我們關於外間世界的知識 · 第六講 無限性問題之歷史的考察

大家會記得，我們曾列舉對可感世界的實在性提出疑問的若干理由，其中之一就是人們所假定的無限性和連續性的不可能性。由前面對物理學的討論來看，似乎不存在有利於證明感官對象或物質中無限性或連續性的決定性的經驗證據。不過，從科學的觀點看，假定無限性和連續性的那種說明較之任何其他的說明仍然是極其容易和自然的，而且由於康托爾已經證明人們所設想的一些矛盾是虛幻的，那就再也沒有任何理由去追求對世界的一種有限論的說明了。 人們所設想的連續性的困難，其根源全在這個事實，即一個連續的系列必有無窮多的項，連續性的困難實即關於無限性的困難。因此，解除無限性的矛盾，同時就證明了科學上所假定的連續性的邏輯可能性。 我們可以康德的頭兩個二律背反為例來說明無限性被用以使人懷疑感官世界的那種方法。在第一個二律背反中，正題是：「世界在時間上有一個開端，在空間上有一個界限。」反題是：「世界在時間上沒有開端，在空間上沒有界限，無論在時間上和空間上，世界都是無限的。」康德宣稱對這兩個命題都做了證明，然而，如果我們關於現代邏輯所說的話有任何真理性，那麼要證明任何一個命題都是不可能的。無論如何，為了拯救感官世界，摧毀其中一個命題的證明也就足夠了。對我們當前的目的來說，使我們感興趣的是關於世界是有限的那個證明。康德在這個證明中對空間的論證是建立在他對時間的論證之上的。因此我們只需考察他對時間的論證。他的論證如下： 「試假定世界在時間上沒有開端，從而在到達每個給定的瞬間時，無窮的時間已經過去了，因此在世界上有一個無窮系列的事物的連續狀態已經過去了。但是一個系列的無限性恰恰在於，它永不可能由連續的綜合所完成。因此，一個無窮的過去的世界系列是不可能的，於是世界有一個開端乃是世界存在的必要條件；這是要加以證明的第一點。」 對這個論證可能有各種不同的批評，但是我們將只做一點點最低限度的批評。首先，把一個系列的無限性定義為「不可能由連續的綜合所完成」是錯誤的。我們在下一講中將看到，無限性的概念主要是類的屬性，而且只能引申地應用於系列；無窮類是通過定義其分子的屬性而同時被給予的，因而並不存在「完成」的問題或「連續的綜合」問題。「綜合」這個詞，由於暗示綜合的心理活動，多少有點秘密地引入了全部康德哲學都沾染上的那種同心靈的關聯。其次，當康德說一個無窮系列「永不」可能由連續的綜合所完成時，他有權利（即使是想像的）說的一切不過是說無窮系列不可能在有限時間內完成。因此他實際證明的頂多是：如果世界沒有開端，它必已存在了一個無限的時間。然而，這是一個非常可憐的結論，決不適於他的目的。如果願意的話，達到這個結果我們就可以向第一個二律背反告別了。 不過，康德怎麼會犯這樣一個基本的錯誤，還是值得思考的。在他的想像中出現的顯然是像下面這樣的東西：從現在出發，在時間上進行回溯，如果世界沒有開端，就有一個無窮的事件系列。正如我們從「綜合」一詞看到的，他想像有一個心靈力圖在與這些事件發生順序相反的順序上，即從現在向後回溯，來連續不斷地把握這些事件。這個系列顯然是一個沒有終點的系列。但是直到現在的事件的系列是有終點的，它以現在為終點。由於他在心理習慣上根深蒂固的主觀主義，他沒有注意到，他用回溯的綜合代替前進的事件，就已完全改變了系列的涵義，因此他認為必須把沒有終點的心理系列與有終點但無開端的物理系列加以等同。我認為，正是這個錯誤不自覺地起作用，使他把一個毫無價值的謬誤推理視為正當有效。 第二個二律背反說明連續性問題從屬於無限性問題。正題是：「世界上一切複合的實體都是由簡單的部分構成的，無論什麼地方存在的只有簡單的東西或由簡單的東西組成的東西。」反題是：「世界上任何複合的東西都不是由簡單的部分構成的，無論什麼地方都不存在簡單的東西。」像前一個二律背反一樣，對這個二律背反的正題和反題的證明也遭到批評，但是為了維護物理學和感官世界，只要找出其中一個證明的謬誤也就足夠了。為此我們選擇了反題的證明，其開頭如下： 「假定一個複合物（實體）是由簡單的部分構成的。既然一切外在關係，因而一切實體的組合都只有在空間中才是可能的，那麼複合物所占的空間和複合物一樣都必定是由許多的部分構成的。然而空間並不是由簡單的部分而是由諸空間構成的。」 他的論證的其餘部分我們無需涉及，因為這個證明的核心就在「空間並不是由簡單的部分而是由諸空間構成的」這一斷語。這正如柏格森之駁斥「認為運動由諸多不動狀態構成的荒謬命題」。康德沒有告訴我們，他為什麼主張一個空間必由諸空間而不是由諸簡單部分構成。幾何學認為空間是由點構成的，點是簡單的；如前所見，儘管這個觀點不是科學上或邏輯上必然的，但表面看來它還是可能的，而它的這種純粹的可能性就足以使康德的論證歸於無效。因為如果他對這個二律背反的正題的證明是正確的，又如果反題只能通過假定點來避免，那麼這個二律背反本身就會提供一個支持點的決定性的理由。那麼康德為什麼認為空間不可能是由點組成的呢？ 我想大概有兩點考慮影響了他。首先，關於空間主要的東西是空間順序，而僅僅點本身是不能說明空間順序的。他的論證顯然假定了絕對空間；但是惟有空間關係才是重要的，而且它們不可能歸結為點。因此，他的觀點的這個根據依賴於他對順序的邏輯理論的無知以及在絕對空間和相對空間之間的搖擺。但是他的觀點還有另外一個根據，它和我們現在談論的題目更有關係。這就是從無限可分性得來的根據。一個空間可分成兩半，然後再分成兩半，如此以至無窮，而在這個過程的每個階段上，各個部分仍是空間，而不是點。要用這種方法達到點，就必須走到一個無限過程的終點，這是不可能的。但是正如無窮類雖不能由連續枚舉得到，卻可由其定義概念一下子提供出來，同樣地點的無窮集合雖永不能由連續分割的過程得到，卻可在組成直線或面積或體積時一下子提供出來。因此空間的無限可分性並沒有提供任何根據來否定空間是由點組成的。康德沒有為這種否定提出自己的根據，因此我們只能猜測這些根據是什麼。但是上面兩點根據我們已經看到是謬誤的，它們似乎足以說明他的觀點，因此我們可以得出結論說，第二個二律背反的反題是未被證明的。 上面對康德二律背反的說明只是為了指出無限性問題與感官對象的實在性問題大有關係。在本講剩餘的時間裡，我想講述和解釋無限性問題，指出這個問題是怎樣產生的，並指出哲學家們提出的一切解決辦法都不恰當。在下一講中我將試來解釋已由數學家發現，但本質上屬於哲學的真正的解決。這個解決使所有仔細研究它的人都感到滿意和信服，在這個意義上，它是確定無疑的解決。人類理智被這個問題困擾了兩千多年；它的許多的失敗和它的最後的成功使這個問題特別適用於作為說明方法的例證。 這個問題最初似乎是像下面所說的那樣產生的。(1)畢達哥拉斯及其門徒像笛卡兒一樣對數之應用於幾何學有興趣，他們在幾何學中採用了比我們熟悉的歐幾里得的那些方法更加算術化的方法。他們或者他們的同時代人原子論者顯然認為，空間是由不可分的點組成的，時間是由不可分的瞬間組成的。(2)這個信念本身大概還沒有引起他們所碰到的困難，但是與此相伴可能另有一個信念，即認為點的數目在任何有限範圍內或瞬間的數目在任何有限的時段內必然是有限的。我並不設想這是一個自覺的信念，因為他們也許是沒有想到還有別的可能性。但是這個信念還是起了作用的，它很快就使他們與自己發現的事實發生了衝突。不過，在說明這是如何發生的之前，我們有必要對「有窮數」一詞略加解釋。精確的解釋是下一講的事情；現在我只是說明，我所謂0，1，2，3，等等，永遠是指能以連續加1而得的任何數。這包括所有能用我們通常的數詞來表達的數。由於這些數可以搞得愈來愈大而又永遠達不到一個超不過的極大，我們就很容易想像不存在任何其他的數。但是這個設想雖很自然，卻是錯誤的。 畢達哥拉斯學派自己是否相信時空是由不可分的點和瞬間組成的，這是一個有爭論的問題。(3)他們似乎還沒有明白地區別空間和物質，因此，當他們表達了一種原子論的觀點時，很難判定是指物質微粒還是指空間的點。亞里士多德《物理學》中有一段很有意思的話，(4)他說： 「畢達哥拉斯學派都主張虛空存在，而且認為它從無邊無際的呼吸進入天宇，因為天宇也在虛空中呼吸著；虛空使自然物發生區別，它好像是對連續物的一種分離，好像是對它們的區分；而這首先也是數的情形，因為正是虛空使數區分開來。」(5) 這似乎意味著他們認為物質是由其間帶有空的空間的原子構成的。但果如此，則他們必認為空間可通過僅僅注意原子來加以研究，因為否則就難以說明他們在幾何學上的算術方法，也難以說明他們所說的「事物是數」的論斷。 畢達哥拉斯學派在試圖應用數時遇到的困難是由於發現了不可通約數而產生的，而這個發現則是像下面所說那樣產生的。正如我們年輕時都學過的，畢達哥拉斯發現了直角三角形兩夾邊平方之和等於弦的平方這個定理。據說，當他發現了這條定理時，曾獻祭了一頭牛；果真如此，這頭牛就是科學的第一個殉難者了。這個定理雖然一直是使他贏得不朽英名的主要功績，但是人們很快就看到這個定理對他的整個哲學有一種致命的後果。試看兩夾邊相等的直角三角形的情形，這種三角形是由兩條形成直角的邊和一條斜邊構成的。根據畢達哥拉斯定理，這裡斜邊的平方是任一夾邊的平方的兩倍。但是畢達哥拉斯或他早期的門徒很容易證明，一個整數的平方不可能是另一整數的平方的兩倍。(6)因此夾邊之長和斜邊之長是不可通約的；這就是說，不論你取的長度單位多麼小，如果它以精確的倍數被包含在夾邊中，那麼它就不能以任何精確的倍數被包含在斜邊中，反之亦然。 現在這個事實也許沒有多大困難就被某些哲學消化了，但是對畢達哥拉斯的哲學來說它確實是致命的。畢達哥拉斯認為，數是萬物的構成要素，然而沒有兩個數能夠表達夾邊和斜邊的比例。我們如果假定畢達哥拉斯認為線的長度是由它所包含的原子的數目決定的（2英寸長的線包含的原子是1英寸長的線所包含的原子的2倍），似乎就可以擴大他的困難而並不背離他的思想。但是如果真是這樣，那麼在任何兩個有限的長度之間都必然有一個確定的數字的比例，因為已經假定每條線包含的原子的數目不論多麼大，都必是有限的。這裡有一個無法解決的矛盾。據說，畢達哥拉斯學派決定對不可通約數的存在嚴守秘密，只告訴這個團體的少數幾個最高的頭頭；據說其中的一個，美達彭森的希帕索斯由於不敬神把這個可怕的發現泄露給了敵人，竟遭海上沉船之災。必須記住，畢達哥拉斯既是一門新科學的教師，又是一種新宗教的創始人。他的門徒如果對科學產生懷疑，就會陷入罪孽，甚至也許要罰吃豆子，在畢達哥拉斯看來，吃豆子像吃父母的骨頭一樣不祥。 隨著時間的推移，最早由不可通約數之發現所引起的問題已表明是人類理智在理解世界上所遇到的最困難又最有深遠影響的問題之一。它同時表明，如果要對長度做精確的數的量度，就必須有一種比古代人所有的更高更難的算術。因此古代人就著手在不假定數的量度普遍可能的基礎上改造幾何學，正如在歐幾里得那裡可以看到的，他們以卓絕的技巧和極大的邏輯敏銳力完成了這一改造。近代人在笛卡兒幾何學的影響下，重新肯定了數的量度是普遍可能的，他們部分地為此之故把算術擴大到把連現在所謂「無理」數（即得出不可通約的長度比例的數）都包括進去了。雖然人們長久使用無理數而毫不懷疑，但只是到了近年才提出了邏輯上滿意的定義。用這些定義已經解決了畢達哥拉斯學派所遇到的難題的第一種和最明顯的形式；但這個難題的其他一些形式仍有待考察，而且就是這形式把我們引到純粹形式的無限性問題。 我們已經看到，既然承認一個長度是由點組成的看法，那麼不可通約數的存在就證明每一有限的長度必包含無窮多的點。換言之，如果我們要把這些點一個接一個地拿掉，那麼不論這個過程持續多久，我們都永遠不會把所有的點拿掉的。因此點的數目是不可數的，因為數數就是把事物一個一個地列舉出來。不可數的性質是無窮集合的特點，而且是它們的許多悖論性質的根源。這些性質是如此之悖理反常，以致直至今日人們都認為它們構成邏輯的矛盾。從芝諾(7)到柏格森的一系列哲學家都把他們的形上學大部分建立在假定的無窮集合之不可能上面。大致說來，芝諾已經陳述了這些困難，直到波爾查諾的《無限的悖論》一書，並沒有增加什麼實質性的東西。波爾查諾的這部著作是一本小書，寫於1847至1848年，死後於1851年出版。從芝諾到波爾查諾，所有探究這個問題的嘗試都是無用的，微不足道的。對這些困難的確實解決應歸功於康托爾，而不是波爾查諾，康托爾關於這個問題的著作最早於1882年問世。 為了理解芝諾，並且認識到現代正統形上學並沒有給希臘人的成就增加什麼東西，我們必須對芝諾的老師巴門尼德略做考察，那些悖論就是為了支持他而創造出來的。(8)巴門尼德在一首詩中闡述了他的觀點，這首詩分成兩個部分，叫做「真理的道路」和「意見的道路」，這二者就如布拉德萊先生的「現象」與「實在」之分，只是巴門尼德首先談實在，然後談現象。大致說來，在巴門尼德哲學中，「意見的道路」是指畢達哥拉斯主義；他的詩篇這一部分開頭就預告說：「這裡我將結束我對真理的確實可信的談話和思想。從此你要學習凡人們的意見，且聽我的詩句的騙人虛構吧。」此前的事已由一位女神宣示出來，她告訴他真實的存在是什麼。她說，實在是不被創造，不可毀滅，不變化、不可分的；它是「在巨大鎖鏈的束縛中不動的，沒有開端也沒有終點；因為產生和消逝已被遠逐，真正的信念已把它們拋棄」。他的研究的基本原則用一句話來說，就是：「你不可能知道非存在（那是不可能的），也不可能說出它；因為可被思維和可能存在是同一回事。」這個話放在黑格爾那裡倒很適當。(9)巴門尼德又說：「凡是可思和可說者必定存在；因為存在者的存在是可能的，非存在的存在是不可能的。」變化之不可能即由這個原則推出；因為過去的東西都是可說的，所以，根據這個原則，就仍然存在。 因此巴門尼德看來並不是為了神秘的或宗教的理由，而是根據非存在之不可能的邏輯論證，在西方哲學中導入了一個重大的概念，關於在流逝的感覺幻象之後的實在，惟一、不可分和不變的實在的概念。一切偉大的形上學體系（柏拉圖、斯賓諾莎和黑格爾的那些著名的形上學體系）都是這個基本觀念的產物。要把這種觀點中的真理與謬誤分開是困難的。我想，認為時間是不實在的、感官世界是虛幻的這種論點必須被看作是建立在謬誤推理之上的。不過，在某種意義上（這一點感之甚易，而言之實難），時間是實在的一個不重要的表面特徵。必須承認，過去和將來都如現在一樣是實在的，從時間的羈絆中獲得某種解放，乃哲學思維所必需。時間的重要性是實際的而非理論的，是與我們的欲望有關而非與真理有關的。我認為，把事物描繪成從一個外在的永恆世界進入時間之流中，較之把時間看作吞噬萬有的暴君的那種觀點，給我們以更真實的世界形象。無論在思想上還是在感情上，領悟到時間的不重要，乃是智慧的大門。但是不重要並非不實在；因此對於芝諾支持巴門尼德的那些論證，我們所要說的必然主要是批判性的。 關於芝諾與巴門尼德的關係，柏拉圖在《巴門尼德篇》（128A—D）中作了說明，在這篇對話中青年蘇格拉底從巴門尼德、芝諾的問答論辯中學習邏輯技巧和哲學上的超然態度。下面是引自周伊特譯本的一段對話： 「巴門尼德啊，蘇格拉底說，我明白了，芝諾在其著作中也是你的第二自我；他用別的方式把你說的東西說出來，想騙我們相信，他告訴我們的是新的東西。因為你在你的詩里說一切是一，並對此作了卓越的證明；而他則反過來說沒有多，並為此提供了令人嘆服的證據。像你們這樣用不同的方法講同一件事情，一個肯定一，另一個否定多，來欺騙世人，真是我們大多數人力不能及的一門藝術。 「是的，蘇格拉底，芝諾說。你雖敏銳如跟蹤追跡的斯巴達獵犬，但是你並沒有十分理解我的著作的真正動機，它實際上並不是如你想像的那樣抱負不凡；因為你所講的是一個偶然的情況；我並沒有誠心欺騙世人的意思。事實上我的這些著作是為了保護巴門尼德的論證，反對那些嘲笑他的人，這些人指出有許多可笑的和矛盾的結論會從肯定一推出來。我的回答是對主張多的人講的，我對他們的攻擊加倍還擊，反駁他們說，他們關於多存在的假設，如果貫徹下去，會比關於一存在的假設更加荒謬可笑。」 芝諾否定運動的四個論證是要揭示由於假定有變化而得到的矛盾結果，從而證明巴門尼德的實在不變的學說。(10)遺憾的是，我們只能從亞里士多德的著作中了解這些論證，(11)亞里士多德之講到它們則是為了駁斥它們。今天的哲學家，自己的學說被反對者引述過的，都會明白，很難期望亞里士多德對芝諾的觀點會有一個正確的或恰當的表達；不過，經過仔細的解釋，把古往今來一切初學者都要「駁斥」一番的那些所謂「詭辯」重構出來，似乎是可能的。 芝諾的論證似乎都是「對人」設論的；這就是說，它們似乎是假定了反對者所承認的前提，並指出承認了這些前提有可能推出反對者必定否認的結論。為了判定它們是正當有效的論證還是詭辯，我們必須推測一下那些隱含的前提，並判定這些論證所針對的究系何「人」。有些人認為，它們是針對畢達哥拉斯學派的，(12)而另一些人則認為，它們是要駁斥原子論者的。(13)相反地，M·艾弗林認為，這些論證是對無限可分性的駁斥，(14)而M·G·諾埃爾為了有利於黑格爾卻認為，頭兩個論證是駁斥無限可分性，後兩個論證則是駁斥不可分的東西的。(15)在諸如此類令人眼花繚亂的各種解釋中間，我們至少不能抱怨自己的選擇自由受到了什麼限制。 上述討論提出的歷史問題無疑地大都是無法解決的，因為從中取得證據的資料太缺乏了。下面幾點看來還是清楚的： （1）儘管米約和湯納里認為芝諾的論證是反對畢達哥拉斯學派的，但是芝諾所急欲證明的是運動實際上不可能，他之所以要證明這一點，是因為他追隨巴門尼德否認多；(16)（2）第三個和第四個論證是根據有不可分的東西的假設進行的，無論畢達哥拉斯學派是否採納，這個假設肯定是為許多人所主張的，這從被歸之於亞里士多德的論文《論不可分的線》中就可看到。至於頭兩個論證，根據不可分的東西的假設，它們似乎是正確的，而且即使沒有這個假設，如果傳統的無窮數的矛盾是不可解決的，那麼它們似乎也是正確的，不過這個矛盾不是不可解決的。 因此，我們可以得出結論說，芝諾的辯論是反對認為時空由點和瞬間構成的觀點的；就其反對有限長度的時空由有限數目的點和瞬間構成這種觀點而言，他的論證不是詭辯，而是完全正確的。 芝諾想使我們做出的結論是：多是一種幻想，時空實際上是不可分的。另一可能的結論即點和瞬間的數目是無限的，只要無限帶有矛盾，就是不能成立的。在反對運動的四個著名論證之外的一段殘篇里，芝諾說： 「如果事物是多，它們必恰如其實際存在那樣多，既不多也不少。但是，如果它們正如實際存在那樣多，它們在數目上就會是有限的了。 「如果事物是多，它們在數目上就會是無限的；因為在事物之間永遠有一些別的事物，而在這些別的事物之間又有一些別的事物。因此事物在數目上是無限的。」(17) 這個論證是要證明，如果有許多的事物，事物的數目必然既是有限的，又是無限的，而這是不可能的；因此我們應該得出結論說：只有一物存在。但是這個論證的弱點就在這句話：「如果它們正如其實際存在那樣多，它們在數目上就會是有限的了。」 這句話不甚清楚，但是它顯然假定了確定的無限的數目是不可能的。這個假定我們現在已經知道是錯誤的了，但是如果沒有這個假定，芝諾的論證雖足以（根據某些很合理的假定）排斥有限的不可分的東西的假設，卻不足以證明，運動、變化和多是不可能的。但是，無論從什麼觀點看，這些論證都不是純粹荒謬的狡辯。它們是嚴肅的論證，這些論證引起了一些困難，回答這些困難用了兩千年的時間，而且即使今天對於大多數哲學家的學說它們還是致命的難題。 芝諾的第一個論證是賽場的論證，伯內特把它意譯如下：(18) 「你不可能達到賽跑場的終點。你不可能在有限時間內越過無窮多的點。你在通過全程之前必先通過任一給定的距離之半，在你通過這一半距離之前又須先通過這一半距離之半。如此以至無窮，因而任一給定的空間上都有無窮多的點，而你在有限的時間內是不可能一個一個地接觸到無窮多的點的。」(19) 在這裡芝諾首先訴諸任何距離無論如何小都可分成兩半這一事實。由此自然就推出，一條線上必有無窮多的點。但是，亞里士多德卻把他說成是在論證你在有限時間內不可能一個一個地接觸到無窮多的點。「一個一個地」一語很重要。（1）如果涉及的是所有被接觸的點，那麼你雖然連續地通過它們，但並未「一個一個地」接觸它們。這就是說，接觸一個點之後，並沒有你緊接著接觸到的另一個點，沒有任何兩個點是互相緊接著，而是在任何兩個點之間都永遠有無窮多其他的點，這些點是不能一個一個地數出來的。（2）反之，如果涉及的只是相互接續的中間的點，這些點是通過把路程剩餘的部分不斷分為兩半得到的，那麼這些點就是一個一個地達到的，而且它們在數目上雖是無限的，事實上卻都是在有限時間內達到的。他的與此相反的論證可以設想是乞援於下面這個觀點的，即：一個有限的時間必是由有限數目的瞬間構成的，在這種情況下，根據連續二分的可能性不可否認的假定，他所說的是完全對的。相反地，如果我們認為這個論證是反對主張無限可分性的人的，那麼我們必須設想其進行如下：(20)「把還需通過的距離不斷分成兩半所得的點在數目上是無限的，而且是接連相續地達到的，而到達每一點都在到達其前一點之後的一個有限的時間；但是無窮多有限時間的總和必是無限的，因此這個過程永遠不會完成。」從歷史上看，這很可能是一個正確的解釋，但是這個形式的論證是不正確的。如果路程之半需走半分鐘，下面1/4路程需走1/4分鐘，如此類推，整個路程將需1分鐘。按照這個解釋，這個論證表面看似頗有力，只是由於下面這個錯誤的假設，即：除了無限系列的整體之外，不可能有任何東西。我們看到1是在1/2，3/4，7/8，15/16……這整個無限系列之外的，就可知道這個假設是錯誤的。 芝諾的第二個論證是關於阿基里斯和龜的，這個論證比別的論證更出名。伯內特把這個論證意譯如下：(21) 「阿基里斯永遠追不上龜。他必須首先到達龜出發的地點。那時龜將已前進了一段路。於是阿基里斯必須補上這段路，而龜則又向前進了。他將愈來愈接近龜，但是永遠追不上它。」(22) 這個論證與前一個論證本質上是一樣的。它表明，如果阿基里斯能追上龜，那必是從他起跑之後經過了無窮多的瞬間。這實際上是對的；但是認為無窮多的瞬間構成一個無限長的時間則是不對的，因此不能得出阿基里斯永遠追不上龜的結論。 第三個論證，(23)即飛矢的論證，是非常有趣的。對這個論證的原文人們有爭論。伯內特接受澤勒的改動，意譯成這樣： 「飛矢是靜止的。因為如果每個事物在占據一個與自身相等的空間時是靜止的，而飛行的東西在任何瞬間總是占據一個與自身相等的空間，那麼飛矢就不可能移動。」 但是照普朗特爾的意見，亞里士多德陳述這個論證的未經修正的原文直譯如下：「如果每個事物在以齊一的方式動作時，或是連續運動著，或是連續處於靜止，但運動的東西總是在現在中，那麼飛矢就是不動的。」這個形式的論證比伯內特的意譯更清楚地顯示了它的確切含義。 如果說前兩個論證並未假定一個有限的空間部分是由一個有限系列的接連相續的瞬間構成的，那麼這個論證則似乎假定了這個觀點；無論如何這個論證之好像講得有道理似乎就依賴於有緻密相連的瞬間這個假設。據說，在一個瞬間中，一個運動的物體是在其所在的地方。在這個瞬間中，它不可能運動，因為那就要求這個瞬間還包含部分。例如，假設一個由一千瞬間組成的時段，並假設飛矢穿過這個時段。在這一千瞬間的每個瞬間上，這支矢都是在它所在的地方，雖然在下一瞬間它又在另外的地方了。它是永遠不動的，但是在各瞬間之間，就是說，不是在任何時間上，卻必以某種不可思議的方式發生位置的變化。這就是柏格森所說的實在的拍電影式的表現。這個困難愈被調解，它就愈真實。解決就在於連續系列的理論。我們看到很難不假定，箭矢在飛行時在下一個瞬間占據下一個位置；但是事實上並沒有下一個位置，也沒有下一個瞬間，一旦在想像上領悟了這一點，就可看到這個困難消失了。 芝諾的第四個也是最後一個論證是運動場的論證。(24) 伯內特對這個論證的陳述如下： 「時間的一半可等於時間的一倍。設有三排物體，其中一排（A）靜止，其餘兩排（B，C）以同一速度在相反方向上運動。在它們全都處於途程的相同部分時，B排將通過C排物體之數為其通過A排物體之數的一倍。因此它要通過C所用的時間為其通過A所用的時間的一倍。但是B和C要達到A的位置所用的時間是相同的，因此時間之倍等於時間之半。」 蓋伊曾寫過一篇有趣的論文解釋這個論證。(25)他對亞里士多德的陳述翻譯如下： 「第四個論證是關於兩排物體的論證，其中每一排都是由同等數目的同樣大小的物體組成的。它們各以同等速度在相反方向上前進時，在一條跑道上交錯經過，一排原來占據跑道的終點和中點之間的空間，另一排占據中點和起點之間的空間。他認為，這包含了某一時間之半等於該時間之倍的結論。這個推理的謬誤在於，它假定了一個物體在以相同速度通過一個運動中的物體和一個處於靜止的同樣大小的物體時需要相等的時間。這是一個錯誤的假定。例如（這個論證這樣寫道），設AA……是大小相等的靜止的物體，BB……是與AA數目相同、大小相等的物體，原先占據從諸A的起點到中點的路程之半，CC……則是原先占據從諸A的終點到中點路程的其餘一半的那些物體，這些物體與BB……數目相同，大小和速度相等。於是有三種結果隨之而來。第一，當諸B和諸C互相經過時，第一個B到達最後的C的時間與第一個C到達最後的B的時間相同。第二，當此之際，第一個C已經過所有的A，而第一個B則只經過諸A之半，因而只需第一個C所需的時間之半，因為第一個C和第一個B二者每個在經過每個A時都需要相等的時間。第三，與此同時，所有的B已經經過所有的C，因為第一個C和第一個B將同時到達跑道的相反兩端。芝諾說，第一個C經過每一個B時所需的時間與它經過每一個A時所需的時間相等，因為第一個B和第一個C經過所有的A需要一個相等的時間。這就是那個論證，但是它是以上述的錯誤假定為前提的。」 這個論證不是很容易了解的，而且只有在反對有限的時間由有限數目的瞬間組成這個假定上是有效的。我們可以不同的說法把它重新陳述一下。假設有三位教官：A，A′，A″，站成一排，有兩隊士兵從相反的方向分列行進。在我們考察的最初一刻，站在一列的三個人B，B′，B″和站在另一列的三個人C，C′，C″與A，A′，A″相對應。在緊接著的下一刻，每一列都移動，B和C″現在與A′相對。於是B和C″彼此相對。那麼B是何時經過C′的呢？它必然在我們假定為緻密相連的兩個時刻之間處於某處，因而這兩個時刻實際上不可能是緻密相連的。由此可推知，在任何兩個給定的時刻之間必有其他一些時刻，因而在任一給定的時間間隙都必有無窮多的時刻。 上述這個困難，即B必在兩個緻密相連的時刻之間的某個時間經過C′，是一個真正的困難，但這並不就是芝諾提出的那個困難。芝諾聲稱要證明的是「某個時間之半等於該時間之倍」。就我所知，對這個論證的最清楚明白的解釋是蓋伊的解釋。(26)不過，由於他的解釋不易簡短地加以表述，我把在我看來是芝諾爭論的邏輯本質的東西重新陳述一下。如果我們假定，時間是由一系列緻密瞬間組成的，運動就是經過一系列緻密的點，那麼可能的最快的運動就是在每一瞬間都處於同它前一瞬間所處的點緊密相連的點上的運動。任何較慢的運動必是有其他的點相間隔的運動，任何較快速的運動必完全略掉了若干點。所有這些從我們不可能在每一瞬間有一個以上的事件這個事實即可明白看出。但是在諸A，諸B和諸C的情形中，B在每一瞬間都與一新A相對，因此B所經過的A的數目就是從運動開始以來的瞬間的數目。但是在運動之際，B所經過的是諸C的一倍，然而不可能每一瞬間經過一個以上的C。因此從運動開始以來的瞬間的數是B所經過的A的數目的一倍，雖然我們先前發現它們的數目相等。芝諾的結論即由這個結果推得的。 芝諾的幾個論證在某種形式上為從他那個時代直至今日所構造的幾乎所有關於時空和無限性的理論提供了根據。我們已經看到，根據有限的時空由有限數目的點和瞬間構成這個假定，芝諾的論證（加上某些合理的假設）都是正當有效的，第三第四兩個論證無疑是根據這個假定進行的，第一第二兩個論證或許意在駁斥相反的假定，但在那種情況下卻是錯誤的。因此我們可以下述幾種方法來避免芝諾的悖論，一是主張時空雖確由點和瞬間構成，但其數目在任何有限的間隔中都是無限的；二是根本否定時空由點和瞬間構成；三是完全否定時空的實在性。芝諾本人作為巴門尼德的支持者，在這三種可能的演繹中似乎取最後一種，無論如何就時間來說是這樣的。在這一點上，有很多哲學家是追隨他的。還有許多哲學家，如柏格森，則寧願否定時空是由點和瞬間構成的。無論哪種解決辦法都可以回答芝諾提出這些論證的形式的困難。但是，我們已經看到，如果可以採用無窮數，那麼這些困難也是可以回答的。根據獨立於時空的一些理由，無論如何必須承認無窮數和沒有兩個項緻密相連的系列。例如，看一看按大小順序排列的所有小於1的分數。在其中任何兩個分數之間，都有其他一些分數，例如這兩個分數的算術平均值。因此沒有兩個分數是緻密相連的，而諸分數的總數是無限的。我們將看到，芝諾關於一條線上點的系列所說的大都同樣可以適用於分數系列。我們不能否認有分數，因此上述避免芝諾悖論的方法有兩種是我們不能採取的。由此可見，如果我們要用類比來解決由芝諾悖論而來的整個一類困難，我們就必須找到某種言之成理的關於無窮數的理論。那麼，直至最近30年使哲學家們認為無窮數是不可能的，究竟是一些什麼困難呢？ 關於無限性的困難有兩類，第一類困難可說是虛假的，另一類困難要得到解決則涉及一定的嶄新而不甚易解的思想。虛假的困難是由語源學提出的那些困難以及由於混淆了數學的無限和哲學家們不恰當地稱為「真」無限的東西而引起的那些困難，從詞源來說，「無限的」意為「沒有終點」。但事實上有些無窮系列有終點，有些沒有終點；有些集合是無窮的但是非系列的，因而嚴格說來既不能說是無終點的，也不能說是有終點的。從任何前一瞬間到任何後一瞬間（兩者都包括在內）的瞬間系列是無窮的，但是有兩個終點；從時間的開端到當前此刻的瞬間系列有一個終點，但是無窮的。康德在第一個二律背反中似乎認為，過去之為無限的較之未來更為困難，理由是過去是現在已經完成了的，而任何無限的東西都不可能是完成的。很難了解他怎麼會設想這種說法有任何意義；不過最大的可能似乎是他把無限看作「無終點」了。奇怪的是他竟沒有看到，未來也有一個終點即是現在，未來和過去恰恰是彼此等同的。康德認為過去和未來在這方面是不同的，正好說明了時間對人的那種奴隸式的束縛，我們在談到巴門尼德時都同意，真正的哲學家必須學會擺脫這種束縛。 哲學家的概念中由所謂「真」無限帶來的混淆是很奇怪的。他們知道這個概念與數學的無限不是一回事，但是他們又寧願相信，這個概念正是數學家們亟欲得之而未能的。因此他們懇切然而堅決地告訴數學家們說，他們墨守「假」無限是錯誤的，因為「真」無限顯然是某種全然不同的東西。我們對這個忠告的回答是：其所謂「真」無限者，乃是一個與數學的無限問題全不相干的概念，二者只有一種空幻的字面上的類似而已。二者的差別是如此之遠，我甚至不想談「真」無限究為何物，以免混淆論點。與我們有關的是這個「假」無限，我們必須指出，「假」這個貶詞是用之不當的。 不過，在理解無限上確有一些真正的困難，這就是心靈的某些習慣，這些習慣來自對有窮數的考察，而且由於人們錯誤地以為這些習慣表示邏輯的必然性，很容易把它們推廣到無窮數上去。例如，除0之外，我們所熟悉的每個數都有一個緊接在它前面的其他的數，每個數都是由在它之前的這個數加1而得的；但是第一個無窮數並不具有這種性質。在無窮數之前的那些數構成一個無窮系列，這個系列包含了所有通常的有窮數，它沒有極點，沒有一個最後的在它之後再進一小步就投入無限的有窮數。如果假定第一個無窮數是通過一小步一小步持續不斷地前進而達到的，那麼我們很容易指出，這是自相矛盾。事實上，第一個無窮數是超出了有窮數的整個沒有終結的系列的。人們會說：「但是不可能有任何東西超出整個沒有終結的系列。」我們可以指出，這正是芝諾在賽跑場和阿基里斯兩個論證中所依據的原則。拿賽跑場論證來看：有一時刻賽跑者還有一半的路程要跑，然後到又一時刻他還有四分之一的路程要跑，然後到又一時刻他還有1/8的路程要跑，如此類推，構成一個確實是沒有終結的系列。他到達目的地的時刻是在這整個系列之外。因此在一整個沒有終結的系列之外肯定可以有某種東西。但是我們還須指出，這不過是我們意料之中的事。 我認為，這個困難，正如圍繞數學無限的大多數更含糊不清的困難一樣，來自計數觀念的或多或少無意識的作用。如果你著手去計數一個無窮集合的項，你將永遠完成不了你的任務。因此，在賽跑者的例子中，如果跑道的一半、3/4、7/8等等都加上標誌，而且賽跑者只有在裁判員說了「跑！」才可以通過其中的一個標誌，那麼芝諾的結論在實際上就會是真的，賽跑者就會永遠到達不了目的地。 但是我們能否把一個集合的各個項一一加以檢查，這對這個集合的存在乃至關於這個集合的認識和推理並無本質的重要性。在有窮集合的例子中就可以看到這一點；我們可以談論「人類」，雖然這個集合中的許多個人我們並不親自認識。我們之所以能這樣做，因為我們知道有許多特徵是屬於這個集合的每個個體所具有的，而不屬於這個集合的個體則不具有。無窮集合的情形也正是如此：我們可以根據其特徵而知其為無窮集合，儘管這種集合的項是不可舉數的。在這個意義上，一個沒有終結的系列還是可以構成一個整體，而且在這整個系列之外還可以有新的項。 無窮數的某些純粹算術的特性也曾引起困惑。例如，一個無窮數加1或加1倍，並不使這個數增加。諸如此類的特性在許多人看來是違反邏輯的，但事實上它們只是違反了人的心理上的一些頑固的積習而已。這個問題上的全部困難是在於必須以一種人們不熟悉的方式去思考，而且要了解我們以為數所固有的許多性質實際是有窮數所特有的。記住這一點，對於下一講所要討論的積極的無限性理論，就不會像那些頑固堅持幼時所學算術所灌輸的成見的人那樣感到困難了。 * * * (1)　有關早期希臘哲學家的東西，我的知識大多得自伯內特富有價值的著作《早期希臘哲學》（第2版，倫敦，1908年）。我也得到三一學院D·S·羅伯遜先生的大力幫助，他彌補了我的希臘語知識之不足，並使我注意到一些重要的參考文獻。 (2)　參見亞里士多德，《形上學》，M6，1080b，18行以下和1083b，8行以下。 (3)　有某種理由認為畢達哥拉斯學派區別了分離量和連續量。G·J·奧爾曼在《從泰勒斯到歐幾里得的希臘幾何學》中說（第23頁）：「畢達哥拉斯學派把數學分為四部分，其中一部分屬於對若干（how many）的研究，另一部分屬於對多少（howmuch）的研究；而且他們又把兩個部分各分為二。因為他們說，分離量或若干，或者獨立自存，或者必須與某個別的量相聯繫來考察；但是連續量或多少，則或者是固定的，或者是處於運動中的。因此他們斷定說，算術是思考獨立自存的分離量，而音樂則是考慮與其他量相聯繫的分離量；幾何學是考察不動的連續量；而天文學則思考具有自動性質的連續量。（《普羅克洛斯》，弗里德萊因編，第35頁。關於連續量和分離量的區別，見揚布里庫：《傑拉薩的尼科馬庫斯〈算術引論〉評註》，滕奴里烏斯編，第148頁。）」參見第48頁。 (4)　伯內特在《早期希臘哲學》第120頁上曾引用這一段話。 (5)　《物理學》，iv．6.213b，22;H·里特和L·普雷勒：《希臘哲學史》，第8版，哥達，1898年，第75頁（此書下引均簡作「R．P．」）。 (6)　畢達哥拉斯的證明大致如下。假如可能，設斜邊和夾邊之比為m/n，m和n是沒有共同因子的整數。因此必然mk=2nk。一個奇數的平方是奇數，但是mk既然等於2nk，卻是偶數。因此m必是偶數。但是一個偶數的平方可除以4，而nk是mk之半，因此必是偶數。因此n必是偶數。但是既然m是偶數，而且m和n沒有共同因子，n必是奇數。因此n必既是奇數又是偶數，而這是不可能的；因此斜邊和夾邊之比不可能是一個有理數。 (7)　關於芝諾和畢達哥拉斯學派，我從P·E·B·茹爾丹先生處得到很多有價值的知識和批評。 (8)　因此柏拉圖在《巴門尼德篇》中讓芝諾發言贊成巴門尼德的全部哲學；一切內外證據都證明了這個觀點。 (9)　黑格爾說：「真正的哲學是從巴門尼德開始的。」載《黑格爾全集》，1840年，第8卷，第274頁。 (10)　米約反對這個解釋（《希臘的哲學家—幾何學家》，第140頁注），但是他提出的理由似乎不令人信服。下面的各種解釋都有可置疑之處，但都有著名權威的支持。 (11)　《物理學》，vi．9.2396（R．P．136—139）。 (12)　參見G·米約：《希臘的哲學家—幾何學家》，第140頁注；P·湯納里：《論希臘科學史》，第249頁；伯內特：《早期希臘哲學》，第362頁。 (13)　參見R·K·蓋伊：「論亞里士多德《物理學》，Z ix.」，載《語言學雜誌》，第31卷，尤其是第111頁。亦請參閱M·康托爾：《數學史講演錄》，第1版，第1卷，1880年，第168頁，不過他後來在該書第3版（第1卷，第200頁）中接受了湯納里的看法。 (14)　「運動和不可分的東西的主張者」，載《形上學和道德評論》，第1卷，第382—395頁。 (15)　「運動和埃利亞的芝諾的論證」，載《形上學和道德評論》，第1卷，第107—125頁。 (16)　參見M·布羅沙爾：「埃利亞的芝諾的臆造的詭辯」，載《形上學和道德評論》，第1卷，第209—215頁。 (17)　辛普里齊烏斯：《物理學》，140，28D（R.P．133）；伯內特：《早期希臘哲學》，第364—365頁。 (18)　《早期希臘哲學》，第367頁。 (19)　亞里士多德說的是：「第一個論證是關於運動不存在的論證，理由是運動的東西到達中點必永遠比到達終點更快，關於這個問題在前面已經談過我們的看法。」《物理學》，第6卷，9.939B（R．P．136）。亞里士多德似乎是指《物理學》，第6卷，2.223AB［R．P．136A］：「一切空間都是連續的，因為時間和空間被分成同樣相等的部分。……因此芝諾的下面這個論證也是錯誤的，他說在有限時間內不可能通過一個無窮集合，或者說不可能一個一個地接觸到一個無窮集合。『無限的』一詞被應用於長度和時間，而且事實上無論就可分性還是就終點而言被應用於一切連續的事物，都有兩個涵義。在有限時間內接觸到數目無限的事物是不可能的，但是接觸到無限可分的事物卻是可能的，因為時間本身在這個意義上也是無限的。所以實際上我們是在一個無限的［時間］、而不是在一個有限的［時間］內走過一個無限的［空間］，我們是以無限的事物而不是以有限的事物接觸無限的事物。」6世紀的注釋家菲洛彭奴斯作了如下的解釋：「一個事物如果在一小時內通過一腕尺的空間，既然在每一空間上都有無窮多的點，這個運動的事物就必須接觸空間的一切點；因此它要在有限時間內通過一個無窮的集合，而這是不可能的。」（R．P．136A，摘自菲洛彭奴斯的《亞里士多德〈物理學〉評註》，803，2。） (20)　參見C·D·布羅德先生：「略論阿基里斯與龜」，載《心》，第22卷，第318—319頁。 (21)　《早期希臘哲學》，第367頁。 (22)　亞里士多德說的是：「第二個論證是所謂阿基里斯論證。這個論證是說，跑得最快者永遠追不上跑得較慢者，因為追趕者永遠必須首先達到被追趕者剛剛離開的地點，因此跑得較慢者必永遠或多或少還在前面。」《物理學》，第6卷，9.239B（R．P．137）。 (23)　亞里士多德：《物理學》，第6卷，9.239B（R.P．138）。 (24)　亞里士多德：《物理學》，第6卷，9.239B（R.P．139）。 (25)　R·K·蓋伊：「論亞里士多德《物理學》，Z ix．」，載《語言學雜誌》，第31卷。 (26)　R·K·蓋伊：「論亞里士多德《物理學》，Z ix．」，載《語言學雜誌》，第31卷，第105頁。