探求真理的指導原則 · 原則十八

為此，僅僅要求四則演算：加、減、乘、除 ① 。後兩項在此不會經常提到，這既是為了避免不慎造成混亂，也是因為以後完成可能更容易些 ② 。 原則繁多是由於博學鴻儒的無知。可以歸結為一個單一的一般準則的各項，要是被分割為若干特殊項，就不那麼一目了然了。因此，我們把用於通觀問題的，就是說，從某些量推演出其他量的一切演算，僅僅歸納為四則。為什麼這就夠了，從各該說明中可以得知。 有如下述：如果我們要從各組成部分得知一個唯一量，那就要用加法；如果我要從整體中識別一個部分，以及整體對這一部分的剩餘，那就要用減法：以任何其他方式，任一量都不能從以某種方式包含該量的某些其他絕對量中推演出來。但是，如果要從不以任何方式包含某一量的、與該量絕對不同的其他量出發找出該量，那就一定要使該量同它們按照一定比率發生關係：這種對比關係的進行如果必須是直接的 ③ ，那就得用乘法；如果是間接的 ④ ，就用除法。 為了清楚地陳述後二者，必須知道，我們已經談過的單位，在此是一切對比關係的基礎和根據，它在成連比的量中占第一次 ⑤ ，既定各量被包含在第二次中，所求各量在第三次、第四次等等之中，如果比例是直接的；如果比例是間接的，所求量被包含在第二次和中間各次中，既定量在最後次中。 因為，假定我們說，單位之於a（即已知5），正如b（既已知7）之於所求ab（即35），那麼，a和b屬第二次，其積ab屬第三次。同樣，假定我們又說，單位之於c（即9），正如ab（即35）之於所求abc（即315），那麼，abc屬第四次，它產生於屬第二次的ab與c兩乘，照此類推。同樣，單位之於a（5），正如a（5）之於a2 （25）；從而單位之於a（5），正如a2 （25）之於a3 （125）；最後，單位之於a（5），正如a3 （125）之於a4 （625），等等：乘法之進行無非是：同一量被同一量導引，或者任一量被任一完全不同量導引。 但是，現在假定這樣說，單位之於a（即已知除數5），正如所求B（即7）之於ab（即已知被除數35），那麼秩序就被擾亂了，［成了］間接的：因此，所求B之得出，只能夠用已知a除也是已知的ab。同樣，假定我們說，單位之於A（即所求5），正如A（即所求5）之於a2 （即已知25）；或者，單位之於A（即所求5），正如A2 （即所求25）之於a2 （即已知125），如此等等 ⑥ 。我們以除法這個名詞包括的一切事物，雖然必須注意這類事物 ⑦ 的最後一些所包含的困難大於最初一些 ⑧ ，因為其中常有因而掩蓋著若干比例關係的所求量 ⑨ 。因為，上述各例的含義等於是說：求a2 （即25）的平方根，或a3 （即125）的立方根，如此等等 ⑩ 。而這正是計算家流行的說話習慣。不過，要是用幾何術語來說，那就等於是說：求所取量 ⑪ （即稱為單位的那個量）和a2 所示之量之間的那個比例中項，或求單位和a3 之間兩個比例中項，照此類推。 由此容易得出結論：這兩種演算是怎樣足以找出按照一定比例關係從某些其他量推演出來的任何量。既然如此，接下去，我們就要陳述必須怎樣把這些演算重新交由想像去檢驗，必須怎樣使它們讓眼睛看得見，從而使我們最終得以闡述它們的運用或praxis ⑫ 。 如果必須做一次加法或減法，我們可以把對象設想為線，或者設想為只考慮長度的廣延：如要加線 於線 我們就這樣相加 得 如要從較大者減去較小者，即從 減去 可以這樣使兩者重合 這樣就得到較大者蓋不住較小者的那一部分，即 在乘法中，我們也把量設想為線，但我們想像各線構成一個 因為，如果我們乘 以 我們就這樣使一線與另一線接合為直角 這就構成矩形 再如，我們要乘 以 就要把ab設想為一條直線，即 這樣，abc就是最後，在除法 中，如除數已知，我們就想像，被除數為一矩形，其一邊為除數，另一邊為商，例如，矩形 被 除，我們就 把高 去掉，剩下的 就是商；或者相反，如要用b除，就去掉寬 商就是 但是，假如除法中，除數並非已知，只是用某種比例關係表示的，比方說求平方根或立方根等等，那麼必須注意，應該把被除數和一切其他項設想為存在於一系列連比之中的線，其中第一道線為單位，最後為被除數。［至於］ ⑬ 如何也求得被除數和單位之間任意數量的比例中項，我們將在適當的時候談到。現在只要指出以下一點就夠了：我們假定在這裡還沒有解決這類演算，因為這是必須運用間接的深思熟慮的想像才能夠做到的。現在論述的只是應該直接通觀的若干問題。 涉及其他演算時，這種問題固然很容易用我們已經說過應該如何予以設想的方式加以解決，但是，仍然必須說明應該如何準備各個項，因為，即使當我們開始研究某個困難的時候，可以隨意設想各項為線或為 形，正如原則十四所說，無需歸之於其他圖形，但是，常有這樣的情況：一個矩形，在兩直線相乘得出之後，很快就不得不設想為另一直線來進行另一演算；或者，同一 形，或由某一加法或減法所得一直線，很快就不得不設想為另一 形，即，用作為除數的已知直線構造而成的另一 形。 因此，值得在此陳述，任何矩形怎樣可以轉化為一直線，相反，一直線，甚至一 形又是怎樣轉化為一邊已知的另一 形。對於幾何學家，這是十分容易的，只要他們注意：每逢我們像這裡這樣把直線同某一 形相比時，對所說直線的設想總是 形，其一邊被我們當作單位的長度。這樣一來，整個的事情就歸結為這樣一種命題了：設有一 形，求構造另一 形，與它相等，一邊為已知。 雖然學幾何的兒童也懂得，我還是要闡述一番，以免顯得忽略了什麼。 注釋 ① 　「四則演算：加、減、乘、除」：參閱《幾何學》中所說「組成整個算術的只是四則或五則演算：加、減、乘、除和求根，而求根可以看作除法的一種」。 ② 　前已知道，存稿只到第二十一條為止，這裡所說的「以後完成」只是一句許諾。 ③ 　「直接的」即正比。 ④ 　「間接的」即反比。 ⑤ 　參閱原則十六注⑧。 ⑥ 　「如此等等」，意即「也成了間接的」。 ⑦ 　「這類」hujus species；「這類事物」：《幾何學》中說到「除法一類的事物」。 ⑧ 　笛卡爾把除法看作倒過來的連比，「最初一些」就是連比各項中的開始幾項，「最後一項」就是其中的末尾幾項。 ⑨ 　「我們以除法……所求量」，這一整句原文不完整。 ⑩ 　此句正說明笛卡爾把「求根……看作除法的一種」。 ⑪ 　「所取量」即「借來量」、「取來量」。 ⑫ 　Praxis（拉丁語）：實踐，運用，練習。「運用或praxis」usum sive praxim，其實是相似語的修辭性重複，雖然可以說praxis比前者範圍廣泛。 ⑬ 　［至於］，為法譯者所加。