數度衍 · 卷十二

[子部,天文算法類,算書之屬,數度衍 欽定四庫全書 數度衍卷十二 桐城　方中通　撰 開平方【少廣之七】 珠算開平方法 通曰四算中惟尺算不便於開方而珠筆籌法亦不同故分衍之 式橫叄百貳十肆問平方一靣幾何曰十八術列實於卯辰己下約初商一十置子位亦置未位為方法左右相呼曰一一如一除實一百卯位叄變二餘實二百二十四以方法一十倍為二十為亷法變未位一為二約次商八置丑位亦置申位為隅法先左右二八相呼曰二八一十六除實一百六十卯位實盡辰位貳變六餘實六十四次左右八八相呼曰八八六十四 除實六十四辰己二位實盡則所商之一十八即方靣也 通曰次商與初商不同須視實內除亷外尚有隅之自乘否如次商八除二八一百六十之外余實尚有六十四可除隅八之自乘故用八若止餘六十三則不用八而用七矣 歸除開平方式積五萬四千七百五十六問平方一靣幾何曰二百三十四術置實盤中初商二百置實首左位另置二百於右左右相呼曰二二如四除實四萬餘實一萬四千七百五十六以右二百倍作四百為法歸除之呼曰四一二餘二逢四進一十得三十為次商置右四百之下呼曰三三如九除實九百餘實一千八百五十六又以右下三十倍作六十共四百六十為法歸除之呼曰四一二餘二逢八進二十得四為三商置右六十之下呼曰四六二十四除實二百四十呼曰四四一十六除實十六實盡變為二百三十四即方面也 筆算開平方法 式積貳千壹百壹十防萬捌千肆百○肆問平方一靣幾何曰四千六百○二術列實八位從末位肆下作防隔位一防共四?知有四回商數也實首防在次位以貳壹相連作二十一者然也應用自乘有幾十幾數者為商今初商用四注初防下亦紀格右相呼四四一十 六於實貳千壹百內除一千六百 抹去貳壹變伍完首叚矣余實伍 百壹十防萬捌千肆百○肆第二 叚實至次?止曰伍壹防先立亷 法倍初商四為八注實壹下空次 防一位以待隅法乃商伍十壹內 【作五十一】有六囬八即用六為次商紀初商四右亦注六於次防下為隅法如八十六者然也乃與次商相呼先呼六八除實四百八十抹去伍壹變叄又呼六六除實三十六萬抹去叄防變壹完第二叚矣余實壹萬捌千肆百○肆第三叚實至三防止曰壹捌肆其格右四六倍作九十二為亷法注九於實壹下二於實捌下空三防一位以待隅法壹內不可除九遇此則知商有○位竟作○於商數四六之右以作第三商完第三叚矣余實如故第四叚實至四防止曰壹捌肆○肆其格右四六○作四百六十倍作九百二十為亷法注九於實捌下二於實肆下○於實○下空四?一位以待隅法乃商壹十捌內【作一十八】有二囬九即用二為四商紀商數四六○之右亦注二於四防下為隅法如九千二百○二者然也乃與四商相呼先呼二九除實一萬八千抹去壹捌又呼二二除實四百抹去肆又呼二二除實四數抹去肆實盡完四叚矣則格右之四六○二即方面四千六百○二也 通曰初商防在實首者三以前用一八以前用二九則當用三防在實首次位者十五以前用三二十四以前用四三十五以前用五四十八以前用六六十三以前用七八十以前用八九十九以前用九滿百則防又在實首矣 用命分式　術倍前商數加一為母余實為子依法命之如設積六十開方初商七除實四十九餘實十一今倍前商七作十四加一得十五為母以余實十一為子命曰七又一十五之一十一而縮試並初商及分數自之用奇零整帶零與整帶零乗法【詳筆算下】得二二五之一三四五六以一三四五六為實以二二五為法除去四十九囬二二五餘二四三一得四十九又二二五之二四三一也其二四三一之內尚有十囬二二五如亦歸整並四十九為五十九又二二五之一八一則不及原積六十矣故曰縮若倍初商不加一為母命為十四之十一試自之得六十又一九六之一四一則又過原積而盈矣舉成數可也又術如開方不盡實又欲得其小分則通為小數須於余積之右加兩○化一為百也如法開之得根數當命為一十分之幾分也或加四○化一為萬開得根數命為一千分之幾分也如設積六十巳商七不盡實十一欲得其細分於右加六○是十一化為一千一百萬也如法開之又得商七四當命為一千分之七十四也 奇零開平方式　術凡開方不盡實用命分第一術又不盡者用盈不足對稽可也如實二十者初商四除實十六餘實四依命分法立子母化初商用整帶零與整帶零乘法得八十一之一千六百以小除大當以八十一除一千六百也除得一十九零八十一之六十一【一千六百內有十九囬八十一餘六十一】又不盡者八十一之二十必須另立一法【滿八十一則歸整一數止得六十一尚餘二十】用盈不足對稽如前用四自乘盈四用五自乘又不足五也以不足五對前四又九九之四【前四者初商也九之四者倍初商加一為母九餘實為子曰九之四】而以少減多【以五為原數以四又九之四為減數】用奇零整內減整及零法餘九乏五乃以前四零九之四倍之為八零九之八併入減餘九之五除去整八在外 以九之五與九之八相併用奇零同母加法歸整得一 零九之四乃以在外之整八並 入一為九得九零九之四也又 以此九零九之四為除數以前余未盡八十一之二十【余實也】為原數用奇零整帶零除零法除得六千八百八十五之一百八十也又 以此除得數與前九之四十相併【九之四十者倍初商四加一共九為母余 實四為子曰九之四又用化法以初商四乘母九得三十六再 並子四得四十是以四零九之四化為九之四十也】用奇 零異母加法子母互乗並母並 子得六萬一千九百六十五之二十七萬七千○二十也歸整以少除多母數少為法除二十七萬七干○二十得四尚餘二萬九千一百六十是為四零六一九六五之二九一六○也約之得十七分之八乃知實二十者開方得四零十七分一之八也 通曰以開方得四化之每一數作十七共化為六十八 又併入八得七十六為平方一面 之數也自乗得五千七百七十六 為方積實二十亦化之每一數作 十七之自乗共化為五千七百八十較之方積則多四也即以初商四後之餘實四化為一千一百五十六以二亷及隅較之先並八與十七相乗之數八得一千○八十八又並八自乗共得一千一百五十二又少四也則余實有終不能盡者矣 又術以四開二十不盡今用四零二之一以求之倍初商四得八為母以不盡實四為子曰四零八之四約之 得四零二之一化之得二之九 【以四乗母二得八加子一共九故化為二之九】母子各 自乗得四之八十一歸整以母四除子八十一得二十零四之一則實不足矣另置 四之一為實將前四零二之一倍數得九為法除之以九立一為母曰一之九倒位曰九之一與四之一相乗母乗母子乗子得三十 六之一又將三十六之一與前二之九相併兩母相乗得共母七十二母子互乗得各子一曰七十二之二一曰七十二之三百二十四又相減於三百二十四內減二餘三百二十二是七十二之三百二十二也再以七十二為法除三百二十二歸整得四零七十二之三十四約為四零三十六之一十七 籌算開平方法【見前籌算】 平方積較和開法 平方長濶不等者以長濶相乗為實積以長濶相減為較以長濶相併為和 積和求較式積八百六十四長濶和六十問長多濶幾何曰十二術以和六十自乗得三千六百四因積得三千四百五十六相減餘一百四十四平方開之得一十二為長多於濶之較 通曰積者勾股相乗之直積也此乃積與勾股和求勾股較之法 積較求和式積八百六十四濶不及長十二問長濶和共幾何曰六十術四因積得三千四百五十六不及十二自乗得一百四十四相併得三千六百平方開之得六十為長濶和 通曰此乃積與勾股較求勾股和之法衍此二式以起後法 平方積較求濶 積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶除其長當於實積內抽減其長之積故其法有二一以較為縱方並縱入方曰帶縱開平方一以較為減積以方乗減曰減積開平方 一帶縱開平方法 式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問濶幾何曰二 十四術列實定防以帶縱壹十貳隨 實首列之初商二紀格右亦列首防 下並縱首壹為三抹二壹而注三相 呼二三除實六首位實捌變二又呼 二貳除實四次位實陸變二完首?余實二百二十肆倍初商二為四作亷法列次位實下此退位列也亦退位列帶縱以亷四並縱壹為五抹四壹而注五次商四紀格右亦注末防下為隅法以隅四並縱貳為六抹四貳而注六相呼五四除實二十抹首位余實二又呼四六除實二十四次位余實二三位實肆皆抹去實盡所商二四即濶二十四也 又式　術如實貳十叄萬○肆百縱防百貳十初商可用四但縱首防並四為十一實首貳叄無四十四可除 遇此須減商作二【三亦多故用二】紀格右亦注 首防下並縱防為九抹二七而注九 相呼二九除實一十八抹貳叄變五 又呼二貳除實四五變四○變六完 首叚余實四萬六千肆百倍初商二作四為亷法列實○下又列縱於亷下次商四紀格右亦注次防下為隅法以亷四並縱防為十一抹四防而注一左位又注一【此十也】以隅四並縱貳為六抹四貳而注六乃以次商四呼首一曰一四除實四抹四又呼次一曰一四除實四六變二又呼四六除實二十四二肆皆抹去實盡尚有末防未開當于格右紀○以作三商則知直方濶二百四十長九百六十也 通曰以濶並縱得長也 又式　術若實數首位寡而帶縱數多不能開者雖防?在首位亦退一位列商縱而減一商也如實壹萬陸千壹百貳十捌帶縱防十貳數多即減一商【三防止兩商也】退列縱於次防下起初商九紀格右亦注次防下並縱防為十六抹九防而注六左位注一相呼一九除實九抹 首壹陸變七又呼六九除實五十 四七變一壹變七又呼貳九除實 一十八七變五貳變四完首?倍 九得一十八為亷法列之退列縱 次商六紀格右亦注末防下為隅法以亷八並縱防為十五抹八防而注五左位進一併亷一為二以隅六並縱貳為八如法呼除實盡得濶九十六長一百六十八又式　術其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所防叚位開之如實叄萬捌千肆百帶縱貳百首位叄自為一叚初商一紀格右注首位下並縱貳為三呼一三除實叄完首?倍一作二為亷注次位並縱貳為四次商二紀右注次防下為隅呼除實盡尚剩一防未開商後加一○得濶 一百二十長三百二十 又式　術若防?開位少而帶縱位反多【加三防該百而帶縱至千之類】以初商置首防下以帶縱大數進左列之【必首叚系二位者方有此例】如實壹十玖萬捌千帶縱壹千伍百叄十遇此則列縱亦須以百隨百而進千矣初商一紀右注首防下 次縱伍當隨一下列之【初商一百也次縱伍亦百 也】首縱壹進列首位下以初商一併 縱伍為六先與縱壹呼一壹除實壹 再呼一六除實六再呼一三除實三 完首?倍初商一作二為亷注三位實下帶縱壹退從次位起列伍於亷二下並為七次商二紀右注次防下並縱叄為五依法與次商呼除又加一○得濶一百二十長一千六百五十 又式　術帶縱並商數有共一十者進位再並可也如 實防萬貳千縱肆百捌十防在 首位初商一紀右注首防下縱 首隨列以一併縱肆為五呼除 畢余實一萬四千倍初商作二為亷注次位縱亦次列並二肆為六次商二紀右注次防下先呼二六除十二首位余實一抹去次位餘四變二然後以商二為隅者並縱八為一十進位注一本位注○乃呼一二除二實盡又加一○得濶一百二十長六百 通曰旣列次商帶縱先以亷二並縱肆為六又以隅二並縱捌為一十進一於所並六下以一六並為七然後以次商二與七相呼二七除一十四抺首位余實一次位余實四亦便 又式　術若實數縱數商數俱多者襍糅易淆務須先將帶並之數逐一歸併各注本位之下乃以呼除始不 紊亂如實壹十陸萬 陸千肆百陸十肆縱 壹千○捌十捌初商 一紀右注初防下三 防知初商系百位以縱百位○隨列初商下列縱壹千於進位初商一與縱○無並仍是一先以右一與縱壹呼一壹除一又以右一與商一呼一一除一又以右一與縱捌呼一捌除八又以右一與縱尾捌呼一捌除八完首?余實四萬七千六百陸十肆倍初商得二為亷注三位實下退列縱數以相併亷二與縱○無並仍是二次商三紀右注次防下並縱捌為一十一改三捌為一進位○下注一又改二○一為三並畢須以最下橫列之壹三一捌為主皆與右三相呼除實也除畢完次叚余實八千一百二十肆倍前商一三作二十六為亷空末防位以待隅注而以六注第五位實下二注第四位實下退列縱數以相併先以亷六並縱捌得一十四注四於捌下進位注一又以亷首二並所進一得三改二○一為三三商六紀右注末防下並縱末捌得一十四改六捌為四進位四加一改作五並畢以最下橫列之壹三五四為主皆與右六相呼除實也除畢實盡得濶一百三十六長一千二百二十四 通曰凡圖最上為余實最下為並縱並縱者並亷隅縱為開方之法數也右七式用前積較求和之法得和減縱半之即濶然其變不可不知耳求長亦然 二減積開平方法 減積者於實內減股之積以就其方也【股即長也】式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問濶幾何曰二 十四術列實防位另將不及壹 十貳為減積以商數乗之而列 乗數初商二紀右注首防下乗 減積得貳十肆隨位列之相對減原積首位實捌減貳餘六次位實陸減肆餘二余實六百二十肆然後以初商呼除二二除四首位余實六變二完首叚余實二百二十肆倍初商二得四為亷注次位實下次商四紀右注末防下為隅以隅乗減積得肆十捌亦隨位列之相對減余實首次兩位余實二十二減肆首位二變一次位二變八次三両位余實八十肆減捌次位八變七三位肆變六共余實一百七十六然後以次商與亷隅呼除四四除一十六抺首位余實一次位七變一又呼四四除一十六抺次位一三位六實盡得濶二十四通曰凡定商數須減積後余實視有商數之自乗否勿以原實定商也初商列初防下初乗首數亦隨初防下列之二叚亷退初商一位則次乗亦退一位也 平方積較求長 積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則當損其法之長也求法有二以較為負縱乗上商以添積曰負縱益積開平方以較為減縱而以負縱減方法曰帶減縱開平方 一負縱益積開平方法 式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問長几何曰三 十六術列實防位另列不及壹 十二為負縱而初商則約所増 負縱之乗商之如首位捌開法 宜用二因有負縱之乗乃商三 紀右注首位下為方法而以乗負縱得叄十陸注叄於首位陸於次位以並原積捌陸【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陸變二首位捌變二進位置一【實首左位】益積得一千二百二十肆乃以方法呼除三三除九完首叚余實三百二十肆倍三作六為亷注次位次商六紀右以乗負縱得防十貳退位列之【退初乗位】以並余積三二肆【作三百二十四】得三百九十六末位肆變六次位二變九另置一算為負隅以次商六乗之仍得六為隅法乃以次商呼除六六除三十六又呼六六除三十六實盡得長三十六 通曰甲戊己丁形原積八 百六十四也戊乙丙己形 益積四百三十二也甲戊 濶二十四甲乙長三十六 戊乙乃長濶之較十二合成甲乙丙丁形乃股羃也股 即長也初商三十自乗得九百 二亷濶六長三十又各相乗得 一百八十隅六自乗得三十六 又式　術直積貳十叄萬○肆 百長濶較防百貳十列實防位 列較為負縱初商九【九百】紀右注 首防下為方法以乗負縱得陸 肆捌【六萬四千八百】以益積隨首列之共加得實為八七八肆○○以方法呼九九除八十一完首叚余實六八肆○○倍九得一十八為亷注八於次防之進位注一於首防下次商六【六十】亦乗負縱得肆叄貳【四千三百二十】以益余積退位列之共加得余實為一一一六○○又以次商六乗負隅一仍得六注本叚防下為隅法乃呼一六除六六八除四十八六六除三十六實盡尚餘一防作○得長九百六十 二帶減縱開平方法 式直積捌百陸十肆濶不及長壹十貳問長几何曰三十六術列實另列不及壹十貳為負縱初商三【三十】紀右以負縱減之餘一十八挨注首防下為方法先呼三八除二十四八上陸變二進位捌變六後呼一三 除三一上六變三【先呼一三亦可】余實三百二十肆乃於另列初商三右加○【作三十】以並方法得四十八為亷注次位次商六紀右注末防下為隅而併入亷內得五十四六八並改四進位四改五乃呼次商五六除三十四六除二十四實盡得長三十六　若商數減後首位多於實首亦照例退位 通曰初商三十減縱得十八相乗除積五百四十次商六並方法為亷四十八【二亷共長四十八也】相乗除積二百八十八隅六自乗除 積三十六 又式有兩方共積若干第雲以小方之一靣乗大方之一面共若干問兩方面各幾何者如大小二方共積六千五百二十九以小方大方各一邊相乗得叄千壹百貳十先倍兩方乗積得六千二百四十以減共積餘二百八十九平方開之得較壹十防乃列二方乗數為實以較為負縱初商六【六十】紀右以負縱減之餘四十三注初防下為方法呼初商四六除二十四三六除 一十八餘實五百四十又於初商六右加○【作六十】以並方法得一百○三為亷注下【以末三齊次防止】次商五紀右注尾防為隅併入亷內共一百○八乃呼次商一五除五五八除四十實盡得大方面六十五以較一十七減之得小方面四十八 通曰甲乙丙丁大方形也丁壬戊癸小方形也以丙丁邊乗丁癸邊得丙丁癸己形倍之得庚辛己癸形以減共積乙壬戊癸甲磬折形則以丙壬戊己形補甲子丑庚形而 後減之餘乙子丑辛形為較羃也甲乙六十五減甲子四十八餘乙子一十七 平方積和求濶 積與和求濶者以和為縱方一為負隅和並一長一濶積得一長而少一濶故用一為負隅其法有二或益隅於積乗負隅為方法又乗方法以益積曰帶縱益隅開平方或減隅於積乗負隅以減縱命余縱以除實曰帶縱負隅減縱開平方 一帶縱益隅開平方法 式直積捌百陸十肆長濶和陸十問濶幾何曰二十四 術列實以和為帶縱初商二【二十】紀右 注首防下自乗得四百為負隅以益 積共加得實一千二百陸十肆乃以 初商呼帶縱曰二陸除實一千二百 余實陸十肆倍方得四為亷注次位次商四紀右注尾防為隅以次商乗亷四十得一百六十又以次商乗隅四得一十六皆併入余實共加得余實二百四十乃以次商呼帶縱曰四陸除實二百四十實盡得濶二十四 通曰甲乙丙丁形原積也丁丙 己戊形益隅方積也子方初商 二十自乗得四百丑寅二亷各 長二十與次商四相乗各得八十共為一百六十卯隅四自乗得十六共益積五百七十六也戊庚二十庚己四戊至己共二十四為濶乙丙三十六為長乙至己共六十為和 又式　術又如直積貳萬壹千陸百肆十捌長濶和貳 百玖十陸列實防位置和為 帶縱初商一【一百】列右為初方 法注首防下自乗得一萬以 益積首位貳變三乃以初方 法呼帶縱除實一貳除二首位三變一一玖除九次位壹變二進抺一一陸除六三位陸變○余實二千○肆十捌倍方得二為亷注退位次商三紀右為次方法注次防下為隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余積三上○變九二上二變八共加得余實八千九百肆十捌乃以次方法呼帶縱貳三除六二上八變二三玖除二十七三上九變二進抺二三陸除一十八四位肆變六進抺二餘實六十捌又倍次方法得六為次亷注退位【第四位也】併入前亷二百得二百六十三商二紀右為三方法注尾防下為隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余積尾捌變一進位六變九又進位加五共加得余實五百九十二乃以三方法呼帶縱二貳除四二上五變一二玖除一十八六上九變一進抺一二陸除一十二實盡得濶一百三十二 二帶縱負隅減縱開平方法 式直積捌百陸十肆長濶和陸十問濶幾何曰二十四 術列實防位置和為縱方初商二紀 右注首防下以乗負隅一仍得二為 方法以減縱陸○餘四○隨首位注 之呼初商二四除八抺捌余實陸十肆倍方二得四為亷注退位亦乗負隅一仍得四【四十】以減縱陸○餘二○注下次商四紀右注末防下為隅又以隅四減余縱二十餘一十六附註乃與次商相呼一四除四四六除二十四實盡得濶二十四　或初商除實訖即以初商再減余縱以所余為縱方以次商再減為下法亦可蓋倍初商為亷以減原縱與以初商減余縱之餘數相同即可不立亷矣 通曰甲乙癸子全形乃和與濶相乗之形也內甲乙丙 己戊丁磬折形為原積此外 皆負積也初叚減壬癸縱二 十次叚減丙辛縱二十又減 辛壬縱四餘乙丙縱十六乃原積形內之數故不減今以原積形內之干形補原積形外之坤形而成甲乙辛寅形得濶二十四長三十六 又式　術列實陸萬玖千叄百陸十長濶和防百捌十貳為縱初商一【一百】乗負隅一仍得一以減縱防餘六隨首列余縱六捌貳與初商相呼一六除六一捌除八一 貳除二餘實一千一百陸十倍方得 二為亷【二百】注退位以減縱餘五捌貳 退位附列而縱餘五多於實餘一遇 此紀○於右作次商倍方一○得二 為亷【二百】注次防下以減縱餘五捌貳退位附列三商二注尾防為隅以余縱與次商相呼二五除一十二捌除一十陸實盡得濶一百二十 通曰縱尾貳須先以隅二減之縱余止五捌○也又式　術若以積與虛長濶共若干而欲求其濶及長者如直積捌百陸十肆三長五濶共二百二十八求濶者以三乗直積得貳千伍百玖十貳為實【三長原有三積故以三乗】五為負 隅【暗添五濶之積】以共貳百貳十捌為帶縱列實防位初商二乗負隅五得一十【一百】以減縱首貳餘一隨首列余縱一貳捌與初商相呼一二除貳二貳除四二捌除一十六餘實三十貳又以初商二乗負隅五得一十【一百】減余縱首一止余縱貳捌【即倍方為亷也】次商四乗負隅五得二十再減余縱貳十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十貳實盡得濶二十四 如右式求長者以五乗直 積得肆千叄百貳十為實 以三為負隅以共貳百貳 十捌為帶縱初商三以乗負隅三得九【九十】以減縱余縱一百三十捌挨注首位下與初商相呼一三除三三三除九三捌除二十四餘實一百八十復以初商三乗負隅三得九【九十】以減余縱止餘四十捌次商六亦乗負隅三得一十八以減余縱止餘三十注余實下與次商相呼三六除一百八十實盡得長三十六 又式　術又有以積與虛長濶和較共若干求濶及長者如直積八百六十四一長二濶三和四較共叄百壹 十貳數乃約三和自具三長 三濶以並一長二濶共四長 五濶又以四較益濶為四長 共得八長而餘一濶求濶者以八長乗直積得陸千玖百壹十貳為實以一濶為負隅以共數為帶縱初商二以乗負隅一仍得二【十也】以減縱余縱二百九十貳列實下以呼初商二二除四二九除一十八二貳除四餘實一○七貳又以初商二乗負隅一得二十以減余縱止餘二百七十貳次商四又乗負隅一得四以減余縱止餘二百六十八列余實下與次商相呼除實盡得濶二十四　求長者以一濶乗直積為實以八長為負隅也當用翻法詳後 又式　術又有以虛長虛濶約其子母共若干與積若干求長濶者如直積二千三百五十二隻雲長取八之五濶取三之二並得六十三以兩母互乗三八得二十 四以乗並得之六十三得壹千 伍百壹十貳為帶縱而以長母 八乗濶子二得十六為濶率以 濶母三乗長子五得十五為長 率則知此帶縱數內具有長十五濶十六也求濶者以長一十五乗直積得叄萬伍千貳百捌十為實以濶一十六為負隅初商四【十也】乗負隅得六百四十以減縱余縱八百七十貳注實下與初商相呼四八除三十二四七除二十八貳四除八餘實四百又以初商所乗隅算之六百四十減余縱止餘二百三十貳次商二乗負隅得三十二亦減余縱止餘二百列余實下與次商相呼二二除四實盡得濶四十二以除直積二千三百五十二得長五十六 通曰以長十五乗積為實有三防而直積之二三五二止兩防仍以直積定商位故知初商為十也余縱列位常隨實首今縱八多於實首三故照例退位 平方積和求長 積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以減其縱用減余者以除積而積常不足則翻以積減縱而余為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以縱減商而余縱三者俱負乃以負縱約余負積商命負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方也 帶縱負隅減縱翻法開平方法 式直積捌百陸十肆長濶和陸十問長几何曰三十六術列實以和為縱方一為負隅初商三乗負隅仍得三十以減縱餘三十列實下與初商相呼三三應除九百 【三十其三十也】而實數不足遇此則翻列九 百於原積之上而以原積捌百陸十 肆減之餘負積三十六即為余實再 以初商乗負隅之三十減余縱減盡乃約余實得次商六以乗負隅一仍得六注尾防呼次商六六除三十六 實盡得長三十六 通曰己丙丁戊形初商余縱相乗之 九百也內減去己壬庚辛丁戊磬折 形原積八百六十四餘壬丙辛庚形 三十六在原積之外也以子形移至丑形成甲乙癸戊形得濶二十四長三十六 又式　術如直積叄千肆百伍十陸長濶和壹百貳十 求長者列實以和為縱一為負隅 初商七乗負隅仍得七十減縱余 五十與初商相呼五七應除三千 五百而原積不足乃翻以三千五 百列上而以原積減之餘四十四為余實又以初商所乗之七十減余縱而余縱亦不足乃翻以余縱五十減初商乗數七十餘二十為亷注三位下而縱又為負次商二注尾防為隅亷隅共二十二呼次商除之實盡得長七十二 又式　術有虛立長濶和較求長者如直積捌百陸十肆一長二濶三和四較共叄百壹十貳依前法衍得八 長一濶以一濶乗直積為實 捌長為負隅共數為縱方列 實初商三乗隅捌得二百四 十以減縱餘七十貳列實下呼初商三七應除二千一百六十而積不足乃翻以二一六列上【二乃千數故進位】而以積減之餘負積一千二百九十六即為余實又以初商所乗之二百四十減余縱而余縱亦不足亦翻以余縱七十貳減之餘負縱一百六十八次商六乗負隅捌得四十八又併入負縱一百六十八得二百一十六列實下以呼次商除之實盡得長三十六 通曰凡減法原以小減大故宜用翻法也 平方帶縱諸變 縱方之術所以通平方之變而翻法一術又所以通縱方之窮此外有積與二濶較及長濶較求濶者皆以錯綜為用以取其條理也衍之於左 一帶縱減積開平方法 式三廣田積貳千肆百陸十伍歩雲中廣不及南廣八 歩亦不及北廣三十六歩又不及 正長六十七歩問三廣各幾何長 幾何曰中廣十八歩南廣二十六 歩北廣五十四歩正長八十五歩 術列積為實並不及二廣共四十四以四除之得壹十壹為帶縱以不及長陸十防為減積初商一【十也】並帶縱得二十壹隨首防列之為方法以乗減積得一千四百○七依千百位列實下先以此呼初商一一除一一四除四一七除七餘實一○五八次以方法二壹呼初商一二除二一壹除一完首叚余實八四八倍初商一作二為亷並帶縱壹十壹及減積陸十防共九十八為方法注退位次商八注末防並方法得一百○六列下呼次商一八除八六八除四十八實盡得中廣一十八各加不及合問 通曰初叚以乗減積數依列位並方法為一六一七呼除亦便 二減積帶縱負隅並縱開平方法 式大小二方共積七千五百九十二大方面較小方面 多二十八問大小方面各幾何 曰大方面七十四小方靣四十 六術較自乗得七百八十四以 減積余陸千捌百○捌為實倍較得伍十六為帶縱二為負隅初商四乗負隅二得八十並縱共一百三十六為方法注積下呼初商一四除四三四除一十二四六除二十四餘實一三六捌倍初商作八十並初方一三六共二百一十六為亷注退位次商六亦乗負隅二得一十二為隅併入亷內共二百二十八呼次商除之實盡得小方靣四十六加較得大方靣七十四 又式　術如大小三方共積四千七百八十八大方面 多小方靣三十中方面多小 方面十二【大方面多中方面十八也】求各 面者以較三十自乗得九百 以較十二自乗得一百四十四相併得一千○四十四以減共積余叄千防百肆十肆為實並二較得四十二倍得捌十肆為縱以三為負隅初商二乗負隅三得六十並縱共一百四十四為方法列實下呼初商一二除二二四除八又二四除八餘實八百六十肆倍初乗隅六十得一百二十為亷並縱得二百○四注退位為方法次商四乗負隅三得一十二為隅並方法共二百一十六呼次商除實盡得小方靣二十四加較十二得中方面三十六又加較十八得大方面五十四 通曰負隅用二者二方故也用三者三方故也 三隅算開平方法 凡圓者之四可當方者之三並方圓之率為七用七為隅算以求之 式方圓共積二千二百六十八方面圓徑相等問靣徑 俱幾何曰方面圓徑俱三十六 術四乗原積得玖千○防十貳 為實列七為隅算初商三乗隅 算七得二百一十為方法呼初商二三除六一三除三餘實二七防貳倍初商得六十為亷次商六乗隅算七得四十二為隅又以次商六乗亷六十得三百六十並隅得四百○二又併入亷六十共四百六十二呼次商除實盡得方面圓徑俱三十六又術以四乗原積得九千○七十二並方四圓三得七為法除之得一千二百九十六為實平方開之得三十六更防 四帶縱隅益積開平方法 式方不知積但以長乗一長二濶三和四較之共數得肆萬肆千玖百貳十捌長濶較貳十肆問長几何曰七 十二術列所乗共數 為實置較為益縱約 三和得三長三濶以 並一長二濶得四長 五濶又並四較取四濶為長總得八長一濶共九叚以九為負隅初商七乗負隅九得六百三十為隅法又以初商七乗益縱二十四得一千六百八十注實下以益積共加得實肆萬六千六百○捌卻以隅法六百三十注實退位與初商相呼六七除四十二三七除二十一餘實二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十為方法注實退位次商二又乗負隅九得一十八為隅法另以次商二乗益縱二十四得四十八併入余實共加得余實二五五六卻以方隅並得一千二百七十八與次商相呼除實盡得長七十二 五帶縱負隅減縱開平方法 同右法或損長以就之則用此也 式一長二濶三和四較以長乗之得肆萬防千貳百壹十貳長濶較二十八問長几何曰七十四術列實較為 縱如右式推得九為負隅初商 七乗負隅九得六百三十為方 法內減帶縱二十八餘六百○ 二退位注呼初商六七除四十 二二七除一十四餘實五○七貳倍方法六百三十得一千二百六十內減帶縱二十八餘一千二百三十二為亷列余實下次商四乗負隅九得三十六為隅法並亷共一二六八呼次商除實盡得長七十四 六減積帶縱隅益積開平方法 又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四較之共數得若干求長者用此 式設有一長二濶三和四較之共數以濶乗之得二萬 九千九百五十二其較二十 四問長几何曰七十二術以 較自乗得五百七十六以減 原乗積余貳萬玖千叄百防 十陸為實較為益縱六為隅算初商七乗隅算六得四百二十為隅法注實下又以初商七十乗益縱二十四得一千六百八十以益原實得三萬一千○五十陸乃以隅法呼初商四七除二萬八千二七除一千四百餘實一千六百五十陸倍隅法四百二十得八百四十為亷次商二乗隅算六得一十二為隅法另以次商二乗益縱得四十八以益余實得一千七百○四乃並亷隅二法共八百五十二注余實下呼次商除實盡得長七十二 七帶縱負隅減縱益積開平方法 通曰右式亦可以此法求之 式設有一長二濶三和四較之共數以濶乗得貳萬玖 千叄百肆十捌長濶較二十 八問長几何曰七十四術列 實較為縱九為負隅【如前法】初 商七乗負隅得六百三十為 方法內減縱二十八餘六百 ○二注實下又以乗縱得一萬六千八百五十六以益原實得四萬六千二百○四為實乃以初商與余方法六百○二相呼六七除四萬二千二七除一百四十餘實四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十減縱餘一千二百三十二為亷次商四乗負隅得三十六為隅法以乗縱得一千○八以益余實得五千○七十二為余實並亷隅二法共一千二百六十八與次商相呼除實盡得長七十四 八帶縱亷開平方法 式一長二濶三和四較以濶乗得貳萬玖千玖百伍十貳長濶較二十四問濶幾何曰四十八術列實減較之半得一十二為縱亷而以初商乗之初商四十為方法以乗縱亷得四百八十又並初商得五百二十退位注實下呼初商五四除貳萬二四除八百餘實玖千一百伍十貳倍所乘縱亷四百八十為九百六十倍方法四十 為八十相併得一千○四十為方法次商八為隅以乗縱亷十二得九十六再併入方隅共一千一百四十四注實下呼次商除實盡得濶四十八 九帶縱亷負隅開平方法 通曰右式亦可以此法求之 式一長二濶三和四較以濶乗得貳萬玖千叄百肆十 捌長濶較二十八問濶幾何曰 四十六術列實推得共八較九 濶用九為負隅以八乗較得二 百二十四為縱亷初商四乗負 隅九得三百六十為方法並縱亷共五百八十四注實下呼初商五四除貳萬四八除三千二百四四除一十六餘實五千九百八十捌倍方法三百六十為七百二十為亷並縱亷共九百四十四次商六乗負隅九得五十四為隅再併入亷並縱亷之九百四十四得九百九十八注實下呼次商除實盡得濶四十六 十帶縱方亷開平方法 式一長二濶三和四較以長乗得肆萬肆千玖百貳十 捌長濶較二十四問濶幾何 曰四十八術列實以較為縱 方推得八長一濶共九?倍 九為一十八作縱亷初商四 十為方法乗縱亷十八得七百二十併入方法四十共七百六十又併入縱方二十四共七百八十四注實下呼初商四七除二萬八千四八除三千二百四四除一百六十餘實一萬三千五百六十捌倍縱亷乗並之七百六十為一千五百二十併入縱方二十四共一千五百四十四為亷次商八乗縱亷十八得一百四十四為隅乃將次商八亷一千五百四十四隅一百四十四共並得一千六百九十六注實下呼次商除實盡得濶四十八 十一帶縱亷負隅乗縱減實開平方法 式一長二濶三和四較以長乗得肆萬防千貳百壹十 貳長濶較二十八問濶幾 何曰四十六術列實推得 八長九?用八乗較得二 百二十四為縱亷用九為 負隅又以較二十八為減縱方初商四十乗負隅九得三百六十為方法併入縱亷共五百八十四為下法以乗減縱二十八得一萬六千三百五十二以減實餘三萬○八百六十為實乃以下法五百八十四列下呼初商五四除二萬四八除三千二百四四除一百六十餘實七千五百倍方法三百六十得七百二十並縱亷二百二十四共九百四十四為亷次商六乗負隅九得五十四為隅又以乗減縱二十八得一千五百一十二以減余實餘五千九百八十八為余實乃將亷九百四十四隅五十四共並得九百九十八列下呼次商除實盡得闊四十六 通曰正積可以防定位乗積亦可以防定位故列乗積三防而商止二位耳蓋乗積虛増而非實有也 開平圓【少廣之八】 積求外周法 式圓積二千三百五十二問外周幾何曰一百六十八術置積以十二乗之得二萬八千二百二十四為實平方開之得一百六十八為外周也 積求內徑法 式圓積二千三百五十二問內徑幾何曰五十六術置積以四乗之得九千四百○八以三除之得三千一百三十六為實平方開之得五十六為內徑也 數度衍卷十二