邏輯 · 三、邏輯系統的基本概念與命題
A. 原子
原子是邏輯系統方面的對象，不是邏輯方面的對象。邏輯方面的對象是必然，邏輯系統不過是利用某種原子以為表示必然的工具而已。事實上本書第三部利用「類」「關係」「命題」為邏輯系統的原子。除此之外，別的原子也可以，例如「論域」（universe of discourse），但在此處我們可以不必提出討論。
1. 類。此處所謂類，即普通的類，如「人類，桌子類，山類，水類……」。類有類的概念，例如人類有「人」概念；類大都有類的分子，例如「人類有張三、李四……」。類與屬性不同，因為它注重它的分子；它與集體不同，因為每一分子均能分別地為那一類的概念所形容。「類」的問題，或關於類的問題不少，可是為邏輯系統的原子的類有以下諸特點。茲特分別討論。
a. 在做邏輯系統原子的類中有兩特別的類，一為零類，一為全類。零類沒有分子，所有的分子都是全類的分子。普通以「0」代表零類，以「1」代表全類。在本篇一章A節3段所舉的系統幹部通式中，第五基本命題函量如下：
如果我們把a、b、c等等當作類，則z就代表零類，而這個基本命題說「零類或a等於a類」。這命題等於說「零類包含在任何類之中」，因為a類在此處代表任何類，即零類與全類，a類亦代表之。茲以圖表示之如下。
此圖表示零類既沒有分子，則或是零類或是a類的分子不過是a類的分子而已，所以零類包含在任何類之中。
b. 同在一系統通式中，第六基本命題函量如下：
如果我們把a、b、c等等解作類，則U就代表全類。這個基本命題說「全類與a類等於a類」。（「與」字有「既……又」的意思，「全類與a類」等於「既是全類又是a類」。）這命題等於說「任何類均包含在全類之中」。a類在此處也代表任何類，即零類與全類亦代表之。茲以圖表示之如下：
此圖表示所有的分子既都是全類的分子，則在全類之外的a無分子。那就是說，如果a類有分子，a類的分子都是全類的分子，那也就是a類包含在全類之中。
這兩類的用處非常之大。我們可以利用它們以定非a類或非b類的意義。如果我們利用它們（同時利用「=」等號），我們可以說有某類，或無某類；某類有分子，某類無分子；例如「a=1」或「a=0」。這兩類又彼此相反，那就是說「非0」即「l」，「非1」即「0」。總而言之，以此兩類為工具，邏輯方面的推論變化等等都可以發生。
c. 類有層次問題。如果我們以經驗中的個體，如這張桌子、那張椅子等為分子，我們可以得一以個體為分子的類。如果我們把各類集起來再為分類，我們可以得一以類為分子的類。那就是說，我們可以有個體的類，「類」的類，「類的類」的類，等等。這許多的類的層次不同不能相混，如果相混就有毛病發生。現在要表示層次不能不分的理由。
設有以下命題：
「凡不是它們自己的分子之一的類的總類是那總類的分子之一。」我們知道人類不是一個人，桌子類不是一張桌子等等，這些類都不是它自己的分子。把這樣的類都集起來成一類名之為甲類，以上命題說甲類是它自己的分子之一。這樣一句話表面上看起來似乎沒有什麼問題，可是層次不分清楚就有毛病。茲以容易明白起見，特備以下圖表。A是a1 a2 a3 …an …分子的類，B是b1 b2 b3 …bn …分子的類，C是c1 c2 c3 …cn …分子的類，等等。A類不是a1 ，a2 ，a3 …an …中之一，B類不是b1 ，b2 ，b3 …bn …之一，C類也不是c1 ，c2 ，c3 ，cn …之一。把A，B，C…N…集起來成為甲類如下圖：
以上的命題說甲類是它的分子A，B，C…N…之一。如果它是的，則它或者是A，或者是B，或者是C…N…但A，B，C…N…既都不是它們的分子之一，則甲類也不是它的分子之一。那就是說，它不是A，不是B，不是C…不是N…所以，如果甲是它的分子之一，則它不是它的分子之一。反過來也有同樣的情形：如果甲不是它的分子之一，則它就是它的分子之一。這豈不是矛盾嗎？在此處我們要注意，以上的情形實在是根據於甲與A，B，C…N…相混。甲與A，B，C…N…雖同為類，而層次不同，不能相混；相混之後，就有毛病發生。
d. 類與命題。習於傳統邏輯的人或者以為類比命題「根本」，因為我們可以把命題分析為類與類的關係。命題可以分析到個體與類的關係，或類與類的關係，但不能使我們說類比命題「根本」。「根本」與「不根本」有系統為背景。如果在系統之內，命題是由類產生的，則類比命題根本；可是，如果在一系統之內，類是由命題產生的，則命題比類根本。在Boole的algebra of logic，類比命題根本；在P. M.，命題比類根本。在第三部我們已經表示過類可以由命題產生。
但是有系統範圍以外的理由使我們先命題而後類，別的不說，事實上類與類的關係的推論還是根據於命題與命題的推論。
2. 關係。此處所要討論的關係是普遍的關係，不僅是以之為一系統的運算或關係的幾種關係，而且是以之為系統的原子的關係。但從系統的原子這一方面看來，我們討論關係的時候，不必提出關於關係的各種各色的情形，我們僅談到關係的推論質就夠了。此處所注重的推論質僅有兩種：一曰對稱質，一曰傳遞質。從對稱方面著想，可以有對稱、非對稱及反對稱；從傳遞方面著想，可以有傳遞、非傳遞及反傳遞。兩質的結合，可以有九種不同的關係。
a. 對稱的傳遞的關係。在此項下，我們可以舉「相同」與「相等」兩關係為例：
（一）如果甲與乙相同，乙與甲也相同；如果甲與乙相等，乙與甲也相等。此之謂對稱。
（二）如果甲與乙相同，乙與丙相同，則甲與丙相同；如果甲與乙相等，乙與丙相等，則甲與丙相等。此之謂傳遞。相同與相等之能傳遞與否，要看它們是否完全的絕對的相同與相等。相似的「相同」與差不多的「相等」沒有傳遞質。
b. 對稱的非傳遞的關係。在此項下可舉不相同，或不相等，或相似等關係。
（一）如果甲與乙相似，乙與甲也相似；甲與乙不相同，乙與甲也不相同。此之謂對稱。
（二）如果甲與乙相似，乙與丙相似，甲與丙不必相似；甲與乙不相同，乙與丙不相同，甲與丙不必不相同。此之謂非傳遞。
c. 對稱的反傳遞的關係。如果在一條直線上，甲、乙、丙，有相傍的關係，則：
（一）如果甲在乙傍邊，乙也在甲傍邊。此所謂對稱。
（二）如果甲在乙傍邊，乙在丙傍邊，則甲一定不在丙傍邊。此所謂反傳遞。b條的例可以傳遞而不必傳遞，本條的例「一定」不能傳遞。
d. 非對稱的傳遞的關係。在此項下，我們可舉英文中的「brother」或「sister」為例。
（一）如果甲是乙的brother，乙可以是而不必是甲的brother。此之謂非對稱。
（二）如果甲是乙的brother，乙是丙的brother，則甲是丙的brother。可見這關係是傳遞的關係。
e. 非對稱的非傳遞的關係。這可以說是一極貧於推論質的關係。在此項下可舉「好朋友」與「認識」兩關係。
（一）如果甲是乙的「好朋友」，乙可以是而不必是甲的好朋友；如果甲認識乙，乙可以認識而不必認識甲。
（二）如果甲是乙的好朋友，乙是丙的好朋友，甲可以是而不必是丙的好朋友；如果甲認識乙，乙認識丙，甲可以認識丙而不必認識丙。可見這兩關係既非對稱又非傳遞。
f. 非對稱的反傳遞的關係。在此項下我們可以舉異性的戀愛為例：
（一）如果甲愛乙，乙可以愛而不必愛甲。
（二）如果甲愛乙，乙愛丙，則甲一定不愛丙。
同性戀愛雖是非對稱的關係，而不是反傳遞的關係，因為如果甲同性戀愛乙，乙同性戀愛丙，甲可以而不必同性戀愛丙。本條的例要特別提出異性戀愛者在此。
g. 反對稱的傳遞的關係。此項下的關係非常之多，而且非常之顯著。茲僅舉「大於」為例。
（一）如果甲大於乙，則乙一定不能大於甲，只能小於甲。此之謂反對稱。
（二）如果甲大於乙，乙大於丙，則甲一定大於丙。此之謂傳遞。「小於」「長於」「重於」「高於」等等關係都是這種關係，它們很富於推論質。
h. 反對稱的非傳遞的關係。在此項下，我們可以舉「是客人」的關係為例。但我們要求一個同一的環境。
（一）如果甲是乙的客人，則在同一環境之下，乙一定不是甲的客人。所以是反對稱。
（二）如果甲是乙的客人，乙是丙的客人，甲可以是而不必是丙的客人。所以是非傳遞。
i. 反對稱的反傳遞的關係。在此項下我們可以舉「父親」為例。
（一）如果甲是乙的父親，乙一定不是甲的父親。
（二）如果甲是乙的父親，乙是丙的父親，則甲一定不是丙的父親。
以上是從推論質去分關係的種類。此九種中以第一、第四、第七種比較地常見於邏輯。關係也可以做系統的原子，可是我們也不必利用它做系統的原子。
3. 命題。關於命題，我們從以下幾方面討論：命題的重要，token與type，命題的分析，表示各種命題的符號，命題的值。
a. 命題的重要。如果我們要建造一整個邏輯系統，我們或者要問最好從什麼原子動手，而現在的意見似乎是最好從命題動手。其所以如此者至少有以下的理由。
（一）邏輯方面的重要關係，似乎大部分是命題與命題的關係，而不是類與類的關係。我們有時可以用類方面的包含關係去解釋命題方面的蘊涵關係，可是我們有時也可以用命題方面的蘊涵關係去解釋類方面的包含關係。推論是命題方面的關係。名稱似乎無所謂推論，我們不能由一類推論到任何類。所謂推論者大都是承認一命題之後，承認它所蘊涵的命題。矛盾與排中，用命題表示似乎比用類表示更顯明、更清楚。
（二）如果我們所要建造的系統是自足的系統，我們似乎不能不從命題方面著手。自足系統所應用的工具都要容納到系統之中。如果我們從類方面著手我們可以利用推論或不利用推論。若不利用推論，則根本不能成系統；若利用推論，則不能不有命題方面的推行工具。這些工具若在系統範圍之外，則所建的系統不是自足的系統。如果把它們容納在系統範圍之內，則它們既為命題方面的工具，我們似乎要從命題方面動手才行。現在邏輯學家所要建造的系統大都是自足的系統。既然如此，他們大都從命題方面著手。
（三）事實上我們用以達意的是話，有時是命題，有時不是命題，但無論如何不是單個的字。即令有時我們僅說出一個字，聽者懂得我們的意思，而所懂的意思不是一個字而是一命題。在日常生活中我們有這樣的情形，在邏輯系統範圍之內，我們也逃不出這情形範圍之外。學邏輯的人開口即是命題，動筆即是命題，事實上他們也就不容易不從命題著手。
b. 命題的type與token。我們所注意的是命題的type，不是命題的token。type與token的分別如下：
（一）如果有以下兩個「字」字：
甲「字」，乙「字」我們可以說這是兩個字，也可以說是一個字。說它們是兩個字是指在這張紙上兩個不同位置的個體而言，而這兩個個體均屬於字類。說它們是一個字時是指這兩個個體所共有的形式而言。由前說，那就是由token方面說寫上一萬個「字」字就有一萬個字；由後說，那就是從type方面說寫上一百萬「字」字仍只有一個字。名稱有type與token的分別，命題也有。我們所注意的是命題的type，不是命題的token。
（二）我們以後分析普通命題的時候，我們要談到屬性與關係。如果我們不把type與token弄清楚，我們或者免不了一種錯誤。假如我們說「兩名詞發生關係，其結果即為一命題」。這一個命題就有毛病。比方我說：
「人類」在「有理性類」的左邊。
在這一大堆字里，「人類」這名稱與「有理性類」這名稱的確有「在左」的關係；如果把這一堆字當作命題看，它所表示的是：
「人類」「有理性類」那就是說，「人類」兩字的token在「有理性類」這四個的token的左邊。如果我們所想到的是type，這一大堆字就根本不是命題了。兩名稱的token雖有在左的關係，兩名稱的type沒有。我們所注意的既是type以上那句話——「兩名稱發生關係，其結果即為一命題」——的意思是「兩名稱之間有關係名稱代表兩名稱所代表的東西彼此的關係，其結果即為一命題」。總而言之，一個命題寫上一百次還只有一個命題。
c. 命題的解析。命題有相對簡單與複雜的分別，而複雜又有程度不同的問題。現在要提出命題由相對簡單而到相對複雜的層次問題，再分析最簡單的命題的種類。
（一）最簡單的命題大都是手有所指而說出話來的命題，這個如何如何，那個如何如何。這種命題是否貨真價實的簡單命題，頗成問題。命題無論如何簡單，能夠簡單到不能再解析的程度與否，也是問題。這裡所說的簡單命題的主詞是符號呢，是具體的東西呢？似乎都是問題。這些問題無論怎樣解決，我們對於這裡所談的命題所要注意的：第一它們是命題，不是定義，所以有真假；第二它們是本書所不再解析的命題，所以是本書的最簡單的命題。
這種最初級、最簡單的命題可以由種種組合方法產生次一級的命題。設有兩個初級命題如下：（甲）這是桌子，（乙）這是四方的（假設所指的是一個東西）。這兩個命題的真假可能有四個，而我們對於這四個真假可能有十六個不同的態度（見前），而十六個不同的態度中有一個說這兩個命題都是真的，其餘三可能都是假的。表示這一個態度的命題就是普通生活中所謂簡單的命題「這張桌子是四方的」。
由「這張桌子是四方的」這樣的命題，我們又可以由種種組合方法產生更次一級或更複雜的命題，如「所有的桌子是四方的」或「任何桌子是四方的」或「有些桌子不是四方的」等等。總而言之，命題之由簡單到複雜可以有許多的層次。
（二）最簡單的命題可以分為兩種：（甲）表示屬性，（乙）表示關係。所謂屬性是事物方面的屬性，所謂關係是事物方面的關係；屬性名稱不過在語言方面表示屬性，關係名稱不過在語言方面表示關係而已。表示屬性的命題，其形式與普通教科書中的「主賓詞」式的命題相似。所不同者普通主賓詞式的命題大都是複雜的命題而已。屬性二字似乎要加以解釋才好。如果x代表一個具體的東西，x可以是紅的、四方的，等等。從命題方面著想，它所談到的只有一個具體的x。紅色與方形雖可以附屬於另外的具體東西，而在這裡所談的事實之中，它們不是離開x的兩個具體的東西。這情形與關係的情形大不相同。表示屬性的命題，其對象可以是一個具體的東西，表示關係的命題，除一二特殊關係外，其對象至少要有兩個具體的東西。這兩種命題根本不能混為一談。設有以下表示屬性的命題：
（甲）x是人。
（乙）x有人性（這種話在中文不成話，但我們可以利用以表示屬性與關係的分別）。
（丙）x是一個人。
第一個命題里所談到的只有一個具體的x。所謂是人者不過是以「人」去摹x的狀而已。以「人」去形容x，好像以紅去形容y，以「四方」去形容z。此處的「是人」當然不表示關係。第二個命題，形式已變。它所表示的看起來似乎是關係，因為有些表面上同式的命題表示關係。比方說「張先生有一本宋版書」。這命題所表示的情形中有兩個具體的東西，一是具體的而能以「人」形容的東西，一是具體的而能以「書」形容的東西。這兩個具體的東西有「有」所表示的那個極複雜的關係。既然如此，我們很容易聯想到「x有人性」這命題也就表示關係。如果我們這樣的想，我們錯了。此「有」非彼「有」，有書之「有」是關係，而有人性之「有」不是關係。從個體方面著想「人性」是一個個體的屬性，所以有人性的「有」不是兩個個體的關係。第三個命題似乎也表示關係。所謂「是一個人」者是說人類中有1，2，3…n…的分子，而x是這些分子中之一。x即是人類分子中之一，它與人類似乎發生包含關係。其實不然，我們可以提出以下兩理由：
（甲）「是一分子」不是「包含」關係。包含關係是同一層次上兩類的關係，而「是一分子」不是同一層次上兩類的關係。在「x是一個人」這命題之中，x不是類，是個體，所以「是一個人」不能是包含關係。同時包含關係是傳遞的關係；那就是說，如果甲包含乙，乙包含丙，則甲包含丙。「是一分子」，即視為關係，也不是包含關係，因為它無傳遞質；如果甲是乙的分子，乙是丙的分子，甲不能同樣地是丙的分子。無論如何，它不是包含關係。
（乙）個體與個體有關係。「是一分子」是否個體與個體的關係呢？在這命題所表示的情形中，只有x個體，其他非x的，可以有而不必有的，人類的分子，如l，2，3…n…雖有共同的屬性，雖可以有它們彼此的關係，而在我們所討論的命題範圍之內，這些可有的關係都與此命題不相干。
總而言之，以上所舉的命題都不是表示關係的命題。表示屬性的命題雖可以有種種不同的表示，而我們大都不能勉勉強強地把它變成表示關係的命題。有一兩種關係是例外，但在此處我們不必提出討論。請注意這是從簡單命題一方面著想，複雜命題情形不同。
（三）表示關係的命題也不容易變成表示屬性的命題。最好的例就是傳統邏輯教科書里的a fortiori argument。茲以
x比y長，
y比z長，
所以x比z長。
此推論毫無錯處，可是照傳統的三段論式法看來，則有毛病：（甲）三段論式的命題都是主賓詞式的命題，而這個推論中的命題不是；（乙）三段論式只有，而照它的規律看來，只能有三個名稱，而這個推論有四個名稱。有此情形，有些人就想法子消除此困難，說以上的推論雖不是三段論，而它實在根據於三段論，它的普遍形式如下：
凡長於y者是長於z者，
x是長於y者，
所以x是長於z者。
這個說法把「比——長」的關係當作屬性，把原來的四個名稱變成三個名稱。但無論如何，大多數的人看起來總不免覺得以上的辦法太勉強。「比——長」「比——大」，等等不容易叫作「性」，而在x比y長這情形或事實中「比y長」不屬於x，即勉強說它屬於x，也不像形色之屬於x。總而言之，表示關係的簡單命題也不是表示屬性的簡單命題。
d. 表示命題的符號。現在我們介紹表示命題的符號。最初有未解析的簡單命題，其次有解析後的兩種命題，又其次有複雜的命題。
（一）未解析的簡單命題。未解析的簡單命題， 以「p，q，r…」等表示之。這些命題中有表示屬性的，也有表示關係的。其實所謂「簡單命題」大有問題。簡單的標準如何、程度如何，是不能解析呢，還是不便解析呢？這些問題都不容易解決。但這些命題可以作系統中最初的原子，利用它們以表示邏輯方面的關係。
（二）這些簡單命題可以分成表示個體的屬性與表示個體與個體的關係的命題。我可以用「x，y，z…」表示個體，用「φ，ψ，χ…」表示屬性，用「R1 ，R2 ，R3 …」表示關係。
（甲）表示屬性命題的函量為φx，ψx，χx…
（乙）表示關係命題的函量為Rx，y，Rx，y，z，Rx，y，z，w…
（三）關於（二）條有兩種特別要注意。（一）條的「p，q，r…」代表未解析的命題，我們雖不知道它們所代表的命題究竟為真為假，但我們知道它們所代表的為命題，而無論所代表的是什麼命題，我們總可以說它們或真或假。（二）條里的φx或Rx、y則不然，它們所表示的不一定是命題，如果所代表的不是命題，或不是一個系統之內的命題，則無所謂真假，或無所謂這一個系統之內的真假。茲以φx為例：如果x代表這張桌子，φ代表「方」，則φx是真的；如果x代表飯廳里那張圓桌子，φ仍舊，則φx是假的；如果x仍舊，φ代表「有理性的」，則φx可以說是無所謂真假。所以φx等等，Rx、y、Rx、y、z…不是命題，它們不過是兩種命題函量。這是一點，還有一點要注意的就是有些關係要兩個個體做它們的關係分子（relata），有些要三個，有些要四個，等等。這一層我們不能不預為之備。Rx、y、z雖有以上φx所有的問題，而如果R是要三個關係分子的關係，則在Rx、y中，無論x、y代表什麼，Rx、y總無所謂真假。
（四）「x」可以代表這一個個體，那一個個體，等等。如果我們的意思是說「『φx1 』與『φx2 』與『φx3 』與…『φxn 』…」是真的，我們可以用以下公式表示：
（x）·φx，（（x）可以有兩種解釋見前）如果我們的意思是說「『φx1 』或『φx2 』或『φx3 』或『φxn 』或…」是真的，我們可以用以下公式表示：
前一公式表示「所有的x是φ」或「任何x是φ」；後一公式表示「有x是φ」或「至少有一x是φ」。表示關係的命題函量也可以照以上方法變：（x，y）·Rx，y，
由此我們可以慢慢地由簡單命題函量一步步地進而得複雜的命題函量。既有如此通式，我們當然也可以用同樣的方法，慢慢地由簡單命題而得複雜的命題。
e. 命題的值。從前曾說過邏輯系統可以視為可能的分類。把可能的分類引用到命題上面去，就是命題的值的問題。命題有多少值要看我們預備把可能分為多少類。如果我們把可能分為兩類，命題有兩值。如果我們把可能分為三類或n類，命題有三值或n值。關於值我們可以注意以下諸點。
（一）設把可能分為兩類，那麼命題有兩值。設以+，-表示之。對於這兩個符號，我們有系統通式的看法與系統的看法。從系統通式的看法，它們就是兩符號而已，我們對於這兩符號，可以有而事實上不見得即有種種的解釋。我們可以把它們視作「正」「負」，我們也可以把它們視作「真」「假」；我們不必把它們視作「正」「負」，也不必把它們視作「真」「假」。當然每一特殊系統，對於以上的符號，事實上總有一特殊的解釋。在二分法方面，這兩個值引用到命題上去，大都解作「真」「假」。可能既彼此不相容而又彼此窮盡，則命題的值也就彼此不相容，而又彼此窮盡。那就是說一命題不真即假、不假即真，它不能既真且假，也不能非真非假。
（二）設把可能分為三類，命題就有三值。茲以Lukasiewicz與Tarski的三值系統通式為例，以「|」「？」「0」表示之。從系統通式方面著想，這與以上情形相似。這三個符號可以有，而事實上不見得即有種種的解釋。事實上有一解釋說得通。「|」可以視為「定真」「？」可以視為不定真假，「0」可以視為「定假」。既然如此，則在此系統內，一命題或「定真」或「定假」或「真假不定」。這個系統的值與以上那個系統的值不同。上面的值可以說是沒有心理成分，而這裡的值有心理成分。這不是說邏輯是「心理的」，這不過是說這三個符號有這種解釋之後所得到的三個值有心理成分在內。此系統的「定真」不是那一系統的「真」，此系統的「定假」不是那一系統的「假」。在那一系統之內不能有非真非假的命題，而在這系統之內可以有不定真不定假的命題。這系統雖有不定真不定假的命題，它還是不能有既不「定真」又不「定假」又不「不定真假」的命題。
（三）從系統通式方面著想，我們可以有n類可能，命題也可以有n值的可能，無論n的數目多大。可是系統通式的問題與系統的問題不同。在系統通式方面，我們可以有n可能，命題也可以有n值，而這些可能的解釋，這些值的解釋，都不是系統通式範圍之內的問題。在系統則不然，n可能要有n解釋，n值也要有n值的解釋，而事實上n的數目太大時，n可能與n值的解釋均不易得。即勉強得到，而系統之是否為邏輯系統，也就發生問題。
B. 運算或關係
一系統的原子不必是類，不必是關係，不必是命題；一系統的運算也不必是「或」「與」「非」「蘊涵」。它們雖不必是一系統的運算，而一系統之運算中大都少不了它們。茲特提出討論。
1. 「或」。普通語言方面，或有相容與不相容的分別。比方我對甲乙二人說：「或者你或者他到火車站上去一次」，那麼甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，甲乙也可以同去。可是，如果我對他們兩個人說，「某學校的校長缺出，或者你去做，或者他去做」，那麼甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，但甲乙不能同去。前一「或者」的用法是相容的用法，後一用法是不相容的用法。排中或排外原則中的「或者」是不相容的或者，而P. M. 系統的基本概念中的「或者」（1910年版）是相容的或者。這是「或」的用法上兩大分別。除此之外尚有其他不同點。羅素在他的《算學原理》（Principles of Mathematics，1903年版）一書中，曾舉下許多的例，我們在此處可以照辦。
a. 「如果你所遇的是姓張的或是姓李的，你遇著了一個很熱烈的宗教家」。這命題中的或者，是兩名詞間的或者，而不是或不容易變成兩命題間的或者。以上這命題可以分成兩個相「與」的命題，那就是說，兩個要同時真的命題如下：
（一）「如果你所遇著的是姓張的，你遇著了一個熱烈的宗教家」並且（and）「如果你所遇著的是姓李的，你遇著了一個熱烈的宗教家」。原來的命題不能分作：
（二）「如果你所遇著的是姓張的，你遇著了一個熱烈的宗教家」或者「如果你所遇著的是姓李的，你遇著了一個熱烈的宗教家」。這個命題的兩部分是以「或者」聯合起來的，它們雖可以同時真，而它們不必一定要同時真；既不必要同時真，則不能表示原來命題的意義。前一命題的兩部分是以「與」聯合起來的，一定要它們同時真，整個的命題才能真。從這一方面看來，它與原來的命題意義一樣。可見名詞方面的「或」可以變成命題方面的「與」。
b. 「如果是鐵路局求事者之一，他一定是姓張的或姓李的」。請注意這裡的「一定」是指「姓張的或姓李的」而言，不是指姓張的個人，也不是指姓李的個人。此命題不能改成以下（一）（二）兩命題，而只能改成以下第（三）命題。
（一）「如果是鐵路局求事者之一，他一定是姓張的」或「如果是鐵路局求事者之一，他一定是姓李的」。如果原來的命題是真的，這一個命題是假的；因為原來的命題沒有說鐵路局的求事者一定是姓張的，也沒有說他一定是姓李的，而（一）命題前一部分說鐵路局的求事者一定是姓張的，所以前一部分假，後一部分說他一定是姓李的，所以後一部分也是假的。前後兩部分既都是假的，所以（一）命題也是假的。既然如此，（一）命題不等於原來的命題。
（二）「如果是鐵路局的求事者，他一定是姓張的」並且（與）「如果是鐵路局的求事者，他一定是姓李的」。這一命題的部分既是以「與」（and）聯起來的，要兩部分皆真，才能真。如果原來的命題是真的，這一命題的部分都是假的，所以它也是假的。它與原來的命題也不相等。總而言之，（一）（二）兩命題把「一定」分別地引用於姓張與姓李的，所以與原來的命題不同。
（三）原來的命題中的「姓張的或姓李的」可以分開，可是要用兩個有「不是——就」的形式的話去分開：「如果是鐵路局的求事者之一，他不是姓李的就是姓張的，而且（與）不是姓張的就是姓李的。」
c. 「王小姐與姓張的或姓李的結婚」。在一法律上不許重婚的國家，這一命題只能改作：
（一）「王小姐與姓張的結婚」或「王小姐與姓李的結婚」；而不能改作：
（二）「王小姐與姓張的結婚」而且（與）「王小姐與姓李的結婚」。後一命題要它兩部分同時真它才能真，所以它不等於原來的命題；在前一命題的兩部分可以一真一假，用不著同時真，它才能真。雖在不許重婚的國家，仍可以真，因為只要任何一部分真，它就是真的。它與原來的命題一樣。如無法律方面的限制，原來命題中的「或」可以是相容的，也可以是不相容的；（一）命題中的「或」也一樣，可以是相容的或不相容的。
總而言之，「或」有相容與不相容的兩大分別。但除此分別之外，有時名詞方面的「或」不能改成命題方面的「或」，而能改成命題方面的「與」；有時可以改成命題方面的「或」，而不能改成命題方面的「與」；有時兩方面似乎都有困難。在第三部那個系統的基本概念中的「或」是命題方面相容的「或」。相容的「或」的意義比不相容的「或」的意義廣。前者的用法比較便當。因為加以相當限制，即成不相容的「或」。
2. 「與」。此處的「與」即英文中的「and」；中文方面有時用「與」，有時用「和」，有時用「同」，有時用「而」，有時用「並且」，有時用「而且」，等等。「與」的不同的意義也非常之多，有深有淺，以下的例不能說包舉無遺，但大致可以代表各種不同的用處。
a. 「那間房子裡有桌子『與』椅子」這一命題中的「與」是極平淡的「與」，它不過表示空間相與而已。我們可以把這命題分作兩個以「與」相聯的命題。
b. 「人是兩腳的，直立的，與『有理性的』動物」。這命題里的「與」與以上的有相同點，也有不相同點。
（一）相同點是：
（甲）這一命題可以分作好幾個命題，而這些命題又可以彼此獨立。
（乙）這些命題又可以聯之以「與」，使成一整個命題。
（丙）這些命題中可以只說出任何一個或兩個，而忽略其餘的命題。
（二）不相同點是：這命題中相與的名詞是屬性名詞，可以寄託於一種或一個具體的東西，而第一命題中的名詞不能寄託於一種或一個具體的東西。
c. 「他的溫和『與』智慧征服了她的心」（此例得之於王遵明先生）。這裡的「與」與以上兩個「與」都不同。這裡的「與」似乎有點意義含糊的地方。這句話可以表示兩命題的真，例如「他的溫和征服了她的心」「與」「他的智慧征服了她的心」；可是也可以表示「他的溫和與智慧（聯合起來）征服了她的心」。究竟這裡的「與」是名詞方面的「與」還是命題方面的「與」似乎不能定。
d. 「中國花布的顏色是紅『與』藍」。如果我們心目中的花布是現在的花布，這一命題中的「與」是名詞方面的「與」，而不是命題方面的「與」。那就是說，這一命題不能分作以下兩命題：（1）「中國花布的顏色是紅的」；（2）「中國花布的顏色是藍的」，因為這兩個命題都是假的。同時這裡的「與」雖是名詞方面的「與」而沒有兩色凝為一色的意思，它所表示的是中國花布的顏色有紅亦有藍。
e. 「紫顏色是藍與紅」。這命題中的「與」與d命題中的「與」的前一點相同，後一點不相同。前一點相同，我們不能把此命題分為兩個命題說（1）「紫顏色是藍的」，（2）「紫顏色是紅的」。後一點不相同，這裡的紅與藍凝成一色。
f. 「秦『與』楚為世仇」。此處的「與」一方面不能變成兩命題的相與，我們不能根據這個命題說（1）秦為世仇與（2）楚為世仇。另一方面又表示秦楚不並立，與e例中的紅與藍不一樣。
g. 「真與假，善與惡，美與丑均為價值」。此中的「與」表示相反或不相容。這一層不必利用賓詞已經可以表示出來，因為美、丑、真、假、善、惡的普通意義已經有彼此相反與不相容的情形。但其所以用「與」而不用「或」者，因為真、假、善、惡、美、丑均各為價值。在名詞方面真假不能相與，善惡不能相與，美醜不能相與；而在命題方面，「真為價值」「假為價值」等等，命題聯之以「與」與原來的命題一樣。這可以說是一種名詞不相與而命題方面相與的例。
h.「 因與果之關係是有因必有果，有果必有因」。此處的「與」是（一）名詞方面可以說而命題方面不能說的「與」。（二）因與果為相對名稱，在一特殊範圍或方面之下，不能兼備於一具體的事物。（三）這裡的因果不是甲因與乙果，所以它們的關係不是甲乙的關係。它們不是兩事物相與，而是兩思想的相與。
以上表示「與」的用途很廣，用法很多。因為它的用法不同，而它的意義不一致的地方也很多。這些例當然不能說是包舉無遺，可是已經可以表示各種不同的用法。外國文字所有而中國文字所無的例，此處不舉，不是「and」的與，當然不必談到。
在演繹系統里，「與」也是非常之重要的運算，它雖然不必是一系統的基本概念，而我們可以說它是基本概念之一。我們可以用「或」與「非」表示它的意義，也可以用它與「非」表示「或」的意義。
在1925年出版的P. M. 中，「或」與「非」都有定義；那就是說，它們已經不是基本概念。代替它們為基本概念的是 ，而 的意思是說p、q兩命題衝突，或者說它們不同真。如果p、q兩命題都是假的，或者其中任何一命題是假的，則 為真。遵照此義， 均有以下的定義：從基本思想的數量方面著想，以「p | q」為基本思想，可以說是進步。但「 不是大多數人所習慣的思想，而最初的推論又因此基本思想而變為複雜。基本思想方面的簡單雖得，而推論方面的簡單反失，此所以本書所介紹的系統是1910年出版的P. M. ，而不是改變後的系統。
3.「 非」。此處的「非」是用之為運算的非，不是或不僅是真假值中的假值。對於運算的非，我們應注意以下諸點。
a. 「非」的意義與可能的分類為相對。如果我們把可能分為兩大類，我們所引用的就是二分法；所引用的既是二分法，所得的系統就是二分法的系統。在二分法的系統里有二分法的「非」，在三分法的系統里有三分法的「非」，在n分法系統里有n分法的「非」。「非」的意義或「非」的範圍，在系統方面就有二分法、三分法，或n分法的分別。引用二分法於命題，非真為假，非假為真；引用三分法於命題，例如Lukasiewicz與Tarski的三值系統，非定真雖為定假，而定真與定假不是窮盡的可能。
b. 二分法最簡單，茲特從二分法著想。二分法的「非」引用於類，則有小範圍的意義、大範圍的意義、無範圍的意義。
（一）小範圍的意義。設以非紅為例。小範圍的非紅即為顏色的範圍。如果我指出一x，說它是非紅；我這一句話可以有以下的形式：「x是綠的，或是黃的，或是黑的……」這樣的命題有以下的問題。
（甲）假設x是有顏色的東西，而又不是紅的，這樣的析取命題一定是真的。所以如果「x是紅的」是假的，則「x是非紅的」一定是真的；如果「x是紅的」是真的，則「x是非紅的」是假的。
（乙）可是如果x是沒有顏色的個體事體或事實，則「x是紅的」與「x是非紅的」都是假的。如此，則排中不能成立。
（二）大範圍的意義。設非紅不限於顏色，則形、聲、嗅、觸等性，及存在的東西、事體、事實所能有的關係質，非紅亦均代表之，其限制僅在「x是非紅的」這一命題須有意思而已；則非紅的意義是大範圍的意義。
（甲）非紅的意義既如此，則「x是非紅的」形式，照以上的辦法，也是一析取命題。即今所指的沒有顏色，這個命題仍是真的。無論如何，「x是紅的」與「x是非紅的」不能同時是假的。
（乙）可是，如果「x是紅的」是真命題，「x是非紅的」要是假命題才能排中。那就是說，「x是非紅的」要等於否定「x是紅的」那一命題才行。這樣一來，負類要牽扯到負命題。
（三）無範圍的意義。設以非紅分別地代表「紅」之外任何一切的謂詞，而「x是非紅的」這一命題解析起來，不僅包含有意思的命題，而且包含廢話。廢話問題以後不預備再提及。在此處我們僅分廢話為甲、乙兩種：甲種為無意思的廢話，乙種為不能有意思的廢話。無範圍的「非」也可以分為甲、乙兩種。
（甲）甲種「x是非紅的」僅包含無意思的廢話。無意思的廢話，有人稱為實質廢話，表示這種廢話僅是在事實上無意義，而不是在邏輯上不能有意思。這樣的廢話，邏輯可以置之不理。
（乙）乙種「x是非紅的」兼有不能有意思的廢話。有人稱這種廢話為形式廢話。既然如此，就有邏輯上的問題。所謂形式廢話者似乎有自相矛盾的廢話在內，矛盾既為邏輯之所淘汰，乙種「x是非紅的」不能包含自相矛盾的廢話在內。同時除去自相矛盾的廢話之外，尚有形式廢話與否，本身就是不容易應付的問題。
c. 引用於命題的「非」。以上是類方面的正負。命題方面也有正負。負命題通常以「不」字表示，例如「x不是紅的」。負命題也有各種範圍不同的意義。這裡的情形與以上一樣，不必重複地討論。所要注意的就是以下兩點。
（一）負命題的範圍也是以大範圍或無範圍的甲種為宜。正負命題之間要有排中，而排中情形小範圍的正負命題似乎沒有。同時無範圍的乙種負命題之說得通否，根本就有問題。
（二）名詞方面的「非」與命題方面的「非」，其範圍須要一致。這一點的用意就是要把「x是非紅的」這樣的正命題等於「x不是紅的」這樣的負命題。這兩命題相等，推論方面當然有便利。這可不是說所有的命題都有同樣的情形，例如「所有S是非P」不必等於「所有的S不是P」。後面這句話可以有兩個不同的解釋，這兩個不同的解釋是兩個不同的命題。如果「不是」的意義是「不都是」，則「所有的S不是P」等於「有些S不是P」，而「有些S不是P」不等於「所有的S是非P」；如果「不是」的意義是「都不是」，則「所有S不是P」等於「無一S是P」，而「無一S是P」等於「所有的S是非P」。這裡當然有語言習慣的問題。在作者的經驗中，大多數的學生很自然地把「所有的S不是P」這樣的話解釋成「無一S是P」。可是習於英文的人，講英國話的時候，大都會把「所有的S不是P」這樣的話解釋成「有（些）S不是P」。無論如何，在以個體為主詞的簡單命題，名詞的「非」與命題的「非」須要一致。複雜命題的情形，表面上因為有語言方面的習慣雖似乎是例外，但分析起來，與簡單命題或比較最簡單的命題一樣。
d. 從純粹客觀方面著想，任何具體的東西，x無所謂是桌子或不是桌子，它不過是那麼一個具體的東西而已。說「x是桌子」實在是把語言方面的符號，表示那東西的性質，用之以為那類東西的名詞。但這可以有兩個不同的解釋。
（一）把「x是桌子」當作定義看。定義雖是話，但不是普通的命題，定義不過是命名而已。各人有引用符號的自由權，一個人所引用的符號不必與他人一致。既然如此，則定義無所謂真假。如果我們把「x是桌子」當作定義看待，這句話無所謂真假。正的方面既無所謂真假，負的方面也無所謂真假。那就是說，如果把「x是桌子」當作定義，則「x不是桌子」不過是不承認定義而已，無所謂真假。
（二）把「x是桌子」當作命題看待。定義雖無所謂真假，但「桌子」之義既定，而x又實在是桌子一類中的具體的分子，則「x是桌子」這一句話就是一命題。利用x以定桌子之義，說出一句話來，那句話是定義；表示「桌子」之義，事實上已經為大家所公認，而指出具體的x，說那個具體的東西在桌子的定義範圍之內，所說的話為命題。在桌子的意義事實上既定之後，說x是桌子或不是桌子才有標準、才有真假，所以才是命題。
（三）本書所謂簡單命題都是以具體的x、y、z等等為主詞的話。如果這種話都視為定義，它們都無所謂真假，它們既無所謂真假，則由它們配合出來的複雜命題也就無所謂真假。這樣一來，一系統範圍之內的命題都變成定義。為消除這種結果起見，「x是桌子」這一類的話一定要視為命題才行，那就是說「x不是桌子」也是命題。要這類的簡單話是命題，真假值才能引用，不然不能引用。
這裡所表示的是運算中的「非」，是語言方面的問題，不是純粹客觀事物方面的問題。
e. 利用「非」以定「或」「與」的關係或意義。在討論「必然」的時候，我們曾表示引用二分法於x、y兩名詞，我們有以下四個可能：
（一）茲以x、y兩名詞為例：「x或y」（設「或」為相容的「或」）實有以下三可能，而此三可能又均能以「或」為之連絡：引用「非」於「x或y」——即「非（x或y）」——那就是把兩名詞所有四可能之中除去以上三可能，所余只有以下一可能 既可以讀為非x「與」非y，又可以讀為既非x又非y。無論如何，它表示「與」的意義。這就是利用「非」與「或」以明「與」的意義。
（二）我們也可以利用「非」與「與」以明「或」的意義。非「非x與非y」即「x或y」，非「x與y」即「非x或非y」，非「x與非y」即「非x或y」，非「非x與y」即「x或非y」。總而言之，這幾個運算的意義四通八達，誰擺在前、誰擺在後都可以。究竟誰先誰後不是邏輯的問題，而是系統的問題。
C. 定義與基本命題
本段所要提出討論的各點如下：1. 定義；2. 系統的前提與推論方式；3. 選擇的條件。
1. 定義。關於定義此前已經提及，一部分的問題也已經討論過，此處不贅。此處所要提出的幾點是：a. 系統中的定義表示引用名詞之自由；b. 系統中定義的職責在化複雜為簡單；c. 系統中的定義無所謂真假；d. 系統中的定義不在系統所要表示的實質範圍之內。
a. 引用名詞之自由。普通以為定義有名詞與實質之分，其實只有名詞的定義，沒有實質的定義。所謂實質定義似乎有以下兩層意思，而這兩層意思似乎都說不通。
（一）所謂實質定義即普通教科書稱為「real definition」的定義。普通定義大都以主賓詞式的話表示。第一層的意思是說主詞所代表的那具體的東西有定義所表示的意義。設以以下定義——「人是有理性的動物」——為例。第一層的意思是說具體的占時空的張三、李四等等有「有理性的動物」的意義。如果實質定義有這樣的意思，實質定義似乎說不通。具體的東西無所謂有意義或無意義。這不是說它們有意義，也不是說它們無意義；這是說具體的東西與意義不相干，好像道德與顏色不相干一樣。
（二）除此以外，實質定義似乎還有第二層意思。第二層意思可不是說主詞所代表的具體的東西有某種意義，而是說主詞有某種意義。第二層的意思比第一層的意思似乎高超一點，因為它把意義引用到名詞方面，沒有引用到具體的東西方面。但這一層也說不通，因為照這一層的意思，所謂定義者不是「定」某名詞的意義，而是說事實上某名詞有某種意義。即以（一）條所舉的定義為例：照第二層意思，「人」這名詞有「有理性動物」的意義。讀者請注意這是一個命題。這是說事實上我們用「人」這名詞的時候，我們也就把「有理性的動物」的意思包含或蘊涵在內。如果事實上我們用「人」這名詞的時候，「有理性的動物」的意思並沒有包含或蘊涵在內，這個命題就是一假命題。如果一句話表示事實，它是命題，系統中的定義所表示的不是事實，是意志。它表示系統中某名詞有某種用法，至於系統範圍之外，事實上那一名詞是否有那種用法與它不相干。
（三）綜觀以上，系統中的定義不是普通所謂實質定義。它完全是名詞的定義，可是雖是名詞的定義，仍不是表示某種名詞事實上有某種意義，而是表示某名詞的用法如何而已。在英文，這樣定義有時稱為「voluntary definition」，所以如此稱呼者，因為它表示引用名詞之自由。
b. 化複雜為簡單的職責。邏輯系統與其他許多系統一樣，它的程序是由簡單而複雜。這種程序的好與壞，它是否可以免除，等等的問題我們可以不必討論。事實上既有這樣的程序，我們也就有這樣的程序所發生的問題。我們可以用幾何為例：「四方」所表示的思想，不必有「四方」這名詞，我們可以用「點」「線」「角」等等表示「四方」的思想。但是如果我們有一命題表示「四方」與「圓」的關係，不用「四方」與「圓」這兩名詞，仍以「點」「線」「角」等等表示之，那一命題就差不多沒有法子說出來了。在歐克里幾何系統範圍之內，我們介紹「四方」這名詞，不過是要化複雜為簡單而已。
邏輯系統既是由簡單而複雜，當然也有同樣的問題。在P. M. 的基本命題中有這樣一命題：
如果沒有介紹 的思想或符號，這個命題就只有以下的表示：
第二個表示比頭一個就複雜得多。在一演繹系統的程序中演繹愈進，複雜的程度愈高，而複雜的程度愈高，愈要引用新名詞以代表已有的複雜的思想。
系統中的定義一方面表示一系統對於一名詞的用法，另一方面，介紹一簡單的新名詞用以代表已有的複雜的思想。前一方面表示作者引用名詞的意志，後一方面表示定義在系統中的職責。
c. 定義無真假。表示意志的話無所謂真假。表示意志的話與表示某人有某項意志的話是兩種不同的話，前者不是命題，後者是命題。命題是表示事實的話，如果所表示的是事實，通常認為它是真的，如果所表示的不是事實，通常認為是假的。系統方面的定義既不表示事實，它不是命題，所以它無所謂真假。這差不多完全是理論方面的話。可是有時在心理上理論與事實不容易分得很清楚。
例如P. M. 中的定義 ，這個定義若從系統方面著想，似乎毫無毛病。可是讀的時候，免不了把「 讀成「蘊涵」；讀成「蘊涵」的時候，免不了把它視為普通語言中的蘊涵；把它視為普通語言中的蘊涵，我們就免不了感覺它是一離奇古怪的蘊涵。但是把它當作普通語言中的蘊涵，就是把這個定義當作命題看待。何以呢？因為如果我們把 視為普通語言中的「蘊涵」，我們就發生疑問 有沒有普通「蘊涵」所有的意義呢？普通「蘊涵」有沒有 的意義呢？這些問題發生之後，我們難免牽扯到真假問題，牽扯到真假問題，就是把定義視為命題了。
這樣心理上不一致的情形不僅批評家難免，即作家也難免。好在近十幾年來研究邏輯的結果，大多數邏輯家簡直不知道或說不出所謂「普通蘊涵」者的意義何在；所以對於 早已承認其為一種蘊涵。但這不過是對於 的特殊情形而已，普通心理上不一致的情形總得要減少才行。
d. 系統中的定義不在系統所要表示的實質範圍之內。有了以上的討論，這句話似乎不至於發生若何重大的問題。這裡所謂實質有兩方面的情形，我們似乎不能不分別提出。
（一）系統所要表示的實質。邏輯系統所要表示的實質是「必然」。邏輯系統之所以為邏輯系統者，就因為它所要表示的實質是「必然」。在此處我們用不著提出邏輯系統的數目問題。這個數目是「一」也好，是「多」也好，是「無量」也好；無論如何，如果一個系統是邏輯系統，它所要表示的實質是「必然」。定義無所謂「必然」。在真假二分法範圍之內，所謂「必然」者是不能不真；定義既無所謂真假，當然也就無所謂「必然」與「不必然」。定義既無所謂「必然」與「不必然」，當然不在邏輯系統所要表示的實質範圍之內。
（二）系統所引以為表示工具的實質。一系統所引以為表示它所要表示的實質的工具就是那一系統的原子，那一系統的運算或關係，與那一系統的基本命題。這個可以總稱為系統的幹部。系統的幹部似乎不能不算是系統範圍之內的分子。幹部之內情形不一致。基本命題可以是必然的命題，所以它們也可以是系統所要表示的實質。基本概念無所謂必然與不必然，所以它們不是系統所要表示的實質；可是它們雖不是系統所要表示的實質，它們是一系統所引以為表示實質的工具。我們可以說它們是工具方面的實質，不是意義方面的實質。邏輯系統不能離開它所有的工具方面的實質。一系統之所以自別於其他系統者，就因為有它所有的工具方面的實質。一系統的定義既不是一系統所要表示的實質，也不是一系統工具方面的實質，所以它不能在系統範圍之內。
（三）定義何以不是系統的工具呢？上面已經說過一系統不能離開它的基本概念。基本概念是思想，不僅是名詞，所以它們是系統的工具。定義所介紹的不是新思想，是新名詞。新名詞所表示的思想系統中已經有了；不過以系統中所有的名詞或符號去表示新名詞或符號所表示的思想，太複雜、太麻煩、太不便利而已。但複雜、麻煩、便利等等問題都不是系統的實質的問題。如果我們不嫌複雜、不怕麻煩，一系統可以不利用定義而仍不失其為邏輯系統。系統中的定義可以視為系統的註解，不在系統的實質範圍之內。
2. 系統的前提。所謂前提與推論方式不同。前提是結論的根據，而推論方式是推論的根據。我們可以說前提是結論的前提，而推論方式是推論的「前提」。這種話是有毛病的。可是如果我們能夠利用這種話以傳達意見，我們也就不妨利用。如果前提真，推論對，結論才真；前提假，推論對，結論亦假。如果推論不對，無論前提是真是假，而所謂「結論」者根本就不是結論。從結論方面著想，我們可以說結論的真或假根據於前提，而結論的對或不對根據於推論方式。
a. 在普通生活中，前提與推論方式常常是兩件事。例如：
（甲）所有的河北人都是中國人，
所有的北平人都是河北人，
所以所有的北平人都是中國人。
（乙）所有的日本人都是德國人，
所有的東京人都是日本人，
所以所有的東京人都是德國人。
以上兩例的結論均對。但通常我們以為（甲）的結論為真，而（乙）的結論為假。這裡前提也有，推論也有，結論也有，可是前提與結論都寫出來了，而推論沒有寫出來。（甲）（乙）兩例有兩套前提，可是它們只有一種推論。在日常生活中，前提不是推論，它們是兩件事。通常所謂「合乎邏輯」不是說前提一定真，或結論一定真，是說推論對。推論對就「合乎邏輯」，不對就「不合乎邏輯」。所謂邏輯不談真假，而談對與不對者在此。
b. 在邏輯系統里的情形與日常生活中的情形有時不一樣。此處所謂邏輯系統是自足的系統，不自足的系統的情形另外。在自足的邏輯系統中，基本命題可以既是前提又是推論方式。有時我們可以分清楚，基本命題之中，某一命題為前提，某一命題為推論方式，有時不能，或不容易。例如P. M.（ 1910年版）的基本命題中有「├」符號者似乎可以說是前提，無「├」符號者似乎是推論的方式。它們的分別可以說是很清楚。但以後應用起來，系統的前提也可以成為推論的方式。例如 」；這是一個基本命題，可以說是P. M.的前提之一。但以後證例之中有把「～p」代表「p」的辦法，因得以下的命題 。此辦法之所以說得通者，因為 是一普遍的命題，「p」既代表任何命題，它當然可以代表「～p」。 不過是 的例而已。這樣一來，前提變成了一推論的方式，只要承認此方式，在此方式之下的例也就不得不承認了。所以P. M. 的基本命題既是前提又是推論的方式，前提與推論的方式變成一件事了。
c. 其所以有以上情形者就是因為P. M. 是自足的系統。不自足的系統，可以僅有前提而無推論方式，因為不自足的邏輯系統可以假設一個另外的邏輯系統供給它的推論方式。例如布爾的邏輯系統，它就沒有成文的推論方式。它假設另外的邏輯系統供給它所需用的推論方式。自足的邏輯系統則不然。它不僅要供給它本身的前提，也要供給它本身所要的推論方式。它既是自足的系統，它就不能假設另外的邏輯系統供給它本身所需用的推論方式。同時在系統方面，我們雖然不能說所引用的工具愈少愈好，但總得要經濟才行。為達到自足系統的目的起見，我們只能想法把一物兩用。此所以基本命題之中有些既是前提又是推論的方式。
d. 系統的前提與普通辯論中的前提不同。邏輯系統中的前提與普通系統中的前提也不同。普通辯論中的前提，大都是持之者信以為真，究竟是真是假，頗不易說。此真假問題，有時在辯論範圍之內，有時在辯論範圍之外。這要看辯論者所注重的是事實還是理論，是知識還是邏輯。演繹系統的前提持之者雖大都信以為真，而不必信以為真，至少他不必信他能證明或證實其為真。他所注重的是由他的系統所承認的前提所推出來的命題彼此關聯一系統；能應用固好，不能應用，而系統之為系統，仍有它的立場。邏輯系統的前提又與普通演繹系統的前提不同。邏輯系統所要表示的是「必然」，它的前提最好也要是表示「必然」的命題。此處說「最好」者，因為此目的究竟能夠完全達到與否，頗不敢說。無論如何，在P. M. 的基本命題中，前此已經說過，有「├」符號的命題都是「必然」的命題。由此種「必然」的前提，根據「必然」的推論，我們可以得「必然」的結論。邏輯系統中的非基本命題的命題都是由基本命題，用合法的方法而產生的命題。如果這些命題既都是「必然」的命題，這些結論的前提也得要是「必然」的命題。
e. 推論不是推論方式的結論。結論是由前提遵推論的方式，而得到的命題。結論是所得到的命題，不是得到那命題的程序。結論可以是普通的或特殊的命題。推論總是特殊的，同時也不是命題，而是一種「動作」。前此已經討論過「蘊涵」與「所以」的分別。「蘊涵」可以成一串無量的鏈子，而「所以」可以說是打斷那一串鏈子的動作。在任何一由前提到結論的程序中，每一推論都是引用推論方式的一個特殊表現。我們不能有引用推論方式的普遍方式，因為如果有那種普遍方式，它就是推論方式。那就是說，這種普遍的引用方式與在此方式之下的引用動作，二者之間有推論方式與推論動作之間的同樣的問題。推論方式與推論動作二者之間其關係是直接的、無媒介的、間斷的。這種間斷清形似乎無法消滅。我們要弄出一引用推論方式的普遍方式，無非是想把這間斷的情形消滅下去，但這種引用推論方式的普遍方式與在此方式之下的引用動作二者之間，其關係仍是直接的、無媒介的、間斷的。既然如此，與其想方設法消滅這種間斷的情形，而終於失敗，不如直截了當地承認此間斷的情形。
f. 茲將「」表示無間斷的蘊涵關係，以 表示有間斷的推論，我們可以有以下的表示：
在演繹方面，我們由p而得q的結論，既要「」，也要「 」。若僅有「」，q不是結論；僅有 」，q也不是結論。茲用以下二例表示一命題的兩種用法。
甲例中的第（1）命題即乙例中的第（1）命題，可是此命題在甲例中是前提，而在乙例中不是前提。甲例中的第（9）命題即乙例中的第（2）命題，可是此命題在甲例中是結論，而在乙例中不是結論。P. M. 中最初的推論是乙例的推論；如果只有乙例的推論，所得的命題就很有限了。除此以外，尚有甲例那樣的推論。其所以說甲例那樣的推論者，因為甲例在此處完全是例，不是P. M. 系統中抄下來的；它把P. M. 系統中成文的秩序變更，表示以乙例中的（1）命題為前提，用不同的推論方式，可以得乙例中的第二命題為結論。甲乙兩例不過表示 這一基本命題可以用為前提，也可以用為推論的方式。
3. 基本命題的條件。基本命題的條件大都有三：a. 夠用；b. 獨立；c. 一致。這三個條件此前已經提及。現在稍微詳細一點地說說。基本命題之能滿足此三條件與否，似乎只能表示或證實而不能證明。這個問題似乎是系統範圍之外的問題，而不是系統範圍之內的問題。我們似乎不能以一系統範圍之內的方法證明那一系統的基本命題滿足這三個條件。茲特分別提出，但討論從略。
a. 夠用問題。夠用與不夠用的問題，當然要看一系統所要達到的目的是什麼。所謂目的就是得到所要得到的命題。如果所要得到的命題都能發現於一系統之中，而一系統的命題又均是基本命題所推論出來的命題，則那一系統的基本命題為夠用，反之則不夠用。這差不多可以說特別地注重「量」的問題。
夠用與不夠用的問題非常之重要，但我們的答案似乎只能根據於實驗。我們似乎只能先用幾個基本命題去試試，看它們夠用不夠用。如果夠用，我們再求簡單、一致、對稱，等等；如果不夠用，我們只能想法子找出不夠用的理由何在，加上所需要的基本命題。我們似乎沒有旁的方法表示基本命題的夠用與否。同時如果基本命題不夠用，系統就不包含所要包含的命題，那麼，目的就沒有達到；目的既未達到，則系統為失敗的系統，而基本命題沒有盡它們的職責。因此這問題的重要可以看見，一方面我們似乎沒有簡單的方法或可以知道基本命題的夠用與否，另一方面，假設基本命題不夠用，根據它們的那一整個的系統就是失敗的系統。
b. 獨立問題。獨立問題從根本上說是一「簡單」問題。此前已經說過，所謂命題的獨立者不過是命題彼此不相等或者彼此不相蘊涵而已。設在（甲）（乙）兩基本命題之中，（甲）蘊涵（乙），則（乙）用不著列為基本命題，因為它們可由（甲）推論出來。這當然就是使基本命題不要重複，而不要重複的結果就是簡單。
（一）簡單可以有兩方面的解釋。一是基本思想與基本命題的數目方面的簡單。從這一方面著想，數目愈小愈簡單。一是從證明的歷程方面著想。從這一方面著想，基本思想與基本命題的數目小的時候，證明的歷程或者反因之複雜。這兩方面的簡單雖不必衝突而有時事實上免不了衝突。設有衝突的情形，為雙方並顧起見，我們似乎可以說基本思想與基本命題的數目以小到證明的歷程不因之而複雜的程度為限。
（二）命題的獨立與否，也不是證明的問題，而是表示或證實的問題。這個問題比夠用與不夠用的問題似乎簡單，因為它似乎有一種已經承認的方法。此方法即利用各種不同的事實以之為基本命題之解釋。設有五個基本命題，如以一種事實上的解釋，第一命題能說得通，或是真的，而其餘四個命題都是假的，則第一命題對於其餘四個命題為獨立。分別引用同樣方法於其餘四命題，我們可以分別地表示其餘的命題是否獨立。獨立與否的問題既是一表示的問題而不是證明的問題，或者等到系統發展到相當程度的時候，我們有時不免發現前此所認為獨立的命題並不獨立。
c. 一致問題。表示命題的獨立與否的那一辦法，似乎假設事實的全體不能容納於一整個系統範圍之內。表示命題的一致與否，似乎又假設事實無矛盾。關於一致，理論與事實的分別似乎極其重要。這一條件的滿足與否也不是系統範圍之內的問題。我們不能以系統之內的方法證明基本命題的一致，結果也就是以系統範圍之外的方法表示它們一致。
（一）何以不能用系統範圍之內的方法呢？所謂一致者即無矛盾，空泛一點地說，即無衝突。如果我們要證明一系統一致，就是要證明那一系統沒有矛盾。這件事似乎辦不到。要證明一系統沒有矛盾，實在是證明一系統，即無量地推進，亦不至於有矛盾。在自足的邏輯系統，那一系統之外的證明方法與那一系統不相干，而那一系統內的證明方法也只能表示那一系統發展到某種程度的時候沒有矛盾，而不容易證明那一系統發展到任何程度亦不至於有矛盾。至少從前有這樣的思想，現在是否如此，則不敢說。此問題引出來的問題太大而且太多，此處不敢也不能提出討論。
（二）無論如何，基本命題之是否一致，不能在系統發展以後才表示。在系統未發展以前既要表示，自然不能引那一系統的證明方法去證明它的基本命題一致。結果我們還是利用系統之外的方法來表示。普通引用的方法似乎是拿出系統通式的基本命題通式，加以事實方面的解釋，如果在事實上照這個解釋，基本命題都是真的，則這些基本命題是一致的。
關於獨立那一條件，我們所用的辦法，假設事實的全體不能容納於一系統範圍之內；對於一致這一條件，我們所用的辦法，假設事實無不融洽。這兩假設是否說得過去，在邏輯系統範圍之內可以不理。且前一假設影響於知識論，後一假設似乎是各種科學所必具的假設。
以上三條件是大家認為基本命題所要滿足的條件，而此三條件之滿足與否，似乎都只能以系統以外的方法表示而不能以系統之內的方法證明。