認識與謬誤 · 第十九章　數和測量

第一節 科學知識起源於在對象或感覺要素的相對穩定的複合中發現某些反應或反應群A和B之間的關聯。例如，如果我們發現，由葉和花等等的某種形狀和位置（反應A）系統決定的植物的種，此外顯出某些受刺激的運動即向他性和向日性現象（反應B），那麼這便構成了自然科學中的發現。不顧簡化的分類術語的發展，通過排除誤解的記述把這樣的知識固著在可交流的形式中，依然是一項尷尬的事務。相同的尷尬也在與植物種密切相關的行為的記述中自我重複，這將再次具有許多必須特別留意的獨特性。在考慮這些個別特徵時，甚至更困難的事情在於，用綜合性的記述確定較廣泛的洞察群。對於胎生的哺乳動物群來說，依然可以證明共同的生理的和解剖的反應，諸如較高的血液溫度、通過肺呼吸、雙循環系統等等。然而，如果我們就「哺乳動物」考慮一下有袋動物、單孔目動物、卵生動物、鴨嘴獸、食蟻動物巨大的解剖的和生理的差異——它們在其他方面完全接近「哺乳動物」，那麼我們明確認識到，要用綜合性的記述傳達動物學發現的廣泛的群是多麼困難。因此，要針對某些環境條件從細胞的特徵和胚原基細胞的配置推導發展和生命循環，這個目的至多能夠被看作是在遙遠的距離徘徊的理想。 第二節 在物理學中，圖像似乎與剛剛勾畫的圖像形成顯著的對照。如果兩個重物從繩子末端掛在滑輪上，那麼我們只需要用若干較小的重物代替每一個，就能夠說由較多數目的較小重物組成的重物將阻止另一個重物。如果重物由槓桿的不等臂懸吊，那麼我們可以把它們的長度分成較小的相等部分，形成每一個臂和相應的重量的數之積：槓桿在較大乘積的一邊失去平衡。因此，特定事實的記述容易從計數能夠把分量項目分割的相等部分得到。這樣一來，在該領域（比如說，槓桿的領域）的所有案例的差別僅僅在於有關特徵的單位的數目，從而是如此相似，以致我們能夠容易地通過指明從這些數推導或計算的結果的恰當法則而給出綜合性的記述。為此理由，對於相當廣泛的事實範圍，綜合性的敘述將是可能的，例如對於整個力學藉助功的概念。相似地，自由落體或折射能夠通過表上計數和記錄的結果以最簡單的形式記述，對這樣的表幸運一瞥可能導致人們發現代替它們的簡明的推導法則。空間、時間和強度的大小的分度可以依據任意小的相等部分藉助計數（測量）實施。這能夠使我們把可測量的東西視為由任意小的要素（「無窮小」）構成的，並把它們的進程還原為在無限小的時間間隔內的無限小的要素的行為。就此而言，我們能夠以微分方程的形式建立普遍的計算法則。少數這樣的方程在原則上足以描述力學、熱力學、電動力學等等中的所有可以想像的事實。當然，這些方程的應用也能夠在特例中呈現出顯著的差異。在上面提到的生物學領域中，類似的步驟迄今還做不到。化學迄今僅僅部分地服從定量的處理，像化學這樣的領域處在兩個極端之間的中途。 第三節 如果定量的反應abc顯現出與另一個hlm聯繫在一起，那麼這個反應充其量能夠被注意到，並用語言確定下來。對另一對定量反應def和nop而言，情況也一樣。即使兩個事實是接近的，要使它們在單一的表達下就範，一般而言也將是困難的。然而，我們要是越廣泛地把定性的差異化歸為定量的差異，則就範將是比較容易的。例如，把定性的化學分析的事實與物理化學中的相律比較一下。在較近的距離內，我們注意到，定量的調研只不過是定性的調研的特殊而相當簡單的例子。例如，物理學與生理學相比達到較高的水平，僅僅因為這處理較簡單和較容易的問題，因為這些問題更多地屬於一個類型，以致用綜合表達較為容易給出它們的答案，事實上，計數描述是可以想像的最簡單的描述，並且能夠藉助預先掌握的數系，在不需要任何新發明的情況下，被推進到任何程度的精細而準確的區別。數系是一個具有不可窮竭的微妙性和廣度的術語，迄今在明晰性上依然未被任何其他術語超越。而且，藉助計數，任何數都能夠從任何其他數推出，這恰恰是使數如此極其適合於描述相依的東西。特定的依賴僅僅由於可計數的東西而相互不同，考慮到這一點，我們同樣達到更普遍的綜合的相依法則。使用定量特徵的這些明顯的好處，必定激勵我們考察，為了把所有調研逐漸地簡化為定量的調研，對於可以與定性方面相關聯的定量方面是否可能。於是，顏色的質變為折射率和波長，聲音變成頻率等等。它們中的一切都是定量特徵。 第四節 而且，定量調研具有優於定性調研的特殊長處，在這裡我們希望確定在感覺中給出的它們相互依賴的要素，這是我們身體外部的依賴，因此，在最廣泛的涵義上屬於物理學。為了使這些依賴變得純粹，我們必須儘可能地排除觀察者的影響和在他內部的所有要素的影響。通過下述事實可以達到這一點：所有測量僅僅在於比較什麼在質上是相像的，在於注意什麼是相等的和什麼是不相等的，從而把諸如部分地依賴於觀察主體的感性知覺的質從作用中除掉。內省心理學起初無法消除定性特徵，測量概念迄今在那裡幾乎沒有任何意義，但是通過把它建立在生理學上並間接地建立在物理學上，心理學家可以在未來改變這種事態。 第五節 讓我們現在嘗試從心理學的角度闡明，數的觀念和概念如何起源於直接的或間接的生物學的需要。比如說，還沒有獲得計數概念的兩三歲之間的兒童立即注意到，是否在未觀察的時刻有人從一小群同類硬幣或玩具中取走某個東西，或者是否把某個東西添入其中。甚至動物無疑受到生命需要的驅使，例如就內容辨認小群相同的果實，偏愛較大的而不是較小的。數概念的起源正在於精煉這種分辨能力的需要。在不喪失對成員的一般觀察和個體性的情況下，能夠把越多的成員收集到群中，我們將越多地重視這種能力。首先，兒童駕馭2，3，或4的群。在空間和時間中的鄰近可能有助於形成群，而空時位置的差異可能制約區分成員的過程。第一個數的觀念這樣出現了，按照環境的影響具有或沒有名稱。這些觀念通過視覺、觸覺和聽覺，在最後的情況下通過注意到節律而得以發展。由於在對象變化時我們用數的觀念工作，我們利用數的名稱被導向獨立於對象本性的反應的一貫活動之觀點，即被導向數的概念。為了得到相當大的群的數的明晰觀念，我們把它們排列到清楚有序的、已經熟悉的部分之中。這一形成史具體體現在亞述人、埃及人、墨西哥人、羅馬人和其他種族的數的符號中。我們的撲克牌和骨牌也證明了這個歷史。因此，我們必須通過用清楚有序的和細分的方式描述對象群本身，帶領初級學校的孩子沿著全體原始人自發地選定的同一道路前進。不過，這種維持一個群中成員的數目的明晰觀點的策略，並沒有把我們帶到遠處。 第六節 撇開這種使群的成員有序化的策略不談，另一種方法會被人接受：人們把被審視的群的每一個成員分配給我們十分熟悉的對象群的成員。原始人利用他們的手指頭，有時也利用腳趾，作為這第二個群。在兒時，我們也使用這種原始的手段，通過檢查這些十分熟悉的對象，以增強我們的數的觀念。如果此時在協調的過程中我們叫出手指的名字，而且我們完全非故意地、從純粹的習慣出發，總是以相同的秩序貫穿它們，那麼手指的這些名稱通過頻繁的使用失去它們原有的意義，變成數詞。由於固定的秩序，最後的名字決定了全體的內容，即被協調的、被計數的群的成員的數目。這就是數詞的起源，人類文化史表明了這一點。當人們數朋友或敵人的數目時，或者分配戰爭的劫掠品或打獵的全部獵物等等時，往往足以出現這種發展的需要和誘因。 第七節 藉助小小的和明顯的策略，能夠把該方法或協調給予不受限制的應用範圍，即通過把十的群算作較高的群的成果，把十個這些群算作更高的群的成員，如此等等以至無窮。同樣地，能夠把任何成員看作是十個較小的相等成員的群，當計數（測量）像長度這樣的無限可分的量時，這是一個明顯的步驟，但卻是能夠設想在任何地方起作用的步驟。 第八節 設群A和B的每一個都是由相同的成員組成的。把B的成員分配給A的每一個成員：若這窮竭二群，則我們說它們具有相同的容量，或更簡明地說它們是相等的。若在A未被窮竭時而B被窮竭，則A的容量大於B的容量。我們把數命名為我們藉以就容量決定相似的成員的群和彼此區分它們的概念。在數概念代替數觀念的地方，對於即時的直覺不存在進一步的需要，而僅僅對潛在的直覺有進一步的需要。數概念能讓我們使群的容量至少變成間接地直觀的，這無論在何處可能是必要的，我們要準備作出努力。是否必須把基數或序數看作心理上或邏輯上原始的需要，我們在這裡不關心這個學術上的爭論。在任何情況下，都不可能選擇在事件後形成的這些系統之一，因為它對文化的發展來說毫無例外地是決定性的。小的數目的名字無疑可以在沒有排序原則的情況下產生。然而，在數超過了直接直覺的地方，這樣的原則對於形成數的概念是必不可少的，即使未明確地提到它。如果我們計數是恆等的對象、或者對我們而言被認為恆等的對象，那麼我們把作為差異記號的數詞附著於在其他方面幾乎無法區分的對象上；但是，倘若這些名稱還不是簡單的和十分熟悉的排序記號系統的一部分，那麼我們將立即再次失去對它們的控制。正是排序原則，由於每一個數藉以潛在地包含每一個在先的數的觀念，同時明確地揭示出它在系統中兩個確定的數之間的位置，因此它與通常的名字相比有助於數的巨大優越性。每一個按字母順序的登記、書的頁碼、每一個按數目排列的存貨清單等等，都清楚地給我們以迅速取向的順序之值的印象。 第九節 數常常被稱為「人類精神的自由創造」。在這個短語中所表達的對人類精神的讚美是足夠自然的，因為人類精神給出算術的莊嚴結構。不過，如果我們追蹤一下這一創造的本能的開端，並考慮一下產生對它的需要的環境，那麼對理解它會有幫助得多。也許這將導致我們洞察到，在這個領域中的頭一批形成物是由生物的和物質的條件無意識地推動的，直到它們已存在並經常證明有用處，它的價值才能夠被正確評價。只是在理智受到這樣的相當簡單的形成物訓練後，它才能夠逐漸地產生出比較自由和有意識的發明，以迅速地適應目前的需要。 第十節 社會交流和貿易、買和賣，都要求算術的發展。原始文化使用簡單的器具或計算機器便利它的計算，例如羅馬的算盤或中國的算籌，這經由俄國變得為人所知，並在我們的初級學校生根。所有這些器具使對象符號化，以像藉助小的可動物體、小鈕扣、小球或其他標記計數；這些標記而非重物，是人們用以操作的項目。數十、數百等等的群被特殊的標記代表，這些特殊標記具有在器具中賦予它們的特殊器件。如果我們採取在某種程度上比較自由和比較廣泛的器械（或輔助器具）的概念現，那麼我們認識到，我們的阿拉伯數字或印度數字及其清楚的十進記數法——在這裡碰巧無代表的群用零表示——本身就是計算機器，是能夠在任何時候藉助鉛筆和紙建造的計算機器。這進一步減輕了我們的注意，因為數字把我們從計數群的每一類的成員的麻煩中拯救出來。 第十一節 現在，在社會交往中產生了形形色色的任務。例如，出現了把具有相似成員的兩個或多個群結合為單個群並給出它們的數的需要，即出現了加法問題。最初的解決無疑在於數遍被結合的群，不管單個群數過還是未數過。事實上，兒童對於小的數還這樣做，在這樣獲得計數經驗時，他們通過添加數個單位、數十個單位等等應用於加較大的用十進制寫出的數，並擁有較高階的合成的單位。這個簡單的例子足以表明，運算在於用先前實施的計數操作儘可能簡單地代替直接計數從而省卻它，在於針對這樣的操作利用已獲得的經驗。運算是非直接地或間接地計數。設想我們必須加4或5位數，我們首次用直接計數進行，然後用慣常的法則進行，我們認識到，用後者大大地省卻了時間和精力。實踐生活的任務同樣快地引起了減法、乘法、除法等問題，人們能夠再次表明，這些問題是利用先前的經驗簡化和縮短計數的案例；我們願抑制進一步的細節。 第十二節 物質環境對於算術概念的發展並非像時常設想的那樣單純。如果物理經驗沒有告訴我們存在著恆等的、不可改變的和恆久的對象的多樣性，也沒有告訴我們生物學的需要迫使我們把這些對象匯集成群，那麼計數也許是沒有目的感的。如果環境像在夢中那樣在總體上是非恆久的、在每個時刻不同的，那麼為什麼計數呢？為了確定較大的數，如果直接計算在實踐中由於所需要的時間和精力並非不可能，那麼運算或間接計數的發明從來也不會把它們強加於我們。通過直接計數，我們僅僅注意到在直接的感性知覺中給予的東西。由於運算是間接計數的形式，因此它不能告訴我們有關感覺經驗範圍的任何本質上新的東西，實際上不能告訴我們從直接計數中能夠獲悉的東西。那麼，數學為何能夠為自然規定先驗的定律呢？事實上，它必須把它自己局限於證明運算的結果和起點之間的一致，同時在這一過程中利用與數學家本人的排序活動有關的經驗：充分把握這種活動依然是極其有價值的，而且繼續從各個角度闡明事實。 第十三節 算術的最初開端是在為實踐生活的服務中發展起來的。當算術變得對生活有特別的要求時，便導致進一步的進展。不得不頻繁地進行相似運算的人在這方面獲得了特殊的眼力和能力，將最樂於考慮如何簡化和縮短他的步驟。於是，出現了代數，代數的符號不代表特殊的數，而寧可說把注意力轉向操作的形式。代數一勞永逸地解決了所有在形式上相似的操作，只留下在用特殊的數運算時的剩餘努力。代數定理、實際上一般而言數學定理，也總是表達排序活動的的等價。這對於表達二項式定理的方程的兩邊的例子也有效。如果我們在二次方程旁邊寫出根的公式，那麼我們便確定兩個操作的等價，恰如通過把微分方程和它的積分放在一起一樣。順便說及，數學的符號語言再次是一類減輕大腦負擔的機器，我們容易地和經常地依靠它完成在其他方面會使我們精疲力竭的符號操作。此外，數學書寫符號是成功的萬國語中的最漂亮、最完美的範例，儘管它應用於受限制的領域。 第十四節 對等價對象的群的考察直接把我們導向整數的概念。如果對象是可以分為相等部分的個體，那麼僅有整數就能夠恰當地用來計數它們。然而，作為綜合的乘法的對立面之分析的除法，導致我們在特例中把分離的對象或單位分割為分數，這當然僅僅對可分的單位才有意義；或者像求根這樣的純粹算術的操作，作為自乘冪的綜合過程之對立面的分析的操作，導致杜撰無理數，這種數完全不能由有限的計數操作來決定。即使像加法和減法這樣的最簡單的操作，也為新概念的形成提供了誘因。操作7＋8總是可執行的，8－5也是如此，但是，如果我們正在處理等價的對象而無相對的特徵，那麼5－8包含不可能的要求。不過，只要上述的單位處於諸如貸方和借方、向前數步和向後數步等等的對照之中，這最後的操作很快變得可能了，並獲得可理解的涵義。就這樣，我們得到正數和負數對照的概念，它們用通常的加法和減法的記號表示，在該操作中需要確定首先呈現出來的這種對照。嚴格地講，我們對此必須使用特殊的符號。關於所標記的數的乘法的記號法則通過下述介紹給出：積（a－b）（a－d）必須與通過插入簡單值m和n代換因子所得的值一致。對於沒有對立面的數而言，這樣的法則沒有意義。事實上，負數和正數二者都有正的平方，這意味著乍看起來負數的平方根必須是不可能的或虛的。的確，它長期以來像負數一樣被看作是不可能的；只要唯一的對照是在正的和負的之間的對照，情況必定依舊如此。沃利斯受代數的幾何應用的指導，首次把 看作是＋1和－1之間的幾何平均值，即＋1：i＝i：－1和i＝ 。在阿岡（Argand）以充分的普遍性精確地闡明它之前，這種觀點或多或少地清楚地數次重現。通過把比例不僅與大小、而且也與方向聯繫起來，他把表達式a＋b　描述為平面上的矢量：從原點起我們沿一個方向走一段距離a，然後成直角走一段距離b。於是，平面的點能夠用複數描述。 第十五節 這樣一來，算術實踐有時導致乍看起來似乎是不可能的分析操作，或者導致在結果上沒有意義的爭端。然而，我們依據較仔細的審查發現，迄今可應用的算術概念經過稍微修正或擴展便消除了不可能性，結果容許完全清楚的詮釋，儘管是在較廣泛的應用領域。當數學家以這種方式被迫違背他們的意願修正他們的概念，並獲知這樣的步驟的價值和優點時，聽任自由的發明更迅速地滿足需要，甚或走在需要的前頭，就變得更為自然了，請目睹一下格拉斯曼、哈密頓（Hamilton）和其他人關於矢量運算發明的例子吧，在這裡數概念是為了適應幾何學、運動學、力學、物理學等等的需要。 第十六節 讓我們也考慮一下把截然分明的概念形成不僅給予無限地增加和減少、而且也給予實無窮的近代嘗試吧。伽利略在他的對話（1638）的第一天提及這樣的悖論：整數的無限集合似乎比平方的集合更大，而後者的一個數都對應於前者的每一個數，以致集合必定是相等的。他得出結論說，相等、較大和較小的範疇並不適合於無窮。這個思考的痕跡可以追溯到古代，它導致 G．康托爾（Cantor）關於集合論的研究。伽利略的例子表明，人們如何可能達到如下的定義：如果一個集合中的每一個元素是另一個集合中的元素且是唯一的元素，那麼這兩個集合具有相同的勢，反之亦然。兩個這樣的集合被稱為等價的。若一個集合等價於它本身的部分，則它是無窮集合。康托爾的研究表明，即使在實際上無窮的領域，恰當地構造排序概念，也能使人們依舊堅持一種概觀。 第十七節 關於數論的邏輯－數學的描述，我們可以提到L．庫蒂拉特（Couturat）撰寫的明晰而有趣的書。我們的觀點符合心理學的和人類學的考慮，這些考慮在任何情況下都是對邏輯方面的必要補充。對主體發展的深入細緻的歷史研究，在這裡可以具有與費利克斯·克菜因（felix　Klein）的著名講演相同的有益效果。 第十八節 在從一開始我們正在處理就我們的實際興趣而言是分立的對像之處，數論的應用是相對單純的。許多探究對象，諸如廣延和持續時間、力的強度等等，都不是即時地來自直接可數的等價成員的群。不用說，存在許多方式把它們分割為等價的可數的成員，對於這些成員中的每一個本身來說也同樣，如此等等，但是必須使分割的極限人為地變得可感知和可區分，直到我們希望在其中止步的分割程度，因此最後單位的大小是任意的和約定的。然而，一旦我們以這種方式作出連續統，碰巧包含在進行的研究中的它的一部分能夠由計數部分、即由達到任何期望的準確度的測量來決定。人為構造的數字連續統是在任何準確性水平上追蹤自然連續統的條件的手段。可是在某處或彼處，我們必須在一個極限上停止，因為感官即使在人為支持時也是不完善的。例如，我們不能以無限的準確性觀察，測量尺度覆蓋被測量的對象，或它們的末端重合。這一相同的不確定性同樣侵染了指明測量被測量的對象和測量尺度之間關係的結果之數值。事實上，相同的缺陷也與算術實際應用於分立地可數的對象有聯繫，因為它們預設的完美的等價實際上從來也沒有被滿足。 第十九節 如果我們不得不把連續變化的物理條件或物理量化歸為量度，那麼我們首先必須選擇比較的對象或測量單位，並擬定如何判斷另一個對象等於標準。倘若在不變的條件下對象能夠相互代替而不損失結果，我們便認為對象在某些方面是相等的。兩個重物相等，只要把它們單獨地和分離地放在同一天平的同一盤子中時，它們引起相同的編轉；兩個電流相等，只要在它們相繼地通過同一不變的電流計時，它們確定指針相同的偏轉；對於磁極、熱的程度和量等等而言，情況也類同。如果把n個等於該單位的重物放在同一盤子，讓n單位的電流通過同一電流計導線（或通過閉合的相鄰導線）等等，那麼，若該單位是完全可以相互交換的，則結果僅僅由數值的度量n決定。 第二十節 如果藉助數值量度確定了一系列相似的物理案例的決定性的條件，那麼我們往往能夠藉助簡單的推導法則、以對於描述事實來說充分的準確性，來描述它們相互依賴的方式。諸如折射定律、波意耳氣體定律、畢奧－薩伐爾（Savart）定律這樣的例子，都說明了這一點。當這樣的定律一旦已知，它們常常能夠在直接測量是困難的或不可能的地方促進間接測量。例如，連續地改變光源的強度是困難的，但是依據距光源等距離的、成直角被照明的兩個接近的等面積的相等照明亮度，用眼睛判斷兩個光源相等則是容易的。如果現在我們能夠表明，一個光源成直角地照明的面積恰恰像另一個相等的照明面積一樣亮，而後者準確地收集的等於第一個的4，9，16……倍而卻處在2，3，4……倍的距離處，那麼能夠把任何照明狀態的測量化歸為確定在相等亮度處的距離的關係，甚至通過眼睛把該測量限定為判斷相等的和不相等的照度。 第二十一節 當我們把來自相似部分的物理探究構成整體時，我們必須總是當心，這種配合是否符合實在的添加物。例如，鑒於較強的光能夠毫無保留地由相似的、獨立的（不連貫的）光構成整體，而且總強度是各部分強度之和，因此眾所周知，在某些條件下，我們對於一個小光源的光不再能這樣做。同樣地，同一音調的幾個音叉的聲音強度一般地不是各個強度之和，除非僅僅在周相重合的案例中。其他這樣的告誡在 W2的PP．39-57中提過了。