最後的沉思 · 第五章 數學和邏輯

幾年前，我有機會提出了某些關於無限的邏輯的觀念，談論了無限在數學中的作用和自康托爾以來由它所構成的應用。我解釋過，我為什麼不認為某些推理方法是合理的，而許多著名的數學家卻相信它們可以使用。 [1] 不用說，我招來了一些尖銳的答辯。這些數學家不相信他們錯了；他們堅信他們有權作他們曾經做過的事情。討論拖了下去，這並不是因為不斷地提出了新的論據，而是因為我們繼續在同一個圈子裡團團轉，每個人都重複著他剛剛說過的話，似乎沒有聽到對手已經說過什麼。在每一個場合，我都要就所爭論的原理提出新的證據，可以說是為了不致遭到大家反對；但是，這種證據總是相同的，幾乎未加修改。因此沒有得出結論。假如我說我感到意外的話，那是傳達了假象，其實我的心理是亮堂的。 在這些條件下，再次重複同樣的論據似乎是不可取的，我可以給這些論據以新的形式，但卻基本上不會改變它們，因為在我看來好像是我的對手甚至沒有試圖去拒絕它們。尋求造成這種截然不同的觀點的智力差別的起源似乎是可取的。我剛剛說過，這些不能縮小的分歧並不使我感到驚訝，我從一開始就已經預見到分歧。但是，這並未免除我們尋求解釋；在反覆經驗之後，預見事實是可能的，還被緊緊催逼著要去解釋它。 因此，讓我們嘗試從純粹客觀的觀點來研究一下兩個對立學派的心理學，就好像我們自己不是這兩個學派的成員，就好像我們正在講述兩窩螞蟻打仗一樣。首先，我們將看到，數學家在他們考慮無限的方式方面存在著兩種對立的傾向。在一些數學家看來，無限是由有限導出的；無限之所以存在，是因為有無限多可能的有限事物。對另一些數學家來說，無限在有限之前就存在著；有限是從無限切下一小段而得到的。 一個定理必須能夠證明，但是由於我們自己是有限的，我們只能夠處理有限的對象。這樣一來，即使無限的概念在定理的陳述中起作用，但是在證明中必須不涉及它；否則，這種證明將是不可能的。我將引用下面的定理作為一個例子：素數集無界；級數∑1/n2 是收斂的等等。這些例子中的每一個都能夠化為只包含有限數的等式和不等式。這些定理帶有無限的特徵，並不是因為一種可能的證明本身帶有無限的特徵，而是因為可能的證明在數目上是無限的。 在陳述定理時，我斷言它的所有證明將為真。這被理解為，並非所有的證明全部給出了。還有一些我認為是可能的證明，因為它們大概只需要有限長的時間，但是它們實際上是不可能的，由於它們可能需要多年的工作。我相信，要是我們能夠設想一些富有而愚蠢的人（他們足以雇用充分多的幫手）企圖完成它，那就好了。但是，作為定理證明的真正目的，它又使這種蠢事變得沒有必要。 不能得出任何可驗證結論的定理有意義嗎？或者，更普遍地講，任何定理除了與它有關的證明外還有意義嗎？這正是數學家有分歧的地方。第一個學派的那些數學家說沒有，我將稱他們為實用主義者（因為有必要給他們取一個名字）；當一個定理在沒有給他們以驗證它的方法的情況下而引起他們的注意時，他們在其中看到的只是不可理解的冗詞贅句。他們願意考慮的只是能夠用有限數目的詞定義的對象。在一個論據中，當提到作為滿足某些條件的對象A時，他們理解滿足這些條件的對象，不管用來完成它的定義的詞彙可能是什麼，儘管這些詞在數目上是有限的。 另一個學派的數學家不想承認這一點，我將把他們簡稱為康托爾主義者。一個人不管他多麼健談，他在他的一生中也不能說十億以上的詞彙。因此，我們將從科學中排除其定義包含十億零一個詞的對象嗎？如果我們不排除它們，我們為什麼要排除那些只能夠用無限數目的詞定義的對象呢，這是由於第一類定義的表述像第二類定義的表述一樣超越了人類的範圍嗎？ 不難理解，這個論據使實用主義者大為掃興；不管一個人多麼健談，人類還將更為健談，因為我們不知道人類將延續多麼長的時間，我們不能預先限制人類的研究範圍。我們僅僅知道，這個範圍將總是有限的；即使我們也許能夠確定人類消亡的日期，但是還有其他天體上的智慧生物，能夠繼續從事在地球上留下的未完成的工作。而且，實用主義者在設想比我們更健談，而且還保留著某些人性的人類時，他們也許並不疑慮不安；他們不願就關於在有限長的時間內能夠思考無限多詞彙的一些無限健談的神靈的假說進行爭論。另一方面，其他人認為，客體與能夠談論或思考它們的任何人類或任何神靈無關地大量存在著；我們能夠在這種貯存中自由地選擇；我們無疑沒有足夠的欲望或充裕的金錢來購買每一樣東西；但是庫存貨物卻與買主的資財毫不相干。在細節上的所有各種分歧就起因於這種最初的誤解。 讓我們以策默羅定理為例，按照該定理，空間能夠變換為良序集。康托爾主義者將被證明的嚴格、真實或明顯所迷住。實用主義者將回答： 「你說你能把空間變換為良序集。好吧，變換它！」 「那需要花費很長時間。」 「那麼，你至少要向我們證明，某個有足夠的時間和耐性的人能完成這種變換。」 「不，我不能證明，因為實行變換的操作數目是無限的；它甚至比阿列夫零（A1eph-zero）還要多。」 「你能夠指出容許空間是良序的定律如何用有限數目的詞來描述嗎？」 「不能。」 於是實用主義者得出結論：該定理或者沒有意義，或者為假，或者至少未被證明。 實用主義者採用外延的觀點，康托爾主義者採用內涵的觀點。當涉及到一個有限的集合時，這種區分只有對形式邏輯理論家來說才是有意義的；但是，當涉及到無限的集合時，這種區分對我們來說似乎具有更深遠的意義。如果我們採用外延的觀點，那麼集合可以通過新數的相繼添加而形成；我們能夠把舊對象結合起來構造新對象，然後用這些新對象構造更新的對象；如果集合是無限的，正是因為不存在停下來的理由。 另一方面，從內涵的觀點來看，我們從其中具有預先存在的對象的集合開始，這些對象乍看起來似乎是沒有區別的，但是我們最終能分辨出它們中的幾個，因為我們標記了它們，並且把它們排列在抽屜里。但是，對象在標記前就存在著，集合也會存在，即使也許沒有把它們進行分類的管理員。 對於康托爾主義者來說，基數的概念沒有包含任何秘密。當兩個集合能夠排列在相同的抽屜時，它們就具有相同的基數；事情不會更容易了，由於兩個集合預先存在著，同樣可以認為與負有排列對象任務的管理員無關的抽屜內的集合預先存在著。對於實用主義者來說，情況並非如此。集合沒有預先存在；它每天都增長著；新對象不斷地變得與它有關，如果不涉及預先已經分類的對象概念和它們分類的方式，人們也就不能定義這個集合。每逢一個新的獲得物時，管理員都可能被迫打亂抽屜，以便找到一種按適當順序配置它的方法；兩個集合是否能夠排列在相同的抽屜內，這將永遠不會為人所知，因為總是要擔心，打亂它們將是必要的。 例如，實用主義只承認能夠用有限數目的詞定義的對象；能夠用語句描述的可能的定義總是能夠用從一到無限的尋常數來計數。根據這種推斷，也許只存在可能的單重無限基數，即阿列夫零數。可是，我們為什麼說連續統的冪不是整數冪呢？是的，給出我們能夠用有限數目的詞定義的空間中所有點後，我們就能夠想像一個定律，該定律本身能夠用有限數目的詞來描述，而且能在這些詞和整數集之間建立起對應。但是，現在讓我們考慮其中包含著這個對應定律概念的語句。不久前，這些語句沒有意義，因為這個定律還沒有被發明出來，它們不能用來定義空間的點。現在，它們已獲得了意義；它們將容許我們定義空間的新點。但是，這些新點將在已經採納的分類中找不到任何位置，這將迫使我們打亂它。在實用主義看來，當我們說連續統的冪不是整數冪時，我們的意思就是這樣。我們意味著，在這兩個集之間不可能建立擺脫這類混亂的對應定律；而在涉及直線和平面的例子中，就有可能做到這一點。 其次，實用主義者沒有肯定，是否無論什麼集恰當他講都具有基數；或者，給定兩個集，是否總有可能知道，它們是否具有相同的冪，或者一個冪是否比另一個冪大。從而他們被導致懷疑阿列夫（Aleph-one）的存在。 分歧的另一個來源起因於構想定義的方式。存在著各類定義；存在著通過近緣的類和不同的種，或者通過合成能夠導出的直接定義。 讓我們附帶注意一下，在不能定義特殊的事物，而只能定義整個種的意義上，存在著不完全的定義。它們是合理的，它們甚至是最為頻繁使用的定義。但是在實用主義者看來，有必要在其中理解特殊對象的集，這些對象滿足該定義，並且最終能夠用有限數目的詞來定義。因為康托爾主義者的這種限制是人為的，而且沒有意義。 如果僅存在直接定義，那麼純粹邏輯的重要性就不可能引起爭議。於是，無論在什麼命題中，都可能用它的定義代替每一個術語。當完成這種代替時，要麼該命題不能簡化為等同，從而不能是純粹邏輯證明，要麼它能簡化為等同，從而只不過是或多或少精巧偽裝起來的同義反覆。 但是，還有另外一類定義，即用公設來定義。一般地，我們總是知道，被定義的對象屬於一個類；但是，當陳述特定的差別成問題時，那就不直接陳述，而藉助於被定義的對象必須滿足的「公設」來陳述。就這樣，數學家能夠藉助於顯方程x=f（y）或隱方程F（x，y）＝0來定義量x。 只有當所定義的對象的存在被證明時，用公設定義才有價值。用數學語言來說，這意味著該公設沒有隱含矛盾；我們沒有權利忽略這個條件。要麼必須承認，由於一種信念的作用，無矛盾是直觀真理、是公理——可是這樣就必須認清我們正在做的事情，銘記我們已經擴大了不可證明的公理的一覽表——要不然就必須藉助於法則或公設或利用遞歸推理來構造形式證明。儘管當涉及直接定義時這種證明並非不大必要，但是它一般來說卻比較容易。 一些實用主義者可能更為嚴謹；為了使他們認為定義是合理的，在術語上不導致矛盾是不充分的；按照我在上面試圖定義的他們的特殊觀點，他們要求定義要有意義。 不管事情可能怎樣，在通過公設引入定義後，邏輯將依然是無結果的嗎？在給定一個命題後，我們不再能夠在其中用定義代替一個術語。我們能夠做的一切就是在命題和作為它的定義的公設之間消除這個術語。如果這種操作是按照所謂的邏輯消去法則進行的，那麼它就不會導致等同，因為該命題不能藉助於純粹邏輯來證明。如果它導致等同，那正是因為該命題只不過是同義反覆而已。我們不需要在我們不久前所作的結論中改變任何東西。 但是，還有第三類定義，這是實用主義者和康托爾主義者之間新誤解的起源。這些定義也是通過公設來定義，但是公設在這裡是被定義的對象和一個類的所有個別對象之間的關係，被定義的對象本身被假定是這個類中的一個元（或者人們假定它們本身只能夠用要被定義的對象來定義的那些對象是這個類的元）。如果我們假定下述兩個公設，所發生的情況就是這樣。 X（被定義的對象）以這樣的方式與類G的所有元有關。 X是G的元。 要不然，假定下述三個公設： X以這樣的方式與類G的所有元有關。 γ以這樣的方式與X有關。 γ是G的元。 在實用主義者看來，這個定義隱含著循環論證。在不知道類G所有元的情況下，從而在不知道這些元之一X的情況下，就不可能定義X。康托爾主義者不承認這一點：類G被給定，從而我們知道它的所有元。作為目的，該定義僅僅必須從這些元中區分出一個元，它與它的所有同夥元具有所描述的關係。 「不」，他們的反對者回答說：「類的知識不會導致你認識它的所有元；它只不過向你提供了構造所有元的可能性，或者更確切地講，提供了構造你所希望的那麼多的元的可能性。它們將只有在它們被構造之後才存在；也就是說，在它們被定義之後才存在；X只有藉助於它的定義才存在，只有G的所有元，尤其是X預先已知，它才具有意義。」他們附加道：「說下面的這些話可能是無用的；例如說什麼用它對於X的關係來定義X並不是循環論證；說什麼總之這個關係是能夠被用來定義X的公設；因為必須預先確定，這個公設不隱含矛盾。但是，那不是通常在這種類型的定義中所要做的事情。我們首先證明，無論類G可以是什麼，假定所有它的元都已知，它也許由於這個類而具有所述的關係；也就是說，這個對象的存在並不導致矛盾。在這裡，可能留下來的是要證明，在這個對象的存在和假說之間沒有矛盾，這個對象本身是該類的元。」 爭論可能會繼續一個很長的時間；但是，我樂於強調的觀點是，如果容許這類定義，那麼邏輯就不再是無結果的了，而且證明就是用預定證明命題的方式來系統表述大量論據，這些命題絕不是同義反覆，因為有些人仍拿不准它們是否錯了。因此，我們為一個詞所能具有的能力而驚奇。在這裡，有這樣一個對象，在它被命名之前，從它之中連什麼東西也不能推導出來；它所需要的一切就是取個名字，這名字創造了奇蹟。這如何能夠發生呢？因為給它取個名字，我們就已隱含地斷言，該對象確實存在著（也就是說，擺脫了所有矛盾），它完全被確定了。但是，在實用主義者看來，我們根本不知道這一點。事實上，使這個證明變得毫無結果的機制是什麼呢？那是很簡單的；我們假定，被證明的命題為假，我們證明這導致與對象X存在的事實相矛盾。只要我們肯定它的存在，而且只要我們知道該對象完全被確定了，這就是合理的。實際上，要是X是通過定義從類G推出就行了；其次，要是類G是通過包括對象X和能夠從類G中推導出的所有其他元在內而變得完全就行了；如果這樣而變得完全的類稱為G′，如果我們把能夠通過定義、並且用與X從G推導出來的同一方式而從G′推導出的元稱為X′，那麼就必須確信X′等同於X。如果情況並非如此，如果通過假定被證明的命題為假，我們便被引導到兩個矛盾的陳述 φ1（X）=0， φ2（X）=0 那麼，我們怎樣才會知道，在兩個陳述中所涉及的是同一個X呢？如果X包含在一個陳述中，而X′包含在另一個陳述中，那麼兩個命題就可寫成 φ1（X）=0， φ2（X′）=0 一般說來，它們不再是矛盾的。 為什麼實用主義者因此會提出這種異議呢？因為對於他們來說，類G似乎只是能夠無限增加的集合，無論何時新的元都能形成，它們具有適當的特徵。於是，G從來也不能像康托爾主義者所作的那樣不可改變地被安排，從而我們無法肯定，藉助於新的附加物它將不變為G′。 我力求儘可能清楚、儘可能公正地解釋兩個學派數學家的分歧的本質。對我來說，這似乎是我們已經能夠領悟出的真正的原因。兩個學派的科學家具有對立的思想傾向。我稱之為實用主義的那些人是觀眾論者，而康托爾主義者是實在論者。 存在著一種能夠證實這種觀點的東西。我們看到，正如我所說的，康托爾主義者（讓我使用這個方便的術語吧，儘管我在這裡不希望談論步康托爾後塵的數學家，甚至也許不想談論那些認為他們與康托爾一致的哲學家，而只想談談在獨立的形式方面具有同一傾向的人）不斷地談到認識論，即科學的科學。這種認識論完全與心理學無關，這一點已被充分地理解；也就是說，它必須告訴我們，假使沒有科學家的話，究竟科學是什麼；我們必須研究科學，這當然沒有假定不存在科學家，但至少是沒有假定存在科學家。於是，不僅自然是獨立於試圖研究它的物理學家的實在，而且物理學本身也是一種實在，即使沒有物理學家，它也存在著。事實上，這就是實在論。 實用主義者為什麼不肯容許不能用有限數目的詞來定義的對象呢？這是因為他們認為，對象只有在它能用心智構想時才存在，對象不能用獨立於有能力思考的人的心智來構想。實際上，在這裡存在著觀念論。既然有理性的主體是人，或者是類似於人的某種生物，因而是有限的存在，所以無限除了有創造我們所希望的那麼多的有限對象的可能性外，它沒有別的意義。 這樣，我們可以作出某種特殊的評論。實在論者通常採取物理學家的觀點。他們斷言物質對象、或個體靈魂、或他們所謂的實物的獨立存在。在他們看來，世界在人創生之前就存在著，甚至在生物創生之前就存在著；即便沒有上帝，或沒有任何理性生物，世界還會存在。這是常識的觀點，只有通過沉思我們才能拋棄它。物理實在論的支持者一般說來都是有限論者。至於談到康德的二律背反問題，他們對該論題亦步亦趨；他們相信世界是有限的。例如，這是伊夫琳（Evellin）先生的觀點。另一方面，觀念論者並沒有同樣的顧忌，他們已充分準備好贊同對立的觀點。 可是，康托爾主義者是實在論者，甚至在涉及到數學實體的地方也是如此。在他們看來，這些實體似乎具有獨立的存在；幾何學家並沒有創造它們，他只是發現它們。因此，這些對象可以說在沒有現存的情況下就存在著，因為它們能夠歸結為純粹的本質。但是，由於這些對象就其本性而言在數目上是無限的，因此數學實在論的支持者與觀念論者相比，他們是更大程度的無限論者。在他們看來，無限由於在發現它的心智之前就存在著，因而它不再是生成（becoming）。不管他們承認還是否認無限，他們必須因此而相信實無限。 我們在這裡辨認出柏拉圖（Plato）的理念論；看到把柏拉圖歸入實在論者之中可能似乎是奇怪的。不過，沒有任何學說比柏拉圖主義更強烈地與當代觀念論相對抗了，儘管這種學說也遠離物理實在論。 我從未見到有比埃爾米特（Hermite）更為實在論的數學家（在柏拉圖的意義上的實在論），我還必須承認，我從來也沒有遇見一個比他更反對康托爾主義的人。在這裡，似乎存在著表面上的矛盾，之所以更加如此，是由於他樂意重複說：「我之所以是一個反康托爾主義者，因為我是實在論者。」他因創造對象而不是滿足於發現它們而責備康托爾。毋庸置疑，由於他的宗教信念，他認為，希望毫無困難地深入到只有上帝才能夠理解的領域，而不等待上帝向我們一個接一個地揭示它的秘密，這是大逆不敬的行為。他把數學科學和自然科學加以比較。在他看來，博物學家企圖猜測上帝的秘密，而不通過經驗來了解，這對神聖的上帝不僅是放肆的，而且是無禮的。在他看來，康托爾主義者似乎想要以同樣的方式在數學中行動。這就是為什麼他在實踐上是觀念論者，而在理論上是實在論者。存在著一個已知的實在，它在我們的外部，不依賴於我們；但是，我們關於它所能知道的一切都依賴於我們，於是這一切只不過是生成，是一種相繼獲得的層次。其餘的東西是實在的，卻是永遠不可知的。 無論如何，埃爾米特的情況是一個孤立的例子，我不希望進一步停留在它上面。不論何時，在哲學中總是存在著對立的傾向，這些傾向似乎並沒有處於和解的邊緣。毫無疑問，這是因為存在著不同的心靈，我們不能改變這些心靈中的任何東西。因此，沒有希望看到在實用主義者和康托爾主義者之間建立起和諧。人們沒有取得一致，因為他們講的不是同一種語言，有的只是彼此都不能學會的語言。 然而，在數學中，人們通常可以彼此了解；但是，這恰恰是由於我已經稱之為證明的東西。這些證明在沒有上訴的情況下就宣布判決。在它們面前，整個世界都得屈從。但是，不管在什麼地方，如果缺乏這些證明，數學家就一點也不比頭腦簡單的哲學家高明。當必須了解一個定理在無法證明的情況下能否具有意義時，由於根據定義我們不允許我們自己去證明它，誰能夠判斷它能否有意義呢？除了因矛盾而使對手走投無路外，不會有其他辦法。但是，人們已經嘗試做了實驗，卻未獲成功。 許多二律背反都被指出來了，不一致依然存在；沒有一個人被說服。總有可能通過改變論據使自己擺脫矛盾；我指的是通過區別。 * * * [1] 參見第四章。——原注