狹義與廣義相對論淺說 · 1．幾何命題的物理意義

閱讀本書的讀者，大多數在做學生的時候就熟悉歐幾里得幾何學的宏偉大廈。你們或許會以一種敬多於愛的心情記起這座偉大的建築。在這座建築的高高的樓梯上，你們曾被認真的 教師 追迫了不知多少時間。憑著你們過去的經驗，誰要是說這門科學中的那怕是最冷僻的命題是不真實的，你們都一定會嗤之以鼻。但是，如果有人這樣問你們，「你們說這些命題是真實的，你們究竟是如何理解的呢？」那麼你們這種認為理所當然的驕傲態度或許就會馬上消失。讓我們來考慮一下這個問題。 幾何學是從某些象「平面」、「點」和「直線」之類的概念出發的，我們可以有大體上是確定的觀念和這些要領相聯繫；同時，幾何學還從一些簡單的命題（公理）出發，由於這些觀念，我們傾向於把這些簡單的命題當作「真理」接受下來。然後，根據我們自己感到不得不認為是正當的一種邏輯推理過程，闡明其餘的命題是這些公理的推論，也就是說這些命題已得到證明。於是，只要一個命題是以公認的方法從公理中推導出來的，這個命題就是正確的（就是「真實的」）。這樣，各個幾何命題是否「真實」的問題就歸結為公理是否「真實」的問題。可是人們早就知道，上述最後一個問題不僅是用幾何學的方法無法解答的，而且這個問題本身就是完全沒有意義的。我們不能問「過兩點只有一直線」是否真實。我們只能說，歐幾里得幾何學研究的是稱之為「直線」的東西，它說明每一直線具有由該直線上的兩點來唯一地確定的性質。「真實」這一概念有由該直線上的兩點來唯一地確定的性質。「真實」這一概念與純幾何這一論點是不相符的，因為「真實」一詞我們在習慣上總是指與一個「實在的」客體相當的意思；然而幾何學並不涉及其中所包含的觀念與經驗客體之間的關係，而只是涉及這些觀念本身之間的邏輯聯繫。 不難理解，為什麼儘管如些我們還是感到不得不將這些幾何命題稱為「真理」。幾何觀念大體上對應於自然界中具有正確形狀的客體，而這些客體無疑是產生這些觀念的唯一淵源。幾何學應避免遵循這一途徑，以便能夠使其結構獲得最大限度的邏輯一致性。例如，通過位於一個在實踐上可視為剛性的物體上的兩個有記號的位置來查看「距離」的辦法，在我們的思想習慣中是根深蒂固的。如果我們適當地選擇我們的觀察位置，用一隻眼睛觀察而能使三個點的視位置相互重合，我們也習慣於認為這三個點位於一條直線上。 如果，按照我們的思想習慣，我們現在在歐幾里得幾何學的命題中補充一個這樣的命題，即在一個在實踐上可視為剛性的物體上的兩個點永遠對應於同一距離（直線間隔），而與我們可能使該物體的位置發生的任何變化無關，那麼，歐幾里得幾何學的命題就歸結為關於各個在實踐上可以視為剛性的物體的所有相對位置的命題。作了這樣補充的幾何學可以看作物理學的一個分支。現在我們就能夠合法地提出經過這樣解釋的幾何命題是否「真理」的問題；因為我們有理由問，對於與我們的幾何觀念相聯繫的那些實在的東西來說，這些命題是否被滿足。用不太精確的措詞來表達，上面這句話可以說成為，我們把此種意義的幾何命題的「真實性」理解為這個幾何命題對於用圓規和直尺作圖的有效性。 當然，以此種意義斷定的幾何命題的「真實性」，是僅僅以不太完整的經驗為基礎的。目下，我們暫先認定幾何命題的「真實性」。然後我們在後一階段（在論述廣義相對論時）將會看到，這種「真實性」是有限的，那時我們將討論這種有限性範圍的大小。