邏輯 · 一、邏輯系統通論

A. 系統通論 每一句話劃分一種領域。領域有範圍大小的不同，內部的秩序有程度高低的不同。每一領域至少有一系統。所以每一句話均可以說有系統為它的背景，比方北京人說：「某某去串門去了。」其他不管，即「串門」二字，已有一系統為背景，在那一系統之內，可以有好幾個相聯的命題，而這些相聯的命題，聯合起來，定「串門」二字的意義。系統因有範圍大小的不同，及緊湊與鬆懈程度的不同，所以它的意義也就空泛而它的種類也就非常之多。平漢鐵路是一系統，美國政府是一系統，倫敦的地道車是一系統，國際聯盟也是一系統。所有的科學均為系統，而哲學系統是常用的名詞。我們所要提出的不是普遍的系統問題，也不是尋常在事實上所稱為系統的系統，而是演繹系統。 l. 演繹系統當然也有範圍大小與程度高低的問題。它的緊湊的程度比其餘非演繹系統的程度高。它的特點如下： a. 出發點可以武斷。演繹系統的出發點，從語言或命題方面說，大都是幾個基本命題。這些基本命題與非演繹系統的基本原則不同。非演繹系統的基本原則或者是已經證明其為真命題或者我們相信其為真命題。真假問題不能與這些原則分開。演繹系統的基本命題則不然，它們的真假我們可以不管。它們與普通的假設也不同。普通的假設——歸納法的假設與普通任何科學中的假設——都是我們盼望它為真，或猜想它為真，或有多少證據使我們暫時承認其為真的命題。演繹系統的基本命題則不然，我們不必盼望它為真，也不暫時承認它為真；即我們疑心它是假的，也無礙於那演繹系統之為演繹系統。一演繹系統的基本命題為那一系統的出發點，我們既不必證明或假設其為真，我們選擇的範圍比較廣，而究竟哪些命題為我們所選擇，就很有武斷的成分夾雜其間。 b. 演繹系統的思想，除最初利用幾個在系統範圍之外的思想外，其他都可以稱為自生的思想。所謂自生思想者即根據於系統的基本思想，用系統的產生工具與適合於系統所承認的方法而產生的思想。基本命題既不必為真，這些自生思想也不必適合於系統範圍之外的事物。茲以歐克里幾何為例。幾何可以視為一演繹系統，也可以視為一門科學。我們現在所要注意的是演繹系統的幾何。這個系統利用系統外的思想，如長寬厚等產生系統內的「點」「線」等思想。由「點」「線」等思想又產生「三角」「四方」等思想。嚴格地說，經驗中沒有那樣的點與線，但點與線不因此經驗問題就不能成為一演繹系統的基本思想。系統內的「三角」與「四方」是系統內自生的思想。這些思想雖可以與外界的情形符合，而不必與它們符合。即不與外界的情形或事物符合，而既為一系統的自生思想，它們仍有它們系統範圍之內的位置。 c. 演繹系統的各部分大都是互相關聯的。關聯的程度或有高低的不同，各部分的位置或有更改的可能，但一部分的更改總有使其他部分也有相當更改的必要。各部分的形式或有更改的可能，但一部分形式上的更改也使其他部分在形式上有相當更改的必要。一系統內的部分是這樣，一部分的分子彼此的關係也是這樣，我們似乎可以說一系統的部分與部分的關係，一系統分子與分子的關係，大都是內在關係。這裡的話免不了說得含糊一點，若要正確，篇幅就太長。我們所要表示的是：演繹系統內部的結構彼此牽連的程度可以使我們說整個的系統是一有機的系統。這可以說是從正面著想。從反面著想，一演繹系統的最低限度是內部不能有彼此不相融洽的地方。但一系統在事實上彼此融洽不足以表示它是演繹系統。 演繹系統或者尚有旁的特點，以上所舉的已經可以表示它之所以異於其他系統者何在，所以我們也不必再追求特點提出討論。 2. 演繹系統大都分作兩大部分：一曰演繹幹部，一曰演繹支部。幹部為系統的根本，支部為系統的枝葉。前一部所包含者為系統的基本概念與基本命題，後一部為由前一部所推論出來的命題。這不是說事實上所有的演繹系統都有一種成文的幹部與支部，事實上的情形或者不是這樣，但如果我們把任何演繹系統加以分析，我們可以把它分成一演繹幹部一演繹支部。演繹幹部可以分作二部，一為基本概念，一為基本命題；支部可以分作許多部分，也可以不分。幹部以下分兩段討論，支部不需特別討論；我們要表示的不過是幹部既定，支部隨之。 a. 基本概念部分。所謂基本概念即一演繹系統的最基本的概念。關於基本概念我們似應注意以下諸點： （一）基本概念可以有定義，也可以無定義。我們可以用系統外之思想定一系統基本概念的意義，也可以不用系統外的思想，同時也就不給一系統的基本概念下定義。我們所要注意的是在一系統範圍之內，我們不能用那系統的概念想給那一系統的基本概念下定義。我們可以說，如果我們在一系統的立場上，那一系統的基本概念是不能以那一系統的思想去下定義的；如果我們不在任何系統的立場上，一系統的基本概念似乎都是可以下定義的。 （二）一系統不必有它所有的基本概念，那就是說，我們承認哪一些概念為基本概念大有選擇的餘地。從質的方面說，含義狹的概念不容易用為基本概念。含義狹就不富於推論，不富於推論就不容易用為基本概念。系統的歷程大都是由簡而繁——這似乎是一件事實，但究竟是勢所必至的事實還是理有固然的情形，頗不易說——無論如何，複雜的思想不容易為基本的概念。我們對於基本概念雖有選擇的餘地，而選擇的範圍總免不了是一很小的範圍。 （三）從量的方面著想，一系統的基本概念的數目也是一問題。一方面基本概念的數目要少。恐怕偏於一邊的說法是愈少愈好。如果基本概念太多，它們可以多到不必分別基本與非基本概念的程度，而系統的歷程可以根本取消。基本概念的數目要少似乎是顯而易見，但另一方面有便利問題。有時基本概念的數目可以減少到最低限度，而到了最低限度的時候，推論的歷程太難、太長、太複雜，使求簡的志願，得之于思想方面，而失之於推論方面。我們似乎可以說基本概念的數目雖要少，但不宜少到減少推論不便利的程度。 b. 基本命題部分。關於基本命題我們應注意以下數點： （一）從量的方面著想，基本命題的數目也宜從少，但不宜少到不夠用的程度。所謂夠用與不夠用是指能不能推論所要推論出來的命題而言。每一系統不能缺乏它所必要包含的部分或命題，幾何系統要包含幾何學所必要的原則，邏輯系統要包含邏輯所必要的各部分。如果基本命題的數目少到不能推出一系統所必要的部分或命題，它們當然不夠用。所以基本命題一定要夠用。 （二）基本命題一定要一致。基本命題是一系統的大前提，其他所有的命題都可以說是基本命題的「結論」。如果基本命題彼此不一致，由它們推論出來的結論也不一致。如果一系統內的命題彼此不一致，則所謂演繹系統者根本就不是演繹系統。我們現在所要表示的是基本命題要一致。至於究竟一致與否是一問題，而此問題的各方面有各種不同的困難。好在我們現在用不著談到。 （三）基本命題要彼此獨立。所謂獨立者是說它們彼此不相「蘊涵」。如果一命題蘊涵另一命題，則後一命題可以由前一命題推論出來，如能由前一命題推論出來，則舉前一命題為基本命題等於舉後一命題為基本命題。那就是說舉前一命題已經夠了。若前後兩命題並舉，不過是費詞而已，其效果等於僅舉前一命題。基本命題的數目既求其少，則它們彼此獨立以免重複之病。 c. 演繹支部就是由演繹幹部所推論出來的各部分。此處所要注意的就是「推論」二字。「推論」二字或有含糊的地方，它們的含義至少有以下成分： （一）所有推論出來的部分，所有推論出來的命題，都是演繹幹部所能有的部分、所能有的命題。從心理方面說，或從認識方面說，推論出來的部分或者有「新」的部分，推論出來的命題或者有「新」的命題；但從演繹幹部所蘊涵的意義方面說，推論出來的部分或命題都是幹部所有或能有的部分或命題，所以它們不是「新」的部分或「新」的命題。 （二）推論出來的部分，都是已經證明的部分；推論出來的命題，都是已經證明的命題。證明與證實不同。證明僅有系統內的標準，證實尚有系統外的標準。如果我們把一演繹系統僅僅視為一演繹系統，我們僅有證明的問題；如果我們同時把它當作一門科學，則除證明問題之外，尚有證實問題。推論出來的部分或命題既雲「推論」出來，則必遵守一系統的標準與它的推論的原則。既然如此，則在一系統範圍之內，它們當然是已經證明的了。 （三）推論出來的部分或命題，其性質其界說均由幹部而定。幹部的思想與命題，如為幾何學方面的思想或命題，則推論出來的部分或命題也就是幾何學方面的部分或命題。其他由此類推。部分的長短，範圍的寬狹，命題的多少則不必因幹部而定。所謂不必因幹部而定者是說它們的標準可以是系統之外的標準。 3. 照以上所說一演繹系統之性質，因其幹部而定，所以幹部的性質亦即整個系統的性質。既然如此，演繹系統的種類也就是幹部的種類。現在我們要介紹一種演繹系統的通式。一種演繹系統的通式不是普遍演繹系統的通式，演繹系統不僅止於一種通式。一種演繹系統的通式本身不是一系統，好像Фx是一種命題的函量，而本身不是一命題。 a. 茲舉以下一種演繹幹部通式。 基本概念任指詞： （一）原子，a，b，c，… （二）運算或關係， 基本命題函量： b. 大部分的讀者對於以上或者感覺茫然。「原子」， 等等均不知應作何解釋。但以上以符號表示的公式其所以為幹部通式者，一方面就是因為它可以有解釋，而不必限於任何一解釋，所以沒有「應」作何解釋的問題。以上的系統可以作以下的解釋： （一）設以原子代表命題， 代表「或者」， 代表「與」，（a，b）代表任何命題， 代表「有」，U代表「真」，Z代表「假」， 代表「非a」，則以上基 （十）至少有兩個原子本命題函量都變成基本命題。例如（一）如（a，b）為兩命題，a或者b也是一命題。（三）如（a，b）為兩命題，「a或者b」等於「b或者a」。（九）的前一半為排中律，後一半為矛盾律。其他可以不舉，讀者可以自己去試一試。 （二）設以原子代表「類」， 仍舊，U代表所有分子的類，Z代表無分子的類 代表「非a類」，則以上基本命題函量也就都變成基本命題。第九命題說，「a類或者非a類是有分子的類」「a類而又非a類是無分子的類」。其他命題都說得通。 （三）以原子代表「區域」，或一種特殊的數目——如boolian integers——其餘符號加以相當的解釋亦都說得通。即以原子代表談論的範圍——universe of discourse——也可以說得通。每一個解釋是一個系統。這些可以解釋以上系統通式的系統是一種演繹系統，反過來說這一種演繹系統的通式就是以上所舉的系統的通式。 c. 因原子可以代表不同的東西， 可以代表不同的運算或關係等等，以上那種演繹系統通式可以解釋成性質不同的系統。那就是說，它可以解釋成一數目的系統，也可以解釋成一幾何的系統，也可以解釋成類的系統或命題的系統。如果我們把邏輯一字限制到它的狹義範圍之內，則一種演繹系統通式不必代表一邏輯系統。既然如此，以上所說的話雖可以說是與邏輯系統有關，而不必是對於邏輯系統的討論。究竟什麼樣的系統是邏輯系統，以後還要談到。 B. 演繹系統與邏輯系統的界說 每一演繹系統都劃分一領域、一範圍，或一界說。既有此情形，則必有達到此情形的工具。現在所要提出討論的就是這種工具。 1. 演繹系統劃分界說的工具。演繹系統劃分界說的工具大略可以分為以下三項：a.保留的工具，b.淘汰的工具，c.推行的工具。茲特分別討論。 a. 保留的工具。每一系統的原子就是那一系統所要對付的對象，每一系統的運算或關係就是運用那種對象的工具。有對象而無運用的工具，根本就不能有組織那對象的可能。有對象，有運用對象的工具，而無基本命題，則工具雖有，而運用工具的方法仍缺。基本命題的責任有時僅是一系統的大前提，有時兼是運用工具的法則。這兩種不同的情形以後再討論。無論如何基本命題總是一系統的前提。既是一系統的前提，則合於此前提的運用原子的方法，就是保留的標準。根據此保留的標準，原來的運用工具就變成了保留的工具。一演繹系統的支部都是要保留的部分。 b. 不合於基本命題的運用原子的方法就是淘汰的標準，而根據此標準，原來的運用工具就變成了淘汰的工具。可是在此處我們要注意以上曾經提及的一點，即一演繹支部的部分的大小，命題的多少，不是系統內的問題，那就是說，演繹支部雖都是一演繹系統所要保留的部分，而不必是一演繹系統所能保留的部分。有些部分雖可以保留而沒有保留，所以我們不能說沒有保留的部分都是要淘汰的部分，我們只能說要淘汰的部分都是不能保留的。這樣一來有些部分既不必保留，也不必淘汰。這些「中立」部分有時有特別的情形是我們所應注意的。對於這一層，以後到相當時期再說。 c. 推行工具。以上保存的工具與淘汰的工具都包含推行的工具。可是推行的工具有時在系統範圍之內，有時在系統範圍之外，這要看基本命題是否僅是一系統的前提，或兼是那一系統的運用工具的法則。如果基本命題僅是前者，有些推行工具在系統範圍之外；如果兼是後者，則所有推行工具均在系統範圍之內。所謂推行的工具即以上所說的「自生」的工具，沒有這種工具，一演繹系統的幹部就不能「動」，那就是說，支部「生產」不出來，而系統就不成其為系統。 以上三種工具不過是分析出來的情形，事實上它們好像耕田的犁一樣，犁一動，土就分，界限也就隨之而出。但說到系統的界說，我們不能不說分析的話。邏輯系統的特別情形是由這樣的分析才能比較地弄清楚。 2. 邏輯系統的界說。邏輯系統與其他演繹系統的分別不是原子的分別、運算的分別，或關係的分別。以上所舉的一種系統通式可以解釋成幾何學、類學、命題學，或幾何系統、類的系統、命題的系統。一演繹系統不因其原子為點線等等就不是邏輯系統，也不因其原子為類為命題就變成邏輯系統。邏輯系統可以說是沒有特殊的原子，它的獨有情形不在原子而在它的系統所要保留的「東西」，（此處用「東西」二字是因為我們不知道更便當的名詞）。為表示邏輯系統之所以為邏輯系統起見，我們請注意以下諸點： a. 「可能」二字不易解釋，假設我們知道它的意義。每一件事實是一個可能，可是每一個可能不必是一件事實。演繹系統既如A段所述不必牽扯到真假問題，當然也就不必限於一件一件的事實，或表示一大堆事實的自然律或普遍命題。它所包含的總有一部分是可能的研究，或者總有一方面可以視為可能的研究。有些系統可以視為可能的分類，可能的分類也不限於一可能，最便當的或者是把可能分為兩類。但如果我們不怕麻煩，我們也可以把它分為三類或四類。簡單地說我們可把它分為「n」類。 b. 把可能分為「n」類之後有兩種很重要的性質發生：一為承認所有的可能，一為否認所有的可能。如果一個演繹系統是一個分可能為「n」類的系統，則在那一系統範圍之內，列舉「n」可能中各可能而分別承認之，是那一系統所無法逃避的情形。這情形我們以「必然」二字形容之。設一系統把可能分為兩類，分別承認此兩種可能的命題在那一系統範圍之內為必然的命題。設另一系統把可能分為三類，分別承認此三類的命題在第二系統範圍之內為必然的命題。我們可以說在分可能為「n」類的系統範圍之內，分別承認「n」可能的命題為那一系統的必然的命題。 c. 以上是分別承認所有的可能，還有否認所有可能的情形。如果一個演繹系統是分可能為「n」類的系統，則在那一系統範圍之內，列舉「n」可能中之各可能而均否認之，是那一系統所不能承認其為可能的情形。這情形我們以不可能或「矛盾」一字形容之。設一系統把可能分為兩類，否認此兩類可能的命題為矛盾的命題。設另一系統把可能分為三類，則否認此三類可能的命題在第二系統範圍之內為矛盾的命題。由此類推，在一分可能為「n」類的系統，否認此「n」可能的命題為那一系統的矛盾命題。 3. 邏輯系統的特點如下： a. 邏輯系統有保留的標準、保留的工具與所要保留的情形。邏輯系統之所以為邏輯系統者，其特點照許多人分析，就在它所要保留者，是必然的情形。必然的情形是相對的抑或是絕對的頗不易說。這個問題還是一般人繼續在那裡打筆墨官司的問題。我們在此處不討論這個問題，我們假設表示必然的方式是相對的。所謂相對者是說可能的分法不止一種，各種分法有表示必然的方法。但無論如何在一種系統範圍之內，只有一種必然，只能有一種必然。從命題方面著想——系統總可以當作一大堆相關聯的命題看待——如果一系統所要保留的都是那一系統的必然的命題，則那一系統是一邏輯系統。此處說「要保留」而不說「保留」者，因為邏輯系統所保留者在事實上，至少在事實上，或者還沒有做到都是必然命題的地步。 b. 邏輯系統有淘汰的標準、淘汰的工具與所要淘汰的情形。這所要淘汰的情形就是以上所說的矛盾的情形。從命題方面說，所要淘汰的是矛盾的「命題」。 c. 保留與淘汰可以說是同時並進。既雲並進，就表示有推行的工具。邏輯系統的推行的工具有所謂「蘊涵」，有「同」有「等」有「代替」。這些工具也可以說是與系統相對的。「同」與「等」或者有超過一特殊系統範圍之外的意義，這一點我們現在不必討論。現在所要注意的就是邏輯系統所要保留的既是必然的命題，推行的工具就是把各種形式不同的必然的命題保留起來，加以組織，使它們成一系統。 以後關於必然、關於矛盾、關於蘊涵等等都要分別討論，此處不贅。邏輯系統的特點既如以上所述，也就免不了有牽連出來的情形。照以上所說，邏輯系統的特點就是「必然」，而此「必然」的形式問題與實質問題有應特別注意的情形，我們似應分別討論如下。 4. 必然之形式。此處「形式」二字的意義與普通的不同，它們所指的是我們用以表示必然的工具的形式。此處說「必然之形式」而不說「必然的形式」者，是因為我們所要提出的是「form of tautology」而不是「tautological form」，必然之形式是相對的。以上我們曾經說過，我們假設必然的表示是相對的，那時候我們沒有把形式與實質分別討論。現在我們要分別討論，分別之後，我們所要表示的必然之形式是相對的。 a. 照以上所述：二分法的系統把可能分為二類，三分法的系統把可能分為三類，「n」分法的系統把可能分為「n」類。承認二分法系統中兩可能的命題為二分法系統中的必然命題，承認三分法系統中的三可能的命題為三分法系統中的必然命題，承認「n」分法系統中的「n」可能的命題為「n」分法系統中的必然命題。這些不同系統中的必然命題都不同。事實上現在有三分法的系統。 b. 每一系統有它的基本概念與基本命題，那也就是說，每一系統有它的出發點，每一系統的出發點是否為必然的出發點呢？必然不是原子，不是運算，也不是一種簡單的關係；如果它是關係的時候，它是根據系統所認為合法的聯合方法而組織起來的複雜關係。那麼，基本概念無所謂必然。基本命題是否是必然的命題？這問題不容易得一答案。但我們可以假設一系統的基本命題也都是那一系統的必然命題，進一步問那一系統的出發點是否也就因此成為必然的出發點，還是不能。出發點的形式不僅靠基本命題，也靠基本概念，而基本概念無所謂必然。 c. 現在的問題是基本概念是一系統範圍之內的思想呢，還是一系統範圍之外的思想呢？我們可以把基本概念當作解釋系統的思想，如果它們是解釋系統的思想，它們可以是系統範圍之外的思想。但我們也可以把它們當作一系統的原質，如果它們是系統的原質，它們也就是系統範圍之內的思想。至少從P. M.的系統看來，後說近似。但無論如何，即令所有的基本命題都是一系統的必然命題，即令必然命題之所以為必然與基本概念無涉，而所以表示那一必然的工具仍是靠基本概念。基本概念既無所謂必然，表示必然命題的工具——此處的工具不是符號——也就不是必然的。那就是說必然之形式是相對的。 以上a條所說的或者是偶然的情形，我們不能以之為以上結論的前提。但如果b、c兩條的話靠得住，則即令把事實上所有的系統都聯絡起來成一整個的系統，而那一整個的系統的形式仍不是必然的形式。無論一必然之系統是否同時就是一必然的系統，我們至少總可以說一系統的形式不是必然的。 5. 必然之實質。上面所說的形式是表現的形式，此處的實質是形式所表現的實質。形式與實質兩字，或者容易發生誤會。我們可以利用C. Peirce的字眼，說上面的形式是「token」，此處的實質是「type」。如果美金一元是一個「type」，在我的經驗中，這個「type」至少就有兩個「token」，一為「美金一元」的錢票，一為「美金一元」的銀元。利用比方總不免有毛病，但如果利用比方可以間接地使我們領會到此處形式與實質的分別，我們也就不必十分注意其流弊。 必然之實質與必然之形式問題不同。以下諸點似應特別注意： a. 必然之形式雖不必然，而必然之實質是必然。這命題的後面這一部分就等於表示同一律。同一律既不能否認，從這一方面著想. 必然之實質不能不是必然。我們要注意，在文字上，「必然之形式」與「必然之實質」雖有同樣的形式，而前者不等於「必然形式」，後者等於「必然實質」。那就是說無論必然之形式如何，必然之實質則一。因其有此實質，所以不同的邏輯系統都是邏輯系統；也因其有此實質，所以也有以下應特別注意的情形。 b. 無論必然的形式如何，一必然命題總是普遍的。這裡的普遍，與自然律及其他真的普遍命題的普遍不同。後一種命題是可以假而適無往而不真的普遍命題，必然的命題根本就不能假。因其不能假，其所以真者也與其他命題的真不同。它不形容事實，而範疇事實，事實無論如何地變，總逃不出一必然命題的圈子。一邏輯系統既為必然之系統，則無論事實如何，它總可以引用。 c. 必然命題，不僅能普遍地引用於任何事實，而且也是推論的普遍公式。這一層似乎是近代新邏輯學的發現。此處的推論不是歸納方面由相當證據而得到相當結果的推論，它是由前提而得到結論的推論。這一種推論都有它們的普遍公式，而各種不同的推論公式，在一邏輯系統範圍之內，都可以用必然命題表示之。所謂邏輯系統者無非是把各種不同的推論公式條理之、組織之，定其系統方面之先後，而以必然命題表示之。既然如此，一邏輯系統不僅能普遍地引用於事實，而且也是一普遍的對與不對的標準。 d. 照以上第3條的說法，邏輯系統所保留者既為必然命題，而所淘汰者既為矛盾，則有許許多多的命題，既不是一邏輯系統所要保留，也不是一邏輯系統所要淘汰。這些命題可以說既不在一邏輯系統範圍之外，也不在一邏輯系統範圍之內。承認與否認它們的標準不是邏輯，而是觀察、實驗、試驗，等等。各種科學中的命題都在這個範圍之內。但這些命題的關係雖不必為必然，也不能為矛盾。若為矛盾則必為邏輯所淘汰。一命題與真命題一致者雖不必真，而與真命題不對者必假；邏輯既為普遍的對與不對的標準，當然也是一範疇各種科學的普遍工具。 e. 本條所說的話，都是從必然之實質方面著想而不是從必然之形式方面著想，是從邏輯系統的實質方面著想而不是從邏輯系統的形式方面著想。每一邏輯系統都是邏輯之所能有的一種形式，所以每一邏輯系統都代表邏輯，可是邏輯不必為任何一系統所代表。邏輯系統是一種形式，雖然是必然之系統，而本身不是必然的。邏輯的實質就是必然，必然既不能不是必然，邏輯也不能沒有它的實質。我們在本條所注意的既然為實質，所談的問題就是邏輯；但以下又回到邏輯系統的問題，所以在下節我們還要談邏輯系統。 C. 邏輯系統的幹部 1. 自足的系統與不自足的系統。自足的意思是無求於外，不自足的意思是有求於外。邏輯系統有自足與不自足的分別。茲先以一不自足的演繹系統表示不自足的情形，然後提出自足的要求與達到此要求的辦法。 a. 幾何系統是一不自足的系統。它利用「同一」的思想，利用「所以」的思想，似乎也利用「不可能」的思想；可是它本身沒有解釋這種思想。它假設在它範圍之外，有邏輯隨時可以供給它所用的一部分的原則。我們當然可以說幾何系統不是邏輯系統，它可以利用一比較根本而同時更普遍的邏輯系統為它的基礎。但不僅幾何系統有此情形，即布爾（George Boole）的邏輯系統也有此情形，可見有時邏輯系統也是不自足的系統。 b. 現在的邏輯系統大都是自足的系統，而自足的情形恰與以上所說的相反。系統內所引用的思想均為系統本身所供給。欲達到此目的，一系統不但要把它的幹部的特別情形所應有的思想包括在內，而且要把那一系統所引用的思想都包括在內。自足的邏輯系統可以使我們說，如果我們承認它、引用它，我們不必正式地利用那一系統範圍之外任何學問、任何科學、任何其他的系統所有的材料。這在從前似乎是不容易辦到的事體，而現在似乎易辦到。 c. 達到此目的的辦法似乎是兩層。一方面以基本命題為系統的大前提，另一方面又以之為推論的公式。這樣一來，大前提固在系統範圍之內，推論的公式也在系統範圍之內。以幹部為前提，支部的命題都是結論，以幹部為推論的公式，則由前提到結論的歷程不過是一部分幹部的引用而已。P. M. 的辦法即如此。基本命題之中以普通語言表示的命題似均為推論的公式。既然如此，不僅「如果——則」，而且「所以」亦在系統範圍之中。這就是所謂自足的系統。 為使系統自足起見，基本概念的選擇不能不慎，而基本命題也要夠以上所說的兩方面的用處。但這不過是系統方面的問題，那就是說是表示方面的問題。所表示的實質仍在保留必然與淘汰矛盾。此目的之達到與否，達到的方法如何，方法之便利與否，均為表示問題，均為系統問題。以下對於基本思想與基本命題的討論，均可以視為保留必然、淘汰矛盾的工具或方式的討論。 2. 基本概念、基本命題，等等。 關於基本概念與基本命題等等的問題，本部第三章將從長討論。