最後的沉思 · 第四章 無限的邏輯

1. 分類應當是什麼 當我們無論何時考慮由無限數目的物體組成的集合時，通常的邏輯規則還能應用嗎？乍看起來，這是一個尚未被詢問過的問題，可是它卻引導我們去考查，專門研究無限的數學家何時會突然遇到某些表面上的矛盾。這些矛盾是出自邏輯規則被誤用的事實呢，還是出自它們在它們的適用領域之外、即在僅由有限數目的物體形成的集合之外不再有效的事實呢？我認為，就這個課題講幾句話，給我的讀者提供一個關於這個問題所引起的爭論的觀念，並不是沒有意義的。 形式邏輯無非是研究對所有分類都是共同的那些性質；它告訴我們，是同一個團的成員的兩個士兵正是由於這個事實而屬於同一個旅，從而屬於同一個師；三段論法的整個理論被歸結為這一點。可是，這種邏輯規則是有效的必要條件是什麼呢？它就是，所採用的分類是不可改變的。我們了解到兩個士兵是同一個團的成員，我們想要得出結論說，他們是同一個旅的成員；我們有權利這樣做，倘若在進行我們的推理所消磨的時間內，兩人之一沒有從一個團調到另一個團的話。 所揭示出的悖論完全來源於忘記了這個十分簡單的條件：分類依賴的基礎並非不可改變，它並不能夠如此；預防辦法就是著手宣布它是不可改變的；但是，這種預防辦法是不充分的。有必要提出它事實上是不可改變的，但有一些場合，在其中這是不可能的。 請容許我再次提及羅素（Russell）先生引用的例子。畢竟，他提到這個例子是要駁倒我。他想證明，困難並不是來自實無限的引入，因為即使在只考慮有限數時也能夠遇到它們。我以後將返回到這一點，但這不是現在要考慮的課題，我之所以選中這個例子，是因為它是有趣的，它使我剛才指出的事實顯得更為重要。 用具有不到一百個法語單詞組成的語句不能定義的最小整數是什麼呢？而且，這個數存在嗎？ 是的；因為用一百個法語單詞，我們只能構造有限數目的語句，由於在法語字典中，單詞的數目是有限的。在這些語句中，將存在一些沒有意義的或不定義任何整數的語句。但是，這些語句中的每一個至多能夠定義一個單個的整數。因此，能夠以這種方式定義的整數的數目是有限的；所以，肯定存在著一些整數不能這樣來定義；在這些整數當中，肯定有一個比所有其他整數都小。 否；因為要是這個整數存在，它的存在便意味著矛盾，由於它可以用不到一百個法語單詞的語句來定義；就是說，可以用斷言它不能被定義的那個語句來定義。 這種推理停留在把整數分為兩個範疇的分類上：一個範疇能用不到一百個法語單詞的語句來定義，另一個範疇則不能。在詢問這個問題時，我們暗中宣布，這種分類是不可改變的，我們只有在它明確地建立起來之後才能開始我們的推理。可是，這是不可能的。只有當我們審查了所有由不到一百個單詞組成的語句時，只有當我們排除掉那些沒有意義的語句時，只有當我們明確地確定了具有意義的語句的意義時，分類才能夠是決定性的。但是，在這些語句中，存在著一些只有在分類固定之後才能夠具有意義的語句；它們是涉及到分類本身的語句。總而言之，數的分類只有在語句的選擇完成之後才能夠固定下來，而這種選擇也只有在分類被確定之後才能夠完成，以至於無論分類還是選擇永遠也不能終止下來。 當涉及無限的集合時，甚至會更頻繁地遇到這些困難。讓我們設想，需要對這些集合之一的元素進行分類，分類的原則依賴於被分類的元素與整個集合的某種關係。這樣的分類在任何時候能夠被認為是確定的嗎？不存在實無限，當我們說無限的集合時，我們理解的是我們能夠把新元素不停地添加到其中的集合（類似於為等待新訂戶，永遠沒完沒了的訂購單）。因為分類不能徹底地完成，除非在訂購單結束之時；每當新元素添加進集合中，這個集合都要被修正；因此，有可能修正這個集合和已被分類的元素的關係；由於這些元素被放置在這個或那個抽屜內與這種關係一致，因而能夠發生下述情況：一旦這種關係被修正，這些元素將不再處於合適的抽屜內，而且必須移動它們。只要引入新元素，就不得不擔心，這項工作可能全都得重新開始；因為沒有新元素被引入的事從來也不會發生；因此分類將永遠也不會被固定。 我們由此在適用於無限集合的元素的兩種分類之間作出區分：斷言的（predicative）分類，它不會由於新元素的引入而擾動；非斷言的（non-predicative）分類，在這種分類中，新元素的引入必然要引起不斷的修正。 例如，讓我們假定，我們按照整數的大小將它分為兩族。我們不考慮一個數與其他整數集的關係，就能夠分辨出這個數比10大還是比10小。大概，在頭100個數被確定之後，我們就知道，在它們之中哪些小於10、哪些大於10。然後，當我們引入101這個數時，或者引入任何一個接著它的數時，在頭100個整數內，小於10的那些數將依然小於10，大於10的那些數將依然大於10；分類是斷言的。 相反地，讓我們設想，我們希望把空間中的點進行分類，我們在能夠用有限數目的單詞來定義的點和不能用有限數目單詞來定義的點之間作出區分。在可能的語句中，將存在著一些涉及到全部集合，也就是涉及到空間或空間某些部分的語句。當我們在空間中引入新點後，這些語句將改變意義，它們將不再定義同一個點；或者，它們將失去一切意義；要不然，它們將獲得意義，雖然它們起先沒有任何意義。於是，不能定義的點將變得能夠定義，另外一些能夠被定義的點將不能被定義了。它們將必須從一個範疇變到另一個範疇。分類將不是斷言的。 有一些好心人，他們相信，人們可以推理的唯一對象是那些能夠用有限數目的單詞定義的對象。我更加樂於認為他們是好心人，因為我自己馬上要為他們的見解辯護。因此，可以認為前面的例子是拙劣的選擇，但是很容易修正它。 為了對整數或空間中的點進行分類，我將考慮定義每一個整數或每一個點的語句。由於會發生同一個數或同一個點能夠用許多語句來定義的情況，我將按字母順序排列這些語句，並將在這些語句中選擇第一個。以此作為條件，這個語句將以元音或輔音結束，分類能夠按照這個標準作出。但是，這種分類不可能是斷言的；通過引入新整數或新點，沒有意義的語句可以獲得意義。於是，對於定義已經引入的整數或點的語句一覽表來說，它將必然要添加新語句，到這時還沒有意義的語句恰恰獲得了意義，而且定義的正好是同一個點。能夠發生這樣的情況：這些新語句占據按字母順序排列的第一個位置，它們以元音結束，而原先的語句則以輔音結束。於是，原來位於第一個範疇的整數和點將不得不轉移到另一個範疇。 另一方面，如果我們按照空間中的點的坐標的大小來對這些點進行分類，如果我們一致同意分類所有橫坐標小於10的點，那麼新點的引入將不會改變分類中的任何東西；已經引入的滿足該條件的點在引入新點之後也將滿足該條件。分類將是斷言的。 我們剛才就分類所說的東西直接適用於定義。實際上，每一個定義就是一種分類。它把滿足定義的對象與不滿足定義的對象分開，並且它按兩種不同的類排列它們。如果像經院哲學所作的那樣，通過近緣的類和不同的種繼續做下去，那麼它顯然依賴由類到種的劃分。像所有的定義一樣，定義可以是斷言的，或不可以是斷言的。 但是，在這裡遇到了一個困難。讓我們再考慮原先的例子。整數屬於類A 還是屬於類B，取決於它們小於10.5 還是大於10.5。我定義了某些整數α，β，γ……，我把它們分配在這兩類A和B之中。我定義並引入新的整數。我說過，分配未被修正，從而分類是斷言的。可是，為了不修正數α在分類中的位置，不改變分類方案是不充分的；數α依然保持相同也是必要的；也就是說，它的定義是斷言的。因此，從某種觀點來看，我們不應當說，分類以絕對的方式是斷言的，但是相對於定義方法而言，它卻是斷言的。 2. 基數 當定義基數時，我們不應忘記原先的考慮。如果我們考慮兩個集合，那麼以對於第一個集合的每一個對象，都有第二個集合的一個並且是唯一的一個對象與之相對應的方式（反之亦然），我們能夠嘗試在這兩個集合之間建立起對應規律。如果這是可能的，我們便說兩個集合有相同的基數。 但是，對應規律又必須是斷言的。如果我們處理兩個無限的集合，那麼將永遠不可能想像這兩個集合會被窮盡。如果我們假定，我們在第一個集合中取了一定數目的對象，那麼對應規律將使我們能夠定義第二個集合的相應對象。如果我們接著引入新的對象，那麼新對象的引入必須以下述方式改變對應規律的意義：第二個集合的對象A′在引入新對象前對應於第一個集合物的對象A，在新對象引入之後，A′就不再與A對應了。在這種情況下，對應規律將不是斷言的。 這就是我藉助於兩個相反的例子想要解釋的東西。我正在考慮整數的集合和偶數的集合。數2n可以與每一個整數n對應。當我引入新整數時，與n對應的將總是同一個數2n。對應規律是斷言的；例如，為了證明有理數的基數等於整數的基礎，或空間的點的基數等於線上的點的基數，康托爾（Cantor）所考慮的東西都是如此。 另一方面，讓我們設想一下，我們正在把整數集與能夠用有限數目的單詞來定義的空間的點集加以比較，我在它們之間建立起下述對應。我將列舉所有可能的語句。我將按照它們中的單詞數目排列它們，按字母順序安置具有相同單詞數的語句。我將除去所有沒有意義的或沒有定義任何點的語句，或者該語句雖然定義了點，但是這個點已用先前的一個語句定義過。對於每一個點來說，我都使定義它的語句和在修正一覽表中描述這個命題位置的數目對應起來。 當我引入新點時，可能會發生一些沒有意義的語句將獲得意義；我們將不得不在起初從中除去它們的一覽表中使它們恢復原來的位置；所有其他語句的順序數將被改變。對應關係將被全部打亂；我們的對應規律不是斷言的。 在比較基數時，如果我們不注意這個條件，那麼便會導致奇異的悖論。因此，有必要通過說明作為這個定義基礎的對應規律必須是斷言的，來修正基數的定義。 每一個對應規律都以二重分類為基礎。我們希望比較的兩個集合的對象必須被分類；而兩個分類必須是平行的。例如，如果第一個集合的對象被分類，類本身又細分為階，階又細分為族等等，對於第二個集合的對象必須遵循同樣的過程。第一個分類的每一個類必須與第二個分類的一個類並且是唯一的一個類相對應，第一個分類的每一個階必須與第二個分類的一個階並且是唯一的一個階相對應，如此等等，直到個別對象本身。 於是，我們看到，要使對應規律是斷言的條件必須是什麼。有必要使對應規律所依據的兩個分類本身是斷言的。 3. 羅素先生的論文 羅素先生在《美國數學雜誌》第×××卷上發表了一篇論文，該文的題目是「以類型理論為基礎的數理邏輯」，它是以完全類似於前面的考慮為基礎的。在邏輯學家中喚起對一些最有名的悖論的注意之後，他尋找它們的來源，並發現這恰恰在於一種循環論證。悖論之所以發生，是因為集合被認為包含著這樣的對象，在這些對象的定義中，集合的概念本身是固有的。非斷言的定義已被使用羅素先生說，在「所有」（all）和「任何」（any）這兩個單詞之間存在著混亂，這兩個詞在法語中可用tous 和quelconque 來表述。 他於是轉而想像他稱之為類型譜系（hierachy of types）的東西。讓我們設想一個命題對於一定類的任何個體都為真。所謂任何個體，我們必須首先理解這個類的所有個體，它們能夠在沒有使用命題本身概念的情況下被定義。我將稱它們為任何第一階的個體；當我斷言該命題對所有這些個體為真時，我將斷言一個第一階的命題。於是，任何第二階的個體將是這樣一個個體，其定義能夠包含這個第一階的命題的概念。如果我斷言所有第二階個體的命題，我將具有一個第二階的命題。第三階的個體將是其定義能夠包含這個第二階命題的概念的個體，如此等等。 讓我舉愛皮梅尼特（Epirnenides）的例子。第一個階中的說謊者將總是在說謊，除非當他說「我是第一個階中的說謊者」時；第二個階中的說謊者將總是在說謊，即使在他說「我是第一個階中的說謊者」時也是如此，可是當他說「我是第二個階中的說謊者」時，他就不再是在說謊了。如此等等。於是，當愛皮梅尼特告訴我們：「我是說謊者」，我們應該問他：「哪一個階的？」只有在他回答了這個合理的問題之後，他的斷言才有意義。 讓我們接著舉一個更科學的例子，並且考慮整數的定義。如果一種特性是零的特性，並且如果它不是n+1的特性，它就不可能是n的特性，那麼它就被說成是遞歸的；我們說，具有遞歸特性的所有數形成一個遞歸類。因此，按照定義，一個整數是具有遞歸特性的一個數，也就是說，它屬於所有的遞歸類。 從這個定義出發，我們能夠得出兩個整數的和是整數的結論嗎？看來似乎是這樣；這是因為，如果n是已知的整數，那麼致使n＋x是整數的這樣的數x形成遞歸類。如果n+x不是整數，那麼數x因而也不會是整數。但是，我們已經講過的這個遞歸類的定義不是斷言的，因為在這個定義（它告訴我們n+x必須是整數）中，出現了預先假定所有遞歸類概念的整數概念。 從而產生了利用下述迂迴方法的必要性：讓我們把所有在沒有引入整數概念的情況下能夠被定義的那些類看作是一階遞歸類，把屬於所有一階遞歸類的數看作是一階整數。接著，讓我們把在出現需要時通過引入一階整數概念、而不引入更高階整數概念就能夠被定義的類看作是二階遞歸類。讓我們把所有屬於二階遞歸類的數叫作二階整數，如此等等。然後，我們能夠證明的不是兩個整數的和是整數，而是兩個K階整數的和是K-1階的整數。 我想，這些例子將足以傳達羅素先生要求的類型譜系。可是，這時產生了作者沒有提出見解的各種問題。 1.在這個譜系中，毫無困難地出現一階命題、二階命題等等，一般地是n階命題，n是任何有限整數。可以同樣地考慮α階（α是超限序數）的命題嗎？這正是柯尼希（Kőnig）先生所思考的理論，該理論在本質上與羅素先生的理論沒有什麼區別。他使用特殊的記號系統，在這個系統中，他用A（NV）表示一階對象，用A（NV）2 表示二階對象，等等，NV是述語「不變的」（ne varietur）詞首的大寫字母。就他來說，他毫不猶豫地引入A（NV）α——其中α是超限的——可是卻沒有充分解釋他由此了解到什麼。 2.如果我們對第一個問題回答「是」，那就必須解釋由ω階對象了解了什麼，ω是尋常無限，即第一超限序數；或者必須解釋由α階對象了解了什麼，α是任何超限序數。 3.另一方面，如果我們對第一個問題回答「否」，那麼將怎樣有可能把有限數和無限數的區別建立在類型理論的基礎上呢？因為如果不假定已經作出這種區別，那麼這個理論就失去了意義。 4.更一般地，我們對第一個問題要麼回答「是」，要麼就是回答「否」，如果我們不假定序數理論已經建立起來，那麼類型理論就是不可理解的。這時，將怎樣有可能把序數理論建立在類型理論的基礎上呢？ 4. 可約性公理 羅素先生引入了一個新公理，他把這個公理叫作可約性公理。由於我沒有把握已完全理解了他的思想，因此我將直接引用他的話：「我們假定，每一個函項對於它的所有值來說等價於同一自變數的某個斷言函項。」為了理解這個斷言，必須提到在這篇論文開頭所給出的定義。什麼是函項？什麼是斷言函項？如果命題是就給定對象α斷言的，那麼這就是特稱命題；如果它是就不定對象x斷言的，那麼它就是x的命題函項。該命題將是類型譜系中的某一階，無論x可能是什麼，這個階將不相同，因為它依賴於x的階。當x是K階，如果該函項是K＋1階，那麼它將被宣稱是斷言函項。 即使在這些定義之後，該公理的意義還不是很清楚的，舉幾個例子也許不會是多餘的。羅素先生沒有給出任何例子，我很猶豫是否給出我自己的任何例子，因為我怕誤述了他的思想，我不敢保證已完全把握了他的思想。但是，即使沒有把握它，但也有一件我不能懷疑的事情，這就是其中包含著一個新公理。藉助於這個公理，人們期望能夠證明數學歸納法原理；但我也希望不要完全否認這種可能性，即我懷疑這個公理可能是同一原理的另一種形式。 於是，我竟情不自禁地想起了所有宣稱依靠他的一個推論並把這個推論看作是自明的真理而來證明歐幾里得公設的人。他們得到了什麼呢？不管這個真理是多麼自明的，它將比公設本身更為自明嗎？ 因此，就公設數目而論，我們一無所獲。但我們至少在質的方面有所收穫嗎？ 在什麼方面新公理表明自身比歸納法原理更為可取呢？ 第一，它可以用更簡單、更清楚的術語來陳述嗎？這是可能的，因為羅素先生給我們的東西無疑可以被改進；但是不一定很有希望。 第二，如果人們從歸納法原理出發，可以證明可約性公理，那麼可約性公理比歸納法原理更為普遍嗎？ 第三，相反地，可約性公理看上去沒有歸納法原理普遍嗎？所以儘管歸納法原理包含在可約性公理之中，但我們沒有立即察覺到前者包含在該公理中。 第四，這個公理的使用更密切地與我們心智的天然傾向一致嗎？能夠從心理學上證明它嗎？ 我把我自己限定在這些問題上；我缺乏解決它們的手段，因為我未能完全理解這個公理的意義。 由於羅素先生給的資料十分有限，我不能期望完全把握其意義，即使如此，我至少可以作一些推測。例如，在這裡有像整數的定義這樣的命題；有限整數是一個作為所有遞歸類的元的數。這個命題本身沒有意義，只有指定所涉及的遞歸類的階時，它才會有意義。但是，幸運的是，這種情況發生了；何況每一個二階整數更有理由是一階整數，因為它屬於頭兩階的所有遞歸類，從而屬於一階的所有遞歸類；每一個K階整數同樣也更有理由是K－1階的整數。於是，導致我們可以定義越來越多的有限類的系列，一階整數、二階整數……n階整數，它們的每一個都包含在前一個中。我將把同時屬於所有那些類的每一個數稱為「ω階整數」；ω階整數的這種定義有意義，而且能夠認為它等價於首次針對還沒有任何意義的整數提出的定義。這就是像羅素先生所理解的可約性公理的正確應用嗎？我提供這個例子的信心是不足的。 不過，讓我們接受它，讓我們再次考慮要證明的關於兩個整數之和的定理。我們已經確定，兩個K階整數之和是K－1階整數，我們希望得出結論：如果x和n是兩個ω階整數，那麼n＋x之和也是ω階整數。事實上，不管K可能多麼大，為此只要確定n＋x是K階整數就足夠了。因為如果，n 和x是ω階整數，那麼它們將更有理由是K＋1階整數；因此，藉助於已經確立的定理，n＋x是K階整數…… 證 畢 羅素先生的公理能夠以這種方式運用嗎？我倒感到，這並非嚴格如此，羅素先生可能給出完全不同的推理形式，但是基礎依然是相同的。 我不想在這裡討論證明方法的有效性。 我將暫且把我自己限定在下述觀察內。隨著n 階對象概念的引入，我們已被導致引入ω階對象的概念，就整數而論，在定義這個新概念時，我們認為我們獲得了成功。但是，這不會總是成功的；例如，對愛皮梅尼特來說，這根本不會是有效的。下述情況已保證獲得成功。在研究中的分類不是斷言的，新元素的添加必須修正原先被引入的和被分類的元素的分類。無論如何，這種修正只能在一個方向進行；也許必須使一些對象從A 類變換到B類（即從整數類變換到非整數類），但是永遠也不能使它們從B類變換到A 類。在時而在一個方向、時而在另一個方向必須作出修正的情況下，為了定義ω階對象，一個新約定該是必要的。 其次，ω階整數的定義不同於K階整數的定義，其中K是有限的。K階整數是通過遞歸從K－1階整數的概念推論出K 階整數的概念而定義的。ω階整數通過極限來定義，也就是使這個新概念與無數原先的概念，即與所有有限階整數的概念相關來定義。因而，對於並不知道有限數是什麼的人來說，此時這兩個定義可能是無法理解的；他們預先假定有限數和無限數之間的區別。因此，這個區別不能建立在這些定義的基礎上。 5. 策默羅先生的論文 正是在完全不同的方向上，策默羅（Zermelo）先生尋求我們已經指出的困難的解決辦法。他力求假定一個先驗的公理系統，該系統容許他在不面臨矛盾的情況下證明所有的數學真理有許多估計公理作用的途徑；它們能夠被視為任意的規定，這些規定無非是基本概念的偽裝的定義。因此希爾伯特先生在幾何學的開頭引入「物」（things），他把點、直線和平面稱為物，不管是忘卻還是似乎是片刻忘卻這些詞的共同意義，他都針對這些物擬定了定義它們的各種關係。 為使這成為合理的，就必須證明，由此引入的公理是不矛盾的，而就幾何學而言，希爾伯特先生完全取得了成功，因為他設想分析已經建立起來了，因為他能夠在這個證明中利用它。策默羅先生沒有證明他的公理是擺脫了矛盾的，而且他不能這樣做，因為要這樣做，他就應當利用其他已經確立的真理作為基礎。但是，談到已經確立起來的真理和已經完成了的科學——他假定到當時為止還不存在；他排除任何東西，他希望他的公理是完全自身充分的。 因此，公設能夠把它們的價值僅僅歸於某種類似於任意規定的東西；它們必須是自明的。正因為自明不能被證明，所以要證明這種自明，我們從而必須力圖深入到創造這種自明感的心理學機制。而這就是產生困難的地方；策默羅先生承認某些公理，而排斥另一些乍看起來似乎正像他保留的公理一樣自明的公理。如果他完全保留它們，他就會陷入矛盾；因此，對他來說，有必要作出選擇。但是，我們可能會感到奇怪，他選擇的根據是什麼，這使得我們必須要謹慎小心。 就這樣，他以反對康托爾的定義開始：集（set）是任何與其他不同的、任何被認為是形成一個整體的對象的集合。因此，我沒有權利談論滿足這個條件或那個條件的所有對象的集。這些對象沒有形成集（set或Menge） [1] ，但是有必要用某種東西代替我們排斥的定義。策默羅先生把他自己限制在這樣一個陳述內：讓我們考慮任何類型對象的域（domain，Bereich） [2] ；在兩個這樣的對象x和y之間可以存在x∈y的形式關係，於是我們將說，x是y的元素以及y是集（set）或Menge。 顯然，這不是定義。任何一個不知道Menge是什麼的人，當他得知用符號∈表示它時，他將不會更好地認識它，因為他不知道∈是什麼。如果符號∈後來用被視為任意規定的公理來定義，這樣事情就過得去了。但是，我們剛才已看到，這種觀點是站不住腳的。因此，我們必須預先了解Menge是什麼，我們必須具有它的直覺觀念。正是這種直覺，使我們能夠理解∈是什麼；沒有這一點，∈只不過是缺乏意義的、不能宣稱有任何自明性質的符號。但是，如果這種直覺不是我們輕蔑地排斥的廉托爾的定義，那麼它能夠是什麼呢？ 讓我們略過這個困難，我們將在以後試圖闡明它，讓我們列舉一個策默羅先生所設想的公理；它們總共有七個： 1.具有相同元素的兩個集（Menge）是等價的。 2.存在著不包含任何元素的集（Menge），這就是空集（Nullmenge）；如果存在對象a，那麼便存在Menge（a），這個對象是該Menge的唯一元素；如果存在兩個對象a和b，那麼便存在Menge （a，b），這兩個對象是該Menge的僅有的一些元素。 3.Menge M中的所有滿足條件x的元素的集形成M 的子集（subset，Untermenge） [3] 。 4.對於每一個Menge T，相應地存在著由T的所有子集（Untermenge）形成的另一個MengeUT。 5.讓我們考慮Menge T，其元素是那些Mengen [4] 本身；存在著MengeST，其元素是T的元素的元素。例如，如果T有三個元素A，B，C，它們本身是Mengen；如果A有兩個元素a和a′，B有兩個元素b和b′，C有兩個元素c和c′，ST 將有六個元素a，b，c，a′，b′，c′。 6.如果存在著一個Menge T，其元素是那些Mengen本身，那麼有可能在這些基本Mengen中的每一個中選擇的一個元素，而且如此選擇的元素的集形成ST的一個Untermenge。 7.至少存在一個無限Menge。 在討論這些公理之前，我們必須回答一個問題：在敘述它們時，為什麼保留德語詞彙Menge而不用法語詞彙ensemble［集，set］？這正是因為我沒有把握，詞Menge 在這些公理中保持它的直觀意義，沒有這種直觀意義，就很難排斥康托爾的定義；現在，法語詞彙ensemble 使我們太強烈地想起這種直觀意義，以至於當意義改變時，我們不能方便地利用它。 我不想過多地強調第七個公理；儘管如此，我必須就它說幾句話，以便喚起對策默羅先生用來陳述該公理的十分首創性的方法的注意。他沒有使他自己滿足於我已經給出的陳述。他說：存在一個Menge M，該集在不包含作為一個元素Menge（a）的情況下也不能包含元素a，即在該Menge 中，元素a是唯一的元素。因此，如果M容納元素a，那麼它將容納一系列其他元素，也就是說，它將容納a是唯一元素的Menge，在該Menge中，唯一的元素是僅有一個元素a的Menge，如此等等。可以清楚地看到，這些元素的數目必然是無限的。乍看起來，這個彎路似乎是很奇怪的和人為的，實際確是這樣；可是，策默羅先生想避免使用無限一詞，因為他認為他的公理先於有限和無限的區分。 讓我們考慮前六個公理；它們能夠被視為明顯的，一旦我們賦予Menge這個詞以它的直觀意義，並且僅僅考慮有限數目的對象的話。但是，它們不過是作者明確反對的另一個公理： 8.任何種類的對象形成一個Menge。 因此，我們必須問一個問題：無論何時涉及到無限的集合，為什麼公理8不再具有自明性而頭六個公理依然是自明的呢？ 為了解決這個問題，我們要返回到公理的陳述，如果這樣的話，我們將經歷我們第一次的驚奇。我們將注意到，所有這些公理都毫無例外地告訴我們，只有一種東西，即按照某些規律形成的某些集合才能構成Menge，以至於這些公理對我們來說只不過是作為預定擴大Menge這個詞的意義的一些法則，作為該詞的一些純粹的定義。這對於我們反對的第八個公理來說是正確的，正像對於我們接受的頭七條公理來說是正確的一樣。 可是，我們不久便被警告說，這頭一個印象是錯誤的；詞的類似的定義不會把我們引向矛盾；只有在我們具有斷言某些集合不是Mengen的其他公理的時候，才不得不形成矛盾；而我們卻沒有這樣的集合。但是，如果我們排斥第八個公理，那就會避免矛盾。策默羅先生就是這樣明確地說的。 因此，情況必定是，他沒有把他的公理看作是詞的簡單定義，他賦予Menge這個詞以直覺意義，這種意義在他所有陳述之前就存在著，儘管該意義與通常的意義有某種差別。當探討作者在他的論證中對它的用法時，就不可能不注意到這一點。Menge是我們能夠推論的某種東西；它在一定程度是某種固定的、不可改變的東西。為了確定一個集即Menge，確定無論什麼集合，總是要進行分類，總是要把屬於這個集的對象與不是它的部分的對象分離開來。如果相應的分類不是斷言的，那麼我們將說，這個集不是一個Menge；如果這種分類是斷言的，或者如果它就像它曾經是的那樣是可能加以推論的，那麼它就是一個Menge。 如果我們排斥第八個公理，正是因為無論任何對象都毫無疑問地形成集合，但卻是永遠不封閉的集合；其順序能夠在任何時刻通過添加意想不到的元素而被推翻。它是一個非斷言的集合，相反地，當我們說，例如對於每一個Menge T，總是相應地存在著另一個用這種或那種方式定義的Menge UT 或ST，我們宣稱，這個定義是斷言的，或者我們有權像它曾經是的那樣去行動。 這裡是說在策默羅先生的下述理論中起基本作用的區分的地方了，策默羅理論說：「這樣一個問題或陳述E可以稱之為確定的，即關於這個域的基本關係的有效性和無效性能夠毫無任意性地由公理和普遍有效的邏輯規律區分開來。」「確定的」（definii） [5] 這個詞在這裡似乎合理地與「斷言的」一詞同義。但是，策默羅先生對它所作的使用表明，同義並不是完全的。因此讓我們設想，例如，這個問題E如下：Menge M的某一元素與同一Menge的所有其他元素具有某種關係嗎？我們同意說我們必須回答是的所有元素形成一個類K嗎？至於我，我贊同羅素先生的觀點，也認為這樣一個問題不是斷言的；因為M的其他元素是無限的，因為可以不斷地引入新的元素，因為在引入的新元素中可能存在其定義包含類K的概念的某些元素，也就是說，包含著具有特性E的元素集的概念。對於策默羅先生來說，在我沒有精確認識在確定的問題和不是確定的問題之間存在著嚴格分界的情況下，這個問題可能是確定的。對他來說，情況似乎是，為了知道一個元素相對於M的所有其他元素是否具有特性E，只要檢驗它相對於它們中的每一個是否具有特性E就足夠了。如果該問題相對於它的每一個元素都是確定的，那麼根據這一事實，它相對於所有這些元素也是如此。 正是在這裡，在我們的觀點中出現了分歧。策默羅先生不容許他自己考慮所有滿足某一條件的對象的集，因為在他看來，似乎這個集永遠不是封閉的；引入新對象總是可能的。另一方面，在談到是某一Menge M的一部分而且也滿足某一條件的對象的集時，他毫不躊躇。對他來說，情況似乎是，人們在不具有集的所有元素的同時是不可能具有Menge的。在這些元素中，他將選擇滿足給定條件的元素，他將能夠十分沉著地作出這一選擇，而不擔心被新的、未曾料到的元素的引入所擾亂，因為他手頭已經擁有所有這些元素。由於預先假定了這個Menge M，他築起了一道圍牆，不讓來自外部的入侵者闖入。但是，他沒有詢問，是否存在著他把其圈進他的圍牆內的內部入侵者呢？如果Menge M具有無限數目的元素，那麼這並不意味著這些元素能夠被想像為預先同時存在著，而是意味著新元素有可能不斷地產生；它們將在牆內產生而不是在牆外產生；這就是一切。當我說所有的整數時，我意味著所有已經被發明出來的整數和所有將有一天能夠被發明出來的整數。當我說空間中的所有點時，我意味著所有其坐標能夠用有理數、或用代數數、或用積分、或用任何其他能夠被發明出來的方法描述的點。正是這個「能夠」，就是無限。但是，有可能發明出將能夠用許多方法來定義的一些東西，如果我們把我們不久前所做的歸諸我們的問題E和我們的類K，那麼每當M的新元素被定義，問題E會再次產生；因為在我們能夠定義的元素中，將存在著一些其定義依賴這個類K的元素。以至於沒有可能避免循環論證。 這就是策默羅先生的公理為什麼不可能使我感到滿意的原因。在我看來，它們不僅不是明顯的，而且當有人問我它們是否擺脫了矛盾時，我將不知道回答什麼。作者認為，他通過摒棄任何超越於閉Menge的限制的思辨，正在避免最大基數的悖論。他認為他僅僅通過詢問那些是確定的問題，正在避免理察（Richard）的悖論；按照他附加於這一表述的意義，這排除關於能夠用有限數目的詞來定義的對象的一切考慮。但是，儘管他謹慎地關上了他的羊圈，我不敢擔保，他沒有放進想要吃羊的狼。只有他證明他免除了矛盾，我才會感到安心；我只是非常清楚地知道，他不能這樣做，因為這有必要引用歸納法原理，他對歸納法原理並不懷疑，但他後來提議對此進行證明。他應當忽略了它；這可能以邏輯錯誤為代價，但是我們至少會確信它。 6. 無限的作用 關於不能夠用有限數目的詞來定義的對象的推理是可能的嗎？甚至表達它們和了解我們正在談論的東西以及不說無意義的空話是可能的嗎？或者，相反地，它們必須被看作是不可思議的嗎？至於我，我毫不猶豫地回答，它們只不過是虛無而已。 我們在任何時候遇到的所有對象要麼是用有限數目的詞來定義的，要麼僅僅是不完全地被確定的，依然與許多其他對象不可區分；只有在我們把它們和與它們相混的其他對象區分開來後，我們才能夠恰當地進行推理；也就是說，只有當我們成功地用有限數目的詞來定義它們時。 如果我們考慮一個集，並且我們希望定義其中的不同元素，那麼這個定義能夠自然地被分為兩部分；該定義的第一部分對該集的所有元素都共同適用，它將引導我們把它們與這個集不相容的元素區別開來；這將是該集的定義；第二部分將引導我們把該集的不同元素彼此區別開來。 這兩部分中的每一個將由有限數目的詞構成。如果我們表達其定義是已知的一個集的所有元素，那麼我們希望表達滿足該定義第一部分的所有對象，我們將藉助於由我們可以希望的任何有限數目的詞組成的語句成功地定義它們。只有該定義的頭半部已知，你然後才能夠通過選擇你喜歡的下半部來完成它；但是，你必須完成它。如果我就集的所有對象陳述了一個命題，那麼我意味著，要是一個對象滿足該定義的第一部分，那麼就這個對象而論，該命題將依然為真，不管你描述第二部分的方式如何。但是，如果你像你可以希望地那樣能夠陳述它，那你陳述它就是必要的；否則，該對象就可能是不可思議的，該命題就會沒有意義。 對這種觀點提出幾點反對意見並不是不可能的，實際上已經這樣做了。由有限數目的詞構成的語句總是能夠編上號碼，因為例如可以按照字母順序把它們分類。如果所有可想像的對象必須用這樣的語句來定義，那麼也可以給它們編號。因此，沒有比現有的整數更可信的對象了；如果我們考慮空間，例如，如果我們從其中排除不能夠用有限數目的詞定義的、絕對虛無的點，那麼依然存在的點並不比現有的整數更多些。康托爾證明了對立面。 這僅僅是錯覺而已。要通過用來定義空間中的點的語句來描述空間的點，要按照形成這些語句的字母把這些語句和相應的點進行分類，這就是要構造一種不是斷言的分類方法，這種分類方法要承擔我在本章開頭所提到的所有的不便、所有不合邏輯的推論和所有的悖論。康托爾究竟意指什麼，他實際上究竟證明了什麼？在整數和能用有限數目的詞來定義的空間的點中，不可能發現滿足下述條件的對應規律： 1.這個規律能夠用有限數目的詞來陳述。 2.給定任何整數，可以在空間中找到對應的點，這個點將被完全確定，毫無歧義；這個點的定義由兩部分組成，即整數的定義和對應規律的陳述，它們能夠被歸結為有限數目的詞，因為這個整數能夠用有限數目的詞來定義，而對應規律能夠用有限數目的詞來陳述。 3.給定空間中的點P，我假定用有限數目的詞定義該點（我自己沒有摒棄使用這個定義與對應規律本身的關聯，這在康托爾的證明中是必不可少的），那麼將存在一個整數，該整數將毫無歧義地用對應規律的陳述和點P的定義來確定。 4.對應規律必須是斷言的，也就是說，如果使點P對應於一個整數，那麼當在空間中引入新點時，必須仍然使這個點P對應於同一個整數。那就是康托爾所證明的東西，這依然保持為真。我們注意到包含在這個簡短命題中的複雜意義：空間中點的基數比整數的基數大。 於是，我們不得不作出什麼結論呢？每一個數學定理必須能夠加以驗證。當我陳述這個定理時，我宣稱，我將試圖對它進行的所有驗證都會成功；即使這些證明之一需要超過一個人的能力的艱辛工作，我斷言，如果許多代人——即使需要一百代人——認為著手進行這種驗證是恰當的，它將依然會成功。該定理沒有其他意義，如果我們在它的陳述中提到無限的數目，那麼這將仍為真。但是，由於驗證僅能夠適用於有限的數目，所以由此可得，每一個關於無限數的定理，或者特別是所謂的無限集，或超限基數，或超限序數等等，只能是陳述有限數目的命題的簡明方式。如果它不是這樣，這個定理將不是可驗證的，而且如果它是不可驗證的，它將是無意義的。 由此可得，不可能存在任何關於無限數的明顯的公理；無限數的每一個特性無非是有限數的特性的翻譯。正是後者，它可以是明顯的，而且也許有必要通過把前者與後者進行比較和通過表明翻譯是嚴格的來證明前者。 7.小結 導致某些邏輯學家的悖論是由這樣的事實引起的：他們不能避免某些循環論證。當他們考慮有限的集合時，就發生這種情況，但是當他們對處理無限集合提出要求時，這種情況會更為經常得多地發生。在第一種情況下，他們能夠容易地逃出他們落入的陷阱；或者，更嚴格地講，他們自己設置了他們選好要落入的陷阱，他們甚至被迫十分小心地不錯過這個陷阱；簡而言之，在這種情況下，悖論只不過是遊戲而已。由無限概念產生出來的悖論是十分不同的；邏輯學家在沒有故意設置它的情況下落入其中是經常發生的，即使預先告誡了，他們還是感到不安。 由於不止一個充分的理由，作出解決這些困難的嘗試是有趣的，但是這些嘗試並不完全令人滿意。策默羅先生想構造一個無缺陷的公理系統；可是，這些公理僅僅能夠被視為任意的規定，因為有必要證明這些規定不是互相矛盾的，而且進行一次全面大掃除後再沒有留下任何作為這樣的證明的基礎的東西。因此，必須使這些公理是自明的。現在，它們通過什麼機制被構造出來？這些被採納的公理對有限的集合為真；它們不能被推廣到所有無限的集合，這種推廣只有對它們之中或多或少任意地選擇的某個數目才能進行。而且，在我看來，正如我在上面所說的，沒有一個關於無限集合的命題能夠在直覺上是明顯的。 羅素先生比較清楚地認識到要克服的困難的本性。無論如何，他沒有完全克服他，因為他的類型譜系假定，序數理論已被闡明。 至於我，我可以提出，我們受下述法則的指導： 1.永遠不考慮任何除了能夠用有限數目的詞定義的對象。 2.永遠不忽略這樣的事實：每一個關於無限的命題必須是關於有限的命題的翻譯和精確陳述。 3.避免非斷言的分類和定義。 迄今提到的所有研究工作者都有共同的特徵。他們打算把數學教給還不了解在無限和有限之間存在區別的學生；他們沒有很快教給學生這一區別由什麼組成；他們在開始不涉及這種區分的情況下教給學生關於無限所能了解的一切。再者，在他們使學生漫遊的遙遠領域，他們向學生指明隱藏有限數的小角落。 對我來說，這似乎是心理上的虛偽；人類的心智自然不會以這種方式進行，儘管我們可以使我們自己擺脫困境而沒有過多的自相矛盾的災難，可是這種方法卻不能不與健全的心理學相對立。 羅素先生無疑將告訴我，它並不是心理學問題，而是邏輯和認識論問題；而我將被導致回答，不存在獨立於心理學的邏輯和認識論；表明這種信念也許將結束這場討論，因為它將使不可彌補的觀點分歧變得明顯起來。 * * * [1] Menge，德語詞彙，相當於set（集）。——中譯者注 [2] domain是英語詞彙，Bereich是德語詞彙。——中譯者注 [3] subset是英語詞彙，Untermenge是德語詞彙。——中譯者注 [4] Mengen是Menge的複數。——中譯者注 [5] definit的德語詞。——中譯者注