數度衍 · 卷十三

[子部,天文算法類,算書之屬,數度衍 欽定四庫全書 數度衍卷十三 桐城　方中通　撰 開立方【少廣之九】 珠算開立方法 式積一百九十五萬三千一百二十五問立方一面幾何曰一百二十五術置積盤中約初商一百別立下法亦置一百以初商自乗再乗得一百萬以減實餘九十五萬三千一百二十五以三乗下法一百得三百為方 法列右次商二十 置下法一百之次 共一百二十又以 次商乗之得二千 四百為亷法再以 方法三百乗亷法 得七十二萬以減 余實尚餘二十三 萬三千一百二十五又以次商自乗再乗得八千為隅法以減余實尚餘二十二萬五千一百二十五以三乗下法一百二十得三百六十為方法列右三商五置下法一百二十之次共一百二十五又以三商乗之得六百二十五為亷法又以方法三百六十乗亷法得二十二萬五千以減余實尚餘一百二十五又以三商自乗再乗得一百二十五為隅法以減余實實盡得面一百二十五 歸除開立方式積一億○二百五十萬○三千二百三十二問立方一面幾何曰四百六十八術置積為實初商四百於左亦置四百於右自乗得一十六萬乃與左四百相呼一四除實四千萬四六除實二千四百萬餘實三千八百五十萬○三千二百三十二以三乗右下一十六萬得四十八萬為方法歸除之曰四三七餘二實不足除曰起一還四則次商不可用七止可用六也乃呼六八除實四百八十萬餘實九百七十萬○三千二百三十二另以次商六十乗初商四百得二萬四千以三乗之得七萬二千為亷法次商自乗得三千六百為隅法亷隅並得七萬五千六百卻以次商呼除之六七除實四百二十萬五六除實三十萬六六除實三萬六千餘實五百一十六萬七千二百三十二以方法四十八萬併入兩回亷法十四萬四千三囬隅法一萬○八百共得六十三萬四千八百為方法歸除之曰六五八餘二則三商為八也乃呼三八除實二十四萬四八除實三萬三千八八除實六千四百餘實八萬八千八百三十二再置初次兩商共四百六十以三商八乗之得三千六百八十以三乗之得一萬一千○四十併入三商自乗得六十四共一萬一千一百○四卻以三商呼除之一八除實八萬一八除實八千一八除實八百四八除實三十二實盡得靣四百六十八 筆算開立方法 式捌十叄億陸千伍百肆十貳萬防千問立方一面幾何曰二千○三十術自末位○下作防隔二位一防共四防分為四叚知商有四位也尋原初商得二乃以二自乗再乗得八減首位實捌完首叚次叚實叄陸伍除防上之伍未用且作叄十陸開之乃三倍初商二為六作亷法另置右上以初商二加○作二十以乗六得一百二十當以此數商除二叚之實而叄十陸反小一百二十反大遇此則商有○矣竟于格右紀○當作次商完二叚三叚實叄陸伍肆貳防除防上之防未用且作叄萬陸千伍百肆十貳開之亦三倍初次兩商之二十為六十置右上亦以二○加○作二百以乗六十得一萬二千用此數於實內商之三商當 是三【實內有三回一萬二千也】以亷六十乗三得一百八十並一萬二千共一萬二千一百八十又以三乗之得三萬六千五百四十為亷另以三商三自乗再乗得二十七為隅將亷隅減實實盡隅必注防下故七在防下二在貳下也完三叚尚餘四叚未開於右加○作四商得靣二千○三十 用命分式　術通曰實未盡者欲再開之須尾加三圏則開一商加六圏増二商他命分術無用矣 籌算開立方法【見籌算】 立方不等開法 通曰立方有三面三面俱等者用前法開之三面內有一靣不等及三靣俱不等者用縱方亷開之三靣者高濶長也 一長濶相等高不等法 式積一千二百九十六長濶數等惟高不及三問高與長濶各幾何曰高九長濶皆十二術列實以高不及三自乗得九為縱方又以不及三倍作六為縱亷有二防應約初 商一十因有縱方只商九自乗得八十一併縱方九得九十又以所商九乗縱亷六得五十四九十者方法也五十四者亷法也相併得一百四十四列實下呼所商九除實一九除九百四九除三百六十四九除三十六實盡得高九加不及三得十二為長濶數 減積式積一千七百八十七萬五千高濶相等惟長多三十六問長高濶各幾何曰長二百八十六高濶皆二百五十術列實初商二百自乗再乗得八百萬次商五十兩商共二百五十自乘再乘得一千五百六十二萬五千以減積餘二百二十五萬為實另以所商二百五十乘長多三十六得九千又乗二百五十得二百二十五萬以減積實盡所商之二百五十乃高濶數也加長多三十六得二百八十六乃長也 二長濶高三不等法 式積一百二十濶多於高二長又多於濶三問長濶高各幾何曰高三濶五長八術通曰濶多於高二高濶較也長多於濶三長濶較也列實兩較各自乘二自之得四三自之得九相併得 十三為縱方兩較相乘得六為縱亷約商當是四因此有縱方只商三以三自乘得九並縱方十三得二十二為方法又以商三乗縱亷六得一十八為亷法二法相併得四十列實下呼商三四除一百二十實盡得高三加二得濶五又加三得長八 立方帶縱諸變 一帶縱負隅開立方法 式實一千三百八十二萬四千縱方八萬六千四百二為隅法問方幾何曰一百二十術列實初商一百自之得一萬以隅二乗之得二萬並縱得十萬○六千四百為下法與初商一百相乗得一千○六十四萬列實下 減實余實三百一十八萬四千以三 乗隅法二萬得六萬為方法以三乗 初商得三百又以隅二乗之得六百 為亷次商二十乗亷得一萬二千為 亷法以次商自之得四百以隅二乗 得八百為隅法乃並六萬【方法】一萬二千【亷法】八百【隅法】八萬六千四百【縱方】共得一十五萬九千二百為下法與次商二十相乗得三百一十八萬四千列實下減實盡得方一百二十末防未開故知初商為百也 通曰下法乗商即呼商也竟列下法則呼商除實若列下法乗商之數則減實也 二帶縱亷開立方法 式實二千一百六十萬縱亷一百三十五問方幾何曰二百四十術列實初商二百乗縱亷得二萬七千初商自之得四萬為隅法相併得六萬七千為下法乗初商二百得一千三百四十萬列下減實余實八百二十萬倍縱亷乗數得五萬四千三乗隅法得十二 萬相併得一十七萬四千為方法三乗初商得六百又並縱亷得七百三十五為亷次商四十乗亷得二萬九千四百為亷法又以次商自之得一千六百為隅法乃並十七萬四千【方法】二萬九千四百【亷法】一千六百【隅法】共得二十萬○五千為下法乗次商四十得八百二十萬列下減實盡末防未開得方二百四十 三帶縱減益亷開立方法 式實五百三十七萬六千縱方一萬七千六百益亷六百四十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗益 亷得六萬四千初商自乗得一萬為 隅法以隅法並縱方得二萬七千六 百以減益亷乗數餘三萬六千四百 為下法乗初商得三百六十四萬列 下減實余實一百七十三萬六千倍 益亷乗數得十二萬八千三乗隅法得三萬並縱方得四萬七千六百為方法三乗初商得三百為亷法次商二十乗益亷得一萬二千八百加入倍亷十二萬八千得十四萬○八百又以次商乗亷法三百得六千又以初商自乗得四百為隅法乃並四萬七千六百【方法】六千【亷乗】四百【隅法】共得五萬四千以減十四萬○八百餘八萬六千八百為下法乗次商得一百七十三萬六千列下減實盡得方一百二十 四縱亷減縱方翻法開立方法 式實一千○八萬縱方二十一萬三千六百縱亷一千二百問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得十二萬以減縱方餘九萬三千六百為方法初商自乗得一萬為隅法以並方法得十萬○三千六百為下法乗初商得一千○三十六萬當以此數減實而實止一千○八萬不足減遇此則反以一千○三十六萬列上為實而以一千○八萬減之餘二十八萬為負積倍縱亷乗數得二十四萬三乗隅 法得三萬為方法三乗初商得三百為亷法次商二十乗縱亷一千二百得二萬四千併入倍亷二十四萬得二十六萬四千以減縱方而縱方止二十一萬三千六百不足減遇此則反以二十六萬四千為縱方而以二十一萬三千六百減之餘五萬○四百為負縱又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百為隅法乃並得三萬【方法】六千【亷乗】四百【隅法】以減負縱五萬○四百餘一萬四千為下法乗次商得二十八萬減實盡得方一百二十 五亷減縱開立方法 式實一千三百○五萬六千縱方一十三萬二千八百縱亷三百二十問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得三萬二千以減縱方餘十萬○八百初商 自乗得一萬為隅法並余縱得十一 萬○八百為下法乗初商得一千一 百○八萬列下減實余實一百九十 七萬六千倍縱亷乗數得六萬四千 三乗隅法得三萬為方法三乗初商 得三百為亷法次商二十乗縱亷三百二十得六千四百併入倍亷六萬四千共七萬○四百以減縱方餘六萬二千四百又以次商乗亷法三百得六千又以次商自乗得四百為隅法乃並得三萬【方法】六千【亷乗】四百【隅法】又並余縱六萬二千四百共九萬八千八百為下法乗次商得一百九十七萬六千減實盡得方一百二十 六帶縱以亷益積開立方法 式實二千五百八十萬○四千八百縱方一十九萬三 千九百二十縱亷四百八 十半為隅算問方幾何曰 二百四十術列實初商二 百乗縱亷得九萬六千以 乗初商得一千九百二十 萬為益實加入原實共得實四千五百萬○四千八百又以初商自乗得四萬以隅算乗之得二萬為隅法以並縱方得二十一萬三千九百二十為下法乗初商得四千二百七十八萬四千列下減實余實二百二十二萬○八百倍縱亷乗數得十九萬二千三乘隅法得六萬為方法三乗初商得六百以隅算半乗之得三百為亷法次商四十乘縱亷四百八十得一萬九千二百併入倍亷十九萬二千得二十一萬一千二百以乘次商得八百四十四萬八千為益實加入余實共實一千○六十六萬八千八百以次商乗亷法三百得一萬二千又以次商自乗得一千六百以隅算半乗之得八百為隅法乃並六萬【方法】一萬二千【亷乗】八百【隅法】及縱方十九萬三千九百二十共得二十六萬六千七百二十為下法乘次商得一千○六十六萬八千八百減實盡得方二百四十 七負隅減縱以亷益縱開立方法 式實一億○五百八十四萬縱方五十三萬六千四百縱亷三千六百隅算六問方幾何曰一百二十術列實初商一百乘縱亷得三十六萬初商自乘得一萬以隅算六乗之得六萬為隅法以減縱方餘四十七萬六千四百並縱亷乗數得八十三萬六千四百為下法乗初商得八千三百六十四萬減實余實二千二百二十萬倍縱亷乗數得 七十二萬三乗隅法得十八萬為方法三乗初商得三百以隅算六乗之得一千八百為亷法次商二十乗縱亷三千六百得七萬二千加入倍亷七十二萬得七十九萬二千為縱亷以次商乗亷法一千六百得三萬六千又以次商自乗得四百以隅算六乗之得二千四百為隅法乃並十八萬【方法】三萬六千【亷乘】二千四百【隅法】共二十一萬八千四百以減縱方餘三十一萬八千又並縱亷七十九萬二千共一百一十一萬為下法乗次商得二千二百二十萬減實盡得方一百二十 八帶縱負隅以亷減縱開立方法 式實七千三百四十四萬縱方八十四萬二千四百縱亷二千四百隅算四問方幾何曰一百二十術通曰列 實初商一百乗縱亷得二十四萬減 縱方餘六十萬○二千四百初商自 乗得一萬以隅四乘之得四萬為隅 法並余縱共六十四萬二千四百為 下法乗初商得六千四百二十四萬 減實余實九百二十萬倍縱亷乗數得四十八萬以三乗隅法得十二萬為方法三乗初商得三百以隅算四乗之得一千二百為亷法次商二十乗縱亷二千四百得四萬八千併入倍亷四十八萬得五十二萬八千以減縱方餘三十一萬四千四百又以次商乗亷法一千二百得二萬四千又以次商自乗得四百以隅算四乗之得一千六百為隅法乃並十二萬【方法】二萬四千【亷乘】一千六百【隅法】及余縱三十一萬四千四百共四十六萬為下法乗次商得九百二十萬減實盡得方一百二十九帶縱負隅以亷減縱翻法開立方法 式實二千○八十八萬九千六百縱方二十七萬○八十縱亷一千二百八十隅算四問方幾何曰一百二十術通曰列實初商一百乗縱亷得十二萬八千減縱方餘十四萬二千○八十初商自乗得一萬乗隅算四得四萬為隅法並余縱得十八萬二千○八十為下法乗初商得一千八百二十萬○八千減實余實二百六十八萬一千六百倍縱亷乗數得 二十五萬六千以三乗隅法得十二萬為方法三乗初商得三百乗隅算四得一千二百為亷法次商二十乗縱亷得二萬五千六百併入倍亷得二十八萬一千六百以減縱方不足減反以縱方二十七萬○八十減之餘一萬一千五百二十為負縱又以次商乗亷法一千二百得二萬四千又以次商自乗得四百乗隅算四得一千六百為隅法乃並十二萬【方法】二萬四千【亷乗】一千六百【隅法】共十四萬五千六百以減負縱餘十三萬四千○八十為下法乗次商得二百六十八萬一千六百減實盡得方一百二十 十帶縱方亷開立方法 式實一千○二十萬縱方四萬縱亷二百五十五問方幾何曰一百二十術列實初商一百乗縱亷得二萬五 千五百初商自乗得一萬為隅法並 縱亷乗數得三萬五千五百又並縱 方得七萬五千五百為下法乗初商 得七百五十五萬減實余實二百六 十五萬倍縱亷乗數得五萬一千三 乗隅法得三萬相併得八萬一千為方法三乗初商得三百並縱亷得五百五十五為亷法次商二十乗亷法得一萬一千一百又以次商自乗得四百為隅法乃並八萬一千【方法】一萬一千一百【亷乗】四百【隅法】及縱方共十三萬二千五百為下法乗次商得二百六十五萬減實盡得方一百二十 通曰諸式皆三防因末防皆○未開故初商皆為百也開立圓【少廣之十】 積求外周法 式積六萬二千二百○八問立圓外周幾何曰一百四十四術置積以四十八乗之得二百九十八萬五千九百八十四用立方開之得方面一百四十四即立圓周也 積求內徑法 式積六萬二千二百○八問立圓內徑幾何曰四十八術置積以十六乗之得九十九萬五千三百二十八以九除之得十一萬○五百九十二用立方開之得方面四十八即立圓徑也 數度衍卷十三