如何形成清晰的觀點 · 第四篇　歸納的機率[33]

一 我們知道，每一個論據都是從其所屬的推理類別的一般真理中得出的，而機率就是這些論據在任意類別中依然為真理的比例。中世紀邏輯學家有一套命名系統正好適用於此。他們把前提表達的事實稱為「前件」（antecedent），隨之而來的推論稱為「後件」（consequent），而從（幾乎）每一個前件到後件的原則則被稱為「推論」（consequence）。按照這套系統來說，機率完全屬於「推論」，任何一個推論的機率等於前件和後件同時發生的次數除以前件發生的次數。由此定義可推導出機率的加法與乘法規則，如下所述。 機率的加法法則——已知兩個具有相同前件但不相容後件的推論的機率，則兩者之和即為「從同一前件得出兩個後件之一」這個推論的機率。 機率的乘法法則——已知「如果A則B」及「如果A則C」這兩個推論的機率，那麼兩者相乘的結果就是「如果A則B和C」這個推論的機率。 專門適用於乘法法則的機率獨立規則——已知「如果A則B」及「如果A則C」這兩個具有相同前件的推論的機率，又假設「如果A則C」的機率與「如果A和B則C」的機率相等，那麼前兩個推論的機率相乘等於「如果A則B和C」的機率。 我們可以通過計算擲骰子的機率來檢驗這些規則的有效性。比如，一次擲到6的機率為多少？這裡的前件為「投擲一次骰子」，後件為「擲到6」，由於一枚骰子有6個面，每一面出現的頻率都相等，即任意一面的機率為。假設投擲2枚骰子，擲到6的機率為多少？其中任何一個擲到6的機率與只投一個骰子擲到6的機率相等，即。而且，其中任意一個擲到6的機率和另外一個擲不擲得到6的機率無關，因此，這是一個獨立機率事件。另外，根據我們的法則，這兩個事件同時發生的機率就是各自機率相乘的結果，即×。那麼擲到「一二」的機率是多少呢？第一個擲到1點，第二個擲到2點的機率和兩次均擲到6的機率是相等的，即。同樣，第一個擲到2點，第二個擲到1點的機率也是。這兩個事件——第一次擲1點、第二次擲2點，以及第一次擲2點、第二次擲1點——是不相容的，因此在這裡我們運用的是加法法則，也就是兩次投擲得到一個1點、一個2點的機率為+，即。 以此方式，我們可以解決骰子之類的所有問題。如果骰子的點數非常大，數學（或可定義為通過分組提高運算速度的技藝）這一學科就能幫助我們解決很多困難。 二 將機率視為一種事實，即一種事件伴隨另一種事件發生的實際比例，被維恩先生稱為「實在論」。而與此同時，概念又常被認為是依附於命題存在的一種可信程度，維恩先生將其稱為「概念論」。大多數作者將此兩種觀點混為一談。他們一開始將某事件的機率作為我們相信這件事已經發生的原因，這是概念論的觀點。然而，沒過多久，他們又說這是有利的事例占總事例的實際比例，而且每一個事例發生的可能性都是一樣的。除了把「發生機率相等」混同於「實際頻率相等」，從而造成概念混淆以外，這算是一個勉強的唯物主義觀點。德·摩根先生在他的《形式邏輯》（Formal Logic）一書中，曾清晰地闡述了純粹的概念論。 這兩種分析的巨大差異在於，概念論者認為機率是一種事件，而實在論者認為是某種類事件發生頻率占該種類總屬的比例，因此就有了兩個定義。這種對立的體現如下所述。 假設我們有兩種推理規則，適用於某一領域內所有的問題，第一條規則得出正確答案的機率為，不正確的機率為；第二條規則得出正確答案的機率為，不正確的機率為。假設這兩條規則的成立與否互相獨立。這就是說，對於任何一個問題，不管第一條規則是否得出正確答案，第二條規則答對的機率都是、答錯的機率都是。那麼在這兩條規則適用的所有問題中： 兩條都能答對的機率……的，即；第二條答對第一條答不對的機率……的，即；第二條答不對第一條答對的機率……的，即；兩條都答不對的機率……的，即。 假設現在對於任何問題，兩條規則都能給出一致的答案（都是是非題），那麼兩條答案一致的機率就相當於兩條一起答對的機率加上兩條一起答錯的機率，也就是+。因此兩條規則答案一致的情況下，兩條都能答對的機率即為： 因此，這就是兩條規則結果一致的情況下，兩條規則都能得出正確結果的機率。我們正好可以借用另一種表達方式。機率是有利事例占總事例的比例。除了以此比例來表示結果，我們還可以借用另一種比例——有利事件占不利事件的比例。後者可以被稱為事件的「機會」（chance）。那麼第一種推理規則的機會比為，第二種推理規則的機會比為；以及當它們結果一致時，都得到正確結果的機會比為，也就是×，等於雙方都答對的機會值的乘積。 可以看出，機會可以取任何值，一個雙方擁有平等機會（即）的事件，其機率為。一個機會為1的論點無法用來加強其他論點，因為根據乘法規則，用它乘以任何機率還是原來的機率。 機率和機會無疑都歸屬於「推論」，是相對於特定前提的。儘管如此，我們也可以說某事件機率的絕對值，它的意思是，就目前所知而言，綜合所有與它相關的事態得出的它發生的可能性。從這個意義上說，某事件的機會與我們對其的信念程度有非常密切的關係。信念不僅僅是一種單純的感覺，也有一種相信的感覺，所有的論據都表明這種感覺會隨著機會的變化而變化。因此，任何一個隨著機會變化的量，都可以用來度量信念的強度大小。在眾多數量中，有一種尤為適當。當我們遇到很大的機會時，信念的感覺應該是非常強烈的。凡人永遠無法獲得絕對的肯定和無限的機會，而這無限的信念正好說明了這一點。隨著機會的減少，信念的感覺也會減弱，直到達到機會為1的情況，它就會完全消失，而不是越來越傾向或遠離原命題。當機會減少時，相反地，會滋生一種堅定的信念，即機會越少，信念越強。當機會幾乎消失時（但完全消失這種情況不太可能發生），這種堅定的信念會趨於無限強。現在，我們有一個對所有情況都非常合適的數量，就是機會的「對數」。然而，還有另外一個因素必須考慮，就是我們的信念應與證據的分量成正比。從這個意義上說，如果有兩個完全獨立且勢均力敵的論據，那它們應該產生一種兩者強度之和的信念。現在，我們已經知道，兩個獨立並存的論點需要將各自的機會相乘得到結合的機會，因此，最能表達信念強度的數量應該是，在機會的結合要通過對部分的機會做乘法得到時，同樣可以對這個數量做加法得到。而現在，對數是滿足此條件的唯一量。有一個普遍的感覺定律叫「費希納心理物理定律」，指的是任何感覺的強度都與對它產生外力的對數成正比。因此，信念的感覺應該為機會的對數，這種感覺指的是產生信念的一種事實狀態表達。 當測量信念強度時，兩個獨立並存的觀點組合的原則非常簡單，即把各個正面論據的信念感總和減去各個反面論據的信念感總和，餘下的就是最後我們應該有的信念感。這是人們常常採取的辦法，名為「權衡」。 上述因素就是支持概念論的理據。其核心在於，任何與事實相關論據的結合機率，必須與我們對此事實應有的信念程度密切相關。這一點往往也能得到其他觀點的佐證，表明該理論與其他方面的認識是相一致的。 但是，無論機率是大是小，表達的都必須是事實。因此，這是一件需要證據的事情。那麼，讓我們來思考一下對機率的信念是如何形成的。假設我們現在有一袋豆子，偷偷地隨機抽取其中一顆放在反扣的杯子下。我們現在要對這顆豆子的顏色做一個合理的猜測，辦法是每次從袋子中抽取一顆豆子察看，然後放回去並攪混。假設第一次抽到的是白豆子，第二次是黑豆子，我們就可以得出結論，這兩種顏色都沒有絕對的巨大優勢，而且，杯子下的豆子似乎有一半的可能是黑色的。但是這個判斷有可能在接下來的幾次抽取中被改變。當我們抽取的10次中有4次、5次或6次都是白豆子，那麼就比較能確信這個猜測的機率是平均的。當我們抽取的1000次中幾乎有一半是白豆子，就更能確信這一點了。現在，我們可以很肯定地說，如果我們對每一次被抽取的豆子顏色進行下注，那麼從長遠來看，猜白色是沒有問題的。我們想要獲得的信心就是這個，但是希望是在抽兩次的時候就獲得，而不是在抽了1000次以後。所以，機率的全部意義在於給我們提供一個長期的保障，並且因為這種保障不僅僅基於機會的大小，也取決於判斷的準確性，我們不應該對所有機會均等的事件抱有同樣的信念。簡而言之，要合理地表達我們的信念，至少要有兩個數字，第一個數字基於推測的機率，第二個取決於基於機率的了解程度。[34]確實，當我們對某事物了解得非常精確的時候，當我們已經從袋子中抽取許多次以後，這個表示機率的不確定性的數字可能就不再重要了，或者完全消失。然而，當我們對某事件的了解非常有限時，這個數字就可能比機率本身更重要。而當我們完全不了解時，這個數字就代表著一切。所以，如果說某個未知事件的機會是均等的，這沒有任何意義（因為沒有事實的表達沒有任何意義），這時應該說現在的機會完全是模糊的，沒有辦法計算。因此我們認為，雖然概念論在某些情境下適用，但總體上是很不充分的。 假設我們從袋子中抽取的第一顆豆子為黑色，就會形成一個論據，即杯子下的豆子可能為黑色，無論這個機率有多小。如果第二顆豆子也是黑的，這就是另一個獨立論據，且加強了前一論據的可信度。如果前20顆豆子都是黑色，那我們對杯子下豆子為黑色的信心就會大大加強。但如果第21顆豆子為白色，然後我們繼續抽取，最後發現抽到了1010次黑豆子和990次白豆子，那我們應該得出的結論是，前20次都抽到黑豆子這一事件是一個很大的偶然，事實上白豆與黑豆的比例是相當的，並且被藏起來的豆子為黑色的可能性也是均等的。但是根據「權衡」原則，由於每一次抽到黑豆或白豆都是一個獨立論據，雖然有這麼多對於「被藏起來的豆子為黑色」這一判斷的有利論據和不利論據，但多出來的20顆黑豆產生的信念程度應當與抽取總數無關。 在觀念論觀點中，這種完全的無知狀態——判斷不應傾向或偏離假說——會用的機率來表示。[35] 不過，如果我們假設我們現在完全不知道土星居民的頭髮顏色，我們拿一張漸變顏色表，它包含了所有可能的顏色，任意相鄰兩種顏色之間的差別是無法用肉眼識別的。現在劃出一個封閉的區域，試問：根據概念論的原則，土星居民的發色屬於這個區域的機會有多少？我們給出的答案不可能是「完全無法確定」，因為我們一定是懷著某種信念的；而事實上，持概念論觀點的人也是不承認不確定的機率的。這個問題沒有確定性，答案其實在0和1之間。這裡沒有給定的數值，所以數字必須由機率本身的性質決定，而不是由數據計算得出。因此，答案只能是一半，因為這個判斷不能傾向或偏離假設本身。這個區域的機會和任意別的區域的機會一樣，並且如果有第三個區域包含了這兩個區域，情況也是一樣的。否則，如果兩個小區域的機率各為一半，那麼包含兩者的大區域的機率就至少為1了，這是荒謬的。 三 所有的推理可分為兩種：①解釋性推理，也叫演繹法或分析法；②擴充性推理，也叫綜合法或歸納法（不很確切）。在解釋性推理中，首先在前提中規定了某些事實。這些事實在每一種情況下都涵蓋無盡的內容，但它們常常可以通過一些規律性的方式總結在一個簡單的命題中。因此，在命題「蘇格拉底是一個人」中，意味著（沒有其他可能性）他一生中的每時每刻（或者你可以說，在他一生中的大部分時間）是一個人。他不可能有一瞬間是一棵樹或一隻狗；他沒有流入水中，或一次出現在兩個地方；你不可能像透過一張光學圖像一樣，把你的手指透過他的身體等。現在，我們有了一些事實，雖然我們得出這些規定時並沒有把它整理成命題的目的，但是我們或許就能在其中發現某種規定；這樣我們就可以將其部分或全部形成一個新的命題。如果不提出命題，它便可能被忽略。而這一命題就是分析性推理的結論。這些都屬於數學論證方法。但綜合性推理與之截然不同。在這種推理情況下，結論中總結出的事實並沒有在前提中闡述出來。得出的事實也各不相同，比如人們若有m次看到了潮汐上漲，就會得出結論，下一次潮汐會上漲。這些是增加我們常識的唯一推論，當然其他的推論也可能有用。 在任何可能的問題中，我們給出了某些事件出現的相對頻率，我們認為在這些事實中，就隱藏著另一個事件出現的相對頻率。解法前面已經講過了。因此，這只是解釋性推理，而非綜合性推理。綜合性推理的結論是要超出給定前提的範圍的。因此，要想通過這種方法來發現綜合性推理中的機率是緣木求魚。 大多數關於機率的論文都含有一個不同尋常的原則。例如，如果一個居住在地中海沿岸、從未聽說過潮汐的原始人來到了比斯開灣，看到潮汐上漲m次，他就可以知道潮汐上漲的機率等於： 凱特勒在他的一本著作中強調了這一點，並將其作為歸納推理理論的基礎。 但是，如果這個人從未見過潮汐，也就是說，給定m=0，此解決方案就不再成立。這樣，下一次潮汐上漲的可能性就是。換句話說，解決方案涉及概念論的原則，即完全未知的事件的機率為一半對一半。其中包含的道理還可以由下面這個例子得出，即好幾個缸里裝著相同數量的球，部分為白色，部分為黑色。一個缸里都是白球；一個缸里有一個黑球，其餘為白球；另一個缸里都是黑球，其餘為白球；以此類推，黑球比例依次增加，直到缸里全是黑球。但是，在這種人為安排和自然機率之間進行類比唯一可能的原因是，我們所不知道的替代方案必須被認為是有同等可能性的。但這個原則是荒謬的。按照這個原則，列舉不同可能性有無限多種方式，都會產生不同的結果。如果有方法列舉可能性，並使它們都相等，那也絕不是用這種方法，而是如下方案：假設我們有一個巨大的倉庫，黑球和白球混在一起；並且假設每個缸內的球數都是固定的，是從倉庫里隨機取出來的。倉庫中白球的相對數量可以是任何值，比如。那麼，第一個球是白色的缸就占，第一個球是黑色的缸占。在取出第一個球是白色的缸里，第二個球是白色的占；在第一個球是黑色的缸里，第二個球是白色的也占。於是，我們就可以得到一個分布表，w代表白色球，b代表黑色球。讀者可以自行檢驗。 wwww wwwb　　wwbw　　wbww　　bwww wwwb　　wwbw　　wbww　　bwww wwbb　　wbwb　　bwwb　　wbbw　　bwbw　　bbww wwbb　　wbwb　　bwwb　　wbbw　　bwbw　　bbww wwbb　　wbwb　　bwwb　　wbbw　　bwbw　　bbww wwbb　　wbwb　　bwwb　　wbbw　　bwbw　　bbww wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw wbbb　　bwbb　　bbwb　　bbbw bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb bbbb 第二組只有一個b，只有2行相同，第三組有4行相同，第四組有8行相同，第五組有16行相同，每次翻1倍。這是因為我們認為倉庫中的黑球是白球的2倍。若我們假設是以10倍遞增，就不是1、2、4、8、16，而是1、10、100、1000、10000。 另一種情況是，如果倉庫中的黑白球數量相等，那麼每組就會只有一行。現在假設從其中一個缸中抽出兩個球，並且發現都是白球，下一個是白球的機率是多少？如果被抽出的兩個是開始投入缸中的兩個，那麼下一個取出的是第三個投入的球，則無論前兩個球是什麼顏色，第三個是白球的機率相同。因為我們認為，只有相同比例的缸在前兩個為白色白色、白色黑色、黑色白色和黑色黑色之後，第三個球才是白色。因此，在這種情況下，第三個球是白色的機會與前兩個相同。但是，通過觀察第84頁上的分布表，讀者可以看到，在每組中取出球和放入球的頻率相同，因此抓球結果與放入順序無關。因此，已經取出的球的顏色對其他球是白色或黑色的機率都沒有影響。 現在，如果有方法來列舉自然情況下的可能性，並使得每種可能性相同，那麼顯然應該使每組自然的元素排列或組合（也就是我們所假設的分布方式）的可能性相同，因此，似乎可以假設任何這樣的分布都是可能的，而這種假設只能得出一個結論，即從過去推斷未來，經驗絕對是毫無價值的。事實上，在你認為我們完全忽視的機會占到一半時，關於潮汐的問題在機率上與拋硬幣的問題沒有任何差別，一枚硬幣（已知正反兩面的可能性均等）成功正面朝上也可以有m次。簡而言之，假設自然完全是雜亂無章的，或是獨立因素的隨機組合，那麼就無法從一個事實推論出另一個事實；而且，正如我們後面會看到的那樣，沒有推理就不能從純粹的觀察中得出判斷，這不啻假設人類的所有知識都是錯誤的，真知是不可能的。假設我們過去或多或少發現自然是有一定秩序的，這純粹只是運氣，而現在我們的運氣已經用完了。現在，我們可能沒有相反的證據，但是，若認為大部分問題都解決了、沒有人會懷疑或能夠質疑、對此否定的人會認為自己很愚蠢，那麼推理也就毫無必要了。 我們有權談論自然排列的各種相對機率，比如宇宙的數量是否和黑莓一樣多；我們是否能把各個宇宙放到一個袋子裡，充分搖勻，取出一個樣本，檢驗每種排列的可能性分別是多少。但是，即使在這種情況下，我們還會被一個更廣闊的宇宙包含在內，對於它來說，機率便沒有用武之地了。 四 我們已經研究了概念論提出的問題。簡而言之：給定一個綜合性結論；我們的目標是，發現在任何指定範圍內的所有可能情形中，有多少種是符合該結論的；並且我們已經發現，將綜合性推理歸約為分析性推理是荒謬的，沒有任何確定的方法可以解決。 但是，與這個問題相關的另一個問題是這樣的：給定若干事實，求與之相關的綜合性推論有多大機率為真（允許一定的近似度）。現在，解決這個問題沒有任何困難（除了算術比較複雜），並且已經得到了深入研究，答案是完全清晰的。難道這不是我們最想知道的嗎？我們為什麼要了解事實有多大機率符合我們的結論？這意味著，我們對所有可能的領域都感興趣，而不僅僅是我們所處的領域。我們為什麼不那麼關心我們的結論有多大機率符合事實呢？原因就在於上面的兩個問題。我還要問讀者，如果人們不是在完全沒有理解自己意思的情況下使用「機率」一詞，而是使用「相對頻率」一詞，那麼他們可能會看不到為了得到結論的機率，他們不應該帶著分析法的思路去進行綜合性的推斷；恰恰相反，應該從事實出發，得出綜合性的推斷，然後再回到事實，檢驗推斷是否與事實相符。 因為我們不能有一缸無限數量的球來代表大自然的無窮無盡，所以讓我們假設一缸有限數量的球，每個球被抽出後又被拋回到缸里，這樣也就模擬出無窮了。假設的球是白色的，其餘都是黑色的，從中抽出4個球。然後，第84頁上的分布表代表了取出球的不同方法的相對頻率。可以看出，如果我們判斷這4個球在缸中的比例，若抽取81次，有32次抽到這4個球，則比例為；若抽取81次，有24次抽到這4個球，則比例為；實際值是。把這個表格中的數字擴大到無窮大是相當費力的，但數學家已經發現了一些巧妙的方式來計算這些數字。經研究發現，如果白球的真實比例為P，取出球的數量是S，則通過歸納得到的比例誤差分布如下。 這種算法可以舉例說明。據1870年人口普查結果，本地一歲以下的白種人兒童中，男性比例為0.5082，而在其他膚色的同年齡段的兒童中，此比例僅為0.4977。比例差距為0.0105，即約每100人相差1人。這要歸為偶然性？還是說在大量的白種人孩子與其他人種孩子中間，這種差別依然存在？此處的P可以取，所以2P（1-P）也是。白種人孩子的總數接近1，000，000，所以，我們需要把開平方，結果約為，再乘以0.477，約為0.0003。也就是說，通過歸納得到白種人男童比例的誤差範圍在0.0003以內。黑種人兒童數量約為150，000，誤差範圍在0.0008以內。於是，我們可以看到，實際的差距是兩者誤差範圍之和（0.0003+0.0008）的10倍左右。根據第92頁上的列表，從長期來看，如果是因為純粹的統計誤差，那麼大概100億次中才會出現一次。 請注意，當歸納探尋機率的實際值要麼很大、要麼很小時，推理就更有把握。因此，想像一下在現實中從一個裝有100個球的容器里去抽取1個白球，抽取100次來做判斷，得到的結果是，抽不到白球的機率是，抽到1個白球的機率是，抽到2個白球的機率是，抽到3個白球的機率是，抽到4個白球的機率是，抽到5個白球的機率是，以此類推。於是，我們幾乎可以肯定，在這100個球里，最多只有1個白球。 因此，在一種意義上，我們能夠判定綜合推理的機率；在另一種意義上，我們做不到。我們來看下面這個推理。 100個克里特島人中有99個是騙子； 埃庇米尼得斯是克里特島人； 所以，埃庇米尼得斯是騙子。 我知道以上推理相當於100次中有99次是真相，但當我反向推理的話：我能想起來的，比如麥諾斯、薩爾珀冬、拉達曼提斯、杜卡里翁和埃庇米尼得斯都是克里特島人，但這些都是大騙子，所以，大概所有克里特島人都是騙子。我完全不知道類似的推理多久能給我帶來真相。另一方面，我可以知道的是，有確切比例的克里特島人是騙子，用五六個例子就能估算出個大概。即使這個推斷差到了極點，也就是只有一半克里特島人是騙子，那麼誤差最多也不過是。這些是我知道的。但是，在目前這個例子中，推斷結果是所有克里特人都是騙子，它是真是假我就不大清楚了。 五 在18世紀末，伊曼努爾·康德問了這樣一個問題：「先天綜合判斷何以可能？」他所說的「綜合判斷」，指的就是提出具體的事實，而不只是說明事物的呈現方式一類。簡單來說，綜合推理所產生的判斷是分析推理無法產生的。他所指的「先天判斷」，就好比所有外在對象都處於空間中、凡事必有因之類。在他看來，先天命題是不能從經驗中推得的。他的這個問題幾乎將當時流行的哲學體系滌盪殆盡，並且開啟了一個新時代，而他的回答反倒沒那麼大威力。然而，在問那個問題之前，他應該問一個更為普遍的問題：「綜合判斷何以可能？」一個人如何能夠看到一個事實，然後立刻說出他對於另一個事實的判斷，並且不受第一個事實的影響？ 我們已經看到了，這種推理——至少從它的日常意義來看——是沒有確定的機率的，那麼它又怎麼能增益我們的知識呢？這是一個奇怪的悖論。艾比·格拉特里（Abbé Gratry）曾解釋說這是一個奇蹟，所有真實的歸納都來自上天的靈感。[36]與某些學究用三段論或其他什麼東西把機率顛來倒去相比，我對這種解釋倒是更有幾分敬意。我之所以尊重它，是因為它看到了問題的深刻性，給出了一個恰當的理由，並且與一種普遍的宇宙論聯繫在一起——真正的解釋都應該做到這一點。同時，我又不接受這樣的解釋，因為一個解釋應該告知一件事是如何發生的，然而訴諸永恆的奇蹟，似乎是放棄了一切這樣做的希望，但又沒有給出充分的根據。 如果把問題從先天綜合判斷擴展到所有綜合判斷，那麼康德會如何作答呢？這是個有趣的問題。他的回答是：先天綜合判斷是可能的，因為一切普遍正確的事物都包含在經驗的條件之中。讓我們把它應用到一個普通的綜合推理中。我從一袋子豆子中拿出一部分來，這些豆子都是紫色的。然後，我推斷袋子裡的豆子都是紫色的。我是怎麼推斷出來的？這是基於我的正確經驗得出的結果，這是在經驗的條件之中的（這裡的豆子可能顏色各異）。這個個別經驗的條件就是，所有這些豆子都是從那個袋子裡拿出來的。按照康德的理論，所有對從袋子中取出來的豆子都成立的命題都要通過袋子內容物的特質來解釋。這是一種關於推理原則的比較讓人滿意的陳述。 當我們得出一個演繹的（或者叫作「分析的」）結論時，我們的推理規則是：關於某種一般特徵的事實，要麼總是伴隨著另一種一般特徵，要麼兩者之間存在一個固定的比例。於是，我們從關於前一類特徵的事實出發，推出後一類特徵的某些確定會發生或者以一定比例發生的事實。但是，綜合推理的原理就不一樣了。當我們用一袋子豆子的時候，我們根本不假設一個事實，就是有些豆子是紫色的，這包含必然性，或者其他豆子也可能是紫色的可能性。相反，如果用概念論的方法來研究——其實相當於演繹的方法——得到的所謂的綜合判斷就是一半對一半，換言之，毫無價值。一顆豆子的顏色完全跟另一顆豆子沒關係，但是綜合推論是基於事實分類而建立的，不是通過特質，而是通過獲取它們的方法。它的原則就是，通過一種已知的方式獲得的一系列事實，或多或少會與通過同樣方式獲得的其他事實相似；或者說，條件相同的經驗將呈現相同的一般特質。 在前一種方法中，我們知道的是，從前提能夠得出真的結論，其中前提和結論在形式上是嚴格相似的，並且只需要做一次即可。在後一種方法中，前提和結論是在相似的情況下獲得的（雖然前提和結論本身可能有很大的差別），這樣也會產生真的結論，並且至少需要做一次推斷。那麼我們可以這樣來表述，在分析推理中，我們知道結論的機率（如果前提真實），但在綜合推理中，我們僅知道整個程序的可信賴程度。因為所有的知識都來自綜合推理，我們必須同樣推論出：人力所能達到的確定性的基礎只在於一點，即我們用來得出知識的過程一般可以得出真實的結論。 雖然一種綜合推理無論如何不能歸約為演繹，但是，歸納法的長期有效性或許可以從一條原理中演繹而來，即通過充分的研究，最終得到的觀點的目標一定是真實的。在不斷探究的影響下，這種信念會逐漸傾向於自我修復。這種探究正是邏輯陳述的事實之一。