中國通史（第八卷） · 第十六章 札馬魯丁 郭守敬
第一節 札馬魯丁
關於札馬魯丁的史料
札馬魯丁是十三世紀來華的元代回回天文學家。他把阿拉伯的天文曆法知識介紹到中國，並發起編纂了《大元大一統志》，為我國科學文化的發展作出了貢獻。
札馬魯丁是漢文音譯。在元、明、清代的文獻中就有不同譯法。《元秘書監志》譯作札馬剌丁或扎馬剌丁。《元史·天文志》作札馬魯丁。清代修《四庫全書》時，曾對漢文文獻中一些民族的人名譯法作了大規模的修改。札馬魯丁於此時被改作札瑪魯鼎。今取《元史·天文志》的譯法，統作札馬魯丁。
關於札馬魯丁的生年、祖籍或出生地以及其早年的活動史，迄今未清楚。國外的研究者一般認為他來自波斯大不里士附近的馬拉加城（今屬伊朗）。當時統治波斯等地的蒙古伊利汗旭烈兀曾接受波斯天文學家納速剌丁·圖西的請求，從1259年起聚集了一批天文學家，在馬拉蓋建造了一座著名的天文台。英國學者李約瑟等就認為，札馬魯丁是在這座天文台工作的一位學者。後來他由旭烈兀或其後裔的派遣，來到中國①。
對這一傳統的說法，日本學者山田慶兒提出過不同意見，認為上述說法與中國的文獻不合。他提出，札馬魯丁可能是中亞細亞的布哈拉城（今屬烏茲別克共和國）人②。
根據中國現存的史料，札馬魯丁是元世祖忽必烈即位（1260）以前到中國的。《元史·百官志六》有記載：世祖在潛邸時，有旨征回回為星學者。札馬剌丁等以其藝進，未有官署。忽必烈於1258年底起兵攻宋，此後他一直處於繁忙的軍政事務中。《元史·百官志》所記的情況不大可能發生在1258至1260年之間。即使札馬魯丁是在這期間來華的，那麼他也不大可能是馬拉加天文台的人。因為這座天文台當時還正在醞釀、籌組和開始建造。因此，山田慶兒對傳統說法的否定是有道理的。至於是否確實是布哈拉城人，則由於中亞等方面的史料不足，有待新的材料發現時再斷定。又，《元史·世祖本紀》中提到：歲甲辰，帝在潛邸，思大有為於天下，延藩府舊臣及四方文學之士，問以治道。這裡的「歲甲辰」是指1244年。當時忽必烈正是三十歲。所謂文學之士，乃是泛指學者。這段記載表明，忽必烈招請四方學者的起始年份是相當早的。因此，推測札馬魯丁來華時間的上限可以早到十三世紀四十年代。下限則為忽必烈即位的前一年，即1259年。較可能的是十三世紀五十年代中期或稍後。
據前引《元史·百官志》表明，札馬魯丁來華後最初並沒有正式的官職，做了些什麼工作也不清楚。不過，忽必烈是不會讓一位有才能的回回學者長期無所事事的。查《元史·食貨志》有段記載：①J.Needham，ScienceandCivilisationinChina，Vol.III，pp.372—373。②山田慶兒：《授時曆の道》，株式會社みすず書房，1980年版第48—53頁。世祖中統二年（1261）..是年三月，又命札馬剌丁糴糧，仍敕軍、民官毋沮。這位為元朝籌辦軍糧的札馬魯丁，很可能就是那位《元史·百官志》中提到的「回回為星學者」。事實上，以天文學家著名的札馬魯丁確實從事過與天文曆法全然無關的工作。看來，札馬魯丁是一位具有多種才幹的人物。在蒙古汗國和元皇朝統治時期，包括回回在年的色目人，具有僅次於蒙古本族人的民族地位，得到蒙古族統治者較大的信任和重用。因此，委派這位回回星學者札馬魯丁擔任極重要的籌糧工作，是非常可能的，也不足為怪。
札馬魯丁的天文工作，最早的史籍記載是在至元四年（1267）。計有二條。一是《元史·天文志》，稱他在這一年造了西域儀象七件。另一是在《元史·歷志》，說他這一年撰進《萬年曆》，得到元世祖的批准頒行。這兩件工作無論哪一件都不是短時期內能完成的。由此可以肯定，扎馬魯丁在1267年以前若干年就從事這兩項重大的天文工作了。
此後，史籍中對札馬魯丁的活動屢有記載。
至元八年（1271），元皇朝在上都（今內蒙正藍旗境內）建立回回司天台，札馬魯丁被任命為「提點」（即台長）。
至元十年（1273），札馬魯丁以回回司天台提點的身分被元世祖任命兼職為新設立的秘書監兩長官之一。另一長官是漢人，原任戶部尚書的焦友直。秘書監的主要職責是掌管皇家收藏的歷代圖籍和陰陽禁書，從事皇帝特命的撰述任務等。而元代的司天台則因當時認為其工作關涉皇家機密，故也被劃為秘書監管轄。元代回回司天台和秘書監的主管人往往是兼任的，札馬魯丁就是這一慣例的開始者。擔任秘書監職務的人，都是皇帝較信任之人。據《元秘書監志》記述，札馬魯丁曾被引到萬壽山（今北京頤和園中的萬壽山）下的浴室里向忽必烈奏事。如果不是忽必烈十分信任他，那是不可能這麼做的。在他領導下的秘書監，引進了許多波斯文和阿拉伯文的天文學、數學、星占學等方面的圖書、器物，其中著名的有歐幾里得《幾何原本》、托勒密《天文學大成》等著作，還有大量阿拉伯的地圖等。元代的秘書監是當時中國與阿拉伯科學文化交流的一個重要中心。
與此同時，札馬魯丁官階日升。他在任司天台提點時才是從五品官，任職秘書監就一下子升到從三品。幾年之後他又被宣授嘉議大夫職銜，那是正三品的官位。至元二十四年（1287）他升任集賢大學士中奉大夫行秘書監事，就成了從二品的大員。集賢大學士主管的集賢院，職掌「提調學校，徵求隱賢，召集賢良。凡國子監、玄門道教、陰陽、祭祀、占卜、祭遁之事」（《元史·百官志三》）都歸集賢院管理。作為一個回回人，札馬魯丁被任命為管理中國傳統文化事務最高機構的主管領導，這是一件很不平常的事。
在這段時間裡，札馬魯丁除了從事日常的天文工作和秘書監、集賢院的領導工作外，還做了許多培養和提拔後進的工作。
札馬魯丁在後期還做了兩項特別重要的工作。
其中一項工作完全與天文學無關。據《元史·百官志》記載，至元二十四年（1287），「札馬剌丁率人匠成造撒答剌欺，與絲綢同局造作」。撒答剌欺是一種波斯或中亞地區的紡織品。此種織物的原料、結構及品質特點，迄今我國學術界均未弄清楚。但它是一種美麗又高貴的織物，則無疑義。《元史·百官志》記載稱元廷因札馬魯丁的成功而「改練人匠提舉司為撒答剌欺提舉司」（《元史·百官志一》）。若非撒答剌欺有特殊的吸引力，元廷是不會這樣做的。《元史·百官志》並無明確記載札馬魯丁是否當了撒答剌欺提舉司的提舉，事實上也不大可能當。因這提舉才正五品，而札馬魯丁當時已是從二品了，官階相差太遠。無疑，這個紡織機構應該是由他領導的。據《元秘書監志》的記載，繼札馬魯丁任秘書監的另一個回回天文學家可馬剌丁，兼任了撒答剌欺人匠提舉。按照封建皇朝任命官吏往往重視循例的習慣來看，札馬魯丁在這個因他的努力才得以創立的機構的領導地位是無可懷疑的。無論如何，札馬魯丁把一種新的紡織技術介紹到了中國，對中國紡織技術的發展是有積極意義的。
另一項工作嚴格來說則應與天文學有一定的關係。那就是至元二十二年（1285）他向忽必烈提出編纂全國地理圖志的建議。這項建議得到批准，其工作就在他的領導下開展。最後成果就是著名的《大元大一統志》。這部書不但在當時有重大的軍事和政治意義，而且具有極高的學術價值。
有關札馬魯丁的活動，史書有記載的最後年頭是在至元二十六年（1289）。《元秘書監志》記載他在這一年的兩項活動。一條有關薦舉人才，一條則為編地理圖志的人請支報酬及請求給他們提職。此後，在元人的史料中再未發現他的活動。清人錢大昕卻提到，《大元大一統志》於至元二十八年（1291）完成後由札馬魯丁及其助手秘書少監虞應龍兩人一起進呈朝廷①。現尚不清楚錢大昕此說有什麼根據。但據《元秘書監志》記載，至元二十七年十月二十五日，以秘書監名義上奏的已不是札馬魯丁而是可馬剌丁。由此看來，札馬魯丁很有可能在此以前已去世了。至於錢大昕之所以還把他列為進呈《大元大一統志》的第一責任者，當是因為札馬魯丁一直是編撰這書的主要負責人。
當然，人們也可推測，至元二十七年並非是札馬魯丁的卒年，而只是他離開秘書監之年而已。這樣，他還是有可能與虞應龍一起於至元二十八年進呈《大元大一統志》。一般來說，似乎沒有什麼理由要讓札馬魯丁離開秘書監，至少，史書中沒有留下任何痕跡。
因此，可能性較大的是，札馬魯丁於1290年故世。
天文儀器的創製札馬魯丁一生中有三項業績值得詳細研究：造七件西域儀象、編制《萬年曆》、編修《大元大一統志》。
造七件儀象在《元史·天文志》有具體的介紹。此事曾引起了國內外學者的興趣。今據迄今所見有關研究新成果敘述如下②：一、咱禿哈剌吉《元史》漢譯為混天儀。根據有關描述知道，這架儀器有一個地平環，一個垂直於地平環的子午雙環，雙環的中線即相當於觀測地的子午線。這兩組環互相固結不動。在子午雙環之內還有一對較小的雙環，它們的中線則相當於天球上的赤經圈，可以繞著天球的南北極作東西方向的轉動。這些環圈①錢大昕：《補元史藝文志·史部地理類》，見《二十五史補編》第六冊，中華書局1991年版，第8410頁。
②W.Hartner，TheAstronomicalInstrumentsofCha-Ma-Lu-Ting，theirIdentification，andRelationtotheInstramentsoftheObservatoryofMaragha，Isis，1950，Vol.41，p184。J.Nedham。ScienceandCivilisationinChina，Vol.III，CambidgeUniversityPress，1959，pp.373—374。薄樹人：《回族先民札馬魯丁的科學貢獻》，載《科學》雜誌，1986年第4期。
與我國傳統的天文儀器渾儀的結構一致。但是，在這套結構之內還有兩個中國傳統渾儀中所沒有的環。《元史·天文志》對此是這樣描寫的：內第三、第四環皆結於第二環（即上述可轉動的雙環），又去南北極二十四度，亦可以運轉。凡可運之環，各對綴銅方釘，皆有竅，以代衡簫之仰窺焉。
所謂有竅的銅方釘，是指一塊直立在各環面上的小方銅片。銅片上開了縫，從縫中可以觀測天體。由銅片所在位置可以在各環面刻度上讀出天體的相應坐標讀數。這種銅方釘實際上是一種觀測用照准器，其功用和古代渾儀中用來瞄向天體的那根細長管子——窺管相同，只是其形制和使用方法不相同而已。既然咱禿哈剌吉的第三、第四環上裝了照准器，則它們應是能提供經度或緯度讀數的環圈。從上引《元史·天文志》的描述來看，它們應是黃道環和黃經環。黃經環的中央有一條極軸，軸的兩頭套連在可轉動的赤經雙環上離南、北極各二十四度的地方。這兩個套連結處的中心就是南、北黃極。黃經環可以繞著南、北黃極軸旋轉。只要轉動赤經雙環，使儀器上的南、北黃極擺到與天球上的南、北黃極相應的位置；再轉動黃經環，使天體處在黃經環面上；然後把黃經環上的銅方釘對向那個天體，這時就可從黃經環刻度上讀出銅方釘所在的位置讀數，這個讀數就是天體的黃緯。至於黃道環，則當是垂直地固結在赤經雙環上，且與黃經環的黃極軸也相垂直。這時，黃道環與赤經雙環相結而有兩組結點，這兩組結點的兩個中心點就分別是儀器上的冬至點和夏至點。它們分別離赤經雙環中腰（即儀器上的赤道圈）的南和北各二十四度。轉動赤經雙環，把黃道環擺到和天球上的黃道相一致的位置上，移動黃道環上的銅方釘，就可測讀出天體的黃經。在現今的北京古觀象台上還存有一件清康熙十二年（1673）製造的黃道經緯儀。除了這件儀器的可轉動的赤經環只是單環而不是雙環這一點外，其他的結構大體與《元史》所描述的咱禿哈剌吉相一致。
咱禿哈剌吉是一種源自古希臘的托勒密式黃道渾天儀，它與我國傳統的赤道式渾天儀相比較，在外形上大體相似，都是在一個球面空間內由多層環圈所構成；但是兩者的具體構成和功用則不相同。因此，《元史》中把咱禿哈剌吉譯成「混天儀」，混字與渾字音近而字不同，翻譯者是頗為有心的。二、咱禿朔八台《元史》釋為「測驗周天星曜之器也」。從《元史》所作的具體描述來看，這是件古希臘天文學家托勒密發明的天文儀器。西方學者稱之為托勒密長尺。
咱禿朔八台有一根垂直立於地面的銅表，高七尺五寸。表頂設有機軸。
軸上懸掛二根五尺五寸長的銅尺。外面的那根尺上附有同樣長的窺管一根，用來瞄準天體。兩根銅尺的底端又都連在一根橫尺上。整個儀器可以繞銅錶轉動，而窺管則可以高低轉動。這種儀器可用來測定任意方向上的天體的天頂距。窺管、始終置於鉛直位置上的裡面的那根銅尺及底下的橫尺，三者構成了一個等腰三角形，其頂角即天體的天頂距。它可以由窺管所指示的橫尺上的讀數，用三角學方法計算出來；也可以直接在橫尺上刻出相應的頂角度數。托勒密在其名著《天文學大成》第五卷第十二章中介紹過這種儀器，不過，托勒密的銅表是三角形的，而咱禿朔八台的銅表則可以是方柱形或圓柱形的，更可能是圓柱形的。
三、魯哈麻亦渺凹只《元史》漢譯為春秋分晷影堂。據有關描述，這台儀器是置於一座基本密閉的屋子裡的，只在順東西方向的屋脊上開了一道縫，讓日光從縫中射入屋內。屋中有一座台，台面南高北低，與天赤道面平行。貼著台面放置一條銅的半圓環，半圓的半徑長達六尺。另有一根六尺長的銅條，一頭固定在半圓環的圓心上，一頭可貼在環面移動。當春秋分時，太陽正處在赤道面上，太陽光就正好照射到環面上，觀測此時的太陽位置，便可求得準確的春、秋分時刻。與春秋分晷影堂相類似的儀器，現在在印度的德里、齋浦爾等地還可以見到，不過它們都是露天的。這些印度儀器是十八世紀初的印度天文學家摩訶羅闍·賈伊·辛格所造。李約瑟（《中國科學技術史》）中有這種儀器的照片，稱之為二分日晷（equinoctialsundial）。但這是定節氣的儀器，稱之為定時刻的日晷，是不妥當的。
四、魯哈麻亦木思塔余《元史》漢譯為「冬夏至晷影堂也」。據有關描述，這件儀器也是安置在房子裡的。房子有五開間大。屋脊順南北方向，且上開一道縫。縫的正下方立一道牆。牆上掛一條長一丈零六寸的銅尺。又以掛尺之點為中心，以尺長為半徑，在牆上畫一仰天的半圓規環。環上標有刻度。牆底下還挖有一定深度的坑，以便人可以站在銅尺的一端進行觀測。每當太陽到達子午線時，日光從屋縫中直射下來。轉動銅尺，對準太陽，從半圓規環上可以讀出太陽的地平高度或赤緯。因為冬、夏二至是太陽赤緯最小和最大的時刻，所以使用冬夏至晷影堂即可測定冬、夏至的準確時刻。
這件儀器實際上就是後來在歐洲廣泛使用的牆儀。《元史》雖然稱之為用來測太陽定節氣的，但用該儀器測量任何其他天體的赤緯，也是同樣有效的。
五、苦來亦撒麻《元史》漢譯為「渾天圖」。從具體描述來看，當是一種天球儀。它與中國傳統的渾象無大差別，只是其上所繪的當是阿拉伯天文學中的星座。六、苦來亦阿兒子《元史》漢譯為「地理志」。歷來的研究家一致認為，這是地球儀。從《元史》的描述中可知，這個木製圓球上畫著白色的陸地和綠色的江、河、湖、海。陸地和海洋的比例為3∶7，與現今的結論很接近。球上畫有許多小方格，用於計算道里的遠近。但當然，這些小方格並不是真正的方格，而是經緯線所形成的網格。
早在札馬魯丁之前五百多年，唐代的僧一行已提出了地球的緯度里差數據；之前四十多年，蒙古汗國的耶律楚材也提出了在尋斯干（今烏茲別克共和國撒馬爾罕）的緯度上的東西里差問題。但是，統一的、比較科學的經緯度概念和明確的地球概念，是在札馬魯丁的地球儀上第一次被介紹到中國的。可惜的是，這些概念並未在元代的科學史上產生顯著的影響。究其原因，大概有二。其一，這是置於回回司天台上的儀器，其他學者能見到的極少。其二，與這些新天文概念相聯繫的數學知識和計算方法沒有翻譯介紹過來，即使別人見過這架地球儀，也無法理解和運用這些全新的概念。
七、兀速都兒剌不《元史》原文作「兀速都兒剌不定，漢言晝夜時刻之器也」。但據德國學者哈特納的研究，當時阿拉伯世界有一種天文儀器，名叫al-Usturlab，即後來在歐洲也風行過很長時間的星盤。此儀器名的詞尾音應該是「不」，拉丁文等歐洲文字也都如此。從《元史》有關具體描述來看，這確是一件星盤。因此，上述《元史》有關這件儀器的名稱及說明是有訛誤的。應當改正為：「兀速都兒剌不，漢言定晝夜時刻之器也。」
根據《元史》的描述，札馬魯丁星盤上的觀測照准器是一條銅條，中間釘在星盤中心，可以繞中心旋轉。銅條二端各屈起一小塊，垂直星盤盤面。這二小塊銅片上各有一個孔，二孔的聯線正好經過盤面的中心軸線。通過這二個孔，就可觀測太陽或恆星，以確定時刻。這是又一種與中國的窺管形制不同而功用相同的觀測照准器。
以上這七件西域儀象，與中國傳統的天文儀器相比，除了少數相似之點外，無論從結構、形制和具體功能來說，都大有不同。而這些特色鮮明的儀器卻對以後中國傳統天文儀器的發展沒有重大的影響。其中的原因，英國李約瑟認為「由於它們不適合中國天文學特有的體系——有天極，並使用赤道坐標」（《中國科學技術史》）。例如，托勒密式的黃道渾儀或長尺，就很難使不採用黃道坐標系和天頂距的天文學家感興趣。
李約瑟的分析確實有道理。不過，還有一個至少是同樣重要的理由，那就是，與這些儀器的運用極為相關的數學知識和計算方法的缺乏，如，歐幾里得幾何學、平面三角學、球面三角學等等，都沒有在當時被譯成漢文。因此，除了回回司天台上的工作人員外，傳統的中國天文學家就很難了解和使用這些儀器。關於這一點，對比一下明末清初的情況就可明白。以星盤為例。它在明朝末年由歐洲耶穌會士再次傳入中國。由於他們在中國學者的幫助下陸續把《幾何原本》等數學著作譯成了漢文，又在介紹星盤的同時也介紹了一些相關的數學知識，因此，星盤就很快被中國學者接受了。當時還有一位中國學者李之藻專門為之寫了一部說明書，名為《渾蓋通憲圖說》。
雖然對中國的傳統天文儀器發展沒有重大影響，但是卻也不是沒有任何影響。既然這七件儀器已在中國的司天台上安裝，那麼，不但在這個台上工作的中國天文學家會使用它們從事觀測，而且對這個台之外的天文學家也可能產生某種啟發和影響。例如，當時的天文學家郭守敬在發展傳統的天文儀器時，有兩點當是從扎馬魯丁的儀器上借鑑來的。
其一是郭守敬在他的簡儀、立運儀等儀器中廢止了中國傳統的觀測照准裝置——窺管，而改成象扎馬魯丁星盤中一模一樣的窺衡，即一根貼著儀器刻度環面旋轉的銅條，兩端立有兩塊帶觀測孔的小銅片（郭守敬稱此銅片為立耳）。
其二是郭守敬在他的簡儀的時刻盤上採用了傳統的整個圓周分成100刻的制度（這是中國傳統的制度）之後，又將每1刻再分成36分，而這是傳統時刻制度中所完全沒有的。它當是札馬魯丁儀器上所用360°制度的衍生。因為100刻×36分刻=3600分，而360°×10分度=3600分。且360°或3600分的刻度分劃，比傳統的100刻或傳統的100刻×60分刻＝6000分的刻度分劃較容易達到精密的程度。
《萬年曆》《元史·歷志》載：「至元四年，西域札馬魯丁撰進《萬年曆》，世祖稍頒行之。」遺憾的是，這《萬年曆》到底是個什麼樣的曆法？史書上沒有留下一點兒具體的資料。
《元史·仁宗本紀》中提到，皇慶二年十二月辛酉（1313年12月23日），「可里馬丁上所編《萬年曆》」。可見，在札馬魯丁初次進呈《萬年曆》之後，至少一直行用到1314年，而這，大概也不會是這部曆法行用的最後年份。在中國曆法史上，一部曆法能行用到46年以上，這壽命也就不算短了。
據《元秘書監志》記載，至元十五年（1278），札馬魯丁在司天監的副手司天少監可馬剌丁，曾奉皇子安西王的命令，每年推算、編撰回回曆兩本。又，在《元史·食貨志》上記有天曆元年（1328）皇家發賣的曆日——即每年民用的曆書——數字，在總數3123185本曆日中有回回曆日5257本①。相比起來，這個數字的確很小。不過，既然回回曆日在天曆元年有發賣，當然，其他年份也是會有賣的。照此說來，元皇朝稍許頒行的是《回回曆》。
曆日，或曆書，向使用者提供了他在一年中從事各種活動的一個時間坐標。作為國家政權來說，它不可能容許一個國家內有二種不同的時間坐標，因為這將引起整個社會的秩序混亂。除非國內有宗教信仰或生活習慣比校特殊的民族，為了照顧這部分人民，會允許他們使用特殊的、合乎其信仰和習慣的曆日。但這必然只是限於這些民族內部的、小範圍內的事。一當這些民族要從事超出本民族範圍的社會活動時，他們就必須使用全國統一的曆法，否則將導致混亂。這樣的行為規則，在中國封建皇朝執行得更加嚴格，因為中國的封建皇朝一向把「頒正朔」視作是自己的權力標誌。所以，元皇朝可以頒行萬年曆，但這只是供信仰伊斯蘭教的民族使用，故稱為「稍頒行之」。因此可以肯定，元皇朝絕不會向這部分人民提供二種不同的曆法，否則豈不自找麻煩？這樣看來，札馬魯丁——可里馬丁的萬年曆和《元史·食貨志》上所說皇家發賣的《回回曆》曆日應是一回事。
至於說到可馬剌丁為安西王推算、編纂回回曆兩本一事，則因為可馬剌丁是札馬魯丁的下屬（後來又成為札馬魯丁的接班人），故可認為，札馬魯丁當時已將推算、編纂《萬年曆》的事交給了可馬剌丁。安西王（忽必烈的第三子忙哥剌）封於至元九年，卒於至元十七年。《元史·諸王表》稱他被封后「出鎮長安」。長安本是穆斯林聚居較多的城市，又是與西北各地伊斯蘭民族交往的要地。因此安西王自有必要早一點得知明年的回回曆日，故可能與可馬剌丁私相交往，要求儘早得到此物。不可能想像安西王會要求可馬剌丁為他編二本與朝廷頒行的《萬年曆》全不相同的《回回曆》。如果他要的曆日與朝廷頒行、發賣的曆日不同，那麼第一，他要了也沒有用；第二，他就犯了自行正朔的大罪。在他那樣的地位，這可是與不臣、謀逆相聯繫的罪名。這反過來也表明，《萬年曆》與《回回曆》當是一回事。
當然也有可能，《回回曆》和《萬年曆》是兩種不同的東西，不過，它們並不是截然不同的兩種曆法，而只是同一個曆法下的兩種形式不同的曆日（曆書）。比如說，《萬年曆》是一種長達幾年、幾十年的曆日，就像現今市面可見的一些萬年曆一樣。《萬年曆》中的「萬年」兩字只是表示所預推的曆日年頭較長。而《回回曆》則是一種每年一本的曆日，這種曆日除了《萬年曆》中也會有的各月曆日安排；伊斯蘭教的各種節日、禮拜日期；朔、望等天文現象之外，可能還有關於日、月、五星的位置；合乎阿拉伯星占學的各種吉凶、宜忌等的歷注之類，等等。據《元史·食貨志》的記載，回回曆每本售價和大曆（即根據《授時曆》編印的頒行全國的曆日）每本售價一樣，都是紋銀一兩。可見兩者的篇幅和刻印的工本是很相似的。
①《元史·食貨志·額外課》。
總之，《萬年曆》和《回回曆》應是同一種曆法所編的曆日；兩者的形式可能相同，也可能不同。無論如何，兩者的曆日安排是應當一致的。在承認曆日安排一致的前提下，也許兩種曆日（曆書）的形式不一樣的可能性更大些。
《大元大一統志》《大元大一統志》是一部官修的全國地理志書。從至元二十二年修起，到二十八年進呈，共成書七百五十五卷。其後，因得到了雲南、甘肅、遼陽等地的地圖，又加重修。重修工作由孛蘭肹、岳鉉等主持，於元成宗大德七年（1303）完成，撰書一千三百卷。這前後兩部書的絕大部分都已佚失。當代學者趙萬里曾努力彙輯殘存資料，於1966年出版了《元一統志》輯本兩冊。輯者在序中指出，是書曾引用了大量宋、金、元時代的地方志，「此書存，則無數宋、金、元舊志俱隨之而存；此書亡，則宋、金、元舊志亦隨之而亡。此書學術上之重要性可見一斑。」不過，趙萬里序中未提及是書的編纂經過，在給輯本署名時又只列了一千三百卷本的進呈者的名字，因此，現代的一般讀者已不知道本書的編撰還有札馬魯丁的巨大功績。
元末有位身居宰輔高位的學者許有壬曾於元至正七年（1347）為《大一統志》寫過一篇序。序中說到，當時的朝廷曾決定將這部書的七百五十五卷本刻印，「以永於世」②。為此才有旨命他作序。他明確指出，這部書是由札馬魯丁創議修撰的。
很幸運的是，元代王士點撰的《元秘書監志》中記載有許多關於編撰《大一統志》的史料，從這些史料中可清楚地了解到札馬魯丁在這項工作中所起的作用。
一、札馬魯丁是修撰《大一統志》的發起者《元秘書監志》卷四中收錄了至元二十二年六月二十五日中書省的一道文書，其中摘錄有札馬魯丁的奏文：太史院曆法做有。《大元本草》做里。體例里有底，每一朝里自家地面圖子都收拾來把那的做文字來。聖旨里可憐見教秘書監家也做者。..奉聖旨，那般者，欽此。太史院編曆法是指編《授時曆》一事。此歷於至元十七年冬編成，十八年頒行天下。故札馬魯丁在此稱「做有」。《大元本草》之事鮮見本草史家提起。從文字語氣推斷，當時似正在編纂中。何時編完，最後定名是什麼，均尚無考。但肯定，當時也應是件學術界的大事。札馬魯丁以編曆法和編本草兩件大事為說辭，要求元世祖忽必烈批准秘書監也做一件大的編纂工作：把國家疆域內各地地圖拿來做有關地域的文字介紹。此項要求得到元世祖的批准，經由中書省交秘書監辦理。
當時，兵部為了掌握全國各地的地理情況，也提出了由各行省提供所轄郡邑的圖志，及各路、京、府、州、縣的沿革的要求。因此，當札馬魯丁的奏章批回到秘書監後，秘書監即提出，由翰林院和兵部「各差正官，與本監一同商量編類」。此意見得到中書省的批准。於是，《大元大一統志》的工作便正式開始了。
①趙萬里：《元一統志序》，載趙萬里輯校《元一統志》，中華書局1966年版。②許有壬：《大一統志序》，《至正集》卷三五。
二、札馬魯丁重視《大一統志》中的地圖工作札馬魯丁非常重視地圖的工作。他在給忽必烈的奏章中就強調：但是路分里收拾那圖子。但是畫的路分、野地、山林、里道、立堠，每一件里希罕底。但是地生出來的，把那的做文字呵，怎生？
從這一段話中可以看出，在札馬魯丁的思想里，是要以地圖為本來寫志書。而他的地圖也主要著眼於地理景觀。所謂路分，是指元朝的一種行政區劃——路的區域四至；所謂野地、山林是籠統地指路內的自然地貌；所謂里道是指路內外的交通道路，而所謂立堠則是指古代沿交通要道設立的里程碑式的堠堆（五里一單堆，十里一雙堆）。至於所謂地生出來的，用現代語言來說當是指當地的物產資源，也可能還包括地面的重要建築物。
值得注意的是，札馬魯丁曾把大量回回地圖帶到了中國。他在至元二十三年三月初七日上的一道奏章中說道：如今日頭出來處，日頭沒處，都是咱每的。有的圖子有也者。那遠的，他每怎生般哩會的？回回圖子我根底有，都總做一個圖子呵，怎生？麼道奏呵，那般者麼道聖旨了也。
札馬魯丁在這裡說到，他掌握有許多回回地圖。這些圖是當時的漢人看不懂的。他要把它們與原有的漢文地圖總做一個圖子。他的建議得到了元世祖的批准。這樣一來，我國引進了大量的西域地圖，不但大大擴充了地理知識，而且隨之也引進了阿拉伯的地圖製圖法。而這種有地球概念為背景的地圖製圖法，與中國傳統的計里畫方的方法是不相同的。因此，從中國地圖學史和中國地理學史的角度來看，札馬魯丁的工作也是具有很大意義的。考慮到這一點，我們對《大元大一統志》的佚失就格外感到痛惜。
三、札馬魯丁為推進編篡工作而積極薦舉人才後來任秘書少監並與他一起聯名進呈《大一統志》的虞應龍，就是經他推薦而從秀才被破格提拔上來的。
札馬魯丁為了加快工作進程，曾多次盡力督促各方努力工作。他甚至還親自過問為工作人員支請伙食費，及對他們「從優升用」等具體的人事工作。由於札馬魯丁在《大一統志》的編纂過程中需要從事許多具體的學術工作和組織工作，而參加本項編纂任務的絕大多數是漢人，所以，秘書監曾專門請求中書省批准，給札馬魯丁配備了一名漢語翻譯。僅此一事就可想見他和《大一統志》的關係有何等之深了。
第二節 郭守敬
生平事跡
郭守敬，字若思，順德邢台（今河北省邢台市）人，生於元太宗三年（1231），卒於仁宗延祐三年（1316），是我國傑出的天文學家，數學家和水利工程專家。
郭守敬的父親情況史傳未載，有可能是早逝。他是由祖父郭榮撫養成人的。郭榮是飽學之士，尤精通數學、水利。在郭榮的教養下，郭守敬從小勤奮好學。值得稱道的是，他在少年時代就養成了很強的動手能力。有當時人的記載①，他曾根據書上的一幅插圖，用竹篾扎制出一架測天用的渾儀，而且還堆土做了一個土台階，把竹製渾儀放在上面，進行天文觀測。他還曾根據北宋燕肅一幅拓印的石刻蓮花漏圖，弄清了這種可以保持漏壺水面穩定的、在當時非常先進的計時儀器的工作原理。
當時，忽必烈的重要謀士、大學問家劉秉忠因守父喪，正在邢台西南武安縣境的紫金山中結廬讀書。從學者有後來的大數學家王恂。郭榮和劉秉忠是好友，知此消息後，就把少年郭守敬送到劉秉忠門下深造。這一段時間雖然不長，但對郭守敬後來的一生事業卻很重要。
劉秉忠守喪期滿後回到了忽必烈身邊。郭守敬則回到了他的家鄉。這時的郭守敬已小有名聲。在他成年不久，忽必烈派來安撫邢台一帶地方的脫兀脫和劉肅等，發起了整治開挖水流河道的工作，並專門聘請郭守敬承擔工程的規劃設計。郭守敬依仗家傳絕學，再加上認真的調查勘測，很快就弄清了因戰亂而破壞了的河道系統。隨後的疏浚整治工程，使漫的水澤各歸故道，並且在郭守敬的指點之下一舉挖出已被埋沒了近三十年的石橋遺物。這項工程受到了時人的傳頌。著名文學家元好問曾專門為此寫了一篇《邢州新石橋記》①，文中的郭生指的就是年輕的郭守敬。
1260年，忽必烈登上了皇位。他任命劉秉忠的同學張文謙到大名路（今河北省大名縣一帶）等地任宣撫使。張文謙把郭守敬帶在身邊協助他辦事。郭守敬所到之處，做了許多河道水利的調查勘測工作。他還在大名召集匠人，鼓鑄了一套他少年時所探究的蓮花漏，不過，大概他把作為裝飾性的蓮花作了改動，因此改稱為寶山漏。
中統三年（1262）春，張文謙向忽必烈推薦了郭守敬。忽必烈即在開平府（後稱上都）召見了他。召見時，郭守敬向忽必烈提出了六項水利工程計劃。由於他掌握了豐富的實際資料，因而所提計劃都很具體而有明顯的說服力。忽必烈對他大加讚賞，當即任命他為提舉諸路河渠，掌管各地河渠的整修和管理工作。次年，他又升任銀符副河渠使。
至元元年（1264）初夏，忽必烈派唆脫顏與郭守敬二人去西夏一帶視察河渠水道。幾個月後又派張文謙作為朝廷的代表治理西夏（相當於今甘肅東部、寧夏、內蒙西部一帶）。郭守敬在張文謙的領導和支持下，修復了黃河中、上游許多被破壞了的渠道，受到西夏人民的愛戴。當地人民曾在渠頭上為他建立生祠。
①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
①元好問：《遺山集》卷三三。
至元二年，郭守敬升任都水少監。至元八年（1271）升任都水監。至元十三年，都水監併入工部，他被任為工部郎中。
這一年，元兵攻克南宋首都臨安，全國統一在望。忽必烈想起了已於兩年前去世的劉秉忠曾在生前提出過的建議：改革曆法，編修新皇朝自己的曆法。為此，他下令設立太史局（後改稱太史院），任命張文謙和另一位大臣張易主持；任命當時任太子贊善的王恂負責具體組織工作，後正式任他為太史令。王恂除了調集大都、臨安等地的天文官外，還聘請了其他一些專家，包括當時的理學家許衡和楊恭懿等。其中王恂的老同學工部郎中郭守敬則是最重要的一個，他後來被任命為同知太史院事。據當時人記載，參加修歷的主要人員有明確的專業分工①。其中王恂負責曆法的推算，而郭守敬則負責儀器和觀測。郭守敬在這項工作中發揮了驚人的創造力，發明了十多件天文儀器，把我國光輝的天文儀器製造傳統推向了新的高峰。郭守敬還組織並親自進行了大量的天文觀測，為新曆提供了堅實的觀測基礎。
新曆於至元十七年（1280）冬，初步告成，被定名為《授時曆》，並頒發了次年的曆書。但從至元十八年起，幾個主要的修歷人員都先後去世或退休，於是，只好由郭守敬擔負起了整理和總結新曆資料的浩大工程。經過幾年的時間，他整理成《推步》（曆法計算的步驟與方法）七卷、《立成》（各種天文計算表）二卷、《歷議》（評議歷代曆法的各種得失及新曆的優點所在）三卷等書，從而使《授時曆》得以流傳後世。至元二十三年（1286），郭守敬被任命為元皇朝的第二任太史令。於是，他把上述幾種書，以及《轉神選擇》二卷、《上中下三歷注式》十二卷等書一併進呈朝廷。其後，他還著有《時候箋注》（研究二十四節氣、七十二候的物候現象和人們屆時應從事的政治和社會活動）二卷、《〈授時曆）修改源流》一卷、《儀象法式》二卷、《二至晷景考》（研究歷代用圭表測影定冬、夏至時刻的問題）二十卷、《五星細行考》五十卷、《古今交食考》一卷、《新測二十八宿雜坐諸星入宿去極》一卷、《新測無名諸星》一卷、《月離考》一卷等重要著作，也都藏於官府。但這些書現都已失傳，令人十分痛惜。
至元二十八年（1291），有人提出利用灤河水道，向上拉縴可到上都；又有人提出，從麻峪經瀘溝（即今永定河）往上可到上都附近的蕁麻林（今河北省萬全縣西北）。忽必烈派郭守敬去調查。郭守敬調查表明，這兩種方案都是不可行的。在向忽必烈匯報時，郭守敬提出了自己的十一項水利計劃。其中第一項是提出修一條從大都到通州（今北京市通縣）的運河，以解決向大都運糧的問題。忽必烈對此極為重視，並決定重新設立都水監，由郭守敬領導，把開鑿運河作為首要任務進行安排。至元三十年秋天，這條全長一百六十多華里的通惠河工程全部完成。從此，南來的船舶經大運河可以一直駛進大都城中。
此後，郭守敬身兼天文和水利兩方面的領導工作。至元三十一年，他升任昭文館大學士、知太史院事，但仍然要他過問水利方面的工作。元成宗大德二年（1298），有人提議在上都西北的鐵幡竿嶺下，開出一條宣洩山洪的渠道，向南通往灤河。成宗把郭守敬召到上都商議。郭守敬根據地勢和歷年山洪資料，指出這條宣洩山洪的渠道要寬到五十步至七十步（約80—115米）。但經辦此事的人認為郭守敬太誇大了，就把他定的寬度縮減了三分之①楊桓：《太史院銘》，《元文類》卷十七。
一。誰知次年山洪暴發時，果然因渠道太窄，泛濫成災，還險些沖了元成宗的行帳。元成宗在避水時嘆道：「郭太史真是神人吶，可惜沒有聽他的話！」此後，郭守敬的聲望更高了。大德七年（1303），元成宗詔令，年滿七十歲的官員都可以退休，獨對郭守敬，因為許多工作都要依靠他，故破例不准他退休。由此形成了一個新例：太史院的天文官都不退休。這樣，郭守敬就一直工作到去世。元仁宗延祐三年（1316），郭守敬去世，享年八十六歲。天文工作上的貢獻郭守敬在天文學方面的主要貢獻有：製造儀器、從事天文觀測和為《授時曆》作整理定稿工作。
一、天文儀器的製造郭守敬為完成《授時曆》工作創製了十二件天文台上用的儀器，四件可攜至野外觀測用的儀器。這十二件天文台上用的儀器，在郭守敬的門人齊履謙為他寫的傳記中全有記載，每件還附有極簡潔的一二句贊語①。但不知什麼原因，這篇傳記中合計儀器總數為十三件。由此後世研究家頗為迷惑。但細檢齊履謙所記敘及其他各種史料，實為十二件。至於四件可攜式儀器，則在齊履謙也全部羅列。這十六件儀器中，有九件在《元史·天文志》有較詳細記載：簡儀、候極儀、立運儀、渾象、仰儀、高表、景符、闚幾和正方案。其中僅正方案被稱為可攜式儀器。
1.簡儀這是郭守敬發明的最重要的天文儀器。它是把中國傳統的天文儀器渾儀加以簡化、改造而成。渾儀是一種赤道裝置。它由七八個同心圓環組成，共分三層。外層古稱六合儀，起固定架構作用，也可以測讀地平方位角等讀數。中層古稱三辰儀，包括赤道環、黃道環和白道環，可以讀取赤道度數、黃道度數和白道度數。內層是個雙層的圓環，古稱四游儀。在這雙層環中夾有一條兩端開口、供瞄準天體用的窺管。四游環可以繞整個儀器的極軸旋轉；窺管則可以在夾層中繞整個儀器的中心旋轉。這樣，就可以把窺管瞄向星空中的任何一點。渾儀是中國古代在天文儀器方面的一大創造，它在世界天文儀器史上也占有突出的地位。只是，由於渾儀窺管外的環圈較多，有相當一部分空間被遮蔽了，使用效率受到一定影響。
郭守敬的簡化是省去與黃道度數、白道度數有關的圓環。把測讀地平方位角的圓環分離出來，形成一架獨立的儀器—立運儀。郭守敬的改造則是改造了同心結構，把六合儀和三辰儀中的兩個赤道環都移到四游環的南端，用一組雲柱架子斜托著它們。四游環轉動軸的北端則用另一組雲柱結成一個小圓環，讓圓環中心套著軸的北端。轉動軸安裝得和天球周日轉動軸（也就是地球自轉軸）相平行。這樣就形成一種新形式的赤道裝置。這種新形式的赤道裝置後在現代天文望遠鏡中得到廣泛運用。這是簡儀成功的第一個事例。由於撤去了許多圓環，在四游儀的上方一無遮攔，觀測範圍和效率就有了增加和提高。
郭守敬對渾儀中的窺管也作了改革。傳統的窺管是個細長的正方立柱管，柱的兩端開有圓孔。這種細長的中空的立柱體在加工精度上是比較困難的。郭守敬撤去了柱管的三個面，只剩下一面可貼著四游儀環面轉動。這一①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
面就像一根尺子，故改稱窺衡。窺管兩頭開觀測孔的小正方板現在是垂直立在那條尺上的，故稱為立耳。這樣的構造比管子容易加工得多。
由於中國古代測量天體的赤道坐標位置時有自己的特點：相當於現代天文學上所謂赤緯的量，中國古代用其餘角——去極度來表示；相當於現代天文學上所謂赤經的量，中國古代用入宿度（即待測天體與其前在二十八宿中某宿的距星的赤經差）來表示。前者在簡儀中的四游儀上可以直接讀出；後者在渾儀的情況下是採取二次觀測法，即把窺管先對準某宿距星，從赤道環上讀出四游儀所對的讀數；然後快速轉動四游儀，把窺管對向待測天體，再從赤道環上讀出此時四游儀所對的讀數。前後兩數相減，可得天體的入某宿幾度的數值。因為二十八宿的距星各有不同的去極度，與待測天體的去極度一般來說也都不同，因此，即使是一個熟練的觀測者，在前後二次觀測之間也都必須用相當一段時間。而天球是在不停轉動的。這就使前後二次觀測所得的差數，並不是這兩個天體之間真正的赤經差，而是有一定的誤差。針對這個情況，郭守敬又在簡儀上增加了二個部件。它們都是一條長尺，稱為界衡，貼在簡儀南部的二個赤道環上，中心可繞著四游儀轉動軸旋轉。每根尺子的兩端都用細銅線連接起來，細銅線又穿過四游儀的北極軸端。於是，二線一尺形成一個平面。觀測時，可以由兩個人分別把一根尺的二條線對向距星或待測天體，這樣可以同時得到二個讀數，其赤經差的誤差，較之渾儀觀測所得就可降低。就是在一人觀測的情況下，因為每次不需要瞄準一個點，而是瞄向這個點所經過的線，因此所需的瞄準時間也就少得多。這樣，也就降低了誤差。
簡儀的刻度也比較精細。古代渾儀刻度一般將圓周分成度，或者36514100刻。每度後來又可分成4等分，每刻則分成6等分。這樣古代渾儀的最小刻度數是度和刻（古時分刻為分，刻即為分）。而簡儀上的刻度，則度分成等分；刻分成等分，即，最小讀數是度或刻，14161611013616010110136與古渾儀相比，讀數精度大大提高了一步。
簡儀的二個赤道環是重疊在一起的。一個固定不動，好像渾儀的六合儀中的赤道環，上刻時刻制度。一個可以轉動，好象渾儀三辰儀中的赤道環，上刻周天度數。為了增加可轉環的靈活性，郭守敬在二環中間裝了四個滾柱，這種機械裝置可說是近代滾柱軸承的祖先。西方類似的發明是郭守敬之後兩個世紀的義大利大科學家達·芬奇所作出的。
2.候極儀古人早就知道，北極星不在正北極點上，在周日運動中北極星繞不動的北極畫出一個圓。在安裝渾儀時應把渾儀的轉動極軸對準這個北極星軌跡的圓心。郭守敬發明了候極儀，專門用來作這件事。這件儀器的主要功用是校正儀器極軸的安裝位置。故在簡儀中就包容了它。在簡儀南北極軸的大小兩圓環中都有斜置的正交十字銅條，十字中心就是極軸中心。北極一端的十字上叉處又置一小圓環，圓環中有正置的正十字銅條。十字中心離北極軸中心有個固定的距離甲。簡儀南極軸處也有一組斜置的正交十字銅條。其上叉處置一方銅板，板中心開一小圓孔。圓孔中心和南極軸中心的距離也正是甲。因此，從南端的方銅板小孔中心到北端小十字中心的連線正與四游儀的轉動軸中心線平行。通過南端小方銅板的中心向北觀測，應看到北極星在北端的小圓環內。當北極星的軌跡所畫出的圓，其圓心正好和小十字中心重合時，簡儀的極軸就被安裝正確了。否則，就應加以調整。
3.立運儀這是把渾儀中的地平環分離出來而構成的一個獨立裝置。一個地平環水平地臥在地上（儀器底座上），另一個可轉動的環立在地平環的中心，名為立運環。立運環的轉動軸就是從天頂到地平環中心的鉛垂線。立運環上也附有一條窺衡，可以用它來觀測天體的地平高度（或天頂距，它與地平高度互為餘角）。至於地平方位角的測定問題，則因沒有史料留存，故只能推測：或許它是和簡儀相仿，有一條界衡，它的兩端用細線和立運環轉動軸的上端相連。轉動界衡，讓二線與所測天體重合，就可從界衡所在讀得天體的地平方位角。也可能不用界衡，而是從立運環的所在估讀出天體的地平方位角。一般而言，古代對於地平方位角和地平高度這樣的量的測量精度要求不高，因此，從立運環所在進行估讀也不是件不可以的事。現今史料所傳這件立運儀是安裝在簡儀北部的雲柱架下的。實際上它是一件簡儀的附屬裝置。雖然如此，這件能同時讀出地平高度和方位角的儀器，在古代世界還是很有意思的。直到清初，西方傳教士南懷仁在北京製造的6件儀器中，有2件是分別測讀地平方位角的地平經儀和測讀地平高度的地平緯儀。在中國，把二者功能合在一起的地平經緯儀則是法國傳教士紀里安在康熙五十三年（1714）所製造的。
4.仰儀這是一台銅製的、中空的半球面形儀器，形狀像口仰天放著的鍋。半球的口上刻著東南西北四個方向。半球內面刻著與觀測地緯度相應的赤道座標網。半球口上還用一橫一豎兩根十字交叉的竿子架著一塊小板，板心開一小孔，孔的位置正在半球面的球心上。太陽光通過小孔，在球面上投下一個圓形的像，坐標網上立即可以讀出太陽此時在天球上的位置。更妙的是，當發生日、月食時，仰球上的日像或月像也相應地發生虧缺現象。這時，從仰儀上可以觀測出日、月食發生的方位，虧缺部分（稱為食分）的多少，以及各種食相發生的時刻等等。這件儀器後來傳入了朝鮮，朝鮮人民把帶小板的十字竿改成一根尖頂的竿，尖頂位置則正在半球面的中心。這件改造了的仰儀能更精確地測讀地方真太陽時，因而改名仰釜日晷。現今在漢城就還有這樣的實物遺存。
5.渾象這是一台天球儀，與現代常見的天球儀本質一致，只是安放在一隻方柜子中。方櫃的面相當於地平面，半個天球露在方櫃之上。櫃內有機輪系統，可以用漏壺流水來推帶，使之與實際的天球作同步運轉。這是對張衡所創的水運渾象傳統的繼承。
6.高表古代有一種測量二十四節氣時刻的儀器，叫做圭表。表是根垂直立在地上高八尺的竿子或銅柱。圭是從表足下往北延伸的一根平放的尺子，大多為石刻。每天正午，太陽投射出表影落在圭面上，測量影子的長度，可以推算出冬至和夏至的時刻，等等。圭表是件簡單而實用的儀器、但有個缺點，主要由於空氣中微粒塵埃的漫射，使表影的頂端界線模糊不清，這就影響了觀測精度。
郭守敬將圭表加以改造，使之成為原來表高的五倍，故稱高表。絕對數據增長到五倍，同樣的測量誤差，其影響就縮小了五分之四。關於這一點，後世的天文學家也都認識到，所以，從阿拉伯世界到印度，天文儀器巨型化的趨勢是很明顯的。這方面，郭守敬是先行者。
郭守敬的高表還有一個特點。就是表頂不是完全的實體，實體只有三十六尺。在其頂上升起二條龍，抬著一根水平的、直徑三寸的橫樑。梁心到表頂為四尺，梁心到圭面為四十尺。郭守敬這樣設計的緣故，下文自明。
7.景符這是一件與高表相配合使用的儀器。一個座架，斜撐一塊寬二寸、長四寸的小銅板。銅板中心開一小孔。利用針孔成像原理，使太陽光在小銅板背後成一光亮的像。把景符放在圭面上合適的地位，當太陽過子午線時太陽和表梁在圭面上投出清晰的影子：一個個米粒大小的光點，中間有一條纖細的黑線。測量從表足到那根黑線的距離，這就是高表的影長。由於使用了針孔成像原理，景符到圭面的距離很短，這樣，陽光漫射使表影模糊的問題就解決了。
古代測量影長的讀數精度只能到寸以下的分。再往下，因為影端模糊的問題就不再有意義，而且在刻度上求分以下的單位也很困難。郭守敬由於使用了景符，測量的讀數精度就可以到分以下的厘；厘以下還可估計到五毫。至於他在量度實踐中使用的是什麼方法可達到厘和估到五毫的精度，則史無明文，無可猜測。
8.闚幾這件儀器也是配合高表使用的。古代圭表技術只能用於測量太陽影長，月亮和星星的光太暗弱，沒有人想過用圭表來對它們進行測量。於是，郭守敬發明了闚幾來從事這件古人所沒有想到的事。
闚幾是一張長六尺、寬二尺、高四尺的桌子。桌面上開一道長四尺、寬二寸的縫。縫兩旁刻上尺、寸、分的刻度。把闚幾放在圭面上，人蹲在幾下進行觀測。几面上橫放著二根長二尺四寸、寬二寸、厚五分的木條，稱為闚限。它們的兩頭各比闚幾長出的二寸處，又各往下增厚二寸。這樣它們就可卡緊在闚幾邊上。觀測時，用於挪動南闚限，使其北邊沿和高表橫樑的下邊沿及待測天體的下邊相重，然後再挪動北闚限，使其南邊沿和橫樑上邊沿及天體的上邊重合。折取二闚限位置的中線所在就可得到天體的表影數。不過要注意，這裡的表高就只有三十六尺。如果要求四十尺表的「影長」，當然還要經過一定的折算。
重要的是，據《元史·天文志》記載表明，當時曾提到過，用遠隔兩地的高表、闚幾，同日觀測，由此可以推算星、月離地面的距離。這樣的測定，在過去是從來沒有過的。只可惜當時的推算方法和實測事例都沒有留傳下來，否則，將為中國天文學發展史提供許多重要的信息。
9.正方案這是一件所謂供行測，即可以攜帶到野外用的儀器。是一塊四尺見方，厚達一寸的板。板四周開水溝，放水，可以調整儀器的水平位置。從板中心畫一個十字直達邊緣。以十字中心為心，作十九個同心圓，圓的半徑從一寸起，一寸一寸增加。最外第十九個圓則畫成雙重的，以便中間畫上刻度線。最內層的半徑一寸的圓上做成一個高二寸的圓台。中心打洞，洞內立表。表高一尺五寸，冬至時則改為一尺高表；夏至時則改成三尺。改變表高的目的是使一年四季里中午表影一定會落在最內圓之外、最外圓之內。每天從日出開始，監視正方案上表影的移動情況。每當表影正落到一個圓上時，就記下記號。表影從西方進來，到中午時影最短，下午則影從東方出去。一般來說，在一個圓上有二個記號。將這二個記號折取其中，中點和圓心相連就得南北線。如果每個圓上都得到相同的南北線，則這條線就是正確的南北線。當然，做這種觀測，應當在太陽赤緯變化很小時效果較好。這主要是在夏至或冬至前後的若干天內，若在春分或秋分日附近，則太陽赤緯的變化較大，此時只能使用正午前後少數幾個圓上的觀測結果。
有意思的是，正方案也可以用來測定北極方向。把正方案側立在已確定了的正南北線上。用某種方法測定當地的北極出地高度（也即地理緯度）。然後從十字中心斜引一線，與水平橫線所成角度和地理緯度相等，則斜線所指即為北極。以後在安裝其他儀器時，極軸所指即以此正方案上的斜線所指為準。
以上九件在《元史·天文志》中有介紹的儀器，研究的人較多，大體對其結構、功能和使用方法都已有比較清楚的了解①。其他七件中有二件可從朝鮮《李朝實錄》中找到一些史料。這二件中的一件是固定安裝在天文台上用的，叫星晷定時儀；另一件是所謂可攜式的「行測之器」，叫懸正儀。
10.星晷定時儀根據齊履謙記述和贊語，有人判斷所描述的是具赤道式日晷。故提出星晷和定時儀是兩件儀器①；其實齊履謙的記述有脫文，失落了赤道式日晷的名稱和星晷定時儀的贊語②。但從《李朝實錄》卷七十七《世宗實錄》十九年丁巳四月甲戌日條記載，這些猜測都錯了。星晷定時儀應是一件儀器，《李朝實錄》稱之為日星定時儀。星晷定時儀中的「星晷」二字應理解作星和晷，這個晷字作日影解，而不作測日影定時刻的儀器器物解，否則將和定時儀中的儀字意義重複。但星晷二字合在一起，確實有這麼一種器物。例如，《明史·天文志一》中就幾次提到星晷這種儀器。所以，星晷定時儀一詞確實容易引起誤會。朝鮮學者改稱為日星定時儀，是很合理的。關於這件儀器的具體情況，齊履謙留下的四句贊語：天有赤道，輪以當之；兩極低昂，標以指之。
此外則無考。但在《李朝實錄》中卻有對日星定時儀結構的詳細介紹，此段文字轉錄於下：（日星定時儀）其制用銅為之。先作輪，勢准赤道，有柄。輪經（徑）③二尺，厚四分，廣三寸。中有十字距，廣一寸五分，厚如輪。十字之中有軸，長五分半，經二寸。北面剡掘，中心存一厘以為厚，中為圜穴如芥。軸以貫界衡，穴以候星也。下有蟠龍，含輪柄。柄厚一寸八分，入龍口一尺一寸，出外三寸六分。龍下有台，廣二尺，長三尺二寸，有渠有池，所以取平也。輪之上面，置三環。曰周天度分環，曰日晷百刻環，曰星晷百刻環。其周天度分環居外運轉，外有兩耳，經二尺，厚三分，廣八分。日晷百刻環居中不轉，經一尺八寸四分，廣、厚與外環同。星晷百刻環居內運轉，內有兩耳，經一尺六寸八分，廣、厚與中、外環同。有耳，所以運也。
三環之上，有界衡，長二尺一寸，廣三寸，厚五分。兩頭中虛，長二寸二分，廣一寸八分，所以不蔽三環之畫也。
腰中左右，各有一龍，長一尺，共捧定極環。環有二。外環、內環之間，勾陳大星見；內環之內，天樞星見。所以正南北赤道也。外環經二寸三分，廣三分。內環經一寸四分半，廣四厘。厚皆二分。些少相接如十字。界衡兩端虛處，內外各有小穴。定極外環兩邊，亦有小穴。以細繩通貫六穴，而結於界衡之兩端，所以上候日星，而下考時刻者也。
周天環刻周天度，每度作四分。日晷環刻百刻，每刻作六分。星晷環亦刻如日晷。但子正過晨前子正，如周天過一度為異耳。
①參見潘鼐、向英著《郭守敬》第二章，上海人民出版社1980年版。
①陳遵媯：《中國古代天文學簡史》，上海人民出版社1955年版。
②薄樹人：《試探有關郭守敬儀器的幾個懸案》，《自然科學史研究》，1982年第4期。③原文以「經」字代「徑」字。下同。
上述文中把日星定時儀的大小、結構乃至一些細部都已說得很清楚，可不必再作解釋。唯一不太清楚的是，捧定極環的二條升龍立在什麼地方？所謂「腰中左右」究竟是什麼涵義？此事幸得上引《李朝實錄》原文之後還有一段銘文：「雙龍挾軸，擎定極環」。可見，這：「腰中」就是「貫界衡」的軸。這兩條龍當然不會站在界衡之上，因為這樣將要妨礙觀測。應當是站在赤道輪中的十字距上的，而且從器物本身平衡的考慮，可以推知當是在子午向的那條銅距上的。
仔細推敲這段文字，可以發現日星定時儀與郭守敬的星晷定時儀可能有細節上的差別。這主要是指郭守敬的星晷定時儀中是「兩極低昂，標以指之」，也就是說，星晷定時儀中未必有一套定極環等等的結構，而是用某種方法測定了北極方向之後，用一根指標竿固定地對向它就行了。這樣做當然不如有定極環可以隨時觀測校正儀器的極軸方向；反之，它因為沒有二條立龍，故此儀器的使用範圍要比日星定時儀來得寬廣些。兩者各有利弊。
11.懸正儀這件可攜式儀器過去被推測為是一種校正儀器垂直方向的輔助儀器。①究竟具體結構是什麼？中國文獻中未查到資料。查《李朝實錄》，在卷七十七「十九年丁巳四月甲戌」條下記有戊午年春承旨金墩所作的一篇記。記中描述了世宗十四年壬子秋七月起，世宗命大提學鄭招、藝文館提學鄭麟趾、中樞院使李藏及戶曹判書安純等製造天文儀器，修築簡儀台、報漏閣、欽敬閣等工程情況。還提到了當時所造的多種日晷。其中有一種稱為懸珠日晷，結構如下：方趺，長六寸三分。豎柱趺北，鑿池趺南。畫十字於趺北。懸錘於柱頭，與十字相當，則不必水準，自然平整。畫百刻於小輪。輪經三寸二分。有柄斜貫於柱。輪心有竅，貫一細線，上系柱端，下系趺南。線影所在，便知時刻。
這是一台赤道式日晷，只是用北高南低的一根線來代替通常的晷針罷了。令人感興趣的是懸錘校正的設備和方法。在趺北畫一個十字，從柱頭懸一個小重錘下來，當它與十字中心相當，就使儀器自然得以平整。這種裝備和校正方法，在天平日晷、定南日晷等儀器中曾多次使用。這應是郭守敬所發明的懸正儀。正象郭守敬的候極儀成為簡儀中的一個裝置一樣，懸正儀也可以不是一件獨立的儀器，而是一件輔助裝置。
此外，還有玲瓏儀、證理儀和日月食儀三種固定式儀器，丸表、座正儀二種可攜式儀器尚未有可考的資料以使研究者們得到肯定一致的結論。
12.玲瓏儀關於此儀，郭守敬當年的下屬太史院校書郎楊桓寫過一篇銘文①；明代葉子奇的《草木子》中也有一段關於玲瓏儀的記載。根據這些記載，有人判斷玲瓏儀是一種演示性的假天儀②。人進入儀器腹中去，儀器本身是個中空的大圓球，球面上鑿著與恆星位置相應的孔。人在裡面可以看到星星的東升西落。也有人認為這是件假天儀式的渾象，天球的製作材料是與玉相類似的半透明的玻璃③。
有人根據義大利傳教士利瑪竇的札記，認為這是一件精巧的渾儀④。更有①薄樹人：《試探有關郭守敬儀器的幾個懸案》，《自然科學史研究》1982年第4期。①楊桓：《玲瓏儀銘》，《元文類》卷十七。
②李迪：《對郭守敬玲瓏儀的初步探討》，《北京天文台台刊》第11期，1977年7月。③山田慶兒：《授時曆の道》，みすず書房1980年版，第207—209頁。④李約瑟：《中國科學技術史》（中譯本），科學出版社1975年版，第4卷，第459—464頁。人指出這件渾儀是明代仿製渾儀的母體⑤。據說晚清時來華的偉烈亞力（Alexanderwylie，1815—1887）就認為利瑪竇在札記中所描述的渾儀是玲瓏儀⑥。後來德禮賢（DasqualeM.d'Elia）在編輯《利瑪竇全集》及研究利瑪竇札記中所述在南京所見天文儀器那一大段文字時，也將利瑪竇所見到的渾儀釋為玲瓏儀①。但事實上這都是誤解。利瑪竇本人並未說過自己在南京所看到的那架精美巧妙的渾儀有個玲瓏儀的名字。
有人詳細分析了楊桓《玲瓏儀銘》等較可靠的資料後認為，只有解釋作假天儀式的渾象才比較合理②。其中最主要的是對銘文中「十萬餘目，經緯均布」，「遍體虛明，中外宣露」，「人由中窺，目即而喻」等句的理解，就觀測用的渾儀來說是非常困難的。
13.證理儀齊履謙贊語曰：「日有中道，月有九行，公則一之，作證理儀。」所謂「證理」是指證明古人稱月行九道，實即一道的道理。至於如何用儀器來證明法，因無線索，無可推測。
14.日月食儀齊履謙贊曰：「曆法之驗，在於交會，作日月食儀。」這件儀器是用來驗證曆法的，所以可能是一件具有實測性能的儀器。究竟如何，尚待研究。
15.丸表據推測可能是一具新型的天球儀式日晷。在一個可攜式天球上刻著時角一赤緯坐標網。天球赤道上安設一條赤道環。赤道環上裝一根可沿環移動的、垂直天球面的晷針。當把這樣的丸（天球）表（晷針）攜到一個新的地點後，先把丸表的極軸校正得與天的極軸相平行。丸表上的赤道環與天赤道平行。這時移動晷針，當它的日影最短時，從晷針所在的時角線即可得知地方真太陽時。
16.座正儀這當是一種校驗大型儀器底座的水平位置是否正確的儀器。可能是從中國傳統的水平儀發展而來的。
以上十六件儀器都是郭守敬在為創編《授時曆》的工作期間所發明製造的。而在創編《授時曆》工作前後，他還製造並創作了一些天文儀器，其中多數是計時器或與計時器有關的儀器。工作之前製作的儀器有：17.寶山漏這是根據燕肅蓮花漏的原理建造的。
工作之後所製作的儀器有：18.大明殿燈漏又稱七寶燈漏。作於元世祖晚年。此儀器《元史·天文志》有關於外形方面的記載。這是一架高一丈七尺的大型儀器，有四層。頂層是代表日、月、參星、心星的四個神，每天左旋一周。次層有龍、虎、鳥、龜四種動物像，分布在東、西、南、北四方，每到一刻就跳躍鳴叫。再次層有十二神分執時辰牌。到某個時辰，該神就在四門通報。另外有一個人，常以手指時刻牌上的刻數。最末層在四角上各設鍾、鼓、鉦、鐃，各有一人，一刻鳴鐘，二刻打鼓，三鉦，四鐃。所有動力機構和主要傳動機構都藏在一個柜子里，用水來推動。
此器因較複雜，也沒有關於機械部分的任何說明流傳下來，故迄今尚未⑤潘鼐：《現存明複製渾儀源流考》⑥潘鼐：《現存明複製渾儀源流考》。
①何高濟譯，《利瑪竇中國札記》，第4卷第5章，中華書局1983年版，第353頁，中譯者注②。②薄樹人：《試探有關郭守敬儀器的幾個懸案》，第2節「關於玲瓏儀」《自然科學史研究》1982年第4期。
有人作過研究。
19.靈台水運渾天漏①制於元成宗大德二年（1298）。這又回到古代的水運渾象傳統，既有報時刻的部分，又有演示天球周日轉動的部分。這項儀器的複雜程度遠較原來的要高。其中主要是有日月二環，在隨天球作周日轉動的同時，又要表演其在星空間的周期運動。因為日、月的運轉速度不同，且日的視運行軌道——黃道，與天球轉動的赤道不在同一平面上，這種機械結構就比黃赤道在同一平面時的結構要複雜得多。據有關史料記載，這台儀器的機輪共有25個，那的確比宋代蘇頌《新儀象法要》所記的機輪要多。20.櫃香漏中國古代有焚香的習慣，或為敬神禮佛，或為去穢除臭。如果香製得均勻，燃燒時空氣相對穩定，那麼焚香可以作為計量時間的一種方法。南宋王應麟《小學紺珠》卷一「晷漏四法」條記道：「銅壺、香篆、圭表、輥彈。」這香篆就是香漏。因為把香製成曲折盤蛇形（以減少占地面積而又能燃多時間），有如篆字，故稱香篆。郭守敬把香放入櫃中，大抵是為了保持燃燒時空氣流的穩定。至於其具體結構，則無資料可考。
21.屏風香漏這當是把香篆放在屏風上的了。齊履謙說「以備郊廟」①，大概這件屏風是在皇帝祭神、祀祖時，放在神廟裡的。郊祀廟祭時有一套複雜的禮儀，其中多有時刻規定，因此，計時儀器是少不了的。使用屏風香漏則兼有計時和敬神的作用。
22.行漏這是供皇帝出行時隨行用的。《宋史·輿服志一》記有一種行漏輿，要用六十人來抬著走的。輿中的漏是一種很大的秤漏。郭守敬的行漏是個什麼結構，也因缺乏史料已無考。
綜觀郭守敬一生製造的天文儀器，大多具有設計科學、結構巧妙、製造精密、使用方便的特點，而且絕大多數都注意到儀器安裝的校正裝置。他的創作博得同時代和後世的高度讚揚。王恂是很高傲的人，每見到郭守敬的新創作，皆為之心服。三百年後，利瑪竇在南京看到幾件明初從北京運到南京的郭守敬天文儀器，讚嘆說：「其規模和設計的精美遠遠超過曾在歐洲所曾看到和知道的任何這類東西。這些儀器雖經受了二百五十年的雨、雪和天氣變化的考驗，卻絲毫無損於它原有的光榮」①。這幾件儀器，後又於清初運回北京。後來在十八世紀康熙、乾隆年間的幾次工程中，把郭守敬的作品都當作銅材熔化掉了。這是我國文化史上的一大損失。
二、天文觀測郭守敬運用他改進、創造的天文儀器，進行了許多精密的天文觀測，從而使《授時曆》的編制有了可靠的觀測基礎。他所從事和領導的觀測項目甚多。僅舉幾例來說明。
1.冬至時刻的測定冬至時刻是中國古代編算一年曆日的起始時刻，是極重要的基本數據。
郭守敬在大都運用4丈高的木表，每天中午太陽到正南方時觀測影長。然後運用數學方法，推算出從至元十三年冬至到十六年冬至的時刻及這期間的三個夏至的時刻。這中間共利用了九十八組觀測數據，反覆核較，處理是很謹①此器在《四庫全書》本的齊履謙《知太史院事郭公行狀》中稱為「靈台水渾蓮渾天漏」。顯然有誤。①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
①何高濟譯：《利瑪竇中國札記》，中華書局1983年版。
慎的②。
他還從八百多年前的祖沖之所做的冬至時刻觀測開始，選取歷史上比較可靠的六次冬至時刻的測定，由此定出了一個回歸年數值為365.2425日。此數值與南宋楊忠輔的《統天曆》（製成於1199年）中的數值相同，是祖沖之以來最精密的數值。郭守敬還進一步證實了回歸年長度逐漸縮小的規律，定為每百年往後減少萬分之一日。此數雖較現代天文學測定的數值要大（約為後者的16.3倍），但卻優於其前輩楊忠輔（楊忠輔的數值約為現代值的34.5倍）。
2.二十八宿距度和星表測定中國古代為了確定日、月、五星的位置和運動，就在天空黃道、赤道帶附近選取了二十八組恆星，作為量度日、月、五星位置的相對標誌。這二十八組星稱為二十八宿。每組星中又選取一顆星作為標誌星，稱為距星。這一宿的距星到下一宿距星之間的赤道度數（即這二顆星之間的赤經差），稱為這一宿的距度。二十八宿的距度是中國古代天文學中的基本數據之一。從西漢太初改歷時的唐都起，到郭守敬為止，中國歷史上共進行了六次測定。以郭守敬的測定精確度為最高，其誤差的絕對值平均為0°.075或4＇.5。
郭守敬還做過全天星表的測定工作。所謂星表通常是指具有坐標位置的恆星目錄。中國最早的星表是分載於唐《開元占經》中的《石氏星表》。此表約共121顆星（今本《開元占經》佚失6星），坐標位置取中國式的赤道坐標系一入宿度和去極度。據研究，此表測定於西漢中期約公元前78年①。其後唐、宋兩代也都有過全天性的星表測定。其中以宋仁宗皇祐年間（1051—1053）所測星數為最大，在中國古代283星官（星組）1464星範圍內大約測定了將近360顆星②。郭守敬的工作應當匯集在他的《新測二十八舍雜坐諸星入宿去極》一卷及《新測無名諸星》一卷兩書中。遺憾的是這兩書都已不存。從這留下的二個書名可以推想，前一部書是當時有關中國傳統的全部1464顆星的星表，後一部則是超出了中國傳統星官範圍的其他恆星。令人感興趣的是，郭守敬是選取的哪些無名星？根據什麼原則選的？怎麼稱呼它們？這些星的選取和阿拉伯的星表是否會有某種關係？諸如此類的重大問題，由於此書一佚，均無法解答。
前一部書雖已佚，但最近在北京圖書館藏有一部明代抄本《天文匯鈔》，收了一篇題為《三垣列捨入宿去極集》的文獻。其中最重要的部分是以圖的形式繪出傳統星官中的267官1374星（其餘16官89星當是某種遺漏），且在741顆星的邊上注出了該星的赤道坐標位置。另有633星未注數據。對這份特殊形式的星表，潘鼐認為是元代郭守敬所測無疑①。其理由：（1）其中列有二十八宿距度數值和黃道十二次宿度數值，均與《元史·歷志》所載《授時曆經》中的數據相同②。（2）各種度值數據均採用百分制，即1度分為100分。這與郭守敬的方法也相同。
對此，有人提出過不同意見，認為所載的不是郭守敬的數據，而是其後②關於具體計算方法，參閱潘鼐、向英著《郭守敬》第三章（一），第67—72頁。①孫小淳：《漢代石氏星官研究》，《自然科學史研究》13卷2期，1994年。②潘鼐：《中國恆星觀測史》第3章第3節，學林出版社1989年版。
①潘鼐：《中國恆星觀測史》第七章第一節，學林出版社1989年版。
②潘鼐：《中國恆星觀測史》第七章第一節，學林出版社1989年版。
一百年左右的明初人所為。其結論主要來自對741顆星的座標數據所作的數理分析；同時指出所繪的冬至、夏至點和春分、秋分點的位置，也是明初的數值③。雖然他和潘鼐的結論不同，但他也承認該書曾受到郭守敬的深刻影響。
3.四海測驗中國古代曆法都是以首都作為計算基點。許多天文現象，如日，月交食的時刻、食分，當地的晝、夜時間長度等等，卻是因地而異。在唐代，僧一行在改歷時就提出應派觀測隊到全國十三個地點進行天文觀測，以便使新曆能適應全國的要求。元朝比唐朝疆域遼闊，因而郭守敬奏請元世祖批准派出十四個觀測隊，到全國二十七處地點觀測。這次史稱「四海測驗」的部分結果在《元史·天文志一》有記載。有南海、衡岳、岳台、和林、鐵勒、北海和大都七處，各測出當地的北極出地高度（地理緯度）、夏至日中時八尺高表的影子長度（大都為四十尺高表的影長），以及這一天的晝、夜漏刻數（晝夜時間長度）。其餘二十一處地點則只留下一項北極出地高度的數據。據對現今可考的二十處觀測地點所測北極出地高度計算，平均誤差為0°.35。關於檢驗夏至日正午表影的數據，以大都、和林、岳台三處可考的地點來說只誤差幾分（現代單位，1度＝60分），最大也僅13分。其精確度是比較高的①。
4.黃赤交角測定地球的赤道面延伸出去，在天球上的投影也稱為赤道，或稱天赤道。地球繞日公轉的軌道面延伸出去，在天球上的投影稱為黃道。黃道和赤道之間有個交角，稱為黃赤交角。這是天文學上的基本數據。許多曆法計算上的問題都要用到這個數據。郭守敬通過觀測太陽一年中去極度的數據，得到冬至去極一百一十五度二十一分七十三秒，夏至去極六十七度四十一分一十三秒。這兩個數據相減，差數除以2，即得黃赤交角為二十三度九十分三十秒。化成現代使用的單位，則為23°33＇33″.9。運用現代曆書天文學公式可推知，當時的黃赤交角值應為23°31＇58″.0②。郭守敬的誤差為1＇35″.9。古代的黃赤交角測定值中雖然有比郭守敬更精密的。例如，北宋史序等人編撰的《儀天曆》，其誤差只23″.9。金代趙知微的《重修大明曆》，誤差也僅39″.0。他們都比郭守敬要精密。但郭守敬的觀測在當時世界上已是非常先進的了。歐洲要直到三個多世紀以後才有可與郭守敬相比的觀測出現。
5.一些曆元時刻的測定在現代天文學上，各種天文周期都有自己的起算點。這種起算點稱之為有關的曆元。當然，在推定、編排一部天文年曆或民用曆書時，都只能用一種曆元為主，而把其他曆元都歸算到這個指定的曆元時間系統中去。在中國古代，這些歸算的目標和方法都比較特殊。實際上是推算出一個理想的曆元，這個曆元是各種天文周期的共同起點。因此，這個理想的曆元一定離開現實生活的時代十分遙遠。古人稱之為上元。隨著天文觀測的進步，各種天文周期的數值測定得越來越精確，這個上元離開現實③孫小淳《〈三垣列捨入宿去極集〉提要》，《中國科技典籍通匯·天文學卷》，河南教育出版社1995年版。
①潘鼐、向英：《郭守敬》，第三章第（三）節，第79—86頁。
②現代曆書天文學關於黃赤交角ε值的計算公式是由美國天文學家紐康（SimonNewcomb）於1901年提出的，公式為：ε＝23°27＇08″.26—46″.845T－0″.00591T2＋0″.00181T3式中T是從1900年起算的儒略世紀數（1儒略世紀＝36525日），往過去為負。
也越來越遠。例如，金代趙知微的《重修大明曆》中的上元，離他的編歷年份竟有8863萬餘年。如此巨大的數字要在曆法編算中使用，對古人來說是件極其費力的事。因此，到郭守敬時代，王恂等人就決定斷然廢除上元。他們改用至元十八年（1281）天正冬至（即至元十八年開始之前的那個冬至時刻，實際上在至元十七年內）為其主要起算點。其他各種天文周期的曆元，均推算出與該冬至時刻的差距，稱為相關的「應」。由此形成一個天文常數系統。在這個天文常數系統中，《授時曆》提出了七應。這些應值的確定首先必須依賴有大量的天文觀測，有的還須經過複雜的計算，但郭守敬及其觀測班子的工作則是個基礎。
這七應是：（1）氣應。這個數據的含義是，從作為曆元的那個冬至時刻與其一個甲子日夜半之間的時間距離。郭守敬等人歷時三年多的對日影長度的觀測，共取得九十八組數據。並進而推算出這三年中的冬至及夏至時刻，最後確定至元十八年的天正冬至為己未日六刻正。用現代通行的單位說，那是在1280年12月14.06日。按照現代理論的推算，郭守敬等人測定的這個冬至時刻十分精確。（2）轉應。曆元時刻與其前面一次月亮過近地點時刻之間的時間距離。從所留數據得知，郭守敬測定的那次月過近地點時刻在1280年11月30.87日。用現代理論檢驗，其誤差為0.15日。這是歷代測定中最佳結果之一。（3）閏應。曆元與其前一次平朔之間的時間距離。（4）交應。曆元與在其前一次的月亮過黃白道降交點時刻之間的時間距離。（5）周應。曆元時刻太陽所在的赤道宿度位置與赤道虛宿六度之間的角度距離。這是7個「應」中唯一不是時間量的「應」。但因郭守敬等人把一個圓分成365.2575度，其數值和太陽（實即地球）的一個恆星年（相對任一顆恆星，太陽在天上繞行一周的時間）長度365.2575日完全相同。故周應雖然是個角度的量，但卻完全可以當作時間量來運算。郭守敬等測定，在曆元時刻太陽在赤道箕宿10度。用現代理論檢驗，其誤差為0.22度。在古代諸歷中準確度是比較高的。（6）合應。曆元與其前一次五大行星平合時刻之間的時間距離。因為每顆行星的平合時刻各不相同，所以，合應實際上是5個數據。（7）歷應。曆元與其前一次的五星過近日點時刻之間的時間距離。這實際上也是5個數據。
以上十五個數據中，除水星平合時刻和火星過近日點時刻這兩個數據的誤差較大外，其他都是中國古代曆法史上最精確的，或近於最佳的。
三、《授時曆》在《授時曆》創作中，郭守敬雖然有專業分工，他負責制器和測驗，但與整個創作中的其他部分以及總體工作，並非全然無關。《授時曆》的編制是一件規模較大的集體工作。工作中既有專人分工負責，也有重大問題的集體討論。《元史》作者除了在王恂、郭守敬的列傳中記敘了改歷之事外，還在許衡、楊恭懿等人的列傳中也作了相當篇幅的敘述。這些敘述中都透露出《授時曆》編撰工作的集體性。按照當代科學史家錢寶琮的觀點，甚至可認為，早在劉秉忠、張文謙、張易等人同學的時代，他們就對曆法問題有過許多探討①。
在估價集體工作的體制下郭守敬的作用時，應注意的是：一方面，郭守①錢寶琮：《授時曆法略論》，初刊於《天文學報》四卷二期，1956年12月。收入中國科學院自然科學史研究所編的《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版，第352—376頁。敬所分工負責的任務一定會吸收別人的智慧和勞動。例如，關於全天恆星星表的測定就不是哪一個人所能獨力完成的。至於在測定七應的工作中，也離不開曆法的推算和對數據的處理。另一方面，則應該肯定在整個曆法的創新和改革中，也凝結著郭守敬的貢獻和智慧。在新曆頒行後不久主要骨幹王恂等因先後去世或辭歸②，唯剩下郭守敬繼續工作，一人整理了《授時曆》全部文稿。因此郭守敬功不可沒。這也就是後人把《授時曆》的成就都歸於郭守敬的重要原因。《授時曆》除了在天文數據上的進步之外，在計算方法方面也有重大的創造和革新。主要特點有：1.廢除上元積年這一點前面已述。
2.以萬分為日法古代的天文數據都以分數形式來表示。例如，《四分曆》的回歸年長度為日，朔望月為日。這中的就稱為日法。
西漢《太初曆》或《三統曆》取朔望月為日，回歸年則為日。
36514294999404294381365385153914這兩歷就稱81為日法。後人為區別起見，又稱《四分曆》的4為歲日法，而《太初曆》的81則為朔日法。後世各歷也都有自己的朔日法或歲日法。唐代李淳風在《麟德歷》中曾發明回歸年和朔望月統一的日法，但其用分數表示的方式一直未變。但這種分數方式難以立即比較數值的大小，在曆法計算中又需作繁雜的通分運算，很不方便，而且隨著天文數據測定的進步，古人實際上已逐漸明白，無法用一個分數來完全準確地表達這個數據的值。因此，從唐代開始就有人企圖打破分數表達法的老傳統。南宮說於唐中宗神龍元年（705）編的《神龍歷》即以百進制為天文數據的基礎。曹士於唐德宗建中年間（780—783）編的《符天曆》更明確提出以萬分為日法。但《神龍歷》未獲頒行。《符天曆》只行於民間，被官方天文學家貶稱為小歷。到《授時曆》中始以宏大的革新精神，斷然採用以萬分為日法的制度，使天文數據的表達方式走上了簡潔合理的道路。
3.發明正確的處理三次差內插法方法自隋代劉焯以來，天文學家使用二次差內插法來計算日、月等各種非均速的天體運動。但實際上唐代天文學家已發現，許多運動用二次差來計算是不夠精確的，必須用到三次差，但關於三次差內插公式卻一直沒有找到，只能用一些近似公式來代替。《授時曆》發明了稱之為招差法的方法，解決了這個三百多年未能解決的難題。而且，招差法從原理上來說，可以推廣到任意高次差的內插法，這在數據處理和計算數學上是個很大的進步。
4.發明弧矢割圓術天文學上有所謂黃道坐標，赤道坐標、白道坐標等等的球面坐標系統。現代天文學家運用球面三角學可以很容易地將一個坐標系統中的數據換算到另一個系統中去。中國古代沒有球面三角學，古人是採用近似的代數計算方法來解決問題的。《授時曆》採用的弧矢割圓術，將各種球面上的弧段投射到某個平面上，利用傳統的勾股公式，求解這些投影線段之間的關係。再利用宋代沈括髮明的會圓術公式，由線段反求出弧段長股關係的方法是完全準確的。它們與現今的球面三角學公式在本質上是一致的②王恂卒於至元十八年。許衡於至元十七年告病辭歸，次年卒。楊恭懿至元十八年辭歸後即不再返回朝廷。張文謙於至元十九年拜樞密副使，次年病故。張易於至元十九年受他人案件的株連而被處死，等等。①。
以上這些計算方法上的成就，主要應當歸功於王恂，但是，其他學者也為此付出了勞動。特別由於郭守敬是《授時曆》的最後整理定稿者，使這些突出的天文學、數學成就得彰後世，故其功不可沒。
水利工程上的成就郭守敬生平的第二項事業是水利。其中最主要的有二項工程：修復西夏水利和開鑿通惠河。
1.修復西夏水利所謂西夏水利，是指西夏國首都興慶府（今寧夏回族自治區首府銀川市）一帶黃河兩岸的水利設施。
這一帶早在秦漢時起就陸續開鑿了許多河渠，引黃河水灌溉，由此構成一張水渠網，成為西北地區重要的糧倉。但在元朝開國前，歷年征戰，嚴重毀壞了原有水利設施，使此地九萬多頃良田荒蕪，人民常年處於飢餓之中。郭守敬的有關修復水利工作，主要據齊履謙的記述①。
郭守敬對原有的十二條正渠，六十八條大小支渠「因舊謀新，更立牐堰。役不逾時，而渠皆通利」。整修原有的渠道，使之煥然一新，原有已損毀的牐堰也修補更新。總之，這項工程大抵是因舊整修，即令有新渠開挖、新牐堰的建立，也不會很多。所以全部工程才能「役不逾時」，幹了不到一個季度，「渠皆通利」。當然，這也是因為涉及千百萬人的生計大事，上、下均望其速成。投入和工效一定都是極高的。此事的成功對郭守敬來說，在於他有組織大型工程的才能，乾的是造福人民的大好事，因而人民才會在渠上給他立生祠。
2.通惠河的開挖元世祖把首都定在大都（今北京）。為了供養大都臣民的生活，保證帝王、貴族們的享用，許多物資都要從南方運來，其中糧食每年需要從南方征運數百萬斤之巨。在金代，就利用華北平原上的天然水道，與自隋唐以來陸續開挖修建的南方運河相連網，建立了一個水上運輸系統，從南方往金朝中都（今北京）運送糧食。由於自然條件的限制，這個系統的終點不是在大都，而是在京東的通州。通州距離金中都和後來的元大都還有好幾十里路。這一段路程就只能依靠陸運。而陸路運輸的成本很高，並且一到雨季，道路泥濘難行，牲口倒斃，糧車陷在泥中，運輸效率極低。因此，自金朝起，人們就力圖開鑿一條從通州直達京城的運河，以解決運糧問題。
通州地勢低於大都。開運河，只能從大都引水流往通州，沿途築一系列牐壩，使南來的船逐級上駛。這樣，就必須在大都城周圍尋找水源以保證運河的水量。大都城郊有西北方的高粱河，西南方的涼水河，其水量都很小，不敷運河的用水。大都城北幾十里處，有清河和沙河，雖有一定水量，卻因地形自然流向東南，成為通向通州的溫榆河的上游。大都城西幾十里的渾河（今稱永定河），水量在當時是相當大的。金朝時曾從京西石景山北面的西①錢寶琮：《授時曆法略論》，文中專有一節討論弧矢割圓法，見《天文學報》四卷二期，1956年12月；收入《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社1983年版。
①齊履謙：《知太史院事郭公行狀》，《元文類》卷五○。
麻峪村開了一條運河，經過中都注入通州城東的白河。但因渾河中泥沙極多，運河很快淤積；加之夏、秋洪水季節，渾河水極其洶湧，極易泛濫，對運河兩岸造成威脅。所以，開鑿了十五年之後又復把運河上游的口子填塞了。這個使命最終落到了郭守敬的身上。而郭守敬也不是一舉成功的。
由於金朝開挖的運河，正流經大都城牆的南面。以下往東到通州的一段完全可以利用，因此所需解決的只是上游的水源。
早在元世祖中統三年（1262）郭守敬初見忽必烈時所提的六項水利工程計劃中，第一項提的就是此事。他計劃把清河的上源中，從玉泉山湧出後東流，經瓮山（今萬壽山）南面的瓮山泊（今昆明湖的前身）再向東的那一支流改道向南，注入高粱河，再進入運河。這項計劃曾經實施。但因只是一泉之水，只能用於增加大都城內湖池宮苑的用水量，對航運則無裨益。
三年以後，他從西夏回來，又提出了修運河的第二個方案。這個方案是利用金人所開渾河的口子，只是另在金人運河的上游開一道分水河，引回渾河。當河水暴漲，危及下游時，就開放分水河閘口，解除對大都城的威脅。同時考慮到渾河水攜來的泥沙問題，他撤去了運河上的閘壩，以使泥沙自然運走。這種設想固然有其道理，但大都到通州運河段的水位下降梯度，雖比大都以上的運河段梯度較小，卻仍然是相當大的，沒有閘壩控制，巨大的糧船就無法逆流而上。因此，這個方案在至元十三年（1276）實施完成以後，只對運河兩岸的農田灌溉及放送西山砍伐木料的作業有所幫助。
此後郭守敬總結了兩個方案失敗的教訓，並在大都周圍仔細地勘測水文和地形起伏情況。只是由於他又被調去修歷，才把此事擱下了。
至元二十八年（1291），有人建議利用灤河和渾河溯流而上，作為向上都運糧的渠道。元世祖不能決斷。派太史令郭守敬去實地勘查。郭守敬探測到中途，就已發現這些建議不切實際。他乘著報告調查結果的機會，提出了許多新建議。其中第一個就是他已籌劃多年的大都運河新方案。
這個方案利用他第一次方案中鑿成的把瓮山泊流出的一支清河上源引向南面高粱河的河道。為了進一步擴充水源，又把昌平縣神山（今稱鳳凰山）腳下的白浮泉水引入瓮山泊。此後，河水並不徑直南下，而是反向西引到西山腳下，再沿西山往南，沿途攔截所有原來從西山向東流入沙河、清河的泉水，使匯成流量可觀的水渠，再經高粱河進入流向通州的運河。因為這些都是清泉水源，泥沙很少，運河下游可以無顧慮地建立船閘，使糧船平穩上駛。元世祖對這一方案極為重視，下令重設都水監，命郭守敬兼管都水監事，並調動幾萬軍民，於至元二十九年春天動工。開工之日忽必烈命丞相以下官員一律到工地勞動，聽郭守敬指揮。此舉雖然只是個象徵，但卻反映了元皇朝對這條運河的重視程度和郭守敬在水利方面的權威。整個工程只用了一年半時間，全長一百六十多華里的運河連同全部閘壩工程就完成了。這條運河被命名為通惠河。而自昌平到瓮山泊的一段又特稱白浮堰。從此以後，南來的船舶可直駛到大都城中，作為船舶終點碼頭的積水潭上登時桅檣如林，熱鬧非凡。通惠河不但解決了運糧問題，而且促進了南貨北銷，繁榮了大都城的經濟。
通惠河工程從技術上來說最突出的是白浮堰線路的選擇。白浮泉的發源地海拔約六十米，高出大都城地勢最高的西北角約十米。但因兩者之間隔有沙河和清河兩條河谷地帶，它們的地勢都在五十米以下，甚至還不到四十五米。因此，如從白浮泉直線南下，則泉水勢必沿河谷東流而下，進不了運河。如果用架渡槽的辦法，則也只能引白浮一泉之水，起不了多大作用，卻費工甚巨。而郭守敬所選的線路，雖然迂迴，卻保持了河道較小的水位落差梯度，且可攔截沿途所經的諸多水源，使流入運河中的水能有較大的水量。因為從神山到大都城的直線距離有六十多華里（三十多公里），在這麼長的路程上地形有幾米的起伏那是很微小的。從這裡可以看出，郭守敬的地形測量技術實在是很高超的。當代許多地理學家考察了白浮堰線路之後，對郭守敬的成就無不交口讚譽。
光輝業績郭守敬的畢生事業和主要成就雖在天文和水利兩個方面，但他卻是位多才多藝的科學家，在許多領域都有他的創造性的貢獻。
他曾提出，以海平面作為基準，比較大都和汴梁（今河南省開封市）兩地地形高下之差，這是地理學上的一個重要概念—海拔的創始。
他在西夏水利工程結束後曾溯黃河之流而上，探尋黃河的發源地。由此他成為以科學考察本身為目的，專程探求黃河河源的先驅者。他的探查結果沒有記載流傳下來。傳世的第一部河源考察成果專著為都實所撰《河源記》，此是至元十七年（1280）都實奉忽必烈之命專程考察河源的紀實。先前郭守敬的考察對都實肯定有相當的影響。
他在簡儀中使用了滾柱軸承，以使簡儀南端的動赤道環可以靈活地在定赤道環之上運轉。西方的類似裝置是在二百年後才由義大利科學家達·芬奇發明的。
他所創作的大明殿燈漏是第一架與天文儀器相分離的獨立的計時器，在中國鐘錶發展史上具有重要的意義。
他在景符、仰儀等儀器中反覆運用了針孔成象原理。這在中國光學史上也是比較突出的成就。
這樣一位有多方面傑出成就的科學家，身後自然會得到後人的讚揚和敬仰。
新中國建立後，人們對他更隆重紀念。1959年開館的中國歷史博物館，在門廳中陳列了他發明的簡儀，元代展品中設立有他的胸像和事跡介紹。八十年代初，在他的家鄉建立了郭守敬紀念館。在北京積水潭上的匯通祠中也陳列有關事跡和開挖通惠河的介紹。1962年，郵電部就發行繪有郭守敬像和簡儀的紀念郵票共二枚①。1970年，國際天文學聯合會以郭守敬的名字命名月球背面的一座環形山，其位置為134°W，8°N。1977年，中國科學院紫金山天文台把小行星2012號正式命名為郭守敬星。中國天文學會受國際天文學聯合會的委託，在八十年代舉辦過幾屆有關天文學前沿的世界性講習班，這些講習班也是以郭守敬的名字命名的。
①《中國古代科學家》（第二組共8枚），編號紀92，1962年12月1日發行。郭守敬像為第7枚，簡儀為第8枚。