問題集 · 第十五卷 數學理論方面的問題

【1】在把矩形分成兩個部分的一切可能的線段中，為什麼只有從一個角到另一個角的線才被稱為對角線？是因為，正如它的名稱所表明的，對角線能把圖形分成兩部分，而又不損傷它的對稱嗎？所以，基於交匯點（我的意思是指角）劃分它的線也是對角線；因為它也沒損壞圖形，只是將其劃分開，就像分發戰鬥武器的人一樣。但是，任何依據邊來分割的線段都會損壞這個圖形；因為矩形是基於角才構成的。 【2】為什麼如此稱謂對角線？是因為只有它才把矩形分成兩部分嗎？所以，有人似要把它稱為dikhametros[1]。那麼，為什麼在把圖形分為兩部分的所有線段中，只有這條線有如此名稱呢？是因為，只有這條線才基於曲折的交匯點來劃分，其他線則是基於邊嗎？ 【3】為什麼所有的人（包括野蠻人和希臘人）數數都數到10，而不是到其他數，例如，他們說2、3、4、5，然後再重複，說一五、二五、就像在說11、12似的？或者，為什麼他們不在10以後的某個數上停止，然後再從那裡重複數起呢？因為每個數都是通過添加前面一個數構成的，例如1、2等等，另外的數也是這樣，但人們總是以10為界。其所以這樣做，不是源於巧合，顯然有其必然性；必然的和普遍的東西不可能來自巧合，而是本性使然。是否因為10是一個完滿的數？因為它包含了數的一切形式，如奇數與偶數、平方與立方、長度與面積、原初數與合成數。或者因為10是本原？因為1、2、3、4相加等於10。或者是因為，天上運行的物體是9個？或者因為在10中，4的立方按比例完成了？畢達戈拉學派的人們宣稱，宇宙正是從這些數中構成的。或者是因為，一切人都有10個手指頭？仿佛擁有了自然的計算器，人們便依據這個數來數其他東西。只有什拉孔人中的一族數到4為止，因為他們如同小孩，不能記住再多的數，也從不使用任何大數字。 【4】……[2]，因為地球是中心？既然顯現給我們的各種形狀總是相同的。似乎不是這樣，如果沒有人從中心看到它們的話，相反，它們有時顯得是三角形，有時顯成梯形，有時又顯出其他形狀。如若我們能從某一角度來觀察，地球對我們就顯得是中心。因為地球是圓的，宇宙和地球的中心是相同的。我們居住在地球的表面，所以，我們不是從中心看，而是似乎在只有天體的直徑之一半的距離。因此，當距離變大時，有什麼妨礙它們形狀的外觀保持相同呢？ 【5】雖然太陽的運轉是齊一的，但為什麼在相等的時間中，影子的增減卻不相同？是因為，對應於被見物的角是相等的，而這些角又源於光線，被相等的弧所造成嗎？如果這些角相等，那麼，當光線投下時，它們在三角形中（這三角形是由第一束光線、被見物和影子所形成的）造成的角也是相等的。而如果這些角相等，由被見物引起的較遠的線也必然比較近的線更長些；因為我們知道這一點。把圓周分成相等的任意部分，設被見物為H。所以，當太陽在A處照射H，造成一個影子HL時，光線必然落在L上。但是，當太陽移到B點時，從B處射出的光線將落在HL內；當太陽移到C點時，情形也一樣；如若不然，一條直線就會在兩個點上與另一條直線相切了。既然AB與BC相等，那麼，在D處對應它們的角也會是相等的；因為它們處在中心。如果D處的角相等，三角形中的角也應相等；因為它們是在頂尖上的角。所以，既然角被分成相等的兩個部分，那麼，線LE就會比LH中的EF更大。從圓周上發出的光線所造成的其他角也同樣如此。同時也很明顯，正午時的影子必然最短，而且，它在此時的增加也最少。因為正午時的太陽正當頭頂，此時也悶熱，這既由於剛才所說的原因，也因為無風；因為當太陽驅散離地面不遠的空氣時，風才形成。所以，如果太陽同時在兩個半球這樣做，午夜和正午自然就最無風了。 【6】當太陽穿過四邊形的東西時（例如在柳條製品中），為什麼它不形成直線性的形狀，而是圓的？是因為，視線的投射是圓錐形，圓錐形的底部是圓的，所以，無論光線落在什麼東西上，它都顯得較圓嗎？因為如果光線是直的，由陽光造成的形狀也必然被直線所包圍。因為當光線垂直地落到直線上時，造成的形狀也是直的。這是光線導致的結果；因為它們落到柳條製品的直線上，而那正是它們照射的地方，而且，它們本身是直的，所以，其照射也是直的。但是，由於對著直線兩端而被分割的那些視線部分是微弱的，就看不到角周圍的部分；凡在圓錐內的直，就形成一條直線，其餘的則不形成，視線雖落在上面，但沒覺察到。因為視線所及的許多東西是我們看不見的，例如黑暗中的事物。與此相似的現象如，四邊形的東西顯得是多角形，假如在稍遠處看，又成了圓形。既然視線的投射是圓錐形，當形狀被移到遠處時，那麼，分散到角上的那部分視線，由於微弱和量少，就看不到什麼，尤其是在距離更遠時，但是，落到中心的那部分視線，由於量多和強大，就盯在那裡。所以，形狀離得近時，視線能看見角的一部分，在離得遠時，就不能看見了。因此，弧線離得遠時，顯得是直的。第八天時的月亮似乎是被直線圍著，假如視線不是落在它的寬度上，而是落在圍著它的線上的話。因為當弧線近時，視覺能區分出它的一部分比另一部分近多少，但在離得遠時，就區分不出了，仿佛是相等的。因此，它顯得是直的。 【7】雖然月亮是球形的，但當它處於半圓狀態時，為什麼我們見它是直的？是因為，我們的視線和陽光落在月亮上所造成的那條圓周線處在同一平面上嗎？一旦發生這種情形，太陽就顯得猶如一條直線。因為既然把視線投射到球形物上，所看到的必然是圓形，而月亮是球形的，太陽又照射到它，那麼，太陽引起的也應是圓形。當這與我們相向發生時，整體就是可見的，月亮顯出滿月狀態；但當它由於太陽位置的變更而變化時，它的弧線與我們的視線處於同一平面，所以，便顯得是直的。但是，其他部分則是弧形的，因為它是半球形，與我們的視線相向。因為月亮總是與我們的視線相對。但當太陽遮住它時，我們看不到，第八天之後，它才從中間出來，又開始變滿，因為太陽在通過時，使圓更朝我們傾斜。對視線處於這種位置的圓，相似於錐形的剖面。在太陽變更其位置時，它顯得像新月。因為當太陽的圓達到端點時，便使月亮顯出半月形，圓的弧線就看得見了。因為它對視線而言，不再是直線，而是有角度的傾斜。當這發生時，太陽穿過同樣的點，必然顯出新月形。因為先前與我們相對的圓的一個部分，現在處於和視線同一的平面上，所以，光線被分割了。那時，端點也仍在同樣的位置，因此，必然顯出新月形。這或多或少是由於太陽的運動。因為當太陽變更位置時，它照射的那個圓也在轉動，雖然仍留在相同的點上；因為它似乎是可以無限傾斜的，既然通過相同的點，可以畫出無限多的大圓。 【8】為什麼本為球體的太陽和月亮顯出是平面？是因為，一切距離不明顯的東西，只要或多或少地有一定距離，都顯得是等距離的嗎？所以，在由多個部分構成的一個東西中，只要顏色沒有差別，各部分也必然顯得是等距離的，而等距離的東西又必然顯得是齊一的、平面的。 【9】為什麼在太陽升起和下落時，造成的影子最長，升得高時影子短，正午時影子最短？是因為在它升起時，它的第一縷光線將造成與地面平行的影子，投射到無限的距離，爾後造成長影子，再後，由於從更高點射出的直線愈來愈落在裡面，造成的影子便愈來愈短嗎？設AB是日晷的指針，C和D是太陽的兩處位置，從C處發出的光線形成線段CF，它將落在線段DE之外。BE是太陽在更高處投下的影子。BF則是較低處的影子。那麼，當太陽在最高處，即在頭頂上方時，造成的影子最短。 【10】為什麼源於月亮的影子比源於太陽的影子更長，雖然兩者都來自同樣的垂直物？是因為太陽比月亮更高嗎？源於更高東西的光線也必然落在裡面。設AD為日晷的指針，B為月亮，C為太陽。源於月亮的光線為BF，所以，影子是DF；源於太陽的光線為CE，所以，它的影子必然更短，因為它是DE。 【11】在日食期間，如果某人透過篩眼、梧桐樹葉或其他闊葉樹的樹葉叢去看它，或把一隻手放在另一隻上面，透過交錯的手指縫去看它，為什麼灑向地面的光線呈新月形？是因為，正如當光線透過角度好的窺孔時，會形成錐形的圓一樣嗎？其原因在於有兩個錐形出現，一個從太陽到窺孔，另一個從窺孔到地面，它們的尖頂相接。所以，當處於這種狀態的光線被上面的圓割開時，就會在光的相反方向，即地上形成新月形。從弧線形成的新月形中，出現了光線；但在手指間或篩眼中看到的光線卻像在窺孔中見到的，因此，它們比透過大孔穴的光線更容易被看清。但它們不是來自月亮，既不是在月食時，也不是在盈虧時，因為源於兩端的光線並不清晰，只從中間瀉出了光；而新月的中間部分是很小的。 【12】為什麼幻日不出現在太陽高懸中天時，也不出現在太陽的上方或下方，而只在它的旁邊？是因為，幻日的出現由於朝著太陽的視線轉了彎，這又以空氣的靜止為條件，因為在此條件下，視線才被折射，而且，在離太陽過近或過遠時它都不出現嗎？因為如果太近，陽光會將它驅散，如果太遠，視線又不會被折射；既然如果太遠，當從小的鏡面被折射時，它變得很微弱。因此，也不會出現光暈。如果折射鏡與太陽相向，且離得近，陽光會驅散它，但如果離得遠，落於其上的光又很少。然而，如果它在太陽旁邊，鏡面就可能處在這樣的距離，即陽光既不會驅散它，視線也不會由於移向地下而上升得太弱。它不會在太陽下方出現是因為，由於離地面近，陽光會驅散它；它也不會在太陽上方出現，因為當日懸中天時，視線被分散了。當日懸中天時，它甚至也完全不可能在太陽旁邊出現，因為如果視線移得離地面太遠，就只有很少一點到達鏡面，所以，在被折射時，就非常微弱了。 【13】為什麼太陽造成的影子的外沿顯得在晃動？這不是由於太陽在移動；因為太陽不可能同時朝相反方向運動，而晃動卻是這種情形。再者，它位置的變化並不明顯，正如太陽本身的一樣。那麼，是由於所謂的塵埃在空氣中的運動嗎？在透進窗戶的光線中，可以看見它們；因為即使在無風時，它們也在被運動。它們總是不停地從影子中被移向光里，又從光里被移到影子中，所以，光和影子的共同邊界也顯得同樣地被運動。因為塵埃在從一邊向另一邊變換位置，就造成了仿佛影子在一個地方，光在另一個地方似的。所以，影子就顯得在運動，其實，被這樣運動的不是影子本身，而是塵埃。 * * * 注釋 [1] 這是個自造的詞。「對角線」diametros與dikhametros僅兩個字母之差，所以才有這個說法。而且，dikhametros中的dikha是「分為二」的意思。 [2] 原文有空缺。