最後複習的方式直接說明之前所學，那將是非常錯誤的。我的意思是，課程的最後部分應該是經由挑選的。事實上，所有先前數學知識的基本思想都應該重視。這一點可以通過實際上進入一個新課題的方式來實現。例如，數的概念和量的概念是精確思維的基本要素，但是在先前的數學教育階段，這兩個要素並沒有嚴格區分開來，理所當然地，孩子們學習代數時沒遇到太多麻煩，也沒學到太多數量。但是他們之中稟賦較好的學生，在課程的最後，通過仔細考慮量的基本性質而大獲裨益，從而引入了數值測量。這個主題也有一個優點，讓必要之書實際成為手邊之書。歐幾里得第五卷，被那些有資格作出判斷的人視為希臘數學的典範，針對這個問題作出詳細闡述。沒有什麼更能說明傳統數學教育那無可救藥的狹隘，傳統數學教育一直忽略了這一卷。它處理觀念，因而被摒棄了。當然，我們需要對重要命題作出仔細挑選，對論點作出仔細修正。我們不是要引入第五卷的全部內容，我們只需挑其中體現基本概念的少數命題。這個主題不適合那些落後的學生，但是那些學習程度好的學生一定會因為這個主題很感興趣。而且，關於數量的性質，以及我們在處理數量時應採用的確定方法，能夠讓學生感興趣的可供探討的範圍還挺大。這項工作不會完全懸在空中，而是在每一個階段通過參考實際案例來加以說明，這些案例缺乏定量特徵，或模糊不清、或難以預料、或明白清楚 。溫度、熱度、電流、喜悅與痛苦、質量與距離，這些都可以用來思考。 另一種需要實踐證明的數學知識是函數。數學中的一個函數相當於物理學中的一個定律，或是相當於幾何學中的一條曲線。當一個學生在數學課程中學習作圖表的時候，他就開始學習函數與曲線的關係。近些年，數學課程在圖表方面做了不少改革。但是到目前為止，改革要麼失於激進，要麼失於保守。僅僅畫出一個圖表是不夠的，圖表背後的觀念，就像槍後面的拿槍的人，才是其成效的根本所在。近來有這樣一些傾向，留下整個問題，僅僅讓學生去畫圖表 。 在學習簡單的代數函數和三角函數時，我們其實也開始了學習物理定律的精確表達。例如，曲線可以視為物理定律的一種數學表現形式。在數學函數的物理定律演繹中，有一些是需要避免的，例如平方反比 或者直接距離 。需要實際演繹的數學函數應該是簡單易懂的，還要能夠證明物理定律的重要而具體運用的實例。對此我特別提出一點，我們可以利用微分學裡面的一些函數知識去做簡單的曲線性質證明。在這個過程中，學生就會發現變化率的概念其實沒有那麼難。對 x 的數次冪（例如 x 2 、 x 3 等）求導，很快就能算出來，如果藉助幾何學，我們還可以對sin x 和cos x 進行求導。如果這樣，我們就不會再給學生灌輸他們既不能懂、也不會用的數學公理，學生的注意力就會被吸引到一些具有重要意義的問題解決中。如果我們讓學生通過這種方式熟悉數學概念的演繹過程，那麼他們就能明白那些真正能影響思想的概念。 在離開這個話題前，還要說一下。物理定律和數學精確定律，其完全精確性從來沒有真正被觀察所證實過，但能夠簡單說明和提供精彩的例證 。同樣地，統計學定律，也就是用大量數據求平均數才能滿足的定律，很容易被研究和說明。事實上，研究統計方法及其在社會現象中的應用，是應用代數思想的最簡單的例子之一。 學生還可以通過數學史歸納所學的數學概念。我們不應把數學史僅僅看作一串年代、人名的簡單排列。數學史的要義在於闡述過去的數學思想趨勢，這種闡述是這些學科才剛一出現時成為興趣的目標。在這裡，我只想引起人們對數學史的重視，也許這正是這門學科可以獲得的圓滿結果，也是我期盼的結果。 到目前為止。我們討論了兩個主要問題，即量的概念和自然規律的一般概念。這些概念應該成為人文教育體系中的數學課程的學習目標。此外，數學有一個不容忽視的方面，即作為邏輯方法訓練的必備工具。 那麼，什麼是邏輯方法呢？一個人怎樣從邏輯方法中得到培訓呢？ 邏輯方法不僅僅是有效類型的推理知識和遵循它們所必須的專心致志的實踐練習。如果只是這樣，它也仍然是非常重要的。因為在過去的時代，人類的思想不是為了尋求推理而進化的，人類僅僅是為了在兩餐之間，提升獲得新鮮食物供應的打獵技藝而進化。因此，沒有大量的推理實踐，也就很少有人能做到嚴密的推理。 更重要的是成為一個好的推理者，甚至是用那些構成了藝術本質的知識來啟蒙普通人。推理的藝術在於在合適時機掌控主題、抓住那些能說明整體情況的一般概念、堅持不懈地提出與此相關的所有次要的事實。一個人沒有辦法成為一個好的推理者，除非這個人意識到抓住大問題的重要性，不死不休地抓住這些大問題，並且堅持不斷地實踐。在這個類型的訓練上，我認為幾何比代數更好。代數的思維領域非常含混不清，而幾何對於所有人來說都是一個顯而易見的事情。簡化的過程，或者說抽象的過程之中，顏色、味道、重量，諸如此類不相干的物質屬性統統被忽略掉，這本身也是一種教育。此外，與學科相關的基本事實、基本事實之間的關係，都要形成清晰概念。這樣做是必要的，定義、未經證明的假想命題，都能說明這種必要性。而所有這些，不過是這門學科的前言。當我們繼續深入學習，好處也會隨之繼續增加。學習者一開始不需要面對任何符號，這些符號無論多簡單都可能會干擾記憶。在推理的最開始的時候，如果得到了合適的引導，學生的頭腦會被清晰的觀念支配，這些觀念會引領每一個階段的發展。由此，邏輯方法的本質得到了即刻的例證。 我們現在來思考一下幾何在人文教育 中能帶來什麼效果。考慮時，我們把普通學生愚鈍所造成的局限性放在一邊，也不考慮其他學科造成的時間占用的壓力。我將會把學科的學習分成幾個階段，當然這並不意味著必須按照這個順序來進行。第一個階段學習的內容是「全等」 。我們對全等的認識，在實踐中取決於我們的判斷，即外部情況發生變化時，它們的內在特性是不變的。不管什麼樣的全等，全等的本質就是兩個空間區域之間的點對點的對應關係，即：對應邊相等，對應角相等。需要注意，對應邊相等，對應角相等，兩個圖形全等。對相等的檢驗，例如我們測量長度，只是判定全等的手段，這些手段讓我們容易作出即刻的判斷。我說這些想要之處，除卻與全等相關的推理，全等是一個更廣泛的實例、更深遠的觀念，或是為了它自身的緣故，都值得好好思考。全等涉及的命題闡明了三角形、平行四邊形、圓形的基本性質，以及兩個平面之間的關係。有必要把這部分經過證明的命題局限在一個狹窄的範圍內，這需要我們一方面假設有些公理命題是冗餘的，一方面需要我們只介紹那些的的確確非常基礎而重要的命題。 第二個階段要學習「相似」 。在幾何的學習過程中，對相似性的學習可以歸併成三四個基礎的命題。相似概念是全等概念的延伸，也是基於空間裡的點對點的一一對應關係。這門學科的進一步學習，最好是調查兩個相似的，或者是類似位置的直線圖形，分析一兩個簡單特性。這門學科在平面和地圖裡可以即刻應用。但是，三角學是確實能使主要定理得以有效應用的方法，牢記這一點，這很重要。 第三個階段，學習三角形的原理。這是周期性的學習，周期性由圖形旋轉和適當保存了相似圖形的相關性而引出。這裡，我們首次介紹一點兒代數分析的用處，代數分析以數與量的分析為基礎。函數周期性特徵的重要性，需要充分的說明。函數的最簡單性質是求解三角形所需的唯一性質，以及由此產生的測量應用。公式的價值，常常是就它們自身而言很重要，但是在這類學習中根本用不上。這類公式充斥著我們的課本，應該被嚴格地排除，除非它們被學生證明可以作為書本知識的直接例證。 關於排除公式這個問題，通過思考三角學這個學科可以得到最好的說明。當然，我也完全可能會偶然發現一個不幸的例子，那個例子裡我的判斷是錯誤的。這門學科在教育中的主要優勢是，可以使學生的學習限定於三角形中一個角，可以排除正弦、餘弦的附加公式和兩角之和。函數可以做圖表，也可以用三角形求解。因此，科學的各個方面，無論是書本還是實例，都會給學生留下深刻的印象。科學的各個方面包括：（1）分析地體現了從全等和相似推導出的一些定理的直接結果；（2）解決測量的主要問題；（3）學習表達周期性運動和波形運動所需的基本函數。 如果還想進一步拓展這門課程，公式也應該增加。我們要極為謹慎，一定排除讓學生專攻出現在培訓中的大量公式。所謂「排除」，我的意思是指學生不需要在獲取推理的技巧上花費時間和精力。教師們也許會覺得課前做幾個這樣的例題挺有趣，但是這樣做的結果並不在學生應該記住的範圍以內。另外，外接圓 和內切圓 的主題都應該被排除在三角學的課程之外，排除在整個幾何科目的課程之外。這樣的公式，儘管在幾何學中非常重要，但是在基礎的、非專業的數學教育中意義不大。 如此看來，關於三角學的書本知識必須被減少到一個可控比例之內。我有一天聽說，在美國的一所大學，學生被要求熟練掌三角學的90個公式或定理。我們英國的數學教育尚不至於如此糟糕。就三角學而言，至少在涉及的基礎課程中，基本上達到了我們起草的目標。 第四個階段開始學習解析幾何 。在代數中學習圖表時已經用到了解析幾何的基本概念，現在要求的是一種嚴格精簡的課程，由它們的方程形式定義的直線、圓和三種圓錐曲線的課程。在此我要提出兩點。第一 ，給予學生未經我們證明的數學信息，通常是可取的。例如，在坐標幾何 中，二級方程式的化簡可能超出了我們所考慮範圍內絕大多數學生的能力。但是這不妨礙我們，在梳理曲線的各種可能類型時，向學生解釋圓錐曲線的基本觀點。 第二，提倡全面清除作為獨立學科的「圓錐曲線幾何」 。在合適機緣下，通過對一些簡單圖形的直接演繹，對解析幾何的分析會因此輕鬆一點。但是，圓錐曲線幾何有著耀眼的缺陷，它由按焦點和準線性質來定義的圓錐曲線發展而來，深奧得無可救藥。圓錐曲線的基本定義， SP ＝ e · PM ，在這門課程、這個階段，糟糕透了，它非常深奧，還沒什麼明顯的重要性。究竟為什麼學習這些曲線？為什麼學習這一種曲線比其他那麼多公式定義的曲線還要多呢？當我們開始學習了笛卡爾方法論 之後，我們就會知道對於圓錐曲線的計算來說，一次方程和二次方程的運用自然地成為首先考慮的內容。 按照結合的理想課程，第五步是獲取投影幾何原理。在這裡，交比 和投影 的一般觀念是投影幾何的基礎。投影是一對一關係的更為一般的實例，在全等和相似當中已經學過。這裡，我們必須避免陷入大量豐富的細節的那種危險中。 投影幾何學所要闡明的智識觀念，即對所有可以證明具有某些相同性質的情況，要證明它們是相關的，要感到進行相關性推理具有重要性。投影幾何這門學科有一個重要的教育觀念：在投影中，保持投影特性不變。交比的概念僅作為基本度量性質而存在。我們要針對若干少量命題來展開投影幾何的教學，以此讓學生學習其中兩個緊密聯繫的過程。一個是簡化證明，這種簡化是心理上的，而不是邏輯上的。一般情況下，幾何投影中的邏輯關係是最為簡單的。這意味著什麼呢？證明所需要考慮的情形是我們最熟知的，或者是我們最容易明白的；另一個是從一般真理來推理出特殊事例的情況。一旦我們掌握髮現這些事例的方法，或者一旦我們掌握檢驗它們的標準，我們就可以從一般真理推理出特殊事例。 圓錐曲線的投影定義，一般二次曲線方程的結果同一性，都可以進行簡單講解。這兩個方面是投影幾何的邊緣內容，我們可以傳遞某些這類題目的信息，但是不要去證明它們。 我們構想的幾何課程是完全理想化的，理想到無法實現，這門課程不算太長。在各個階段的教材中，實際的數學推理是非常少有的。但是，應給出更多的解釋，通過實例來說明每個命題的重要性，要麼就由教者作出解釋，要麼就讓學生來作出解釋，選擇要指明思想所適用的領域。通過這樣的課程，學生能夠獲得對主要空間特性的分析能力，和研究它們時的主要方法。 研究數學的要素，懷著數學精神，學生就會獲得邏輯方法的訓練，同時還會獲得一些對宇宙進行科學和哲學研究的基礎的精審的觀念。這一代的教育者已經取得了精彩的改革成就，在此基礎上我們繼續堅持，使其課程中包含更廣泛、更多的哲學精神，容易做到嗎？坦率地說，我認為單憑個人努力很難達到這個結果。那些原因，我此前已經簡短說明過，任何教育改革都難於取得成效。但是如果理想真正起效，大家持續的努力會有一種聯合的效力，最終會帶來令人驚訝的轉變。逐漸地，我們想要的課本會被編寫出來，考試形式逐步改革，加強那些技術含量較低的方面。所有近期的經驗都表明，大部分的教師們都已經準備好了：為了數學不再因為機械訓導而備受指責，迎接任何一種具有實踐意義的方法。