我們關於外間世界的知識 · 第七講 積極的無限性理論

積極的無限性理論以及由之產生的數的一般理論，乃是哲學上的科學方法取得的一個巨大成功，因而特別適於作為說明這種方法的邏輯分析特性的例證。數學家們已經做過這個課題的工作，其成果可用數學符號系統表達出來。於是，人們也許會說，為什麼這個課題應當看作是哲學的而不是數學的呢？這就提出了一個困難的問題，這個問題部分地與語詞的使用有關，部分地對理解哲學的功能亦有現實的重要意義。任何題材似乎都既可以產生相應的專門的科學，也可以引起哲學的研究，這兩種研究的區別在於活動方向不同，所要確立的真理之種類不同。各門科學在其已經充分發展時，研究活動是向前的和綜合的，是從簡單到複雜。但是在哲學上我們則沿著相反的方向進行研究：我們是藉助分析從複雜而相對具體的東西進到簡單和抽象的東西，在這個過程中力求消除原來題材的特殊性，而完全貫注於有關事實的邏輯形式。 哲學與純數學有一定的相似性，即二者都是普遍的和先天的。二者都不斷定如歷史、地理那樣的依賴實際具體事實的命題。我們可用萊布尼茨的觀點來說明哲學和純數學的這個特徵，他認為有許多可能的世界，其中只有一個是現實的。在所有的可能世界中，哲學與數學都會是相同的；只是在描述性科學所記錄的那些特殊事實方面才有區別。因此我們的現實世界之有別於其他抽象的可能世界的任何性質，數學和哲學都置而不論。不過，數學和哲學研究一切可能世界所共有的普遍性質的方法則有所不同；數學是從比較簡單的命題出發，用演繹的綜合去構造愈來愈複雜的結果，哲學則是從常識的材料出發，去把這些材料加以純化並概括成具有抽象形式的最簡單的陳述，這種抽象形式的陳述是可以通過邏輯分析由這些材料得到的。 哲學與數學的區別可以現在討論的這個問題即數的性質問題為例來說明。二者都是從關於數的檢驗明白無誤的某些事實出發的。但是數學利用這些事實推演出愈來愈複雜的定理，而哲學則通過分析深入到這些事實的背後，去找出更簡單、更根本、內在地更適於作算術科學之前提的其他事實。「數是什麼？」的問題是這個論題中明顯的哲學問題，而數學家只要充分知道數的性質就能演繹定理，他就無需問這個問題。我們討論的對象既然是哲學的，因此我們必須盡力解決哲學家的問題。我們將可看到，我們在本講中對「數是什麼？」的問題得到的回答，也暗含著對上一講考察的無限性困難的回答。 直到最近以前，「數是什麼？」的問題從未以能夠提供一個明確答案的方法考察過。哲學家們滿足於諸如「數是多中之一」之類的含糊不定的斷語。曾使哲學家們感到滿意的一個典型的這類的定義是西格瓦特《邏輯》（第66節，第3小節）中所說的：「每個數不僅是一個多，而且是一個被認為集合在一起從而成為一的多。」在這種定義中有一個基本的錯誤，與我們因為有些花是黃的就說「黃是一朵花」時所犯的錯誤是同類性質的。以數3為例。我們可以設想把三個事物的集合描述為「一個被集合在一起從而成為一的多」；但是三個事物的集合併不是數3。數3是三個事物組成的一切集合所共具的某種東西，但其本身並不是一個由三個事物組成的集合。因此，這個定義不僅有別的缺點，而且它也沒有達到必要程度的抽象：數3是比任何三個事物的集合更抽象的東西。 不過，這類含糊的哲學定義正因其異常之含糊，所以始終沒有發生什麼作用。大多數思考過數的人心中所想的實際是認為數是計數的結果。西格瓦特在開始討論數時說：「自發地把數的系列延長到無限的可能性是建立在對計數規律的意識之上的。」認為數是由計數產生的這種觀點一直是使人們理解無窮數的主要心理障礙。計數是人們所熟悉的，因而被誤以為是簡單的，其實它是一個高度複雜的過程，除非計數所得到的數獨立於它所由以得到的這個過程而具有一種意義，那麼計數是沒有任何意義的。無窮數根本不可能用這種方法得到。這個錯誤與把牛定義為可從牛販子處買得之物所犯的錯誤是同類性質的。一個人如果認識一些牛販子卻從沒有見過牛，對於他這也許是一個極好的定義。但是如果他出外旅行時經過一群野牛，他就一定會說它們根本不是牛，因為沒有一個牛販子能販賣它們。同樣，無窮數不能通過計數得到，因而也就被宣布為根本不是數。 略費片刻考察一下計數實際是什麼，當是值得的。我們計數一組對象時，就是讓自己的注意力從一個對象移到另一個對象，直到對每個對象都注意了一次，同時按著每一依次相續的注意活動的順序說出各個數的名字。在這個過程中最後一個被指名的數就是這些對象的數，因此計數是發現對象為何數的一種方法。但是計數活動實在是非常複雜的，以為它是數的邏輯來源的那些人明顯地表現出他們缺乏分析的能力。首先，當我們計數時我們說「一，二，三……」，除非我們賦予一，二，三……這些詞以某種意義，否則是不能說我們發現了所數對象的數的。一個兒童可能學習依次認識這些詞，像讀字母一樣正確無誤地把它們複述出來，但是並未賦予這些詞任何意義。從聽他說話的成年人的觀點來看，這樣的兒童可能正確地數數，但根本沒有數的觀念。事實上，只有對數是什麼已有某種觀念的人才能理智地進行計數活動；由此可見，計數並未提供數的邏輯基礎。 再說，我們怎麼知道計數過程得到的最後的數就是所數對象的數呢？這正是我們過分熟悉而竟至不知其意義的那些事實之一；但是想當邏輯學家的人卻必須養成仔細研究這種事實的習慣。這個事實涉及兩個命題。第一個命題是：從1到任一給定的數，所有這些數的數就是這個給定的數，例如，從1到100所有的數的數就是100；第二個命題是：如果有一組數可用作一組對象的名字，每個數隻出現一次，那麼被用作名字的這些數的數和對象的數相同。在有窮數的範圍內，對第一個命題可以很容易地做出算術的證明；但是對於第一個無窮數之後的無窮數來說，這個命題卻不再是真的了。第二個命題則對於無窮數也還是真的，而且我們將看到，這個命題事實上是數的定義的一個直接的結果。但是由於第一個命題在涉及無窮數時是假的，計數即使是實際可能的，也不會成為發現無窮集合中諸項之數的有效的方法，而且按照進行計數的方法事實上會提供不同的結果。 已知的無窮數之區別於有窮數有兩個方面：第一，無窮數具有一種我稱為自反性的性質，有窮數不具有這種性質；第二，有窮數具有一種我稱為歸納性的性質，無窮數不具有這種性質。我們且依次考察一下這兩種性質。 （1）自反性。——一個數如果加1而不增加，就叫做自反的。由此可立即推知，可把任何有窮數加於一個自反數而不使其增加。直到晚近以前，人們總認為無窮數的這種性質是自相矛盾的；但是通過康托爾的工作，人們已逐漸承認，這種性質初看雖令人感到驚訝，但是它並不是自相矛盾，正如生活在地球相反一面的人並不摔出地球這個事實不是自相矛盾一樣。由於無窮數具有這種性質，設有任一對象的無窮集合，我們都可以把任何有限數目的對象加上去或取出來，而並不增加或減少這個集合的數。在某些條件下，甚至把無窮多的對象加上去或取出來，也不改變這個集合的數。我們可借幾個例子說明這一點。 假設把所有的自然數0，1，2，3，……寫成一行，緊接著在下面寫1，2，3，4，…… 0，1，2，3，……n…… 1，2，3，4，……n+1…… 使得1在0下，2在1下，如此等等。於是上一行的每個數在下一行中都有一個數直接在它下面，而且沒有一個數在任一行中出現兩次。由此推知，這兩行數的數目必是相同的。但是在下一行中出現的數在上一行中也出現，不過上一行中多一個數，即0；因此上一行中諸項的數是把下一行的數加一而得到的。因此，只要我們認為一個數必因加以1而增加，上述這種情況就構成一種矛盾，而且要導致否認有無窮數。 下面的例子甚至更令人吃驚。試將自然數1，2，3，4，……寫在上行，將偶數2，4，6，8，……寫在下行，使得上一行中的每個數在下一行中都有它的倍數。於是，像前例一樣，這兩行數的數目是相同的，然而第二行是從上一行中去掉了所有的奇數（這是一個無窮集合）而得到的。這個例子是萊布尼茨提出來，用以證明不可能有無窮數的。他相信有無窮集合，但是他認為一個數被加時必增加，被減時必減少，因而他主張無窮集合是不具有數的。他說：「一切數的數暗含著一個矛盾，這個矛盾我指出是這樣的：任何數都有一個對應的等於它的倍數的數。因此一切數的數並不大於一切偶數的數，亦即全體並不大於部分。」(1)在討論這個論證時，我們應當用「一切有窮數的數」代替「一切數的數」；這樣我們就得到恰恰如上面兩行數所提供的一個例解：一行包括一切有窮數，另一行只包括偶數有窮數。我們將看到，萊布尼茨認為主張全體不大於部分是自相矛盾的。但是「大於」一詞是一個可能有多種涵義的詞；為了我們的目的，我們必須代之以較少歧義的片語「含有更大數目的項」。在這個意義上，全體和部分相等，並非自相矛盾；正是對這一事實的領悟才使現代的無限性理論成為可能。 在伽利略論運動的對話的第一篇中，對無限的全體的自反性有一段有趣的討論。我從1730年的英譯本中引用這一段話。參加對話的人物是：薩爾維阿蒂、沙格列陀和辛普利齊烏斯，他們的辯論如下： 「辛：這裡已經產生了一個我認為無法解決的疑問，這就是：既然明白假定一條線長於另一條線，而且二者都包含無限多的點，我們當然必須推論說，我們在同一種類中發現了大於無限的東西，因為較長的線的點的無限性大於較短的線的點的無限性。但是指定有一個大於無限的無限，是我無法設想的。 「薩：這是我們以有限的理解力討論無限物所引起的困難之一，我們把賦予有限物的屬性賦予無限物，我認為這是不正確的，因為大、小、相等這些屬性與無限性是不相符合的，我們不能說一個無限性大於、小於或等於另一個無限性。我想到某種可以證明這一點的東西，我要向引發這個困難的辛普利齊烏斯發問來提出我所考慮的東西。首先，我想你知道什麼是平方數，什麼不是平方數吧？ 「辛：我知道得非常清楚，平方數就是任何數自乘而得的數；例如4和9是平方數，4是2自乘的結果，9是3自乘的結果。 「薩：很好，你也知道，自乘的積叫做平方，自乘的因子叫做根；其他的數如果不是由數自乘而得的，就不是平方。因此試把所有的數，包括平方數和非平方數，都加以考慮，如果我說非平方數多於平方數，我不是說得對嗎？ 「辛：毫無疑問是對的。 「薩：那麼我們繼續談下去，如果我問你有多少平方數？你會正確地回答說，像它們自己的根一樣多，因為每個平方都有自己的根，每個根都有自己的平方，而且任何平方都沒有一個以上的根，因而任何根也沒有一個以上的平方。 「辛：說得很對。 「薩：但是如果我問有多少平方根，你只能承認像數一樣多，因為沒有任何數不是一個平方的根。承認了這一點，我們也可以肯定平方數和數一樣多；因為有多少平方就有多少根，有多少根就有多少數。然而在開始的時候我們說過，數比平方數多得多，大部分的數不是平方數。當我們繼續進到較大的數時，平方與數的比例就愈是減小，數到100時，你就發現只有10個平方數，即1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，就是說只有1/10是平方數；在1萬中只有1%是平方數；在100萬中只有1‰是平方數。然而在一個無窮數中，如果我們只得領悟它的話，那麼我們可以說，平方與所有的數加在一起一樣多。 「沙：那麼在這種情況下我們須如何確定呢？ 「薩：我看沒有別的辦法，只有說所有的數都是無限的；平方是無限的，它們的根是無限的，而且平方的數並不少於數的數，數的數也不少於平方的數，於是我們可以得出結論：相等、大、小的屬性或詞語在無限物中沒有地位，而只能用於有限的量。」(2) 上述討論中伽利略闡述問題的方法是值得稱道的，但是他提出的解決方法並不正確。實際上，平方（有窮）數的數和（有窮）數的數是相同的。只要我們限制在小於某一給定的有窮數的範圍內，隨著這個有窮數之增加，平方的比例就逐漸趨近於0，這個事實與下面這個事實即一切有窮平方的數和一切有窮數的數相同，並不矛盾。這不過是今天數學家已經熟悉的一個事實的例子，即當變數趨近某個點時，函數的極限與當變數實際達到該點時函數的值可能是不同的。儘管伽利略討論的無窮數是相等的，但是康托爾已經指出，辛普利齊烏斯不能設想的東西卻是真的，就是說，有無窮多的不同的無窮數，而且較大和較小的概念也完全可應用於它們。辛普利齊烏斯的全部困難顯然來自他的這個信念：如果較大和較小可用之於無窮數，那麼無窮集合的一部分所有的項必較其全體所有的項為少；如果把這個信念否定了，一切矛盾就消失了。至於引起上述討論的線的長度問題則涉及較大和較小的一種非算術的意義。一條長線和一條短線上的點的數是相同的，事實上所有空間上的點的數都是相同的。測量幾何學上的較大較小包含著疊合這個測量學的新概念，這個概念不可能從單純算術的研究發展出來。但是這個問題並不具有屬於算術的無限性理論的那種根本的重要性。 （2）非歸納性。——無窮數之區別於有窮數的第二個特性是非歸納性。我們最好通過對歸納性這種正面性質的定義來說明非歸納性。歸納性是有窮數的特徵，是根據通稱為「數學歸納法」的證明方法而被名之為歸納性。 我們先考察一下把某個系列中的一種性質叫做「遺傳性的」是什麼意思。試以姓為瓊斯這種性質為例。假定一個人姓瓊斯，他的兒子就也姓瓊斯；因此我們就其父子關係方面稱姓瓊斯這種性質為遺傳的。如果一個人姓瓊斯，那麼他的所有男性直系後裔就都姓瓊斯；這是來自這種性質是遺傳的這個事實。現在我們放下父子關係來考察一下一個有窮數及其直接後繼的關係，即如0和1，1和2，2和3等等的關係。如果數的一種性質就這種關係來說是遺傳的，那麼這種性質若屬於（比如說）100，它就必然也屬於所有大於100的有窮數；因為它既然是遺傳的，那麼由於它屬於100，它也就屬於101，由於它屬於101，它也就屬於102，如此等等——這裡這個「如此等等」或遲或早會把我們帶到任何大於100的有窮數。例如，大於99這個性質在這個有窮數系列中是遺傳的；一般地說，假定任何一個數具有一種性質，其下一個數也必然總是具有這種性質，那麼這種性質在這個系列中就是遺傳的。 我們將會看到，一種遺傳的性質，雖必然屬於所有大於某個具有這種性質的數的有窮數，但不必屬於所有小於這個數的數。例如，大於99這種遺傳的性質屬於100和所有更大的數，但不屬於任何小於100的數。同樣，姓瓊斯這種遺傳的性質屬於具有這種性質的那些人的所有（男性直系）後裔，但不屬於他們的一切祖先，因為我們最後會追溯到第一代瓊斯，在他之前的祖先是沒有姓氏的。不過，亞當具有的任何遺傳的性質顯然必定屬於所有的人，同樣，0所具有的任何遺傳的性質必定屬於一切有窮數。這就是所謂「數學歸納」原則。當我們想要證明一切有窮數都具有某種性質時，我們常常首先須證明0具有這種性質，然後證明這種性質是遺傳的，就是說，如果它屬於某個數，那麼它就也屬於其下一個數。由於這種證明被稱為「歸納的」，我就把可做歸納證明的性質稱為「歸納的」性質。因此數的歸納的性質就是一種遺傳的並屬於0的性質。 試以任一自然數，如29為例。不難看出，它必然具有一切歸納的性質。因為既然這些性質屬於0而且是遺傳的，它們就也屬於1；因此，它們既然是遺傳的，它們就也屬於2，依此類推；把這種論證重複29次，我們就證明了這些性質屬於29。我們可以把「歸納的」數定義為所有具有一切歸納性質的數；它們與所謂「自然」數即普通有窮整數是同一的。對所有這樣的數都可以有效地應用數學歸納法的證明。可以大致地說，它們是可以從0開始連續不斷地加1而得到的那些數；換言之，它們是所有可通過計數而得到的數。 但是在所有這些數之外，還有無窮數，而無窮數是沒有任何歸納性質的。因此這樣的數可稱為非歸納性的。我們根據想像從一個數到下一個數一步步地證明的數的一切性質，一進入無窮數很可能就全都沒有了。第一個無窮數沒有直接的前趨，因為不存在最大的有窮數；因此從一個數到下一個數步步相繼前進永遠也不會從有窮數達到無窮數，一步步的證明方法在這裡失效了。這是人們以為無窮數是自相矛盾的另一個理由。數的很多最常見的性質，以往人們一直習慣地認為是邏輯必然的，實際上只能用步步前進的方法證明，對無窮數是不適用的，但是我們一旦懂得了這些性質必須用數學歸納法來證明，而這種證明方法的適用範圍是極其有限的，就會明白人們設想的矛盾並不違反邏輯，而只是違反了我們的成見和心理習慣。 我們可以由加1而增大的性質即非自反性為例來說明數學歸納法的局限性。我們很容易證明，0加1就增大了，如果某個數被加1而增大，那麼其下一個數即由加l而得的數也是如此。由此推知，每個自然數都是由加1而增大的。一般地說這是從這個普遍的論證推出來的，而就每一特殊的數來說則是通過對這個論證的大量應用而推出來的。我們首先證明，0不等於1；其次，既然由加1而增大的性質是遺傳的，由此可知1不等於2；由此又可推知，2不等於3；如果我們想證明30000不等於30001，只須把這個推論重複30000遍就可以了。但是我們不可能用這種方法證明，所有的數都由加1而增大；我們只能證明，對於可通過從0開始連續加1而得的數，這種方法是適用的。具有自反性的數即超出一切可以這種方法得到的數之外的數，事實上並不因加1而增大。 無窮數的特徵，即自反性和非歸納性這兩種性質，迄今尚未證明總是連在一起的。我們已知一切自反性的數都是非歸納性的，但是我們還不知是否一切非歸納性的數都是自反性的。許多作者，包括我自己在內，曾經發表過關於這個命題的錯誤證明，但直到現在還未發現一個站得住腳的證明。不過，我們實際知道的無窮數都既是非歸納性的又是自反性的；因此，在數學的實踐上而不是在理論上，這兩種性質總是聯繫在一起的。既然所有已知的數都或者是歸納性的，或者是自反性的，因此，對我們的目的來說，把也許有非歸納性的非自反性的數這種純粹的可能性撇開，是方便有利的。 當無窮數最初被介紹給人們的時候，人們往往拒絕把它們名之曰數，因為無窮數的性能與有窮數迥然不同，把它們叫做數似乎是故意濫用名詞。為了反駁人們的這種看法，我們現在必須轉到算術的邏輯基礎，討論一下數的邏輯定義。 數的邏輯定義對於無窮數理論雖似乎是一個重要的支持，但事實上它是由另外的人獨立發現的。無窮數理論（這是指這個理論的算術部分而非邏輯部分）是康托爾發現的，發表於1882至1883年。(3)數的定義是大約同時由一位其偉大天才一直未得到應有的承認的人物發現的，我指的是耶拿的弗雷格。他的第一部著作《概念演算》（發表於1879年）包含有關於一個系列中遺傳的性質（我在討論非歸納性時已經談到這種性質）的極重要的理論。他對數的定義包含在1884年發表的第二部著作，題為《算術的基礎，關於數的概念的邏輯—數學的研究》一書中。(4)算術的邏輯理論即以此書為開端，略微詳細地考察一下弗雷格的分析不會是徒勞的。 弗雷格首先注意到對數學證明上邏輯嚴格性的日益增長的要求，這是現代數學家不同於前人的地方。他指出這種要求必然導致對數的定義作批判的研究。他進而指出，以往的哲學理論，尤其是康德的「先天綜合」理論和穆勒的經驗論，都是不適當的。這就使他提出一個問題：嚴格說來，究竟可以把數歸於一類什麼對象？他指出，物理的東西是可以看做一或多的，例如一棵樹有一千片葉子，它們可被集在一起來看構成樹葉，我們可把整個樹葉算做一，而不是一千；一雙靴子和兩隻靴子是同一對象。由此可見，物理的東西不是可用數來恰當述謂的主詞；因為當我們發現了真正的主詞時，被歸之於它的數必須是毫不含糊的。由此又進而討論了認為數實際是某種心理的主觀的東西的非常流行的觀點，弗雷格斷然否定了這種觀點。他說：「數正如北海一樣不是心理學的對象或心理過程的產物。……植物學家要對植物有所陳述，他講的無論是花瓣的數目，還是花的顏色，同樣都是事實。二者都不是我們的主觀臆想所決定的。因此在數和顏色之間有某種相似性；但是這種相似性並非二者都是外間事物中可感知的東西，而是在於二者都是客觀的。」（第34頁） 弗雷格繼續說：「我把客觀的與可觸的、空間的與實在的區別開來。地球的軸、太陽系質量中心是客觀的，但是我不會稱它們為實在的，像地球本身之為實在的那樣。」（第35頁）他的結論是：數既不是空間的和物理的，也不是主觀的，而是非感性的和客觀的。這個結論很重要，因為它適於數學和邏輯的一切對象。大多數哲學家一直認為，物理的東西和心理的東西二者一起窮盡了全部的存在。有些哲學家論證說，數學對象顯然不是主觀的，因而必然是物理的和經驗的；另一些哲學家則論證說，數學對象顯然不是物理的，因而必然是主觀的和心理的。這兩派就其所否定的東西而言都是正確的，就其所肯定的東西而言則都是錯誤的；弗雷格的功績在於接受了這兩派所做的否定，並且找到了第三種主張，即承認有既非心理的又非物理的邏輯的世界。 正如弗雷格指出的，事實上任何數，即使1這個數，都不可能應用於物理的東西，而只能應用於諸如「人」，「地球的衛星」，「金星的衛星」之類的通名或摹狀詞。「人」這個通名可用之於一定數目的對象：世界上有多少多少人。哲學家們覺得要斷定一個數必須有一種統一性，這是對的，這種統一性就是通名的統一性，而通名正是數的真正主詞。當只有一個對象或沒有一個對象歸於這個通名之下時，這一點也同樣適用。「地球的衛星」是只能應用於一個對象即月亮的名詞。但是「一」並不是月亮本身的性質，我們同樣很可以把月亮看作許多的分子，「一」乃是「地球的衛星」這個通名的一種性質。同理，0是「金星的衛星」這個通名的一種性質，因為金星並沒有衛星。這裡我們才終於有了一個關於0這個數的可以理解的理論。如果數適用於物理對象，關於0的這種理論就是不可能的，因為顯然任何物理對象都不可能具有0這個數。於是，我們在尋求數的定義上現在已經達到這個結果：數是通名或普遍摹狀詞的性質，而不是物理的東西或心理的現象的性質。 我們無需做任何重大的變化，就可將通名可用於其上的對象的類或集合（在上例中即是「人類」）代替像「人」這樣的通名，作為可用數來斷言的主詞。兩個通名，如「人」和「無羽毛的兩足動物」，可應用於同一對象集合，顯然具有同樣數目的實例；因此數決定於類，而不決定於選擇這個或那個通名來描述它，假如可以找到幾個通名來描述同一個類的話。但是要描述一個類，總是需要用某個通名。即使我們把各個項如「這個，那個和另一個」都枚舉出來了，集合還是由這個或那個或另一個的普遍性質構成的，而且惟其如此才得到了使我們能夠把它作為一個集合來談論的那種統一性。在無窮類的情形中，枚舉是不可能的，因而惟一可能的描述是用此類分子共同特有的一種普遍特徵進行描述。由此可見，弗雷格從純邏輯的研究而提出的數的理論也可用以表明，無窮類雖不可能枚舉，卻如何能受數的制約。 弗雷格接著又提出一個問題：兩個集合何時具有同樣數目的項？在日常生活中，我們是通過計數來判定這個問題的；但是我們已經看到，就無窮集合來說，計數是不可能的，而對於有窮集合，計數也不是邏輯上根本性的東西。因此，我們需要一種不同的方法回答我們的問題。舉一個例子可能有助於說明這種方法。我不知道在英國有多少已婚的男人，但是我的確知道，已婚男人的數和已婚女人的數是相同的。我知道這一點的理由是夫妻關係把一個男人聯繫於一個女人，並把一個女人聯繫於一個男人。這種關係叫作一對一關係。父對子關係叫做一對多關係，因為一個人只能有一個父親，但可有許多兒子；反之，子對父關係則叫做多對一關係。但是夫妻關係（在基督教國家）叫作一對一關係，因為一個男人不可能有一個以上的妻子，一個女人也不可能有一個以上的丈夫。凡是一個集合的所有的項和另一集合的所有的項各自之間有一對一關係，如英國丈夫和英國妻子的例子那樣，那麼這個集合中項的數目和那個集合中項的數目就是相同的；但是如果沒有這樣一種關係，那麼兩個集合中項的數目就是不同的。這就是對「兩個集合何時具有同樣數目的項」這個問題的回答。 現在我們終於可以回答「某個集合中項的數是什麼意思？」這個問題了。當一個集合的所有的項和另一集合的所有的項各自之間有一種一對一的關係時，我們就說這兩個集合是「相似的」。我們剛剛看到了，兩個相似的集合具有同樣數目的項。我們由此而把某個集合的數定義為所有與之相似的集合的類；這就是說，我們提出了下面這個形式的定義： 「某個類的項的數」被定義為意指「所有與該類相似的類的類」。 正如弗雷格指出的，這個定義（他是以略微不同的說法表述的）給出了數的常見的算術的性質。這個定義可同樣應用於有窮數和無窮數，而且它無須承認一大堆什麼新穎神秘的形上學的存在物。它表明，用以給數下定義而又可用數加以斷定的並不是物理的對象，而是類或通名；它適用於0和1，卻沒有其他理論在討論這兩個特例時所遇到的任何困難。 上述這個定義乍一看一定會產生一種奇特的感覺，這種感覺很容易引起某種不滿。例如，它把2這個數定義為所有對偶的類，把3這個數定義為所有三個一組的類。這似乎不是迄今我們說2和3時所意指的東西，雖然很難說我們以往究竟意指的是什麼。對一種感覺的回答不可能是一種邏輯的論證，但無論如何在這種情況下回答是不無重要性的。首先，我們會看到，一個觀念作為未經分析的整體已逐漸為人們所熟悉，當它最初被精確地分解為各個組成部分（這就是我們在定義它時所做的工作）時，總會有一種由這種分析引起的新奇的感覺，這種感覺則有使人們反對這個定義的傾向。其次，可以承認，這個定義也像一切定義一樣，在一定程度上是任意的。拿2和3這樣很小的有窮數來說，也許有可能作出同對我們所意指之物的未經分析的感覺更切合的定義；但是這樣定義的方法會缺乏一致性，而且遲早（最遲不過在我們達到無窮數的時候）會被發現是不中用的。 第三，對於諸如數的定義這樣的定義，真正需要的並不是它應該儘可能近似地表現那些不作分析（這是為了得到定義所必需的）的人們的觀念，而是它應該提供給我們具有必不可少的屬性的對象。事實上，數必須滿足算術公式；任何能滿足這個要求的明確的對象集合都可以稱為數。迄今我們所知能滿足這個要求的最簡單的集合就是上述定義所提出的集合。至於這個定義適用的對象同那些提不出一個定義來的人們所考慮的關於數的含糊觀念是否類似，則是一個極不重要的問題。所有重要的要求，上述定義都滿足了，奇特之感在開頭是不可避免的，隨著逐漸熟悉，這種感覺很快就會消逝了。 不過，有某種邏輯學說可能被認為是對數即類的類這個定義的駁斥，我是指認為根本沒有類這種對象的學說。人們也許以為，這個學說會摧毀把數還原為類的理論以及其他許多使用類的理論。然而，這是錯誤的：雖然這個學說認為類是虛構的，但是這絲毫無損於這些理論中的任何一個理論。這是一個什麼學說，這個學說為什麼不是破壞性的，我試來做一簡略的解釋。 由於碰到一些相當複雜的困難，而且這些困難達於極致竟成為確定的矛盾，使我得到一種看法：凡是對事物即殊相可以有意義地言說的東西，都不可能對事物的類有意義地（即有真假地）言說。這就是說，在提到一個事物的任何語句中，如果用類代替這個事物，這個語句就不再具有任何意義了：這個語句不再是或真或假的，而是一個無意義的語詞集合。稍加反思就可以把它似乎是有意義的假象一掃而光了。例如，在「亞當喜歡蘋果」這個句子中，你可代之以人類，而說「人類喜歡蘋果」。但是你的意思顯然不是說有一個叫做「人類」的愛吃蘋果的個人，而是說組成人類的各個個人每人都喜歡蘋果。 如果對一個事物可以有意義地言說的東西都不可能對事物的類做有意義的言說，那麼就可推知，事物的類與事物不可能具有同類的實在性；因為二者如果具有同類的實在性，那麼在一個述謂二者共具的那類實在性的命題中，就可以用類代換事物了。這種觀點實際上是符合常識的。公元前3、4世紀，有一位中國哲學家名叫惠施，他說：「一匹栗色馬加一頭褐色牛等於三；因為分開來看它們是二，合起來看它們是一：二加一等於三。」(5)我所引用的那位作者說，惠施「特別喜歡古希臘智者派或不健全的推理家們也非常喜歡的那種詭辯」，這無疑代表了常識對這類論證的看法。然而如果事物的集合也是事物，那麼他的主張就是駁不倒的。只是因為栗色馬和褐色牛合在一起並不成為一個新的事物，我們才能避免做出結論說，凡是有兩個事物的地方，就有三個事物。 當我們承認了類不是事物的時候，又發生了一個問題，即我們在名義上對類所作的陳述究竟何所指呢？例如下面這個陳述：「對數理邏輯有興趣的這類人不是很多的。」這個陳述顯然可變為：「並非有很多人對數理邏輯有興趣。」為了明確起見，我們試以某個特殊的數，比如三，代換「很多」。於是我們的陳述就成了：「並非有三個人對數理邏輯有興趣。」這個陳述可以下面的形式來表述：「如果X對數理邏輯有興趣，並且Y也有興趣，並且Z也有興趣，則X與Y相同，或X與Z相同，或Y與Z相同。」這裡根本不再涉及「類」。所有名義上關於類的陳述都可以用這樣的方法化為關於從假定任何事物具有類的確定性質而推得的東西的陳述。因此，為了使對類的字面使用成為合法的，我們只需要一種一致的方法，把包含類的使用的命題加以解釋，從而得到其中不再使用類的命題。給這種方法下定義是一件技術性的事情，懷特海和我在別的地方曾作過探討，此處無需贅述。(6) 如果我們承認類是純粹符號的理論，那麼由此就可推出，數也不是實在的存在物，在字面上包含有數的命題實際上並沒有任何與數相應的成分，而只有一定的邏輯形式，這種邏輯形式不是具有這種形式的命題的一部分。事實上，邏輯和數學的一切表面的對象都是如此。諸如或，不，如果，有，相等，大於，加，無一物，每一物，函數之類的語詞，都不是如「約翰」或「瓊斯」這樣的確定對象的名字，而是在一種語境上才具有意義的語詞。所有這些語詞都是形式的，就是說，它們的出現表示命題有某種形式，而不表示有某種成分。簡而言之，「邏輯常項」不是存在物；表達邏輯常項的語詞不是名字，除非我們討論的是這些語詞本身而不是它們的意義，否則把它們作為邏輯主詞是沒有意義的。(7)這個事實對全部邏輯和哲學有極重要的影響，因為它表明邏輯和哲學跟專門科學是如何的不同。但是提出的這些問題是如此之大又如此之難，因此要在這裡繼續深究下去是不可能的。 * * * (1)　《哲學著作全集》，格哈特版，第1卷，第338頁。 (2)　《在四篇對話中對有關力學和位置運動的兩門新科學的數學論說》，托斯康尼大公的首席哲學家和數學家伽利略·伽利萊著，格林威治科學院已故院長T·魏斯頓從義大利文譯成英文，並由現任院長J·魏斯頓刊印。見第46頁以下諸頁。 (3)　見他的著作《普通集合論基礎》和《數學會議錄》第2卷上的論文。 (4)　我在不知道弗雷格著作的情況下曾重新發現了此書中所包含而在《算術原理》（第1卷，1893年；第2卷，1903年）中詳細論證的數的定義。我願儘可能強調地指出（人們似乎仍然常常忽視這一點），弗雷格的發現比我早18年。 (5)　賈爾斯：《中國文明》（家庭大學文庫），第147頁。（按：惠施的話見《莊子》雜篇「天下」篇，原文為：「黃馬驪牛三。」對這句話，注家有不同的解釋。賈爾斯的解釋可備一說。——譯註） (6)　參見《數學原理》，第20節及導論，第3章。 (7)　我在上面的這些議論利用了我的朋友路德維希·維特根斯坦未發表的著作。