最後的沉思 · 第二章 空間和時間
引起我返回到一個我經常討論的問題的理由之一是，最近在我們關於力學的觀念中發生的革命。如同洛倫茲所構想出的，相對性原理會不會把全新的空間和時間概念強加於我們，從而迫使我們拋棄似乎已經建立起來的一些結論？我們不是曾經說過，幾何學被心智設想為經驗的結果，但是毫無疑問，經驗並沒有把它強加於我們，以至於一旦把它構造出來，它就免除了一切修正，超越於來自經驗的新攻擊所能到達的範圍？而且，作為新力學建立的基礎的實驗看來不是已經震撼它了？為了看到我們針對它應該思考的東西，我必須簡短地回憶幾個基本的觀念，在我以前的著作中，我已經力圖使它們變得顯而易見。
首先，我將排除所謂的空間感覺的觀念，該觀念把我們的感覺定域在一個預定的空間裡，這種空間概念先於所有的經驗而存在，先於所有經驗的這種空間具有幾何學家的空間的一切性質。事實上，什麼是這種所謂的空間感覺呢？當我們希望了解動物是否具有空間感覺時，我們做了什麼實驗呢？我們把動物所需要的目標放在動物附近，我們觀察動物是否知道不用試錯法作出容許它接近目標的動作。我們是怎樣覺察到別人被賦予這種寶貴的空間感覺呢？正因為他們為了接近目標也能夠有目的地收縮他們的肌肉，而目標的存在在他們看來是被某些感覺揭示出來的。當我們觀察我們自己意識中的空間感覺時，還有什麼更多的東西呢？在改變了的感覺的參與下，我們在這裡又認識到，我們能夠進行我們的動作，這些動作能夠使我們接近被我們視為是這些感覺的原因的目標，從而能夠使我們作用於這些感覺，使它們消失或使它們更強烈。唯一的差別在於，為了意識到這一點，我們不需要實際進行這些動作；我們在心中想到它們就足夠了。這種理智不能傳達的空間感覺只能是一些埋藏在無意識的最深處的某種力量，因此對我們來說，這種力量只能夠通過它引起的行為來認識；這些行為恰恰就是我剛說過的動作。因此，空間感覺簡化為某些感覺和某些動作之間的恆定的聯繫，或者簡化為這些動作的表象。（為了避免經常重複出現的含糊其辭，不管我經常重複解釋，是否有必要再次重申，我用這個詞並不意味著在空間中表象這些動作，而是意味著表象伴隨動作發生的感覺？）
那麼，空間為什麼是相對的？它在多大程度上是相對的？很清楚，如果我們周圍的所有物體和我們身體本身以及我們的測量儀器在它們彼此之間的距離絲毫不變的情況下被轉移到空間的另一個區域，那麼我們便不會覺察到這一轉移。這就是實際所發生的情況，因為我們被地球的運動攜帶著而不能覺察這一點。假使所有的物體也和我們的測量儀器以相同的比例伸長，我們也不會覺察到它。因此，我們不僅無法知道物體在空間中的絕對位置，甚至連「物體的絕對位置」這種說法也毫無意義，我們同意僅僅說它相對於另一個物體的位置；「物體的絕對大小」和「兩點之間的絕對距離」的說法也無意義；我們必須說的只是兩個大小的比例、兩個距離的比例。但是，就此而言還有更多的東西：讓我們設想，所有的物體都按照某一比原先的規律更複雜的規律形變，不管按照任何規律，我們的測量儀器也按同一規律形變。我們也將不能覺察出這一點；空間比我們通常認為的還要相對得多。我們只能覺察到跟同時發生的測量儀器的形變不相同的物體的形變。
我們的測量儀器是固體；要不然就是由相互可移動的固體製造，它們的相對位移通過這些物體上的標記、通過沿刻度尺移動的指針來指示；我們正是通過讀這些刻度尺來使用我們的儀器的。因此，我們知道，我們的儀器或者以與不變的固體相同的方式改變位置，或者沒有改變位置，由於在這種情況下，所說的指示沒有改變。我們的儀器也包括望遠鏡，我們用它進行觀測，以致可以說，光線也是我們的儀器之一。
我們關於空間的直覺觀念會告訴我們更多的東西嗎？我們剛剛看到，它被簡化為某些感覺和某些動作之間的恆定聯繫。這等於說，我們用來作這些動作的四肢也可以說起著所謂測量儀器的作用。這些儀器沒有科學家的儀器精確，但對於日常生活來說已足夠了，與原始人的智力相仿的兒童，用這些肢體來測量空間，或者更確切地講，構造滿足他日常生活需要的空間。我們的身體是我們的第一個測量儀器。像其他測量儀器一樣，它也由許多可以彼此相對運動的固體部件構成，某些感覺向我們提供了這些部件相對位移的信息，正如在人造儀器中的情況一樣，我們知道我們的身體作為一個不可變的固體是否改變了位置。總而言之，我們的儀器（兒童把它們歸功於自然，科學家把它們歸功於他的天才）以固體和光線作為它的基本要素。
在這些條件下，空間具有獨立於用來測量它的儀器的幾何學特性嗎？我們說過，如果我們的儀器經受了同樣的形變，那麼空間也能夠在我們意識不到它的情況下經受無論什麼樣的形變。因此，空間實際上是無定形的、鬆弛的形式，沒有剛性，它能適應於每一個事物；它沒有它自己的特性。〔把空間〕幾何化就是研究我們的儀器的性質，即研究固體的性質。
但是，由於我們的儀器是不完善的，每當儀器被改進時，幾何學都必須修正。建築師應當能在他們的說明中寫上：「我提供了比我的競爭對手優越得多、單純得多、方便得多、舒適得多的空間。」我們知道，這並非如此；我們會被誘導去說，如果儀器是理想的話，那麼幾何學就是研究儀器所具有的性質。但是，為了做到這一點，就必須知道，什麼是理想的儀器（而我們並不知道，因為不存在理想的儀器），只有藉助幾何學，才能夠確定理想的儀器；這是一種循環論證。於是，我們將說，幾何學研究一組規律，這些規律與我們的儀器實際服從的規律幾乎沒有什麼不同，只是更為簡單而已，這些規律並沒有有效地支配任何自然界的物體，但卻能夠用心智把它們構想出來。在這種意義上，幾何學是一種約定，是一種在我們對於簡單性的愛好和不要遠離我們的儀器告訴我們的知識這種願望之間的粗略折中方案。這種約定既定義了空間，也定義了理想儀器。
我們就空間所說過的話也適用於時間。在這裡，我不希望像柏格森的信徒所設想的那樣談論時間、談論綿延；綿延遠非是沒有一切質的純量，可以說，它是質的本身，它的不同部分（它們在其他方面各部分相互滲透）在質上相互區分。這種綿延不會成為科學家的儀器；只有像柏格森所說的那樣，通過經歷深刻的變換，通過使它空間化，它才能夠起這種作用。事實上，它必須變成可測量的東西；不能被測量的東西不能成為科學的對象。因此，能夠被測量的時間本質上也是相對的。如果所有的現象都慢下來，我們的鐘表也是如此，那麼我們便不會意識到它；無論支配這种放慢的規律是什麼，情況都是如此，只要它對於所有各種現象和所有鐘錶都相同。因此，時間的特性只不過是我們鐘錶的性質而已，正如空間的特性只不過是測量儀器的特性一樣。
這還並非一切；心理的時間、柏格森的綿延適合於對發生在同一意識中的現象進行分類，科學家的時間就起源於它們。它不能對發生在兩個不同意識背景中的兩個心理現象進行分類，更不必說對兩個物理現象進行分類了。一個事件發生在地球上，另一個事件發生在天狼星上；我們將怎樣知道，第一個在前發生，或同時發生，或在第二個之後發生呢？這只能是作為約定的結果。
但是，我們能夠從一個全然不同的觀點來考慮時間和空間的相對性。讓我們考慮世界所服從的規律；這些規律能夠用微分方程來表述。我們看到，如果直角坐標軸改變了，或者這些軸依然不動，這些方程未被證偽；如果我們改變時間原點，或者用運動的直角坐標軸代替固定的直角坐標軸，坐標軸的運動是勻速直線運動，這些方程也不被證偽。如果從第一種觀點來考慮，請允許我把相對性稱為心理的相對性；如果從第二種觀點來考慮，請允許我把相對性稱為物理的相對性。你立即會看到，物理的相對性比心理的相對性受到多得多的限制。例如，我們說，假如我們用同一常數乘以所有的長度，倘若乘法同時用於所有的物體和所有的儀器，那麼一切都不會有什麼變化。但是，如果我們用同一常數乘所有的坐標，那麼微分方程就有可能不成立。如果使該系統與運動的、旋轉的坐標軸相關，它們也會不再成立，因為這時必然要引入通常的離心力和複合的離心力。由此，傅科（Foucault）實驗證明了地球的旋轉。也有一些事情動搖我們關於空間相對性的思想，動搖我們基於心理的相對性的思想，這種不一致似乎使許多哲學家進退維谷。
讓我們來更加仔細地考察一下這個問題。世界的所有部分都是相互依賴的，天狼星無論多麼遙遠，毋庸置疑，它對發生在這個地球上的事件不可能絕對沒有影響。因此，假使我們希望寫出支配這個世界的微分方程，那麼這些方程要麼是不精確的，要麼它們將依賴於整個世界的條件。不可能存在一個適合於地球的方程組、另一個適合於天狼星的方程組；必然只存在一個方程組，它將適用於整個宇宙。
於是，我們不直接注意微分方程；我們注意的是有限方程，這種方程是可觀察現象的直接翻譯，通過微分能夠從它們導出微分方程。當坐標軸像我們描述過的那樣進行變化時，微分方程不被證偽：但是，同樣的情況對於有限方程並不為真。事實上，坐標軸的改變會迫使我們改變積分常數。結果，相對性原理不能用於直接觀測到的有限方程，但可以用於微分方程。
這樣一來，我們如何從有限方程——它們是微分方程的積分——得到微分方程呢？那就必須根據賦予積分常數的值了解幾個彼此不同的特殊積分，然後用微分消除這些常數。儘管存在著無限多的可能解，但是這些解中只有一個在自然界是可以實現的。為了建立微分方程，不僅必須知道可以實現的解，而且也必須知道所有可能的解。
於是，如果我們只有一個適合於整個宇宙的規律系統，那麼觀察將只給我們提供一個可以實現的解；因為永遠只有一個宇宙摹本被複製出來；這就是最主要的困難。
此外，作為心理的空間相對性的結果，我們只能觀察我們的儀器能夠測量的東西；例如，它們將給予我們所需要考察的星球之間的距離，或各種物體之間的距離。它們將不會向我們提供它們相對於固定坐標系或運動坐標系的坐標，因為這些坐標系的存在純粹是約定的。如果我們的方程包含這些坐標，那麼它是通過一種虛構的，這種虛構可以是方便的，但不管怎樣總是一種虛構。如果我們希望我們的方程直接表示我們觀察到的東西，那麼距離將必然在我們的獨立變量中出現，於是其他變量將自行消失。此時，這就是我們的相對性原理，但它不再具有任何意義。它僅僅表示，我們在我們的方程中引入了無法把事物描述明確的輔助變量——寄生變量，而且有可能消去這些變量。
假如我們不堅持絕對的嚴格，那麼這些困難將會消失。世界的各部分是相互依賴的，但是如果距離很遠，那麼引力就微弱得可以忽略；於是，我們的方程將分解為獨立的方程組，一個只可適用於地上的世界，另一個適用於太陽，再一個適用於天狼星，或者甚至適用於更小的區域，像實驗桌這樣的區域。
這樣一來，說只存在一個宇宙的摹本就不對了；在一個實驗室可以有許多桌子。通過改變條件，重新開始實驗將是可能的。我們仍然不知道唯一的解，唯一的一個實際實現的解，而知道大量的可能解，從有限的方程推進到微分方程，問題將變得容易些。
而且，我們將不僅知道一個這樣的較小區域的各種物體的各自距離，而且也能知道它們距鄰近小區域的物體的距離。我們可以這樣來安排它，使得在第一種距離保持不變時，只有第二種距離發生變化。於是，這就好像我們改變了第一個小區域所參照的幾個坐標軸一樣。這些星球太遙遠了，以至於對地上的世界沒有可覺察的影響，但是我們看到了它們，多虧它們，我們才能夠把地上的世界和與這些星球相聯繫的坐標軸關聯起來。我們具有測量地上物體各自距離和這些物體相對於這個不同於地上世界的坐標系的各坐標的手段。因此，相對性原理才具有意義；它變得可以驗證了。
不過，我們要注意到，我們只是通過忽略某些力得到了這些結果，我們還不認為我們的原理僅僅是近似的；我們賦予它以絕對的價值。實際上，看看我們的小區域相互之間無論相距多麼遠，相對性原理依然為真，我們便會異口同聲他說，它對於宇宙的精確方程而言也為真；這個約定將永遠不會發現有錯誤，因為當把它應用於整個宇宙時，該原理是不可驗證的。
讓我們現在返回到稍前提到的情況。一個系統此刻與固定坐標軸有關，然後與旋轉坐標軸有關。支配它的方程將發生變化嗎？是的，按照通常的力學確是如此。這是嚴格的嗎？我們觀察到的東西不是物體的坐標，而是它們的各自的距離。於是，通過消去只不過是寄生的、觀察不可達到的變量的其他方程，我們就能夠嘗試建立這些距離所服從的方程。這種消元法總是可能的；唯一的事情是，如果我們保留坐標，我們便會得到二階微分方程；相反地，在消去了所有不可觀察的變量後，我們推導出的方程將是三階微分方程，這樣它們將給出通向大量可能的方程的途徑。根據這種推斷，相對性原理在這種情況下還將適用。當我們從固定坐標軸進入到旋轉坐標軸時，這些三階方程將不變化。發生變化的將是確定了坐標的二階方程；但是，可以說，二階方程是三階方程的積分，正如在微分方程的所有積分中一樣，其中包含著積分常數；當我們從固定坐標軸進入到旋轉坐標軸時，沒有保持相同的正是這個常數。但是，由於我們假定，我們的系統在作為整個宇宙來考慮的空間中是完全孤立的系統，我們無法得知整個宇宙空間是否旋轉。因此，描述我們觀察到的東西的方程實際上是三階方程。
我們不去考慮整個宇宙，讓我們現在考慮我們的一些小的孤立區域，在這些區域中，沒有機械力相互作用，但這些區域卻是相互可見的。如果這些區域中的一個旋轉著，那麼我們將看到它旋轉。我們將承認，我們必須賦予我們剛剛提到的常數的值取決於旋轉速度，因而學力學的學生通常採用的約定將被認為是正確的。
因此，我們認清了物理相對性原理的意義；它不再是簡單的約定。它是可以驗證的，因此它可能不會被證實。它是實驗的真理，而這種真理的意義是什麼呢？從前面的考慮很容易推斷它。它意味著，當兩個物體之間的距離無限增加時，它們相互的引力趨於零。它意味著，兩個遙遠的世界的行為就像它們互不相關一樣；我們能夠更好地理解，物理的相對性原理為什麼沒有心理的相對性原理廣泛。由於我們理智的真正本性，它不再是必然的；它是一個實驗的真理，實驗把限制強加給這個真理。
這個物理的相對性原理能夠用來定義空間；可以說，它向我們提供了新的測量工具。讓我自己弄清楚：固體怎麼能夠使我們測量空間，或確切地講，怎麼能使我們構造空間呢？通過把一個固體從一個位置移動到另一個位置，我們公認有可能在開始使它適合於一個圖形，然後使它適合於另一個圖形，我們一致同意，可以認為這樣兩個圖形是相等的。由於這種約定，幾何學產生了。於是，在不改變圖形的形狀和大小的情況下，空間本身的變換對應於固體的每一個可能的移動。幾何學只不過是這些變換的相互關係的知識，或者是利用數學語言研究這些變換所形成的群的結構，即研究固體運動群的結構。
由此斷定，存在著另一種變換群，即我們的微分方程不會被證明是錯的那種變換群；這是定義兩個圖形相等的另一種方法。我們將不再說：當同一固體開始與一個圖形重合，然後與另一個圖形重合時，這兩個圖形則是相等的。我們將說：當同一個力學系統距鄰近的力學系統足夠遠，以至於可以看成是孤立系統，開始以這樣的方式放置，使系統的不同質點再現出第一個圖形，再以這樣的方式放置，使它們再現出第二個圖形，如果這樣的同一個力學系統以同一方式行動，那麼這兩個圖形便相等。
這兩種觀念彼此之間有本質上的區別嗎？不，固體在它的各個分子相互間的引力和斥力的影響下形成它的形狀；力的這種系統必須處於平衡。當固體的位置變化時，它依然保持自己的形狀，用這種方法定義空間即用下述方式定義空間：描述固體平衡的方程不會因坐標軸的變化而證明是錯的；因為這些平衡方程只不過是普遍的動力學方程的特例，根據物理的相對性原理，它不會因坐標軸的這種變化而被修正。
固體是一個力學系統，正像任何其他力學系統一樣；我們前面關於空間的定義與新定義之間唯一的差別就在於，新定義在它容許用任何其他力學系統代替固體的這個意義上其範圍更為廣泛一些。而且，新約定不僅定義了空間，而且也定義了時間。它告訴我們，什麼是兩個同時的瞬間，什麼是相等的時間間隔，或者一個時間間隔是另一個間隔的兩倍意味著什麼。
一個結論性的評論：正如我們已經說過的，由於與天然固體的特性相同的理由，物理的相對性原理是經驗的事實；例如，它容易受到不斷的修正；而幾何學必須擺脫這種修正。正因為如此，它必須再次變成約定，相對性原理必須認為是一種約定。我們已經提到，它的實驗意義是什麼；它意味著；兩個十分遙遠的系統，當它們的距離無限增加時，它們之間的相互引力趨近於零。經驗告訴我們，這近似地為真；經驗不能夠告訴我們，這完全為真，因為兩個系統之間的距離總是有限的。但是，沒有任何東西妨礙我們假定這完全為真；即使經驗與該原理似乎不符，也沒有任何東西妨礙我們。讓我們設想，當距離增加而相互之間的引力減小，此後引力又開始增加的情況。沒有任何東西妨礙我們承認，對更大的距離而言，引力在減小，並最終趨於零。只有把目前所考慮的原理本身作為約定，這才能使它免受經驗的衝擊。約定是經驗向我們提示的，但我們卻可以自由地採用它。
那麼，近來因物理學的進步而引起的革命是什麼呢？相對性原理在它的前一個方面被拋棄了；它被洛倫茲（Lorentz）的相對性原理所代替。正是「洛倫茲群」的變換，未把動力學的微分方程證偽。如果我們設想，系統不再與固定坐標軸相聯繫，而是與用變化著的變換表示其特性的坐標軸相聯繫，那麼我們就必須承認，所有的物體都發生了形變；例如，球變成橢球，橢球的短軸平行於軸的平移。時間本身也必須顯著地加以修正。在這裡有兩個觀察者，第一個與固定的坐標軸相聯繫，第二個與旋轉坐標軸相聯繫，但是每一個觀察者都認為另一個觀察者處於靜止。不僅對這樣一個圖形，第一個人認為是球，而在第二個人看來似乎是橢球；而且，對於兩個事件，第一個人認為是同時的，對第二個人來說卻並非如此。
每一個事件發生著，就像時間是空間的第四維一樣，就像起源於通常的空間和時間的結合的四維空間不僅能夠繞通常的空間軸以時間不改變的方式旋轉，而且能夠繞無論什麼軸旋轉。因為比較在數學上是精確的，所以有必要把純粹虛值賦予空間的第四個坐標。在我們的新空間中，一個點的四個坐標不再是x，y，z和t，而是x，y，z和 t − 1 。
另一個評論：以前我試圖定義發生在兩個不同環境的兩個事件的關係，我是這樣說的，如果一個事件可以認為是另一個事件的原因，那麼就可以認為它發生在另一個事件之先。這個定義變得不恰當了。在這種新力學裡，沒有瞬時傳遞的作用；最大的傳輸速度是光速。在這些條件下，能夠發生下述情況：事件A（作為僅僅考慮空間和時間的一個結果）既不會是事件B的結果，也不會是事件B的原因，如果它們發生的地點之間的距離如此之大，以至於光在足夠長的時間內不能從B地傳播到A地，或從A地傳播到B地的話。
鑒於這些新觀念，我們的觀點將是什麼呢？我們將不得不修正我們的結論嗎？當然不；我們已經採取了一種約定，因為它似乎是方便的，並且我們已經說過，沒有任何理由能夠強使我們放棄它。今天，一些物理學家想採取一種新的約定。並非他們被迫這樣做；而是他們認為這種新約定更為方便；這就是一切。沒有接受這種見解的人能夠合理地保留他們的舊見解，以便不觸動他們的舊習慣。我相信，這就是他們（就在我們中間），在未來的一個長時期內將要做的事情。