邏輯 · 一、未解析的命題的推演

A. 解釋弁言 這裡的解釋分以下兩條：1.關於符號；2.關於推論。 1. 關於符號。 以下的符號不必有以下的意義，可是事實上我們給它們以以下的意義。「p，q，r…」解釋成未解析的命題。在本書我們不說它們是最初級的命題。「最初級的命題」這一名稱似乎有困難。如果命題要解釋，如果我們免不了要用解析的方法以研究命題的意義，則是否有「最初級的命題」，頗發生疑問。即有這樣的命題，我們也不容易舉例。我們手指一物說「這是紅的」。「這是紅的」是否最初級的命題頗不易說；但只要我們不解析它，它總是未解析的命題。 「├」表示斷定。每一命題都有斷定的成分在內。假如我向窗外一望說「今天天晴」，「今天天晴」是一命題，有斷定成分夾在裡面；假如我討論命題，說「即以『今天天晴』」為例，嚴格地說，「今天天晴」不是命題，因為它沒有斷定的成分。「├」既表示斷定，有此符號的命題，均為此系統斷定為真的命題。 「～」表示「非」「負」「假」。它可以視為運算（operation），也可以視為真假兩值中的假值。有時運算與值一樣，有時不一樣。有此符號的命題有時此符號表示此命題之為假，有時無此表示。即以本系統的矛盾律而論，「├：～（p·～p）」，括弧外面那個「～」表示括弧裡面的命題是假的；可是括弧裡面那個「～」，嚴格地說，只能視為運算；因為假設p代表一真命題，則括弧里的「～」不過表示p的反面而已。但系統的推行既沒有因此發生什麼困難，我們也不必多所計較。 」表示「或者」， 表示「p是真的或者q是真的」。這裡的「或者」是相容的或者，所以p、q皆真也是一可能，所排除的不過是二者皆假而已。 也可以讀成「p、q之中至少有一為真」。負p或負q的情形同樣，「～p ～q」可以讀成「～p、～q之中至少有一為真」。～ 即「『p、q之中至少有一為真』是假的」，那就是說「p是假的，q也是假的」。 「=……Df 」表示定義，例如 。定義不是本系統的命題，它不過表示符號的用法而已。等號之後，加上「Df 」，即表示定義；那就是說，左邊符號的意義就是右邊符號的意義。定義既是以比較簡單的符號代替比較複雜的符號，所以嚴格地說來，系統無定義也可以推行，不過不甚方便而已。 表示「蘊涵」或「如果——則」， 表示「如果p是真的，則q是真的」。照定義，這句話的意義就是「p是假的或者q是真的」，或者「『p是真的而q是假的』是假的」。這樣的「如果——則」很受了些批評。它是否普通的「如果——則」，頗發生問題；普通的「如果——則」，究竟是怎樣的「如果——則」也不見得容易認清楚。但普通的「如果——則」的諸意義中有這裡的「如果——則」的意義，同時這裡的「如果——則」，在本系統範圍之內，似乎沒有不清楚的地方。 「·」表示「與」或「和」，或「而且」，或「既——又」；「p·q」表示「p與q都是真的」。這命題所要求的是p與q無一是假。基本定義說「p·q」的意義就是 的意義。點尚有另外用法，詳見下述。 「≡」表示命題的真假值相等，「p≡q」表示「p與q或者同真，或者同假」。它的定義是 。這就是說「p·q」或者「～p·～q」，因為 取消「p·～q」，而 取消「～p·q」。在P. M.（ Principia Mathematica之簡稱）中 「·」「≡」是分開來的，本書把它們的推演集為一部。 點除表示「與」「和」……之外，尚有以之為括弧的用法，點的數目表示括弧的大小，數目愈大，則所包括的愈多；而斷定符號「├」後之點表示斷定的範圍。茲以下式為例： 斷定符號後之兩點表示所斷定者為整個公式所表示的命題；命題中左右俱有一點的「 為命題中的主要蘊涵關係。表示「與」的點例如「p·q」力量最小；在 兩旁雖僅有一點，與表示「與」的點的數目相等，然因其力量大， 仍為此命題中之主要符號。 每一命題均有號數表示，而證明所根據的命題僅寫其號數。假如證明中有［1.1·1.2］這樣的符號，此符號表示所引用以為證明的根據的命題為「1.1」與「1.2」兩基本命題。 表示以「～p」代替「p」，例如 ，此符號表示「1.2」 那一基本命題—— ——以「～p」代替「p」，成所要引用的命題 。 2. 關於推論。 P. M. 中基本命題共有十個，本書僅抄六個。其餘四個一方面在本書不甚重要，另一方面它們所應付的問題，本節不預備提出，所以根本沒有抄寫的必要。 此處所謂「推論」是英文裡的inference，推論原則即principle of inference。推論原則是非常之麻煩的原則，我們在第四部討論它一方面的困難問題，此處不談到。 本節的推論約有以下諸點我們應注意。 以下系統是現在所稱為自足系統的系統，它有它本身所備的推論原則。既然如此，它的基本命題不僅是前提，而且是推論的方式。命題雖只有一套，而用法不只一樣。有些前提只是前提，不能以之為推論方式，例如： 所有的人都是有理性的動物， 孔子是人， 所以孔子是有理性的動物。 這裡的前提均不是推論的方式，前提的真假與推論的對不對不相干。設有下例，則情形不同： 所有真命題所蘊涵的命題都是真命題， 「q」是真命題所蘊涵的命題， 所以「q」是真命題。這裡的推論方式與以前的一樣，其不同之處即此推論方式亦同時為其本身之一例。在此處我們承認大小前提為真命題，也承認大小前提蘊涵結論，也承認結論是真命題；可是，我們沒有明白地說這裡的結論就是小前提所說的「q」那樣的命題。我們可以換一方法表示此意：設以此種推論方式為「A」方式，這裡由大小兩前提而達到結論的推論方式也是「A」方式；可是，我們雖知此方式為「A」方式，而沒有明文表示它是「A」方式。所有的推論都有這裡所說的情形，這情形不是推論原則的問題，是引用推論原則的問題。推論原則可以明文表示，而推論原則的引用，嚴格地說，不能以明文表示；因為推論原則的引用總是特殊的，而承認此引用為普遍方式之一例，也是特殊的。我們雖欲以明文表示推論方式的引用，每次所表示的雖在明文範圍之內，而那一次的表示不在明文範圍之內。換句話說，總有一次的引用是直接的；既然如此，我們不如乾乾脆脆、一刀兩斷，承認推論原則的引用是直接的。在第四部我們對於此困難問題，稍加討論，此處不再提及。 照以上所說的看來，頭一例中的前提僅是前提，後一例中的前提不僅是前提，而且也是推論的方式。本系統中的基本命題不僅是前提，而且是推論原則；這不過是說，它們有兩種用法。以它們為前提是把它們當作結論的根據，由它們所能得到的結論是本系統所能承認為真的命題；以它們為推論原則是把它們當作推論的根據；合乎此原則的推論是本系統所承認為對的推論。 在解釋符號的時候，我們曾舉 ，說這符號表示 ，這一基本命題，以「～p」代替「p」之後，即為 。這裡就有以基本命題為原則，直接斷定後一命題即為前一命題的例。本系統中的「p，q，r…」既均為任何未解析的命題，則「～p」亦可為「p」之一例，（「～p」也是未解析的命題，這一點本書沒有明文表示），所以我們能以「～p」代替「p」；所要求的是，如果在一處以「～p」代替「p」，則一公式中所有的「p」，均須以「～p」代替之。 本系統的基本命題之中，我們寫上了：「真命題所蘊涵的命題是真命題」這一命題。原書中有兩個類似的基本命題，一引用於未解析的命題，一引用於命題函量。但如果本書所抄的系統僅用以下的「1.1」已經盡職（是否如此頗有問題），我們不必有兩個類似的基本命題。 B. 基本概念與基本命題 1. 基本概念： a.「 p，q，r…」表示未解析的命題； b. 表示「或」； 表示p、q中至少有一為真； c.「 ～」表示「非」或「假」；「～p」表示「非p」，或「p是假的」。 2. 基本定義： 3. 基本命題： l.1，真命題所蘊涵的命題是真命題。 C. 命題的推演 （這命題說：如果一命題p是真的蘊涵它自己是假的，則它是假的。右角的號數是原書中此命題的號數。） （這命題說：任何命題蘊涵一真命題。請注意此處的蘊涵是所謂真值蘊涵。此點在第四部會提出討論。） （這命題說：如果P是真的蘊涵q是假的，則q是真的蘊涵P是假的。前一部分為一假言命題，如果P真則q假；後一部分亦為一假言命題，但對於前一部分等於說否認前一部分的後件，亦即否認前一部分的前件。） （這命題說：如果在P真條件之下，q蘊涵r；則在q真條件之下，P蘊涵r。在真值蘊涵的情形之下，前後兩部分的p、q可以更換位置。參見G. Moore，Philosophical Studies一書中關於外在關係的討論。） （此處最後一行括弧內的數目表示（1）（2）皆真，（2）既為（1）之前件，則根據（1.1）（1）之後件亦真，而（1）之後件即為所欲證明之命題。以上2.05，2.06，在P. M. 稱為三段論原則。以後的「Bardara」三段論即由它們推出。） （此為同一原則。在P. M. 中同一原則與同一律不同。本書不討論這一點。） （在此證明中請注意以下諸點：設以 為p1 ，以 為 為p3 ， 為p4 ；以上（3）行表示p1 蘊涵p2 ，（4）行表示p2 蘊涵p3 ，（6）行表示p3 蘊涵p4 。最後證明的命題為p1 蘊涵p4 。為使推論的層次嚴謹起見，此證明利用2.05所表示的三段論原則，證明p1 既蘊涵p2 ，p2 既蘊涵p3 ，（8）行表示p1 蘊涵p2 蘊涵p1 蘊涵p3 ，（9）行的結論是p1 蘊涵p3 ，（10）行的推論是P3 蘊涵P4 蘊涵P1 蘊涵P3 蘊涵P1 蘊涵P4 ，而此最後即為所要證明的命題。 此證明中有連鎖推論；若從簡便，由（3）（4）（6）已可以得P1 蘊涵P4 的結論。 同時如果利用「 」的定義，則第四基本命題即為此處所要證明的命題。） （以上2.14、2.15、2.16與2.03那一命題相似，屬於一類。它們都是表示否認後件亦即否認前件。至於前件與後件單獨地究竟為真為假與它們當然無關。在P. M. 中這四個命題稱為principles of transportation。） （2.17與2.01成一對。2.01說：如果P是真的蘊涵P是假的，則P是假的；2.17說：如果P是假的蘊涵P是真的，則P是真的。這裡前後兩部分僅說是「真」或是「假」，但「則」字後之「真」，可以有必然的意義，「則」字後之「假」，同時也可以有不可能的意義。） （此命題與2.02成對，均為真值蘊涵的特別情形。2.02說：任何一真命題被任何命題蘊涵；2.19說：一假命題蘊涵任何命題；這一點在第四部還要提及。） （此證與原書中的證明不同。因為我們拋開了好些命題，我們不能用原來的證明。可是，一個證明用不著這樣長，讀者可想方法求短的簡單的證明。此後有好些證明都不是原書中的證明，但本書沒有特別表示它們不是。） （此命題說：如果p不蘊涵q，則q蘊涵p。如果所謂獨立的命題是彼此沒有蘊涵關係的命題，則本系統的命題沒有獨立的。） （這命題說：如果p是真的，則q是真的蘊涵p與q都是真的。這命題可以是一種推論的方式，至少在本系統範圍之內，我們可以利用它把兩個分別斷定的真命題，合起來斷定其為真。例如2.28與2.29可以使我們得「├：p·q·≡·～（～p ～q）」的結論。） ［（2）·（6）·1.1］├：～（p·～ p） （此為「矛盾律」：「P是真的又是假的是假的。」我們以「與」的思想表示矛盾律，以「或」的思想表示排中律；「或」的思想出現在前，所以排中律先矛盾律而出現。這不過是說在本系統的成文秩序中，排中律在前，矛盾律在後，這與它們彼此的重要問題沒有關係。 在此證明中，我們利用排中律去證明矛盾律，這當然純是根據於成文的先後；設成文的先後反轉過來，我們也可以利用矛盾律去證明排中律。） （此兩命題均為三段論原則之另兩種表示，以後亦利用之以為推論。這兩個命題與傳統的三段論比之2.05、2.06更為切近，2.40使人想到「barbara」。情形當然不同，因為這裡的p、q、r、 、 、 ，不必是傳統三段論中的A、E、I、O那樣的命題。） （此命題說：如果p是真的，而p蘊涵q也是真的，則q是真的。 請注意在此證明中，由（5）（6）而得（7）的結論，其推論與2.41這一命題相似；我們可以把它寫成： 不同之點如下： （一）在證明中的推論，（5）與（6）兩前件本系統均斷定其為真，而在2.41這一命題中，p與p　q兩前件，我們僅假設其為真，究竟為真與否，無從說起；2.41所斷定的是整個的命題，而不是前面那一部分。 （二）在證明中的是推論，是inference。而在這命題中的是蘊涵，是implication。推論說得通的時候，定有蘊涵關係；但有蘊涵關係的時候，不必有推論。在證明中，我們可以說（5）是真的，（6）是真的，「所以」（7）是真的；2.41這一命題雖是真的，而我們既不能說前件是真的，我們也不能說「所以」後件是真的。 （三）證明中的推論的根據是1.1那一基本命題，由此可以知道1.1與2.41為不同的命題。） （此命題所表示的可以用所謂anti-syllogism為例。設有以下甲乙兩組的命題，以普通的三段論的形式表示之，2.42說甲組蘊涵乙組。 請注意以上的例有很不妥當的地方；2.42這一命題沒有斷定p、q、r之為真為假；用普通語言表示，它不過是說如果甲組是對的，乙組也是對的。） （此命題與第六基本命題成對，第六基本命題表示「或」方面的關係，而此命題表示「與」方面的關係。） （以上2.54、2.55、2.56，三命題表示命題的真假值相等有自反質（self-reflexive）、對稱質（symmetrical）、傳遞質（transitive）。蘊涵僅有自反與傳遞質。）