我們怎樣讀書 · 第四編 我們怎樣學習數學和自然科學
數學所給與人們的
劉薫宇
我想在這篇短的文字中答覆許多人對於我所提出的「數學有什麼用？」的問題。我希望因我的這一篇簡略的述說能引起人們對於數學的偉大的功績的注意，不把很狹的用去估計它的價值——雖然這是無損於它的。
只要人的生活不是全然在懵懂渾沌中，就沒有一個時候——勿論怎樣短——脫離了數學的關係，張一比李四高一點；同樣的樹，遠的看去低，近的看去高；今天的風比昨天大，這許多的比較都是在人心受了數學的鍛煉以後才能獲得的。從白馬湖要到上海去，就比到寧波去需多備川資，多帶零用物品，多留出幾天的空間；準備一月的糧比備一天的糧要多儲幾斗米；沒有事到山上去跑的時候，見著太陽已發了紅色快掉下去，就得放快一點腳步才得免了黑夜的奔走。這一類的事，也不是從有生以來就不曾受過數學的鍛煉的人所能夠的。
一百頁的書打算五天念完，每天平均應當念多少？雇一個人做了三天的工，要給他多少工錢？想縫一件大布長衫要買多少布才不至於不足，也不至於多出可省的剩餘？這自然是很淺的，很明白的，沒有一個人否認的，數學所給與人的「用」。但數學對於人的貢獻若只有這一點，也就值不得去學，縱然不得不學，也是一件極輕而易舉的事了。中國的舊式商人，通了小九九便可受用不盡，若是還知點飛歸的就要被人稱頌，實在是一個刮刮叫的人物了。對於這點，沒有人還懷疑數學的用，但以這點於人很微末的幫助來讚美數學，彼雖未必叫屈，也絕無所用心。一般人對於數學，反是覺著越學越沒有用，這是彼所引以為憾的，雖然彼目的不全在給人以用。
人們若不想返到數千年以前的生活，不顧穴居野處，鑽燧取火，茹毛飲血，和別人老死不相往來，現在的物質文明，一切科學的，工藝的，機械的貢獻在或種限度以內，它的價值不能抹殺的。物理學家、化學家、生物學家支配世界的力量和天文學家、藝術家以及思想家原是難於軒輊。人們與別的一切生物不同，能夠享受較滿足、較愉快的生活，全仗他們的思想。數學就是思想的最重要的工具，在二十世紀以後，找一種不受數學的影響的思想界的產物，恐怕是不可能的吧？
抱殘守缺的中國式的舊工藝，已經漸漸地失了它的滿足人的需要的力量了。而公輸子之巧，不以規矩，也不能成方圓；師曠之聰，不以六律，仍然不能正它音。沒有他們的巧或聰的人們，怎能不墨守成法呢？可憐的中國啊！要建築一所比較合於衛生的、美麗的、高大的房屋，就不得不到洋人或讀過洋書的人的面前去屈尊就教了！
在空閒的時間到劇園裡去聽戲或音樂會裡聽音樂；為增一點知識到講演會中去聽講演，都有一件使人感著苦痛的事實發現，不是力量大、腿長或錢多的人，必定被擠到人叢的後面，到了一個聽而不聞的地位，乘興而去敗興而回。哪能想到有容五六千人，沒有一個人坐著不能聽的講堂，已在美國築了起來，正有不少的人享樂呢？更何能想到這樣偉大適用的堂憑了一個極簡單的代數式（Y 2 ＝70.02X）就可以築起來呢？憑著這樣一個極簡單的式子，工程師坐在屋裡，吸著雪茄，把一切牆的形式，台的長，天花板的高，都不費多大的力就從從容容地決定出來，而且不爽分毫。這不是什麼神奇的事體，只依聲浪直線進行照投射角相等的角折回的性質和一個代數式的幾何的曲線的性質，受用不盡了！更大更美的建築，數學也有同樣的貢獻啊！除了丁字規、三角板、兩腳規，還有什麼方法可以取方就圓、切長補短呢？基本的幫助，就是不少的幫助吧！
（a＋b） 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2
（a＋b） 3 ＝a 3 ＋3a 2 b＋3ab 2 ＋b 3
（a＋b） 4 ＝a 4 ＋4a 3 b＋6a 2 b 2 ＋4ab 3 ＋b 4
這樣的式子，在它的本身不會和銅元鈔票一樣的明白地顯示它的用，哪知道經濟學上也不能不和彼親善呢？債券的價格、拆換、生命保險、火災保險，都要以彼為根據的。
雖依上面的說法，把數學所給人的，講得比一般人所想到的大一點，仍然不能得到它的真實的偉大的貢獻。若從天文學上考察，可以使我們更驚異，相信它的能力了。
太陽已落下西邊去，月亮也喚不起的夜裡，在我們眼裡所感著的美覺，不是掛了滿天的星嗎？有閃爍的，有飛舞的，沒有一個人不是用「無數」兩個字來表示它的不能數的多。數學對於這樣人不能數的星，卻用了幾個簡單的式子，就能統括起彼等行動的路來，按著式子就可決定彼等在某時的相關的位置，比用我們的兩眼所看的還正確。在海王星沒有被發現以前，因研究關於星的擾動，許多天文學家和亞丹模士（Adams）就從數學上決定了它的軌道。當彼行到望遠鏡可以見著的時候，亞丹模士和他的朋友依計算所得的地位將望遠鏡移轉，這從前不曾發見而為數學所已決定的海王星果然無所逃避被他們看見了。
這樣的例證，雖然多，或者都因為是在理科科學上的運用，一般以數學為理科科學的基礎的朋友們當然不否認，別的人難免仍有微辭的。但以數為理科科學的基礎，雖沒有大錯，卻把數學的力量狹看了！
數學在哲學的領域以內占相當的勢力，這是從人類的文化略有基礎的時候就是這樣的。柏拉圖教他的弟子學哲學，要他們先有幾何鍛煉思想。彼塔果拉斯的哲學更和數學分不了家。其實哲學家不受數學洗禮的真是不易被尋出來，讀過哲學史的人對於這話總不至於以為武斷吧？
邏輯可當得哲學的基礎了，數理邏輯（Mathematical Logic）的創興，更使哲學的研究得到了較大的助力，雖然這種的研究才在萌芽時代，但「他可以使我們易於研究比『言詞的推論所能數出的』更抽象的觀念，他可以指示『用別的方法想不到』的有效的假定，他可以佐助我們立刻看出一個邏輯的或科學的理論之建築所需要的至少材料是什麼？」也就其功不可沒了。
數學上對於「聯續」和「無限」的研究，得到了美滿的結果以後，哲學上的疑問，有不少的也倚仗而得到解答。數學和哲學在某部分也是難於分出界限來的，因此數學不只是理科科學的基礎。假使哲學在人的思想界能顯出更大的權威來，數學的功效也就值得稱為偉大了，何況彼所加惠於人的還不止此呢？
以求善為目的的人們很易將數學輕視，有時更以為數學是使人習於深刻的，應當反對。真正的善本沒有深刻與否的問題，後一層沒有答辯的必要。數學是以求真為主的，於善有關係嗎？數學對於人既有絕大的貢獻，本身當然是善的，以數學為基礎的科學，也是以有助於人的幸福為目的，數學也是沒有罪的。至於因科學受了利用而產生不少的罪惡——機械供資本家使用而使一般操手工業的，不能不忍辱含垢地到工廠里去討苦痛生活，軍國主義者利用科學，製造殺人的猛烈的器具——這不是科學的罪惡，更不是為科學的基礎的數學罪惡。
「善」不是在別是非嗎？「善」不是要尋求道德的真正的意義嗎？這樣的企圖要滿足，恐怕不能不藉助數學吧？
很容易表現和數學衝突，或無關係的，要算藝術了。自然藝術是從情感發出的，但純粹不多少加入點理智的成分的情感，人也是不容易有的吧？「真」和「美」也不是可以絕對分開的啊！秩序啦，和諧啦，不是美的必要的條件嗎？音階的組成，不也要賴數學來將各音的振動的關係表明嗎？一張畫上各種物件的關係位置，各部分的大、小、長、短不也是數學所支配著的嗎？
數學本身也能將美貢獻於人的。我們和外界接觸的時候，森羅萬象，倘若在心理不能有相當整理，弄得秩然有序，自然界的可憎，恐怕要使人不可一朝居了！這種綜合的能力，從數學發生出來的比較簡要確實，非別的所能比擬的。就是表現一種圓形的變化，也以數學為簡單明了。數中間的神妙變化，給以人的美感也是不可解說的啊！從一到無窮的整數中，整數是無窮的，從一到二間的數也是無窮的，從一到二分之一，或二十分之一，二百分之二……以至以二萬萬……分之一間的數仍然也是無窮的，這樣的想像果然只能使人們感著枯燥沒有一點美感嗎？崇高和偉大也是興起美感的，使我們感著大而又大，大之外還有大，無論如何可以超出我們的想像力以外，這樣的美感從什麼地方還可得著呢？大，大至無窮；小，小至無窮；變幻，變幻至無窮。極紛繁的、不可計的，可以合綜到極單簡，極單簡的可以推演到無量數，這樣的、能動的、內心的美感不值得讚頌嗎？
已經說過的話也不少了，或者可以表現數學所給予我們的很不算小。我們所能從彼得到的只有這些嗎？還有更大的沒有呢？我想，將我們居住的世界在精神上擴延出去，使我們不執著在現實的六合以內，才是數學最大的恩惠。要說的這一層，較詳的敘述實無法免去。
我們想像有種在直線上生活的人——說彼是人——他的行動只有前進和後退，沒有改變方向——無論上下、左右——的能力。這樣的人，倘若被我們在他進行的直線的路上前後都加上了極薄極薄，極短極短的阻隔——只要有阻隔無論怎樣薄怎樣短——要不許他衝破那阻隔，他有隻陷到不幸的生命，困死在裡面了。在我們看去，這是何等的可笑呢？腳一提或由左右一移動就得到生路了。但這是我們不止能在直線方向活動的人替他想的，他絕不能領會。
比他更進步——假定說——的人，我們設想他不但能在直線上活動，在平面內都能活動。這個世界的人，自然不至於有前一種世界的人的厄運，因為他可以由旁邊活動——雖然還不能上下活動——得到生活。但是，我們對於他只要在他所在的平面上，圍著他畫一個小圈，雖然這圈是用墨筆畫的，在我們已經看不出它的厚來，只要不許他衝破，也就可以限制他的活動，圍困他了。我們用我們的智慧可以指示他，叫他不用力地跳下就可以出來，但「跳」是上下的活動，為他所不能理會，所以這樣的指示就和對牛彈琴一樣，不能給微末的幫助，這也是我們從旁看去為可笑的。
我們笑他們，固然他們只有忍受了，或者他們和我們一樣，不唯不能領受別人的指示，而且永遠想不到那樣的指示是有的。這句話似乎很可驚異了。但是我要提出一個問題：假如有人將我們用一口極薄的紙做成的箱子封關在裡面，不許我們扯破箱子，我們能出來嗎？不在裡面困死嗎？直線世界的人不打破他前後的阻礙不能出來，我們笑他，平面世界的人不打破他四周——前後左右——的圓圈不能出來，也引起我們的冷笑，我們自己呢，不過多一條出路——上下——把這條多的出路一同封住，也就只有坐以待斃，這不應當受非笑嗎？不，這是不應當的，因為我們和他們有一點不同。他們的困難是我們所能解除的，我們的困難是不能解除的，因為除了前後、左右、上下、三條路，實沒有第四條路。這樣的解釋，不過聊以自慰罷了。我們在立體世界想不出第四條路和他們在直線世界想不出第二條路，在平面世界想不出第三條路不是一樣的嗎？不是只憑各自的生活的環境設想嗎？直線世界的人不能因他的想像不能及否認平面世界的人的第二條路，平面世界的人，他們不能因他們的想像所不能及否認我們的第三條路，我們有什麼權利因我們的想像所不能及就否認第四條路呢？不將第四條路否認掉，第五、第六條路也同樣的難於否認。有了三條路以外的路，不打破薄紙做的紙箱除了我們立體世界的笨伯有什麼不能出來呢？這樣的說法，執著在物質的現實界的人們除了驚異搖首而外，只有用實際的生活作武器來反對。在立體世界的實際方面，第四條路是不能找出的。但這樣由合理的推論得到的理想的世界——這裡只是比喻說，數學上自有根於理論的證明——使我們的精神的生活不囿於六合以內，這是何等偉大的成就！愚蠢的人們，勞心焦思的統領著一般富於獸性的人，殺戮了許多善良的朋友，才爭得尺寸的地盤，而且終於患得患失的。不費一矢，不傷一人，不和任何人相角逐，在立體的世界以外，開拓了第四、第五……條路來，不占有而享受，精神界的領域何等廣漠！這就是數學所給與人們的！
（《春暉校刊》）
我們應該怎樣學習數學
施炳如
畏習數學是多數青年的通病。他們不是說公式難記，便是說定理易忘；不是說代數式眩目，便是說幾何圖暈腦；簡直視數學如害人的毒物。在規矩較嚴緊的學校里，學生為文憑計，還勉強地敷衍了及格。若在規矩不嚴的學校里，畏習數學的同學們，便放肆起來，生一種欺人自欺的心理；「橫豎文憑是要到我手的，何必去和那眩目暈腦的數學作戰呢？」哈哈！他們竟拿文憑做讀書的對象哩！他們在上數學課的時候，起初或者還耐著性子聽聽，後來漸漸地不耐煩起來，身雖在課室內，而心早已不知到哪兒去了！教員儘管諄諄地講著，學生儘管視之如敝屣！長此以往，與數學越離越遠了，竟鑄成棄而不學的大錯！這種態度，殊非我們大有作為的青年當取的。青年的態度，第一要真實，要不尚虛榮而務實在，「為讀書而讀書」，非「為文憑而讀書」，我們究竟應該怎樣學習數學呢？依我個人的愚見分述如下：
（一）要明白數學的功效——多數青年畏習數學的原因，雖是因為習數學較習它科用腦為多，而由於不明白數學的功效，卻是最大的原因。他們只知道文字可以發表思想，以為數學無甚用處，殊不知數學是一切科學的基礎，什麼化學啦！物理啦！天文啦！經濟啦！工程啦！……都非通數學不能研究的。此外還可以：
（a）鍛煉思想——使我們呆板的心機，變成靈敏；靈敏的心機，更加靈敏。遇到重要的事件有判斷力，難解的問題有推究心。做事說話都有條理，不致雜亂無章。總說一句，它使我們的思想緊密敏銳。
（b）陶冶性情——使我們態度沉靜，讀書做事沒有浮躁著急的態度。總說一句，它能使我們性情沉著溫和。
照上面看來：數學是一切科學的基礎，並能鍛煉思想，陶冶性情；我們為研究科學計，為做人計，應當如何努力於數學啊！
（二）要有不畏難的毅力——不畏難是成功的要素；畏難是失敗的徵兆。我們無論研究哪種學問，都要有不畏難的決心。對於艱深的數學，更是這樣。你若畏難，它便愈難，把你緊緊地束縛著；你若不畏難，和它戰個你死我活，一戰而解圍，再戰而轉勝，三戰便把它降伏了。那時你心中是如何的快樂啊！朋友們！要曉得天地間沒有不勞而獲的事情，社會裡不容不學無術的廢人！研究學問，不用功是不能得個中風味的！所以要有不畏難的毅力，也是學數學的先決問題。
（三）要完全了解——我們無論研究何種學術，都要徹底了解，不可囫圇吞棗地讓它過去；數學尤當如此。因為數學是由淺入深，由簡入繁，前後相關聯的。——前面講的，後面大都應用著。——我嘗看見許多同學，起初他們有個一知半解，便得過且過地敷衍了事，殊不知已經株連著後面的了。及至後來，符號愈多，圖式愈繁，又加以題中所應用前面講過的不甚了解，於是就越弄越不明白，見數學便生厭心。而畏習數學的心理，從此就成功。所以我說要完全了解，最好自開宗明義第一章起，就弄個透徹。時時要存懷疑的態度，處處要問「Why」、「How」，長此以往，數學就成為你的密友了！
（四）要多演習題——我們對於所學過的，不僅了解就算了事。必須要多演習題；練習多了，才能應用純熟，入腦不忘，到了別人測驗你的時候，便可「駕輕就熟」地答出。否則，僅以了解便算盡學習的能事，你覺得你明白它，它便為你所有，殊不知事實上卻不是這樣。如果平時不練習，乍去演題，一定是棘手的，甚而竟莫名其妙了！這是我經驗之談，讀者諸君，切勿以為河漢！我們要多演，不但教科書上的習題，題題要演，並且還要找其他書上同類的習題來演，以補充教科書的不足。但我看許多學校里的數學教員，他們不獨不令學生額外多演，就連教科書內的習題，也不過選幾題給學生去演罷了！這樣學生的成績，如何能好？原來不怪他們偷懶，因為他們擔任的功課，總在三四班以上，每班以四十人計算，每天的卷子已在百卷上下了；如令學生額外多演，當教員的也沒有三頭六臂，哪有許多精神去閱改？這個地方，希望各校當局注意才好。至於演題的時候，應該注意下面幾點：
（a）不可不思即演——我看見許多同學，遇題不假思索，便糊糊塗塗地演去，徒費時間，不得結果，縱有結果，不是舛誤，就是失之太繁笨。所以在未演之前，必須要把題求個徹底了解，然後思索應該用何種方法演算？如何演算最為簡便？
（b）不可抄襲他人——許多青年，對於演題，不肯用腦，便抄襲他人的卷子，潦草塞責；這樣，結果等於不演。所以我們至萬不得已時，請同學講解則可，一味抄襲則絕對不可。
（c）演題時要沉靜——演算時務要心無雜念，聚精會神地注意於題上。如果心如野馬，一面演題，一面嬉戲，一定是沒有好效果的。
（五）要多看參考書——任何教科書，都不能說它盡善盡美，那麼，勢不能不看參考書了。我們多看參考書，才能融會貫通，不致泥於一見。不過參考書也要選擇適合自己程度，方能收效。不然，也是徒勞無益的。
以上所說，雖是老生常談，然而若實地行去，我敢說多少總有點幫助。
（《學生雜誌》）
中學生應該怎樣讀理化
沈滌生
現在中等學校所用理化教本，不外兩種：（1）中文教本。（2）英文原本。一般讀理化的青年，除了做問題和作實驗報告外，他們對於理化所做的功夫，只會熟記書中內容，好像除了理化書中記載而外，別無所謂理化材料一樣。至於讀英文原本理化的則更翻閱字典，當著理化讀本看待，拚命的讀熟書中定理和定義。更奇怪地就是有少數青年把英文定理讀得很熟並且能寫得出，但是中文意思說不出。這樣讀理化可算失了讀理化的本意。茲草是篇，和中等學校諸青年一討論之。
一 中學生為什麼要讀理化
在未討論怎樣讀理化之先，我且來說明中學生為什麼要讀理化？我們讀理化的目的：一、借已知的定理解釋宇宙間關於理化方面的事實問題。二、為研究高等理化的預備。在中等學校里所講授的理化雖屬初等的，但應重視常識問題。這種常識問題，觸目皆是，只要我們善於觀察就得。一個常識問題到手，千萬不可輕易放過；須根據學理，多方解釋。所以讀理化的「讀」字，應含有研究意思。讀熟理化，敷衍考試，不是學習理化最終目的。除記得外並能懂得、說得、寫得，又能應用得，才是中學生讀理化的本意。
二 理化應該怎樣讀法
（一）以原理定律為指路牌。從前牛頓坐在蘋果樹下看見蘋果墜下，因發明地心吸力公理。在他不過一時思索所得的結果，但是在物理界裡卻得了很大的貢獻，不啻開闢了一條大路。後人凡遇著這一類的事實問題皆得就這個路牌上所指的大路求解答。可是理化上像這樣開闢的大路非常之多，不過路名不同。我們在這些大路上行走，不應只記幾個指路牌上的路名，也須到這些大路上的百貨商店裡去參觀參觀；本好奇的精神去研究研究。但是理化界裡未開闢的大路也正不少，這開闢的責任，不是我們青年來負擔，又將誰屬呢？所以青年們讀理化第一要努力內容之了解，斷不是記了幾個理化名詞和讀熟幾個定義定理，就算讀了理化。
（二）留心宇宙間的現象。一般青年當試驗理化時，在實驗室里工作，非不細心；但是離開了實驗室，那種實驗的精神完全拋棄。好像在實驗室里，須用觀察的功夫，離開了實驗室別無可觀察的事實一樣。這是一般青年大錯特錯之點。青年們要曉得一切科學的完成，都是根據宇宙間的各項事實問題。我們所研究的理化，當然也是拿宇宙間一部分的事實問題做根據；而研究理化的人們也當然拿宇宙間的現象做中心點。教材是死的，我們能應用教材解釋現象，則死的教材就經了一番活的支配。死教材死記，是暫時的記憶，死教材經了一番活的支配，則融會貫通，永遠不會忘卻。現在一般的青年讀了理化所以不能應用的原因，就在關於日常所接觸的理化材料（天然的或器械的）未細心觀察，窮究其所以然。譬如天色是青的，青年們很少討論過天色為什麼是青的？又譬如海水是綠的，家居海濱的中學生，他又不會推求過海水為什麼是綠色？再譬如「朝霞陰，晚霞晴」、「霜前冷，雪後寒」、「西風不過酉，過酉連夜吼」等一類的諺語皆含有至理，青年們也都知其然而少有推究其所以然者。我以為青年不注意這一類的事實，一者因為看慣了，提不起他們的好奇心；二者心中存了一個當然的心理，不覺得怎樣稀奇。要知我們研究學問，就從這平常的看慣的事實方面著手。就當然的事實，推究其所以然的原因，就是善於研究學問者份內的事。我國社會上一般人對於理化知識，非常缺乏。尤望受中等教育的青年們，根據學理，打破一切的迷信。
（三）善於摘要。讀完了一篇，先要明悉這一篇的概念，然後摘錄並記憶其要點。若已讀完了全部，尤要作統系的聯絡並注意其關聯處。所以中學生在課堂上聽講要注意兩件事：（1）細心；（2）勤於筆記。在自習室里對於理化應做的功夫，應分三種：（1）問題答案；（2）實驗報告；（3）整理筆記和摘要。
問題答案、實驗報告和摘要是個人的成績表現，學者應看得十分重要，尤應至誠的整理，不應待教師迫逼然後著手。但是在這三項成績里，學者以為最苦的就是摘要。他以為苦的原因，就是不知從何下手。於是當詳不詳，當略不略。茲為青年一指示之。
摘要的簿子用中式的或西式的或卡片均可，唯理化摘要往往夾有算式或程式，似摘要簿子以西式的或卡片為最佳。而用卡片摘要，便於攜帶，且可活動取閱，和英文生字塊的效用一樣，是理化摘要尤以用卡片為最便。
理化摘要里應注意的事項：
1．物理方面
（1）名詞解釋。
（2）定律、假說和理論的說明。
（3）各種單位。
（4）公式。
（5）計算例。
（6）器械原理。
（7）實驗手續。
2．化方學面
（1）名詞解釋。
（2）定律、假說和理論說明。
（3）原質之種類及其分族法。
（4）研究每種原質又應注意下列諸點：
（a）名稱；
（b）符號；
（c）存在；
（d）製法（工業製法、實驗室製法）；
（e）性質（化學性質、物理性質）；
（f）重要的化合物。
（5）金類和非金類原質之表列及其性質之比較。
（6）鹽基類和酸類的異點及其相互的作用。
（7）原子量和分子量的測定法。
（8）各項計算例。
（9）分子式和方程式的說明。
（10）重要原質原子價的表列。
（11）實驗的手續。
有了注意點，我們就容易定材料的去舍，但摘要時最要緊地有四個字「簡單整潔」，應該字不多用並字字金玉。茲舉例於次：
氣體體積的變化
（1）氣體體積和溫度的關係——正比例。
（2）氣體體積和壓力的關係——反比例。
（3）絕對溫度——攝氏表所指溫度加上273就成絕對溫度。
（4）標準狀況——壓力760mm、溫度0℃稱標準狀況。
（5）氣體分子運動的理論——氣體分子離開很遠，運動不息。
（6）計算例
（a）壓力改變的計算例；
（b）溫度改變的計算例；
（c）壓力溫度同時改變的計算例。
表式在摘要里很重要，凡可列表的，都須列成表式以示簡單並醒目。再舉例如次：
（四）多思。做了摘要並不是對於理化就算讀得很好，應該做了摘要之後，還要設法記得摘要。記的方法應注意兩要點：（1）對於一章有一章的概念，對於全書有全書的概念。（2）常常回顧。現在一般的青年讀理化的毛病就在零星的記憶，片段的注意，讀第二章拋棄了第一章，讀第三章拋棄了第二章。於是讀完了全部物理或化學，其中究竟講些什麼，仍不能說出大概。我以為讀者應多多用思，常常回顧已讀教材，作統系的記憶，並應能說出書中各要點。譬如物理里有多少名詞？它的解釋怎樣？有多少定律、假說和理論？它的說明怎樣？有多少公式？它的計算例怎樣？各項單位又怎樣？所以讀完了全書尤應在摘要里另作一個簡單的綱要，讀者即根據這個綱要，作統括的複習。不然，則所做的摘要，複習的時候，又從何下手呢？
（五）注意實驗。青年們對於實驗興味很濃，這實是一個好現象，但是也有少數的青年，帶有敷衍性。我以為實驗幫助記憶不少，且可把課堂上所聽得的抽象教材，施諸實地的觀察，青年應十分注意。茲把實驗注意點概述如下：
（1）實驗前應先預習；
（2）預習時應將實驗手續錄一大綱；
（3）實驗時觀察應精細，並須將現象隨時記出；
（4）實驗既完，應注意器具之整理並清潔；
（5）實驗後應當日完成其報告；
（6）如實驗時有疑點或其他特別現象，應即與教員細為討論。
結論。青年們果能照上所述者做去，則一切考試都有把握。有好多青年遇著考試所以叫苦的原因，還是由於平時不善自學。茲提出青年四缺點，願青年注意，並作本篇之結論：（1）應當有研究心；（2）應抱懷疑態度；（3）應多多發問；（4）應善於整理。
（《教育與人生》）