狹義與廣義相對論淺說 · 27．廣義相對論的空時連續區不是歐幾里得連續區

在本書的第一部分，我們能夠使用可以對它作簡單而直接的物理解釋的空時坐標，而且，按照第２６節，這種空時坐標可以被看作四維笛卡兒坐標：我們能夠這樣做，是以光速恆定定律為基礎的。但是按照第２１節，廣義相對論不能保持這個定律。相反，按照廣義相對論我們得出這樣的結果，即當存在著一個引力場時，光速必須總是依賴於坐標。在第２３節討論一個具體例子時，我們發現，曾經使我們導致狹義相對論的那種坐標和時間的定義，由於引力場的存在而失效了。 鑒於這些論述的結果，我們得出這樣的論斷，按照廣義相對論，空時連續區不能被看作一個歐幾里得連續區；在這裡只有相當於具有局部溫度變化的大理石板的普遍情況，我們曾把它理解力一個二維連續區的例子。正如在那個例子裡不可能用等長的杆構成一個笛卡兒坐標系一樣，在這裡也不可能用剛體和鍾建立這樣一個系統（參考物體），使量杆和鍾在相互地作好剛性安排的情況下可用以直接指示位置和時間。這是我們在第２３節中所遇到的困難的實質所在。 但是第２５節和第２６節的論述給我們指出了這個困難的道路。對於四維空時連續區我們可以任意利用高斯坐標來作參照。我們用四個數ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４（坐標）標出連續區的每一個點（ 事件 ），這些數沒有絲毫直接的物理意義，其目的只是用一種確定而又任意的方式來標出連續區的各點。四個數的排列方法甚至無需一定要把ｘ１，ｘ２，ｘ３當作「空間」坐標把ｘ４當作「時間」坐標。 讀者可能會想到，這樣一種，世界的描述是十分不夠格的。如果ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４這些特定的坐標本身並無意義，那麼我們用這些坐標標出一個事件又有什麼意義？但是，更加仔細的探討表明，這種擔憂是沒有根據的。例如我們考慮一個正在作任何運動的質點。如果這個點的存在只是瞬時的，並沒有一個持續期間，那麼這個點在空時中即由單獨一組ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４的數值來描述。因此，如果這個點的存在是永久的，要描述這個點，這樣的數值組就必須有無窮多個，而且其坐標值必須緊密到能夠顯示出連續性；對應於這個質點，我們就在四維連續區中有一根（一維的）線。同樣，在我們的連續區中任何這樣的線，必然也對應於許多運動的點，以上對於這些點的陳述中實際上只有關於它們的會合的那些陳述才稱得起具有物理存在的意義。用我們的數學論述方法來說明，對於這樣的會合的表述，就是兩根代表所考慮的點的運動的線中各有特別的一組坐標值ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４是彼此共同的。經過深思熟慮以後，讀者無疑將會承認，實際上這樣的會合構成了我們在物理陳述中所遇到的具有時空性質的唯一真實證據。 當我們相對於一個參考物體描述一個質點的運動時，我們所陳述的只不過是這個點與這個參考物體的各個特定的點的會合。我們也可以藉助於觀察物體和鐘的會合，井協同觀察鐘的指針和標度盤上特定的點的會合來確定相應的時間值。使用量杆進行空間測量時情況也正是這樣，這一點稍加考慮就會明白。 下面的陳述是普遍成立的：每一個物理描述本身可分成許多個陳述，每一個陳述都涉及Ａ＿、Ｂ兩事件的空時重合。從高斯坐標來說，每一個這樣的陳述，是用兩事件的四個坐標ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４相符的說法來表達的；因此實際上，使用高斯坐標所作的關於時空連續區的描述可以完全代替必須藉助於一個參考物體的描述，而且不會有後一種描述方式的缺點；國為前一種描述方式不必受所描述的連續區的歐幾里得特性的限制。