歷算全書 · 卷五十四

欽定四庫全書 厯算全書卷五十四 宣城梅文鼎撰 三角法舉要卷五 測量【三角用法算例已具茲則舉高深廣逺以徴諸實事亦與算例互相補備也】 一測高 一測逺 一測斜坡 一測深 附隔水量田 附解測量全義 三角測高第一術 自平測高 假如有塔不知其高距三十丈立表一丈用象限儀測得高二十六度三十四分弱依切線術求得塔高一十六丈 一半徑　　　　　　一○○○○○ 二戊角切線　　　　　五○○○○ 三距塔根【丙乙即戊丁】　　　三十丈 四塔頂高【甲丁　是截算表端以上】　十五丈 加戊丙表一丈【即丁乙】共得塔高十六丈【甲乙】 凡用象限儀以垂線作角與用指尺同理【指尺即闚衡亦曰闚管亦曰闚筩】若戊丙表立於高所當更加立處之高以為塔高 省算法從表根丙平安象限 以一邉指塔根乙一邉指癸 乃順丙癸直線行至癸得三 十丈與丙乙等復於癸平安 象限作癸角與戊角等邉指 丙尺指壬則壬丙逺即甲丁之高【亦加丁乙為塔高】 論曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙 與乙並正角則兩句股形等立面 與平面一也 又術自丙向癸卻行以象限平安 邉指丙尺指乙求作戊之餘角得 己丙之距即同甲丁之高 又省算法用有細分矩度自戊數至癸令其分如丙乙 之距【或兩倍三倍】從癸數壬癸直線之 分即甲丁之距也【先以二分為丈或三分為丈今 亦同之】 用矩度以垂線作角其用亦同 三角測高第二術 平面則不知逺之高法用重測 假如有山頂欲測其高而不知所距之逺依術立二表相距一丈二尺用象限儀測得高六十度十九分退測後表得五十八度三十七分查其兩餘切線以相減得 較數為法表距乗半徑為實算 得山高三十一丈 一　餘切線較○○四○○○ 二　半徑　　一○○○○○ 三　表距戊己　一丈二尺 四　山高甲丁　三十丈 加表一丈共三十一丈 省算法用矩度假令先測指線 交於辛後測指線交於庚成辛 庚戊三角形法於兩指線中間 以兩測表距【即戊己】變為分如壬 癸小線引長之至丙即丙戊所當測高 論曰此即古人重表法也或隔水量山或於城外測城內之山並同 三角測高第三術 從高測高　又謂之因逺測高 假如人在山顛欲知此山之高但知山左有橋離山半里用象限測橋得逺度一十八度二十六分強依切線法求得山高一里半 一　甲角切線　半徑【一○○○○○】二　半徑　　　甲角餘切【三○○○二八】三　橋逺【戊丁】　一百八十步 四　山高【甲丁】　五百四十步【○五尺】省算法用矩度作壬癸線以當 戊丁則己壬當甲丁 三角測高第四術 從高測不知逺之高　法用重測 假如人在山上欲知本山之高然又無可防之逺但山有樓或塔量得去山二十一丈以象限儀指定一處於樓下測得五十五度二十六分又於樓上測得五十三度五十分用餘切線求得山高三百四十四丈五尺 一　兩餘切較　　　四二 二　下一測餘切　六八九 三　樓高【兩測之距】　二十一丈 四　山高　　　三百四十四 丈五尺 省算法用矩度上測交庚下測 交辛成辛己庚三角形法於兩 指線中間以上下兩測之距變 為分如壬癸小線引長之至丙 即壬丙當所測本山之高 三角測高第五術 若山上無兩高可測則先測其【但山上有兩所可以並見此物即可測矣】 甲乙為山上兩所【不拘平斜但取直線】任 指一處如戊於甲於乙用噐兩 測之成甲乙戊形此形有甲乙 兩角又有甲乙之距為兩角一 邉可求甲戊邉法為戊角之正 與甲乙邉若乙角之正與甲戊 再用甲戊丁句股形為半徑與甲戊若甲角余與甲丁即山之高也 三角測高第六術 借兩逺測本山之高 有山不知其高亦無距山之逺但山前有大樹從此樹向山而行相去一百八十五丈又有一樹人在山上可見兩樹如一直線即于山上以象限儀測此二樹一測逺樹四十三度三十二分一測近樹三十度○七分用切線較得本山高五百丈 一　切線較　　三七○○○ 二　半徑　　　一○○○○○ 三　兩逺之較　一百八十五丈 四　本山高　　五百丈 省算作壬癸小線當兩逺之距【己戊】而丙甲當本山高【甲丁】 三角測高第七術 用山之前後兩逺測高 甲為山顛可見戊己兩樹其樹 與山參相直【如山南樹直正子北樹直正午】而 不知其距但山外有路與此樹 平行為庚辛其長三里【如兩樹正南北 此路亦自南向正北行】即借庚辛之距為 兩樹之距以兩切線並為法求之 先從甲測巳得甲角一十七度○四分又從甲測戊得甲角三十四度三十四分法為兩切線並與己戊若半徑與甲丁也 一率兩切線並【○九九六○○】二率半徑【一○○○○○】三率己戊即庚辛【三里】求得四率甲丁【三里○四步又三之一強】 三角測高第八術 測山上之兩高 甲山上有塔如乙欲測其高如 乙甲之距於戊安儀噐測乙測 甲得其兩戊角之度【一乙戊丁二甲戊丁】各取其切線相減得較法為半 徑比切線較若戊丁與乙甲 省算法數戊丙之分以當戊丁作壬癸丙小線則壬癸之分即當乙甲 用矩度亦同 三角測高第九術 隔水測兩高之橫距 有甲乙兩高在水外欲測其相 距之逺任於丙用儀噐以邉向 丁窺筩指甲得甲丙丁角【一百二十 五度】又指乙得乙丙丁角【五十度】次 依丙丁直線行至丁【得一百步】再用 儀噐以邉向丙窺筩指甲得甲丁丙角【三十九度】又指乙得乙丁丙角【一百零八度】又甲丁乙角【六十九度】得三角形三【一甲丁丙二乙丁丙三甲丁乙】 今算甲丁丙形有丁丙邉丁丙二角求甲丁邉 一率甲角【一十六度】正【二七五六四】二率丁丙【一百步】三率丙角【一百二十五度】正【八一九一五】求得四率甲丁邉【二百九十七步】 次乙丁丙形有丁丙邉丙丁二角求乙丁邉 一率乙角【二十二度】正【三七四六一】二率丁丙邉【一百步】三率丙角【五十度】正【七六六○四】求得四率乙丁邉【二百○四步】 末乙丁甲形有甲丁邉【二百九十七步】乙丁邉【二百○四步】丁角【六十九度】先求甲角 一率兩邉之總【五百○一步】二率兩邉之較【九十三步】三率半外角【五十五度半】切線【一四五五○一】求得四率半較角切線【二七○○九】查表得一十五度○七分弱以減半外角得甲角四十度二十三分強 次求甲乙邉 一率甲角正【六四七九○】二率乙丁邉【二百○四步】三率丁角正【九三三五九】求得四率甲乙邉二百九十四步弱 論曰此所測甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙兩高並在一山之上于山麓測之或甲乙分居兩峯於兩峯間平地測之或甲在水之東乙在水之西於一岸測之並同若用有度數之指尺並可用省算之法 三角測高第十術 隔水測兩高之直距 有兩高如乙與甲於戊於庚測 之 先以乙庚戊形求乙庚斜距次 以甲庚戊形求甲庚斜距末以 乙甲庚形【有乙庚邉甲庚邉及庚角】求乙甲邉即所求 三角測高第十一術 若山之高顛為次高所掩則用逓測 山前後左右地勢不同則用環 測環測者從高測下與測深同 太高之山則用屢測 癸極高為甲次高所掩則先測 甲復從甲測癸謂之逓測 乙丁與子丑居癸山之下為地 平而各不等則從癸四面測之如測癸辛之高以辛乙為地平又測癸戍之高以戌子丑為地平則乙丁與子丑之較為戍辛謂之環測 若山太高太大則於乙測甲又於甲測癸或先測卯又測寅又測丑測子再從子丑測癸細細測之則真高自見而地之高下亦從可知矣謂之屢測 三角測逺第一術 平面測逺 有所測之物如乙於甲立表安象限以邉指乙餘一邉對丁從甲乙直線上任取九歩如丁於丁復安象限以邉對甲闚管指乙得丁角七十一度三十四分用切線算得乙距甲二十七步 一　半徑 二　丁角切線 三　丁甲 四　乙甲 若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乗並而開方即得乙丁 若徑求乙丁則為以半徑比丁角之割線若甲丁與丁乙也是為以句求 省算用矩度自丁數自癸取丁癸之分如丁甲之距【或以 分當步或二分或三分當一步皆可】作壬癸丁小 句股則壬癸之分即乙甲也【或一 分當步或二分三分並如丁癸之例】而丁壬亦即 當丁乙【若尺上有分數即徑取之】 若先從丁測測以測噐向甲指尺向乙作丁角次依丁甲直線行至甲務令測噐之一邉順丁甲直線餘一邉指乙則甲為正方角如前算之即得【若甲非正方角則於丁甲直線上或前或後移測求為正方角乃止】 三角測逺第二術 省算法 人在甲欲測乙之逺於甲置儀 噐一邉向乙一邉向丁成正方 角乃依甲丁直線行至丁以邉 向甲闚管指乙作四十五度角 即甲丁與甲乙等 若用矩度以乙丁線正對方角則丁角為正方角之半而甲丁等乙甲 論曰丁角為正方角之半則乙角亦正方角之半而句與股齊故但量甲丁即知甲乙 又省算法 於甲置儀噐以邉向丁闚管指 乙作六十度角順甲丁直線行 至丁復作六十度角則甲丁等 甲乙 論曰甲角丁角俱六十度則乙角亦六十度矣故三邉俱等 若丁不能到則於甲丁線上取丙以儀噐二邉對甲對乙成正方角則甲丙為乙甲之半 三角測逺第三術 平面測逺用斜角 人在甲測乙而兩旁無餘地可 作句股則任指一可測之地如 丁量得丁甲二十丈於丁安儀 噐以邉向甲窺筩指乙得丁角 【四十六度】又於甲安儀噐以邉指丁窺筩指乙得乙甲庚角【二十一度】加象限【九十度】得甲鈍角【一百一十一度】法為以乙角之正【二十三度乃甲丁二角減半周之餘】比丁甲若丁角之正與乙甲算得乙甲三十六丈八尺二寸 若求乙丁則為以乙角之正比丁甲若甲角之正與乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸【甲為銳角法同】 省算法於儀噐作壬甲線與乙丁平行作壬癸線與乙甲平行成壬癸甲小三角形與丁乙甲等則甲癸當甲丁而壬癸當甲乙又壬甲當乙丁用矩度同【但於象限內作橫直分用同矩度】 論曰壬角既同乙角【壬甲與乙丁平行壬癸與乙甲平行則作角必相等】癸鈍角又同甲角則兩三角相似而比例等 銳角形於甲測乙用矩度之邉指 丁作甲角另用一矩度【其矩須於兩面紀度】從丁測之以邉向甲闚筩指乙作 丁角末移丁角作癸角於噐上作 壬癸線與乙丁平行則癸甲當丁 甲而壬甲當乙甲壬癸當乙丁 三角測逺第四術 平面測逺借他線為比例 甲乙為兩所順甲乙直線行任取 若干步至丙又於丙任作直線至 丁得若干步於丁安儀噐以邉對 甲闚衡指丙作丁角順此直線至 戊復安儀噐邉對乙衡指丙作戊 角令與丁角等則丙丁比丁戊若丙甲與甲乙 省算法於乙甲直線上取丙 又從丙作丙戊直線截丁丙 如乙丙於丁用象限闚乙作 丁角再於戊闚甲作戊角令 與丁角等則丁戊即甲乙 又法甲置儀噐指乙指丁作 角以減半周成外角【己戊為甲角之 度丙庚戊為外角之度】於丁置儀噐指 甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙論曰凡外角能兼內餘二角【乙丁】之度丁角既為外角之半則乙角亦外角之半矣角等者所對之邉亦等故甲丁等甲乙 三角測逺第五術 平面測逺借他形為比例法 從甲測乙任立一表於丙從甲 用儀噐以邉向乙闚管指丙得 甲角復於丁加儀噐以邉向戊 闚管指丙使丁丙甲為一直線 而作丁角與甲角等乃順儀噐邉取直線至戊令戊丙乙為一直線則丁丙與丁戊若丙甲與甲乙【鈍角形句股形並同一理】 論曰丙戊丁與丙甲乙兩三 角形相似以兩形之丙角為 交角必相等而丁角又等甲 角則戊角亦等乙角矣故其 比例等 三角測逺第六術　省算 有甲乙兩所欲測其距如前立丙 表以噐測得甲丙乙角之度又順 乙丙直線行至戊令丙戊之距同 甲丙而止再從戊行至丁從丁闚 丙至甲成一直線於此直線上進退移測使乙丁丙角為乙丙甲角之半則但量丁戊即同乙甲【甲為鈍角或丙為鈍角並同】 論曰甲丙與丙戊既相等乙 丁丙角為乙丙甲外角之半 則丙乙丁角亦外角之半是 乙丙與丁丙亦等也而丙交 角又等是甲丙乙三角形與 戊丙丁形等角等邉也故丁 戊即乙甲 三角測逺第七術　重測 甲乙為兩所欲測其距而俱不能 到則兩測之於戊於丁量得戊丁 之距【十六步半】用噐測得戊角【五十度四十三 分】丁角【三十六度一十分】兩角之餘切線 較【五五○○○】為一率半徑【一○○○○○】為二率戊丁【十六步半】為三率得四率為乙甲之距【三十步】 若求戊甲之距以兩測之餘切較【五五○○○】為一率先測戊角之餘切【八一八○○】為二率丁戊【十六步半】為三率得四率戊甲【二十四步五四】 論曰此即古人重表測逺法也必丁戊甲直線與乙甲線橫直相遇使甲為正角其算始真假如乙甲正南北距則丁戊甲必正東西斯能橫直相交而成正角也 三角測逺第八術 分兩處重測 乙岸在河東欲測其距西岸之逺 如甲則任於甲之左右取丁戊兩 所與甲參相直而距河適均測得 丁角【五十度四十三分】戊角【五十五度四十三分】用 兩角度之餘切線並【一五○○○○】為一 率半徑【一○○○○○】為二率丁戊之距【九十六步】為三率求得四率乙甲之距【六十四步】為兩岸闊 論曰此法但取丁戊直距與河岸平行則不必預求甲防而自有乙甲之距為丁戊之垂線尤便於測河視用切線較更簡捷而穏當矣 三角測逺第九術 用高測逺 甲乙為兩所不知其逺而先知丁 乙之高於甲用儀噐測丁乙之高 幾何度分即知甲乙法為半徑比 甲角之餘切若丁乙高與甲乙之逺 若人在高處如丁用高測逺則為半徑比丁角之切線若丁乙與甲乙其理並同但於丁加儀噐而用正切三角測逺第十術 用不知之高測逺 欲知丁乙之逺而不能至乙乙之 上有庚又不知庚乙之高法用重 測先於丁測之得丁角【三十八度一十三分】又依丁乙直線進至甲測之得甲 角【五十三度五十二分強】兩餘切較【○五四○○一】 為一率丁角餘切【一二七○○一】為二率丁甲之距【二十步】為三率得四率丁乙【四十七步○三】　或丁後有餘地退後測之亦同 省算作壬癸丙線以壬癸分當丁甲之距壬丙當丁乙之逺 若人在高處如庚於庚測丁測甲以求丁乙其法亦同但於庚施儀噐而用正切【法為以兩庚角之切線較比丁庚乙之切線若丁甲與丁乙】 三角測逺第十一術 用高上之高測逺 甲乙為兩所而乙之根為物所掩 【如山麓有小阜坡陀礨砢林木蔽虧或島嶼盤糾荻葦深阻】難 得真距若用兩測甲外又無餘地 但取其高處如戊為山顛山上又 有石台台上有塔如丁丁戊之高 原有定距以此為用從甲測丁又測戊得兩角【一丁甲乙二戊甲乙】求其切線法為以切線較比半徑若丁戊與乙甲省算作壬癸丙小線以壬癸當丁戊則甲丙當甲乙矩度同 若從高測逺則於丁於戊兩用儀噐測甲用丁戊兩角之餘切較以當丁戊而半徑當甲乙其理亦同 三角測逺第十二術 從高測兩逺 甲乙兩逺人從高處測之於丁用 儀器測甲測乙得兩丁角【一甲丁丙二乙 丁丙】法為以半徑比兩角之切線較 若丁丙高與乙甲也 又法既得兩角則移儀噐窺戊作 戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窺己作己丁乙角如乙丁丙之倍度則但量己戊即知乙甲 三角測逺第十三術 連測三逺 丙乙為跨水長橋甲乙為橋端斜岸今於丁測橋之長 並甲乙岸闊及其距丁之逺近 法於丁安儀噐以邉指戊衡指 甲指乙指丙作丁角五【一甲丁戊二乙 丁戊三乙丁甲四戊丁丙五乙丁丙皆丁角而有大小】次順儀噐邉直行至戊得丁戊 之距於戊復用儀噐以邉指丁衡指丙指乙指甲作戊角三【一丁戊丙二乙戊丙三甲戊丁皆戊角而有大小】 一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求甲丁邉一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊邉可求乙丁邉一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊邉可求丁丙邉以上並二角一邉求余邉得甲乙丙三處距丁之逺近 一乙丁丙形有丙丁邉乙丁邉有丁角可求乙丙邉一乙丁甲形有甲丁邉乙丁邉有丁角可求乙甲邉以上並二邉一角求余邉得岸闊與橋長 三角測斜坡第一術 斜坡上平面測兩所之距 斜坡上有甲乙兩所欲量其相距 之數任立丙表測得乙丙甲角度 乃順甲丙直線進退闚乙至戊得 乙戊丙角為乙丙甲角之半又橫 過至丁從丁闚丙至乙成一直線順此直線進退闚甲至丁得甲丁丙角亦為丙角之半則丁戊即乙甲又法不必立表但任指一防為丙而於甲丙直線上任取己防乙丙直線上任取庚防作庚丙己三角形有己角庚角即知丙角末乃如上作丁戊兩角為丙角之半即所求 論曰此因乙甲在斜面高處而不能到故借用丁丙戊形測之以丁丙戊乙丙甲兩形相等故也何則丙交角既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙兩角之度戊角既分其半乙角亦半則兩角等而乙丙戊丙兩邉亦等矣凖此論之則甲丁丙角為丙外角之半者丁甲丙角亦必為丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣兩形之角既等各兩邉又等則三邉俱等而戊丁即乙甲若甲乙兩所在下而丁戊兩測在上亦同 三角測斜坡第二術 斜坡測對山之斜高 對山之斜高如甲戊乙於對 山之斜坡測之如丙丁先量 得丙丁之距於丙安儀噐得 丙角二【一乙丙丁二戊丙丁】於丁安儀 噐得丁角四【一乙丁丙二乙丁戊三戊丁丙四乙丁甲】成各三角形 先用乙丙丁形【有丙角丁角及丁丙邉】測乙丁邉　次用戊丙丁形【有丙丁二角及丁丙邉】測丁戊邉　三用乙丁戊形【有乙丁戊丁二邉及丁角】測乙角及乙戊邉　四用乙丁甲形【有乙角丁角及乙丁邉】測乙甲邉乙甲內減乙戊得戊甲邉【乙戊甲為垂線之高法同】 三角測斜坡第三術 測對坡之斜高及其岩洞 從丙從丁測對面之斜坡戊甲及乙戊 一乙丙丁形【有丙丁兩測之距丙角丁角】可求乙丁邉　二戊丙丁形 【有丙丁邉丁角丙角】可求丁戊丙戊二 邉　三乙丁戊形【有乙丁邉戊丁邉丁 角】可求乙戊邉為所測對山 上斜入之岩　四丙丁甲形【有丁角丙角丙丁邉】可求丙甲邉五甲丙戊形【有丙戊邉丙甲邉丙角】可求戊甲邉為所測對坡斜高 或戊為高處基址乙為房檐亦同 三角測深第一術 測井之深及濶 甲乙為井口之濶於甲作垂線至丁【或用磚石投之以識其處】從乙 測之得乙角成甲乙丁句股 形即以甲乙井口為句得甲 丁股為井之深　既得乙丙 深【即甲丁】即可用乙己戊形得 己戊為底濶法以半徑當井 深【乙丙】以兩乙角【一戊乙丙二己乙丙】之 切線並當井底之濶【己戊】若不知井口則立表於井口 如庚甲求庚甲二角成庚甲 丁形測之 三角測深第二術 登兩山測谷深 先於二山取甲乙之平而得其距 數為橫線即可用三角形求丙丁 垂線為谷之深與測高同理【亦可用以】 【測高也】法為甲乙兩角之餘切線並比半徑若甲乙與丙丁論曰深與高同理測深之法即測高之法也存此數則以發其例有不盡者於測高諸術詳之可也 附隔水量田法 甲乙丙丁田在水中不可 得量於岸上戊庚兩處用 儀噐測之得諸三角形算 得其邉【一甲乙二乙丙三丙丁四丁甲】次 求乙丁對角線分為兩三 角形【一甲乙丁二丙乙丁】末用和較法求得分形之兩垂線【一甲癸二壬丙】並兩垂線而半之以乗乙丁即得田積 或用三較連乗法求三角形積並之亦同 凡有平面形在峭壁懸崖之上及屋上承塵可以仰觀者並可以此法測之 解測量全義一卷十二題加減法 甲寅象限弧　甲乙半徑全數 為首率 丙寅弧之正丙辛為一率 丁寅弧之正丁庚為三率 戊己為四率 二三相乗為實首率為法法除實得四此本法也今以加減得之則不用乗除 丙寅加丁寅【即辰丙】為辰寅總弧其餘辰卯【即子癸】丙寅內減丁寅為丑寅【即丙丁】存弧其餘癸丑以子癸減癸丑餘子丑平分之於壬為壬子或壬丑即 四率【其壬子壬丑皆與戊己等】　此因總弧 不及象限故以兩餘相減 甲寅象限弧甲乙半徑全數 為首率 丙寅弧之正丙辛為二率 丁寅弧之正丁庚為三率 戊己為四率 以上皆與前同 丙寅加丁寅【即辰丙】為辰寅總弧【此總弧大於象限】其餘卯辰【即子癸】　丙寅內減丁寅【即丙丑】余丑寅為存弧其餘丑癸 以子癸加丑癸為子丑半之於壬分為壬子及壬丑二線皆與戊己同即為四率如所求 此因總弧過象限故以兩餘相加 今訂本書之譌 甲寅皆象限弧　甲乙半徑 一○○○○○為首率 丙辛○五九九九五為二率 丁庚○二五○一○為三率 以三率法取之得○一五○ ○四為四率 今用加減法 以丙辛線為正查其弧得丙寅三十六度五十二分亦以丁庚線為正查其弧得丁寅十四度二十九分以丙寅弧與丁寅弧相加得總弧辰寅五十一度二十一分其餘○六二四五六如辰卯【即子癸】 又以丙寅弧與丁寅弧相減得存弧丑寅二十二度二十三分其餘○九二四六六如丑癸 因總弧小於象限當以兩餘相減其較○三○○一○如子丑【於丑癸內減子癸得之】乃平分子醜於壬其數○一五○○五為壬丑或壬子皆與戊己同即為四率　此所得與三率所推但有微差而不相逺 按此以加減代乗除依其法宜如此今刻本相減相併訛為並而相減又於相併之弧訛為五十度二十分相減之存弧訛為二十二度二十四分故其正皆訛而所得之四率只一四三一與三率所推不合矣 又按以加減代乗除之法不過以明圖法之妙其中又有此用耳若以入算終不如乗除之便何也設問毎多整數而正之數皆有畸零不能恰合一也先用設數求弧度必用中比例始得相合則於弧度亦有畸零二也弧度既有畸零則其查余又必用中比例三也兩餘有用加之時有用減之時易至於訛四也及其所得四率以較三率法之所得終有尾數之差五也蓋論數學則宜造其防而施之於用則貴其簡易若可以簡易者而故引之繁重又何貴乎故曰不如乗除之便也觀設例之時便有訛錯如此則其不便於用亦可見矣又按此加減法即測量全義第七卷所言加減也其以總存兩餘相加減而半之者即初得數也然彼以兩正相乗得之此以加減得之而省一乗矣實弧三角中大法而彼但舉例而隠其圖姑示其端於此而又不直言其即弧度之初得數此皆譯書者秘惜之故耳向後二圖發明所以然之故 甲寅象限弧　乙丙半徑為首率 丙寅弧之正丙辛為次率 丙丑弧之正丑戊為三率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】得戊巳為四率【丑壬及壬子並同】 論曰戊巳辰【或丑壬戊亦同】句股形與 丙辛乙句股形相似故其比例 等法為乙丙與丙辛若丑戊與 丑壬也【或辰戊與戊巳亦同】 又論曰凡兩十字垂線相交作 句股則其形俱相似如辰丑線即丙丑及丙辰之正與丙乙半徑相交於戊防一十字也辰午線【辰寅弧之正也】丑癸線【丑寅弧之餘】相交於子防一十字也此兩十字相交而成諸句股形則俱相似矣故戊壬庚與丑壬戊相似而戊壬庚原與丙辛乙相似則丑壬戊與丙辛乙不得不為相似之形矣 解曰乙丙首率半徑也丙辛正為次率其弧丙寅丑戊正為三率其弧丙丑丙丑既與丙辰同則以丙丑【三率之弧也】加丙寅【次率之弧】成辰寅總弧而辰卯則總弧之餘也以丙丑【三率之弧】減丙寅【次率之弧】其餘丑寅為存弧而丑癸則存弧之餘兩餘相減其較為子丑【子癸同辰卯故以子癸減癸丑得較子丑】子丑折半於壬而壬丑與壬子皆同戊巳是為所求之四率也 如此以量法代算法的確不易但細數難分耳 若以酉丙為過象限之大弧丙丑為小弧則酉丑為總弧其正丑丁余丑癸【即丁乙】 酉辰為存弧其正辰午余辰卯【即子癸】算法略同但先所用者存弧之正小於總弧今則總弧正小於存弧正大則余小正小則余反大加減之用以小從大其理無二故其圖可通用也 又按壬丑即初得數也兩正相乗以半徑除之者也乙亥即次得數也兩餘相乗以半徑除之者也今改用加減則以兩弧相併為總弧而相較之餘為存弧存總兩餘相加減而半之成初得數省兩正乗矣又以初得數去減余成次得數省兩餘乗矣 兩餘加減例 凡總存二弧俱在象限內或俱出象限外則兩餘相減　若存弧在象限內總弧在象限外則兩餘相加 初得數減余弧例 凡存弧之正小於總弧即用存弧之餘在位以初得數減之餘為次得數　若總弧之正小於存弧即用總弧之餘在位以初得數減之餘為次得數蓋 小者余大其餘內 皆兼有初得次得兩數詳 見環中黍尺 甲寅象限弧　乙丙半徑 為首率 丙寅弧之正【丙辛】為次率 丙丑弧之正丑戊為三 率【辰丙弧同丙丑其正辰戊亦同丑戊】 求得戊巳為四率【丑壬壬子並同】 以上皆與前圖同 論曰凖前論丙辛乙句股形與丑壬戊句股形相似法為乙丙與丙辛若丑戊與丑壬也【或辰戊與戊巳亦同】 解曰乙丙首率半徑全數也丙辛正為次率其弧丙寅丑戊正為三率其弧丙丑而丙丑【三率】即丙辰以加丙寅【次率之弧】成辰寅總弧而辰卯亦總弧之餘也以丙丑【三率之弧】減丙寅【次率之弧】其餘丑寅為存弧而丑癸則亦存弧之餘也兩餘相加成子丑【子癸同辰卯皆總弧余】子丑折半於壬而壬丑同壬子亦同戊巳則所求之四率也 厯算全書卷五十四