邏輯 · 三、類與關係的推演
本章分兩節，A節為類的推演，B節為關係的推演。A節分1、2兩段，1段為普遍的具類詞的命題，2段為類的推算；B節也分1、2兩段，1段為普遍的具關係詞的命題，2段為關係的推算。本章的各段不過選出原書中幾個命題而已。
A. 類的推演
本節的1段承上接下，介紹具類詞的命題；2段為類的推算。所謂類的推算者就是近代符號邏輯新興時期的calculus of classes。
1. 普遍的具類詞的命題。
本段的命題可以分為三組。第一組表示類的基本質，第二組是具類詞而同時又具敘述詞的命題，第三組的命題表示「類」與個體有同樣的質。本段的各命題既大都有註解，各組命題無另條表示的需要。
（具類詞的命題表示定那一類的命題函量的外延質。它的真假值根據於定類的命題函量的外延，而不根據於引用那一命題函量為定類的命題函量。）
（這三命題成一套，而最後這一命題總結前兩命題。它表示只有兩真假值相等的命題函量才定一類。那就是說，兩命題函量的真假值不相等，它們所定的類是兩類。所謂命題函量的真假值相等者，就是說滿足第一命題函量的個體就是滿足第二命題函量的個體。這是類的根本條件。)
（如果兩類相等，則此兩類中任何一類有一性質，另一類亦有之。）
（這三命題中第一命題表示類的相同有自反質，第二命題表示類的相同有對稱質，第三命題表示類的相同有傳遞質。但這三命題不是直接從第二章C節2段的13.15，13.16，13.17推論出來的。 不是fx的值，那就是說，x不指 這樣的東西，而 也不是x=y的例。）
（任何類A是滿足φz的個體，同時也是滿足ψz的個體，此兩命題函量所定的類是一類。）
（此命題表示只有ψx是真的，x才是ψx所定的類的分子，「 」代表「是分子」，這是個體與個體的類的關係。它不是包含關係，它沒有傳遞質。從這一方面著想，「所有的人都是有理性的，所有的聖賢都是人，所以所有的聖賢都是有理性的」與「所有的人都是有理性的，孔子是人，所以孔子是有理性的」這兩個三段論的形式根本不同。）
（兩類相同等於說任何x屬於頭一類就是說它屬於第二類。總而言之，對於類所注重的是外延。）
（x與y相同等於說x屬於任何類就是說y屬於該類。此命題與20.25那一命題一樣把類詞用為表面任指詞。）
（此命題與20.31一樣，只不過A、B，這樣的符號簡單而已。）
（這個命題不僅是具類詞的命題，而且是具敘述詞的命題。舉例來說：《春秋》的作者屬於人類等於說《春秋》的作者是人。以φ代表作《春秋》，（τx）（φx）就代表《春秋》的作者；以ψz代表z是人，z^（ψx）就代表滿足ψz這命題函量的個體，那就是說人類，而此命題的前一部分就是說《春秋》的作者是人類的分子；此命題的後一部分說《春秋》的作者是人。）
（設以b代表孔子，（τx）（φx）仍代表《春秋》的作者；這個命題說《春秋》的作者是孔子等於說《春秋》的作者是任何一類（A）的分子，就是說孔子是那一類的分子。）
（仍以舉例表示：有《原富》的作者就是說有某個體，說《原富》的作者屬於一類等於說那個體屬於那一類。）
（這裡表示不僅有敘述個體的詞，而且有敘述類的詞。（τA）（fA）這符號與（τx）（φx）那一符號有同樣情形，不過事實上的例比較困難一點而已。第三組表示類與個體有同樣情形的命題，本書不抄。）
2. 類的推算（calculus of classes）。
a. 在本書第四部的第一章A節里，有一系統通式。那個系統通式可以有各種不同的解釋。如果我們以類去解釋那個系統通式，我們所得的就是這裡的類的推算。如果我們以命題去解釋那系統通式，我們所得的就是本書第三部的第一章。
經解釋後，那個系統通式，所有的基本命題，在此處大都能證明；其所以如此者，因為這些基本命題所表示的道理，前此已經承認。
這裡的類的推算未開始之前，就有好幾個定義，可是我們不必抄寫，因為定義既下，跟著就有好幾個命題把這些定義都容納在裡面。
b. 所選擇的命題。
的定義就是本命題的後部。這符號可以讀成「A類包含在B類之中」。這命題說：A類包含在B類等於說如果任何個體屬於A類，則那一個體屬於B類。在P. M. 的程序中，作者利用命題的蘊涵以表示類的包含關係。）
的定義就是本命題的後一部分。這符號可以讀成「既是A又是B的類」。滿足「x既屬於A又屬於B」這一命題函量的「x個體」就是 類。）
（情形同上，不過改「與」為「或」而已。）
（「—A」即非A類。非A類就是滿足「x不屬於A類」這一命題函量的個體。這裡利用否定命題以表示負類。）
（「A—B」可以讀成A類與非B類，或既A而又非B類。有定義說A—B就是 。）
（這命題說：說x屬於既A又B類等於說x既屬於A類又屬於B類。）
（這命題說：說x屬於或A或B類等於說x屬於A類或者x屬於B類。「或」與「與」的情形在此處一致。）
（這個命題表示，說x屬於非A類等於說x不屬於A類。這樣一來，命題的「不」與類的「非」完全一致。）
（非A類不是A類或非A類與A類不是一類。P. M. 以後用這個命題證明至少有兩類存在，而「至少有兩類存在」這一命題就是本書在第四部第一章所舉的那個系統通式中經解釋後的一命題。這一命題本書不預備抄下，僅在此處提及而已。）
是類， 是類。這兩個命題就是方才所說的那系統通式中經解釋後起頭的兩個命題。「Cls」這符號代表類。）
（這裡表示非A是類。）
（說A類包含在B類而B類又包含在A類，就是說任何x是A類的分子等於說它是B類的分子。兩類互相包含，則實同，所謂實同者就是說它們的外延完全一樣。）
（這與以上命題一樣，不過直接表示兩互相包含的類相同，而沒有說它們的分子而已。）
（任何類包含自己。這與「 p p」相似。）
（既A又B的類包含在A類。或許有人感覺這命題奇怪。如果有人以為 是A、B兩類之「和」而「和」又是兩類相加的意思，那麼 不會包含在A類。但 為「既A又B」類——例如有理性的動物類，其分子當然都是有理性類的分子，也當然都是動物類的分子——而「既A又B」類不能不包含在A類，也不能不包含在B類。）
（這命題說：如果A類包含在B類，B類包含在C類，則A類包含在C類。這也是三段論。如果把 寫在 的前面，這命題可以解作傳統邏輯中的「barbara」。）
（這也是三段論。可是與上面不同的地方就是這裡的 不是類與類包含的關係，而是個體與類的關係。「 」無傳遞質而 有傳遞質。這個命題與以上那個命題應該有明文的分別。）
（說A類包含在B類，A類也包含在C類，等於說A包含在既B又C類。）
（這就是22.441那一命題，不過把前件的秩序變更而已。）
（如果A類包含在C類，則既A又B類包含在C類。這個命題參考22.43就能夠清楚。）
（如果A類包含在B類，則既A且C類包含在既B且C類；如果A類等於B類，則既A且C類等於既B且C類。讀者請舉例即明。）
（如果A類包含在B類，C類包含在D類，則既A且C類包含在既B且D類。讀者請舉例。）
（既A而又A類等於A類。這裡表示「既是人而又是人，其結果還是人」。一方面類的「和」與數的「相乘」不同，另一方面與中文文字的一部分的習慣不要相混。風風雨雨的意思不僅止於風雨，但邏輯上既A而又A的類還是A 類。）
（這兩命題都是第四部第一章那個系統通式中的原則。第一命題表示A與B兩類的「與」，它們彼此的位置可以掉換。第二命題表示A、B、C三類的「與」，把任何兩類視為一類與其餘一類的相與等於把任何其他兩類視為一類與其餘的一類的相與。）
（如果A類等於B類，則說A類包含在C類等於說B類包含在C類。）
（如果A類等於B類，則說C類包含在A類等於說C類包含在B類。）
（如果A類等於B類，則或A或C類等於或B或C類。）
（22.5那一命題說既A而又A類是A類，22.56這一命題說A或A類是A類。邏輯上的「與」與數學上的「乘」，邏輯上的「或」與數學上的「加」都不同。）
（這一命題表示A、B兩類的「和」，彼此的位置可以掉換。）
（A類包含在A或B類，B類包含在A或B類。這是顯而易見，因為A或B類可以包含三類：1，A類；2，B類；3，既A而又B類。）
（說A類包含在C類，而B類也包含在C類，等於說A或B類包含在C類。在此處我們要注意說A包含在B類，或A包含在C類，不等於說A類包含在B或C類；那就是說，
是假的。 雖是真命題，那就是說，如果A類包含在B類，或者A類包含在C類，則A類包含在B或C類；而
是假的，那就是說，如果A類包含在B或C類，不一定A類就包含在B類或者A類就包含在C類。讀者可以用圖形表示這裡所說的道理。）
（說x是A或B類的分子等於說無論C是什麼類，如果A類包含在C類，而B類也包含在C類，則x是C類的分子。）
（這是顯而易見的道理，讀者或以語言或以圖形表示均可。）
（這也是顯而易見的道理，以圖形表示非常之容易。）
（這與以上成一對，而這一對命題表示「或」與「與」的分別。）
（這命題在語言方面頗麻煩，用圖形很容易表示。）
（這與22.63那一命題也成一對，讀者自己設法表示。）
（如果A類等於B類，則A類等於既A而又B類。可是反過來說不通。如果A類等於既A又B類，A類固可以等於B類，但也可以包含在B類。）
（如果A類包含在B類，則A或C類就是既A又B類或C類。）
（如果A類包含在C類或B類包含在C類，則既A又B類包含在C類。既A又B類是A類的一部分，它也是B類的一部分，所以無論前件兩條件中哪一條件是真，後件總是真。可是反過來說不通。如果既A又B類包含在C類，非B的A類不必包含在C類，非A的B類不必包含在C類。）
（此命題在22.59已經討論過，此處不贅。）
（這是顯而易見的道理，讀者以圖表示之即明。）
（這兩命題成一對。用語言表示不如用圖形表示。茲以前一命題為例：前部以甲、乙、丙三圖表示之，後部以（一）（二）（三）圖表示之。以下丙圖與（三）圖表示同一的類。22.69那一命題可以用類似的方法表示。）
（這與22.52那一命題成對。三類的和，把任何兩類的和視為一類與其餘一類相和，等於把任其他兩類的和視為一類與其餘一類相和。以語言表示此命題似乎很難聽，還是用圖形好。）
（這兩命題很容易明白，讀者自備方法表示。）
（說既A又B類包含在C類，而既A又C類又包含在B類，等於說既A又B類就是既A又C類。以圖形表示更容易。）
（非非A類就是A類，在類方面再負為正好像在命題方面再假為真一樣。）
（說A類包含在B類等於說非B類包含在非A類。混沌一點地說，說所有的A都是B等於說所有的非B都是非A。）
（說既A又B類包含在C類，等於說既A又非C類包含在非B類。）
（說A類等於B類等於說非A類等於非B類。）
（這四個命題名為De Morgan公式。它們都表示「與」與「或」的關係。茲以語言表示第一命題即夠：「非既A又B類等於非A或非B類。」茲以下圖表示：
圖中「非1」等於「或2或3或4」。但「或2或3或4」就是「非A或非B」，因為「非A或非B類」中的「或」既為相容的或，這一類所包含的可能共有以下三類，即A而非B，B而非A，既非A而又非B；換言之，即圖中的「或2或 3或 4」。）
（這就是說任何個體是A或非A類的分子。無論x是什麼個體，它不是A類的分子，就是非A類的分子，同時不是非A類的分子，就是A類的分子。這是排中律的一種表示。）
（這就是說任何x不是既A而又非A類的分子。這是矛盾律的一種說法。）
（在語言方面， 頗不易表示。圖形表示毫無問題。）
（在語言方面有以上所說的情形。）
（如果A類包含在B類，則B類等於A類或非A的B類。如果A類包含在B類，則B類可以分作兩部分，一是既A又B類，二是B而非A類。無論第二類存在與否，B類總是第一類或第二類。）
在語言方面有困難，不易表示。圖形表示無問題。）
B. 關係的推演
本節與A節一樣，分為兩段：1段介紹具關係詞的命題；2段為關係的推算。所謂關係的推算者就是英文中的calculus of relations。
1. 普遍的具關係詞的命題。
本段的命題與A節的1段一樣。本系統所注重的類是外延的類，本系統所注重的關係是外延的關係。類是滿足φx這樣命題函量的個體，關係是滿足φ（x，y）這樣命題函量的個體。類是 這符號所表示的東西，關係是 這樣符號所表示的東西。具類詞的命題其形式為 ，具關係詞的命題其形式為 ）。
以下所舉的具關係詞的命題，在原書中排列在類的推算之前，所以命題以號數為「21.」而非「23.」。這些命題也可以分為三組，但我們不必有明文的表示。本段所選擇的命題如下：
（具關係詞的命題表示定那一關係的命題函量的外延質。它的真假值根據命題函量的外延，而不根據於引用那一命題函量為定關係的命題函量。）
（這三個命題成一套，最後一命題總結前兩命題。它表示只有兩真假值相等的命題函量才定同一的關係。兩命題函量的真假值不相等，它們所定的關係是兩關係。所謂命題函量的真假值相等者，就是說滿足第一命題函量的個體就是滿足第二命題函量的個體。注重關係的外延，這是根本條件。）
（如果兩關係相等，則此兩關係中任何一關係有任何質，另一關係亦有之。）
（這三個命題成一組，第一命題表示關係的相同有自反質，第二命題表示它有對稱質，第三命題表示它有傳遞質。關係的相同與類的相同一樣，這三個命題不是從第二章 C 節 2 段的 13.15、13.16、13.17 直接推論出來的。f（x^ y^ φ（x，y））既不是 fx 的值， 也不是 x=y 的例。）
（這兩命題與以上21.22那一命題也可以成一套。它們都表示與一共同關係相同的兩關係彼此也相同。）
這符號表示 x 與 y 有 ψ（x，y）這一命題函量所定的關係。這命題表示只有ψ（x，y）是真的，x與y才有ψ（x，y）所定的關係。）
（兩關係相等等於說任何（x，y）有頭一關係等於說它們也有第二關係。這就是說，要有後一部分所說的滿足情形，兩關係才相等。）
（以R代替 ，當然便利得多。談關係而不必提到定那關係的命題函量的時候，複雜的符號如 均可以用簡單的R代替。在任何（x，y）有R關係等於φ（x，y）是真的條件之下，R是φ（x，y）這命題函量所定的關係。）
（如果說任何x與任何y有R的關係等於說它們有S的關係，則R與S兩關係相等；如果R與S兩關係相等，則說任何x與任何y有R關係等於說它們有S關係。）
（說任何關係S與R相等，則說它就是φ等於說R是φ。要舉實例，比較麻煩。請注意這裡的（S）表示關係也可以有表面任指詞。在這一點上，個體、類、關係也有一致的情形。）
（有等於R的S關係而它是φ等於說R關係是φ。這命題與以上那個命題成一對。）
（此處的命題用一句話講本來是不容易的事，而這一命題似乎更難。意思大約可以有以下的表示：說任何（x，y）有R關係等於說φ（x，y），這裡所說的這個R關係就是φ（x，y）命題函量的（x，y）。
（這個命題不過是說有以上21.55所敘述的R關係。這兩個命題都以關係為敘述詞。）
（滿足一命題函量的個體就是與它相等的那關係。）
（這命題的前後兩部分的關係與傳統邏輯中的I與E的關係相似。有是f的R關係等於說「無是f的R關係」是假的。）
2. 關係的推算（calculus of relations）。
a. 這一段的命題與類的推算那一段的命題相似。類的推算可以說第四部第一章的那系統通式的解釋，關係的推算也可以作如此看法。這裡的關係是外延的關係，以上21.58那一命題就表示本系統的關係是外延的關係。所謂關係的推算者是說這裡的這個推算中的原子。
推算未開始之前，就已有好幾個定義；可是這裡的情形與類的推算的情形相似；我們不必抄寫定義，因為定義既下，跟著就有好幾個命題把這些定義都容納在內。
b. 所選擇的命題。
（這裡關係間的 與類間的 、命題間的 相似。命題間的 我們讀為「蘊涵」。類間的 我們讀為「包含在」，可是關係間的 ，我們不知道如何讀法好。符號方面的定義已經容納在這一命題之中。如果我們把 讀作包含在，這一命題說R關係包含在S關係之中，等於說如果任何x與y有R關係，它們就有S關係。P. M. 的作者也是利用命題方面的 去表示關係方面的 。）
（關係間的 與類間的 、命題間的「·」相似。這似乎也可以用「與」「和」「同」「既……又」等等字眼去表示。它的定義就是本命題的後一部分。這裡也是用命題方面的「·」去表示關係方面的 。這命題也表示這裡的關係是外延的關係。
（關係間的 與類間的 、命題間的 相似。這似乎也可以用「或」表示，它的定義就是這命題的後一部分。關係方面的 也是用命題方面的「 」去表示。）
（關係方面的「 」與類方面的「—」、命題方面的「～」相似。「 」的定義就是本命題的後一部分，而這定義也就是利用命題方面的「～」去表示關係方面的 。）
（是R關係而不是S關係就是滿足「xRy是真的而xSy是假的」這一命題函量的（x，y）。我們要清楚，這裡的R關係就是有R關係的（x，y），那就是說R的外延。）
（x與y有R與S的關係，等於說x與y有R關係，而且x與y有S的關係。）
（x與y有R或S的關係，等於說x與y有R關係或者x與y有S的關係。這一對命題表示關係間的「或」與「與」等於具相當形式的命題間的「或」與「與」。）
（如果我們把 讀為「非」，這個命題說x與y有非R的關係，等於說x與y有R關係是假的。）
（非R關係不是R關係。22.351那一命題說非A類不是A類。P. M. 用那一命題證明至少有兩類，我們似乎也可以利用這裡這個命題證明至少有兩關係。）
（「Rel」這符號表示關係。這兩個命題無非是表示 與 都是關係。如果我們把關係視為第四部第一章那個系統通式的原子，這兩個命題就是那系統的最初兩個基本命題。）
（這個命題表示非R也是關係。）
（說R關係包含在S關係而S關係又包含在R關係，等於說任何x，y有R關係等於說它們有S關係。兩關係互相包含，則它們的外延一樣。）
（這與以上一樣，它不過直接表示兩互相包含的關係相等，沒有提到分子問題。）
（任何關係包含它自己，這與命題方面的 」、類方面的 相似。）
（這與類方面的 那一命題相似。在那一命題註解下所說的話這裡也可以說。）
（這命題說如果R關係包含在S關係，S關係包含在T關係，則R關係包含在T關係。這是關係方面的三段論。三段論不限於命題，也不限於類。例如：如果x是y的學生，x就比y年輕；x比y年輕，x就是y的後輩；則x是y的學生，x就是y的後輩。）
（如果R關係包含在S關係，而x與y有R關係，則x與y有S關係。讀者自己舉例。）
（如果R關係包含在S關係，而又包含在T關係，則R關係包含在既S而又T的關係。此命題僅表示「如果……則」的關係，其實前件與後件的真假值相等。）
（這就是23.441那一命題，不過前件中的兩命題的位置彼此更換而已。）
（如果R關係包含在T關係，則既R而又S的關係包含在T關係。這個命題可以利用23.43那一命題及三段論來證明。例如：
此處及以前的命題，讀者均可以自己設法證明以為訓練。）
（如果R關係包含在S關係，則既R而又T的關係包含在既S而又T的關係。如果R關係與S關係相等，則既R而又T的關係等於既S而又T的關係。讀者或舉例或證明。）
（如果P關係包含在Q關係，而R包含在S關係，則既P而又R的關係包含在既Q而又S的關係。）
（既R而又R的關係就是R關係。x既在y的左邊，而又在y的左邊，其結果仍是x在y的左邊。）
（第一命題表示兩關係的相「與」，與兩類的相「與」一樣，不受它們的位置更換的影響。第二命題表示三關係的相「與」，把任何兩關係視為一組，等於把任何其他任何兩關係視為一組。）
（如果R關係等於S關係，則說R關係包含在T關係，等於說S關係包含在T關係。）
（如果R關係等於S關係，則說T關係包含在R關係，等於說T關係包含在S關係。）
（如果R關係等於S關係，則或R或T的關係等於或S或T的關係。）
（23.5說既R而又R的關係就是R關係，此命題說R或R的關係就是R關係。這兩命題成一對表示邏輯上關係的相「與」與數的相乘不一樣，邏輯上關係的「或」與數的相加不一樣。）
（兩關係的和不受彼此前後位置的更換的影響。）
（R關係包含在或R或S的關係，而S關係也包含在或R或S的關係。）
（說R關係包含在T關係，S關係也包含在T關係，等於說R或S關係包含在T關係。請看22.59的註解。）
（說x與y有R或S的關係，等於說如果R關係包含在任何T關係，而S也包含在任何T關係，則x與y有T關係。）
（如果R關係包含在S關係，則R關係包含在S或T的關係。）
（說R關係包含在S關係，等於說R或S的關係就是S關係。）
（說R關係包含在S關係，等於說既R而又S的關係就是R關係。這兩命題是一對，表示「或」與「與」的分別。）
（這命題在語言方面頗麻煩。參考22.63那一命題。讀者試以圖形表示。）
（這命題與以上成對，情形同樣。）
（如果R關係等於S關係，則R關係等於既R而又S的關係。反過來說不通。如果R關係等於既R而又S的關係，R關係固可以等於S關係，但也可以包含在S關係。）
（這命題在語言方面頗麻煩，讀者試以圖形表示。）
（這命題與22.64那一命題相似，請參考那一命題的註解。）
（參考22.59及22.65兩命題的註解。）
（如果R關係包含在S關係，則R或T的關係包含在S或T的關係。）
（這兩命題成一對。請參閱22.68與22.69那兩個命題的註解。）
（語言表示非常之麻煩。請參閱22.7那一命題的註解。）
（這裡第一命題說如果P關係包含在R關係，而Q關係又包含在S關係，則P或Q的關係包含在R或S的關係。第二命題說如果P關係等於R關係，而Q關係又等於S關係，則P或Q的關係等於R或S關係。）
（說既P又Q的關係包含在R，而既P又R的關係又包含在Q，等於說既P又Q的關係就是既P又R的關係。）（非非R關係就是R關係。此情形與類方面及命題方面的情形一樣。）
（說R關係包含在S關係等於說非S關係包含在非R關係。參閱22.81那一命題。）
（說既R又S的關係包含在T關係，等於說既R而又非T的關係包含在非S關係。）
（說R關係等於S關係，等於說非R關係等於非S關係。）
（這就是關係方面的排中律。任何x與y有R或非R的關係。總而言之，它們若無R的關係，就有非R的關係；若無非R的關係，就有R的關係。）
（請參考22.84、22.85、22.86、22.87那四個命題的註解。）
（這就是關係方面的矛盾律。任何x與y有既R而又非R的關係是假的。）
（這兩命題可以用圖形表示，以語言表示似乎佶屈聱牙。）
（如果R關係包含在S關係，則S關係等於R或S而非R的關係。）
（讀者試以圖形表示。）