如何形成清晰的觀點 · 第三篇　關於偶然的學說[26]

一 人們普遍認為，科學最初是通過量化才變得精確，而精確科學（exact sciences）則首推數學。化學家一開始的推理並不明確，直到拉瓦錫展示了如何用平衡的概念來檢驗各種化學理論，於是化學一下子變成了精確無疑的科學的一個典範，所以我們經常把它與光學、熱學、電學等等量齊觀。然而，後幾門學科主要是對普遍法則的研究，而化學則僅限於研究某一類物質的關係與類別。所以，化學實際與植物分類學、動物學屬於一類。不過，與這些學科相比，我們可以明顯發現化學從量化處理中獲得的優勢。 就算是最簡單的量化標準，比如礦物學家用來區分硬度的標準等，都有一定的作用。單單是計算出雌蕊和雄蕊的數量，這種簡單的方式就足以讓植物學脫離混亂的狀態。不過，數學處理方法的優勢更多地來自測量而非計數，更多的來自連續的量而非離散的數。數字只不過在我們的思維中建立了一個準確的量，雖然有一定的好處，但極少能發展成崇高的思想，更多地是化成了一些平淡無奇的東西。培根所說的兩個派別，一個注重差異，一個注重共性，對數字的使用可能只對數字較少的一方有所幫助，而對其過分使用又會導致思想變得狹隘。但不管通過何種方式追求精確，「持續的量」這個概念都有很大的用處。它本身就是最精細的歸納工具，絕無放大差異之虞。若一位博物學家要研究某一物種，他會搜集許多類似的標本。經過仔細的觀察後，他會發現其中一些在某個方面有相似之處。例如，它們可能都有一個S形的標記。他發現，這些標本並不是完全相似，比如它們的S形標記可能形狀並不是完全相同。不過，由於這些差異我們可能會發現，這些標本的任意兩個之間都存在某種模式，在它們之間建立聯繫。然後他發現其他的模式可能差異非常明顯，例如有的標記可能是C形的。問題是，他是否可以找到在這個標記和其他標記類型之間建立聯繫的中間項。在某些情況下，有些起初他覺得不太可能實現的，但最終卻是成功的；而有些起初覺得可能的，最終卻沒有找到。這樣，他從自然的研究中就問題的特徵建立了一個新的概念。例如，他獲得了這樣的觀點：一片葉子中包含花朵的各個部分，椎骨中包含頭骨。我也不必解釋其中的邏輯動機。這就是博物學方法的精髓[27]。用這樣的方法，他先後得出不同特點，最終得出某個動物種群的概念。一個種群中個體的差異無論有多大，都有一定的局限，這裡我們也不會再多涉及。隨後我們也會討論完整的分類方法，但是目前我只想指出，博物學觀念的構成是通過持續性的觀點或者模式之間的過渡來實現的。目前，博物學家是偉大的觀念構建者，這一點是其他科學領域望塵莫及的，我們也必須在邏輯學中師從他們。「連續性」這一概念能夠極大地幫助形成真實的、合理的觀念，這一點也是隨處可見的。通過這種方法，我們可以將巨大的差異分解開來，在不同程度的基礎上加以解決。不斷採用這種方法對於觀念的擴展有著很大的價值。我建議大家好好利用這一觀點，至於那些因為對其忽略而產生的謬論，已經對哲學產生了很大危害，所以我們應該對其進行更進一步的研究。當下，我希望所有讀者都能對該觀念的使用加以注意。 在數字研究方面，連續性是須臾不可或缺的。就算是在不存在連續性的地方，人們也在不斷地引入這個概念。例如，美國平均每平方英里人口數為10.7人，紐約每棟房屋的住戶人數為14.72人[28]。另一個例子是凱特勒（Quetelet）、高爾頓（Galton）成功地將誤差分布用於生物學與社會學的研究。將連續性用於實際上不存在持續性的實例中，也說明了另一個方面的問題，這裡需要單獨加以說明——虛構有時候也在科學中有著重要的作用。 二 機率論就是量化的邏輯學。對任何前提而言，機率都有兩種必然的情況，即真實的必然情況與虛假的必然情況。在積分演算中，數字1和0就代表著知識的兩個極端。我們大致可以這樣說，兩者之間的數字代表著證據傾向哪一端的程度。一般來看，機率論的問題就是，根據給定的事態，量化地確定某一事實發生的可能性。這就相當於在證明或證否一個事實上，某個事態的價值有多大。於是，機率的問題也就歸約成了邏輯學的普遍問題。 機率是一個連續的量，所以用這種方法來研究邏輯學是有很大好處的。有些學者的研究表示，通過機率微積分的方法，每一個可靠的推理都可以根據有限範圍內的數字，通過合理的算術運算來表示。如果這一點屬實，那麼邏輯學的主要問題，即對某一事實的觀察如何給予我們另一無關事實的知識，就簡化成了算術的問題。這樣看來，在對這個悖論進行更深層次的解讀之前，最好了解一下這個觀點。 不過，機率論的學者在這一方面並未達成共識。在我看來，它應該是數學所有分支中最容易得出錯誤結論的一個。在基礎幾何中，推理往往會得到看似荒謬的結果，但基本不會有錯誤的結論。也許我們會問，是否存在具有廣泛性的機率學專著，其中不存在錯誤的結論。這種探問部分源自對常規方法的需求。由於這一課題中含有太多微妙的東西，因此沒有這類方法的幫助，很難把其中的問題簡單地進行公式化解決。然而在此之外，微積分的基本原則多多少少地存在著一些爭論。對於實用導向的問題，可疑之處相對較少。然而，將微積分擴展到其他領域的工作尚未取得共識。 要想克服上面所說的最後一個難題，唯一的方法就是在腦海中對機率形成清晰的觀點，方法詳見上篇文章。 三 若想就機率形成清晰的觀點，我們需要考慮不同程度的機率之間真實的、可感知的差別。 毫無疑問，機率只對某些推理特別有用。洛克（Locke）對此是這樣解釋的：「注意到這一點之後，一位數學家肯定地認為，三角形中三個內角之和等於兩個直角之和，這是因為他掌握了幾何證據。」他又表示：「但是有另一個人，他從未付出任何努力進行觀察和證明，他只是聽到一位著名數學家的言論，表示三角形中三個內角之和等於兩個直角之和，於是他也表示贊成這一觀點，即作為一個正確的觀點加以接受。在這個實例中，他表示贊同的基礎是該事件的機率，其證據很大程度上會是正確的。接受這個證據的人，通常不會提出任何反對的或是在他所掌握知識之外的主張，尤其是在這種情況下。」洛克的《人類理解論》（An Essay Concerning Human Understanding）中包括許多類似的段落，這些段落完成了最初幾個步驟的深層次分析，但並未做進一步的發展。本文集的第一篇說明，推理是否有效與人們是否傾向於接受它無關，無論這種傾向有多麼強烈。然而，普遍的事實是，如果論證的領域為真實的，則與之相關的結論也為真實的。值得注意的是，從邏輯學看來，任何一個論證都不能被孤立地來看，而是要放到由同樣的方法構建起來的論證「類」中來看，也就是若前提為真結論也必然為真的論證。一個論證如果是演繹的，那麼它就永遠為真；如果是或然的，那麼就是在大多數情況下為真。如洛克所說，或然性的論證「大部分為真理」。 根據這一說法，不同機率程度之間真實的、可感知的差異就是，在對兩種不同推理模式的經常性運用中可以發現，某一程度比另一程度更經常地具有真實性，這也就是區別的意義所在。很明顯，這是事實中唯一存在的差別。在某些前提下，一個人得出了某個結論，只從推論本身出發，唯一有意義的問題就是結論是否為真，存在與不存在之間是否存在某種中間項。巴門尼德（Parmenides）曾說：「只有存在是存在的，而非存在是完全不存在的。」這一觀點與我們上一篇文章對「真實」這個概念的分析完全一致。我們發現，真實與虛幻之間的差別在於，充分的研究是否會讓某個觀點被普遍接受，而其他觀點均遭拒絕。這一預想關乎現實和虛幻的概念，需要將二者完全分離。這也屬於人類思想中非黑即白、非天堂即地獄之類的問題。然而，長遠看來，機率論的觀點還以某種固定比率與某個事實對應，給定的某種推理模式有時有效，有時則不然。我們接連不斷地進行某種類型的推理，在最初的十幾個或幾百個實例中，成功的比率可能有著極大的波動性。但是，如果有成千上萬個案例，波動就變得越來越小了。只要我們能夠儘量將推理持續下去，這個比率就會愈發貼近某個固定的限值。因此，我們也許就可以通過實例的比例來對某種機率進行定義。 從前提A到結論B的推理依賴於相應的主導原則。如果A中的某個事實是真實的，則B中的事實也是真實的。這種機率由某種分數組成，分子是A、B均成立的次數，分母是A成立的次數（B不考慮）。就算不稱其為推理機率，我們將其稱為「在A發生的情況下B也發生」的機率是不會有人提出異議的。而對於B的機率，條件里沒有給出，在這裡也就沒有意義。的確，當條件真正的含義十分明顯的時候，我們也容許省略的情況。但是我們應該儘量避免這樣的習慣（該習慣是非常普遍的），因為這樣會導致思考的模糊。就像某種帶來因果關係的行為要麼決定某事件的發生，要麼決定它不發生，或者是讓它要麼更輕易地發生，要麼輕易地不發生，從而於發生[29]這個概念產生某種內在機率。我認為很清楚的一點是，在機率論的運用中出現的那些最糟糕的、最持久的錯誤都是源自這個表達[30]的惡性循環。 四 不過，還有一個關鍵的問題需要澄清。根據我們的討論，機率的觀點從本質上看屬於一種可以無限期重複的推理。就單獨的某次推論而言，要麼全對，要麼全錯，無所謂機率。單次實例沒有機率可言。如果一個人要在有25張紅色卡片和1張黑色卡片的一疊卡片中抽取卡片，或是從有25張黑色卡片和1張紅色卡片中抽取卡片，且如果抽到紅色，他就會獲得幸福，而抽到黑色則代表不幸，那麼他當然應該從紅色卡片較多的一疊中抽取。不過，因為不能重複，所以依然存在著風險。這一點與我們之前談過的機率論是很難調和的。然而，就算他選擇了紅色多的那一疊，最後還是抽到了黑色，又該如何寬慰他呢？他也許會說，自己完全是按理行事，但是在他身上，道理仿佛還是成了無用的東西。而就算他抽到了紅色，也許還是會當成一次幸運的意外。倒不是說如果他從另一疊中抽取，他就會抽到黑色，因為「如果A，那麼B」這種前提對於單個實例來說是沒有意義的。真理在於真實的前提所對應的事實。與「如果A，那麼B」這個前提對應的事實也許是「只要A發生，B就會發生」，但是在我們的虛構實例中，只考慮這個人的話是沒有可比性的，「他如果從另一疊中抽取，就會抽到黑色卡片」這種說法就沒有依據。的確，有效的推理離不開真實的前提，如果前提屬實，結論也就屬實。唯一與這種前提對應的事實是：只要前件A為真，則後件B也為真。就此而論，從個別實例中進行推理是沒有意義的。 這些想法的出現首先是為了排除上述的難點。然而，窮舉是做不到的。比方說，如果我們試驗一千次，然後把成功和失敗的比例得出來，那麼這很有可能就是大機率的結果。但是，如前所述，這不過是說：機率的結果遲早會顯示出來而已。 在人的一生中，或然事件的數量、可能的推理數量是無窮的，於是人無法完全肯定最後的結果會與機率一致。那麼，即便我們把所有已經發生的或然事件都考慮進來，他也不能肯定一定不會失敗，而他的境況與之前相比也不會有什麼質的變化，最多是量的變化。機率論中毋庸置疑的一點是久賭必輸。就算他採用了鞅的方法（有些人覺得這種方法是不會出錯的），而據我所知，這種方法通常不允許在賭場中使用。在這種情況下，他首先賭1美元，如果輸了就要賭2美元，再輸了就是4美元，然後是8美元。之後他如果贏了，就一共輸了1+2+4=7，贏了1美元。他無論輸了多少，只要贏了一次，就會比最初的時候多得1美元。用這種方法，他一開始也許會贏，但是最後總會有用盡運氣的時候，沒有錢再抵押，於是不得不放棄所有的賭注。可能還沒等到贏得足夠的錢，他就開始輸了，然後變得比開始的時候還要窮。這個情形是一定會發生的，不過是早晚而已。的確，不管賭注有多大，只要銀行付得起，他總是有機會贏到手的。但是，這會導致一個著名的悖論：儘管他最後一定會失敗，根據通常規則（這種規則沒有考慮他必然會輸的情況）看，他預期能獲得的價值仍然是很大的。然而，不管這個賭博者使用這種方法還是其他方法，可以肯定的是，只要他持續的時間夠長，失敗就一定會出現，之前贏到的全部也就付諸東流。 對於保險公司來說也是同樣的情況。他們會努力規避所有的重大災難，但精算師依然會告知主管，根據機率論，損失總會發生。他們可以藉助一些巧妙的手段平安渡過危機，但是之後他們的起點會比之前更為薄弱，然後很快損失會再次發生。精算師也許更傾向於否認這一點，因為他知道，自己供職的公司期望值很高，或者說（忽略利率）可能是無限的。然而對於期望值的計算可能不會考慮我們上述提到的憂慮之處，因為它很可能帶來極大的反轉結果。不過，我並不是說保險在這一方面與其他業務相比就具有了很大的缺陷。所有的人類活動都與機率有關，類似的事實也隨處可見。如果人可以長生不老，那麼一定會有一天，所有的信念都變成背叛，讓人深陷無望的痛苦之中。和財富消失、朝代瓦解、文明隕落一樣，曾經的輝煌只會變成今天的幻滅。為了避免這種情況的發生，我們就有了死亡。 但是如果沒有死亡，活著的人身上會發生什麼呢？無論如何，死亡一定會發生在部分人的身上。同時，死亡也讓或然事件、或然推理有了一定的限度，讓平均數實際上變得不可知。機率和或然性推理建立在數量無窮大的基礎上。於是我們遭遇了和過去一樣的難題，難以找到解決的辦法。在我看來，似乎我們都受到了這種觀點的驅使，即邏輯無情地要求我們不能把興趣局限在自己身上，而要擴展到所屬的群體；甚至也不能局限在群體上，而要擴展到一切我們能夠直接或間接地發生思想關聯的事物上。我們的視線必須超出當前的地質時期，要越過一切界限，不管我們的視線多麼模糊。我認為，一個人如果不能為了世界的利益而犧牲自己，他就不是一個懂邏輯的人。邏輯是紮根於社會原則中的。 一個講究邏輯的人不可以是自私的。他不像別人想像的那般自私。有意地實踐自己的願望並非自私。守財奴並不是自私，他的錢財並不會給他帶來任何好處，他在乎的是自己死後這些錢會帶來什麼。我們總是在談我們在太平洋上的產業領地，談論我們這個國家的命運，從不談及個人利益，顯得我們把視野放得更加遠大。我們也會焦慮地討論，幾百年後煤炭資源很可能耗盡，上億年後太陽可能也失去了光輝。許多宗教信條中也都離不開捨生取義、為救贖他人而下地獄的佳話。 就邏輯學而言，一個人做出自我犧牲的英雄壯舉，未必需要這種做法符合邏輯，而只需要他認識到這種壯舉具有可能性。他只要能參照這個標準看待自己的推理，這一推理就可以被視為具有邏輯的思想。 這種方式讓邏輯性變得簡單易懂。有些時候，我們可以在自己身上實現英雄主義。一個冒著危險爬上牆壁的士兵一定知道他很可能會被子彈擊中，但他並不在乎。他也知道，如果自己所在的隊伍一起衝鋒進攻，也許就會拿下這個要塞。我們之前例子中那個抽牌的人，他如果不懂邏輯，卻從紅色多的那一疊中抽取，這也許僅僅只是一種習慣。他如果懂得邏輯，而關心的僅僅是自身的命運，那麼也不能被看作一個講究邏輯的人。他如果考慮了所有可能的狀況，看待每一種情況都不會有偏心，他才能以邏輯的方法行事，從紅色的那一疊中抽取卡片。因此，儘管邏輯學家不一定能完成英雄壯舉，但是為了堅持邏輯，也會去模擬這種勇氣帶來的效果。 然而，所有這些都需要我們對個體的利益與無限集體的利益有所認同和了解。當前，認為人類或任何高等智慧的種族會永存，這種想法是無理可循的，後面我們也會對這一點加以討論。而從另一方面來看，我們也找不到反對的理由[31]。幸運的是，根據總體的要求，我們應該持有某種觀點或感情，也沒有什麼事實可以阻止我們懷有某種希望，那種平靜愉悅的希望，希望這個群體可以一直存在下去，不受任何規定日期的制約。 我提出將無限群體的利益、認同這種利益至高無上的可能、對思想活動無限延續的希望這三個方面作為邏輯不可或缺的要求，可能有些奇怪。然而，我們不妨想一想，邏輯依賴於擺脫疑惑的努力，而在行動無法進行時，情感便會開始發揮力量。此外，我們之所以要依靠推理來擺脫疑惑，唯一的原因是其他方法不符合我們與他人交往的衝動。那麼，在推理中發現社會的根源又有什麼好奇怪的呢？對於我認為必要的另外兩種觀點，它們僅作為支持和附屬品存在。讓我覺得有趣的是，這三種觀點似乎與「信、望、愛」十分相似。聖保羅認為，這三個要素是最偉大、最高尚的思想天賦。《舊約》和《新約》都不能被看作邏輯學的教科書，但顯然後者在評判人的天性稟賦方面具有較高的權威。 五 我將這樣的平均數字——例如每平方英里的居民數、每周的死亡人數、每個刑事案件的定罪數，或者用更一般的說法，每個y的x——稱為「相對數」（relative numbers）。此處的x是一類事物，它們與另一類事物，也就是這些x的y，存在著關聯。我將x稱為「相關群體」（relate），而將y稱為「相關項目」（correlate）。 機率是一個相對的數字，也就是在某一類事物中另一類事物成立的比率。從這一點可以輕易地得出計算機率的規則。由於這些規則非常簡單，我們可以在此進行羅列。有時，掌握一些基礎的計算法則是很有用的。 規則1：直接計算——直接計算任何相對數字，例如有軌電車旅程中的平均乘客數等。我們要通過以下方法進行計算。 數出每次旅程中的乘客數目，將這些數目相加，再除以旅途次數。有些情況下，我們也可以簡化這個規則。假設我們想知道紐約某住所中的住戶人數。一個人不可能同時居住在兩處住所中；如果他有兩處住宅，則在每一處都算半個住戶。在這種情況下，我們只需要用紐約所有居民人數除以他們的住宅數即可，不需要分別去數清每所住宅中的人數。如果每個「相關群體」中的個體只能擁有最多一個「相關項目」，那就都可以採取類似的方法。我們如果需要知道每個y中x的個數，且沒有x同時屬於兩個或兩個以上的y，那麼用y中所有x的數量除以y的數量即可。如果用這種方法去計算每次有軌電車旅程中平均乘客的數量，那就肯定是無效的。我們不能用總乘客數除以旅程數，因為有很多乘客可能會往返多次。 要從給定前提類別A和結論B中計算機率，只需要確定前提正確和結論正確的比例，也就是只要用A和B同時發生的次數除以A事件發生的次數即可。 規律2：相對數之和——若兩個相對數字有著相同的關聯群體，例如求每個y中x的數量和每個y中z的數量，我們需要統計每個y中x和z的總數。如果沒有x和z屬於同一個y的情況，則這兩個數字之和就是所需答案。例如，假設我們已知一個人平均有多少個朋友以及平均有多少個敵人，則二者之和就是對一個人有利害關係之人的數量。而從另一種情況來說，如果將體質虛弱的人數與超過兵役年齡的人數相加，以獲得享受兵役豁免的平均人數，這是不可行的，因為有許多人同時享受兩次或更多次的豁免。 這個規則直接適用的機率是，兩個不同的且相互獨立存在的事件有可能在同樣的一系列情況下發生。例如，已知「如果A那麼B」的機率以及「如果A那麼C」的機率，則兩種機率之和是「如果A那麼B或C」的機率，只要沒有同時屬於B和C的事件即可。 規則3：相對數之積——假設我們已知每個y中x的相對數字，以及每個y的x中z的相對數字；或者舉個更加準確的例子，假設我們首先已知紐約家庭中孩子的平均數量，之後我們又知道了一個紐約兒童牙齒的平均個數，於是通過這兩個數字，我們可以得出一個紐約家庭中孩子牙齒的平均總數。然而，這種方式有兩個限制條件：第一，如果同一個孩子同時屬於不同家庭，那麼結果就不準確了，因為這樣的孩子牙齒數量也許會格外多或格外少，從而影響一個家庭中孩子的牙齒平均數量。這種影響要大於對每個孩子平均牙齒數量的影響。第二，如果不同的孩子可以共用牙齒，這種計算也不屬實。在這種情況下，單個家庭孩子牙齒的平均總數會與一個孩子牙齒的平均數量有很大差異。 使用這種機率法則，我們必須根據以下條件進行：假設我們已知前提A帶來結論B的機率，B與A代表某種類型的前提，我們還已知以B為前提的推論的機率，以及結論C的前提，這就是所需的信息。首先，我們有了每個A中B的相對數量，之後我們也有了每個B中C的相對數量。然而，這兩類前提是經過挑選的，所以C在B中的總體機率與C可以從A中推導出的B的機率一致。兩種機率可以相乘，來給出C在A中的機率。加法中的限制條件依然存在。從A類事件幾種不同命題下會得到B類事件命題，也有可能B從A中得出的機率會受到B類事件命題的影響。但是，從實際的角度看，這些限制條件幾乎不會帶來什麼後果，並且人們普遍認為存在一條通用的機率原則，即「如果A那麼B」的機率乘以「如果B那麼C」的機率，得出的就是「如果A那麼C」的機率。 機率乘法能發揮很大的作用，但還有一條輔助的規則。這條規則並非舉世通用，而且用時必須非常謹慎，有兩方面需要注意。首先，涉及重大失誤時不要使用。其次，如果有機會可以使用的話，不要錯過。該規則基於以下事實：「如果C為真則B為真」的機率與「如果C為真則A為真」的機率大體一致。舉個例子，假設我們現在知道紐約每年出生的男童平均數量，又知道紐約每年冬季出生的男女童平均數量，我們就可以推斷，這至少是一個很近似的命題（對於機率學來說沒有完美的估算），即在紐約出生的男童比例與在紐約夏季出生的男童比例相同。因此，如果將一年之內出生的所有孩子的名字放入一個罐子中進行抽取，我們可以將抽中男童名字的機率和抽中夏季出生的男女童名字的機率相乘，就可以知道抽中夏季出生的男童的機率為多少。在許多論述此問題的相關論文中，這樣的機率問題通常與抽籤遊戲和紙牌遊戲等聯繫起來。在這些情形下，「事件獨立性」的概念非常簡單，也就是在假設A和假設B的前提下，C發生的機率相同。但是，機率在解決日常生活的問題時，有一個很值得我們思考的問題，即兩個事件是否可以有足夠的證據被認為是獨立的。在紙牌遊戲中，為了保證牌之間沒有關聯，牌一定要洗開。然而，實際情況是，牌很少有完全洗開的時候。因此，在惠斯特紙牌遊戲中，一共有四種花色，同花色的牌可能還是會排在一起，哪怕已經洗過牌了。或者說，至少有一些牌沒洗開的痕跡。比如，所謂「短套花色」[32]的數量比正確估算的要少，也就是說，由於洗牌分牌不均導致「長套花色」數量增加。所以，當一副爛牌被充分洗過時，我們通常就會說下一把會有很多「短套花色」了。幾年前，我有一個很喜歡玩惠斯特紙牌的朋友，他曾經計算過在165手牌中他被發到黑桃的數量。在這一樣本中，洗牌徹底程度肯定至少超出了平均水平。最後根據計算，我朋友本應拿到3張或4張黑桃的數量為85手，但實際上他拿到了94手，這個例子說明了洗牌不徹底的影響。 以上就是機率計算的全部基本原則了。但還有一個原則是從人們對機率的不同理解中衍生出來的，這在一些論文中也提到過，如果最後被合理論證的話，那麼很有可能成為一個推理理論的基礎。雖然我個人認為這很荒謬，但對此進行的思考卻有可能把我們帶向真理。正是由於討論這個話題的緣故，我才在學習科學邏輯之初就提前向讀者介紹了機率理論。