蒙台梭利早期教育法 · 第17章 算術入門：數字教學
個體差異是每一個孩子個性特點的體現。有的孩子無動於衷，表面上顯露出勇敢，為的是隱藏失望之情；有的孩子則通過一些下意識的動作將這種失望流露出來。其他孩子則掩飾不住喜悅之情，因為他們發現自己處於一個獨特的位置，這讓他的同伴們非常好奇。
當3歲的孩子來到我們學校的時候，他就已經能夠數二或者三了，因此，他們可以很容易地學會數數，也就是數物體的個數。有許許多多不同的方式可以達到這一目的，日常生活提供了許多機會。比如，當母親說：「你的衣服上面掉了兩顆扣子」或者「我們還要三個盤子」等等。
我最開始使用的方法是數錢。我找到一些嶄新的鈔票，如果可以的話我就會製作一些精美的卡片複製品了，而我曾經在倫敦的一所缺陷兒童學校裡面見過。
換零錢是一種非常吸引孩子注意力的數數方法。我給孩子們1，2和4生丁的硬幣，用這種方法能讓孩子們學會數到10。
沒有什麼其他方式能夠比讓孩子們熟悉日常使用的硬幣更加實際的了。也沒有什麼練習比換零錢更有用的了。正是因為他們與日常生活聯繫如此緊密，所以才大大引起了孩子們的興趣。在嘗試過這種以實際的方式進行數數教學後，我想試試更加系統的練習，就像在感覺訓練當中所使用的木塊那種教學用具，也就是我們在教授長度時所使用的10根木棒。最短的一根長10厘米，最長的是1米，中間的每根木棒相差10厘米。木棒上每10厘米的部分交替著紅色和藍色。
有一天，當一個孩子按照長度順序排列這些木棒時，我們讓他從最短的一根開始數紅色和藍色的記號，也就是：1；1，2；1，2，3；等等。在數每根木棒的時候都要從1開始，從A邊開始。接下來，我們讓他根據每根木棒上面所包含的記號數目來從短到長給每一個木棒命名，要求是從B邊開始，也就是成樓梯等級的那一邊開始。當孩子數最長的一根木棒時，也會得到相同的數字：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。如果想要知道木棒的數量，我們就從A邊開始數，也是同樣的結果：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。這正好與三角形的三邊相對應。讓孩子驗證了自己的記數是否正確，這讓他非常感興趣，他能夠進行許多遍的重複。
現在，我們再把數數練習與前面孩子認識木棒長短的感覺練習結合起來。在地毯上面將這些木棒混合起來，教師從裡面拿出一根給孩子看，讓孩子數上面的標記。比如說5。接下來，教師讓孩子給她在長度上挨著的那一根木棒。孩子通過眼睛來進行選擇，而教師將這兩根木棒放在一起數上面的記號來讓孩子進行驗證。這種練習可以以多種方式進行重複。通過練習，孩子們學會了給每一根木棒命名。我們現在就可以稱呼這些木棒為1號，2號，等等。最終，在課堂上我們可以簡稱為1，2，3等等。
用符號呈現的數字
在這一點上，如果孩子已經知道如何進行書寫，我們就可以將這些數字用砂紙剪出來，然後貼在卡片上，這與教授字母的方法是相同的。「這是數字1」，「這是數字2」，「給我數字1」，「給我數字2」，「這是幾？」孩子們就像在字母教學當中那樣描畫數字。
數字練習。將符號與數量聯繫起來。
我設計了兩個盤子，每個盤子分成5部分。每部分的底面上都有一張貼著數字的卡片。第一個盤子中的數字是0，1，2，3，4，第二個是5，6，7，8，9。
練習很明確，就是要在每個部分裡面放上和數字相應數量的物體。我們給孩子各種各樣的物體，為的是不停變化。但主要是利用大木釘子，因為它們不容易滑落。我們在孩子面前放上這些大木釘，一個大木釘代表數字1，依此類推。當孩子完成之後，就拿給教師以檢驗是否正確。
0的教學。我們需要一直等到孩子們指著寫有0的盤子分隔問：「我要在這裡面放多少呢？」我們回答：「一個也不用放，0就是沒有。」但通常情況下這還不夠，有必要讓孩子明白我們所說的0意味著什麼。為了這一目的，我們利用了一個讓孩子非常放鬆的小遊戲。我站在他們中間，然後轉向其中一個已經進行過這一練習的孩子說：「親愛的，過來，到我這裡來0次。」孩子們幾乎總是到我這裡來，然後又跑回到自己的位置。「可是，我的孩子，你來過了1次，而我告訴你的是來0次。」接下來，孩子就想知道原因了。「可是我應該怎麼做呢？」「什麼也不做，0就是什麼也沒有。」「可是我該怎樣去做什麼都沒有呢？」「你不要做任何事情，你必須靜靜地站在那裡。你不應該過來。0次，就是一次也沒有。」我一直重複這一練習直到孩子們理解。當我讓他們到我這裡來0次或者是吻我0下的時候，他們對於保持安靜感到非常好笑。他們自己經常喊道：「0就是什麼都沒有！0就是什麼都沒有！」
數字記憶練習
當孩子們認識書寫的數字，並且知道這些數字所代表的數值的時候，我就進行如下練習：
我從舊日曆上面將數字剪下來，然後貼在卡片上，疊好放在盒子裡面。孩子們抽出卡片回到座位上，在座位上打開卡片，看完後再將卡片疊好，並且不讓別人知道。接下來，可以讓這些孩子們（一般說來很自然的是班上年齡最大的孩子們）一個接一個或者分成小組，來到教師桌子邊上，桌子上面放有各種各樣的小物體。每一個孩子都根據自己卡片上的數字來選擇相應的物體數目。而與此同時，孩子要將自己的卡片也放在物體邊上，當然是疊好的以保密。在這一過程當中，孩子們不但要在來回走動的過程裡面，而且要在選取物體一個一個數的時候，一定牢牢記住自己的數字。在此，教師就可以對每一個體的數字記憶差別進行有趣的觀察了。
當孩子們拿好了物體之後，就回到自己的桌子上進行擺放。他們要將物體擺放成相等的兩列。如果數字不是偶數的話，那孩子們就要把最後一個落單的物體放在這兩列最下面的正中間，就像圖表所顯示的那樣：十字代表物體，小圓圈代表寫有數字的疊好的卡片。在排列好物體之後，孩子們就等待著教師的檢驗。教師來到桌子前面，打開卡片，讀出數字，然後數物體的數目。
當我們一開始進行這一遊戲的時候，孩子們經常要比卡片上所要求的數字多拿一些，這並不是因為他們記不住數字，而是因為他們想要擁有最多的物體，這是人類貪婪本能的一種體現，而這對那些原始而沒有受過教育的人來說是非常普遍的。這時教師就要向孩子們解釋，告訴他們就是把所有的都拿過來也沒有用，因為這一遊戲的要點就在於拿取卡片上所要求數目的物體。
慢慢的，孩子們開始明白了這一概念，但是並不像一個人想像的那麼容易。這是一種自我否定的努力，這種否定要求孩子們將自己限制在一定範圍之內。比如，當他看見別的孩子拿了許多東西的時候，自己應當按要求只拿兩個。
因此，我認為這一遊戲不但是一種數字練習，而且更是一種意志力的練習。特別是那個抽到0的孩子，他不應該拿任何東西，而同時卻只能眼睜睜地看著其他同伴自由的選取物體。有許多次，0落到了數數非常好的孩子手裡面，他們本應該在拿物體和將這些物體擺放整齊並且等待教師檢驗的時候感到巨大的快樂，可是這次卻不能了。
研究那些抽到0的孩子們的面部表情是最有趣的事情了。個體差異是每一個孩子個性特點的體現。有的孩子無動於衷，表面上顯露出勇敢，為的是隱藏失望之情；有的孩子則通過一些下意識的動作將這種失望流露出來。其他的孩子則掩飾不住喜悅之情，因為他們發現自己處於一個獨特的位置，這讓他的同伴們非常好奇。有的孩子以一種渴望，幾乎是嫉妒的目光打量著其他同伴的每一個動作，而另外有一些孩子表現出立即接受了這種情況。當在進行檢驗的時候，那些拿著0的孩子的表情是最有趣的了。「你為什麼什麼東西都沒有拿呢？」「我抽到了0」，「是0」。這些話都很普通，但是孩子們的面部表情以及說話的腔調錶現出了各種不同的情緒。
實際上，很少有人在解釋的時候流露出高興的表情，大多數都是不高興或者是無可奈何。
所以，我們對這一遊戲的意義進行了說明：「如果抽到0，那麼想要保守秘密就非常難了，這是最難的。」這樣過了一會，保持安靜這一難題吸引了孩子們，當他們打開寫有0的卡片時，我們可以看到他們還是可以保守秘密的。
1～20的加減乘除法
我們在第一次教授算術運算時所使用的教學用具與在數數時所用的是相同的。也就是那些根據長度不同進行著色的木棒，這裡面還包含了十進制的最初概念。
正如我所說過的，這些木棒根據所代表的數字進行稱呼：1，2，3，等等。他們按照長度進行排列，而這同時也是在按照數字進行排列。
第一個練習包括用木棒組成10。最簡單的方法是將從1開始的木棒按順序放到從9向下的木棒邊上。我們在進行這一步驟的同時可以這樣指揮：「把1拿起來，然後放到9邊上；把2拿起來，放到8邊上；把3拿起來，放到7邊上；把4拿起來，放到6邊上。」通過這種方式，我們組成了四組等於10的木棒。還剩下5，我們將5轉一下頭，就會發現從這頭開始到那一邊與其他的10是相等的，就明確了5的2倍是10這樣一個事實。
重複這一練習，孩子們慢慢就學會了更加專業的語言：9加1等於10；8加2等於10；7加3等於10；6加4等於10，對於剩下的5來說，5乘以2等於10。最後，如果孩子們能夠進行書寫，我們就教給他們加號，減號和乘號。下面就是我們在一個小朋友整齊的筆記本上看到的：
9＋1＝10
8＋2＝10
7＋3＝10
6＋4＝10
當所有這些孩子們都已經學會，並且對在紙上書寫表現出極大快樂的時候，我們就要將孩子們的注意力轉移到將那些已經形成10的數字組合上來，將這些數字分開然後放回到原始的位置上。在最後一組10當中，我們拿走了4，剩下6；接下來我們拿走3剩下7；依次，我們拿走2剩下8，拿走1剩下9。為了清楚的說明這些，我們可以說：「比10少4等於6；比10少3等於7；比10少2等於8；比10少1等於9。」
在輪到最後剩下的5時，我們可以說10的一半是5。通過將長木棒截成兩段，也就是將10分成兩份，我們就得到了5。10除以2等於5。有關這一過程的記錄如下：
10－4＝6
10－3＝7 10÷2＝5
10－2＝8
10－1＝9
一旦孩子們掌握了這一練習，他們就能自覺的舉一反三。「我們可以通過兩種方法得到3，對嗎？」在2後面寫上1，2＋1＝3。我們也可以用兩根木棒相拼來與木棒4相等對嗎？3＋1＝4，4－3＝1，4－1＝3。木棒2和木棒4之間的關係與木棒5和木棒10之間的關係是相同的，也就是說我們將木棒2翻轉一下就會發現4裡面正好包含著兩個2，即4÷2＝2；2×2＝4。我們來看看另外一個問題：進行這同一個遊戲，我們可以使用多少木棒呢？我們可以用3和6，4和8，也就是：
2×2＝4 3×2＝6 4×2＝8 5×2＝10
10÷2＝5 8÷2＝4 6÷2＝3 4÷2＝2
在這裡我們發現用來進行數字記憶的正方體可以提供幫助：
2 4 6 8 10
按照這種排列，可以立刻看出那些數字能夠被2整除——所有這些數字在正方體的底下均沒有一個單獨的數字。這些數字都是偶數，因為它們能夠兩兩成對排列，並且可以被2整除。數每一列當中的數目我們就得到了商。而為了還原為原始數字，我們只需要將這兩列進行重組，也就是2×3＝6。所有這些對於5歲的孩子來說並不困難。
這種重複練習很快就變得非常單調，但是練習可以很容易的進行變化。我們把這套木棒拿過來，不再將木棒1放在木棒9後面，而是放在木棒10後面。同理，我們將木棒2放在木棒9後面，木棒3放在木棒8後面。通過這種方式，我們讓木棒要比10長，這些長度分別是11，12，13，等等，直到20。木棒也可以用來表示這些數字。
因為我們已經學過10以內的運算，所以在進行20以內的運算時就沒有困難了。唯一的困難就在十進制，而這需要一定的專門課程。
十進制課程：大於10的算術運算
必要的教學用具包括一些正方形卡片，在卡片上面數字10用大號字體印著。我們還需要一些長方形的卡片，這些長方形卡片恰巧是正方形卡片的一半，包含著從1到9的單個數字。我們把這些數字排成一條直線：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。我們從1開始，這裡的1就像是木棒教學當中的10，它超過了9。我們沿著數字階梯一直數到9，因為再數就沒有數字了，我們再次從1開始。但是這裡的1要比一開始的那個1高一個等級，為了進行區分，我們將這個1放在0邊上，這樣就是10。接下來我們用寫有數字的長方形卡片按順序將0覆蓋住，就得到了：11，12，13，14，15，16，17，18，19。通過將木棒1，木棒2，木棒3直到木棒9，分別與木棒10相加我們就得到了這些數字，最終我們得到了一個非常長的木棒，當我們數上面交錯的紅色和藍色時，就得到了19。
接著，教師可以給孩子們看卡片，比如數字16，這時教師可以在木棒10後面放上木棒6。然後，教師將寫有6的卡片拿走，換成數字8的卡片，與此同時，孩子們將木棒6拿走，然後放上木棒8，組成18。所有這些動作可以進行如下記錄：10＋6＝16；10＋8＝18等等。對於減法我們也採用相同的方法。
當孩子們對數字有了一個清晰概念的時候，我們要做一個結合，就像在圖A和圖B上面所表明的那樣。
在左面的A當中，我們在第二個10的0上面用寫有數字1的卡片進行覆蓋，以次類推。這樣，第一個10保持不變，而右邊的數字則是從1到9。
在卡片B當中，應用要更複雜一些。上面的數字每個相差10。
這樣幾乎所有的孩子都能夠數到100，因為這是為了滿足他們在學習時的好奇心。
我認為這一階段的教學沒有必要進行深入的說明。每一位教師都能使算術運算產生變化，並且利用一些孩子們容易處理的物體。