歷算全書 · 卷五十五

欽定四庫全書 厯算全書卷五十五 宣城梅文鼎撰 解八線割圓之根 八線割圓説 天體至圓最中一防為心過心直線為徑圓面諸圏為弧弧與徑古用徑一圍三之比例【有宻術徽術各家不同】然終非弧度之真葢圓為曲線徑為直線兩者為異類亘古無相通之率夫日月星辰之道皆弧線也人目測視之線皆直線也苟非由直線以得曲線縱推算極精皆非確數於推歩測量諸用所關甚鉅其可略歟西儒幾何等書別立數法求得弧與徑相凖之率更以逐度之弧准逐度之線內用矢外用割切於是始則因弧而求線繼則因線而知弧交互推求雖分秒之弧度盡得其准立法之善即首商高復生無以易也苐割圓八線表雖乆傳於世而立法之根未得専書剖晰大測中如十邊五邊形之理皆缺焉弗講薛青州作正解亦僅依式推衍未能有所發明予於厯算生平癖嗜凡有奧義必欲直窮其所以然而後快竊思割圓八線乃厯算之本源豈可習焉不察因反覆抽繹耿耿於心者數年積思之乆乃得漸次防通遂著其圖衍其算理之隠賾者明之法之缺略者補之防而成帙以備好學者之採擇云爾 立表之根有七 一大圓中止有徑線初無邊角可尋乃作者慿空結撰求得七弧之通而全割圓表即從此推出又絶無假借紐合之病割圓之巧孰有加於是焉 表根一　圓內作六等邉切形求得六十度之通法曰六十度之通與圈之半徑等作表時命為十萬亦曰全數 解曰如圖辛為心作甲丙丁圈甲丁為全徑辛丁為半徑次取丁為心辛為界作戊庚辛圈與原圈相交於丙於戊次引長丁辛線至庚必平分丙戊弧於丁亦平分戊丙弧於辛【以丁為戊庚圈心故】次作辛丙丙丁丁戊戊辛四線成丁辛丙丁辛戊二形必皆三邉等三角形何則丁為 心辛為界則丁辛與丁丙皆 為戊庚圏之半徑仍用辛丁 為度辛為心丁為界則辛丁 又為甲己圈之半徑辛丙亦 同則辛丁丁丙辛丙三線俱等而辛丁丙為三邉等形丁辛丙三角俱自相等每角六十度夫辛角在心者也則丙丁弧為六十度丙丁即六十度之通與辛丁半徑等矣丁戊辛形仿此 次以丙辛引至己戊辛引至乙其甲辛己乙辛甲交角俱與丙辛丁戊辛丁角等角等弧亦等即平分大圈為六分次作丙丁等六線相連成六等邉內切形等邉等角葢乙辛己丙辛戊兩交角之弧既當六分圈之四則中間己戊乙丙二弧亦必各為六分圈之一故成六等邉形皆以半徑為邉此天地自然之數也 表根二　圈內作四等邉切形求得九十度之通法曰半徑上方形倍之開方得九十度之通 解曰圈內四等邉切形即內切 直角方形也　如圖甲癸丁圏 庚為心作丁癸全徑又作甲己 全徑與丁癸十字相交為湊心 四直角即平分大圓為四分每分九十度次作甲癸己癸己丁甲丁四線相連成四邉等形其切圏之甲丁己癸四角俱為直角【以各角俱乗半圈故】所容之癸甲丁己為正方形甲癸等為九十度之通用甲庚癸直角形甲庚半徑上方與庚癸半徑上方並開方得甲癸句股求術也 巳上二根並仍厯書之舊 表根三　圈內作十等邉切形用理分中末線求得三十六度之通 法曰圏徑上作理分中末線其大分為十邉等形之一邉即三十六度之通今欲明十邉形之理先解理分 中末線欲明理分中末線先解方形 及矩形 一解曰凡正方形內【如乙庚戊丙方】依一角 復作正方形【如丁庚方】以小方之各邉引長之如甲午辛壬即分元方戊庚為四分小方之各邉與大方之各邉俱兩兩平行其與小方丁庚相對之丁戊形亦必正方形左右所截之午壬甲辛二形必皆矩形而恆自相等一解曰任設一線如甲戊兩平分之於乙又任引長之為戊庚【長短不論】其全線甲庚偕引長線戊庚【即子庚】矩內形 【甲子矩】及半元線甲乙【癸丑等】上 方形【癸辛方】並成子丑壬甲磬 折形此形與半元線【乙戊】偕引 長線乙庚上之乙丙方形等 何則乙庚上方乙丙與磬折形子丑壬甲共用乙子矩形今試以此兩率各試去乙子矩形兩所余為乙壬矩及丑丙矩夫此兩矩形邉各相等【辛丙與乙辛等辛丑與壬辛亦等以壬丑為正方故】其冪亦必等則於乙子形加丑丙得乙丙方於乙子形加乙壬得子甲壬磬折形亦無不等矣　又己辛亦正方形以相對之己庚為正方故己辛方與壬丑方亦等以同在甲庚癸子兩平行線內又甲乙乙戊相等故也分中末線 解理分中末線　明上二圖可論理分中末線矣法曰如圖任作甲戊線兩平分於乙以甲戊線自之作戊卯方從乙平分處向丁作乙丁線次以甲戊引至庚令乙庚與乙丁等於乙庚上作乙丙方又取庚子與戊庚等作癸子線分戊丁於己則戊己為戊丁元線之大分己丁為小分戊己丁己戊丁三線成連比例戊丁與戊己若戊己與己丁而戊己為中 解曰依上二圖之論甲庚線偕戊庚矩形及乙戊【即甲乙】上方形並與乙庚上方等今乙庚線既令與乙丁等則 乙丁上方亦與乙庚上方等是 甲庚偕戊庚矩形及乙戊上方 並與乙丁上方等而乙丁上方 與乙戊丁戊上兩方之並等此 二率者共用乙戊上方試以此二率各減去乙戊上方則所存之戊卯方與甲子矩形必等矣夫戊卯方既與甲子矩等又共用甲己矩形試各減去甲己矩形則所存戊子方與卯巳矩形必等矣卯巳與戊子兩矩形既等又以巳直角相連則兩形之邉為互相似之比例癸己與巳子若戊己與己丁夫癸己即戊丁也則戊丁與戊己若戊己與己丁為連比例而戊己為中率戊己上方【二三率】與戊丁【一率】偕己丁【四率】矩形等戊丁全線為首率戊己大分為中率減戊丁【甲戊同】存己丁小分為末率葢理分中末線雲者於一直線上作連比例之謂也求之法以所設甲戊半於乙為句甲戊為股【即戊丁】求乙丁即乙庚也減乙戊句存戊庚即戊己大分減戊丁元線存己丁小分 又甲戊引長線止於庚者欲令乙庚等乙丁也若不為連比例戊庚可任意引長之如前二圖之論然理分中末線法實從二圖之理推出其關鍵全在乙庚乙丁二線等也 解理分中末線大分為三十六度之通　觀上諸論可明理分中末線之法然何以知其大分能為十等邉形之一邊如圖任作甲乙線用上法分之於內為理分中末線甲乙與甲丙若甲丙與丙乙甲丙其大分丙乙其小分次用甲乙全線為半徑甲為心乙為界作圏又從乙作乙丁合圏線令與甲丙等末從圏心作甲丁線相連其甲乙甲丁兩半徑等即甲丙丁為兩腰等三角形夫此三角形其腰間之甲乙丁甲丁乙二角必各倍大於底上甲角何則試從丙作丙丁線於甲丙丁角形外作甲丙丁外切圏其甲乙偕乙丙矩內直角形與甲丙上方形等【因連比例等】亦即與至規外之乙丁上方等而乙丁切小圏於丁為切線即乙丁切線偕丁丙線所作乙丁丙角與負丁甲丙圏分之甲角交互相等【見幾何三卷三 十二】此二率者每加一丙丁 甲角即甲丁乙全角與丙 甲丁丙丁甲兩角並等夫 乙丙丁外角與丁甲相對 之內兩角並等即乙丙丁 角與甲丁乙全角等而與相等之甲乙丁亦等丙丁與乙丁兩線亦等夫乙丁原與甲丙等即丙丁與丙甲亦等因丙甲丁丙丁甲兩角亦等又甲角既與乙丁丙角等即乙丁丙甲丁丙兩角亦相等是甲丁乙倍大於丙丁甲亦即倍大於相等之丙甲丁角也而甲乙邉與甲丁等則甲乙丁角亦倍大於甲角也 次解曰丙丁乙角何以知其與丙甲丁角交互相等試作未丁全徑與乙丁為直角又作未丙線成未丙丁直角夫丙未丁丙丁未二角並與一直角等乙丁未亦一直角此二率者各減去未丁丙角所存丙丁乙丙未丁二角必等夫丙未丁負圏角也丙甲丁亦負圏角也同負丙丁弧則丙甲丁角與丙未丁角等夫未角與丙丁乙角等也今既與丙甲丁等則丙甲丁角亦必與丙丁乙角等 依上論顯甲乙丁形之乙丁二角俱倍大於底上甲角形內之丙丁乙形與甲乙丁原形相似其丙乙二角亦倍大於乙丁丙角乙丁丙丁甲丙三線俱等夫甲丁乙形之甲乙丁三角並等兩直角今乙丁二角既倍大於甲角是合乙甲丁角而為五分兩直角矣則乙甲丁角該五分兩直角之一為三十六度夫五分兩直角之一與十分四直角【全周】之一等則乙甲丁角或乙丁弧即十分圏之一分乙甲丁甲又各為半徑則乙丁即十等邊形之一邊夫乙丁與丙丁等丙丁與甲丙等則甲丙與乙丁亦等而甲丙即理分中末線之大分故圏徑上作理分中末線其大分為三十六度之通 圏內作十等邊切形法　先依上作甲丁乙兩腰等三角形以甲乙甲丁各引至圏界為乙己丁戊其己戊弧與乙丁等次以戊乙弧半於庚作乙庚戊庚二線各半之於辛於壬又作癸丑子寅卯庚諸線俱過甲心各抵圏界即平分大圓為十分末作戊己等十線相連即所求十邊形之理據厯書見幾何十三卷九題而幾何六卷巳後之書未經翻譯不可得見考之他書未有發明其義者余特作此解之 表根四　圈內作五等邉內切形求得七十二度之通法曰六邉形上方形及十邉形上方形並開方得七十二度通 解內切五等邉形法　法曰甲乙丁圈於圈內作甲丙 丁兩腰等乗圈角形令腰間丙丁 二角各倍大於甲角即甲角所乗 之丙丁弧為全圈五分之一何則 甲丙丁形之三角並等兩直角今丙丁二角既各倍大於甲角則甲角為五分兩直角之一又甲為乗圈角所乗之丙丁弧必更倍大於甲角之度為全圏五之一矣【七十二度】夫丙於二角又倍大於甲角則其所乗甲丙甲丁二弧亦必倍大於丙丁為全圈五分之二即作丙戊丁乙二線平分丙丁二角亦平分甲丁甲丙二弧分大圈為五平分丙丁線即五等邉之一末作丁戊等四線相連成五等邉內切形等邉等角　此系歴書原法新増作五等邉形法 甲庚壬平圓內作五邉等形法任作 切圓直線如子丑切平圓於甲乃以 切防甲為心任作半圈如子寅丑次 勻分半圓周為五平分如子辰等次 從半圓上取五平分之各防作直線至切防甲此直線必過半圓周【如甲辰線必過庚寅甲線必過戊余仿此】末於平圓內聯各防作通即成五等邉形【庚甲乙甲本為通補作戊庚丁戊乙丁三線並與庚甲乙甲 等皆七十二度通也】 解曰卯甲寅負圈角正得丁心戊 分圓角之半卯甲寅既為十等面 湊心之角必三十六度也則丁心 戊角必七十二度而為五等邉角矣　或作半圓於外如下圖亦同前論 解六邉十邉兩方並等五邉上方形　法曰依前理分中末線法作己丁丁丙二邉為十分圏之一乙己乙丙甲乙三線俱為中末線之大分與十邊形之一等乙丁 其小分次取己丁 弧之倍至丙作甲 丙線得己丙七十 二度為五分圏之 一【己丁丙為十分圏之二即五分 圏之一矣】作丙己線即 五等形之一邊也 己甲丙為七十二度之角次取己為心己丁大分為界作丁未庚圏又以丙為心丙甲半徑為界作子甲丑圖兩圏相交於辛末從丙心向交防【辛】作丙辛線從己心向交防【辛】作己辛線成丙己辛三角形此形辛為直角丙辛六邊形之邊【即子丙】為股己辛十邊形之邊【即己丁】為句己丙五邊形之邊為用句股術得己丙七十二度之通 解曰丙辛己形何以知辛防必為直角試觀乙己丁乙丙丁俱為兩腰等形又自相等合之成己乙丙丁四等 邉斜方形則丙己線必平分 乙丁小分於壬甲丁線因己 丙弧為己丁之倍亦平分丙 己於壬壬防為直角又形 內所分之乙壬己乙壬丙丁壬己丁壬丙四句股形俱自相等夫丙己邉上方形為壬己上方形之四倍【幾何言全線上方形為半元線上方形之四倍】而壬己上方乃乙己上方減去乙壬上方之數【句求股】是以乙己上方四倍之【即己乙己丁丙丁丙乙四線上方之並】減去乙丁小分上方【乙丁上方為乙壬上方之四倍以乙壬為乙丁之半故也即乙壬等四小句方之並】所余即與丙己上方等矣而此四乙己方減乙丁上方之餘又與全數上方及中末線大分之方並等【即十邉形之一】何則試觀二圖【即理分中末線圖】甲丁為全數甲戊為全數上方丁乙為大分丁子為大分上方兩方之並成甲壬子戊磬折形此形內容丁子大分方形之四則重一庚己小分之方【取丙丁與乙丁等則己丁壬乙俱為大分之方而庚壬矩與丁子方等甲壬矩又與庚壬矩等是共有大分上方形之四倍而庚己小方則重疊在內庚己乃辛己小分之方也】今試於磬折形內減去重疊之方【癸辛方】是即於四個大分方內減一小分上方亦猶之前圖四乙己方內減去乙丁上方而所余必等矣夫此磬折形既與前四乙己方內減乙丁上方之餘冪等而此余冪又與丙己上方等則此磬折形亦與五等邊之一丙己上方等而磬折形乃甲戊丁子兩方之並也甲戊方之根甲丁即前丙辛己形之丙辛邊丁子方形之根丁己即前丙己辛形之己辛邊今丙辛己辛上兩方並既等於丙己上方是丙辛己為句股形而辛為直角矣丙辛半徑股也己辛大分句也丙子弧六十度之邊子丙即丙辛股己丁弧三十六度之邊丁己即己辛句而丙辛己辛丙己三邊適湊成句股形故厯書言六邊上方並十邊上方與五邊上方等葢以此也 若作戊乙線成戊丁乙句股形與前丙辛己形等戊乙即五邊形之一益可見辛之必為直角矣 求七十二度通法取逕甚奇大測止具算術未著其理【據云見幾何十三卷十題】薛書及孔林宗説殊多牽附余此圖與原算脗合乃知古人立法之簡奧也因更推衍四法如下 如圖午丁大圈依理分中末線法作十邉等內切形丁午等俱大分次從癸昴諸防【癸甲昴甲俱為大分】作癸昴昴壁等線俱為小分各連之則中末線之大小兩分成內外兩十邉等形俱各兩兩平行一切於周一切於徑次任取 戊為心甲為界作圈 亦依上法用其大分 小分作內外兩十邉 等形末作乙丙乙丑 等五線為五邉形之 各邉諸線交錯得求 乙丙邉之法有五 一丁乙丙形有丁丙全徑有丁卯全數及卯乙大分並為丁乙【丁乙與午戊必平行】乙為直角用股求句法得乙丙邉二乙丙寅形有乙寅小分為句有丙戊戌寅兩大分並得丙寅為求得乙丙股 三乙甲丙形用其半甲壬丙形有甲丙全數有甲辛大分有辛壬為辛戊小分之半並為甲壬求壬丙勾倍之得丙乙邉 四乙壬戊形有乙戊大分為有壬戊小分之半為句求乙壬股倍之得乙丙邉 又形中兩圈相交內有甲卯乙戊未為小五邉形其各邉即大分甲辰戊丙庚形同又有甲卯乙戊丙庚為小六邉形其各邉亦即大分又小五邉形與午丑乙丙氐大五邉形相似而體勢等則其各邉俱成比例乙甲全數與甲卯大分若乙午與午丑則以甲卯與午乙相乗全數除之亦得五邉形之一其午乙線以乙亢午直角形用句求股術取之 表根五　圈內作三等邉內切形求得一百二十度通 半之為六十度正 法曰全徑上方形內減六邊形 上方形開方得一百二十度之 通 解曰甲為圏心甲乙為半徑作圏次乙為心仍用乙甲為半徑作弧與大圏相交於丁於戊其所截之丁乙戊弧即三分圏之一何則依前六邊形之論丁乙戊乙二弧俱為六分圈之一今丁乙戊弧乃倍大於丁乙必三分圈之一矣【一百二十度】即作丁戊線為三等邊形之邊次以乙甲引至丙必平分丁丙戊大半圏於丙以丙乙為過心線既平分丁戊弧於乙亦必平分丁丙戊弧於丙也從丙作丙戊丙丁二線成丁丙戊三邊等內切形求之用乙丁丙三角形丁為直角【以丁角乗丙戊乙半圏故】丁乙為六邊形之一丙乙全徑上方減去丁乙半徑上方【丁乙即乙甲】余開方得丙丁邊句求股術也 表根六　圏內作十五等邊內切形求得二十四度之通 法曰三邊等形與五邉等形之較即十五分圏之一可求二十四度通 解曰戊丙大圈丑為心作丙子全徑取丙防為宗依前法作丙甲辛三邉等形又作丙戊乙己庚五邊等形丙甲弧為三分圈之一【一百二十度】丙戊乙弧為五分圈之二【七十二度】相較得甲乙弧二十四度即十五分圈之一也其求甲乙之邉以五邉形之邉乙己半於癸三邉形之邉甲辛半於壬得乙癸與甲壬相減【丁壬即乙癸】存甲丁為股次作乙丑甲丑兩半徑成乙丑癸甲丑壬二直角形以 乙丑半徑上方減乙癸半 上方余開方得癸丑邉又以 甲丑半徑上方減甲壬半 上方余開方得丑壬邉次以 丑癸與丑壬相減得壬癸【即乙丁】為句末用甲丁乙直角形甲丁上方與丁乙上方並開方得甲乙為十五等邉內切形之邊 又解曰甲乙弧何以知為十五分圏之一凡一圏內作三邊等形又作五邊等形以其邊數三與五相乗得十五即知可為十五等邊切形其兩弧之較必有十五分圏之一如甲乙也余仿此推　此亦厯書原法 表根七　圈內作九等邊內切形求得四十度之通【新増】求內切九等邊形　法曰甲為圓心於圓內先作庚子辛三邊等形【法見前】平分大圓為三分次用甲庚為度作 庚己線與庚辛為直角庚為 心己為界作己壬弧為全圏 六之一【六十度】次於己壬弧上 任取癸防向甲心作癸甲直 線與庚辛交於戊其自癸至戊之度令與甲乙半徑等次癸為心戊為界作圏與大圏相交於丙於庚【庚防為己壬弧圏心又癸戊半徑與庚己等必相交於庚】從癸又作癸庚癸丙二線得庚戊丙圈所割之庚乙丙弧必為庚辛弧三之二辛丙為三之一即全圏九分之一也末作丙辛線為內切九等形之邉依此作丙乙乙庚諸線成九等邉內切形等邉等角解曰癸戊線既等甲乙半徑則兩圈相交之庚戊丙庚乙丙兩弧必等又癸甲線既過兩心【甲大圓心癸庚戊丙圈心】試作庚丙通必平分通於丁亦平分庚丙弧於乙與丙庚弧於戊而庚乙與丙乙等庚戊與丙戊等又兩弧【庚乙丙庚戊丙】共用庚丙通則丙戊與丙乙庚戊與庚乙亦各相等其丙戊丙乙庚戊庚乙四線亦等又癸丙癸戊癸庚三線俱即半徑【癸為庚戊丙圈心故】則癸庚戊癸丙戊為兩腰等三角形而兩癸角又等【庚戊丙戊二弧等故】則兩形之邉角俱自相等又丙戊辛形其戊辛二角亦等何則戊角之餘為丙戊庚角而丙戊庚乃庚戊癸丙戊癸兩角之並亦即癸丙戊癸戊丙兩角之並【癸戊庚角與癸戊丙等因兩形為等形亦與癸丙戊角等】是丙戊辛角必與戊癸丙角等其丙辛戊角乗庚丙弧則辛角必得庚丙之半與乙丙弧等亦與丙戊等是丙辛戊角亦與戊癸兩角等而辛丙戊為兩腰等形因得戊丙與辛丙兩邉亦等夫丙戊邊本與戊庚等則丑丙與戊庚亦等而丙戊即丙乙庚戊即庚乙是辛丙丙乙乙庚三線等也而辛丙丙乙乙庚三圈分亦等矣前庚乙辛弧乃全圈三之一今庚乙又為庚辛三之一即全圈九之一為四十度而庚乙即四十度通　按癸丙線必與庚甲平行其交己壬弧之丑防必居癸壬弧之中而壬醜醜癸癸己為三平分各得十二度 求九邊形之邊　法曰取十邊形相較可得九分圏之 邊如圖乙辛戊圓甲為心取 辛丙弧為十邊形之一【三十六度】戊乙弧為九邉形之一【四十度】辛丙為十邉形之邉乙戊為 九邊形之邊二線令平行則其較弧辛乙與丙戊相等【各二度】次作辛乙丙乙諸線成辛乙戊丙四邉形此形有丙辛邊【前第五根所得】有辛乙邊【一度正之倍用後法所得】先求丙乙線用丙辛乙鈍角形作辛丁垂線以辛丙半之因乙辛得辛丁次以辛丁上方減辛乙上方開方得乙丁又以減辛丙上方開方得丁丙並之得乙丙線與辛戊等次以乙丙自乗方內減去辛乙自乗方余以辛丙除之得乙戍為九邊形之邊即四十度通也【上圖之庚乙線】 解曰丙辛線既與戊乙平行則丙乙辛戊兩線相等辛乙與丙戊亦等從辛從丙作辛己丙午二垂線所截戊乙線之戊午己乙為丙辛戊乙二線相較之半亦必等夫丙乙自乗得丙乙上方形辛乙自乗得丙戊上方形【辛乙與丙戊等故】而丙乙上方乃丙午乙午上兩方之並丙戊上方又丙午戊午上兩方之並則試於丙乙上方減去丙午上方所余為乙亥方丙戊上方減去丙午上方所余為午未方而午未方即己子方也今於丙乙上方形減丙戊上方形是減去丙午上一方又減去巳子一方【即戊午上方形】所余為午卯丑亥磬折形夫午乙與己戊二線相等則午丑與巳酉兩方形亦等因得卯午矩與申酉矩等移卯午補申酉則丑未矩形與午卯丑亥磬折形等矣故以子丑除之【子丑即丙辛以卯亥為正方故】得子未邊即乙戊四十度通也 按九邊形法諸書所無然缺此則九十度之正不備壬寅秋客潤州魏副憲官署時魏公鋭意厯學因作此圖補之 附求一度之通【一度為全圓三百六十之一亦可名三百六十等邉內切形】法曰一度之通取相近之數用中比例法得之如圖庚乙弧為一度先設甲庚一度三十分依前法【表根六及表法一】求其正甲癸○度○二六一七六八九又求其通得○度○二六一七九二半之得○度○一三 ○八九六為己庚四十五 分弧正己辛也三分之 得己寅○度○○四三六 三三為十五分弧略大線 加己辛【即未丑】得壬丑○度○一七四五二八為一度弧略大之正次於甲癸線內減己辛【即戊癸】余戊甲亦三分之得丙戊○度○○四三六二四為十五分弧略小線加戊癸得丙癸○度○一七四五二即丁午也為丁庚一度略小弧之正夫大小兩其差八數為壬亥半之得四壬申也【申亥同】加小減大得乙子○度○一七四五二四為乙庚一度之正若求其通用正與正矢為句股求之【此薛儀甫歴學防通法】 再細求一度正【系作枚法】 前四十五分弧之正○度○一三○八九六法以四十五分半之為廿二分三十秒求其正得六五四四九又半之為十一分十五秒求得正三二七二四五夫廿二分三十秒之弧倍於十一分十五秒而其亦倍則知二十分以內之弧正若平分數【縱有叅差非算所及】法以廿二分三十秒為一率正六五四四九為二率十五分為三率得四率十五分正○度○○四三六三二六次以十五分正與四十五分余○度九九九九一四三相乗得○度○○四三六二八八六○六八六為先數以十五分余○度九九九九九○四八與四十五分正○度○一三○八九六相乗得○度○一三○八九四七五三八為後數【相乗之理見表法六】兩數相併得○度○一七四五二三六一四五為一度正與薛書略同但此法似宻 論曰弧與非平分數然一度以內弧相切曲直之分所差極微故可以中比例法求也 按上七根所求者皆各弧之通表中所列俱正葢論割圓必以通便算則惟正然正即通之半全與分之比例等其理一也 作表之法有七 用上根數於大圓中求七弧之通以為造端之始而各度之尚無從可得爰立六種公法或折半或加倍或相總或相較轉輾推求以得象限內各度之正葢上諸法乃其體此則其用也二者相資表以成焉 表法一　有一弧之正求其餘及半本弧之正與余 解曰如圖甲為圈心乙丙戊弧為全圈四之一【九十】乙甲戊甲俱半徑設有戊丁丙弧其正為丙庚即從丙作丙甲線成丙庚甲直角形法甲丙全數上方減丙庚正上方余開之得甲庚與丙辛等即丙戊弧之餘也又用甲庚減甲戊半徑得庚戊矢又作丙戊線成丙庚戊直角形法庚戊矢上方與丙庚上方並開方得丙戊為戊丁丙弧通半之得丙己或戊己即半本弧丙丁或丁戊之正又以丙甲己形【戊甲己形同】用句求股 術求己甲得半本弧之餘【癸丙等】若 再以丙己丁己二邊求丙丁半之 又得半丙丁弧之正余仿此逓求 之 論曰丙戊弧既平分於丁其丙戊 亦必平分於巳故半丙戊為半本弧 之正試作丁甲壬象限則丙己正己甲余尤瞭然矣 表法二　有一弧之正余求其倍本弧之正與余解曰甲丙象限內設有甲戊弧其正戊己余己乙今求倍甲戊之甲丁弧正丁癸與余癸乙法先作丁甲線為丁戊甲倍弧之通此線必為乙戊線平分 於壬則壬甲亦為甲戊弧正與 戊己等丁壬亦等夫壬甲既等戊 己則其餘壬乙亦必等己乙法 用己戊乙庚壬乙兩形乙戊全數 與戊巳正若乙壬余【即乙己】與壬庚而壬庚即辛癸倍之得丁癸為倍弧甲丁之正 論曰乙戊己乙壬甲兩形相等戊乙等甲乙戊己等甲壬己乙等壬乙故壬乙得為余又乙戊己乙壬庚兩形相似故第四率可求壬庚【即辛癸】而壬庚必為丁癸之半以丁癸甲直角形丁甲既平分於壬從壬作壬辛垂線亦必平分其股於辛也故倍癸辛得丁癸為倍弧甲戊丁正又壬庚線亦平分甲癸句於庚用甲壬庚形依句股術求甲庚倍之以減甲乙存癸乙或丁子即倍弧之餘也 表法三　求象限內六十度左右距等弧之正解曰六十度左右距等弧之正與其前後弧兩正之較等如圖乙丙象限內設丙戊為六十度【不動】有丙己小弧【須在三十度以上】丙巳丁大弧其大弧與丙戊六十度之較戊丁令與丙己小弧與戊丙六十度之較戊己等其大小兩弧正一為己辛一為丁庚相較為丁癸此丁癸與己壬丁壬等則丁癸為戊丁戊己距等弧之正壬甲為余 論曰試從巳向子作巳子線則丁巳子為三邊等形何則形中壬子丁壬子己兩形相等【丁子壬己子壬兩角本等又同用壬子邊則兩形自等】而丁子壬角與乙甲戊角等【以丁庚與乙甲平行故】為三十度【乙甲戊為丙戊甲角六十度之餘】則丁子巳角為丁子壬之倍必六十度又丁子壬巳子壬兩角等則其餘壬丁子壬巳子二角亦必各六十度而與丁子巳角等則丁子巳為 平邊三角形夫丁子巳既為平邊 三角形其巳癸垂線必平分丁子 於癸子壬垂線必平分丁巳於壬 兩分之丁癸與丁壬必等而丁癸 乃己丙丁丙大小二弧兩正【一巳辛一丁庚】之較 按此須先求得象限內六十率之正依上法可求左右三十率之正外此即不可用以六十度之餘止三十度故也 表法四　任設兩弧之正余求兩弧並及較弧折半之正 解曰戊壬象限內任設不齊之兩弧一置在上如戊丙 一置在下如丁壬中間所容丙丁 弧即戊丙丁壬兩弧並之餘今求 半丙丁弧丙乙【丁乙同】之正法作 丁壬弧正丁辛余丁癸戊丙 弧正丙壬【即癸己】余丙子又作丙丁線為較弧之通成丙己丁直角形次以丁壬弧正【丁辛巳子同】減戊丙弧余【丙子】得丙己為股丁壬弧余【丁癸】減戊丙弧正【癸己】得丁己為句句股求得丙丁邉半於庚得丙庚或庚丁為丙丁半弧丙乙之正 巳上俱系厯書原法 表法五　有一弧之正求倍本弧之矢因得余解曰設戊乙弧其正乙丁戊丙為戊乙弧之倍其正丙己正矢戊己丙戊為倍弧通半於辛其辛戊與乙 丁等法用戊丙己戊辛甲兩直角 相似形【二形同用戊角故相似】甲戊與戊辛 若丙戊與戊己倍弧矢夫四率之 理二三相乗之矩內形與一四相 乗之矩等則丙戊乗辛戊即甲戊乗戊己而丙戊乗辛戊所得矩形為辛戊上方形之倍【戊辛自乗得辛庚方倍之為丙庚矩即丙戊與戊庚相乗之冪也戊庚即戊辛】而全數【甲戊也】又省一除故以乙丁正【即辛戊】自乗倍之退位即得戊己倍弧矢用減半徑得倍弧余己甲若反之以戊己矢折半進位開方即得半本弧之正【丁乙】　此孔林宗術勿庵稱為正簡法余作此圖以著其理 表法六　任設不齊之兩弧求兩弧相併之正及相較之正 解曰寅巳未圏甲為心寅巳為一象限設寅已弧內有己辛弧若干度為前弧又有己戊弧小於己辛為後弧戊子為後弧正子甲其餘午辛為前弧正午甲 其餘次取辛丑弧與己戊後 弧等則己戊丑為前後兩弧之 並弧丑亥即並弧之正次作 丑壬線為丑辛弧正與戊子 等其餘壬甲亦與子甲等辛壬亦與子巳等法用甲午辛甲壬丁二相似形以後弧之餘壬甲因前弧之正辛午全數【甲辛】除之得壬丁為初數【卯亥等】寄位　次用甲辛午丑壬卯二相似形【甲辛午形之辛角與丑乙辛角等因丑壬乙為直角其丑壬卯角亦與丑乙壬角等則亦與甲辛午角等又二形之卯午俱為直角則兩形相似】甲辛與甲午若丑壬與丑卯則以前弧之餘甲午因後弧之 正丑壬全數【辛甲】除之得丑 卯為次數末以五卯與初數 卯亥相併得丑亥為已戊丑 兩弧相併之正　若求兩 弧相較之正法以後弧丑壬正引長之抵圈界於癸則丑癸為丑辛癸弧之通因壬防為直角其癸壬與丑壬必等因得丑辛癸辛兩弧亦等夫丑辛弧原與戊巳後弧等則辛癸與戊己弧亦等即以辛癸減辛己前弧得癸己為兩弧之較癸庚即較弧之正癸酉其餘法用丑辰癸形此形內之癸申壬丑卯壬二直角形相等【丑癸辰句股形丑癸既平分於壬則從壬作壬卯壬申二垂線亦必平分丑辰句於卯癸辰股於申而癸申壬丑卯壬兩形必等】因得壬申即丑卯次數【壬申等卯辰卯辰即丑卯】用以減初數壬丁存申丁即癸庚也為較弧癸巳之正亦與戊辛弧正等 若兩弧相併在象限外如次圖巳寅丑弧理亦同【鈐記同前】有不齊之兩弧求相併相較弧正又法 法曰兩弧【小甲丙大甲戊】相併曰總弧【甲癸】相減曰多弧【戊丙】置大小兩弧以大弧正【戊辛】因小弧較【子庚】曰先數【庚乙】以大弧較【辛庚】因小弧正【庚午】曰後數【午未】　視兩弧在象限內者以後數【亥壬】減先數【亥丙也以午亥丙形與庚乙子形等故】為多弧正【壬丙】以後數卯丑加先數【丑已以庚巳丑形與庚乙子形等故】為總弧正【卯巳也以卯午巳形與庚酉癸形等故卯己即酉癸】若兩弧過象限者加減各異 又或置大小兩弧【同上】以 大弧正【戊辛】因小弧正 午庚曰先數【庚未】以大 弧較【庚辛】因小弧較 【庚子】曰後數【子乙】　視兩弧在象限下以後數【午亥】加先數得多弧較【壬庚】以後數【庚丑】減先數【庚未】得總弧較【丑未即午卯亦即庚酉】若兩弧象限內外不等加減亦異 此法詳三角會編五卷梅勿庵先生環中黍尺亦著其法然彼所論者弧三角形此則平圓中求正也 表法七　圓內有五通錯互成四不等邊形求不知一弧之通 解曰甲為圓心戊庚為圓徑戊丙丙丁丁庚俱為通成戊庚丁丙四不等形丁戊丙庚為對角線法丁戊偕丙庚相乗之矩形內減丁庚偕丙戊相乗之矩形余為戊庚與丙丁相乗之矩形葢丁庚丙戊相乗之矩與戊庚丁丙相乗之矩並與丁戊丙庚兩對角線相乗之矩 等也若有丙戊丁庚戊庚丙 庚丁戊五通用此可得丙 丁弧之通 論曰庚戊丁形與庚丙丁形 其戊丙兩角等【同乗丁庚弧故】若以 丙丁引至己作庚己丙直角形則庚戊丁庚己丙兩直角形相似庚戊與戊丁若庚丙與丙己夫四率之理二三相乗矩形與一四相乗之矩等則庚丙與丁戊相乗所得即庚丙與丙己相乗之己壬矩也【取己癸與庚戊徑等】次作丁辛線與己癸平行割圈於子其子庚弧與丙戊弧等何則戊丁庚為直角丙丁子亦為直角同用戊丁子角【子戊弧】則丙丁戊庚丁子兩角必等其所乗之丙戊庚子兩弧亦等矣因得庚子邊即丙戊通又庚子丁角與庚戊丁角等【同乗丁庚弧故】於庚作庚乙垂線與己丙平行成子庚乙直角形與庚戊丁直角形相似戊庚與庚丁若子庚與庚乙依四率之理庚子【即丙戊】與丁庚相乗所得即庚戊與庚乙相乗之己辛矩也【丁辛即庚戊己丁即庚乙】用以減己壬矩形余丁壬矩形乃庚戊與丁丙相乗之冪故以庚戊除之得丁丙為丁丙弧之通 若戊丙丁庚非半圈【或大或小不論】則庚 戊為戊丙庚弧之通理亦同但 己壬為斜方形如上圖戊丁庚為 小半圈成己壬斜方其庚乙線不 與丁己平行法作己庚乙角令與 丁己庚角等則腰間相對丁乙二角亦等因得庚乙丁己為等邊而庚乙子鈍角為丁乙庚之餘與丁己庚角自等亦即與圓內戊丁庚角等而庚乙子庚戊丁為相似形庚乙即丁己 此上古多羅某法諸書未有能言其故者得余此圖庶不昧古人精意　已上二法系余所增 用上七法交互推求可得象限內各度之正細推之又可每隔十五分【四分度之一】得一正十五分以下用中比例法以十五分正為實十五為法而一得一分之正逓加之得每度內各分之正立割圓表又此正算一象限巳足以適滿一直角故也 求切線角線矢線 割圓正而外又有切割矢三線並正為四線合其餘為八線葢以八線凖一弧弧之曲度得其真矣切線止切圈以一防全在圏外割線從圈心過規半在內半在外正與矢全在圈內如圖甲為圈心庚丁為象限庚甲丁甲俱半徑設有庚乙正弧即戊乙為正乙辛【戊甲同】為余次於圏外作庚己線與戊乙平行切圈於庚又從甲心過所截弧乙防作甲己線與庚己交於己成甲己庚直角形此己庚為乙庚弧正切線己甲其正割線也而甲己庚直角形與圓內戊甲乙形相似甲戊與戊乙若甲庚與庚己故以余除正半徑因之得本弧正切又戊甲與甲乙若庚甲與甲己故以余除半徑全數因之得本弧正割以戊甲余減甲庚半徑得庚戊本正矢此皆庚乙弧相當之線也夫庚乙既為正弧則乙丁為余弧作乙辛線為余弧之作丙丁線切圏於丙為余弧之切甲乙引出之遇於丙甲丙為余弧之割成甲丙丁直角形與圓內甲乙辛形相似甲 辛與辛乙若甲丁與丁丙得 餘切甲辛與甲乙若甲丁與 甲丙得餘割乙戊【即甲辛】正 減甲丁半徑得辛丁余矢此 又丁乙余弧相當之線也一正一餘共有八線若或以丁乙為正弧即庚乙反為余弧其八線正余之名亦互易葢此為正彼自為余耳 論曰庚乙正弧之各線為甲庚己甲戊乙兩句股形所成乙丁余弧之各線為甲丁丙甲辛乙兩句股形所成而甲庚己形與甲丁丙形相似【一為順句股一為倒句股】又圓內之乙甲辛甲戊乙二句股形俱自相似亦與甲丁丙甲庚己二形相似是庚乙弧相當之線成相似之直角形四設算可以用正亦可以用余是一弧而能兼用八線此八線表所由名也 按表中不列矢線者以矢線用正余減半徑即得且不常用故省之　又按割圓之難全在求正若切割線俱以比例得之 附求割線省法【用加減算】 如乙己弧為二十度其切線乙戊求割線甲戊法先以余己丙七十度半於丁得丁己三十五度丁丙等次 以戊乙切線引長之令與戊甲 等作甲戊辛兩腰等三角形而 乙庚弧必與丁丙等即查乙庚 弧之切乙辛並乙戊得戊辛即甲戊割也 解曰乙庚弧何以與丁己弧等葢甲辛戊既為兩腰等三角形則甲角之己庚弧必為丙己余弧【己壬也】之半壬庚與己庚等而庚防居己壬弧之中夫丙己與己壬並等兩直角則己庚弧之不滿直角者必為丙己之半今丙己既半於丁則以丁己益己庚丁甲庚必為直角而乙甲丙亦直角也共用乙甲丁角【或丁乙弧】則丙己與乙庚等 求矢線　余減半徑得正矢正減半徑得余矢求切線　余除正半徑因之得正切正除余半徑因之得餘切 求割線　余除半徑半徑因之得正割正除半徑半徑因之得餘割 按圓內矢二線當正弧初度則無九十度極大即半徑圈外切割二線切線當正弧初度亦無割線即半徑至九十度俱極大且切與割平行不能相遇名曰無窮之度然至此亦無切割之可言矣惟將近九十度防有極大之切割線 定八線正余之界 庚戊丙半圓甲為心戊丙為象限設丙乙正弧在九十度內則乙壬為正壬丙為正矢甲丁為正割丙丁為 正切其戊乙余弧乙己為余己 戊為余矢甲辛為餘割戊辛為余 切若設庚戊乙為正弧在九十度 外亦以乙壬為正丁丙為正切 甲丁為正割壬丙為正矢而庚壬亦為正矢又名大矢其餘弧仍用戊乙【非乙丙】在庚戊象限之外乙己為余戊己為余矢戊辛為餘切甲辛為餘割葢乙壬正為丙乙庚乙兩弧共用故總以戊乙為余弧也凡算三角形取用正余諸線以此為凖 厯算全書卷五十五