邏輯 · 二、界說方面的種種
A. 可能的可能，「同一」的意義
以前曾經說過邏輯系統可以說是可能的分類。最初就有可能的可能問題。可能的可能或者有別的條件，但無論可能分為多少，每一個可能總要是那一個可能才行。如果一個可能可以不是那一個可能，至少說話無意義，而可能就不能成其為可能。即以說話的可能而論，如果一個字可以不是那一個字，一句話可以不是那一句話，則語言文字不但無意義而且不能有意義。意義的條件不少，但至少有一條件為大家所承認，此即通常所稱為同一律中的「同一」思想。
1. 意義的條件。在此處我們順便說幾句關於「律」的話，然後表示「同一」能否是有意義的條件，最後因「同一」有此職責，提出「同一」的說法問題。
a. 「律」字的意義有二，一為「Jus」，一為「Lex」；若以這兩意義為標準，通常所謂思想律者不是律。有些人的「思想」似乎不遵守思想律。有理性的思想的確遵守思想律；但有理性的思想，就是遵守思想律的思想；其結果是遵守思想律的思想，遵守思想律。思想「律」的「律」與其他的律大不相同，為免除誤會起見，最好是把思想律這名稱根本取消。以後談到「必然」的時候還要提到此問題，此處從略。
b. 設有以下命題——「這張桌子是四方的」，這命題之所以能成為一命題者，有它的不可缺少的條件。不滿足此條件，一命題根本就不能成立。此不可缺乏的條件即「桌子」一定要是「桌子」，「四方」一定要是「四方」。如果「桌子」可以不是「桌子」，「四方」可以不是「四方」，則「這張桌子是四方的」，不能有意義。任何人稍微想一想即知道這個道理。如果「桌子」可以不是「桌子」，則指出任何一具體的東西說它是「桌子」，等於以無量數中的任何一名稱去形容那個具體的東西。在這種情形之下說「這是桌子」的時候，我們不過發出多少聲音或者畫了幾個樣式，我們根本沒有說話，也沒有利用文字表示一個命題來。「四方」也是一樣，其他名稱亦莫不皆然。否定命題亦然。在「這張桌子不是四方的」這命題里，桌子固然一定要是「桌子」，「四方」固然一定要是「四方」，而「不是」也一定要是「不是」。
c. 意義條件的同一是完全的同一、絕對的同一，否則它不能盡它為意義條件的責任。「同一」思想可以有另外的職務，但在此處可以不必提及。同一既是完全的同一、絕對的同一，則普通說法頗有問題發生。普通的說法有二：一是「一件東西與它本身相同」，一是「甲是甲」。前一說法把名稱方面能有意義與否的條件當作形容事實的命題。這個根本說不通。在時點——空點，這個命題是真的，但在時間——空間，因為「天下無不變的是事體」是真的，這個命題是假的。後一說法也有毛病，一方面常常發生某甲是某甲的問題，另一方面又發生無論何時何地一件東西是否是甲的問題。若有這兩方面的誤會，同一思想就說不通了。比較說得通的辦法是把具體的東西與名稱完全分開。如果以x代表具體的東西，我們可以用「如果——則」式的命題表示「同一」的思想，說「如果x是甲，x就是甲」。這樣的說法對於x那個具體的東西沒有肯定的主張；x那個具體的東西可以是甲也可以不是甲，可以在一時是甲，在另一時不是甲，在一地是甲，在另一地不是甲。但對於甲有主張，那就是說甲總是甲。
2. 「同一」的證明問題。學過邏輯的人或者要提出「同一」的證明問題。所謂證明者可以從兩方面說，一方面是形式的證明，另一方面是實質的證明（此處實質兩字與以前實質兩字的意義不同，此處表示事實）。前一方面稱為證明，後一方面稱為證實。先討論證明問題。
a. 證明是不能離開系統的問題，所以談到證明，就談到一特殊系統。在一特殊的系統範圍之內，同一原則是可以證明的。P. M. 的基本概念中沒有「同一」的思想，基本命題中也沒有「同一」的原則；但「同一原則」與所謂「同一律」者在P. M. 均是推論出來的命題，那就是說它們都是得到證明的命題。其所以有如此情形者理由如下：
（一）照現在的邏輯系統看來，只有基本概念是不給它們下定義的思想，亦只有基本命題是不給它們證明的命題。其他概念都有定義，其他命題都有證明。事實上辦到與否是另一命題。
（二）一系統的基本概念與基本命題的選擇根據於簡單便利等等問題或標準，而沒有那一系統範圍之外的根本與不根本的問題發生。在一系統範圍之內的根本思想，在另一系統不必是根本的思想。
（三）一系統範圍之內有那一系統的特殊先後問題。照（二）條所說，「同一」概念不必是一系統的最先的思想，「同一」原則也不必是一系統的最先命題。
（四）既然如此，如果一特殊系統的基本思想或命題是相當的或得當的，或能盡職的，而「同一」概念不是那一系統的基本概念，或「同一」原則不是那一系統的基本命題，則照那一系統的證明方式，「同一」概念當然是可以下定義的，而「同一」原則當然是可以證明的。
b. 習於傳統邏輯學的人，或者習於哲學的人，不免要說「同一律」非常之根本。無論你說一句什麼話，那一句話就蘊涵「同一律」。形式方面的證明不能離開命題。引用任何的命題來證明同一律等於「先」承認同一律而「後」再證明「同一律」。這個意見，作者從前也相信，現在想想似乎問題全在「先」「後」兩字。通常先後兩字有時間方面的先後與邏輯方面的先後兩意義。我們現在所要注意的當然僅是邏輯方面的先後，而邏輯方面的先後也有兩個不同的意義。
（一）憲法有成文與不成文的分別。這種字眼雖然容易發生誤會，可是為求達意起見，我們似乎可以借用。邏輯方面的先後也有成文與不成文的分別。所謂成文的先後者是一系統內以語言文字或符號表示的命題的先後；所謂不成文的先後者是一系統內所有的命題彼此所能有而未以文字或符號表示的含義。在一系統範圍之內只有成文的先後是那一系統所能承認的先後。為什麼呢？如果我們有一個理想的演繹系統，這個系統有一萬個命題。這個系統既是理想的，一定是百分的嚴格，既然是百分的嚴格，則從命題的不成文的含義方面著想，說了頭幾個命題的時候，已經說上了一萬個命題。如果在這個理想的系統範圍之內我們承認不成文的先後，則第一萬個命題反可以說在頭幾個命題之先，因為頭幾個命題之含義中已經有第一萬個命題在內。由此可見，在任何一系統範圍之內，只有成文的先後是那一系統所能承認的先後。
（二）既有以上的道理，則在一系統之內，「同一」原則的證明問題根本就不會有能不能證明的問題。如果同一思想是一系統中基本概念之一，我們不給它下定義；如果同一原則是一系統中基本命題之一，我們不給它證明。如果同一原則發現於一系統內推論出來的命題之中，則在那一系統範圍之內，它已經有證明。如果既不是一系統的基本命題之一，也不在推論出來的命題之中，則那一系統，如果視為自足的邏輯系統，恐怕就有毛病。
3. 證實問題。如果我們所求者是同一原則的證實問題，而所謂證實者是舉事列物求與「同一」原則相符的事實，則我們根本談不到證實。其所以有如此情形者理由如下。
a. 「同一」原則根本不能形容具體的事物的狀態。我國的成語說「天下無不變的事體」。從性質方面說，事物在百年之內可變，在一年之內我們不能必其不變，既然如此，在一月、一日、一時、一秒鐘之內，我們也不能必其不變。至多我們只能說在相當情形之下我們不能經驗事物的變遷。但事物的變遷有我們所能經驗的，有我們所不能經驗的，有我們已經經驗的，有我們未曾經驗的。我們未曾經驗一事物之變，不是說那一事物沒有變；我們不能經驗一事物之變，不是說那一事物不能變。總而言之，在有量時間事物總可以變，既可以變，則引用同一原則以形容有量時間的事物，所得到的或者是一個假命題，或者是一命題函量，有時假，有時真。無論如何，所得到的不是普遍的原則。
b. 從關係方面著想，我們更可以說事物無時不變。具體的事物通常都認為是占時空的事物。別的關係可以不提，時空的關係總是在那裡變。空間關係之變與不變完全要看環境的大小範圍如何。若以天文學所研究的對象為環境，則我們房子裡東西的空間關係無時不變。至於具體東西的時間上的關係當然是老在那裡變。總而言之，具體的東西，無論從性質方面或從關係方面著想，總不能保其不變。既然如此，同一原則根本不能形容具體的事物。
c. 如果我們把時間縮小到時點，縮小到不存在或不能經驗的時點，我們或者可以意想得到一具體的事物在「時點」完全與它自己相同。可是我們要記得，這種「時點」的存在就發生問題。即令把「存在」兩字的意義改變，使我們能說這種「時點」存在，而我們仍然不能經驗它。我們既不能經驗「時點」，當然也就不能經驗在「時點」的具體的事物。總而言之，一個東西在時點上或者可以說與它自己完全相同，絕對相同，但是我們既不能經驗此情形，則根本沒有證實的問題。如果證實的問題有意義，則具體的東西一定是在時間的東西，而在時間的東西，我們不能保其不變，既不能保其不變，就不能談同一。
以上三點，都表示「同一」原則不是形容事物的原則，根本沒有證實的問題。
4. 同一原則的真假與有用或無用的問題。上面所說的是同一原則無所謂證實的問題；它不必要有這種證實才能成立，反過來說它也不因為沒有證實就不能成立。現在有人提出同一的原則的真假問題與它有用或無用的問題。茲先提出真假問題，次提出有用與否的問題。此兩問題的答案可以總結以上關於同一的討論。
a. 真假有兩方面，一方面是不必真的真，不必假的假，另一方面是必真的真，必假的假。普通命題的真是不必真的真，假也是不必假的假；同一原則是邏輯命題，是以下所要解析的必然命題；它的真是必真的真，不是不必真而適真的真。
（一）以上曾經說過，同一原則不是表示一件事實的命題，不是形容事物的命題。既然如此，引用天演變化以之為對於同一原則的批評根本就不相干。
（二）同一原則無往而不真。它是本章B節所討論的必然命題。必然命題對於事實毫無斷定，對於可能莫不分別地承認。它根本不能假，關於這一點，下節當詳言之。這裡我們僅斷定「如果x是甲，則x是甲」是一不能假的命題，而不能假的理由與其他必然命題之不能假的理由一樣。
（三）同一原則既是必真的命題，它沒有通常所謂真假的問題。其所以發生通常所謂真假問題者，因為有些人誤認它為斷定事實或形容事物的普遍命題。承認這裡第（一）條的理由，則同一原則不因其不表示事實而為假；承認第（二）條的理由，則它沒有普通的真假問題。
b. 有人說「同一」原則無用。所謂無用者是說此原則既不能形容具體的東西，則與「科學」不相干，於知識毫無用處。用與無用是根據於一種要求才能說的。沒有一種普遍的有用或無用的東西或思想或原則。如果我們的要求是收復東北四省，至少我們可以說同一原則沒有直接的用處。可是如果我們的要求是說話要有意義，則「同一」原則是不能缺少的。如果知識須用命題表示，則同一原則也是不可少的。如果科學是條理化的知識，而它的表現又是一組有系統的命題，則同一原則又是不可缺少的。既沒有普遍的有用或無用的東西或思想，則有用無用的命題，似乎要看對於什麼樣的要求，才能有意義。
B. 必然的解釋
在未討論必然之前，我們可以提出一青年所難免發生的問題。作者在十幾年前與同學清談時，就不免表示對於算學家有十分的景仰。尤其使他五體投地的就是算學家可以坐在書房寫公式，不必求合於自然界而自然界卻毫不反抗地自動地承受算學公式。這問題在許多讀者中或者根本沒有發生過，或者發生過而自己有相當的解釋，亦未可知。作者對於此問題，以算學素非所習，所以談不到解釋的方式。近年經奧人維特根斯坦與英人袁夢西的分析才知道純粹算學——至少他們所稱為「純粹算學」的算學，或邏輯學，有一種特別的情形。此情形即為以上所稱為邏輯的必然，或窮儘可能的必然。對於這種必然我們可以分以下三層討論。
同時，排中律就是一最簡單而又最顯而易見的必然命題，此處討論必然命題，間接地也就是在那裡討論排中律。
1. 要知道此種必然的性質，我們最好先談二分法。設以X代表任何東西或事體或事實或思想，如果我們引用二分法，即有X與非X的正反的分別。
a. 如果X代表類稱，引用二分法後即有正反兩種類稱，那就是，X與（非X）。
這種正反兩分別的變類要看原來的類稱數目多少。有X與Y兩類，引用二分法後，就有四種不同的類稱。如果以X代表非X類，Y代表非Y類，這四種類稱如下：
如果我們有XYZ三類稱，引用二分法後，就有以下八類：
由此我們可以看出如果我們以2表示正與反兩分別，n代表原來類稱數目，引用二分法後，所能有的類稱的總數為2n 。
b. 以上是以二分法引用於類稱，可是當然不必限制到類稱方面。現在研究邏輯的人似乎都覺得命題比類稱還要根本。這一層在此處不必討論。我們所注意的是二分法之引用於命題方面與用之於類稱方面是一樣的。命題也可以有正與反。普通以正為真、以反為假，我們可以照辦。可是我們不要把真假看得太呆板，我們現在只認它們為正與反兩絕對分別中之一種解釋而已。如果我們有一個命題p，引用真假二分法後，就有以下真假可能：
如果有兩個命題p與q引用二分法後，就有以下四個可能：
如果有三個命題p、q與r，引用二分法後，就有以下八個可能：
這種可能我們稱為真假可能。它的數目為2n ，與類稱方面的正反可能一樣。
2. 類稱方面的正反可能有正反可能的函數，命題方面的真假可能有真假可能的函數。我們從最簡單的例著手。
a. 一個命題p，引用二分法後，有真假兩可能，我們最好用右邊的方式表示這兩個可能：
可是對於這兩個可能，我們從承認與否認方面著想，可以有四種不同的態度，或者說有四種真假可能的函數。這四種不同的態度，可以表示如下：以上「1」與「2」代表一命題的真假兩可能，「a」「b」「c」「d」代表四種不同的態度，或真假可能的函數。原來的真假兩可能是兩個命題，一個說p是真的，一個說p是假的。a、b、c、d四個不同的態度是四個不同的命題如下：
a. 「p是真的」是真的或「p是假的」是真的。
b. 「p是真的」是真的而「p是假的」是假的。
c. 「p是真的」是假的而「p是假的」是真的。
d. 「p是真的」是假的，「p是假的」也是假的。
以上四命題中「b」與「c」可以不必提出討論，因為它們只承認真假兩可能中之一可能。「b」命題不過是說「p是真的」，因「『p是假的』是假的」等於「p是真的」。「c」命題不過是說「p是假的」，因「『p是真的』是假的」等於「p是假的」。
b. 「a」與「d」兩命題有特別的情形。「d」命題對於原來的兩可能均不承認。原來的真假兩可能一方面彼此不相容，另一方面彼此窮盡；事實上的情形無論如何的複雜均不能逃出二者範圍之外。換句話說，所有的可能都包括在原來兩可能之中。若將所有的可能均否認之是不可能，「d」命題既否認所有的可能，是一不可能的命題，那就是說是一矛盾。
「a」命題與「d」命題的情形恰恰相反。「a」命題把原來任何可能都承認了。「d」命題不能是真的，而「a」命題則不能是假的。這兩個命題的真假與尋常命題的真假不同。尋常命題或者是真的或者是假的，而這兩個命題中一個不能不假，一個不能不真。
我們要記得「a」命題說「『p是真的』是真的或『p是假的』是真的」。這不過是說「p是真的或者p是假的」。我們可以用一個很尋常的命題來試試。假如我們說「這個東西或者是桌子或者不是桌子」，這句話無論如何是不會錯的。所謂「這個東西」者既可以是桌子，而不是其他的東西，但也可以是人，或者是椅子，或者是米，或者是西瓜，等等。可是無論它是什麼，它都可以容納到「是桌子或者不是桌子」的範圍之內。照此看來「a」命題無往而不真，我們不能否認它，因為在引用二分法條件之下它承認所有的可能。
同時我們也要注意「a」命題這樣的命題對於具體的事實或自然界的情形根本就沒有一句肯定的話。這種命題既不限制到一個可能而承認所有的可能，則無論在什麼情形之下，它都可以引用。這就是承認所有可能的「必然」命題。
c. 以上不過是就一個命題而說的話，如果有p、q兩命題，原則一樣，不過真假可能加多而已。p與q兩命題的真假可能有四個如下：而這四個真假可能的函數則有十六個。那就是說，我們對於這四個可能可以有十六個不同的命題表示十六個不同的態度。此十六個命題之中有一個不可能的命題，有一個必然的命題。前者否認所有的可能，後者承認任何可能。
如果我們有三個命題如p、q、r，我們有八個真假可能，有二百五十六個真假可能的函數。那就是說，我們可以有二百五十六個命題，表示對於這八個可能有二百五十六個不同的態度。這些命題之中有一個否認所有的可能，所以是矛盾的命題；有一個承認任何可能，所以是必然的命題。
3. 凡從以上所討論的必然的命題所推論出來的命題都是必然的命題。這句話容易說，而不容易表示，更不容易證明。現在姑就容易著手的一方面，表示邏輯的基本命題是方才所說的這一種必然的命題。邏輯與算學或者是已經打成一片，或者是可以打成一片，或者是根本不能打成一片；但無論如何，在P. M.的定義範圍之內它們是已經打成一片。這部書的基本命題也就是它的邏輯與算學的前提。我們可以看看這些基本命題是否是必然的命題。
P. M. 第一章（在1910年版中）有六個基本概念，一個定義，十個基本命題。基本命題之中，有五個是用符號表示的，有五個是用普通言語表示的。後者之中有兩個是推論的規律。以語言表示的基本命題應否視為此系統的基本部分，頗發生疑問。無論如何本文可以不去管它們。我們在此處僅表示所有以符號表示的五個基本命題都是必然的命題。
這是定義。我們要利用這個定義，去表示以下五個基本命題都是必然的命題。我們要知道：
以上「～」代表「非」或「反」， 代表「或者」。
1.2，├：p p· ·p Pp.（Pp.表示是基本命題）
這是第一個以符號表示的基本命題。照以上的定義它可以變成以下的形式：
這個命題說「p或者是假的或者是真的」。一個命題p只有這兩個可能，若此兩可能之中任何一可能均為此基本命題所承認，它一定是必然的命題。
照以上的基本定義，這命題可以變成以下諸形式：
p與q兩命題的真假可能可用下圖表示：
以上1.3與1.4兩基本命題把p與q所有的真假可能中的任何可能均承認之，所以它們都是以上所討論的必然命題。
根據同樣的辦法，這一個命題可以有以下的形式上的變化：
我們可以先把以上命題分成兩部，用同樣的辦法改變它的形式。可是q～r對於p有兩個可能：pq～r與～pq～r，所以以上又等於
此中pq～r重複，但毫無妨礙。
1=～p～q～r 2=p～q～r 3=～pq～r 4=～p～qr
5=pq～r 6=p～qr 7=～pqr 8=pqr
p、q、r三命題的真假可能共有八個，茲以上圖表示。
以上1.5與1.6兩基本命題把p、q、r所有的真假可能中的任何可能均承認之，所以它們也是以上所討論的必然命題。
P. M. 的十個基本命題中，五個以語言表示的都沒有「├」符號。有這個符號，表示這部書的作者肯定地說這些命題是真的。照以上的分析，這五個以符號表示的命題不但是真，而且都是必然的命題。
C. 邏輯的取捨
上面所提出的是必然的性質。我們費那麼大工夫去討論它，因為它是邏輯系統所要表示的實質。在本段我們要提出矛盾的性質，因為它是邏輯系統之所要淘汰的。但矛盾問題，我們在此處僅能討論一部分，另一部分是自相矛盾與廢話的問題，對於這問題，作者感覺麻煩，在本書不預備提出。所以本段所注意的僅為矛盾的性質及說法，表示它為邏輯之所舍，而非邏輯之所取。因為在此處注重邏輯的取捨，我們借這個機會討論所謂「思想律」者在邏輯與邏輯系統的位置。
1. 矛盾的性質。
a. 在上段討論必然時，已經說明引用二分法於一命題有真假兩可能，而對於這兩個可能，我們可以有四個真假函數。這四個之中，有一個是必然的命題，有一個是矛盾的命題。在上段我們所討論的是第一命題，它是一個必然的命題。在本段我們要討論第四命題。它是矛盾的命題，既然是矛盾，它是命題與否頗有問題，但現在我們可以不管。
b. 為什麼說它是矛盾命題呢？這個命題說「p是假的」是假的，那就是說p是真的；而又說「p是真的」是假的，那就是說p是假的。其結果這句話等於說「p既是真的又是假的」。這樣的話通常認為是矛盾的命題，傳統邏輯給我們這種習慣，在此處我們不妨引用故有的名稱。矛盾的性質，因以上第四命題那樣的說法，有使我們容易清楚明白的好處。我們既引用二分法，就是把可能分為兩類。事實無所逃於此兩可能之間，非此即彼，非彼即此，若將此兩可能均否認之是不可能的。矛盾命題之所以為不可能者在此。若以以下命題為例：
甲，「這（指一個東西）是四方的」引用二分法之後，就有以下命題。
乙，「這（指那一東西）不是四方的。」
事實上無論所指的東西是什麼——是四方的也好，是長方的也好，是圓的也好等等——這兩命題不能都是假的（廢話問題以後再談）。如果我們兩可能均否認之，即否認二分法範圍之內所有的可能。否認所有的可能當然是不可能，因為所有的可能都是不可能為一自相矛盾的命題。如果所有的可能都是不可能是一可能，則所否認的不是所有的可能；如果所否認的為所有的可能，則否認所有的可能不是一個可能。總而言之，矛盾之所以為不可能者，因為它否認所有的可能。
2. 矛盾律的說法與證明等問題。「矛盾」這思想與「同一」一樣也有說法與證明兩問題。我們可以利用這兩個問題表示矛盾之性質與它在系統內所具的形式。
a. 矛盾所具的形式不一，茲以下列三說法為例：
（一）一命題不能是真的與不是真的。
（二）x不能是B與非B。
（三）x不能是B與不是B。
第一個說法完全是以命題方面的真假兩可能為表示矛盾的工具。這在以命題為原子的邏輯系統範圍之內是直接的相干的表示，而在以類為原子的邏輯系統範圍之內它雖仍表示矛盾，而無直接的用處。可是我們不能說它在第二範圍之內，沒有直接的用處，就以為我們不能利用它為表示矛盾的工具。
第二個說法是以類稱方面的正反兩可能為表示矛盾的工具。對於此說法我們可以加以註解說「B與非B」為不可能的類，所以「x不能是B與非B」。這個說法雖然與上面的一樣表示矛盾，可是它在以類為原子的系統里，它的用處比第一說法更直接。這裡有「非B」的範圍問題，但在此處我們不提出討論，因為這個問題牽扯到整個的「非」的問題。
第三個說法可以說是以類表示矛盾，也可以說是以命題表示矛盾。在以類為原子的系統里，它有直接的用處，在以命題為原子的系統里，它也有直接的用處。若把類的系統與命題的系統聯合起來成一系統，我們有系統範圍之外的理由使我們先推演命題的系統，後推演類的系統。果若如此，則由（一）可以得（三），由（三）可以得（二）。如果我們有系統範圍之外的理由使我們先推演類的系統，後推演命題的系統，我們或者能由（二）得（三），由（三）得（一）。
總而言之，矛盾的表示形式對於系統是相對的。因一系統的原子不同，利用以為表示矛盾的工具也可以不同。不僅如此，矛盾的表示，對於二分法也是相對的；如果我們利用三分法或n分法，則表示矛盾的方式與引用二分法的方式不同。
b. 矛盾律之證明問題。討論「同一」思想或「同一」原則的時候我們所特別注意的是系統內成文的先後問題。這個問題在證明「矛盾」原則一方面，似乎一樣的重要，不過在此處我們可以特別地注意系統範圍之內與系統範圍之外不一致的情形。茲特舉以下三「證明」的例：
（一）設以下例命題表示矛盾之原則：
甲，「一命題不能是真的與不是真的」
乙，「一命題能是真的與不是真的」
甲乙兩命題的關係如何呢？如果乙命題不否認甲命題，則無論乙命題能成立與否，甲命題不受影響。如果乙命題否認甲命題，則甲乙之間必有一真一假。那就是說：
丙，「一命題不能是『是真的與不是真的』與不是『是真的與不是真的』」
但丙命題等於說：
丁，「一命題不能是真的與不是真的」
丁命題就是甲命題。所以如果乙命題否認甲命題，則承認甲命題，所以甲命題是不能否認的，既不能否認，則必得承認。但甲命題即矛盾原則，所以矛盾原則因用反證法而得證明。
c. 以上三個證明的例各有不同的情形。第一例的特殊情形就是乙命題與丙命題之間的那一段推論。那一段推論是承認矛盾原則以後才能成立的推論。推論能成立，才能證明矛盾原則，推論不能成立，我們不能以那種方法證明矛盾原則。推論之能成立與否要看我們承認矛盾原則與否。結果是第一例的證明是承認矛盾原則後再去證明矛盾原則。不僅如此，我們可以說它是直接引用矛盾原則去證明矛盾原則。
第二例也可以說是承認矛盾原則後去證明矛盾原則，可是在形式上它沒有直接引用矛盾原則去證明矛盾原則。在這裡我們所應特別注意的是在一大堆具有等號（=）的公式中，我們可以用此以明彼，也可以用彼以明此。我們所得到的是一部分思想的關聯或互相關係。如果我們把第二例的秩序變更，我們也可以利用 去證明「A2 =A」。這樣看來，究竟誰證明誰，要看秩序如何。如果沒有一個特定的秩序，根本就談不到證明。
第三例的情形一方面與第二例一樣，另一方面也不一樣。由前一方面說，我們表示「排中」原則，「或」 「與」（·）、「蘊涵」 及「推論」原則與矛盾原則的相互關係。若無特殊秩序，我們可以用此以明彼，也可以用彼以明此。這是與第二例一樣的。從後一方面說，「或」為P. M. 的基本概念（1910年版），「蘊涵」為基本關係，「推論」原則為基本命題，由乙經丙到丁的推論根據於「推論原則」，「與」在矛盾原則未成文地發現以前，已經介紹，「排中」原則在矛盾原則未成文地發現以前，已經證明。P. M. 有它的特別的秩序，在這個特別的秩序里，第三例毫無疑義地是矛盾原則的證明。
d. 以上的討論可以歸納到以下諸點：
（一）在一邏輯系統範圍之內，所要證明的原則實即在那一系統範圍之內那一原則的表示方式。矛盾原則可以有不同的表示方式。每一方式在一相當的系統範圍之內才能證明，否則不能。
（二）所謂邏輯的證明都是邏輯系統內的證明而不是證實。但其所以能等於證實者，因為邏輯系統中的命題是必然的命題。
（三）每一邏輯系統均有一特別的秩序，所謂成文的先後即此特別秩序中的先後。邏輯的證明，既是邏輯系統中的證明，當然不能離開一系統的秩序。
（四）不在任何邏輯系統的立場上，即不在任何秩序的立場上，我們不能說邏輯的證明。
總而言之，談到證明，系統範圍之內與系統範圍之外的情形不一致。我們在此處可以說是利用「同一」思想、「矛盾」思想以明「證明」，同時也利用「證明」思想以明「同一」與「矛盾」。
3. 所謂「思想律」的解釋。讀者或者要問以上對於「同一」與「矛盾」兩原則均討論「證明」問題，何以對於「排中」沒有討論，也沒有提出證明問題。其實B段所討論的必然的性質問題即為「排中」問題。「排中」原則的證明問題與其他兩原則的證明問題稍微有點不同。邏輯系統所要保留的都是，或都要是，必然命題，而必然命題都表示「排中」原則。既然如此，每一必然命題的證明都間接地是「排中」原則的證明，所以整個邏輯系統的演進可以視為「排中」原則的證明。
A節所討論的為「同一」，B節所討論的為「排中」，C節所討論的為矛盾。這三個原則就是傳統邏輯里的三個「思想律」。現在對於所謂「思想律」者有一番批評。有一個無關宏旨的批評——就是思想律不是「律」的那一批評——因為前此已經提及，用不著再談。除此以外，也有別的批評，我們似乎不應該不提出討論。我覺得我們對於這三個原則有點誤會。在邏輯系統里，它們有兩種不同的立場，一種是邏輯系統的實質，一種是邏輯系統的工具。習於傳統邏輯的人以「思想律」為無上的「根本」思想，而從事於符號邏輯的人又以為「思想律」與其他思想兩相比較孰為「根本」一問題，完全為系統問題。這兩說似乎都有理。前一說法似乎是界說方面的說法，後一說法似乎是工具方面的說法。茲特分別討論。
a. 界說方面的「同一」「排中」與「矛盾」。同一原則是可能的可能，是意義的條件，它也是必然的命題。關於同一原則，我們不必再有所討論。此處所要討論的是排中原則與矛盾原則。
（一）「排中」原則。這個原則與其說是「排中」不如說是「排外」。排中原則的可能是彼此窮盡的可能。如把可能分為兩類，則此兩可能之外沒有第三可能；排中原則所排的是第三可能。如把可能分為三類，則三可能之外沒有第四可能；排中原則所排的是第四可能。如把可能分為n類，則n類可能之外沒有（n+1）可能；排中原則所排的是（n+1）可能。所以說所謂「排中」實即「排外」。這個原則不過表示可能之拒絕遺漏而已。必然的命題從正面說是承認所有可能的命題，從反面說是拒絕遺漏的命題。邏輯所保留的是必然命題，所以它所保留的是表示「排中」原則的命題。
（二）「矛盾」原則。邏輯方面的可能不僅彼此窮盡，而且彼此不相容。如把可能分為兩類，則此兩可能不能同時承認之。如把可能分為三類，則此三可能不能同時承認之。如把可能分為n類，則此n可能不能同時承認之。矛盾原則可以說是表示可能之拒絕兼容。從消極方面說矛盾是否認所有的可能，從積極方面說它是所有可能的兼容。矛盾是邏輯之所要淘汰的，那就是邏輯之所舍。
（三）以上表示必然為邏輯之所取，矛盾為邏輯之所舍。其他既非矛盾又非必然的命題，邏輯既不舍，也不取。邏輯系統之所取為邏輯上之所不能不取，邏輯系統之所舍為邏輯上之所不能不舍。既非必然又非矛盾的命題在邏輯上均能取而不必取。對於這些命題取與不取的標準不在邏輯範圍之內，試驗、實驗、經驗都是對於它們取與不取的標準。但有矛盾的命題在無論什麼系統範圍之內總是要淘汰的命題。
以上三點可以表示邏輯的功用。它是思想的剪刀，一方面它排除與它的標準相反的思想，另一方面因為它供給能取與否的標準，它又是組織其他任何系統的工具。各種學問都有它自己的系統，各系統雖有嚴與不嚴程度不同的問題，而其為系統則一，既為系統就不能離開邏輯。各種學問既都是這樣，自然科學也是這樣，不過命題之取與不取，承認與否，除邏輯標準之外，尚有旁的標準而已。
界說方面的「同一」「排中」與「矛盾」，不僅是邏輯系統中的思想，而且是邏輯的思想；不僅是邏輯系統中的組織工具，而且是組織別的系統的工具與標準。傳統邏輯以它們為無上「根本」的思想的道理，或者就是因為它們除在邏輯系統有職務外，還有範疇其他任何思想的職務。從這一方面著想，它們與邏輯系統中的其他工具似乎不同，把它們視為一組的思想，我們似乎可以說這一組的思想比別的邏輯思想更為重要。
b. 系統中的「同一」「排中」與「矛盾」。系統中的「同一」「排中」與「矛盾」是系統中的工具。在這個工具的立場上，它們與其他的工具一方面無所謂根本與不根本的問題，也可以說沒有一定的孰為比較的根本孰為比較的不根本的問題。另一方面每一系統有一特別的成文的先後，而在這成文先後的秩序里，這三個工具可以發現在別的工具之前，也可以發現在別的工具之後；以一特殊系統為背景，它們有孰為比較的根本孰為比較的不根本的問題。
（一）系統方面的問題與界說方面的問題不必相同。界說方面的原則是邏輯的原則，是邏輯系統的對象的原則，（合而為一）或者說它是原則的實質，不是原則的形式。如果有不相融的邏輯系統，界說方面的「同一」「排中」與「矛盾」均為各系統之原則，不過表示的形式不同而已。系統的工具是一系統所利用以為那一系統演進與推論的工具。邏輯是普遍的，邏輯系統是特殊的。每一邏輯系統均是一特殊的秩序，組織那一特殊秩序的工具總免不了有特殊情形。
（二）即以P. M. 系統而論，「或」 「與」（·）、「非」（～）、「蘊涵」 、等等，均為P. M. 系統中的工具。從工具的立場上看來，在P. M. 系統範圍之內，後面的工具不若前面的根本。但這些工具之中，有些是這個系統中的特殊工具如 ，有些是語言方面的普遍思想如「或」 等等，但是也有一些如 、「～（p·～p）」，同時也是劃分邏輯範圍的原則。從後面這立場上看來，它們不能與其他工具相提並論。
（三）總而言之，一方面「同一」是意義的條件，「排中」與「矛盾」都是劃分邏輯界限的原則；另一方面，它們又是系統中的工具。從前一立場上看來，它們與其他的工具沒有比較根本與不根本的問題，從後一立場上看來，究竟孰為比較的根本或比較的不根本完全是一系統的組織問題，或成文的先後的問題。
D. 推行的工具
一系統中由一命題推到另一命題，由一部分推到另一部分，須有它的推行的工具。推行的工具不止一種，「同」「等」「代替」等等均同時是推行的工具；但最重要的一方面是「蘊涵」，一方面是「所以」。這兩個思想在界說方面重要，在系統方面也重要。別的推行工具，我們可以不必特別提出討論，但這兩個工具似乎不能不提出。茲特先討論「蘊涵」，然後再討論「所以」。
1.「 蘊涵」。蘊涵是命題與命題的關係。這關係在普通言語中以「如果——則」的方式表示之。提出蘊涵可真是非同小可，恐怕沒有人敢說事實上「蘊涵」的意義究竟是什麼一回事。現在各系統中所有的蘊涵可以分作以下數種討論。
a. 真值蘊涵 。這種蘊涵是P. M. 系統中最基本的蘊涵。其所以稱真值蘊涵者，因為這關係根據於事實上兩命題的真或假。它的定義如下：「 等於 。那就是說「p是假的或q是真的」。「或」字在此不是不相容的「或」，所以這句話等於「p是假的而q是真的，或者p是假的而q也是假的，或者p是真的q也是真的」，所以這又等於說「p是真的而q是假的是假的」。只要p、q所代表的命題事實上或者都真，或者都假，或p假而q真，我們均可以說 。這個蘊涵關係有以下特點：
（一）p、q代表任何命題，照上面的定義， 等於如果「p」所代表的是一假命題，「q」所代表的命題可真也可假，而無論為真或為假， 總可以說得過去；因為 這兩可能均為 的定義所承認。其結果是一假命題蘊涵 任何命題。那就是說，
（二）如果q所代表的是一真命題，p所代表的命題可以真也可以假，而無論其為真或假， 總可以說得通；因為 這兩可能均為 的定義所承認。其結果是任何命題蘊涵 一真命題。那就是說， 。
（三）既然如此，這種蘊涵關係就是很奇怪的蘊涵關係，儘管它是普通言語中一部分的「如果——則」的關係。對於這種蘊涵關係的批評很多，但大多數的批評不在否認此情形為關係，而在否認此關係為蘊涵關係。這差不多完全是「蘊涵」這名詞的問題。對於這個批評一方面我們可以說，而P. M. 的作者也曾明白表示過，它們有用字的自由權；另一方面我們也可以說，如果p、q兩命題有以上所表示的關係，則「如果p是真的，q也是真的」這一命題可以表示這樣的關係，因為p、q既有如此關係，則「p是真的而q是假的」是假的。請注意我們只說「如果p是真的，q『也』是真的」，我們不說「如果p是真的，q『就』是真的」，因為p、q兩命題在此關係中不必有意義上的關係。
（四）同時我們也得要承認，這種蘊涵關係是否就是普通言語中的蘊涵關係至少令人生疑，所以叫它作真值蘊涵以別於其他蘊涵。但何以名之為真值蘊涵呢？這種蘊涵關係不是說p、q兩命題在意義上有任何關聯，它所表示的不過是「p真而q假」事實上是假命題。一個真命題有「真值」，一個假命題有「假值」。這種蘊涵關係既是兩命題事實上的真假關係，也可以說是真假值的關係，所以簡單地稱為「真值蘊涵」。
b. 形式蘊涵或 。這種蘊涵可以說是由真值蘊涵歸納得來的，也可以說是無量普遍化或抽象化的蘊涵關係。這兩說的不同處很大。茲先把它當作由真值蘊涵歸納得來的蘊涵看待。
（一）設p、q代表任何簡單的主賓詞式的命題，φ、ψ代表謂詞，x代表個體的東西；設p可以分析成φx，q可以分析成ψx， 可以改作 ψx」。x可以代表任何東西，同時無論它代表什麼東西， 都是真的。這情形可以用以下方式表示：
如果「n」代表一有量的數，而同時又是限於時地的東西的總數，我們可以用（x）符號表示任何限於時地的東西，總結以上（1）（2）（3）……（n）命題如下：
這個命題在語言方面可以有好幾個表示方式。我們可以說，（甲）所有的φ是ψ，（乙）無論是哪個x，x是φ它就是ψ，（丙）無論是哪個x，x是φ是真的，x是ψ是假的是假的。這三個說法之中以（丙）說為嚴格。（甲）說有以下毛病，它與傳統邏輯的「A」命題不同。它的主詞所代表的東西可以不存在，如不存在，則此命題是真的。所以它是「An 」，不是普通的「A」。（乙）說也有毛病，它與普通的「如果——則」的命題不同。我們可以說「無論x是什麼，如果它是龍，它就是四方的」。照普通的「如果——則」的命題看來，這至少有毛病，而照此處所討論的蘊涵看來，這個命題是真的。總而言之，「形式蘊涵」照以上的解釋，似乎免不了真值蘊涵的古怪情形。
（二）但如果上條中的「n」代表無量數，或不能達到的數，而x代表不限於任何時地的東西，則「形式蘊涵」的意義改變。以上所說的古怪情形就是真值蘊涵的古怪情形。照真值蘊涵的定義，一假命題蘊涵任何命題，所以在 中，只要前件是假的，形式蘊涵總可以說得通。同時照以上的解釋，φx可以總是假的。因為x代表限於時地的東西，因為事實上沒有「千角獸」，說「x是千角獸」，這總是假命題。既然如此，「無論x是什麼，如果x是千角獸，x是圓的」總是說得通的或真的形式蘊涵。
現在n既代表無量，x所代表的東西又無時地的限制，則「x是千角獸」不能說總是假命題，那就是說它也可以是真命題。如果前後兩件既可真可假，而同時又承認形式蘊涵其他部分的思想，則有時我們可以利用形式蘊涵以為定義的工具。如果我們利用它以為定義的工具，形式蘊涵就表示φ與ψ的意義上的關係。如果φ與ψ有意義上的關係，形式蘊涵就與意義上的「如果——則」的命題接近了。所以從本條的解釋看來，真假值的蘊涵關係可以變成意義上的蘊涵關係。
同時我們要記得有以上解釋的形式蘊涵，雖可以是而不必就是意義上「如果——則」的命題。我們以前曾經說過，通常「如果——則」的命題不容易說究竟是怎樣的命題。有以上解釋的蘊涵不必是有意義關係的蘊涵。所以至少它不必是表示意義關係的普通「如果——則」的命題。別的不說，如果φx代表一個複雜的而同時又是不可能的命題，則有以上所解釋的形式蘊涵似乎就變成路意斯氏的「嚴格」蘊涵。就這一點而言，這種蘊涵關係也就與普通的「如果——則」的命題不一樣。
形式蘊涵有以上（一）（二）兩解釋。究竟是哪一解釋代表形式蘊涵呢？這問題頗不容易答覆。在P. M. 似乎只有前一解釋，但把x這符號的意義改變，它就可以有後一解釋。我們現在恐怕只能說所謂「形式蘊涵」者至少有以上不同的兩種蘊涵關係。
c. 穆爾蘊涵或entailment。這個蘊涵關係似乎與一部分的普通「如果——則」的命題最相似，但究竟是這樣與否，也難說。設有兩個命題p、q，而它有時有一種關係使我們說「q可以由p推論出來」，穆爾蘊涵就是與「可以推論出來」這一關係倒過來的關係。「這本書是有顏色的」這一命題可以由「這本書是紅的」這一命題推論出來；「孔子是人」這一命題可以由「所有有理性的都是人」與「孔子是有理性的」這兩命題聯合起來的命題推論出來。照以上的說法，「這本書是紅的」蘊涵（entails）「這本書是有顏色的」；「所有有理性的都是人」與「孔子是有理性的」蘊涵（entails）「孔子是人」。對於這種蘊涵關係我們可以注意以下諸點。
（一）這種蘊涵關係沒有真值蘊涵的古怪情形。一假命題不蘊涵（entails）任何命題，任何命題也不蘊涵一真命題。理由簡單，「唐太宗是人」絕不能由「中國在非洲」推論出來，所以「中國在非洲」雖 「唐太宗是人」，而不「entails」「唐太宗是人」，「中國在非洲」也絕不能由「唐太宗是人」推論出來，它們根本就沒有穆爾蘊涵。
（二）這種蘊涵也沒有d條所要提出的嚴格推論的古怪情形。這一點請參見d條。
（三）這種蘊涵一方面可以說是表示事實。事實上所有的紅東西都是有顏色的東西，所以「如果x是紅的，它就是有顏色的」。另一方面它也可以說表示抽象的理論或名稱的定義，歐克里幾何的「點」既有那特別定義，我們可以說「如果x是歐克里的點，x就無長短、無厚薄、無高低」。但前一方面的情形可以容納於後一方面，所以它總是意義方面的蘊涵。
（四）這種蘊涵與真值蘊涵根本不能比較，與第一義的形式蘊涵也可以說是完全不同。它可以說是第二義的形式蘊涵之一部分，可是它的範圍比較的狹。
d. 嚴格蘊涵或路意斯的「p→q」。這種蘊涵的定義包含「不可能」的思想，而同時「不可能」又視為簡單命題所能有的各值中之一值。這一層以後再提及。設有p、q兩命題，p嚴格蘊涵（→）q，就是說「p是真的而q是假的是不可能的」。對於此蘊涵關係，應注意以下諸點。
（一）「不可能」的意義不是矛盾。如果「不可能」的意義是矛盾，則p、q兩命題的意義相同，實為一命題。其結果是不僅p蘊涵q，而且q也蘊涵p。所以如果「不可能」的意義是矛盾，則嚴格蘊涵應該是對稱的。但嚴格蘊涵不是對稱的，那就是說p雖「→」q，而q不必「→」p。
（二）「不可能」的意義似乎也不是「不一致」的意思。如果「不可能」的意思有普通所謂「不一致」或者「衝突」的意思，則僅有複雜的命題才能是「不可能」的命題，因為「不一致」是兩命題或多數命題之關係，所以一定要是簡單命題聯合起來的複雜命題才能稱為「不可能」的命題。但p可以代表「x是紅的」這樣的簡單命題，這樣的簡單命題，路氏有時也說它「不可能」，所以「不可能」不能是「不一致」。究竟是什麼頗不易說。在路意斯系統里，它是一基本概念。
（三）嚴格蘊涵有以下奇怪情形。這裡的奇怪情形與真值蘊涵的奇怪情形相似。照定義，p嚴格蘊涵q等於說p是真的而q是假的是不可能的。如果p是一不可能的命題，則無論q為真、為假、為可能、為不可能、為必然的命題，「p是真的而q是假的」，總是一不可能的命題，所以p總「嚴格蘊涵」q。結果是一不可能的命題「嚴格蘊涵」任何命題。由同樣情形，任何命題「嚴格蘊涵」一必然的命題。
（四）除以上奇怪情形之外，嚴格蘊涵可以說是意義上的蘊涵，不過它不僅是意義上的蘊涵而已。如果p所代表的是「這本書是紅的」，「q」所代表的是「這本書是有顏色的」，因為「紅」與「有顏色」有定義上的關係，所以「這本書是紅的」嚴格蘊涵「這本書是有顏色的」。從這一方面著想，它與穆爾蘊涵相似。但嚴格蘊涵既有以上的奇怪情形而以上的奇怪情形又不表示兩命題意義上的關係，嚴格蘊涵雖可以是而不必是意義上的蘊涵。
e. 以上所舉的是四種不同的蘊涵關係，有的與普通的「如果——則」的命題接近，有的則大不相同。這四種蘊涵關係與普通的「如果——則」的命題之間就有以下的問題。它們代表普通的「如果——則」呢，它們是新發明呢，它們是新發現呢？在此處我們又要表示普通的「如果——則」的命題究竟是怎樣的命題，實在不容易說。恐怕最妥當的說法是說它包含各種不同的蘊涵關係。即以普通語言為例：「如果今天天晴，我就打球」與「如果你是中國人，你就是黃種人」。這兩種「如果——則」的命題，普通語言中都有，可是它們包含兩種不同的蘊涵關係。我們或者可以說，這裡提出的四種不同的蘊涵關係，均不成文地寓於普通的「如果——則」命題之中；可是成文之後，意義比較正確；意義既比較正確之後，我們就不應把它們相混起來。在沒有分別或解析之前，我們糊裡糊塗地用些「如果——則」的命題；在既分別或解析之後，我們雖仍用「如果——則」式的命題，我們就得知道這命題里所包含的蘊涵關係是哪一種蘊涵關係。同時我們要記得這四種蘊涵關係並不能說是包舉無遺，恐怕還有好些的蘊涵關係沒有發現。
2. 「所以」。此處所說的「所以」是演繹方面的所以，不是歸納方面，或普通言語中的所以。這種「所以」是演繹方面的「inference」，它根據於蘊涵。能說所以的時候總有蘊涵關係，本段所要提出的問題是有蘊涵的時候是否能說「所以」。
a. 這個問題是Lewis Carrol提出來的。古希臘有「阿乞黎」——以善跑出名者——與烏龜賽跑，只要烏龜先動身，阿乞黎永遠追不上的論辯。Carrol利用這論辯中的角色以為表示推論不可能的工具。阿乞黎說一個三段論（茲假設為以下三段論）：
（甲）所有的人都是會死的
（乙）蘇格拉底是人
（丙）所以蘇格拉底是會死的。這個三段論在阿乞黎是毫無問題；但在烏龜方面，它總覺得結論靠不住。何以靠不住呢？烏龜的理由如下：僅有（甲）（乙）兩命題，我們不能得（丙）命題的結論，因為我們不知道（甲）（乙）是否蘊涵（丙）命題。如欲得（丙）命題的結論，我們要加一命題如下：「（甲）（乙）兩命題真蘊涵（丙）命題」。這樣，欲得（丙）命題的結論，我們不僅要有（甲）（乙）兩命題為前提，而且要有第三命題為第三前提。但這仍不夠，因為根據同樣理由，我們要加一命題「（甲）（乙）與第三命題聯合起來真蘊涵（丙）命題」為第四前提才行。由此一步一步地類推，（甲）（乙）兩前提之後，要有無量數的前提才行。那就是說，我們不能得（丙）命題的結論。
b. 我們或者要說以上是詭辯，但它有相當的理由。它表示蘊涵關係可以成為一串鏈子，不容我們中斷，而我們要得結論，那就是說，要使我們對於一命題能冠以「所以」兩字，我們非打斷那一串蘊涵關係不成。唯一打斷的法子就是承認以上（甲）（乙）兩前提既均蘊涵（丙）命題，只要承認（甲）（乙）兩命題我們就可以直接得（丙）命題的結論。如（甲）（乙）兩命題不蘊涵（丙）命題，則根本不能得（丙）命題的結論。問題是（甲）（乙）兩命題與（丙）命題之間有蘊涵關係沒有。如有，則用不著第三第四等等命題；如無，則根本不能得結論，根本就不能說「所以」。
c. 可是照以上的情形看來，如無成文的方式打斷蘊涵的鏈子，我們可以假設鏈子沒有打斷。如未打斷，則「所以」說不通。推論的原則一方面固然是普遍的推論方式，另一方面也可以說是打斷蘊涵鏈子的原則。從前一方面著想，它有積極的用處；從後一方面著想，它又有消極方面的用處。在自足的邏輯系統內，我們似乎免不了要有成文的推論原則。在P. M. 基本命題之中，有推論原則。
其他的推行工具如「同」「等」「代替」等等，其情形與蘊涵相似。它們都是使我們能說「所以」的根據。我們不必一一討論。在此處我們可以說「代替」在P. M. 系統中是一很重要的方式。p、q、r等既代表任何命題，則承認 之後，我們也承認 ；換言之，我們能以q代替p，以～q代替～p。代替的範圍可以毫無限制，所要求者，一致而已，那就是說我們不能以q代替p，以r代替～p。