歷算全書 · 卷五十三

欽定四庫全書 厯算全書卷五十三 宣城梅文鼎撰 三角法舉要卷四 或問【三角大意略具首卷中而入算取用仍有疑端喜同學之好問事事必求其所以然故不憚為 之詳復以暢厥防】 一三角形用正為比例之理 一和較相求之理 一用切線分外角之理 一三較連乗之理 附三較求角 問各角正與各邉皆不平行何以能相為比例曰凡三角形一邉必對一角其角大者正大而所對之邉亦大角小者正小而所對之邉亦小故邉與邉之比例如正與正也 兩正為兩邉比例圖 乙丙丁三角形丁乙邉大對丙角 丁丙邉小對乙角術為以丁乙邉 比丁丙邉若丙角之正與乙角 之正 解曰試以丁丙為半徑作丁甲線為丙角正又截戊乙如丁丙半徑作戊己線為乙角正丁甲正大於戊己故丁乙邉亦大於丁丙 問丁甲何以獨為丙角正也曰此以丁丙為半徑故也若以丁乙為半徑則丁甲即為乙角之正如圖用丁乙為半徑作丁甲線為乙角正又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半徑作戊己線為丙角正 即見乙角之正丁甲小於戊己 故丁丙邉亦小於丁乙 解曰正者半徑所生也故必兩 半徑齊同始可以較其大小前圖 截戊乙如丁丙此圖引丁丙如丁乙所以同之也 三正逓相為三邉比例圖 乙丁丙鈍角形丁鈍角對乙丙大邉丙次大角對乙丁次大邉乙小角對丁丙小邉其各邉比例皆各角正之比例 試以乙丁為半徑作丁甲線為乙 小角之正又引丙丁邉至戊使 戊丙如乙丁作戊己線為丙角之 正又展戊丙線至庚使庚丙如乙 丙作庚辛線為丁鈍角之正【如此則三邉皆若三正皆若股】其比例為以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁鈍角之正庚辛與丙角之正戊己 又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正戊己與乙角之正丁甲 又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正丁甲與丁鈍角之正庚辛 問庚辛何以為丁角正曰凡鈍角以外角之正為正試作乙癸線為丁角正【乙丁癸角外角也故其正即為丁鈍角正】必與庚辛等何也庚丙辛句股形與乙丙癸形等【庚丙既同乙丙又同用丙角辛與癸又同為方角故其形必等】則庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正矣等乙癸之庚辛又安得不為丁角正乎【凡取正必齊其半徑此以丁甲為乙角正是用乙丁為半徑也而取丙角正戊己必引戊丙如乙丁其丁角正庚辛又即外角之正乙癸是三半徑皆乙丁也】 試取壬丙如丁丙作庚壬線即同 乙丁半徑則壬角同丁角壬外角 即丁外角而庚辛正之半徑仍 為乙丁【庚壬同乙丁故】 此以庚壬當乙丁易乙丁丙形為 庚壬丙則庚辛正亦歸本位與前圖互明 試以各角正同居一象限較其弧度 如圖甲乙丙形丙角最大其正乙丁亦最大所對甲乙邉亦最大甲角次大其正丑壬亦次大所對 乙丙邉亦次大乙角最小其正 丙夘亦小所對丙甲邉亦最小【丙乙 二角正並乙丙為半徑甲角取正截丑甲如乙丙亦以乙丙為 半徑】乃別作一象弧【如戊己】仍用乙丙 為半徑【取戊庚如乙丙】而以先所得各角 之餘取度於丁作乙丁為丙角 之正於壬作丑壬為甲角之正 於夘作丙夘為乙角之正即 如元度而各角之差數覩矣【戊庚半徑既同乙丙則丁庚即丁丙而為丙角余又壬庚即甲壬為甲角余夘庚即夘乙為乙角余】 解曰角無大小以弧而知其大小今乙丁正其弧乙己是丙角最大也丑壬正其弧丑己是甲角次大也丙夘正其弧丙己是乙角最小也而對邉之大小亦如之故皆以正為比例也 或疑鈍角之度益大其正反漸小而其所對之邉則漸大何以能相為比例乎曰此易知也凡鈍角正即外角之正而外角度原兼有餘兩角之度故鈍角之正必大於余兩角而得為大邉之比例也如乙丙甲鈍角形丙鈍角最大其正乙丁亦最大而所對乙甲邉亦最大乙角次大其正丙夘亦次大而所對甲丙邉亦次大甲角最小其正丑壬亦小而所對乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙從丑作丑壬即甲角正】 乃從乙作乙庚弧【以丙為心乙丙為半徑】為 丙外角之度又作辛丙半徑與甲 乙平行分乙庚弧度為兩則辛庚 即甲角之弧度其餘辛乙亦即乙 角之弧度從辛作辛未正與丑 壬等又自庚截癸庚度如辛乙則 癸庚亦乙角之弧作癸子正與丙夘等此顯丙外角之度兼有乙甲兩角之度其正必大於兩角正也雖丙鈍角加大而外角加小則乙甲兩角必又小於外角又何疑於鈍角正必為大邉比例乎 試更以各角切員觀之則各角之對邊皆為其對弧之通 如圖三角形以各角切員則乙丙邉為丙戊乙弧之通而對甲角甲丙邉為丙己甲弧之通而對乙 角甲乙邉為乙庚甲弧之通而 對丙角則是各角之對邉即各角 對弧之通也夫通者正之 倍數則三邉比例即三正之比 例矣 又試以各邉平分之則皆成各角之正 於前圖內更以各邉所當之弧皆平分之【丙戊乙弧平分於戊防丙己甲弧平分於己防乙庚甲弧平分於庚防】自員心【丁】各作半徑至其 防即分各邊為兩平分【以丁壬戊 半徑分乙丙邊於壬以丁辛己半徑分甲丙邊於辛以丁 癸庚半徑分甲乙邊於癸則所分之邊皆為兩平分】則 弧之平分者即原設各角之 度而邊之平分者即皆各角 之正【丙丁戊角以丙戊為弧丙壬為正而丙 丁戊角原為丙丁乙角之半必與甲角同大故丙戊半弧 即甲角之本度丙壬半邊即甲角之正乙丁戊角亦然】 【凖此論之則甲丁己角原為甲丁丙角之半必與乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半邊即乙角之正己丁丙角亦然又乙丁庚角原為乙丁甲角之半必與丙角同大故乙庚半弧即丙角之本度乙癸半邊即丙角之正庚丁甲角亦然】夫分其邊之半即皆成正則邊與邊之比例亦必如正與正矣【全與全若半與半也】 問三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角為員心真度乃見今三角皆切員邊則所作通之弧皆倍度也故半之乃為角之本度 如圖以甲角爲心甲丁爲半徑作員則其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙兩弧並與丑丁子弧等【試作戊丙及乙戊兩必相等又並與丑子等凡等者弧亦等】故乙 戊丙弧必爲甲角之倍度 【餘角類推】 問三邉求角何以用和較相乗也曰欲明和較之用當先知和較之根凡大小兩方以其邉相併謂之和相減謂之較和較相乗者兩方相減之餘積也 如圖甲癸小方丁癸大方於大方 內依小方邉作己庚橫線又取己 辛如小方邉作辛壬線成己壬小 方與甲癸等大方內減己壬小方 則所余者為乙庚及庚壬兩長方 形夫乙己及丁庚及庚辛並兩邉之較也甲己庚則和也若移庚壬長方為乙甲長方即成丁甲大長方而為較乗和之積故凡兩方相減之餘積為實以和除之得較以較除之亦得和矣 依此論之若有兩方形相減又別有兩方相減而其餘積等則為公積故以此兩方之和較相乗為實而以彼兩方之和為法除之得彼兩方之較或以彼兩方之較為法除之亦必得和 【如圖有方二十九之冪八百四十一與方二十七之冪七 百二十九相減成較二乗和五十六之積 又有方十六之冪二百五十六與方十二之冪一百四十 四相減成較四乗和二十八之積 兩積同為一百一十二故以先有之較二和五十六相乗】 【為實以今有之和二十八為法除之即得較四為今所求數】 是故三角形以兩之和乗較為實以兩分底之和為法除之得較者為兩和較相乗同積也兩和較相乗同積者各兩方相減同積也 何以明之曰凡三角形以中長線分為兩句股則兩形同以中長線為股而各以分底線為句是股同而句不同也句不同者不同也大者句亦大小者句亦小故兩上方相減必與兩句上方相減之餘積等而兩和較相乗亦等 如圖甲乙丙三角形以甲丁中長線分為兩句股形則丙乙為兩句之和【未寅及子夘並同】丙戊為兩句之較【未子及寅夘並 同】未夘長方為兩句之較乗 和也又丙己為兩之和【辰壬 同】酉丙為兩之較【辰癸及辛庚壬 午並同】癸壬長方為兩之較 乗和也此兩長方必等積 問兩上方大於兩句上方何以知其等積曰依句股法上方冪必兼有句股上方冪是故甲丙冪內【即癸甲大方】必兼有甲丁股丙丁句兩冪乙甲冪內【即辛己小方】亦兼有甲丁股乙丁句兩冪則是甲丁股冪者兩冪所同也其不同者句冪耳【股冪既同則冪相減時股冪俱對減而盡使非句冪不同巳無餘積】然則兩冪相減之餘積【於癸甲大方內減己辛相同之申甲小方所余者癸辛申丙兩長方成磬折形】豈不即為兩句冪相減之餘積乎【於丁子方內減丁寅相同之戊丑小方所　所余者丑子及戊未兩長方成磬折形】由是言之兩和較相乗之等積信矣【於冪相減之癸辛申丙磬折形內移申丙補庚壬即成和較相乗之癸壬長方又於句冪相減之丑子未戊磬折形內移戊未補丑夘即成和較相乗之未夘長方兩磬折形既等積則兩長方亦等積】 問和較之列四率與諸例不同何也曰此互視法也同文算指謂之變測古九章謂之同乗異除乃三率之別調也何則凡異乗同除皆以原有兩率之比例為今兩率之比例其首率為法必在原有兩率之中互視之術則反以原有之兩率為二為三以自相乗為實其首率為法者反系今有之率與異乗同除之序相反故曰別調也 然則又何以仍列四率曰以相乗同實也三率之術二三相乗與一四相乗同實故可以三率求一率【二三相乗以一除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二】互視之術以原有之兩率自相乗與今有之兩率自相乗同實故亦以三率求一率【原兩率自相乗以今有之率除之得今有之餘一率若今兩率自相乗以原有之率除之亦即得原有之餘一率】但三率之術以比例成其同實互視之術則以同實而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也 如圖長方形對角斜剖成兩句股則相等而其中所成 小句股亦相等【甲壬戊與甲己戊等則甲 乙丙與甲辛丙等丙丁戊與丙庚戊等並長方均剖故也】即所成長方之積亦必相等 【於甲壬戊句股形內減去相等之甲乙丙及丙丁戊兩小】 【句股存乙丙丁壬長方又於甲己戊句股形內減去相等之甲辛丙及丙庚戊兩小句股存辛己庚丙長方所減之數等則所存之數亦等故兩長方雖長濶不同而知其必為等積】今以甲乙為首率乙丙為次率丙丁為三率丁戊為四率則乙丁長方【即乙丙丁壬形】為二三相乗之積【此形以乙丙二率為濶丙丁三率為長是二率三率相乗也】辛庚長方【即辛己庚丙形】為一四相乗之積【此形以辛丙為長丙庚為濶而辛丙原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也】既兩長方相等則二三相乗與一四相乗等實矣此列率之理也 一　　甲乙 二　　丙乙 三　　丙丁 四　　戊丁 在異乗同除本術則甲乙及丙乙為原有之數丙丁為今有之數戊丁為今求之數其術為以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股與戊丁句也故於原有中取丙乙句與今有之丙丁股以異名相乗為實又於原有中取同名之甲乙股為法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成兩長方【二率乗三率成乙丁長方以首率除之必變為辛庚長方】故曰以比例成其同實也 互視之術則乙丙與丙丁為原有之數甲乙為今有之數丁戊為今求之數術為以乙丙較乗丙丁和之積若丙庚較【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之積故以原有之乙丙較丙丁和自相乗為實以今有之甲乙和【即辛丙】為法除之即得今所求之丁戊較【即丙庚】是先知兩長方同積而以四率取之故曰以同實成其比例也 然則又何以謂之互視曰三率之用以原有兩件自相比之例為今有兩件自相比之例是視此之差等為彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股【大句小於大股幾倍小句亦小於小股幾倍又大句大於小句幾倍大股亦大於小股幾倍】互視之用以原有一件與今一件相比之例為今又一件與原又一件相比之例是此視彼之所來以往彼亦視此之所往以來如互相酬報故之較比句之較反若句之和比之和【之和大於句故句之較反大於若和之數大於句幾倍則較之數句大於亦幾倍】是以別之為互視也 如圖以甲乙為一率丙乙為二率丙丁為三率丁戊為四率作甲戊成兩句股次引甲乙及丁戊防於壬成 乙丁長方為二三相乗之積 亦引乙丙至庚引丁丙至辛 作甲辛及戊庚線並引長之 防於己成辛庚長方為一四 相乗之積是先有比例而成 同實之長方 如圖乙丙乗丙丁為乙丁長 方辛丙乗丙庚為辛庚長方 兩長方以角相連於丙次引 己辛及乙壬防於甲引己庚 及壬丁防於戊乃作甲戊線 則辛丙與丙丁若乙丙與丙 庚是先知同實而成其比例 也 問三角形兩又術用外角切線何也曰此分角法也一角在兩邉之中則角無所對之邉邉無所對之角不可以正為比例今欲求未知之兩角故借外角分之也然則何以用半較角曰較角者本形中未知兩角之較也此兩角之度合之即為外角之度必求其較角然後可分而較角不可求故求其半知半較知全較矣此用半較角之理也 如圖甲丙乙形先有丙角則甲丙丁為外角外角內作 丙辛線與乙甲平行則辛 丙丁角與乙角等辛丙甲 角與甲角等 其辛丙庚角為兩角之較而辛丙己角其半較也己丙丁及己丙甲皆半外角也以半較角與半外角相減成乙角【於丁丙己內減辛丙己其餘丁丙辛即乙角度】若相加亦成甲角【於己丙甲加辛丙己成辛丙甲即甲角度】 半較角用切線何也曰此比例法也角與所對之邉並以正為比例今既無正可論而有其所對之邉故即以邉為比例【角之正可以例邉則邉之大小亦可以例角】是故乙丁者兩邉之總也乙癸者兩邉之較也而戊己者半外角之切線也壬己者半較角之切線也以乙丁比乙癸若戊己與壬己故以切線為比例也 然則何以不徑用正曰凡一角分為兩角則正因度離立不同在一線不可以求其比例其在一線者惟切線耳而邉之比例與切線相應切線比例又原與正相應故用切線實用正也 如圖甲丙丁外角其弧甲 己丁於辛作辛丙線分其 角為兩則小角之弧丁辛 其正夘丁大角之弧辛 甲其正甲丑【小角正當乙角之 對邉甲丙大角正當甲角之對邉乙丙】 今欲移正之比例於一線先作甲丁通割分角線於子則子甲與子丁若甲丑與夘丁【甲丑子與丁夘子兩句股形有子交角等丑夘皆正角即兩形相似而比例等然則子甲者大形之子丁者小形之而甲丑者大形之股夘丁者小形之股也與若股與股故子甲比子丁若丑甲與夘丁】而甲丁即兩正之總【甲丁為子甲子丁之總亦即為甲丑夘丁之總】辰子即兩正之較【以子丁減子甲其較辰子是辰子為子甲子丁之較亦即為甲丑夘丁之較】平分甲丁半之於酉則酉丁為半總酉子為半較其比例同也【全與全若半與半故甲丁與辰子為兩正之總與較則半之而為酉丁與酉子亦必若兩正之總與較】 於是作午戊切員線【引平分線丙酉至己分甲己丁弧於己自己作午戊線與己丙為十字垂線即此線為切員線】與甲丁平行引諸線至其上【引丙甲至午引丙丁至戊引丙辰割庚防至未引丙夘割辛防至壬】則午戊切線上比例與甲丁通等而正之比例在切線矣【先以甲丁與辰子當兩正之總與較今午戊與未壬亦可當兩正之總與較則先以酉丁與酉子為半總半較者今亦以己戊與己壬為半總半較矣】故曰用切線實用正也【切線與正所以能同比例者以有通作之合也】問三較連乗之理曰亦句股術也以句股為比例而以三率之理轉換之則用法最精之處也故三較連乗即得容員半徑上方乗半總之積 假如甲乙丙三角形甲丙邉 一百五十甲乙邉一百二十 二乙丙邉一百一十二術以 半總一百九十二較各邉得 甲丙之較四十二甲乙之較 七十乙丙之較八十三較連 乗得數二十三萬五千二百 即容員半徑自乗又乗半總 之積也 置三較連乗數以半總除之得數【一千二百二十五】平方開之得容員半徑【三十五】倍之得容員徑【七十】 置三較連乗數以半總乗之得數【四千五百一十五萬八千四百】平方開之得三角形積【六千七百二十】 若如常法求得中長線【一百二十】以乗乙丙底而半之所得積數亦同 然則何以見其為句股比例曰試從形心如法作線分為六句股形【形心即容員心】又引甲丙邉至夘使夘丙如乙戊引甲乙邉至辰使乙辰如己丙則甲夘甲辰並半總【六小句股形之句各於其兩相同者而取其一即成半總】而丙夘為甲丙邉 之較【即乙戊或乙辛】乙辰為甲乙邉 之較【即己丙或辛丙】甲己為乙丙邉 之較【己丙同辛丙又丙夘同乙辛則夘己同乙丙而 甲己為其較若用辰戊以當乙丙則甲戊為較亦同】又 從夘作夘壬十字垂線至壬 【此線與丁己員半徑平行】引甲丁分角線出形外遇於壬成甲夘壬大句股形與甲己丁小句股之比例等【從辰作辰壬線成甲辰壬大句股與甲戊丁小句股為比例亦同】術為以丁己比壬夘若甲己與甲夘也次以丁己自乗方為一率以丁己乗壬夘之長方為次率則其比例仍若甲己三率與甲夘四率也【乗之者並丁己故所乗之丁己與壬夘比例不變也】 以數明之甲己八十甲夘一百九十二為二倍四分比例丁己三十五壬夘八十四亦二倍四分比例丁己自乗一千二百二十五丁己乗壬夘二千九百四十亦二倍四分比例故曰比例等 又移辛防至癸截丙癸如丙夘則乙癸亦如乙辰引丙夘至午使夘午同乙辰【亦同乙癸】引乙辰至未使辰未同丙夘【亦同丙癸】則午丙及未乙並同乙丙又作丙壬乙壬午壬未壬四線成午丙壬及乙未壬及乙丙壬各三角形皆相等【丙夘壬句股形與未辰壬等則丙壬必等未壬又午夘壬句股形與乙辰壬等則午壬等乙壬而午丙壬及乙未壬兩三角形必等矣其乙丙壬三角形既以乙丙與兩三角形同 底又同用丙壬乙壬兩亦不得不等】於是自 癸作癸壬垂線【夘壬辰壬並垂線故癸壬 亦必垂線】成丙癸壬句股形與丙 夘壬形等即成癸丙夘壬四 邉形與丁己丙辛小四邉形 為相似形【夘與癸俱方角而小形之己與辛亦方】 【角則大形之丙角與壬角合之亦兩方角也而小形之丙角原為大形丙角之外角合之亦兩方角也則小形之丙角與大形之壬角等而小形之丁角亦與大形之丙角等是大小兩形之四角俱等而為相似形】則丁己丙句股形與丙夘壬形亦相似而比例等【大小兩四邉形各均剖其半以成句股則其相似之比例不變全與全若半與半也】術為以丁己比己丙若丙夘與夘壬也 一　丁己 二　己丙 三　丙卯　即甲丙之較戊乙 四　卯壬 凡三率法中二三相乗一四相乗其積皆等則己丙乗丙卯之積即丁己乗卯壬之積可通用也先定以丁己自乗比丁己乗卯壬若甲己與甲卯今以三率之理通之為以丁己自乗比己丙乗丙卯亦若甲己與甲卯 一　丁己自乗方　　　即容員半徑自乗 二　己丙乗丙卯長方　即甲乙之較乗甲丙之數 三　甲己　　　　　　即乙丙之較 四　甲卯　　　　　　即半總 復以三率之理轉換用之則三較連乗之積【以己丙較乗戊乙較為二率又以甲己較為三率乗之是二三相乗即三較連乗】即容員半徑自乗方乗半總之積也【以丁己半徑自乗為首率以甲卯半總為四率乗之是一四相乗也凡一四相乗必與二三相乗之積等】 以數明之丁己【三十五】卯壬【八十四】相乗得二千九百四十己丙【七十】丙卯【四十二】相乗亦二千九百四十故可通用 己丙乗丙卯【二千九百四十】又以甲己【八十】乗之得二十三萬五千二百丁己自乗【一千二百二十五】又以甲卯【一百九十二】乗之亦二十三萬五千二百故可通用 問三較之術可以求角乎曰可其所求角皆先得半角即銳鈍通為一術矣 術曰以三邊各減半總得較各以所求角對邊之較乗半總為法以余兩較各與半徑全數相乗又自相乗為實法除實得數平方開之為半角切線撿表得度倍之為所求角 假如甲乙丙三角形甲丙邊 七十五甲乙邊五十六乙丙 邊六十一與半總九十六各 相減得甲丙之較二十一甲 乙之較四十乙丙之較三十 五 今求乙角術以乙角所對邊 甲丙之較【二一】乗半總【九六】得數 【二○一六】為法以余兩較【甲乙較四○乙 丙較三五】各乗半徑全數又自相 乗得數【一四○○○○○○○○○○○○】為 實法除實得數【六九四四四四四四四四】平方開之得數【八三三三三】為半 角切線撿表【三十九度四十八分一十九秒】倍之得乙角【七十九度三十六分三十八秒】 次求丙角術以丙角所對邊甲乙之較【四○】乗半總得數【三八四○】為法余兩較【甲丙二一乙丙三五】各乗半徑全數又自相乗得數【七三五○○○○○○○○○○】為實法除實得數【一九一四○六二五○○】平方開之得半角切線【四三七五○】撿表【二十三度三十七分五十二秒半】倍之得丙角【四十七度一十五分四十五秒】 次求甲角術以甲角所對邉乙丙之較【三五】乗半總得數【三三六○】為法余兩較【甲丙二一甲乙四○】各乗半徑全數又自相乗得數【八四○○○○○○○○○○○】為實法除實得數【二五○○○○○○○○】平方開之得半角切線【五○○○○】撿表【二十六度三十三分五十三秒】倍之得甲角【五十三度○七分四十六秒】 問前條用三較連乗今只用一較為除法何也曰前條求總積故三較連乗今有専求之角故以對邉之較為法也然則用對邉何也曰對邉之較在所求角之兩旁為所分小句股形之句今求半角切線故以此小句為法也 如求乙半角則所用者角旁小句股【心戊乙或心丁乙】其句【乙戊或乙丁】並二十一即對邉甲丙之較也術為以乙戊比心戊若半徑與乙角【小形之角即半角也】之切線 其與半總相乗何也曰將以半 總除之又以小形句【即對邉之較】除 之今以兩除法【一半總一對邉之較即小形句】相乗然後除之變兩次除為一 次除也【古謂之異除同除】 用兩次除亦有說乎曰前條三較連乗必以半總除之而得容員半徑之方冪今欲以方冪為用故亦以半總除也然則又何以對邉之較除曰非但以較除也乃以較之冪除也何以言之曰原法三較連乗為實今只以兩較乗是省一乗也既省一對邉之較乗又以對邉之較除之是以較除兩次也即如以較自乗之冪除之矣余兩較相乗先又各乗半徑何也曰此三率之精理也凡線與線相乗除所得者線也冪與冪相乗除所得者冪也先既定乙戊句為首率心戊股【即容員半徑】為次率半徑為三率乙角切線為四率而今無心戊之數惟三較連乗中有心戊【即容員半徑】自乗之冪【即三較連乗半總除之之數】故變四率並為冪以乙戊句冪為首率【即對邉之較除兩次】心戊股冪為次率【即半總除連乗數】半徑之冪為三率【即半徑自乗】得半角切線之冪為四率【即分形之乙角】 一　乙戊　　今用乙戊自乗 二　心戊　　　　心戊自乗 三　半徑　　　　半徑自乗 四　乙角切線　　切線自乗 故得數開方即成切線 又術 以三較連乗半總除之開方為中垂線【即容員半徑】以半徑全數乗之為實各以所求角對邊之較除之即得半角切線 一　乙戊【乙角對邊之較】　丙戊【丙角對邊之較】　甲己【甲角對邊之較】二　心戊中垂線　心戊中垂線　心己中垂線【亦即心戊】三　半徑全數　　半徑全數　　半徑全數四　乙半角切線　丙半角切縁　甲半角切線 此即用前圖可解乃本法也 論曰常法三邊求角倘遇鈍角必於得角之後又加審焉以鈍角與外角同一八線也今所得者既為半角則無此疑實為求角之防法 補遺 問以邉求角【句股第二術】因和較乗除而知正角乃定其為句股形何也曰古法句較乗句和開方得股今大邉【壬丁】與小邉【癸丁】以和較相乗為實癸壬邉為法除之而仍得癸壬是適合開方之積也則大邉小邉之和較即句之和較而癸為正角成句股形矣【凡句股形為大邉而對正角今丁壬邉最大即也故所對之癸角為正角】 試再以丁壬與壬癸之和較求之 如法用丁壬壬癸相加得和【一百九十 六丈】相減得較【一十六丈】較乗和【三千一百三十 六丈】為實丁癸【五十六丈】為法除之亦仍 得五十六丈何則股較乗和亦 開方得句故也 然則句股和較之法又安從生曰生於割圜 試以丁壬為半徑作戊丁丙己圜　全徑二百一十二　半徑一百○六　乙丁正九十【即癸壬股】　乙壬余 五十六【即癸丁句】　丙乙正矢五 十【即句較】　乙庚大矢一百六十 二【即句和】　正矢乗大矢得數八 千一百開方得正【即句和乗較開方 得股】 然則此八千一百者既為正矢大矢相乗之積又為正自乗之積故以正自乗為實而正矢除之可以得大矢大矢除之亦得正矢【即乙丁股自乗為實而以句較丙乙除之得乙庚為句和若以句和除之亦得句較】 更之則正矢乗大矢為實以正除之仍得正矣【即句較丙乙乗句和乙庚為實以乙丁股為法除之而仍復得股】 論曰句股形在平圜內其半徑恆為若正余則為句為股可以互用故其理亦可互明【以丁壬及丁癸二邉取和較求壬癸邉為句求股以丁壬及壬癸二邉取和較求丁癸邉為股求句一而已矣】 問數則合矣其理云何曰仍句股術也 如上圖於圜徑兩端【如丙如庚】各作通線至正【丁乙】之銳 【如庚乙丙乙】成丙乙庚大句股形又 因中有正成大小兩句股形 【乙丁庚為大形乙丙丁為小形】而相似【以乙丁線分正 角為兩則小形乙角為大形乙角之餘而與庚角等即大形乙 角亦與小形丙角等故兩形相似】則乙丁正 既為小形之股又為大形之句其比例為丙丁【小形句】與乙丁【小形股】若乙丁【大形句】與丁庚【大形股】也故正矢【丁丙】乗大矢【丁庚】與正【乙丁】自乗等積【丙庚全徑為正所分其一丁丙正矢為小形之句而乙丁正為其股其一丁庚大矢為大形之股而乙丁正為其句】 一　丁丙正矢　小形句　　凡二率三率相乗與一二　乙丁正　小形股　　四相乗等積故乙丁自三　乙丁正　大形句　　乗即與丁丙丁庚相乗四　丁庚大矢　大形股　　等積也 論曰凡割圜算法専恃句股古法西法所同也故論句股者必以割圜而論割圜者仍以句股如根株華實之相須乃本法非旁證也 或疑切線分外角以正為比例恐不可施於鈍角作此明之 甲丙乙鈍角形先有丙角及丙甲丙乙二邉求餘角一率丁乙【邉總】二率癸乙【邉較】三率己戊【半外角切線】四率壬己【半較角切線】 論曰試作壬丙線與乙甲平行分外角為兩則壬丙丁即乙角其正卯丁又甲丙壬即甲角其正甲丑以兩句股【丑子甲卯子丁】相似之故能令兩正【丑甲卯丁】之比例移於通以成和較【丑甲與卯丁既若子甲與子丁則丁甲即兩正之和辰子即兩正之較】而半外角半較角之算以生【半外角為和半較角為較並與兩正之和較同比例即與兩邉之和較同比例】並如銳角 又論曰此所分大角為鈍角故甲丑正作於形外然雖在形外而引分角線至丑適與之防即能成丑子甲句股形與卯子丁相似而生比例 【丙乙甲形先有丙角求餘角　法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較角切線未己此亦因所分為鈍角故卯丁正在形外　又大邉為半徑故乙癸較亦在形外而丁乙為和余並同前】 【丙甲乙形先有丙角求餘角　法為邉總丁乙與邉較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此因先得鈍角故所分之內反無鈍角而正所作之小句股並在外角之內同銳角法矣】 【丙甲乙形先得丙角及丙甲句乙丙如法作丙壬線與乙甲股平行分外角為兩則句和丁乙與句較癸乙若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正知所得為正角】 【甲乙丙形先得丙角求餘角　如法作丙庚線與乙甲句平行次截辛丁如庚甲作辛丙線分外角為兩則小角之正卯丁大角之正即丙甲而成兩句股相似為切線比例　法為句和丁乙與句較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬　此以丙甲為半徑作外角弧而即用丙甲為正知辛丙甲為正角而丁辛同庚甲即辛丙甲同丁丙庚又即同丙乙甲而乙為正角矣以乙正角減外角余為甲角】 論曰右並以先不知其為句股形故求之而得正角凡正角之弧九十度別無正而即以半徑全數為正得此明之 【甲乙丙形先有正角求餘角　法為句股和丁乙與句股較癸乙若半外角切線戊己與半較角切線己壬】論曰此因先得者為正角故其外角亦九十度而半外角四十五度之切線即同半徑全數余並同前 又論曰句股形求角本易不須外角而外角之用得此益明 【以大邉為半徑作外角弧分角線丙未與次大邉平行邉總乙丁與邉較乙癸若半外角切線戊己與半較角切線壬己】 【以次大邉為半徑作外角弧分角線丙未與小邉乙甲平行大邉總丁癸與邉較乙癸若半外角切線己戊與半較角切線己壬】 問平三角形以一邉為半徑得三正比例不識大邉亦可以為半徑乎【小邉次邉為半徑已具前條故云】曰可 如乙丙丁鈍角形引乙丁至辰如 乙丙大邉而用為半徑以丁為心 作丑辰亥半弧從辰作辰午為丁 鈍角正又作丁斗半徑與乙丙 平行則鬥牛為丙角正又截女 丑弧如辰斗作女丁半徑則女亢 為乙角正合而觀之丁角正【辰午】最大故對邉乙丙亦大丙角正【鬥牛】居次故對邉乙丁亦居次乙角正【女亢】最小故對邉丁丙亦小 又問若此則三邉任用其一皆可為半徑而取正是已然此乃同徑異角之比例也若以三邉為三正為股則同角異邉之比例也兩比例之根不同何以相通曰相通之理自具圖中乃正理非旁證也試於前圖用乙丁次邉為其股乙癸與鬥牛平行而等則丙角 正也又截酉丁如丁丙小邉為 其股酉壬與女亢平行而等則 乙角正也又辰丁大邉為【即乙 丙】其股辰午原為丁大角正也 於是三邉並為三對角之正 並為股成同角相似之句股形而 比例皆等可以相求矣 一大邉【乙丙即辰丁】　　　　一丁角正【辰午】 二丁角正【辰午】　　　　二大邉乙丙 三次邉乙丁　小邉【丁丙即酉丁】三丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四丙角正【乙癸】乙角正【酉壬】四次邉乙丁　小邉丁丙此如先得大邉【乙丙即辰丁】與所對大角【丁】故用辰午丁大句股形為法求餘二句股也【乙癸丁酉壬丁】皆同用丁角而形相似故法可相求其實三正皆大邉為半徑所得故其理相通未有理不相通而法可相求者故曰皆正理非旁證也 又試於乙丙丁形【或鈍角或鋭角同理】以丁丙小邉為半徑作房箕壁象弧【以乙為心】如上法取三正【以尾壁弧為丁角度其正尾虛又箕壁弧為丙角度其正箕危又戍壁弧為乙角度其正戍申】成同徑異角之比例又如法用三邉為三正為股【乙戍即丁丙小邉配乙角正戍申原如與 股又本形乙丁次邉為則丁甲為股與箕危平行而等 丙角正也又引乙丁至子成子乙即乙丙大邉以為 則子寅為股與尾虛平行而等丁角正也】則並 為相似之句股形而比例等 一小邉丁丙【即戍乙】 二【乙角正】戍申 三大邉乙丙【即乙子】　次邉丁乙 四【丁角正】子寅【即尾　丙角虛　　正】丁甲【即箕危】 此如先得小邉【丁丙】與所對小角【乙】故以戍申乙小句股形為法求兩大句股也【丁甲乙子寅乙】皆同用乙角而形相似又試以乙丁次邉為半徑作象限如前【以丙為心】取三正【張婁為丁角弧度張井其正氐婁為丙角弧度氐參其正室婁為乙角弧度室奎其正】成同徑 異角之比例又仍用三邉為三正 為股【引丁丙至翌與大邉乙丙等成翌丙其股翌胃與張井 平行而等丁角正也又乙丁次邉成氐丙其股氐參原為丙角正 又丁丙小邉為其股丁柳與室奎平行而等乙角正也】即復 成相似之句股形而比例等 一次邉乙丁【即氐丙】 二【丙角正】氐參 三大邉乙丙【即翌丙】　小邉丁丙 四【丁角正】張井【即翌　乙角胃　　正】丁柳【即室奎】 此如先得次邉【乙丁】及所對丙角故以氐參丙句股為法求大小二句股也【求翌胃丙為以小求大求丁柳丙為以大求小】皆同用丙角而比例等 問員內三角形以對弧為角倍度設有鈍角小邉何以取之【或問內原設銳角兩邉並大於半徑故云】曰法當引小邉截大邉作角之通【如圖乙甲丙鈍角形在平員內以各角切員而乙甲邉小於半徑則引乙甲出員周之外乃以甲角為心平員心丁為界作子丁丑弧截引長邉於子截大邉於丑則丑甲子甲並半徑與丁甲等而丑子為 通】又平分對邉作兩通【從員心作 丁乙丁丙兩半徑截乙戊丙員周為甲角對邉所乗之弧而半 之於戊作乙戊丙戊二線成兩通】則此兩通 自相等又並與丑子通等夫 子丁丑弧甲角之本度也丙戊 弧乙戊弧皆對弧之半度也而今乃相等【通等者弧度亦等】是甲角之度適得對弧乙戊丙之半而乙戊丙對弧為甲角之倍度矣 厯算全書卷五十三