我們關於外間世界的知識 · 第五講 連續性理論

本講所要討論的連續性理論，其精微與發揮之極致，乃是一個純粹數學的課題，極優美、極重要、極悅人的數學課題，但嚴格說來，不是哲學的一部分。只有這個理論的邏輯基礎才屬於哲學，才是今晚我們要討論的。大致說來，連續性問題是以下述方式進入哲學的：數學家把空間和時間看作是由點和瞬間構成的，但是空間和時間又具有一種雖易感知卻難定義的性質，這種性質被稱為連續性，很多哲學家認為，當空間和時間被分解為點和瞬間時，連續性就被毀滅了。正如下面將看到的，芝諾曾經證明，如果我們堅持有限空間或時間中的點或瞬間的數目必是有限的，那麼就不可能把空間和時間分析為點和瞬間。後來一些哲學家認為無限數是自相矛盾，因而在這裡發現了一個二律背反：根據芝諾提出的理由，空間和時間不可能是由有限數目的點和瞬間構成的；由於無限數被認為是自相矛盾的，因而空間和時間也不可能是由無限數目的點和瞬間構成的。因此，空間和時間如果是實在的，就一定不能認為是由點和瞬間組成的。 但是，即使像上一講中所主張的那種理論把作為獨立存在物的點和瞬間拋棄了，正如我即將力圖指出的，連續性的問題仍然以一種實際不變的形式存在。因此首先我們且承認點和瞬間，並與這個較簡單的或至少更熟悉的假設相聯繫來考察一下這些問題。 反對連續性的論證，就其基於所設想的無限數的困難來說，已由將在第七講中考察的積極的無限理論說盡了。但是人們仍有一種感覺（就是使芝諾主張飛矢不動的那種感覺），認為點和瞬間即使是無限之多的，也只能產生一種跳躍的運動，即各種不動狀態的一種連續，而不可能產生感官已使我們熟悉的那種順利的過渡。我認為，這種感覺是由於在抽象中和想像上都不能了解在數學上出現的連續系列的性質。當我們已在邏輯上把握了一種理論時，常常還需要付出長時間的重大的勞動才能感到它。我們必須仔細思考它，從思想上把那些錯誤的然而更熟悉的理論的引人致誤的提示一一拋掉，以獲得一種直接密切性，就一種外國語言來說，這種直接密切性會使我們能夠用這種語言去思維和幻想，而不僅僅能藉助語法和詞典去構造困難的句子。我認為，就是因為缺乏這種直接密切性，許多哲學家才把數學的連續性理論看作對我們在感官世界中所經驗的那種連續性的一種不恰當的說明。 在本講中，我要先大略地說明，數學的連續性理論就其哲學上的要義而言是什麼。首先，數學的連續性之應用於現實的時空是不成問題的。我看不出有任何理由假定數學家在討論時空時引進的點和瞬間是實際存在的物理的東西，但是我確實認為有理由假定現實時空的連續性可能或多或少地類似於數學的連續性。數學的連續性理論是一種抽象的邏輯理論，其有效性不依賴於現實時空的任何特性。可以斷言的是，當我們了解了數學連續性理論，就可看到先前極難加以分析的時空的某些特徵就沒有什麼邏輯的困難了。我們在經驗上對時空所知道的東西不足以使我們在各種數學上可能的選擇之間做出決定，但是這些可選擇的辦法都是完全可理解的，完全適合於被觀察的事實的。不過現在我們最好先撇開時空和可感變化的連續性，以便在得到抽象連續性理論提供的武器之後再回來討論這些題目。 在數學上，連續性是只有項的系列即按順序排列的項才可能具有的一種性質，因此我們才能對任意兩個項說其一先於另一個。按大小順序的數，在一條線上從左到右的點，從早先到後來的剎那的時間，都是系列的例子。此處所說的順序的概念不是基數理論所用的概念。我們可能知道兩個集合有同樣多的項，但並不知道這些項的順序。例如英國人丈夫和妻子這兩個集合就是這種情形：我們可知丈夫和妻子的數目必然相等，而不必把他（她）們排成一個系列。但是我們現在要考慮的連續性本質上卻是一個順序的性質：它不屬於諸項本身的集合，而屬於具有一定順序的集合。可以此一順序排列的諸項的集合總是也可以另一順序排列，可以連續的順序排列的諸項的集合總是也可以非連續的順序排列。因此，一定不要從項的系列的性質而要從項在一個系列裡排列的性質去尋求連續性的本質。 數學家曾經區別各種不同程度的連續性，並且出於技術上的考慮，把「連續的」一詞限用於具有一定高程度的連續性。但從哲學上考慮，所有在連續性中重要的東西都是由最低程度的連續性引進的，即所謂「緻密性」。一個系列，如果其中沒有兩個項是依次相續的，而是在任何兩個項之間都有另外一些項，那麼這個系列就叫做「緻密的」。緻密系列的一個最簡單的例子就是依大小順序的分數系列。設有任意兩個分數，二者不論如何接近，總有比一個大而比另一個小的其他一些分數，因此沒有兩個分數是連續的。例如，沒有任何分數是1/2之後最接近的分數。假如我們選擇一個稍稍大於1/2的分數，比如說51/100，我們就會看到還有另外一些分數更接近1/2，例如101/200。因此，任何兩個分數的差不論多麼小，其間總有無窮多的其他分數。數學的空間和時間也具有這種緻密性，雖然現實的時空是否具有這種性質是另一個問題，有賴於經驗的證明，而且也許不可能得到確定的回答。 就分數這樣的抽象對象來說，認識到它們在邏輯上有構成一個緻密系列的可能性，或許並不十分困難。可能感到的困難是關於無限性的那些困難，因為在一個緻密系列中，任何兩個給定的項之間必然有無窮多的項。但是當這些困難得到了解決，僅僅緻密性本身就不成為想像力的巨大障礙了。然而，在如運動這樣的更具體的情形中，緻密性變得愈加違背我們的思想習慣。因此，很需要明白地考察一下對運動的數學說明，以便揭示其邏輯可能性。如果把對運動的數學說明看作是描述在物理世界中實際發生的東西，這也許是人為地簡單化；但是實際發生的東西通過相當的邏輯處理必能引入數學說明的範圍，並且經過分析必然提出由這種說明以最簡單的形式所提出的那樣一些問題。因此，我們現在且撇開其物理的恰當性問題，而僅僅致力於考察對運動本質的形式陳述的可能性。 為了儘可能使我們的問題簡單化，我們試想像一個沿著比例尺運動的極小的光點。我們說這個運動是連續的，是什麼意思？對我們的目的來說，沒有必要考察數學家的這個論斷的全部意義，他所意指的東西只有一部分在哲學上是重要的。這就是：如果我們考察這個光點在任意兩個瞬間所占據的任意兩個位置，那麼就會有在介乎其間的瞬間所占據的其他一些介乎其間的位置。我們所取的這兩個位置不論如何接近，這個光點也不會一下子從這個位置跳到那個位置，而要在這條路上通過無窮多的其他位置。每個距離，不論多麼小，都要通過其兩端間一連串無窮多的位置才能走完。 但是在這一點上想像提示我們，可以這樣描述運動的連續性：說這個光點總是從一個瞬間上的一個位置移到下一個瞬間上的下一個位置。一當我們這樣說或這樣想像的時候，我們就陷入了錯誤，因為根本沒有下一個地點或下一個瞬間。如果有下一個地點或下一個瞬間，我們就會發現某種形式的芝諾悖論是不可避免的，這一點在下一講中將會看到。我們可以一個簡單的悖論為例來說明。如果我們所說的這個光點是通過全部某個時間沿著比例尺運動的，那麼它就不可能在兩個相續的瞬間處於同一地點上。但是從一個瞬間到下一個瞬間，它只能從一點走到下一點，因為否則就不會有任何一個瞬間，在這個瞬間它處於在第一個瞬間的位置和下一個瞬間的位置之間的那些中間位置上，而且我們都已同意，運動的連續性排除了這種突然跳躍的可能性。由此推知，這個光點，只要它在運動，就必然是從一個瞬間所在的一點移到下一瞬間所在的下一點上。因此就只有一種完全確定的速度，一切運動必然以這種速度發生：任何運動都不可能比這種速度快，也不可能比這種速度慢。既然這個結論是錯誤的，我們就必須否定它所根據的那個假設，即承認有連續的點和瞬間。(1)因此一定不要認為運動的連續性是在於一個物體在連續的時間占據連續的位置。 我認為，對於想像來說，困難主要在於排除無限小的距離和時間的設想。假定我們把某個距離分成兩半，然後把其半又分成兩半，如此等等，我們可以隨意長地把這個過程繼續下去，這個過程繼續得愈長，得到的距離就變得愈小。這種無限可分性初看似乎意味著有無限小的距離，就是說，這些距離是如此之小，以致一英寸的任何有限的分數都會比它們大。然而，這卻是一個錯誤。把距離不斷地分成兩半，雖然得到愈來愈小的距離，但是得到的永遠是有限的距離。假如原來的距離是1英寸，那麼我們連續不斷地得到的是半英寸，1/4英寸，1/8英寸，1/16英寸，等等；但是這個愈來愈小的距離的無限系列中的每一個都是有限的。人們也許會說：「但是在終點上距離將變成無限小。」不是的，因為根本沒有終點。二分的過程從理論上說是一個可以永遠進行下去的過程，而達不到任何最後的極限。因此我們雖然必須承認距離的無限可分性，但是這並不意味著有小到任何有限距離都比它們大的距離。 在這類問題上，很容易陷入基本邏輯上的失誤。假定任一有限的距離，我們都可以找到一個比它更小的距離；我們可以含糊的形式把這表達為：「有一個比任何有限距離都小的距離。」但是如果我們把這解釋為意指「有一個距離使得，隨意取任一有限距離，那個距離都比它小」，那麼這個陳述是假的。普通語言不適合表達這類的事情，依靠普通語言的哲學家經常被普通語言引入迷途。 因此，在一個連續的運動中，我們要說運動的物體在任一給定的瞬間占據某一位置，在其他瞬間占據其他位置；任何兩個瞬間之間的間隔和任何兩個位置之間的間隔都是有限的，但是運動的連續性卻表現在下面這個事實，即我們所取的兩個位置和兩個瞬間不論如何接近，總有無窮多更接近的位置在亦更接近的那些瞬間被占據。運動的物體決不會從一個位置跳到另一個位置，而總是通過無窮多的中間環節的逐漸過渡而推移。在某個瞬間，運動的物體就在它所在的地方，如芝諾所說的飛矢的情形；(2)但是我們不能說，它在這個瞬間是靜止的，因為這個瞬間並非持續一個有限的時間，而且這個瞬間也沒有開端和終點以及介乎二者之間的間隔。靜止在貫穿某個有限時段（不論如何短暫）的一切瞬間都處於同一位置；它並不單純是一個物體在某個瞬間在它所在的地方。顯然，整個這個理論有賴於緻密系列的性質，要充分理解這個理論，就要求緻密系列成為我們的審思和想像所熟悉易懂的東西。 我們可把必要的東西用數學的語言表達為：運動物體的位置必是時間的一個連續的函數。為了精確規定這一點的涵義，我們可按下述來做。試想有一質點在時刻t處於點P上。任取質點行程上的微小部分P1P2，這個部分包含P。於是我們說，如果質點的運動在時間t是連續的，那麼必能找到兩個瞬間t1，t2，一個早於t，一個遲於t，從而在從t1到t2的整個時間（t1，t2都包括其中），這個質點都處於P1與P2之間。而且我們說，我們所取P1P2這個部分不論多麼小，情形亦必是如此。如果情形是這樣，我們就說運動在時間t是連續的；如果運動在一切時間都是連續的，我們就說全部運動是連續的。顯然，如果這個質點能夠一下子從P跳到另一點Q，我們的定義就不適用於P1P2的全部間隔了，因為這個間隔太小，包括不了Q。因此，我們的定義給運動的連續性提供了一個分析，而又承認點和瞬間，並否認了空間或時段中有無限小的距離。 哲學家們大都由於不知道數學家的分析，而採取其他一些比較冒險的方法來對付關於連續運動的那些乍看似有的困難。晚近關於運動的哲學理論的一個典型的例子是柏格森提出的，他對這個問題的觀點我曾在別處做過考察。(3) 除了明確的論證，還有某些感覺而不是理由阻礙人們接受對運動的數學解釋。首先，如果一個物體運動極快，正如我們看到它的顏色一樣，我們也看到它的運動。緩慢的運動，如鐘錶時針的運動，則只有通過數學使我們可望得到的方法才能認識到，即通過觀察一段時間之後位置的變化才能認識到；但是，當我們觀察秒針的運動時，我們不僅先看到一個位置，然後又看到另一個位置，還看到某種像顏色一樣直接可感的東西。我們所看到而稱之為可見運動的東西是什麼呢？不論它是什麼，但它不是連續占有一些連續的位置。要說明它，需要某種超出數學的運動理論之外的東西。反對數學理論的人強調這個事實。他們說：「你們的理論也許是非常邏輯的，也許可以美妙地應用於別的某個世界；但是在這個現實的世界中，實際的運動與你們的理論所說的大不相同，因此需要一種與你們的哲學不同的哲學來精確地說明實際的運動。」 我無意輕視這樣提出的駁難，但是我相信完全可以回答它，而無需改變導致數學的運動理論的那些方法和見解。不過，讓我們首先儘量較完整地陳述一下這個駁難。 如果數學的理論是適當的，那麼當一個物體運動時，除了它在不同時間在不同位置上之外，就沒有任何事情發生了。但是在這個意義上，時針和秒針同樣是在運動，不過在秒針那裡有某種可被感官感知的東西，在時針那裡則沒有這種東西。每刻我們都能看到秒針在動，而這又不同於看到它先在一個地點，隨後在另一個地點。這似乎意味著我們同時在許多地點看到它，儘管這必然也意味著我們看到它在某些地點早於在其他地點。例如，如果我迅速地把手從左移到右，那麼你似乎立刻就看到了整個的運動，儘管你知道這個運動在左邊開始而在右邊結束。我認為，正是這種考慮使得柏格森和其他許多人把運動看作一個實際上不可分的整體，而不是數學家所想像的一系列分離的狀態。 對這個駁難，有三種補充的回答：生理學的、心理學的和邏輯的。我們將依次考察這三種回答。 （1）生理學的回答只是指出，如果物理世界就是數學家所設想的那樣，那麼它的可感的現象無論如何可望就是它的真相。因此這個回答是一個審慎的回答，只是表明數學的說明不是不可能應用於物理的世界；它甚至並不打算指出這種說明是必需的，也不打算指出類似的說明也適用於心理學。 當任何神經受到刺激而產生一種感覺時，這種感覺並不隨著刺激的停止而立即停止，而是經過一段短暫有限的時間才漸漸消失。一道閃電，對我們的視覺來說是短促的，作為物理的現象則更為短促，在光波已不再刺激眼睛之後的片刻時間中我們仍然看到它。因此就物理運動（如果它十分迅速的話）而言，我們在一個瞬間實際上是在這個運動著的物體行程的整個有限部分上，而不僅僅是它在那一瞬間所在的那一點上看到它。不過，感覺在漸漸消失時是愈來愈微弱的；因此，由剛剛過去的刺激而得的感覺與當下刺激產生的感覺是不完全相似的。由此可見，在看一個快速運動時，我們不僅同時看到這個運動物體的許多位置，而且是以不同的強度看到它們的——當下的位置最生動，其他位置的生動性漸弱下去，直到感覺漸漸消失而變成直接的記憶。這種狀況充分說明了對運動的知覺。當一種運動迅速得足以使人們在同一時間感知許多位置時，這種運動就是被感知到的，而不是僅僅被推論出來的；一個被感知到的運動，其在先和在後的部分由於感覺的生動性大小程度不同而有區別。 這個回答表明，生理學能夠解釋我們的運動知覺。但是，生理學在談論刺激和感官以及物理運動之有別於直接感官對象時，是假定了物理學的真理的，因此只能指出物理的說明是可能的，而並未指出它是必需的。這個考察又把我們帶到心理學的回答。 （2）對有關運動問題的困難的心理學回答是一個巨大理論的一部分，這個理論尚未完成，目前只能籠統地述其大略。我們在第三、第四兩講中已考察過這個理論；現在只要大概說明一下它之應用於當前這個問題也就夠了。生理學回答所假定的物理學世界顯然是從感覺中所給予的東西推論出來的；然而一當我們認真考察感覺中實際被予的是什麼時，我們就發現它顯然與物理學的世界大不相同。於是我們必然面臨一個問題：從感覺到物理學的推論是一個正當的推論嗎？我認為，根據我在第三和第四講中提出的那些理由，回答是肯定的；但是這個回答不可能是簡短的，也不可能是容易的。大致說來，這個回答就是指出，儘管物理學處理的微粒、點和瞬間本身不是在經驗中被給予的，而且很可能不是實際存在的東西，但是我們有可能用感覺提供的材料構成一些邏輯的構造，這些邏輯構造具有物理學賦予微粒、點和瞬間的那些數學的性質。如果能夠做到這一點，那麼所有物理學的命題都可以根據一種詞典翻譯成關於感覺所給予的各類對象的命題。 把這些一般的考慮應用於運動問題，我們就看到，即使在直接感覺材料的範圍之內，將對象的頃刻狀態加以區別，並將這些狀態看作構成一個緻密系列，也是必要的，或者無論如何比任何其他同樣簡單的看法更符合事實。試從一個運動的物體來看，這個物體運動迅速得足以使其運動成為可感知的，而且其運動之久足以使其運動不能被一個感覺所包容。因此儘管我們在一個瞬間看到了這個運動的一個有限的範圍，但是我們在一個瞬間看到的這個範圍與我們在另一瞬間看到的範圍是不同的。這樣我們終究又回到了對這個運動物體的一系列瞬間的觀察，而且這個系列像前面物理的點的系列一樣，是緻密的。事實上，這個系列的諸項雖然似乎各異，但系列的數學特性是不變的，關於運動的全部數學理論可一字不變地應用於它。 我們從這個方面考察實際的感覺材料時，重要的是認識到，如果我們不能感知兩個感覺材料之間有任何差異，這二者就可能而且有些時候必然是確實不同的。彭加勒曾強調指出相信這一點的一個古老然而無可爭議的理由。(4)在可能逐漸發生變化的感覺材料的一切情形中，我們會找到一個與另一感覺材料無法區分的感覺材料，而這另一個感覺又與第三個感覺材料無法區分，然而第一個感覺材料和第三個感覺材料則極易區別開來。例如，假定有一個人，閉著雙眼，手上拿一重物，另一個人悄悄地給他又加上一點點重量。如果這附加的重量非常小，在感覺上就不會感知任何差別。過一會兒可能又加了一點點重量，而他仍然沒有感知任何變化；但是如果把這兩次附加的重量同時加上去，那麼他大概會很容易感知到變化。再以顏色的明暗度為例。我們不難找到三種塗料，它們的明暗度如此相近，以致在第一種塗料與第二種塗料之間、第二種塗料與第三種塗料之間不可能感到任何差別，而第一種塗料與第三種塗料則可以區別開來。在這種情況下，第二種明暗度不可能與第一種的相同，否則它就可以與第三種明暗度區別開來了；它也不可能與第三種明暗度相同，否則它就可以與第一種明暗度區別開來了。因此，它雖然與第一種和第三種明暗度都不能區別開來，但的確必然是二者之間的中介。 上面這些考察表明，感覺材料之間的差別只有超過一定的程度，我們才能把它們區別開來，雖然如此，我們仍有充足的理由假定某一種類的感覺材料，如重量或顏色，確實構成一個緻密系列。因此，從心理學觀點可能提出的對數學的運動理論的反駁並不是反駁被正確理解的這個理論，而只是反駁一種完全不必要的對瞬間感官對象的簡單性的假定。就可見運動而言，對於直接感官對象我們可以說，在每個瞬間它都處於在那一瞬一直可以感到的位置上；但是這一串位置隨時不斷地變化，而且仿佛是一個純粹的點，可做同樣的數學的處理。當我們斷定說對現象的某種數學說明是正確的，我們首先斷定的只是：有某種可用粗糙的現象加以規定的東西滿足我們的公式；在這個意義上，關於運動的數學理論可應用於抽象物理學假定的微粒，也可應用於感覺材料。 如果認為數學的連續不適用於感官事實，有許多不同的問題就很容易被混淆起來。按其普遍性大小的順序，我們可將這些問題陳述如下： （a）具有數學連續性的系列在邏輯上是否可能？ （b）假定它們在邏輯上是可能的，是否因為在實際的感覺材料中沒有如在分數系列中所看到的那種固定的相互外在的項，具有數學連續性的系列就不能應用於實際的感覺材料呢？ （c）點和瞬間的假定是否使全部數學的說明成為虛構的？ （d）最後，假定所有這些駁難都得到了回答，在實際經驗的事實上，是否還有任何充足的理由相信感官世界是連續的？ 我們依次來考察一下這些問題。 （a）關於數學連續性的邏輯可能性問題，其關鍵一部分在於我們在本講開頭談到的那個基本的誤解，一部分在於我們將在下面兩講討論的數學無限性的可能性，一部分在於對剛剛提到的柏格森駁難的回答的邏輯形式。此刻我對這個問題不擬多說什麼，因為最好首先把心理學的回答搞完。 （b）關於感覺材料是否由相互外在的單位構成的問題不是經驗證據所能判定的問題。人們常常極力主張，可感覺之流，作為一個直接經驗的事實，是無區別的，理智的解析則把它曲解了。我現在不打算論證這種觀點是與直接經驗矛盾的，我只想說，這種觀點根本不可能為直接經驗所證明。如上所見，感覺材料必有一些細微而不能感知的差別，感覺材料之為直接的所予這個事實並不意味著它們的差別也必然是（雖然可能是）直接被給予的。例如，假定有一帶色的平面，面上的顏色漸漸改變，漸漸地以至於感覺不到兩個鄰近的部分有顏色的差別，而離得較遠的部分的差別則是很顯著的。在這種情形中所產生的正是「相互滲透」的結果，過渡的結果，這種結果不是各個孤立的單位的事情。人們既然傾向於認為顏色是直接的材料，如果它們是不同的，就必然顯現為不同的，於是就似乎容易得出結論說，「相互滲透」必然是根本正確的解釋。但是這個結論是得不出來的。人們不自覺地假定了下面一點作為證明分析觀點之謬誤的前提，即：如果A和B是直接的材料，並且A不同於B，那麼它們是不同的這個事實必然也是一個直接的材料。很難說明這個假定是怎麼產生的，但是我想它跟「親知」和「關於（對象的）知識」的混淆有聯繫。親知是從感覺得來的，至少在理論上並不含有些微「關於（對象的）知識」，就是說，它並不含有關於我們親知的對象的任何命題的知識。說似乎有不同程度的親知是錯誤的，只有親知與非親知之別。例如，當我們說對某人「更親知」（更熟悉）時，我們的意思必是說對某個整體的更多的部分有親知；但是對各個部分或者是完全的親知，或者根本沒有親知。因此說我們如已完全地親知一個對象就應知道關於它的一切，這是錯誤的。「關於（對象的）知識」是命題的知識，並不必然包含在對命題成分的親知中。知道顏色的兩種色調不同，是關於這兩種色調的知識；因此對這兩種色調的親知決不以是否知道它們是不同的為必要條件。 由上所說可以推知，感覺材料的性質不能有效地被用來證明它們不是由相互外在的單位組成的。另一方面，可以承認，在感覺材料的經驗特性中沒有任何東西特別使我們必須認為它們是由相互外在的單位組成的。要堅持這個觀點，必須有邏輯的而不是經驗的根據。我相信，這個結論有充分的邏輯的根據。歸根到底，邏輯的根據是建立在不假定成分就不可能說明複雜性這一點上的。無需否認，例如視域是複雜的；就我所能看到的而言，那些雖承認這種複雜性而又企圖否認它來自相互外在的單位的結合的理論總是自相矛盾的。但是繼續詳論這個問題會使我們離題太遠，因此我現在對這個問題不再多說什麼了。 （c）有些時候人們極力主張，對運動的數學說明由於假定了點和瞬間而成為虛構的。這裡要區別開兩個不同的問題，一個是絕對或相對時空的問題，一個是占有時空的東西是否必然由無廣延、無綿延的元素組成的問題。這兩個問題每個又可採取兩種形式，即：（α）這個假設與事實和邏輯是否相容？（β）這個假設是否為事實或邏輯所必需？在每種情形中，我對問題的第一種形式都要回答是，而對問題的第二種形式回答否。但是如果給「點」和「瞬間」二詞以正確的解釋，那麼在任何情況下對運動的數學說明都不會是虛構的。對每種情形略說幾句就可以把這一點弄清楚的。 從形式上看，數學採取一種絕對時空的理論，即假定除了在時空中的事物之外，還有被稱為「點」和「瞬間」的實體，它們為事物所占有。不過，這個觀點雖為牛頓所倡導，數學家們卻久已認為只是一個方便的虛構。就我所能看到的而言，無論支持還是反對它，都沒有可以設想的證據。這個觀點在邏輯上是可能的，而且與事實是相容的。但是事實與否認具有時空關係的事物之外的時空實體之存在也是相容的。因此，根據「奧卡姆剃刀」，我們最好既不假定也不否定點和瞬間。就實際作為來說，這意味著我們採取關係理論，因為在實踐上拒絕假定點和瞬間與否定點和瞬間具有同樣的效果。但是在嚴格的理論上這二者是大不一樣的，因為否定點和瞬間導入了一個不可證實的教條的成分，當我們僅僅避而不作此斷定時是完全沒有這種教條的成分的。因此，儘管我們將從事物推出點和瞬間，但是對於它們是否也像單純實體一樣具有獨立存在這種純粹的可能性，我們則置而不論。 現在我們來討論是否要把時空中的事物看作是由沒有廣延或綿延的元素即只占有點和瞬間的元素組成的問題。形式上，物理學在其微分方程式中假定了事物是由在每個瞬間僅占據一個點但持續存在於全部時間的元素構成的。根據第四講中所說的那些理由，事物在整個時間的持續存在應被看作邏輯構造的形式的結果，而不必然意味著任何實際的持續存在。事實上，使事物分解為點一粒子的同樣的動機大概也應使事物分解為瞬間一粒子，從而物理學上物質的究極的形式成分就將是一個點一瞬間一粒子。但是這種對象與物理學的粒子一樣，都不是直接材料。同樣，假設的經濟迫使我們實際採用相對時空而不採用絕對時空，也迫使我們實際採用具有有限廣延和綿延的物質元素。如第四講中所看到的，既然點和瞬間可構造為這些元素的邏輯函項，那麼對運動（在這個運動中粒子不斷地穿過一系列連續的點）的數學說明就可以這樣一種形式加以解釋，即只假定在具有有限廣延和綿延上與我們的實際材料相一致的元素。這樣，就點和瞬間的使用來說，對運動的數學說明就可以不被指責為利用虛構了。 （d）但是現在我們必須面對這個問題：在實際的經驗事實上，是否有任何充足的理由相信感官世界是連續的？我想，對這個問題的回答必然是否定的。我們可以說，連續性假設與事實和邏輯是完全一致的，而且在技術上比任何其他可持的假設都更簡單。但是由於我們對非常相似的可感對象加以辨別的能力不是無限精確的，對僅在涉及辨別限度之外的東西上才有所區別的各種不同的理論要作出判定是極不可能的。例如，如果我們看到的一個帶色的平面是由有限數目的極小平面構成的，我們看到的一個運動像放映電影似的由很大的有限數目的連續位置構成的，那麼就沒有任何可在經驗上發現的東西能表明感官對象不是連續的。在被認為是在感覺上給予的所謂經驗到的連續性中有一個巨大的否定的因素，即在被認為給予了對缺乏差別的知覺的情形中卻缺乏對差別的知覺。例如，當我們不能區別顏色A和顏色B，也不能區別顏色B和顏色C時卻能區別顏色A和顏色C，這種不可區別性是一個純粹否定的事實，即我們沒有感知一種差別。即使對直接材料來說，這也不是否認存在差別的理由。因此，如果我們看到一個帶色的平面，其顏色漸漸改變，如果這個變化是連續的，那麼這平面的可感的現象同它在顏色以微小有限的跳躍發生改變時的現象就會無法辨別。如果像表面看來那樣，這是真的，那麼就可得出結論，決不可能有任何經驗的證據證明可感的世界是連續的，而不是由很大的有限數目的元素組成的集合，這些元素中每個與其相鄰的一個都有極小而有限程度的差別。時空的連續性，在光譜上無窮多的不同色度，等等，全都具有不可證實的假設的性質，它們在邏輯上是完全可能的，與已知的事實是完全一致的，而且比其他可持的任何假設在技術上都更簡單，但它們不是惟一在邏輯上和經驗上恰當的假設。 如果構造一個關於瞬間的關係性理論，把「瞬間」定義為一組彼此同時而不全都與組外任何事件同時的事件，那麼，我們所得的這個瞬間系列要成為緻密的，則X若全部先於Y，就必可發現有一事件Z與X中全部先於某個全部先於Y的事件的那個部分同時。這就要求有關事件的數目在任何有限的時段中都應該是無限的。如果一個人的感覺材料的世界就是如此，如果每個感覺材料必然具有至少是一定的有限的時間範圍，那麼就必須假定，我們永遠有無窮多的與任一給定的感覺材料同時的感覺材料。把相同的考慮用於空間，並假定感覺材料必然具有至少是一定的空間廣延，就必須假定有無窮多的感覺材料在空間上與任一給定的感覺材料相重疊。如果我們假定例如視覺中的一個單獨的感覺材料是一個有限的平面，包圍了也是單獨感覺材料的其他一些平面，那麼這個假設就是可能的。但是在這樣一個假設中有一些困難，我不知道對這些困難能否成功地作出回答。如果不能，我們就必須在下面兩件事中做一件事：或者宣布一個人的感覺材料的世界不是連續的，或者拒絕承認一個單獨的感覺材料的綿延和廣延有任何更低的限度。我不知道在這兩者中哪個是應當採取的正確的做法。我們所考察的邏輯分析提供了處理各種假設的工具，而在各種假設中作出經驗的抉擇則是心理學家的問題。 （3）現在我們要來考察對數學運動理論所提出的困難的邏輯的回答，或者更正確地說，對從反對方面提出的積極理論的邏輯的回答。柏格森明確主張而在許多哲學家的學說中都暗含著的觀點認為，運動是某種不可分的東西，不能有效地分析為一系列的狀態。這是一個更普遍的理論的一部分，這個理論認為，分析永遠是歪曲偽造，因為一個複雜整體的諸部分當結合於該整體中時是跟它們處於其他情況下時不同的。很難以任何具有確切意義的形式來陳述這個學說。人們常常使用的一些論證與這個問題毫不相干。例如，人們強調說，當一個人變成父親時，他的性質就因他所處的這種新的關係而改變了，因此嚴格說來，他與先前不是父親的那個人不是同一的。這也許是真的，但這是一個心理學的因果事實，而不是一個邏輯的事實。這個學說大概是要求一個是父親的人不可能嚴格地與一個是兒子的人相同一，因為他一方面被父親性的關係所改變，另一方面又被兒子性的關係所改變。事實上，我們正在反對的這個學說可以如下形式給以精確的陳述，即：絕不可能有兩個關於同一事物的事實。關於一個事物的一個事實永遠是或者包含著對一個或更多存在物的一種關係；因此關於同一事物的兩個事實就會包含這同一事物的兩種關係。但是這個學說主張，一個事物這樣被它的關係所改變，以致它在這個關係中和在那個關係中不可能是同一個事物。因此，如果這個學說是真的，那麼關於任何一個事物就決不可能有一個以上的事實。我並不認為，這些哲學家們已經領悟，這就是對他們鼓吹的那種觀點的精確陳述，因為在這種形式上，那種觀點與普通的真理是如此相違，以致一經陳述其謬誤就昭然可見了。不過，對這個問題的討論包含很多邏輯上的細微之處，而且為許多困難所糾纏，所以現在我不擬做更多的探討了。 上述這種一般的理論一被否棄，那麼凡有變化之處必有狀態的接續這一點就是顯而易見的了。除非有某個東西在一個時間上不同於在其他某個時間上存在的東西，就不可能有變化，而運動只是變化的一個特殊情形而已。因此變化必然包含關係和複雜性，而且必然需要分析。如果我們的分析僅僅進行到其他更小的變化，那是不完全的；如果要成為完全的分析，其終點必須是一些不是變化然而由先後關係聯繫起來的事項。在像運動這樣顯現為連續的變化情形中，如果我們討論的是有限（不論如何短）的時段，那麼要找到不是變化的任何東西似乎是不可能的。於是我們就被這種情形的邏輯必然性趕回到無綿延的瞬間概念，或者說這種瞬間無論如何沒有即使最精密儀器所能顯示的任何綿延。這個概念雖然也可能被弄得好像很難，但是實際上它比事實所容許的其他任何概念都更容易。它是任何站得住腳的理論都必須適應的一種邏輯框架，其本身並不必是對粗糙事實的陳述，而是可通過一種適當的解釋作出適用於粗糙事實的陳述的一種形式。在前幾講中我們已經直接考察了物理世界的粗糙事實；在這一講中我們則只是要指出，粗糙事實中沒有任何東西與數學的連續性學說是不相容的，或者需要一種與數學運動的連續性根本不同的連續性。 * * * (1)　上面的悖論與芝諾的賽跑場悖論本質上是一樣的，我們將在下一講里考察芝諾悖論。 (2)　見第六講。 (3)　《一元論者》，1912年7月號，第337—341頁。 (4)　「數學連續性」，載《形上學和道德評論》，第1卷，第29頁。