邏輯 · 二、由未解析的命題到類與關係的推演
本章分以下各節：A.具一表面任指詞的命題的推演；B.具兩表面任指詞的命題的推演；C.具相同思想的命題的推演；D.具敘述詞的命題的推演；E.類詞的發現與關係詞的發現。本節的宗旨在介紹原書中一步一步的推演辦法。
A. 具一表面任指詞的命題的推演
1. 解釋弁言。
茲假設未解析的命題是「這（指一東西）是紅的」，或「這（指一東西）比那個（指另一東西）大」這樣的命題。這樣的命題可以解析成「個體詞（數目不定）——謂詞（此處的謂詞非第一部的賓詞）」。如以「x，y，z…」表示個體，為個體詞；以「φ，ψ，χ…」表示「性質」，為謂詞；則未解析的命題可以容納到「φx」或「φ（x，y）」等等的命題；而「φx」「φ（x，y）」等等，本書稱之為命題函量。
「x，y，z…」「φ，ψ，χ…」均稱之為任指詞。所謂任指詞者，是說「x，y，z…」等雖指個體，而不指某一個體；「φ，ψ，χ…」雖指性質，而不指某一屬性或某一關係質。這裡的任指詞似乎可以稱為「變詞」，但無論「任指詞」這一名詞是否有毛病，而「變詞」這一名詞總有毛病。詞無所謂變，而「x，y，z…」「φ，ψ，χ…」也無所謂變。說它們變者在此處似乎是定與不定的問題。任指詞一方面「定」，因為「x，y，z…」定指個體；另一方面「不定」，因為它們不定指某某個體。普通指必有所指，而所指者大都是能以「某一」相稱的東西或情形。任指詞既不指出一能以「某一」相稱的東西或情形，而同時又有一固定的範圍，所以「x，y，z…」指個體範圍之內的任何一個，而「φ，ψ，χ…」指性質範圍之內的任何一性質。
「x，y，z…」所表示的個體，可以是，而不必是我們經驗方面的「具體的東西」。個體兩個字僅有相對的意義，它們所代表的不是性質，不是命題，不是函量；可是在一公式內是個體者在另一公式內不必是個體。此處所要求的個體不過是在一範圍之內或不是那一範圍之內的性質或命題或函量而已。
「φ，ψ，χ…」為「謂詞」，它們所代表的是性質。照此處的用法，性與質不同；性為質，而質不必為性；性屬於一個體，所以稱之為屬性；質可以兼存於多數個體之間。茲以性質二字總其和。代表性質之詞稱之為「謂詞」。謂詞在此處與第一部所談的賓詞不同；在那裡的賓詞可以說是完全代表屬性，此處的謂詞也代表關係。「φ，ψ，χ…」均為謂詞，均代表性質，不過沒有指出某一性質而已。
「φx」為命題函量，而非命題。「x」既未指出某一個體，「φ」也沒有指出某一性質，「φx」無所謂真假，所以不是命題。它也是任指詞，它雖未指出某一命題，而代表具某種形式的命題。假設「φ」所指者為「是紅的」，則「x」的範圍受限制；假設「x」所指者為我們所稱為「書」的個體，則「φ」受限制。這裡有能有意思與不能有意思的問題，本篇不提出討論。
我們可以用符號表示「φx」總是真的。如果我們遵照P. M. 的辦法用「（x）」表示「任何」或「所有」或「凡」x，則「（x）φx」表示「一切都是φ」，或「φx總是真的」。如果我們用 表示「有x」或「至少有一x」，則 表示「有x是φ」，或「至少有一x是φ」。在P. M.中，（x）φx與 均視為命題，這或者是對於「φ，ψ，χ…」之所指，P. M. 根本沒有興趣。無論如何，假設我們寫出這樣一句話來，「（x）x是紅的」；這句話是一命題，因為這等於說「一切都是紅的」，而這裡的x已經不是貨真價實的任指詞，而是P. M.中的apparent variable，本書稱之為表面任指詞。
P. M. 中一部分的推論是（x）φx、 ，這樣命題的推論，而這樣命題的推論中也有（x）φx φx這樣的命題。這一部分就是本段的具一表面任指詞的推論，它也有幾個基本命題，可是在本書我們可以不必提出。本段僅抄出幾個命題。證明的方式與上節的一樣。我們在此處所注意的既僅是命題，而不是它們排列的系統化，我們不必抄寫舊證明，也不必發現新證明。各命題的號數均為原書中的號數。
2. 本段所選的幾個命題。
（這命題看起來似乎就是傳統演繹法里的由A到I的推論，其實有問題。傳統邏輯中的 A、E、I、O，不是（x）φx、 這樣的命題，但蘊涵關係相似。）
（此與10.25有同樣的情形，它很像由E之真推到A之假。）
（10.252好像是說I命題的假等於E命題的真，10.253好像是說A命題的假等於O命題的真。可是，我們還是要記在心裡（x）φx、 等等不是傳統邏輯中的A、I等等命題。）
（此即普通三段論之一種。設「φz」代表「z是人」，「ψz」代表「z是會死的」，「x」代表任何一個體；則此命題說「如果任何一個體z是人蘊涵z是會死的，而x這一個體是人，則x是會死的」。通常引用的「所有的人都是會死的，孔子是人，孔子是會死的」是這樣的三段論，其推論的根據就是這個命題。可是這命題與10.3那一命題不同。嚴格地說，只有那一命題才是AAA，這一命題不是，因為如果 是「A」命題，則φx不是「A」命題，而ψx的結果也不是「A」命題。同時我們也可以注意：傳統演繹法既把三命題分開來，使人注重到它們在事實方面個別的真假問題；P. M. 系統沒有說 是真的，也沒有說φx是真的，也沒有說ψx是真的；P. M. 只說10.26這一整個的命題是真的。）
（此兩命題是一對，10.27說如果凡φ是ψ，那麼，如果一切是φ，則一切是ψ。10.28說如果所有的φ都是ψ，則有φ即有ψ。）
（這就是說：說凡φ是ψ，凡φ是x，等於說凡φ既是ψ又是χ。）
（此命題實即傳統演繹法里的「AAA」，不過三個命題的位置稍有不同而已。傳統的「AAA」的排列為大前提、小前提，而後結論；若照那樣排法，此命題中的第二命題應該擺在最前面。可是，我們要知道，這命題前件中的兩命題，哪一在前哪一在後，在本系統沒有關係。
在原書中，此命題的證明利用第一節中已證明的三段論的原則。
這沒有什麼毛病，因為上節的命題是未解析的命題，所以是另外一套。茲以下例表示：
2.39，那一命題如下，
設以「p」代表「孔子是中國人」
「q」代表「孔子是人」
「r」代表「孔子是會死的」
那麼，2.39說：「如果孔子是中國人蘊涵孔子是人，而孔子是人又蘊涵孔子是會死的；則孔子是中國人蘊涵孔子是會死的。」我們若不用以上三命題，用另外意義無關的三命題，只要它們有以上真值蘊涵的關係，2.39那一命題仍為三段論原則。可是它沒有表示：「如果凡中國人是人，凡人是會死的；則凡中國人是會死的。」這個，在本系統中，到10.3這一命題才表示出來，而這個推論才是真正的「AAA」。）
（此兩命題中頭一個表示相等有傳遞質，第二個表示相等有對稱質。）
10.412，├：（x）·φx ≡ ψx·≡·（x）·～ φx ≡～ ψx
（此命題與傳統的直接推論的換質法相似，可是傳統演繹法中的「A」命題不是「（x）·φx≡ψx」這樣的命題。這樣的命題，用普通語言表示，可以說是「所有的φ是所有的ψ」，或「無論哪一件東西說它是φ等於說它是ψ」，或「凡φ是ψ，凡ψ是φ」。
l0.412說「說所有的φ是所有的ψ，等於說所有的非φ是所有的非ψ」，或「說凡φ是ψ，凡ψ是φ，等於說凡非φ是非ψ，凡非ψ是非φ」。）
（此命題與10.42那一命題表示「或」與「與」的分別。那一命題的等號不僅表示前一部分蘊涵後一部分，而且後一部分蘊涵前一部分。10.5則不然，它說：「如果有x是φ與ψ（此一部分暫視為傳統邏輯的「I」命題，「有φ是ψ」），則有x是φ，而且有x是ψ。」舉例來說，「如果有x是四方桌子，則有x是四方的，而且有x是桌子」；但反過來可不成，如果有x是中國人，而且有x是外國人，我們不能跟著就說有x是中國外國人（既中國且外國的人）。在「或」一方面，前部與後部相等；在「與」一方面，前件與後件不相等。可是，我們要知道在普通言語中，有些用「或」的話也是不能反過來的，例如「殺人者一定是張三或李四」不等於「殺人者一定是張三或殺人者一定是李四」。）
（此命題可以視為對待關係中由「I」假而得「E」真，由「E」真而得「I」假的推論；「有φ是ψ是假的等於無φ是ψ是真的」。此命題也可以視為由「E」到「A」的換質：「無φ是ψ等於凡φ是非ψ。」）
（這命題表示第三部的討論是相干的討論，因為這命題差不多明明白白地說 不是Ac ，也不是Ah ，而是An 。它的前件說沒有是「φ」的x，或「φ」不存在；既然如此，則設 ，後件為假命題，設 為Ah ，後件無意思。此命題既說如果無φ，則凡φ是ψ是真的，則所謂「凡φ是ψ」者只能是An 。而不能是Ac 或Ah 。）
（此命題可以視為Disamis，第三格三段論之一式：
有 φ是 χ，
凡φ是ψ，
所以有ψ是χ。
不同之處就是：（x）·φx ψx不是傳統的「A」命題， 也不是傳統的「I」命題，它們的位置也不是傳統三段論大小前提的位置。）
B. 具兩表面任指詞的命題的推演
1. 解釋弁言。
在原書中，本段有好幾個定義，有一個基本命題。我們在此處仍用A段的辦法，抄寫幾個命題。本書所選的命題不一定就是原書中所認為重要的命題。這情形不限於本段，本節各段均有。
表面任指詞的數目可以很多，但在具多數表面任指詞的命題中，僅舉具兩個表面任指詞的命題以為例，已經夠了。
這裡的「φ，ψ，χ…」仍為謂詞，但個體詞的數目增加，謂詞所指的情形與以前的不一樣，而謂詞的解釋也受影響。最容易使人想到的就是關係，可是φ（x，y）在此處仍為命題函量，關係詞尚未出現。
2. 本段所選擇的幾個命題。
（此命題與A段的10.252、10.253那樣的命題相似。本段的命題在普通的語言方面都有表示的困難。若必欲以普通語言表示，我們似乎可以說「說有是φ的（x，y）是真的（x，y不必代表兩個個體）等於說無是φ的（x，y）是假的」。（x，y）雖不必代表兩個個體，而可以代表兩個個體。在普通語言方面，對於一個體x，說x「是」什麼，似乎不發生問題；對於兩個個體（x，y），說它們「是」什麼，就有問題；至少在中文方面，有時用「是」，有時不用。）（這就是上面那個命題，把它反過來說而已。）
（這是很重要的命題。我們可以舉例如下：如果有x是任何y的上帝，則任何y有x是他的上帝；可是反過來不成，如果任何y有x是他的上帝，不見得有x是任何y的上帝；因為不僅所有的y可以有他們的共同的上帝，而且任何的y可以有他的個別的上帝。說這命題重要，不是說它包藏特別的大道理，是因為有好些人的反感以為它的後件真，前件亦真；沒有這命題的明白表示，這反感或者不容易取消。）
（這兩個命題與10.27相似，不過前一命題表示蘊涵，後一命題表示相等而已。1l.32說：「如果凡是φ的（x，y）都是ψ的（x，y），那麼，如果一切（x，y）是φ，則一切（x，y）是ψ。」11.33說：「如果凡（x，y）說它們是φ等於說它們是ψ，那麼，如果說凡（x，y）是φ等於說凡（x，y）是ψ」。）
（這與以上兩命題差不多，不過後件不是具（x，y）這種表面任指詞之命題，而是具 這種表面任指詞的命題而已。這兩種表面任指詞的解釋與A段一樣。）
（這命題與10.3一樣，也是三段論原則，不過它是兩個表面任指詞的三段論而已。以關係為例或者容易清楚一點：「如果對於任何的（x，y），x是y的哥哥，則x與y有共同的父母；對於任何（x，y），x與y有共同的父母，則x與y有共同的祖宗；那麼，對於任何（x，y），如果x是y的哥哥，則x與y有共同的祖宗。」）
（以上命題可以說表示蘊涵有傳遞質，這個命題表示相等有傳遞質。同時它也是三段論原則之一。）
（這命題與10.42那一命題一樣。這可見它所表示的道理不限於表面任指詞的數目的多少。「說有是φ的（x，y）或有是ψ的（x，y）等於說有是φ或是ψ的（x，y）。」還是以關係為例容易清楚一點，我們可以說，如果有比y長的x，或者有比y大的x，則有比y長或比y大的x；反過來我們也可以說，如果有比y長或比y大的x，則有比y長的x，或者有比y大的x。由前到後、由後到前既均可以說得通，則照定義，前後相等。）
（此命題與10.5那一命題相似。它與11.41的分別也就是10.42與10.5的分別。即以上面的例也可以證實此命題。「如果有既比y長又比y大的x，則有比y長的x，也有比y大的x。」反過來可不成了。如果有比y長的x，也有比y大的x，不見得有既比y長又比y大的x，因比y長者不必比y大，比y大者不必比y長。）
（此命題與11.41差不多，分別僅在（x，y）與 而已。）
（此命題分三部分：頭一部分說「有x，對於它『無論任何y，φ（x，y）』是假的」，第二部分說「『無論任何x，y，φ（x，y）』是假的」，第三部分說「有不是φ的x，y」。本命題說「說第一部分等於說第二部分等於說第三部分」。舉例頗不容易。設第一部分為「有整數x，對於其他任何整數y，x大於y是假的」，這等於說「任何一整數大於另一整數是假的」，而這又等於說「有不大於y整數的 x整數」。）
（這命題的形式與10.252差不多，但複雜多了。我們可以說，說有x無論任何y，x小於y，等於說無論任何x，有y，x不小於y是假的。）
（此命題與「I」真等於「E」假差不多，但複雜多了。說有φ是ψ的（x，y），等於說無φ是ψ的（x，y）是假的。設φ（x，y）代表x與y同姓，ψ（x，y）代表x與y結婚，這命題說：說有同姓結婚者等於說同姓不婚是假的。）
（11.52那一命題與「I」真等於「E」假差不多，11.521這一命題與「O」假等於「A」真差不多。）
（這命題在語言方面前後兩部分的分別很少。「它說有φx與ψy等於說有φx與有ψy。」此命題與11.42及10.5的不同處就是x與y無論代表一個體或不同的個體，它們總是兩個個體詞；此命題把φ、ψ兩謂詞分別地引用於兩個體詞，無論事實上分與合，前後兩部分的真假值相等。舉例言之，盼望能清楚一點。先就分言，設（x，y）代表兩個體，例如有椅子與筆，則有椅子與有筆；而有椅子與有筆，則有椅子與筆，照定義，前後兩部分相等。再就合言，請注意在此處我們先假設（x，y）代表一個體，在所談的是一個個體的假設之下l0.5那一命題的前後兩部也相等；例如有紅臉與穿綠袍的「關雲長」，則有紅臉的「關雲長」，有穿綠袍的「關雲長」；而有紅臉的「關雲長」，有穿綠袍的「關雲長」，則有紅臉與穿綠袍的「關雲長」。此處利用「關雲長」以為個體者，不過是要表示所談的是一個個體而已。在10.5的後一部分， ，我們無法知道是φ的x是否即為是ψ的x；如果是一個體，則那一命題的前後兩部分的真假值相等，如果不是，則它們不相等。在本命題的前後部分，x與y事實上雖可以代表一個體，而在形式上它們本來是分開來的；無論是一個體也好，兩個體也好，前後兩部分的真假值總是相等。）
（此命題與10.53相似。如果把 （x，y）：φ（x，y）· ·ψ（x，y）視為「A」命題那樣的命題，則它不是Ac ，不是Ah ，而是An 。）
C. 具相同的思想的命題的推演
1. 解釋弁言。
P. M. 中這一部分的命題在本書中有解釋方面的困難。相同的定義在原書中利用predicative function與axiom of reducibility兩思想。本書因為種種理由，這兩個思想根本沒有介紹。所以原來的定義，本書不能直抄。同時用另外方法解釋此定義，又為作者才力之所不能及。
這裡的同，本書說是「相同」，因為它是否即為我們在知識論方面所能承認為同一律之「同」頗有問題。為便利起見，我們分「同」為以下四種：
甲、φ與φ同
乙、φ與ψ同
丙、x與x同
丁、x與y同
以上四種，甲乙為一類，丙丁為一類。甲乙是謂詞方面的同，概念方面的同，關係方面的同，共相方面的同；丙丁的（x，y）雖不必是我們經驗中的具體的東西，而可以是具體的東西，所以丙丁的同可以說是個體的具體的東西方面的同。
有些人的主張是把同一律的同限制到甲乙類，因為甲乙類的同不發生變的問題，而丙丁類的同免不了變的問題。本書的作者，不僅主張把同一律之同限制到頭一類，而且主張把同一律之同限制到甲種；如此則同一之同是完全的、絕對的，而事物的變化無論如何的快，絕不至於影響到這樣的同，因為這樣一來，同一律對於具體的東西，沒有肯定的積極的主張。照此看法，表示同一律的命題在P. M. 中可以是 那一命題，或「├：p≡p」那一命題，而不是「x，y，z…」出現之後的「├：x=x」那一命題。
但P. M. 那本書的主張不是這樣。它的同是丙丁類的同，是「x，y，z…」出現之後才有的同，而表示同一律的那一命題在原書中是「├：x=x」那一命題。這樣的同，照本書的作者看來，只是相同。「x，y，z…」雖不必代表我們經驗中的具體的東西，而可以代表那樣的東西；如果代表那樣的東西，則「├：x=x」免不了變遷的問題，除非把這命題的效力限制到時點上去。
無論如何，本段所談的同是原書中的同，不是本書作者所要求於同一律之同。
2. 本段所選擇的幾個命題。
（這就是說：如果x與y相同，那麼，如果x是ψ，則y也是ψ（或y有x所有的性質）。根據以上的討論「性質」二字，照A段的解釋，就發生問題。）
（這命題比以上的更進一層。如果x與y相同，則說x是ψ等於說y是ψ。x與y間的等號「=」是個體的同，ψx與ψy間的「≡」是命題的真假值的相同。）
（這就是說：如果ψx是真的，而x與y同，則ψy也是真的。這裡的證明是很容易的，讀者可以試試。）
（如果ψx是真的，而ψy是假的，則x與y不同。這命題的證明也是很容易的。13.101，13.13，13.14，這三命題可以視為一套。）
13.15，├：x=x
（此即原書中的同一律。）
13.16，├：x=y·≡·y=x
（說x與y同等於說y與x同。）
（這個命題說：如果x與y同，y與z同，則x與z同。這裡的三個命題也成一組。頭一命題表示相同有自反質，第二命題表示相同有對稱質，第三命題表示相同有傳遞質。）
（這兩個命題表示凡與一物相同者彼此亦相同。這兩命題與13.17那一命題實在表示一樣的情形。）
（這兩個命題表示凡與一物不相同者與其相同者彼此亦不相同。）
（這裡頭一個命題說：如果x與y相同，則說任何z與x相同等於說z與y相同。第二命題更進一步說：說x與y相同等於說，任何z，說它與x相同等於說它與y相同。）
（這命題說：如果任何y與x相同，則φy是真的等於說φx是真的。這是顯而易見的理。說任何與x相同的東西是圓的等於說x是圓的，其他形形色色同樣。）
（這命題在下段有用。它說：有c（c指某一個體，b亦然）說任何個體與b相同等於說它與c相同，而ψc是真的，這一句整個的話等於說ψb是真的。）
（這命題與13.191成一對。根據那一命題的例，我們可以說有與x相同的東西而它是圓的，等於說x是圓的。其他性質同樣。）
（這個命題就是引用於兩個表面任指詞的13.195。）
D. 具敘述詞的命題的推演
1. 解釋弁言。
P. M. 的作者對於「美國皇帝是胖子」這樣的話，很費了一番解析的工夫。這樣的話一方面有存在的問題，另一方面又有所謂敘述詞的問題。所謂敘述詞者在原書中為description。「敘述詞」這一名詞很不好，可是如果我們改用「形容詞」或「摹狀詞」結果恐怕更壞。
在此處我們稍微談談存在方面的困難。「龍不存在」這樣一命題有什麼困難呢？如果龍存在，那麼就有那樣存在的東西，我們不能先假設這樣存在的東西，而又否認它的存在。如果龍不存在，我們的困難更大，我們不能提出一不存在的東西，叫它作龍，說它不存在。這樣看來，龍存在，有困難；龍不存在，也有困難。照P. M. 的作者的解析，龍根本不是邏輯上的主詞，僅是文法上的主詞；不是命題的主詞，而是一句話的主詞。照他們的解析，「龍不存在」等於「『有x，而x是龍』是假的」。這樣一來，主詞的龍已經消滅。
以上存在的問題，發生於敘述詞。P. M. 曾舉「author of waverley」以為敘述詞的例。從這個例看來，原書中的「description」不便稱之為摹狀詞，或形容詞。我們可以用「孔子是《春秋》的作者」為例。這命題中的「《春秋》的作者」就是所謂敘述詞。在英文裡這種詞都有「the」字在前面，很容易識別，在中文裡似乎不容易；即以以上「龍不存在」那一命題中的「龍」字而論，它可以解釋成敘述詞，而不必作如是的解釋。但「《春秋》的作者」是P. M.中所討論的敘述詞，它就是「（τx）（x作《春秋》）」。「孔子是《春秋》的作者」這一命題表示孔子與《春秋》的作者是一個人。但如果「《春秋》的作者」是某甲的名字，則此命題成為「孔子是某甲」；如果某甲不是孔子，則此命題是假的；如果某甲是孔子，則此命題成為「孔子是孔子」，而此絕非原來命題的意義。「《春秋》的作者」這樣的敘述詞，P. M. 稱之為不完整的符號，其所以認為是不完整的符號的道理，因為它們似乎沒有獨立的意義。它們雖沒有獨立的意義，而具敘述詞的命題仍有真假。單就「《春秋》的作者」而言，我們或不至於發生此處所提出的問題，但如果所討論者為「法國的國王姓趙」「美國的皇帝是胖子」「帝堯是冬夏的作者」等等，則此處所提出的問題就會發生。
敘述詞既無獨立的意義，而只有具敘述詞的命題的意義，我們所要解釋的當然是後者，仍以「孔子是《春秋》的作者」為例，我們所要解釋的不是「《春秋》的作者」這樣的敘述詞，而是「孔子是《春秋》的作者」這樣的命題。解析起來，這一命題所肯定的有以下三命題：
a. 有一個x作《春秋》
b. 只有一個x作《春秋》
c. 作《春秋》的x是c，而c是孔子
如果三個命題之中有一為假，則「孔子是《春秋》的作者」為假。如第一命題為假，則根本就沒有《春秋》的作者。如第二命題為假，即有《春秋》的作者，而作者不止一人；如第三個命題為假，則《春秋》的作者即有其人，而且即只有一人，那個人也不是孔子。茲以「φ」代表作《春秋》，「f」代表是孔子，「孔子是《春秋》的作者」可以有以下的表示：
在此表示中，敘述詞已經消滅。「孔子是《春秋》的作者」看起來是簡單的命題，其實不是。
P. M. 以（τx）（φx）代表敘述詞，那就是說，滿足φ的x。這種敘述詞有時敘述存在的個體，有時敘述不存在的個體。前者的問題以上的討論已經很夠，後者的問題尚有應該補充的地方。例如「英國的國王不是胖子」，假設這一命題是假的，其根據是英國的國王事實上不滿足「胖子」的定義，而不是沒有英國的國王。但是，如果我們的命題是「美國的皇帝不是胖子」，則這一命題的假有不清楚的地方。我們可以把它解釋成「有美國的皇帝，而他不是胖子」；但我們也可以把它解釋成「有美國的皇帝，而他是胖子」是假的。「美國皇帝不是胖子」照第一解釋是假命題，因為根本就沒有美國的皇帝；照第二解釋是真命題，因為美國皇帝是胖子是一假命題。這兩種不同的解釋要有符號方面的分別才行。P. M. 有以下不同的表示，其不同之處根據於敘述詞力量所及的範圍，而這個範圍以敘述詞右旁的點的多少表示之。例如以下甲乙兩公式：
在甲公式中，（τx）（φx）的力量僅及於ψ（τx）（φ·x）而已，不達到P；如果（τx）（φx）敘述一不存在的東西，則 之前的命題既是假的，照以前已經證明 所有的含義看來，整個的命題是真的。在乙公式中，（τx）（φx）的力量及於整個的命題，如果（τx）（φx）敘述一不存在的東西，則此整個的命題是假的。這裡甲乙兩式的分別完全在敘述詞右旁的點的多少。舉例或者能使我們清楚一點，設（τx）（φx）敘述美國的皇帝，ψ代表是胖子，p代表「我不是人」。甲說「如果有美國的皇帝而他是胖子，則我不是人」；乙說「有美國的皇帝，如果他是胖子，則我不是人」。前一命題是我們日常生活中打賭的時候常說的話，它不過表示前件為假而已；所以如果前件是假的，則整個的命題是真的。後一命題中，美國皇帝的存在不是假設，所以如果沒有美國的皇帝，則整個的命題是假的。
上面所說的「美國皇帝不是胖子」那一句話的兩個解釋有同樣的問題，不過在此處與其從敘述詞的力量的範圍方面著想，不如從「不」的力量的範圍方面著想。第一解釋「有美國的皇帝，而他不是胖子」可以有以下的表示：
丙，（τx）（φx）·～ ψ（τx）（φx）；
第二解釋「『有美國的皇帝，而他是胖子』是假的」可以有以下的表示：
丁，～（（τx）（φx）·ψ（τx）（φx））。
在丙式中「不」的力量僅及於美國皇帝的「胖」而無關於美國皇帝的存在；所以只要美國皇帝不存在，這一命題就是假的。在丁式中「不」的力量及於美國皇帝是胖子這一整個命題；所以只要美國的皇帝不存在，這一命題就是真的。
2. 本段所選擇的幾個命題。
（這就是利用具敘述詞的命題的定義說它與某樣不具敘述詞的命題真假值相等。前一部的寫法可以從簡僅寫ψ（τx）（φx）。）
（這不過是具兩個敘述詞的命題，其他情形與以上的一樣。）
（這裡表示如果滿足φ的x存在，則凡滿足φ的（x，y）都相同。這裡的敘述詞是唯一的敘述詞。）
（上段13.16那一命題說：x=y·≡·y=x，本命題不是由那一命題直接推論出來的，因為「a=（τx）（φx）」不是「a=y」的值，因為敘述詞無獨立的意義。）
14.131，├：a（τx）（φx）=（τx）（ψx）·≡·（τx）（ψx）=（τx）（φx）
（以上的註解在此處亦同樣引用。）
（這段里的「a，b，c…」都指具體的個體而言。這兩個命題所表示的情形一樣，不過方法不同而已。如果某甲是《伯夷列傳》的作者，而《伯夷列傳》的作者是《貨殖列傳》的作者，則某甲是《貨殖列傳》的作者。前一命題不過少一敘述詞而已。）
（這與14.142那一命題的分別不過是那一命題的「a」在這一命題中也以一敘述詞表示之。這三個命題表示敘述詞有傳遞質。）
（舉例來說：「如果《伯夷列傳》的作者就是《貨殖列傳》的作者，則說前者是漢朝人等於說後者是漢朝人。」這裡的「等於」是真假值的等於。）
（如果一敘述詞所敘述的東西存在，則如果所有的東西是ψ，這東西也是ψ。P. M. 的意見是以敘述詞的存在為它有無性質的條件；如果它不存在，則存在東西所有的最普遍的邏輯方面的情形，它也沒有；例如法國皇帝（現在的）既不胖也不不胖。這裡的意見是否為治邏輯者所能贊成為另一問題。）
（這是一極顯而易見的命題。如果有是φ的x，則有x的φ。「是」字不妥當，舉實例時常用不著它。）
14.202，├：（x）·φx·≡·x=b：≡：（τx）（φx）=b：≡：（x）：φx·≡·b=x：≡：b=（τx）（φx）
（說「任何東西是φ等於說它是b」，這一整個的命題等於說「是φ的x是b」……）
（這個也很易見，讀者自己可以給它以語言方面的解釋。）
（舉例來說：說《春秋》的作者是聖人等於說有某甲，他是《春秋》的作者而他是聖人。）
（這命題表示敘述詞的存在至為重要。存在是具敘述詞的命題的必要條件。如果我們能說《春秋》的作者是聖人，則《春秋》的作者存在。）
（這命題也表示敘述詞的存在的重要。說《春秋》的作者存在等於說《春秋》的作者作《春秋》。「《春秋》的作者作《春秋》」，照P. M. 看來，不是必然的命題，因為如果沒有《春秋》的作者，則這句話是假的。）
（14.13與14.131，兩命題可以說是表示敘述詞有對稱質；14.14、14.142與14.144，三命題均表示敘述詞有傳遞質。本命題表示在敘述詞這一方面自反質與其他兩質不同，敘述詞的自反質須以存在為條件。「《春秋》的作者是《春秋》的作者」這一命題以「《春秋》的作者」的存在為條件，它不是必然命題；「美國的皇帝是美國的皇帝」是一假命題。）
E. 類詞與關係詞的出現
1. 類詞的出現。
每一「φx」這樣的命題函量有時有「x，y，z…」等個體滿足它的要求，而滿足一命題函量的個體就是那一命題函量所定的類。類是一命題函量的外延函量。如果兩命題函量的真假值相等——那就是說，如滿足這兩命題函量的命題或者同真或者同假——則這命題函量所定的類是一類。
關於類，1910年版的P. M. 說，須有以下情形，才能盡類所要盡的職務。
（一）類的分子，其數目可以無量，可以等於一，可以等於零；設等於零，那一類就是空類。
（二）兩真假值相等的命題函量所定的類是一類。例如「x是無毛的兩足動物」，與「x是人」，無論x所指的是什麼；頭一命題是真的，後一命題也是真的；頭一命題是假的，後一命題也是假的；在這樣情形之下，無毛的兩足動物類就是人類。
（三）反過來，定一類的兩個命題函量，其真假值相等。這不過是表示一類的分子就只有那一類的分子，不屬於一類的個體不成一類。
（四）不僅個體有類，類亦有類。
（五）在任何情形之下，一類不能視為它自己分子之一。所謂不能視為它自己分子之一者，是說斷定它為自己分子之一的那一命題是無意思的話。
以上（四）（五）兩條各有它的特別情形，（四）條可以說是數學基礎之一，（五）條可以說是避免矛盾的原則。關於這一點以後如有機會還要提及。
在P. M. 類詞與敘述詞相似，它也是不完整的符號，這就是說它沒有獨立的意義。P. M. 說我們不必假設類的存在。這部書的作者只承認具類詞的命題是有意義的命題，而類稱在工具方面給我們以很大的便利。
在本書範圍之內，類詞的定義與摹狀詞一樣有很大的困難。所要下定義的不是類詞，而是具類詞的命題。具類詞的命題的定義也牽扯到axiom of reducibility與predicative function，而這都是本書沒有提及的思想；所以對於定義，本書根本就不說什麼。關於類的命題都是關於能滿足一命題函量的個體的命題。設以 代表所有滿足（px命題的個體，則關於類的命題或具類詞的命題都是 式的命題。P. M. 給 下定義，而「f（ （φz））」是一具類詞的命題函量。
滿足一命題函量的個體就是一類， 就是滿足φx的類。以後除少數命題外，在大多數命題中，我們用A、B、C、D等替代z^（φz）符號。
2. 關係詞的出現。
在本書的A段，我們已經表示，φ、ψ、χ等謂詞任指詞表示性質。性為屬性，質為關係質。本書以為x有一種關係質，就是x與另一個體有某種關係（此意見不必是原書作者的意見）。屬性屬於一個體，而關係質存於多數個體之間。既然如此，引用於一個體詞的謂詞表示屬性，引用於多數個體詞的謂詞的表示關係。屬性定類，凡滿足φx命題函量的個體為一類；關係質定關係，凡滿足φ（x，y）的個體有一種關係。
類與關係均有兩方面，一為內包，一為外延。類的內包茲以類概念名之，類的外延就是類的分子。對於類，我們似乎很容易注重外延；可是對於關係，通常不大注重它的外延。本書的類是外延的類，那就是說，屬於一類的個體；本書的關係是外延的關係，那就是說，有某種關係的個體。引用於一個體的謂詞表示屬性，所以φx這一命題函量所定的是類，而 表示類；引用於多數個體的謂詞表示關係，所以φ（x，y）這命題函量所定的是關係，而， 表示關係。P. M. 不給類詞下定義，給具類詞的命題函量 下定義；不給關係詞下定義，給具關係詞的命題函量 下定義。