探求真理的指導原則 · 原則十六

至於心靈觀察時無需加以注意的事物，即使為作結論所需，與其使用完整形象，不如使用十分簡略的符號來標誌 ① ，因為，這樣的話，就不會由於記憶不好而失誤，另一方面，當思維致力於演繹出其它事物時，也不至於分散注意去記住這些 ② 。 此外，我們已經說過，我們用幻想可能描述的維是無數的，因此，無論是用眼睛，還是用心靈，都不應該一次觀察二個以上的不同維，我們必須記住一切其它維，使得每逢由於使用而有需要時就可以容易地予以呈現：自然創造記憶，似乎正是為了這個目的。但是，既然記憶時常會出差錯，為了不至於當我們致力於其他思維的時候，被迫分散一些注意力去保持記憶新鮮，人工技藝極為恰當地發現了使用書寫符號；書寫符號給我們的幫助是有保證的，所以我們不必把額外負擔交付給記憶，只需把幻想自由地完整地委之於呈現的意念，同時在紙上把一切必須記住的東西描述下來；這就必須使用十分簡略的符號，這樣，在按照原則九清清楚楚地考察了每一事物之後，才可以遵循原則十一 ③ 以一次迅速的思維運動統統予以通觀，一次儘可能多地察看之。 凡為解決一個困難而必須看作一的，我們都用慎重製定的一個單一符號來表示。但是，為求更方便起見，我們用字母a，b，c等等表示已知量，用A，B，C等等表示未知量 ④ 。在它們前面往往標上數字2，3，4等等以示其乘積 ⑤ ，還可以加上數字表示應該知道的積分數，例如我寫2a3，就是說，字母a三乘方所示量的兩倍。通過這樣的奮勉努力，我們不僅僅壓縮了許多言詞，而且主要的是：我們還把各困難項顯示得一清二楚，毫不略去任何有用的東西，其中卻絕對沒有多餘的東西，在思維正應當一下子概括許多事物的時候，徒然耗費心靈的能力。 為了更清楚地理解這一切，首先應該注意，計算家的習慣是：或者用若干單位，或者用某個數字表示每一個量，但是，在這種場合，我們是把數字本身抽象化，正如前面我們把幾何形象抽象化，或把隨便什麼別的事物抽象化一樣 ⑥ 。我們這樣做，既是為了避免由於冗長多餘的計算而厭煩，也是——主要是為了使涉及困難的性質的主體各部分始終顯示得清清楚楚，而不必用不必要的數字去徒增累贅。比方說，直角三角形已知兩邊為9和12，求其底，計算家會說，底為 即15；至於我們，則不說9和12，而是寫上a和b，然後發現底為 a2 和b2 這兩部分始終顯示得清清楚楚，而在數中卻是模糊的。 還必須注意，所謂乘方數，指的是連續系列中前後相繼的比例，有些人曾經在普通代數學中用若干維來表示，他們稱第一次乘方為根，第二次為□，第三次為立方，第四次為再立方，等等。我承認，這些名詞曾經長期使我上當受騙，因為，我當時覺得，自直線和方形以下，最能清晰地呈現於我的想像的，莫過於立方形和其他諸如此類的圖形。固然，在它們的幫助下我也曾在相當程度上解決了一些困難，但是，屢經試驗之後，我終於理解到，以這種構想方式，我從沒有發現任何東西是我不用這種方法就無法甚至更容易更清楚地認識的；我還理解到，當初就應該完全拋棄這些名詞，免得它們擾亂［我們的］概念，因為，同一量，無論稱為立方也好，再立方也好，絕對不會以其他形式，必定會依據前一原則以線或面的形式，呈現於想像。因此，尤其應該注意，根、平方、立方等等，無非是一些成連比的量，其前，我們假定始終綴有前面說過的取來的那個單位 ⑦ ：對此一單位，第一比數以單一積方直接對比；但是，第二比數，則通過第一比數，從而以二積方對比；第三比數，通過第一和第二，以三積方，如此等等。代數上稱為根的那個量，今後我將稱之為第一比數 ⑧ ；稱為□的，則稱之為第二比數，照此類推。 最後，還必須注意，即使我們在這裡把困難各項從某些數字抽象出來，以便研究困難的性質，還是經常會碰到這樣的情況：對於既定數，可以採取比把它抽象出來的辦法更為簡單的辦法解決其中的困難。所以會有這樣的情況，是由於前面已經談到的那類數字有雙重用途，即，同一數字有時表示秩序，有時表示度量 ⑨ 。唯其如此，在竭力用一般項表達困難之所在以後，還應該把困難的性質還原為既定數，看看它們是否也許會給我帶來更為簡單的解決辦法：簡言之，在看出直角三角形一邊為a，另一邊為b，其底則為 之後，應該寫上81代替a2 ，144代替b2 ，其和為225，它的根，或者說單位和225之間的比例中項為15；由此可以看出，底15對於邊9和12是可以通約的，但並不是泛泛而言由於它是邊與邊之比為3比4的一個□角△形的底。無論我們區別什麼事物，要求的都是明顯清晰地認識事物，而不是像計算家那樣，滿足於得出所求數，即使他們絲毫不注意該數如何取決於既定項，而真知恰恰是僅在於此。 不過，一般還要注意這樣一點：無需持續注意的事物，只要我們能夠記錄在紙上，就絕不要委之於記憶，這就是說，免得不必要地記住一些東西而分散我們的注意力，以至不去集中心智認識眼前的對象。應該制訂一個表，把問題的各項，照它們初次提出的樣子寫錄在內，然後載明它們是怎樣抽象出來的以及用什麼符號代表它們，以便在符號本身中找到解答以後，我們可以不依靠記憶，也同樣容易地用之於當前問題所涉及的特殊主體。事實上，絕對沒有任何事物不是從一個不那麼泛泛的項中抽象出來的。因此，我將這樣寫：求□角△形ABC的底AC，我把困難抽象出來，以便一般地從兩邊之量求底，然後，我寫下a代表AB（AB為9），寫下b代表BC（BC為12），如此這般。 還要注意：我們在本論文第三部分中還要運用這四條原則 ⑩ ，將比這裡的說明論述得更詳盡些，在適當的地方再說吧 ⑪ 。 注釋 ① 　「使用十分簡略的符號來標誌」per brevissimas notas designare：按照笛卡爾在《幾何學》和其他著作中的用法，notas指「文字」、「數字」、「符號」，但鑒於以後笛卡爾更傾向於使用代數方法，譯為「符號」較妥，對下文也較合適。 ② 　「這些」指「心靈觀察時無需加以注意的事物」。 ③ 　「按照原則九」，指原則九的命題以及該命題的闡述第一、二段；「遵循原則十一」，指該原則闡述的第四段。 ④ 　這裡和以下的闡述表明笛卡爾在數學符號記述方面創製了一套辦法。固然Regulæ流傳下來的是抄本，完全可能在笛卡爾逝世後抄本接受了以後的記述方式的影響，但是笛卡爾使用過的仍有可稱道之處： 一、使用大寫和小寫字母區別未知量和已知量。而前此，例如維埃特使用的，只有大寫字母，分不出已知和未知。這大概是笛卡爾首創的，而不是抄寫者竄改的，因為現代的記述方式把大寫和小寫字母所示顛倒了過來。還有冪的記述，在Regulæ同時代作家中是沒有的，只是在笛卡爾《幾何學》1637年問世以後才流行開來。 二、根號原作 是1551年從日耳曼來源傳至法國的，笛卡爾沿用直至1640年。但在《幾何學》中他已改變了書寫，作 Regulæ的抄寫者時而作 時而作 時而作r。法譯者從《幾何學》一律作 漢譯沿襲之。 三、對「普通代數學用若干維來表示……」進行了批判，不同意用「根」表示一次方等等。不過，笛卡爾雖然說「這些名詞曾經長期使我上當受騙」，認為有必要進行改革，但他自己以後還是繼續沿用，也許這是為了便於使當時的人便於理解吧。 ⑤ 　「……以示其乘積」中的「乘積」multiplicatio，也就是上一原則中論述過的「多少」。 ⑥ 　「正如前面我們把幾何形象抽象化，或把隨便什麼別的事物抽象化一樣」：參閱原則十四最後一段。在笛卡爾看來，既可從幾何圖形中抽象出命題來，也可從任何其他題材中抽象出命題來，因為他要建立的是Mathesis Universalis，並不是普通數學。 ⑦ 　「取來的那個單位」unitas illa assumptitia。 ⑧ 　用根表示一次方，笛卡爾原已注意到含混不妥，這裡又提出了改稱「第一比數」或「比例中項」。以後在《幾何學》中採用了新稱呼，但Regulæ中有時還游移不定。 ⑨ 　參閱原則四和原則十四。數的雙重用途是笛卡爾極為重視的，他把「秩序和度量」用作他的馬特席斯的基礎。 ⑩ 　「這四條原則」指原則十三、十四、十五、十六。 ⑪ 　由於本論文未完成原來設想的計劃，「第三部分」並沒有寫出來，因此永遠也沒有他所說的那個「適當的地方」。