最後的沉思 · 第三章 空間為什麼有三維？

1. 「拓撲學」和連續統 幾何學家通常在兩類幾何學之間作出區分，他們把第一類稱為度量幾何學，把第二類稱為射影幾何學。度量幾何學以距離概念為基礎；在度量幾何學中，當兩個圖形「全等」（在數學家賦予這個詞的意義上）時，則它們被認為是等價的。射影幾何學以直線概念為基礎。因為在射影幾何學中，認為兩個圖形等價並不一定要它們相等，只要它們通過射影變換彼此對應（即一個是另一個的射影）就足夠了。第二類幾何學往往被稱為定性幾何學；若與第一類幾何學相比較，它的確是這樣。顯然，在射影幾何學中，度量和量並不起什麼重要的作用。然而，也不完全如此。直線不是純粹定性的；在沒有作出某種度量或者在沒有使所謂的直尺（一種度量工具）沿一條線移動的情況下，就不能斷言這條線是直線。 但是，還有第三類幾何學，在這類幾何學中，量被完全排除了，它純粹是定性的，這就是拓撲學。在這個學科中，可以通過連續變形使一個圖形與另一個圖形對應，從而兩個圖形在任何時候都是等價的，不管支配這種變形的規律是什麼，只要保持連續性就行。於是，圓等價於橢圓，甚至等價於任何類型的閉曲線，但它與線段不等價，因為線段不是閉合圖形。球面等價於任何曲面，但是它不等價於圓環面，因為在圓環面上有一個洞，而球面上卻沒有。讓我們設想任何一類圖樣，一個笨拙的製圖員描畫這個圖樣的複製品。比例被歪曲了，用顫抖的手畫出的直線歪歪扭扭，結果成了不成比例的曲線。從度量幾何學的觀點來看，甚至從射影幾何學的觀點來看，這兩個圖形都不是等價的；但是，與之相反，從拓撲學的觀點來看，它們是等價的。 對於幾何學家來說，拓撲學是很重要的科學。拓撲學導致了一系列定理，這些定理像歐幾里得的定理一樣密切相關；正是從這組命題出發，黎曼（Riemann）構造了一種最著名的、最抽象的純粹分析理論。為了說明它們的本性，我將引用其中的兩個定理：（1）平面上的兩個閉曲線相交於偶數個點；（2）如果一個多面體是凸多面體（這就是說，如果不把它一切為二就不可能在它表面上描繪一個閉合線），那麼它的棱數等於頂點數加面數減去二；當多面體的面和棱是曲面和曲線時，這依然是正確的。 這就是拓撲學使我們如此由感興趣的東西，正是在這門學科中，幾何學直覺確實起著作用。在度量幾何學的定理中，當運用能力是由這種直覺組成時，那正是因為在無視一個圖形的定性性質時，也就是說，在忽視研究那些嚴格地屬於拓撲學的性質時，便不可能研究它的度量性質。人們常說，幾何學是一門關於粗製濫造的圖形的正確推理的藝術。這不是冷嘲熱諷，而是值得思考的真理。但是，什麼是粗製濫造的圖形呢？剛才提到的那位笨拙的製圖員所能畫出的圖形就是這類圖形。他或多或少公然地歪曲了比例；他把直線亂畫為鋸齒形；他的圓好像土堆一樣難看。但是，所有這一切無關緊要；它無論如何不會使幾何學家煩惱；這並不妨礙他正確地推理。 但是，缺乏經驗的畫圖者必然不用開曲線描繪閉曲線，或者不用沒有公共點的三條直線描繪相交於一點的三條直線，或者不用完整的曲面描繪有洞的曲面。在那種情況下，這位畫圖者的圖畫毫無用處，推理也變得不可能了。直覺不會受到圖畫中僅對度量幾何學和射影幾何學有意義的缺陷的妨礙。然而，只要這些缺陷涉及到拓撲學，直覺將變得不可能。 這種十分簡單的觀察指出幾何學直覺的真實作用；幾何學家需要畫圖形，至少需要形成它們的思想圖像，從而便利了這種直覺。現在，如果他儘量減小這些圖形的度量性質和射影性質的重要性，如果他僅僅專注於它們的純粹定性的性質，那麼唯有幾何學直覺在這裡真正起作用。我並不是說度量幾何學是建立在純粹邏輯的基礎上，或者其中沒有直覺真理的地位。但是，它們是另一類直覺觀念，類似於在算術和代數中起主要作用的直覺觀念。 拓撲學的基本命題是：空間是三維連續統。我已經在其他著作中討論了這個命題的起源，但卻是以極為簡略的方式討論的，為了闡明某些觀點：再次更詳細地考察一下它，在我看來並非是毫無意義的。 空間是相對的；所謂相對空間，我不僅意指在我們沒有注意到的情況下，我們可以轉移到空間的另一個區域（這是我們真正遇到的事情，因為我們並不覺察到地球的平動）；我不僅意指，一切物體的所有維數在我們不能知道其變化的情況下能夠成比例地增加，倘若我們的測量儀器經受到同樣的變化的話；而且我也意指，空間能夠按照某個任意的規律變形，假使我們的測量儀器也按照這個同樣的規律變形的話。 這可以是任何變形，但變形必須是連續的；也就是說，它必須是使一個圖形變換為從拓撲學觀點來看是等價的另一個圖形的那些變形之一。當空間被認為是獨立於我們的測量儀器時，空間從而既不具有度量的性質，也不具有射影的性質；它只有拓撲的性質（也就是說，僅具有在拓撲學中所研究的性質）。它是無定形的，也就是說，它並非不同於人們通過無論什麼連續性的形變能夠從它得出的任何空間。我將用數學語言加以解釋。在這裡有兩個空間E和E′；E中的點M對應於E′中的M′；點M有直角坐標x，y，z；點M′具有x，y，z的三個任何連續函數作為直角坐標。從我們所談到的觀點看來，這兩個空間並沒有什麼不同。 我們測量儀器的功能，尤其是固體的作用如何給人的智力提供更完滿地決定和組織這種無定形空間的機會，它怎樣容許射影幾何學畫直線網絡，怎樣容許度量幾何學測量這些點之間的距離群的基本概念在這個過程中起什麼根本性的作用，我在其他著作已經對此作了詳細的解釋。我認為所有這些論點都已得到確認，我不需要再重複這些了。 在這裡，我們只關心在拓撲學中所考慮的無定形的空間，即獨立於我們測量儀器的唯一的空間；它的基本性質——我是要說它的唯一的性質——是三維連續統的性質。 2. 連續統和截量 可是，什麼是n維連續統呢，它與維數較大或較小的連續統怎樣區別呢？讓我們首先回顧一下康托爾（Cantor）的學生最近得到的一些結果吧。在直線上的點和平面上的點之間，或者更一般地說，在n維連續統上的點和p維連續統上的點之間有可能建立一一對應關係。倘若我們不受平面上兩個無限鄰近的點對應於直線上兩個無限鄰近的點這個條件（即連續性條件）的約束，那麼這就是可能的。 因此，有可能用這樣的方式使平面發生變形而得到直線，只要這種變形不是連續的。另一方面，用連續的變形則不可能這樣。於是，維數的問題與連續性概念密切相關，而對於任何想要排除這一概念的人來說，那是沒有什麼意義的。 為了定義n維連續統，我們首先有解析定義：n維連續統是n個坐標的集合，也就是說，是能夠各自獨立變化的、而且假定所有的實值滿足某些不等式的n個量的一個集合。這個定義從數學的觀點來看儘管沒有缺點，但是無論如何不能使我們完全滿意。在連續統中，各種坐標可以說並非相互毗連；它們在它們自身之中聯繫起來，以致形成一個整體的各個方面。在空間研究的每時每刻，我們實現的就是所謂的坐標變換。例如，我們實現直角坐標系變換，要不然我們變換到曲線坐標。在研究另一個連續統時，我們也實現坐標變換；也就是說，我們用n個坐標的無論什麼樣的n個連續函數代替n個坐標。對於我們之中不是從剛才提到的解析定義出發，而是從某個更深奧的來源出發而導出n維連續統概念的人來說，這一操作是很自然的；我們感到，那些在連續統中是本質的東西並沒有變化。另一方面，對於那些僅僅從解析定義了解連續統的人來說，這一操作無疑是合理的，但卻是奇異的，未經證明的。 最後，這個定義儘量減小了連續統概念的直覺起源和這一概念所包含的一切豐富思想的重要性。它像那些從數學「算術化」以來在這門科學中變得如此頻繁的定義那樣反覆出現。從數學的觀點來看，我們所說的這些定義是沒有缺點的，但是它們卻不能使哲學家滿意。它們用由比較簡單的材料組成的結構代替被定義的對象和這個對象的直覺概念。因此，很容易看到，用這些材料可以有效地形成這個結構，但我們同時看到，要作出更多的東西同樣是可能的。未被揭示出來的是：為什麼用這種方式而不用另外的方式來組合這些材料，其中有什麼深刻的原因？我的意思並不是說，數學的這種「算術化」是不受歡迎的；我說它並非包羅萬象。 我將把維數的確定建立在截量概念的基礎上。首先，讓我們考慮一條閉曲線，即一維連續統。如果我們在這條曲線上取任意兩個我們將不容許我們自己通過的點，那麼該曲線將被截為兩部分，不可能從一部分到另一部分，因為我們雖然還在這條曲線上，但是卻不能通過被排除的點。另一方面，讓我們考慮一個閉曲面，它形成一個兩維連續統。在這個曲面上，可以取一兩個或任意數目的被排除的點。該曲面並不因為這樣就被分為兩部分；在這個曲面上，可以從一點到另一點，而不會遇見任何障礙，因為總可以繞過被排除的點。 可是，如果我們在曲面上畫出一條或多條閉曲線，如果我們把它們看作是不可逾越的截量，那麼該曲面就能夠被分為幾個部分。 現在，讓我們考慮空間的情形。我們既不能禁止通過某些點，也不能禁止越過某些線來把空間分為幾個部分，這些障礙總可以繞過去。必須禁止越過某些面，即某些兩維截量。這就是我們說空間具有三維的原因。 我們現在知道，n維連續統是什麼。當一個連續統能夠藉助於一個或多個本身是n-1維的截量被分為許多區域，則該連續統具有n維。這樣，n維連續統用n-1維連續統來定義。這就是遞歸定義。 在這個定義中，什麼東西給我以信心呢？什麼東西向我表明觀念實際上如何自然而然地在人們的頭腦中產生呢？它首先就是，許多基本讀物的作者並無意於惡作劇，但在他們著作的開頭部分卻作出了類似的事情。他們把體積定義為空間的部分，把面定義為體積的邊界，把線定義為面的邊界，把點定義為線的邊界；此後他們停頓下來，其類似性是明顯的。遵循這種定義，我們在拓撲學的其他部分重新發現截量的重要作用。例如，根據黎曼的觀點。是什麼東西把圓環面與球面區別開來呢？正是這樣的事實：我們不能在球面上畫一條閉曲線而又不把球面分為兩部分，可是卻存在著不把圓環面分為兩部分的閉曲線，為了保證人們分開圓環面，必須作出沒有公共點的兩個閉截量（閉曲線）。 還留下另一個值得考察之點。我們剛才考察的連續統是數學連續統；它們的每一個點都是獨特的東西，絕對不同於其他點，而且絕對不可分。由我們的感覺所直接揭示的連續統，我稱之為物理連續統，它們都是有差別的。支配這些連續統的規律是費希納（Fechner）定律，我將剝去通常套在它身上的華麗的數學外衣，以便把它還原到作為它的基礎的實驗數據的簡單項。根據估計，有可能分辨出一個10克重的砝碼和一個12克重的砝碼的差別，但恐怕不可能分辨出一個11克重的砝碼和一個10克重的砝碼或12克重的砝碼的差別。更一般地，可以有這樣兩個感覺集合：我們在沒有分辨出一個集合或另一個集合與第三個集合的差別的情況下就可以分辨出它們二者的差別。根據這一假定，我們能夠設想這樣一個感覺集合的連續鏈，它們中的每一個都無法與相接的一個區別開來，儘管鏈的兩端卻能夠很容易地加以分辨。這將是一維的物理連續統。我們也可以設想較複雜的物理連續統。這些物理連續統的元素將又是感覺的集合（但是我更喜歡用比較簡單的詞——元素）。另外，什麼時候我才能說，相似元素的系統S是物理連續統呢？無論任何時候，我都能夠把它的任意兩個元素看作是一個連續鏈的兩個末端，該鏈類似於我剛剛敘述過的鏈，它的所有元素都屬於S。因此，如果可以用不離開曲面的一條連續的線聯結該曲面的任何兩個點，那麼該曲面就是連續的。 我們能夠把截量的概念推廣到物理連續統，從而決定它們的維數嗎？我們顯然能夠這樣做。讓我們排除S中的某些元素以及所有不能與它們區分的元素。這些受到限制的元素完全可以是有限的數目，要不然就能夠通過它們的結合形成一個或多個連續統。這些有限的元素的集合將組成一個截量；在形成這一截量後，所發生的情況是，我們可以把連續統S分為幾個別的連續統，這時再也不能通過連續鏈從S中的任何元素到任何其他元素中去，這個鏈的元素無法與該截量的任何其他元素相區別。 因此，通過把我們自己限制到有限數目的元素之內，從而能夠被截的物理連續統將具有一維；如果一個物理連續統能夠藉助於本身是n-1維的物理連續統的截量來分割，那麼它將具有n維。 3. 空間和感覺 問題似乎被解決了；我們也許只需要把這個法則應用於作為空間的粗糙圖像的物理連續統，或者應用於對應的數學連續統——它是物理連續統的精製的圖像，是幾何學家的空間。但是，那是一種假象；如果我們由以推知空間的物理連續統是直接通過感覺揭示給我們的，那麼一切也許是幸運的；然而，事實卻遠非如此。 讓我們看看，從我們的大量感覺中實際上是怎麼有可能推導出物理連續統的呢。物理連續統的每一個元素都是感覺集合；首先考慮一下同時的感覺的集合，即意識的狀態，這是最簡單的集合。然而，我們的每一個意識狀態是一種極其複雜的東西，以至於我們從來也不能指望看到兩個意識狀態變得不可區分。可是，為了構造物理連續統，從以前已說過的情況來看，基本的問題是，它們的兩個元素在某些情況下能夠被看作是不可區分的。可是，我們永遠也不能說：我不能把我目前的思想狀態與我前天同一時刻的思想狀態區分開來。 因此，我們有必要通過積極的思想操作，通過忽略兩個意識狀態的差別，從而一致認為二者是等價的。例如，我們可以忽略某些感官的感覺，這將是最為簡單的。我已經說過，我無法分辨一個10克重的砝碼和一個11克重的砝碼的差別。可是，情況也許是，如果我不斷地實驗，那麼一個10克重的砝碼所引起的壓力感覺被各種不同的嗅覺和聽覺伴隨著，當用一個11克重的砝碼代替一個10克重的砝碼時，這些各種各樣不同的感覺變化了。正因為我忽略了這些特異的感覺，我才能夠說，兩個意識狀態是不可區分的。 有可能規定更複雜的條件；也有可能以不僅把同時的感覺的集合，而且把相繼的感覺的集合即感覺系列看作是我們的連續統的元素。接著，有必要規定基本的條件，而且為了認為連續統兩個元素是等價的，有必要指明二者必須具有的共同特性（不管它們是同時的感覺的集合還是相繼的感覺的集合）。 於是，在定義物理連續統的場合，有必要作出雙重選擇：第一，選擇作為這個連續統的元素的同時的或相繼的感覺集合；第二，選擇定義兩個元素必須被認為是等同的情況的基本條件。 為了得到空間，必須怎樣進行這種雙重選擇呢？我們能夠滿足於考慮同時的感覺的集合或者有必要考慮感覺系列嗎？特別是，我們能夠以由於忽略某些感官的知覺而形成的最簡單的和最自然的基本條件為滿足嗎？否！ 這樣的否定是不可能的；我們不能從我們的感覺中選擇出那些將向我們傳達空間概念並且只傳達空間概念的感覺。沒有一種感覺不藉助於其他感覺就能夠向我們傳達空間概念；也沒有一種感覺不傳達大量與空間毫無關係的東西。 例如，我們分析一下所謂接觸的知覺，這是我們覺察到的知覺。經驗告訴我們，如果我們用兩個大頭針接觸我們的皮膚，倘使它們相距足夠遠，那麼我們的意識就能夠分辨出這兩個大頭針，如果使它們相互靠得很近，我們就無法在二者之間作出區分了。而且，區分它們的最小距離依據身體部位而變化。我們通常說，皮膚被分為各個部位，每一個部位都是同一感覺神經的管轄範圍；如果兩個大頭針扎入同一部位，那麼只有單根神經受到刺激，我們只意識到一個大頭針；但是，換一種情況，如果它們扎入兩個部位，結果影響到兩根神經，我們便覺察到兩個大頭針。這並不完全令人滿意；我們無法用這種方式發現物理連續統的特性。讓我們設想一下，我們改變兩個大頭針的位置，而使它們已經很小的距離保持恆定。由於這個距離很小，可以發生下述情況：兩個大頭針將扎入同一部位，結果只產生一個知覺。但是，如果我們一點一點地改變它們的位置，而不改變它們的距離，在某一瞬間，將出現這樣的情況：它們中的一個將扎入該部位之外，而另一個還處於該部位之內。在此瞬間，我們應當感覺到兩個大頭針，但我們所觀察到的情況並非如此。我們不可能用這種方式推斷出物理連續統的概念，但是卻可以推斷出由像有那麼多部位那麼多的獨特情況所形成的離散集的概念。最好是姑且承認，大頭針的接觸不僅影響最近的神經，而且也影響相鄰的神經，而當距離增大時，其強度亦隨之減小。因此，讓我們設想，我們正在把兩個大頭針接觸的作用進行比較。如果兩個大頭針的距離很小，那麼同一神經受到作用；某一個大頭針對於同一神經的刺激強度將無疑是不同的，但是這種差別太小了，以至於按照費希納的一般法則也難以分辨出來。如果一根神經受到大頭針A的刺激而沒有受到B的刺激，那麼它僅僅是受到大頭針A 的輕微刺激，這個刺激將低於「意識閾限」。因此，兩個大頭針的影響將是不可區分的。 這樣，我們有了我們為構造物理連續統所需要的一切；我們只要使兩個大頭針沿著我們皮膚的表面移動，我們只要注意在哪一種情況下我們的意識能分清它們。我們已略去了（那是我上面所提到的作為我們基本的條件的東西）大量的事實：每一個感覺網絡的刺激強度、大頭針在皮膚上所施加的或大或小的壓力、接觸的性質。觸覺揭示出了所有這些事實，但是我們排除了它們，以便只保持其特性是幾何學的那些事實。這樣一來，我們推斷出空間概念了嗎？沒有；首先，這樣構造出的連續統像皮膚本身的表面一樣只有兩維。其次，我們十分清楚地知道，我們的皮膚是可動的，皮膚上的特定點並不總是對應於空間的特定點；當我們的身體變形時，皮膚上兩點之間的距離就要發生變化。毫無疑問，軟體動物正是用這種方式想像空間的，但是這與我們的空間概念無關。 3435 同樣的情形對視覺也是真的；照射到視網膜兩點上的兩束光，根據這兩點的距離是大還是小，要麼給我們以兩個光斑的印象，要麼只給我們一個光斑的印象。這相當於上述的兩個大頭針；我們能夠忽略光的顏色和強度，利用它們構造物理連續統；這個物理連續統正像視網膜的表面一樣，將具有兩維。第三維是通過眼睛的雙目視覺的會聚作用引入的，這就是所謂的視覺空間（visual space）。它高於觸覺空間（tactile space），首先是因為我們懷著一點善意給它以三維，其次是因為視網膜無疑是可動的，而從固體的意義上講，皮膚卻在所有方向上都是柔韌的。於是，我們被誘使說，真實的空間存在於我們企圖確定我們所有的感覺起源的地方。這還不能使人滿意。不僅眼睛是可動的，以至於空間的特定點並不總是對應於視網膜的特定點和眼睛的特定會聚度；而且這也無法解釋，為什麼第三維如此明顯地與已經引入的其他兩維不一致，也無法解釋為什麼盲人的幾何學和我們的相同。 如果我們希望把視覺空間和觸覺空間結合起來，那麼將有五維而不是三維或兩維；將依然存在著用什麼過程解釋五維能夠簡化為三維的任務；如果我們希望把其他感覺引入這種結合之中，那麼維數將進一步增加。 還要用幾句話來解釋，為什麼觸覺空間和視覺空間是同一個空間。 4. 空間和運動 因此，情況似乎是，我們不能通過考察同時的感覺的集合來構造空間，我們必須考慮感覺系列。總是有必要再次提到我前面已經說過的東西。某些變化表現為位置的變化，另一些變化表現為沒有幾何學性質的狀態的變化，這究竟是為什麼？為此，我們必須首先區分外部變化和內部變化；外部變化是非隨意的，它們並不被肌肉感覺所伴隨；內部變化是我們身體的運動，我們可以把它們與其他變化區別開來，因為它們是隨意的，並被肌肉的感覺所伴隨。內部變化能夠矯正外部變化，例如我們以這樣的方式用我們的眼睛跟蹤運動著的物體，使它的映像總是返回到視網膜的同一點上。可以被這種矯正感受的外部變化是位置變化；如果它不能被這種矯正感受，它就是狀態變化。 從定性的觀點來看是完全不同的兩種外部變化，如果能夠用相同的內部變化來矯正它們，那麼它們就被認為是對應於同一位置變化。也可以這樣說，如果兩個內部變化能夠矯正相同的外部變化、那麼它們就能由毫無共同之處、但是卻對應於同一位置變化的肌肉感覺系列組成。這就是當我們說，有許多路線能夠從一點引到另一點時，我們用通常的用語所表達的意思。 因此，重要的是，為了到達特定的物體，必須做的就是動作。對於我們來說，這些動作的意識無非是伴隨它們的肌肉的感覺集合。 由此推斷，某一物體與我的一個手指接觸；比方說，與我右手的食指接觸。從這一事實我經驗到觸覺T；同時，我從這個物體經驗到視覺V。當把該物體移開時，感覺T逐漸消失，視覺V被新的視覺V′代替；這是一種外部變化。假定我希望通過復原感覺T，即使我的食指再次接觸該物體，來部分地矯正這一外部變化。為了做到這一點，我必須完成某些動作，對我來說，這些動作通過肌肉感覺系列S表示出來。我知道，這是因為我或我的祖先的大量經驗告訴我，當感覺T消失而視覺從V變到V′時，可以通過對應於該系列S的運動來復原感覺T。我同樣清楚地知道，對我來說，我通過不用系列S，而用另外的系列S′或S″描述它們自身的其他動作而能夠得到相同的結果。 所有這些肌肉感覺系列S，S′，S″……或許沒有共同的元素；我之所以比較它們，是因為我知道，它們中的任何一個在視覺V變為V′的每一時刻都能夠復原感覺T。用我們通常的語言，已經通曉幾何學的我們將說，對應於肌肉感覺系列S，S′，S″的各種動作系列有這樣的共同之處：在它們任何一個中，我們食指的初始位置和最終位置依然相同。其他每一情況可能不同。 這樣，我未被引導去區分這些不同的系列S，S′，S″……，也沒有把它們視為單一的感覺。我不想去區分與這些系列差別過小的肌肉感覺系列。屆時，我將有構造物理連續統的方法。事實上，我已選出這個連續統的元素，它們是肌肉感覺系列，而且我有了「基本的條件」，這些條件告訴我，在哪一種情況下，這些元素中的兩個必須被視為是等同的，正是這種連續統有三維。 可是，這並非一切。我們剛剛定義了一個是真實空間的連續統；正是這個空間，被看作是用我的一個手指描述的。但是，我有幾個手指（而且從與我有關的觀點來看，所有我的皮膚上的點都可以視為手指）。我的不同的手指將描述相同的空間嗎？是的，毫無疑問，可是這意味著什麼呢？這意指的是性質的集合，用通常語言不容易描述它，如果容許我用某些符號，我可以嘗試解釋它。我將考慮兩個手指，並稱之為α和β；手指α比如說是右手的食指，我們為定義系列S，S′，S″……曾使用過它。然後我將寫出 S≡S′（modα） 這意味著，如果對應於S的動作恢復用手指α所經驗到的觸覺，那麼同樣的情況對於對應於S′的動作也是真的，反之亦然。類似地，我將寫出 S1≡S1′(modβ) 來描述下述事實：如果對應於S1的動作恢復用手指β所經驗到的觸覺，那麼同樣的情況對於對應於S1′的動作也是真的。 在作這種推斷之後，我將假定存在著兩個特定的肌肉感覺系列s和s1，它們是以下述方式被定義的，我將設想，手指β由於與一個物體接觸而經驗到觸覺。通過完成對應於s的動作，這一感覺將消失。可是，最終將是手指α經驗到觸覺。我通過經驗知道，在這些動作之前，在手指β感覺到接觸的每一時刻（或者，至少幾乎在每一時刻），都會發生這種情況。（我之所以說幾乎，是因為要相繼發生，便要求該物體在這一時間間隔內不運動。）用我們通常的語言（這種語言對我們來說比較清楚，但是我不敢使用它，因為我講的是還不具有任何幾何學知識的人），我可以說，對應於s的動作把手指α引到手指β原先占據的位置。對於s1來說，相反的情形將是真的；對應的動作將把手指β引向手指α原先占據的位置。 如果這兩個系列s和s1存在關係 S≡S′（modα） 將導致作為結果的下述關係： s+S+s1≡s+S′+s1(modβ) 如果我們回想一下符號的意義，我們便會立即相信上述關係，我們還可以從它毫無困難地推出，由α和β產生的兩個空間是同構的，特別是，它們有相同的維數。 如果系列s和s1不存在，那麼同樣的情況便不可能為真。事實上，讓我們設想，不可能找到一個動作系列，這個系列將在手指β與物體接觸的感覺上引起手指α與同一物體接觸的感覺——肯定地或者至少是幾乎肯定地——這時我們應當如何推理呢？我們可以說，手指β感覺到物體沒有位於空間同一點，它感覺到物體隔著一段距離；另一方面，每次手指β之所以感覺到該物體，那可能是因為物體處於空間中的同一點A。因而必須存在著把手指α引向A點的動作系列。由於物體處於A點，手指a應該能夠感覺到物體，這件事總是應該發生。因此，如果我們假定不存在具有這一性質的動作系列，那麼我們就必須承認，手指β感覺到在一段距離之外的接觸；換句話說，為了確定物體在空間的位置，對於該物體來說，被手指感覺到並不充分；最後，這也就是說，空間必定比用手指按照我們描述過的方式產生的物理連續統有更多的維數。 例如，我將假定，空間具有四維，我將用x，y，z ，t來表示四個坐標。我將假定，手指β每時都感覺到與物體接觸，此時三個坐標x，y，z 對於手指和物體都是相同的，而不管第四個坐標可能是什麼；而且，手指α每時都感到與物體接觸，此時三個坐標x，y，t對於物體和這個手指都是相同的，而不管坐標z 可能是什麼。在這些條件下，讓我們把我們的法則用來構造由β產生的物理連續統；我們將發現，它只有三維，這三維對應於三個坐標x，y，z，坐標t不起任何作用。按同樣的方法，由α產生的物理連續統有三維，它們對應於x，y，t。但是，我們不能夠找到對應於這樣的肌肉感覺系列s的動作系列，以至於對α的接觸感覺肯定地隨著對β的接觸感覺。 事實上，設x1，y1，z1，t1是物體的坐標；手指β在動作之前的坐標是x0，y0，z0，t0；手指α在動作之後的坐標是x0′，y0′，z0′，t0′。我們將用下述寫法表示手指β在動作之前感覺到接觸這一事實： x0=x1，y0=y1，z0=z1 (1) 我們將用寫法 x0′=x1，y0′=y1，z0′=z1 (2) 表示α在動作之後感覺到接觸的事實。 因為s存在，我們必然能夠以這樣的方法來選擇x0，y0，z0，t0和x0′，y0′，z0′，t0′使得關係式（1）能夠導致關係式（2），而不管x1，y1，z1，t1可能是什麼。很清楚，這是不可能的。恰恰是不可能形成s的這一點在這種情況下向我們揭示出，空間應當有四維，而不像β產生的物理連續統那樣只有三維。 再者，如果我們引入視覺，那麼我們實際上會觀察到某種類似的事情。讓我們考慮視網膜上的一點；我們能夠賦予它像我們的手指α和β一樣的作用。我們能夠設想必然使物體的映像反映到視網膜的點γ上的動作系列或肌肉感覺S的對應系列。我們能夠利用這個系列，以便定義類似於由α或β所產生的物理連續統。這個連續統將只有兩維。但是，我們不能構造類似於s的系列，也就是說，不能構造這樣一個動作系列：作為在點γ感覺到的視覺結果，該動作系列肯定引起手指α感覺到的觸覺。換句話說，因為我們觀察到物體的映像在γ發生，就是說我們能夠確定該動作必然引導我們的手指與這個物體相接觸，這沒有充足的理由。我們缺乏一項關於物體的距離的資料。這就是為什麼我們說，視力在一段距離之外起作用，空間有三維——比γ產生的連續統多一維。 從這個簡短的敘述中，我們看到，導致我們把三維賦予空間的實驗事實是什麼。考慮到這些事實，在我們看來，賦予空間以三維，而不是四維或兩維，更為方便一些。但是，「方便」這個詞不可能有足夠強的說服力。把兩維或四維賦予空間的人會發現他自己在像我們這樣一個世界的生活鬥爭中是很不利的。這實際意味著什麼呢？讓我再次提到我的符號，例如全等 S≡S′(modα)， 它的意義我在上面已經解釋過了。把兩維賦予空間就得要承認我們自己並不承認的類似的全等。這時，我們便被導致用做不到的動作S′來代替能順利進行的動作。相反地，把四維賦予空間，就會排斥我們自己承認的全等。因此，我們就會剝奪我們自己用其他動作S′代替動作S的可能性，儘管S′這些動作同樣有效，並且在某些情況下，它也許還會帶來特殊的好處。 5. 空間和自然界 可是，問題能夠從完全不同的觀點提出來。直到現在，我們採取的觀點純粹是主觀的，純粹是心理學的，或者如果我們希望的話，也可以說是生理學的。我們只考慮了空間與我們的感覺的關係。另一方面，我們能夠採取物理學的觀點，我們可以問我們自己，是否能把自然現象定域在其他空間內，而不是定域在我們自己的空間內，例如定域在兩維或四維空間內。物理學向我們揭示的規律是用微分方程描述的，在這些方程中包含著某些質點的三個坐標。用其他方程，例如包含具有四個坐標的一些質點的方程，描述同一規律是不可能的嗎？或者，這也許是可能的，但是由此得到的方程卻較不簡單？最後，或者它們卻是如此簡單，而我們卻要完全拋棄它們，只是因為它們擾亂了我們的思想習慣？ 當我們說用其他方程描述同一規律時，我們意味著什麼呢？讓我們考慮兩個世界M 和M′。我們能夠在這兩個世界中發生的或可能發生的現象之間建立這樣一種對應關係，使得對於第一個世界的每一個現象φ對應於另一個世界完全確定的現象φ′也可以說是φ的映像。從而，如果我假定，在遵循支配世界M的規律的情況下，現象φ的必然結果是某個現象φ1′，作為φ的映像的現象φ′的必然結果，在遵循支配世界M′的規律的情況下恰恰是現象φ1的映像中φ1′，那麼我們就能夠說，這兩個世界服從同一規律。現象φ和φ′的質的本性對我們來說並不怎麼重要；「平行關係」是可能的這一點就有充分的理由了。 而且，事實上，現象的質的本性只是我們的感官關心的東西，我們已經同意採取超心理學的觀點，因此可以忽略我們感官的感覺，而只把注意力放在現象的相互關係上。事實上，例如當物理學家用僅看到運動質點的分子運動論的氣體來代替我們通過經驗所熟知的產生壓力和熱感覺的氣體時，或者用以太振動來代替我們經驗到的光和光產生的色感時，他就是這樣做的。 只要考慮一個簡單的例子，即天文學現象和牛頓定律的例子就足夠了。我們觀察到的東西不是天體的坐標，而僅僅是它們的距離。因此它們的運動規律的通常表達式是這些距離和時間的微分方程。現在，空間兩點之間的距離是一個已知的這兩點的坐標的單葉函數。讓我們通過在微分方程中用這種函數代替每個距離，來變換我們的微分方程。這時我們便有它們的通常形式的方程，天體的坐標本身包含在這種形式中。 但是，我們可以用其他函數來代替這些距離，從而能夠得到這些方程的其他形式。從與我們有關的觀點來看，所有這些形式是同等合理的，因為它們服從現象中的「平行關係」。讓我們設想天體以這樣的方式處於四維空間中，它們每一個的位置不再由三個坐標、而是由四個坐標來確定。接著，讓我們在方程中用兩個天體的八個坐標的無論什麼函數來代替迄今我們視為描述這兩個天體之間距離的量。在通常的四維空間中，根本沒有必要使這個函數是描述兩點之間的距離的函數；它可以是無論什麼函數，因為這不會違反「平行關係」。 從而，我們將得到我們方程的一種形式，在這種形式中，涉及天體在四維空間的坐標。這將是以四維空間假說為基礎的天文學定律的新表述，這一表述不會與該定律背道而馳，因為它服從「平行關係」條件。不管怎樣，這樣得到的方程不用說遠沒有我們通常的方程簡單，這一點是很清楚的。 毋庸置疑，同樣的情況對於物理學規律來說也是真的。存在著一般的理由，使得它應當如此嗎？即在所有的物理學分支中，是有關三維性的假說給這些方程以其最簡單的形式嗎？這個理由與我在這篇文章的第一部分所提到的東西，與絕對地迫使一切人相信三維性的東西，或者在人們處於生活鬥爭不利地位的困境下迫使人們好像相信三維性似的那樣行動的東西有任何關係嗎？ 在這裡，有必要簡短地說一點題外話。例如，讓我們再次把我們通常的空間歸於我們的創造者。我們說空間是相對的，這意味著物理學定律在這個空間的所有部分是相同的；或者，用數學語言來說，就是描述這些規律的微分方程不依賴於坐標軸的選擇。 如果我們考慮一個完全孤立的系統，那麼這沒有什麼意義；不可能觀察這個系統的點的坐標，而只能觀察它們的各自距離。觀察將不會告訴我們，這個系統的性質是否取決於該系統在空間的絕對位置，因為這個位置是不可觀察的。 如果系統不是孤立的，事情也不可能是這樣（如果我們希望以嚴格的精確性進行論證的話），因為在沒有考慮到外部物體作用的情況下，不可能描述支配這個系統的規律。可是，卻存在著幾乎孤立的、被其他物體包圍的系統，這些物體要近到足以被看得見，然而又遠到難以感覺到它們的作用力。對於與恆星有關的我們的地上世界來說，所發生的情況就是這樣。因此，我們可以闡明這個地上世界的規律，就好像恆星不存在一樣，但我們仍可以把這個世界與完全確定的並與這些恆星不變地聯繫在一起的坐標系關聯起來。所以，經驗告訴我們，坐標系的選擇無關緊要，當進行坐標變換時，方程不會不成立。正如我們知道的，坐標軸的可能變換的集合形成一個六維群。 讓我們撇開我們通常的空間不談，讓我們用在服從現象「平行關係」的意義上是等價的其他方程未代替我們的方程。每當我們涉及到近似孤立的系統時，將存在極其普遍的事實和將保持不變的不變性特性；將存在不會使方程不成立的變換群。這些變換將不再具有坐標軸變換的含義，它們的含義能夠是無論什麼東西，可是這些變換所形成的群必須始終與我們剛剛提到的六維群保持同構。沒有這一點，就不會有任何平行關係。 因為這個群在所有的情況下起著重要的作用，因為它與坐標軸在通常空間中變換的群同構，還因為它如此密切地和我們的三維空間聯繫在一起，由於這些理由，當這個群以最自然的方式，即通過引入三維空間被提出時，我們的方程將取它們最簡單的形式。 並且由於這個群本身與被認為固體的每一單元的位置變化的群同構，由於服從這個群的規律的運動固體的這一性質通過最終分析只不過是我剛剛注意到的不變性這一特徵的特例，所以我們看到，在導致我們把三維賦予空間的物理學的根據和在本章第一節提出的心理學的根據之間，並不存在基本的差別。 6. 「拓撲學」和直覺 我想附加一點評論，它僅僅與我已經說過的東西間接有關。我們在上面看到了拓撲學的重要性，我解釋道，在這裡有幾何學直覺的合法領域。這種直覺存在嗎？我將回想起，存在著不要直覺也想取得進展的企圖，而且希爾伯特（Hilbert）先生試圖建立一種所謂的理性幾何學，因為這種幾何學一點也不訴諸直覺。它以一定數目的公理或公設為基礎，這些公理或公設被認為不是直覺的真理，而認為是偽裝的定義。這些公理被分為五組。關於其中的四組，我已在某些場合提到了，在某種程度上把它們視為只包含偽裝的定義是合理的。 在這裡，我想著重強調一下其中的一組；即第二組，「次序公理」組。為了充分解釋這個組涉及什麼內容，我將引用它們中的一個。如果在任一線上的A和B之間有任意一點C在A和C之間有任一點D，那麼點D將處在A和B之間。按照希爾伯特先生的觀點，其中沒有直覺的真理；我們同意說，在某些情況下，C在A和B之間，可是除了我們知道點或線是什麼之外，我們不知道這意味著什麼更多的東西。按照我們的法則，為了在任意三個點之間指定任何關係，我們能夠使用「在……之間」這個表述，只要這個關係滿足次序公理即可。於是，這些公理在我們看來好像是「在……之間」這個詞的定義。 因此，有可能利用這些公理，只要滿足這個條件，即證明它們不相互矛盾；而且，幾何學也有可能建立在它們的基礎上，在這種幾何學中，將不需要圖形，它能夠被既沒有視覺、觸覺，也沒有肌肉感覺以及任何感覺的人所理解，它可以歸結為純粹的知性。 是的，這種人也許會在下述意義上來理解：他十分清楚地認識到，這些命題在邏輯上可以使一個從另一個中推導出來；但是，這些命題的集合對他來說似乎是人為的和奇異的，他不理解為什麼是這種命題集合，而不是許多其他可能的集合更受歡迎。 如果我們沒有經歷同樣的驚奇，那正是因為對於我們來說，公理實際上不是簡單的定義和任意的約定，而是真正證明為正確的約定。至於其他各組公理，我依然認為，它們之所以被證明是正確的，是因為它們是與我們熟悉的某些經驗事實最近似符合的東西，因而對於我們來說，它們是最方便的。談到次序公理，在我看來，似乎存在著某種更多的東西；它們是與拓撲學有關的真實的直覺命題。我們看到，點C在一條線上其他兩點之間的事實與藉助於由不可逾越的點形成的截量去截取一維連續統的方法有關。 可是，接著便產生了一個問題：像次序公理這樣一些真理是通過直覺向我們揭示出來的；但是，這是有關空間直覺本身的事情呢，還是有關一般的數學連續統或物理連續統直覺的事情呢？倘若贊成第一種解決辦法，我們可以容易地論證空間，但是要論證更複雜的連續統、要論證不能在空間中來描述的大於三維的連續統就困難得多了。 而且，如果第一種解決辦法被採納，這裡的全部討論會變得毫無用處；我們之所以將三維性直率地賦予空間，是因為三維連續統是我們能夠具有清晰直覺的唯一連續統。 但是，還存在著大於三維的拓撲學。我沒有說它是一門容易的科學，我為此付出了巨大的努力，沒有考慮到會在其中遇到這麼多困難。但是，無論如何，這門科學是可能的，它並未全部停留在分析學上。要是不持續在訴諸直覺，就無法成功地把它探究下去。因此，確實存在著大於三維的連續統的直覺；與通常的幾何學直覺相比，如果它要求比較持久的注意力，那麼這無疑是一個習慣問題，也無疑是當維數增加時，連續統複雜性急劇增加的結果。我們難道在我們的中等學校沒有看到平面幾何學得很好的學生「無法想像空間」嗎？那不是他們缺乏三維空間的直覺，而是他們不習慣於運用它，他們需要作出努力才能如此。而且，為了想像空間圖形，我們難道不去相繼地想像這個圖形的各種可能的遠景嗎？ 我將得出結論，我們大家都有任意維數的連續統的直覺概念，因為我們具有構造物理連續統和數學連續統的能力；而且，這種能力之所以在任何經驗之前就在我們身上存在著，是因為沒有它，經驗嚴格說來是不可能的，會淪為不適合任何有機體的沒有理性的感覺；是因為這種直覺只不過是我們具有這種本能的意識。然而，這種本能可以以不同的方式來運用；它能夠使我們像構造三維空間那樣來構造四維空間。正是外部世界，正是經驗，引導我們在一種意義、而不是在另一種意義上運用它。