邏輯 · 一、直接推論

A. A、E、I、O的解釋問題 我們現在仍以傳統邏輯的四個命題為討論的根據，因為一方面它們最簡單，另一方面它們又為稍習邏輯者之所深悉。在前部1章的B節我們討論主賓詞式的命題的時候，曾經提及A命題的各種可能的解釋。不僅A命題有此問題，其他E，I，O均有。本段我們僅提出所謂主詞存在問題。所謂主詞存在問題不是事實上主詞所代表的東西究竟存在與否，而是這些命題對於這些東西的存在與不存在的態度。這個態度影響到各命題的意義與它們彼此的關係。 對於主詞存在與否（即主詞所代表的東西存在與否），我們可有以下百個不同的態度： （1）肯定主詞不存在， （2）假設主詞不存在， （3）不假設主詞存在或不存在， （4）假設主詞存在， （5）肯定主詞存在。 這五個不同的態度之中，頭兩個可以撇開，我們提出一命題大約不至於肯定主詞不存在，或假設主詞不存在。第三態度是邏輯里的通常態度，四、五兩態度則日常生活中亦常有之。 1. 不假設主詞存在或不存在。設有具SAP形式的命題，我們的解釋是S概念之中有P概念，而概念不必有具體的表現。那麼無論有S與否，無論S存在與否，如果一個東西是S，那個東西就是P。這樣的命題可以說是內包的命題，也可以說它所表示的是概念與概念的關係，可以表示而不必表示耳所能聞目所能見的事實。這種命題的真假不因主詞的存在與否而受影響。茲特以下列符號表示之： SAn P ···················無論有 S 與否，凡 S 皆 P SEn P ····················無論有 S 與否，無 S 是 P SIn P ····················有 S 是 P，或無 S SOn P ···················有 S 不是 P，或無 S 以上SAn P，簡單地說，等於說「無SP」（P可表示非P），SEn P等於說「無SP」，SIn P等於說「有SP或無S」，SOn P等於說「有SP或無S」。 2. 假設主詞存在。設有具SAP形式的命題，我們的解釋是以S的存在為條件，S存在，則SAP有真假的問題發生；S不存在，則SAP根本就無所謂真假。設有以下命題：「如果你進城，請你把李後主的詞帶給我。」若你果進城，你可以把那本書帶給我，也可以不把那本書帶給我。但是你如果決定不進城了，則根本談不到帶與不帶。這種命題以主詞的存在為條件，條件滿足之後才有真假可說；條件未滿足，談不到真假。有這樣解釋的SAP等於說「如果有S，凡S皆P」。茲以下列符號表示此種命題： SAh P ···················如有 S，凡 S 皆 P SEh P ····················如有 S，無 S 是 P SIh P ····················如有 S，有 S 是 P SOh P ···················如有 S，有 S 不是 P 3. 肯定主詞存在。設有具SAP形式的命題，我們的解釋是S所代表的東西存在，而此命題表示事實。在此解釋之下，此命題可以分成兩部分，一部分說有S，一部分說所有的S是P。S存在與否與SAn P那樣的命題沒有影響，S存在與否與SAh P有影響；如果S存在，SAh P才有意義，如果S不存在，則SAh P無所謂真假；現在的解釋則又不同。如果S存在，SAP可以是真，也可以是假的；但如果S不存在，則SAP根本就是假的。「如果有鬼，鬼吃人」，如事實上無鬼，則根本無所謂吃人與不吃人；「有鬼而鬼吃人」，如事實上無鬼，則此命題是假的。茲以下列符號表示此第三種命題： SAc P ···················有 S，所有的 S 皆是 P SEc P ····················有 S，無一 S 是 P SIc P·····················有 S，有些 S 是 P SOc P ···················有 S，有些 S 不是 P 傳統邏輯的A、E、I、O在主詞存在與否一層，即有意義不一致的情形。這個問題要詳細地討論一下，別的意義不清楚的地方本書從略。為清楚起見，我們先把傳統邏輯的直接與間接的推論說明，各部加以批評，然後再總結到新式邏輯。 B. 各種不同解釋之下的對待關係 如果我們提出存在問題，A、E、I、O的對待關係就發生影響。從主詞存在與否這問題一方面著想，以上的A、E、I、O究竟應作何解釋呢？在討論命題的時候，從存在一方面著想，我們只提出三種不同的解釋。解釋不同，對待的關係也因之而異。 1. 以 A、E、I、O 為 An 、En 、In 、On 。An 、En 、In 、On 是不假設主詞存在的問題，主詞存在與否與這些命題的真假不相干。這四個命題的解釋如下： 命題 　言語的表示 　 公式的表示 SAn P 「無論有S與否，凡S是P」 （SP=0） SEn P 「無論有S與否，無S是P」 （SP=0） SIn P 「有S是P，或無S」 　 ［（SP≠0）或（S=0）］ SOn P 「有S不是P，或無S」 ［（SP≠0）或（S=0）］ 此四命題既有此解釋，則它們的對待關係如下： a. SAn P與SEn P的關係。茲提出An 、En ，真假的可能。先用語言，後用圖畫。 （一） ——真→（甲）S不存在，或 （乙）S存在，而 不存在。 ——假→（甲）S存在， 存在，而SP不存在。 （乙）S存在， 存在，而SP也存在。 SEn P=（SP=0） ——真→（甲）S不存在，或 （乙）S存在，而SP不存在。 ——假→（甲）SP存在，而 不存在。 （乙）SP存在，而 也存在。 （三）SAn P與SEn P為獨立。此處所謂獨立者，不過是說沒有對待關係而已。 SAn P與SEn P俱真——S不存在。S既不存在，SP不存在，而 也不存在。 SP不存在，SEn P為真； 不存在，SAn P為真。如以上第一圖。 SAn P真而SEn P假—— 不存在，而SP存在。 不存在，所以SAn P真；SP存在，所以SEn P假。如上面第二圖。 SAn P假而SEn P真—— 存在，而SP不存在， 存在，所以SAn P假；SP不存在，所以SEn P真。如上面第三圖。 SAn P與SEn P俱假—— 存在，SP也存在。 存在，所以SAn P假；SP存在，所以SEn P假。如上面第四圖。 （四）以上表示SAn P與SEn P可以同時真，可以同時假，可以SAn P真而SEn P假，也可以SAn P假，而SEn P真。既然如此，它們沒有傳統邏輯里的反對關係，也沒有傳統邏輯里的任何對待關係。所以是獨立。 b. SIn P與SOn P的關係。 （一）SIn P=［（SP ≠ 0）或（S=0）］ ——真→（甲）S不存在，或 （乙）SP存在，而 存在與否不定。 ——假→（甲）S存在，而SP不存在。 ——真→（甲）S不存在，或（乙） 存在，而SP存在與否不定。 ——假→（甲）S存在，而 不存在。 （請注意以上兩命題不是簡單的命題，而是兩命題而聯之以「或」的複雜命題。 此兩命題之中任何一真，則此複雜命題為真；此兩命題俱假，此複雜命題始假。） （三）SIn P與SOn P的對待關係。 SIn P與SOn P同真——S不存在，或SP存在， 也存在。S不存在，則兩命題的後部分全真。SP存在， 也存在，兩命題的前一部分都真。如上面第一與第四兩圖。 SIn P真而SOn P假——SP存在而 不存在。SP既存在，S也存在，所以SIn P為真；但 不存在，所以SOn P假。如上面第二圖。 SIn P假而 存在，而SP不存在。 既存在，S也存在，所以SOn P真；但SP不存在，所以SIn P假。如上面第三圖。 SIn P與SOn P不能同假——同假的可能，僅是SP與 均不存在，但假設它們都不存在，則S不存在。此兩命題既未假設亦未肯定S存在，照以上同真的條件看來它們都是真的，所以不能同假。 （四）SIn P與SOn P的對待關係為下反對的關係。它們可以同時真，不能同時假。從（三）條二、三兩項看來，有S，此兩命題中才能有假命題；而有S的時候，一為假則另一必為真，一為真則另一的真假不定，因為它們可以同時真。 c. SAn P與SOn P，SEn P與SIn P的關係。茲以SAn P與SOn P為例： （一） ——真→（甲）S不存在，或 （乙）S存在而 不存在。 ——假→（甲） 存在，而SP不存在。 （乙） 存在，而SP也存在。 SOn P=［ 或（S=0）］ ——真→（甲）S不存在，或 →（乙） 存在，而SP不存在。 →（丙） 存在，而SP亦存在。 ——假→（甲）S存在，而 不存在。 （三）SAn P與SOn P的對待關係如下： SAn P與SOn P同真——S不存在。S不存在， 也不存在，所以SAn P真。但S不存在，SOn P這一命題的後一部分為真，所以SOn P也是真的，如第一圖。 SAn P真而SOn P假—— 不存在，而SP存在。 不存在，所以SAn P真。SP既存在，S當然存在，S存在而 不存在，則SOn P的前後兩部分均假，所以整個命題為假，如第二圖。 SAn P假而SOn P真—— 存在，SP或存在或不存在。 既存在，所以SAn P假；SOn P的前部分為真，所以SOn P真；SP存在與否不相干，如第三第四兩圖。 SAn P與SOn P不能同時假——照（一）（二）兩條的圖示看來，沒有SAn P與SOn P同假的情形。 （四）SAn P與SOn P的關係為下反對的關係，因為它們可以同時真，不能同時假。照（二）條的圖示看來，如果SAn P為假，無論根據於兩條件中的那一條件，SOn P總是真的；如果SOn P為假，只有一條件，而那一條件滿足的時候，SAn P一定為真。但SAn P與SOn P既可以同時真，由一命題的真，不能推到另一命題的真假。SEn P與SIn P的關係同樣為下反對。 d. SAn P與SIn P，SEn P與SOn P的關係。茲以SAn P與SIn P為例： （一）SAn P=（SP=0） ——真→（甲）S不存在，或 （乙）S存在，而 不存在。 ——假→（甲） 存在，而SP不存在。 （乙） 存在，而SP也存在。 SIn P=［（SP ≠ 0）或（S=0）］ ——真→（甲）S不存在，或 （乙）SP存在，而 不存在，或 （丙）SP存在，而 也存在。 ——假→（甲）SP不存在，而 存在。 （三）SAn P與SIn P的關係如下： SAn P與SIn P可以同真——S不存在，或S存在而 不存在。S不存在則SAn P為真，SIn P的後一部分真，所以也真。S存在而 不存在， 既不存在，SAn P為真。S存在 不存在，則SP一定存在，所以SIn P一定也真，如第一、第二兩圖。 SAn P假而SIn P真——SP存在，而 也存在。兩者都存在，則S存在而 存在，所以SAn P假。但S存在而SP也存在，所以SIn P的前一部分為真，所以SIn P為真，如第四圖。 SAn P假而SIn P亦假—— 存在，而SP不存在。SP存在，所以SAn P假； 存在，所以S存在，而SP既不存在，SIn P前後兩部分均假，所以SIn P為假，如第三圖。 （四）SAn P與SIn P的關係為差等的關係；它們可以同時真，也可以同時假。但如果SAn P真，則SIn P必真，SAn P假，SIn P不定；如果SIn P真，SAn P不定，SIn P假，則SAn P必假。An 、En 、In 、On 的對待關係如下圖所示。 2. 以 A、E、I、O 為 Ac 、Ec 、Ic 、Oc 。Ac 、Ec 、Ic 、Oc 是肯定主詞存在的命題，如果主詞不存在，它們都是假的。它們都是兩命題而聯之以「與」的複雜命題，它們的解釋如下： 此四命題的解釋如上，它們的對待關係如下： a. SAc P與SEc P的對待關係。 （一）SAc P=［（S ≠ 0）與 ］ ——真→（甲）SP存在與 不存在。 ——假→（甲）S不存在，或 （乙） 存在，SP不存在。 （丙） 存在，而SP也存在。 SEc P=［（S ≠ 0）與（SP=0）］ ——真→（甲） 存在而SP不存在。 ——假→（甲）S不存在，或 （乙）SP存在， 不存在。 （丙）SP存在，而 也存在。 （此兩命題既均為兩部分以「與」聯起來的複雜命題，只要一部分假，它們就假；要兩部分都真，它們才能真。） （三）SAc P與SEc P的對待關係： SAc P與SEc P不能同真。以上四可能中，沒有同真的可能。 SAc P真，則SEc P為假；SEc P真，則SAc P為假。 SAc P與SEc P可以同假；同假的理由有二，一為既無SP又無 ，一為既有SP又有 。 SAc P假，則SEc P可以真，如第三圖；也可以假，如第四圖。 SEc P假，則SAc P可以真，如第一圖；也可以假，如第二與第四圖。 （四）SAc P與SEc P的對待關係，為反對的關係，因為它們可以同時假，不能同時真；由一命題的真可以推到另一命題的假，由一命題的假不能推到另一命題的真假。 b. SIc P與SOc P的對待關係。 （一）SIc P=［（S≠0）與（SP≠0）］ ——真→（甲）SP存在，而 不存在。 （乙）SP存在， 也存在。 ——假→（甲）SP不存在，而 存在。 （乙）SP不存在， 也不存在。 SOc P=［（S≠0）與（SP≠0）］ ——真→（甲） 存在，SP不存在。 （乙） 存在，SP也存在。 ——假→（甲） 不存在，SP存在。 （乙） 不存在，SP也不存在。 （三）SIc P與SOc P的對待關係如下： SIc P與SOc P可以同時真，如第二圖之所表示。 SIc P與SOc P可以同時假，如第四圖之所表示。其所以如此者，因為它們都肯定S存在，S既不存在，它們都是假的。 如SIc P為真，SOc P可以真如第二圖，也可以假如第一圖；如SOc P為真，SIc P可以真如第二圖，也可以假如第三圖。 如SIc P為假，SOc P可以真如第三圖，也可以假如第四圖；如SOc P為假，SIc P可以真如第一圖，也可以假如第四圖。 （四）SIc P與SOc P為獨立。此處所謂獨立者，不過是無對待關係中之任何關係而已。它們可以同時真，可以同時假，由一真不能推論到另一之真假，由一假也不能推論到另一之真假。 c. SAc P與SOc P，SEc P與SIc P的關係。 （三）SAc P與SOc P的對待關係： SAc P與SOc P不能同時真。四個圖示中沒有同時真的可能。第二圖表示SAc P與SOc P同時假。這兩命題之所以能同時假者，因為它們都肯定主詞存在，如果主詞不存在，這兩個複雜命題的前一部分都是假的，所以兩個整個的複雜命題也是假的。 如果SAc P是真，則SOc P是假的，如第一圖；如果SOc P是真的，則SAc P是假的，如第三、第四兩圖；如果SAc P是假的，則SOc P可以是真的，如第三、第四兩圖，也可以是假的，如第二圖；如果SOc P是假的，則SAc P可以是真的，如第一圖，也可以是假的，如第二圖。 （四）SAc P與SOc P有反對的對待關係。它們不能同時真，可以同時假；由一為真可以推到另一為假，由一為假不能推到另一為真為假。SEc P與SIc P同樣。 d. SAc P與SIc P，SEc P與SOc P的對待關係。 （三）SAc P與SIc P的對待關係如下： SAc P與SIc P可以同時真，如第一圖之表示。 SAc P與SIc P也可以同時假，如第二圖與第三圖之表示。 第二圖表示無S或主詞不存在，所以兩命題均假；第三圖表示SP存在，所以SAc P為假，而SP不存在，所以SIc P為假。 SAc P為真，則SIc P必真，如第一圖；SIc P為真，則SAc P可以真，如第一圖，也可以假，如第四圖。 如SAc P為假，則SIc P可以真，如第四圖，也可以假，如第二、第三兩圖；如SIc P為假，則SAc P必假，如第二，第三兩圖。 （四）SAc P與SIc P有差等的關係。它們可以同時真，可以同時假。如果SAc P真，則SIc P必真，SAc P假，SIc P不定；如果SIc P真，SAc P不定，SIc P假，則SAc P必假。SEc P與SOc P同樣。茲以下圖表示Ac 、Ec 、Ic 、Oc 的對待關係。 3. 以 A、E、I、O 為 Ah 、Eh 、Ih 、Oh 。Ah 、Eh 、Ih 、Oh 是以主詞的存在為條件的命題，如果主詞不存在，則這些命題根本用不著說，或簡單地說它們無意義。 此處S的存在為四個命題的總條件，如S不存在，四個命題無所謂真假，它們有真假的時候，S存在。它們的解釋既如此，它們的對待關係如下： a. SAh P與SEh P的關係。 （最後一圖可以不畫，因條件未滿足。） （三）SAh P與SEh P的對待關係如下： SAh P與SEh P不能同時真。若是沒有S，它們都無意義。其他三可能中，沒有它們同真的情形。 SAh P與SEh P可以同時假，如第三圖；也可以同時無意義，或無真假，如第四圖。但第四圖與對待關係不相干。SAh P為真，則SEh P為假，如第一圖；SEh P為真，則SAh P為假，如第二圖。SAh P為假，則SEh P可以真如第二圖，亦可以假如第三圖；SEh P為假，則SAh P可以真如第一圖，也可以假如第三圖。 （四）SAh P與SEh P的對待關係為反對的對待關係。它們可以同時假，不能同時真，由一真可以推到另一為假，由一假不能推到另一為真或假。 b. SIh P與SOh P的對待關係。 （三）SIh P與SOh P的對待關係如下： SIh P與SOh P可以同時真，如第二圖。 SIh P與SOh P不能同時假。如果能同時假，等於沒有S，或S不存在；S不存在，則兩命題的條件未滿足，無真假。 SIh P為真，SOh P可以真如第二圖，也可以假如第一圖。 SOh P為真，SIh P可以真如第二圖，也可以假如第三圖。 SIh P為假，則SOh P為真，如第三圖；SOh P為假，則SIh P為真，如第一圖。 （四）SIh P與SOh P的對待關係為下反對的關係。它們不能同時假，可以同時真；如果一命題為真，另一命題不定，如果一命題為假，則另一命題必真。 c. SAh P與SOh P，SEh P與SIh P的對待關係，以SAh P與SOh P為例。 （三）SAh P與SOh P的對待關係如下： SAh P與SOh P不能同時真，也不能同時假。三圖之中，沒有同真的情形，也沒有同假的情形。 如果SAh P為真，則SOn P為假，如第一圖；如果SAh P為假，則SOh P為真，如第二第三兩圖。 如果SOh P為真，則SAh P為假，如第二第三兩圖；如果SOh P為假，則SAh P為真，如第一圖。 （四）SAh P與SOh P為矛盾的命題。二者不能同真，不能同假。由一真可以推到另一為假，由一假可以推到另一為真。SEh P與SIh P同樣。 d. SAh P與SIh P，SEh P與SOh P的對待關係。 （三）SAh P與SIh P的對待關係。 SAh P與SIh P可以同時真，如第一圖；也可以同時假，如第二圖。 SAh P為真，則SIh P必真；SAh P為假，SIh P可以真，如第三圖，也可以假，如第二圖。 SIh P為真，則SAh P可以真，如第一圖，也可假，如第三圖；SIh P為假，則SAh P必假，如第二圖。 （四）SAh P與SIh P的對待關係為差等的對待關係。它們可以同時真，可以同時假；如果SAh P真可以推到SIh P的真，SAh P假不能推到SIh P為真為假；由SIh P的假可以推到SAh P的假，由SIh P的真不能推到SAh P之為真為假。SEh P與SOh P同樣。茲以下圖表示Ah 、Eh 、Ih 、Oh 的對待關係： 4. 以上表示如果我們把傳統的A、E、I、O當作An 、En 、In 、On 解，則它們的對待關係不是傳統的對待關係，或者說傳統的對待關係錯了。如果傳統的對待關係不錯，則 A、E、I、O 不能視為 An 、En 、In 、On 。如果我們把傳統的 A、E、I、O當作Ac 、Ec 、Ic 、Oc 解，則傳統的對待關係也錯了；如果傳統的對待關係未錯，則A、E、I、O不能視為Ac 、Ec 、Ic 、Oc 。這就是說如果傳統的對待關係對的時候，則A、E、I、O既不是不假設主詞存在的命題，也不是肯定主詞存在的命題。 以上三解釋之中只有一個說得通。如果我們以A、E、I、O為Ah 、Eh 、Ih 、Oh ，則傳統的對待關係對。Ah 、Eh 、Ih 、Oh 是假設主詞存在，或以主詞存在為條件，而不肯定地說主詞存在的命題。這裡「假設」的意義頗不易以符號表示。它的意義，一方面似乎是以主詞的存在為條件，另一方面似乎主詞不存在的可能根本就沒有想到，或即想到，而以為那種可能用不著討論或研究。我們或者說從前治邏輯的人要邏輯「適用」，而以為實用的邏輯必為適用的邏輯。可是適用者雖均能實用，而事實上實用者不必普遍地「適用」。對於不存在的東西，事實上所說的話很少，而說話的時候，話中對象無論事實上存在與否，心理上大都以為它們存在。即以「所有的人都是會死的」而論，大多數的人對於此命題，很自然地會想到死的問題，與所有的人都會死，還是有一部分的人可以免死，等等問題，而這一句話既經說出，大多數的人不至於想到沒有「人」的可能，即或想到，也以為大可不必討論或研究。總而言之，空類或無分子的類忽略了。 C. 換質換位方面的問題 空類或無分子的類影響到A、E、I、O的對待關係，如以上所述；它也影響到換質與換位的直接推論。本段照以上的辦法看影響如何，但最初有一問題我們似乎應先提出。 1. 傳統邏輯中換質換位的推論如下（以SAP為例）： 原來命題　換質　換位　再換質　再換位　三換質 前四命題相等，後兩命題也相等，但因第五命題是有限制的換位，後兩命題與前四命題不相等，但雖不相等，而照換質換位的推論可以推論得到。設原來的命題為 ，它應有以下的推論： 第二行的第四個命題與第一行的第三個命題，即PAS與 顯而易見地是兩相反對的命題。第一行的原來的命題與第二行的第六命題即SAP與SOP，第二行的第一命題與第一行的第六命題即 ，顯而易見地是矛盾的命題。 照這兩行的推論看來，SAP與 總有衝突，而這衝突可以分兩層看。第一，兩行推論之中前四命題相等，那就是說在第一行之中，SAP等於 ；在第二行之中， 等於 ；但 與 既為反對的命題，則SAP與 也為反對的命題。第二，最後兩命題雖與前四命題不相等，而可以由前四命題推論出來。 與由SAP推論到的 彼此矛盾， 與SAP雖不能說本身有矛盾，但似乎可以說不能同時真。無論如何，在傳統邏輯的直接推論中，SAP與 不能同時真。請注意此處所說的是不能同真，而不是說有時為假。 a. 設以「所有的桌子都是四方的」與「所有的非桌子都是四方的」為例。第一命題先換質次換位變成「沒有非四方的是桌子」，而第二命題先換質次換位再換質成為「所有非四方的都是桌子」。照對待關係看來，以上兩命題為反對的命題，那就是說，它們不能同時真。可是，從另外一方面著想，這兩個命題表示沒有非四方的東西。以圖表示很容易看出來： 這兩命題究竟同是假的呢，還是不能同是真的呢？從常識方面著想，大多數的人或者要說它們都是假的，而理由無非是（一）有圓的東西是桌子，（二）有圓的東西不是桌子。如果我們承認常識，我們似乎不能不說這兩個命題都是假的。但它們是否不能同時真呢？ b. 設以「所有的人都是有理性的動物」與「所有的非人都是有理性的動物」。用同樣的方法我們也可以表示這兩個命題否認非理性動物的存在。它們是一真一假呢，還是不能同時真呢？從對於「人」有夜郎自大的感覺的人們看來，頭一個命題是真的，而後一個命題是假的。如果我們自己覺得無以解嘲，要借人類尊嚴的思想以自別於其他萬事萬物，我們大約也有同樣的感想。可是問題還是這兩個命題究竟是一真一假呢，還是不能同時真呢？ c. 設以「所有正式電報都是假電報」與「所有的非正式的電報都是假電報」為例。用同樣的圖示我們也可以表示這兩個命題根本否認真電報的存在。如果真有人說這兩句話，他不過是以一種俏皮的方法表示沒有真的電報而已。但這兩命題是否同時真呢？第一，說這樣話的人，說「非正式電報」的時候，他所注意的是電報，他不至於把「非正式電報」這一名詞包含桌子、椅子等等。第二，他所注意的是在電報範圍之內，雖有正式與非正式的分別，而沒有真的電報。如果事實上沒有真的電報，他可以說他所說的兩句話都是真的。但究竟能不能同時真呢？學邏輯的人仍可以說不能同時真，因為「非正式電報」包含桌子椅子等等，不僅止於電報，所以「所有非正式電報都是假電報」這一命題是一假命題。 d. 設以「所有的人都是宇宙的分子」與「所有的非人都是宇宙的分子」為例。如果宇宙的定義是包羅萬象的全體，則所有一切均在宇宙範圍之內，根本就不能有非宇宙的分子。同時用以上的圖示我們也可以表示以上兩命題根本否認非宇宙的分子的存在。這兩命題，照傳統的邏輯看來不能同時真。可是，照以上「宇宙」的定義看來，它們同時是真的。「非宇宙分子」不僅不存在，而且不能存在。茲以圖示表示之： 在上圖白圈就是宇宙。這兩命題的情形與c條兩命題的情形不同。在「所有的非人都是宇宙的分子」這一命題中，「非人」這一名詞可以包含桌子、椅子等等，而這命題仍為真的命題。承認以上宇宙二字的定義，這兩命題同時是真的。可是，傳統邏輯應該說它們不能同時真。 本條所舉的例中，第一命題「所有的人都是宇宙的分子」可用換質換位的方法變成：「沒有非宇宙的分子是人」；而第二命題用同樣的方法可以變成「所有的非宇宙的分子是人」。這兩個命題一為「E」，一為「A」。非宇宙分子既不存在，以A、E為Ac 、Ec ，它們都是假的；以A、E為Ah 、Eh ，它們都無意義，因為它們的條件未能滿足；以A、E為An 、En ，它們都是真的。傳統邏輯沒有想到無分子的類，所以說以上所舉的例不能同真。若僅從對待關係著想，不提存在問題，還可以說得過去；從換質換位的推論方面著想，不提存在問題，就說不過去了。現在把換質與換位連在一塊講，其實問題差不多全是換位的問題，尤其是E命題的換位。 茲以下列兩E命題為例： 甲　「沒有人是桌子」 乙　「沒有人是鬼」 這兩個命題通常我們承認是真命題，可是真的理由或真的根據或真的標準不見得一致。事實上有人，也有桌子；如果我們把具體的人擠在一邊，把具體的桌子堆在另一邊，甲命題說沒有一個前邊的具體的東西是後邊的具體的東西。事實上雖有人，而沒有鬼或鬼不存在。現在我們只有第一類具體的東西，沒有第二類具體的東西。乙命題可以有兩個說法：（一）說沒有前一類的具體的東西，是後一類的具體東西；（二）說沒有後一類的具體的東西，所以前一類的任何具體的東西不是後一類的具體的東西。這兩個命題雖真，而真的理由不同。理由不同，換位後的命題的真假，就受影響。換位後的甲、乙如下： 甲　「沒有桌子是人」 乙　「沒有鬼是人」 這兩個命題之中，甲命題可以視為Ec 或Eh 或En 。如果原來的命題是真的。換位後的命題無論是Ec 也好，Eh 也好，En 也好，仍是真的。乙則不然，如果原來的命題是真的，換位後的命題視為Ec 則假，視為Eh ，則條件未滿足無真假可言，視為En 則真。照此看來，E命題有時可以換位，有時不能換位。茲以各種不同的解釋，看換質與換位的推論如何。 2. 以A、E、I、O為Ah 、Eh 、Ih 、Oh ，傳統邏輯的換質換位的推論如下：（三）此兩命題相等，所以由SAh P可以推到SEh P。 （三）以上表示 真， 可以真如第一圖，也可以無真假如第二圖； 真， 可以真如第一圖，也可以無真假如第七圖。它們不相等，所以推論說不過去。 此兩命題一樣，前一命題等於 ，而此命題又等於 ；後一命題等於 ，此命題等於 ，而此命題又等於 。 （二）此兩命題不必以圖形表示。它們既相等，則 可以推論到 。 （三）以上表示 為真，則 亦為真；它們雖不相等，而可以推論得過去。 這兩命題相等，推論無問題。 f. 設以 A、E、I、O 為 Ah 、Eh 、Ih 、Oh ，則換質換位如下： 第二步的推論說不通，第四步不是相等的推論。 3. 以 A、E、I、O 為 Ac 、Ec 、Ic 、Oc 。 此兩命題相等，用不著再提出真假的條件，也用不著利用圖式以表示它們的關係。 （二）它們既然相等，則由SAc P到 的推論當然說得過去。 （三）這兩命題可以同真，可以同假。 為真， 可以真，亦可以假； 為真， 可以真，也可以假。它們既不相等，也不能有推論。 （三）此兩命題不相等，可是 為真，則 亦真，所以由 之為真可以推論到 之為真。茲以 表示雖不相等，而可以推論。 這兩命題相等，不必提出真假的條件，也不必提出圖式。既然相等，當然可以推論過去。 f. 設以A、E、I、O為Ac 、Ec 、Ic 、Oc ，則換質換位推論如下： 第二步推論不過去，第四步不是相等的推論。 4. 茲以 A、E、I、O 為 An 、En 、In 、On 。 此兩命題相等，當然可以彼此推論，也用不著用圖式的方法表示它們相等。 此兩命題也相等，由前可以推後。不必以圖表示。 此兩命題亦相等，推論當然成立。 （三）此兩命題不相等，也不能推論。這就是說，由 不能推論到 。在此處我們要注意由 雖可以推論到 ，它們有差等的關係，而由 不能換位到 。不但E換位有困難，I換位也有困難。在Ac 、Ec 、Ic 、Oc 與Ah 、Eh 、Ih 、Oh 中，E的換位有困難，而I的換位沒有。在An 、En 、In 、On 中，E的換位沒有困難，而I的換位有困難。 這兩命題相等，推論無問題。 f. 以A、E、I、O為An 、En 、In 、On ，則換質換位的推論如下： 5. 以上表示 A、E、I、O 在 Ac 、Ec 、Ic 、Oc ，Ah 、Eh 、Ih 、Oh ；An 、En 、In 、On 三個解釋範圍之內，沒有一個解釋可以使換質換位的推論說得通。 同時如果對待關係說得通的時候，A、E、I、O應作Ah 、Eh 、Ih 、Oh 解。 但從Ah 、Eh 、Ih 、Oh 解釋換質換位說不通。這表示傳統邏輯的直接推論的前後兩部分不一致。 此處的問題當然還是空類的問題。空類的問題在對待關係一方面我們或者不覺得什麼，因為從日常生活方面著想，A、E、I、O如果代表實用的話，用不著提到主詞存在問題。在換質換位的推論則不然。從日常生活方面看來，好好的命題，用換質換位的推論，三翻四變，可以變成一主詞不存在的命題。在換質換位方面既有這樣的問題，在對待關係方面這就不能不預為之備。如果在對待關係方面A與E不管主詞存在問題，而糊裡糊塗假設主詞存在，則SAP與SAP發生衝突。具這種形式的命題在日常生活中雖然少見，可是並不見得沒有。以上所舉的例不是特別古怪的命題，雖大多數的SAP與SAP不同時真，而既有同時真的可能，我們就不能說它們在理論上不能同時真。 總而言之，主詞不存在的可能，不能不顧慮到。現在許多人的辦法，是把A、E兩命題為不假設主詞存在的命題，I、O兩命題為肯定主詞存在的命題。那就是說A與E為An 與En ，而I與O為Ic 與Oc 。這個辦法有邏輯系統範圍之外的理由，也有邏輯系統範圍之內的理由。茲先提出前者稍微說幾句話。 系統之外的理由，其最大者當然就是以上所說的空類問題。關於空類的問題，我們可以總結如下：要邏輯之適用，我們固然要研究實用的命題；但如果我們把邏輯限制到實用的命題，其結果可以使邏輯不適用。專就實用的命題著想，我們用不著討論空類或不存在的主詞；但如果我們把邏輯限制到實用的命題而忽略空類，其結果就免不了有本節所提出的問題，反使邏輯不適用。 但除方才所說的這理由外還有其他的理由。A與E固為全稱命題。全稱頗費解，即以「所有的人都是有理性的動物」而論，所有的範圍究竟如何呢？所有以往的人呢？現在的人呢？將來的人呢？僅指以往，何以應付現在的人呢？僅指以往及現在的人，又何以能使將來之人亦有理性呢？尋常我們說這樣的命題由歸納得來，但是怎樣得法呢？如果把以往、現在及將來的人均包括在所有範圍之內，則命題之全稱誠全稱矣，但它是直言命題嗎？把命題引用到將來等於說「如果將來有人，那些人也是有理性的動物」。A、E兩命題要實在全稱，最好從反面著想。SAP從反面著想說沒有SP，SEP從反面著想說沒有SP。或者把它們當作假言命題看待：如果x是S，它就是P；如果x是S，它就不是P。這樣的命題可以說是描寫以往，也可以說是範疇將來，也可以說表示S與P兩概念的關係。必如是，A與E才無疑義的普遍；果如是，則A與E即為An 與En 。 全稱命題要不假設主詞存在，才能無疑地全稱；特稱命題要肯定主詞存在，才能無疑地特稱。有「人是有理性的動物」這樣的命題，如果是真的，諒有事實方面或經驗方面的根據，既然如此，它就得肯定主詞的存在。 系統範圍之內的理由，一方面是簡單與便利，另一方面是直接推論之一致。前者可以從對待關係著想，後者可以從兩部的推論著想。 a. 對待關係。 （一）SAn P與SEn P為獨立，SIc P與SOc P亦為獨立。這兩層前此已經提出，此處不贅。 （二）SAn P與SOc P為矛盾，SEn P與SIc P亦為矛盾。 SAn P與SOc P不能同真，不能同假，一真則另一為假，一假則另一為真；它們為矛盾的命題。SEn P與SIc P同樣。 （三）SAn P與SIc P為獨立，SEn P與SOc P同樣。茲以SAn P與SIc P為例。 SAc P與SIn P可以同時真，也可以同時假，一真則另一可真可假，一假則另一亦可真可假。它們沒有對待關係，所以獨立。SEn P與SOc P同樣。 （四）An 、En 、Ic 、Oc 的對待關係如下圖所示。 此圖示表示只有An 與Oc 、En 與Ic 有對待關係，其他都是獨立的命題。這樣對待關係非常之簡單，同時以記號表示命題，只要表示矛盾關係就行，所以也非常之便利。 b. 換質換位的推論。茲特把Ah 、Eh 、Ih 、Oh 等等的整個換質換位詳例於下： （一）Ah 、Eh 、Ih 、Oh 的換質換位： （二）Ac 、Ec 、Ic 、Oc 的換質換位： （三）An 、En 、In 、On 的換質換位： （四）An 、En 、In 、On 的換質與換位： 此表表示由全稱命題不能用換質換位的方法推論到特稱命題。 由SAn P既不能推論到 ，則SAn P與 無衝突。由SAn P雖能推論到 ，由 雖能推論到 ，而 與 既為獨立的命題，而非反對的命題，SAn P與 也非反對的命題。 c. 以 A、E、I、O 為 An 、En 、Ic 、Oc ，則 （一）A、E、I、O主詞都有明確規定。 （二）對待關係特別簡單。 （三）換質換位雖沒有傳統的換質換位那樣自由，但也沒有傳統推論所有的毛病。