魏晉南北朝史 · 第一節 數學、天文學與地圖學

數學　魏晉南北朝時期，我國湧現了一批優秀的數學家。 劉徽，魏晉時數學家，撰有《九章算術注》和《海島算經》。《隋書·律曆志》云：「魏陳留王（曹奐）景元四年（公元263年）劉徽注《九章》。」劉徽在《九章算術·方田》章圓田術注和《商功》章圓術註裡都提到「晉武庫中有漢時王莽所作銅斛」。而晉武庫於惠帝元康五年（公元295年）發生火災，「焚累代之寶」（《晉書·惠帝紀》）。可知劉徽撰《九章算術注》，始於曹魏景元四年，而成於西晉武帝時。劉徽在《九章算術·方田》章約分術注說道：「物之數量，不可悉全（整數），必以分（分數）言之。」《少廣》章開方術注說道：「凡開積（正方形面積）為方（方邊），方之自乘當還復其積。」《方程》章正負術註裡說道：「今兩算（數）得失相反，要令正負以名之。」他對於抽象的數學概念，都已作了正確的註解，而且說得很透徹。劉徽還在《九章算術·少廣》章開立圓術註裡算出球體積是球徑立方的十六分之九，指出東漢張衡受著「陰陽奇偶之說」的束縛，「不顧疏密」，以致把球體積算成是球徑立方的八分之五，錯誤是非常明顯的。在這個問題上，充分體現了他那種實事求是的唯物主義精神。 《九章算術》圓面積的量法，採用古法的「周三徑一」（π＝3），這是不夠精密的。西漢末，新莽鑄銅斛，從它的銘文，知道銅斛的圓徑是1.4142＋2×0.0095＝1.4332尺，圓面積是1.62方尺。從圓徑和面積，計算出圓周率約等於4×1.62÷1.43322＝3.1547。東漢時，張衡著《靈憲》，取為圓周率。東吳王蕃《渾儀論》取為圓周率。這些圓周率的近似值，都不夠精密。劉徽認為舊的割圓率太疏舛，應該「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體，而無所失矣」（《九章算術·方田》章圓田術注）。劉徽從圓內接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數，一直計算到內接正九十六邊形。由於面積的增大，邊數愈大則內接正多邊形面積愈近於圓面積。劉徽在實際計算中，採用了來計算圓面積。而在精密計算中，認為圓面積等於方寸，由此得這個近似分數值，化成十進小數是3.1416，自然是更加精密了。劉徽雖然只求到小數後第四位，但他知道可以繼續往下算下去。劉徽在中國數學史上，可以算作第一個用「極限」的人。 劉徽在《九章算術·少廣》章開方術注中，認為在開平方或開立方不盡時，原來那種用分數來表示奇零部分的方法也並不十分準確，他主張繼續開方下去，「求其微數。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細」。以求得出以十進分數表示平方根或立方根的近似值來。劉徽在《九章算術注》中還創立了不少新的演算方法，比起舊的演算方法來要簡捷得多。 在西漢時，天文學家為了測量夏至日太陽離地面的高度，創立了兩次測量日影的方法，東漢數學家稱之為重差術。舉例來說，在南北相距一千里的兩處地方，各立高八尺的表，夏至日日中量二表的影長，北表影長一尺六寸，南表影長一尺五寸，影長相差一寸。由此計算夏至日太陽高出地面約為里。因為地面是球面，不是平面，用這種方法來測量太陽的高遠，是不會得到正確的答數的。但是如果用它來測量地面上近距離的目的物的高、深、廣、遠，譬如推算海島的距離，測量高樓的高遠，還是有用處的。劉徽在《九章算術注》中總結了這種方法，舉出九個例題來說明它的應用，補寫了《重差》一章。到了唐朝初年，這一章獨立成書，稱為《海島算經》，作為當時官立算學（培養天文、數學人才的學校）的重要教材。劉徽在數學上的貢獻是很大的。 祖沖之（公元429—500年），字文遠，南朝宋、齊時人，祖籍范陽遒縣（今河北淶源北），祖先流寓江南。沖之歷仕宋、齊，官至長水校尉。他是南北朝時代一位傑出的科學家，在天文曆法、數學、機械製造等方面都有重大成就。在數學方面，他在劉徽的基礎上，「更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數（過剩近似值）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，數（不足近似術）三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈、二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，周二十二」（《隋書·律曆志》上）。他精確地算出圓周率是在 3.1415926和3.1415927之間。他還求得兩個分數值的圓周率，一個是（約等於3.1415927），這一個數比較精密，所以稱為「密率」；另一個是（約等於3.14），這一個數比較粗疏，所以稱為「約率」。祖沖之是世界上第一個把圓周率的準確數值算到小數點後七位數字的人。九百多年以後，15世紀時阿拉伯數學家阿爾·卡西（拉丁音al-Kashi）求得的結果方才超過了他的成就。至於密率，在歐洲直到1573年，德國的奧托（Valenlinus Otto）才重新得到這一數值，這已是一千一百年後的事了。祖沖之在數學方面的研究成果，記載在他的數學名著《綴術》里。這部書到了唐代被列為算學的主要課本之一，學習年限四年，政府舉行數學考試時多從《綴術》中出題，它的重要性可想而知。可惜到了北宋中期，這部很有價值的科學著作竟失傳了。 祖沖之的兒子祖，生活在南齊和梁朝，也是一位有名的數學家。顏之推就說：「算術亦是六藝要事，……江南此學殊少，唯范陽祖精之。」（《顏氏家訓·雜藝篇》）他首先求出球體積的準確公式，這也是我國數學史上一件重要事情。 《孫子算經》，撰人無考，大概是十六國後期、北魏前期的著作，北周甄鸞、唐李淳風注釋。 《孫子算經》共三卷，卷上敘述算籌記數的縱橫相間制，和籌算乘除法則。卷中舉例說明籌算分數算法和籌算平方法，都是考證古代籌算法的絕好資料。卷中和卷下所選的應用問題大都淺近易曉，在《九章算術》範圍內，每章各舉一二個典型例題，指示解題方法，對於初學數學的人是有幫助的。 《孫子算經》卷下又選取幾個算術難題，在解答時，故意將解法的思想過程隱藏起來，使讀者很難理會解決同類問題的一般原則。例如：「今有婦人河上盪杯。津吏問曰：『杯何以多？』婦人曰：『家有客。』津吏曰：『客幾何？』婦人曰：『二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客幾何？』答曰：『六十人。』」解題術文指示：「置六十五杯，以一十二乘之，得七百八十，以十三除之，即得。」沒有說明。 又例如：「今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。術曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。」設頭數是A，足數是B，則是兔數，是雉數。這個解法是很奇妙的。 《孫子算經》卷下最著名的問題是：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」「答曰：二十三。」這個問題用整數論里的同餘式符號表達出來，是：設N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），求最小的數N，答案是N＝23。《孫子算經》本題的術文說：「三三數之剩二置一百四十，五五數之剩三置六十三，七七數之剩二置三十，並之得二百三十三，以二百十減之，即得。」按照術文，這問題的解法是N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105＝23。術文又說：「凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。」用下列一次同餘式組N≡R1（mod3）≡R2（mod5）≡R3（mod7）的解是：N＝70R1＋21R2＋15R3－105P（P是整數）。 《孫子算經》的「物不知數」問題，頗有猜謎的趣味，而且它的解法也很巧妙，流傳到後世，有「秦王暗點兵」、「剪管術」、「鬼谷算」、「韓信點兵」、「隔牆算」、「大衍求一術」等等名稱，作為科技文娛活動中的一個節目。歐洲18世紀中葉，歐勒（L. Euler，公元1707—1783年）、拉格朗日（J. L. Lagrange，公元1736—1813年）等都對一次同餘式問題進行過研究，德國數學家高斯（C. F. Gauss，公元1777—1855年）於公元1801年出版的《算術探究》中明確地寫出了上述定理。當時歐洲的數學家們對中國古代數學毫無所知，高斯是通過獨立研究得出他的成果的。公元1851年，英國基督教士偉烈亞力（Alexander Wylie，公元1815—1887年）把《孫子算經》物不知數問題的解法介紹到歐洲，公元1876年，德國人馬蒂生（L. Mathiesen）指出《孫子算經》的解法符合高斯的定理，從而西方數學家把這一個定理稱為「中國剩餘定理」。 《孫子算經》中所選的問題也有違反科學的東西，如卷下的最後一題：「今有孕婦行年二十九，難九月，未知所生。」「答曰：生男。」這不是一個算術問題，把它列入算術書內是荒謬可笑的。 《張丘建算經》，大概是北魏前期的張丘建撰寫。這部算術書一共保存了九十二個算題，對我國數學有一定貢獻。 《張丘建算經》卷下最後一題：「今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞百隻。問雞翁、母、雛各幾何？」設x、y、z為雞翁、母、雛只數，依據題意，列出下列方程： 兩個方程有三個未知量，所以是不定方程組。它的整數解應該是： 本題有三組答案：答曰：「雞翁四，直錢二十；雞母十八，直錢五十四；雞雛七十八，直錢二十六。」又答：「雞翁八，直錢四十；雞母十一，直錢三十三；雞雛八十一，直錢二十七。」又答：「雞翁十二，直錢六十；雞母四，直錢十二；雞雛八十四，直錢二十八。」但術文只寫「雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得」十七字，說明整數解中參數七的三個係數，沒有指示整個問題的解法。 甄鸞，中山毋極（今河北無極）人。北周武帝世，任司隸大夫、漢中郡守。通天文曆法，保定時撰《天和歷》，於天和元年（公元566年）被採用頒行。鸞並撰《五曹算經》、《五經算術》、《數術記遺》。 《五曹算經》是一部為地方軍政人員所寫的應用算術書。全書五卷，用田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹五個項目標題，所有算術問題都能切合當時實際，解題方法都很淺近。 《五經算術》是對於中國古代五部經籍《書》、《詩》、《周易》、《禮記》、《論語》需要用數學計算的地方，作了註解。但由於古制渺茫，甄鸞往往用後世的制度來解釋它，未必解釋得當，對經學的用處不大。 《數術記遣》，題漢徐岳撰，北周漢中郡守前司隸臣甄鸞注。書中有「剎那」、「大千」等佛經詞彙，不像漢代的作品，恐怕是魏晉以後人的著作，不過託名漢人而已。書中介紹「珠算」時說：「刻板為三分，其上下二分，以停游珠；中間一分，以定算位。位各五珠，上一珠與下四珠色別。其上別色之珠當五，其下四珠，珠各當一。」因為板中沒有像今天算盤那樣設置橫樑，所以上邊記五的珠，和下邊記一的珠，須要用不同的顏色來加以識別。明朝的算盤，可能由這種珠算改進發展而來[1]。 天文曆法　在魏晉南北朝，有不少優秀的科學家，在天文和曆法方面通過刻苦鑽研，取得了較大的成就。 在魏晉以前，我國天文學界對於宇宙的看法，大致可以分為三個派別，即蓋天、宣夜、渾天三家。魏晉時期，又有昕天、安天、穹天三家。合起來稱為論天六家。 蓋天家和《周髀算經》的說法，基本相同，因此也得稱為周髀家。他們說：「天圓如張蓋，地方如棋局。」又說：「天似蓋笠，地法覆，天地各中高外下。」他們認為天是以天中北極為中心而旋轉著，地則靜止而不動的。他們認為「天旁轉如推磨而左行，日月右行，隨天左轉，故日月實東行，而天牽之以西沒」（並見《晉書·天文志》）。然而事實恰恰相反，天和日月都是在左轉，不過日月走得較慢而已。這一派的學說，荒謬很多，但知道利用日晷來探測一年是三百六十五天又四分之一，同時知道二十四個節氣的推移，還是有它可以肯定的地方。 宣夜家的專門著作，已經亡佚，據《晉書·天文志》載漢秘書郎郗萌記載宣夜家先師的說法：「天了無質，仰而瞻之，高遠無極，眼瞀精絕，故蒼蒼然也。譬之旁望遠道之黃山而皆青，俯察千仞之深谷而窈黑，夫青非真色，而黑非有體也。日月眾星，自然浮生虛空之中，其行其止，皆須氣焉。是以七曜或逝或住，或順或逆，伏見無常，進退不同，由乎無所根系，故各異也。」（《晉書·天文志》）宣夜家是在作了很多恆星的測定工作之後，得出七曜不是綴附於天球，無所根系，這種獨到的創見，可惜在東漢那樣讖緯迷信占統治地位的天文學界，沒有能夠發展下去，而被窒殺了。 渾天家認為：「天如雞子，天體圓如彈丸。地如雞中黃，孤居於天內，天大而地小。天表里有水。天之包地猶殼之裹黃。天地各乘氣而立，載水而浮。周天三百六十五度四分度之一，又中分之，則一百八十二度八分之五覆地上，一百八十二度八分之五繞地下，故二十八宿半見半隱，其兩端謂之南北極。……天轉如車轂之運也，周旋無端，其形渾渾，故曰渾天。」（《經典集林》卷27張衡《渾天儀注》輯佚）這裡除了「天表里有水」和「天地各……載水而浮」兩句話，講得不對頭以外，其餘基本上都是接近正確的。 魏晉論天三家中，吳太常姚信著《昕天論》。他說：「又冬至……日去人遠……故冰寒也。夏至……日去人近……故蒸熱也。」這和事實恰恰相反。又說：冬至「極之低時，日行地中深，故夜長」，夏至「極之高時，日行地中淺，故夜短」（《晉書·天文志》），這也不正確。 東晉河間相虞聳撰《穹天論》。他說：「天形穹隆如雞子，幕其際，周接四海之表，浮於元氣之上。譬如覆奩以抑水，而不沒者，氣充其中故也。日繞辰極，沒西而還東，不出入地中」（《晉書·天文志》）。和渾天家的說法，基本相同。 東晉成帝咸康（公元335—342年）中，虞喜作《安天論》。他認為「天高窮於無窮，地深測於不測。天確乎在上，有常安之形；地魄焉在下，有居靜之體。當相覆冒，方則俱方，圓則俱圓，無方圓不同之義也。其光耀布列，各自運行，猶江海之有潮汐，萬品之有行藏也」（《晉書·天文志》）。虞喜的論點，首先認為天是無窮大的，《安天論》不是說天安而不動，而是說天上日月五星列宿的運動，「猶江海之有潮汐」，有規律可循。這種說法和宣夜家非常接近。當時的唯心主義有神論者葛洪對這個論點進行攻擊，他說：「苟辰宿不麗於天，天為無用，便可言無，何必復雲有之而不動乎。」（《晉書·天文志》引） 渾天家的理論實踐，必然會和渾天儀（即天球儀）聯繫起來。 渾天儀：西漢武帝時期，有落下閎、耿壽昌等創立渾天儀，鑄銅為之。東漢和帝時，賈逵又造黃道銅儀，以測定黃道宿度。順帝陽嘉元年（公元132年），「張衡又制渾象，具內外規、南北極、黃赤道，列二十四氣、二十八宿中外星官及日月五緯」（《晉書·天文志》）。「以四分為一度，周天一丈四尺六寸一分。亦於密室中，以漏水轉之。令司之者閉戶而唱之，以告靈台之觀天者，璣所加，某星始見，某星已中，某星今沒，皆如合符」（《隋書·天文志》），製作非常巧妙。東吳時人王蕃以為張衡之前的渾天儀，尺寸太小，張衡的渾天儀尺寸又太大，轉動困難，他更鑄渾天銅儀，大小介乎兩者之間。西晉滅吳，王蕃的這個渾天儀就不知下落了。 前趙劉曜光初六年（公元323年），史官丞孔挺據張衡遺制鑄造渾天銅儀。東晉義熙十四年（公元418年），劉裕破後秦，入長安，獲孔挺所造渾天儀，後來把它搬到建康，一直到梁朝末年，此儀猶安放在建康的華林苑重雲殿前。北魏明元帝（拓跋嗣）永興四年（公元412年），鑄銅鐵渾天儀，至隋尚繼續行用。但專家們根據遺留的片段材料，認為孔挺等所造的渾天儀，只有四游儀和六合儀部分，而沒有三辰儀部分。 圭表：古代有土圭，用來測量日影長短，藉以推算太陽距離赤道南北的遠近。土圭除了測定回歸年的長度以外，還可以用來測定時刻，當作日晷用。梁天監（公元502—519年）中，祖曾在高山山頂上造八尺長的銅表作為日晷，下面和石圭相連接，圭面還掘著溝，把水倒在溝里，以定水平，這可以說是後世定水平方法的開端。他還利用圭表來測定南北線的方向。 漏刻：即漏壺，是鐘錶沒有發明以前，古代的一種計時工具。分單壺和復壺兩種。單壺只有一個貯水壺，壺底穿有一孔，壺中直立一箭，箭上刻有度數。壺中裝滿了水，水按漏漸減，箭上所刻度數，也就依次顯露，這樣就可以知道時間。漢代漏水「總以百刻，分於晝夜。冬至晝漏四十刻，夜漏六十刻。夏至晝漏六十刻，夜漏四十刻。春秋二分，晝夜各五十刻。……冬夏二至之間，凡差二十刻」（《隋書·天文志》）。漏刻都隨著二十四個節氣的變化而隨氣增損。白晝分為五個階段，朝、禺、中、晡、夕；夜間分為五個階段，甲、乙、丙、丁、戊。晝夜共用四十八箭。魏晉承用這個制度，沒有改變。東晉成帝咸和七年（公元332年），會稽山陰令魏丕造漏刻成，獻給政府，大概也是根據漢魏的制度來造的。 宋朝何承天修《元嘉歷》，他「考驗日宿」，「測量晷度，知冬至移舊四日」，因此主張改定漏法。《元嘉歷》定冬至晝漏四十五刻，夜漏五十五刻。夏至晝漏六十五刻，夜漏三十五刻。春秋二分晝漏五十五刻五分，夜漏四十四刻五分。南齊至梁初年，都行用這個漏刻。 梁武帝天監六年，改晝夜百刻為九十六刻。又命祖造《漏經》，大同十年（公元544年）頒行之，晝夜改用一百零八刻。冬至晝漏四十八刻，夜漏六十刻。夏至晝漏七十刻，夜漏三十八刻。春秋二分，晝漏並六十刻，夜漏四十八刻。陳又恢復晝夜百刻的制度。北朝並以百刻分於晝夜。 關於曆法，漢末劉洪密測二十餘年，造《乾象曆》，由此才知道月行有遲疾。他作《七曜術》，創遲疾陰陽二術。魏晉時曆法家都把他的著作作為重要參考材料。 魏明帝太和（公元227—232年）中，楊偉造《景初歷》。他知道黃道和白道的交點每年有變動，交食的發生不一定非在交點不可，月朔在交點附近也可以發生日蝕，月望在交點附近也可以發生月蝕，於是定出交會遲疾的差，這和現在的食限一樣；他又提出推算交食虧始方位角和食分多少的方法。這些都是以前曆法所沒有的。《景初歷》在西晉初年改名為《泰始歷》，到宋初又改名為《永初歷》，北魏也用過它，它實際使用了二百十五年。 宋文帝元嘉二十二年（公元445年），改用何承天造的《元嘉歷》。《元嘉歷》施用不久，祖沖之通過自己的觀測和研究，發現它還不夠精密，於是在宋孝武帝大明六年（公元462年），編成了一部《大明曆》。祖沖之在這部新曆法中，作出了不少重大改革。他毅然修改了閏法，並且應用了「歲差」的原理，這兩項是發展了當時天文學上的先進成果。而且他精確地測出一回歸年的日數是365.24281481日，與現代科學所得日數相比，只差約五十秒。他又求出「交點月」的數值是27.21223日，跟現在測得的值只差十萬分之一。交點月就是地球上所看到月球運行的軌道和太陽運行的軌道間的相互關係，這對推算日蝕和月蝕是非常重要的。《大明曆》是當時最好的曆法，但是由於保守勢力的反對，直到梁天監九年，才被梁朝採用。陳朝繼續沿用，到隋開皇九年（公元589年）陳亡為止，前後共施行了八十年。 在公元前五百年前後，我國的天文學家在制訂曆法時，就把十九年算作一章，每一章里有七個閏月。按照這種閏周，閏數嫌大了些，經過二百四十多年，就要相差一天。自從東漢以後，天文觀測記錄的積累增多了，統計所得的回歸年日數和朔望月日數更加精密了，必須改良閏周來調整回歸年數和朔望月數的比率。在十六國後期，河西走廊的北涼，有一位優秀的曆法家趙，他於公元412年制定《元始歷》，開始改訂閏周，把六百年算作一章，在每一章里有二百二十一個閏月，因為要略小於，所以趙的改訂閏周，在天文學史上講來是有重要意義的。 趙的《元始歷》傳到南朝之後，祖沖之在編制《大明曆》時，就吸取了趙的先進成果，並加以改進，提出三百九十一年內設置一百四十四個閏月的新閏法，這就更符合實際情況了。 從漢代以來，曆法家一直認為太陽在黃道上的運動速度是均勻不變的，一回歸年365.25日中等速地走了一周天。一周天就是365.25度，太陽每天正好走一度。把一回歸年均分為二十四等分，對應二十四個節氣，每個節氣各占15.22日。這種推算節氣的方法，稱為「平氣」或「恆氣」。實際上太陽在天球上的運轉是地球繞太陽公轉的反映。地球走到近日點時，速度最快，因而太陽運轉速度也是最快；地球走到遠日點時，速度最慢，這時太陽運轉速度也最慢。因此，當平氣的春秋分時，太陽並不在黃赤道交點上，每兩個平氣間太陽走的黃道度數也並不相等。東魏、北齊時人張子信，他在海島上居住三十多年，專以渾儀測候日月五星，根據三十多年的實測，他發現一年裡面，日月行動的快慢不齊，同時發現了日月蝕的規律。月行的遲速，漢代已經有人推測出來，而日行的盈縮是張子信首先發現的。張子信認識到太陽視運動的不均勻性，「春分後則遲，秋分後則速」（《隋書·天文志》）。他在這方面的發現，對曆法的改進是有很大意義的。以後隋劉焯撰《皇極曆》時，汲取了張子信的新成果，立盈縮纏差法。唐一行撰《大衍曆》，也是在張子信的基礎上，提出了較準確的定氣概念。 漢代以前的天文學家一直認為太陽在黃道上每經過一個回歸年的運行，它又會回到原來出發的位置上。因此，他們相信冬至點的位置一經測定，就永遠不變。實際上，太陽從上一年的冬至到下一年的冬至運行一周天，並沒有回到上一年的冬至點上，總要相差一段微小的距離。冬至點每年都要逐漸向後（即向西）移動。據古曆法一周365度計算，約七十年七個月後移一度（據現代觀測，每年大約後移50.2″，約七十一年八個月後移一度），這種現象稱為「歲差」。漢代沿用舊說，認為冬至起於牽牛初度，西漢劉歆已經對它發生懷疑，東漢賈逵更明白說冬至日在斗二十一度又四分之一，因為從春秋戰國時測定冬至點後，到賈逵時已經將近四百年，冬至自然會相差五度的。由此可知，漢人固然還不知道所謂歲差現象，但從實測所得，已經發覺這種現象的存在。到了東晉成帝時（約公元330年左右），天文學家虞喜比較了自己的觀測結果和歷代的天文記錄，發現冬至點的位置古今不同，他明確指出太陽在天球上運動一周天，並不等於從冬至到冬至一周歲。這樣，他就發現了歲差。虞喜還推算出每五十年，冬至點要在黃道上西移一度，這個數據雖然不算精密，但在天文學史上是一個大進步。祖沖之不僅證實了歲差現象的存在，而且第一個用它來改進曆法。不過他在《大明曆》里，使用了每四十五年十一個月差一度的數值。以後隋代劉焯在《皇極曆》里，改用每七十五年差一度的歲差數值，這和實際情形已相差不遠，而這時歐洲卻還牢守著每一百年差一度的舊值。 十六國時期，後秦有天水人姜岌造《三紀甲子元歷》，以月食檢知日度，所得更為準確。他還發現了「蒙氣差」。由於地球周圍大氣的折射作用，觀測者所看到的天體的方向和天體的真方向有差別，天體視高度比真高度大，這兩個差別叫做「大氣折射改正」，舊稱蒙氣差。越近地面，蒙氣差也越大，漸高漸小，到了天頂就沒有蒙氣差了。姜岌說：「夫日者……光明外耀，以眩人目，故人視日如小。及其初出，地有游氣，以厭日光，不眩人目，即日赤而大也。」（《隋書·天文志》）姜岌對蒙氣差現象給以合乎近代學理的解釋，這是值得加以珍視的[2]。 裴秀的《禹貢地域圖》　裴秀，字季彥（公元224—271年），河東聞喜（今山西聞喜）人。仕西晉官至尚書令、司空。 裴秀是一位傑出的地圖學家。官至尚書令總理中樞政務，負有掌管全國的戶籍、土地、田畝賦稅的職責。裴秀因為職務的關係，很重視地圖的繪製工作。他認為先秦所繪製的地圖已經無法看到了，當時尚被保存在秘書省的一些漢代輿地圖或括地圖，既沒有比例尺的表示，也不考正方位，又未備載名山大川。這些地圖雖然也表示了輿地的輪廓，但是粗略簡陋，不可依據。至於有些地圖，那簡直是「荒外迂誕之言，不合事實，於義無取」。於是他就根據當時所繪測的地圖，「上考《禹貢》山海川流，原隰陂澤，古之九州，及今（指西晉）之十六州，郡國縣邑，疆界鄉陬，及古國盟會舊名，水陸徑路，為地圖十八篇」（《晉書·裴秀傳》），名為《禹貢地域圖》。 裴秀在《禹貢地域圖》的序文中，還提出了所謂「製圖六體」，就是繪製地圖的六項原則。他說：「製圖之體有六焉。一曰分率，所以辨廣輪之度也。」分率，就是比例尺。他說：「有圖象而無分率，則無以審遠近之差。」就是說有地圖而不用比例尺，就不能確定距離的遠近，故曰「遠近之實，定於分率」。因此，要繪製地圖，比例尺是極其重要的。「二曰准望，所以正彼此之體也。」准望，就是方位。他說：「有比率而無准望，雖得之於一隅，必失之於他方。」就是說如果有了比例尺而不確定方位，則某一地的方向從某一方面看是對的，但從其他方面看就不對了。故「准望之法既正，則曲直遠近，無所隱其形也」。因此定方位也是極其重要的。「三曰道里，所以定所由之數也。」道里，就是道路實際路線及其距離。他說：「有準望而無道里，則施於山海絕隔之地，不能以相通。」就是說如果只有方位的確定，而沒有道路實際路線及其距離的表示，則碰到有山有海的地方，就不知道怎樣通行。故「彼此之實，定於道里」。因此講究實際路線及其距離，也是極其重要的。除了上面三點以外，「四曰高下，五曰方邪，六曰迂直，此三者，各因地而制宜，所以校夷險之異也」。高下、方邪、迂直，都是指與地面傾斜起伏有關的問題而言的。他說：「有道里而無高下、方邪、迂直之校，則徑路之數，必與遠近之實相違，失准望之正矣。」就是說如果只有道路實際路線及其距離的表示，而不注意到地面的高低起伏和路線曲直的校正，那麼道路遠近距離的情況，必定與實際不符合，方向也不會準確了。「度數之術，定於高下、方邪、迂直之算，故雖有峻山巨海之隔，絕域殊方之迥，登降詭曲之因，皆可得舉而定者。」前三條是繪圖的主要原則，後三條是由於地形有起伏變化而繪圖者應該加以考慮到的問題。這六條原則，相互補充。除了經緯線和投影外，其餘今天地圖學上所考慮的主要問題，都已經提到了。從裴秀以後，直到明末，我國地圖的繪製方法，基本上是依照裴秀的「六體」。裴秀在地圖史上有著重要的地位。 當時西晉政府繪製了一種《天下大圖》，是用八十匹縑繪製的。裴秀認為使用不太方便，於是他以「一分為十里，一寸為百里」的比例，把《天下大圖》縮製成《方丈圖》。這種《方丈圖》攜帶披閱就都方便多了[3]。 * * * [1]　參考李儼教授著《中算史論叢》；錢寶琮教授主編《中國數學史》。 [2]　參考陳遵媯教授著《中國古代天文學簡史》；錢寶琮教授著《從春秋到明末的曆法改革》，載《歷史研究》1960年第3期。 [3]　參考梁海松先生著《裴秀》，載中國科學院中國自然科學史研究室編《中國古代科學家》。