科學與近代世界 · 第二章 作為思想史要素之一的數學

純粹數學這門科學在近代的發展可以說是人類性靈最富於創造性的產物。另外還有一個可以和它爭這一席地位的就是音樂。一切爭雄問題我們都可以略而不談，而要考察一下我們有什麼理由承認數學應占有這個地位。數學的創造性就在於事物在這一門科學中顯示出一種關係，這種關係不通過人類理性的作用，便極不容易看出來。因此，所有能夠直接從感官感覺中得到的概念，除開現存數學知識所引起和引導的知覺以外，其餘的都和當代數學家心中所存在的概念風馬牛不相及。 我們不妨回溯到幾千年以前，看看當時的人甚至連最偉大的賢哲的腦筋都是多麼簡單。某些抽象概念在我們看來也許一眼就能看清，但他們卻認為只能作大概的理解。就拿數字來當例子吧。我們認為「5」這個數字可以應用到任何適當的一群實念上去，如5條魚、5個小孩、5個蘋果、5天等。因此，在考慮數字「5」與數字「3」的關係時，我們所想的便是兩群東西，一群有5個個體，另一群有3個個體。我們決不會去考慮組成兩群的任何個別的實有，甚至也不會去考慮其中的某一類實有。我們所考慮的兩群之間的關係與兩群中任何個體本身的本質完全無關。這便是抽象推理中非常顯著的功績。人類要達到這一步必然花去了不少的歲月。在漫長的時間中，一堆堆的魚必須互相比出一個多少，一段一段的日子也要作出一個比較。但首先注意到7條魚和7天之間的共同點的人必然使思想史進了一大步。他是第一個具有純數學觀念的人。當時他一定還不可能看出有待發現的抽象數學觀念的複雜性與微妙性，也一定料想不到這些觀念會在往後的每一個世紀中發生廣泛的吸引力。學術界有一個錯誤的傳統，認為對數學的愛好是一種怪癖，每一個時代只有少數的怪人才有這種怪癖。情形儘管是這樣，但抽象思維在古代的社會裡是找不到類似例子的。因此，從這裡面所能得到的樂趣也是難以估計的。第三，數學知識對人類的生活、日常事務、傳統思想以及整個的社會組織等等都將發生巨大的影響，這一點更是完全出乎早期思想家的意料之外了。甚至一直到現在，數學作為思想史中的一個要素來說，實際上應占什麼地位，人們的理解也還是搖擺不定的。假如有人說；編著一部思想史而不深刻研究每一個時代的數學概念，就等於是在「漢姆雷特」這一劇本中去掉了漢姆雷特這一角色。這種說法也許太過份了，我不願說得這樣過火。但這樣做卻肯定地等於是把奧菲莉這一角色去掉了。這個比喻是非常確切的。奧菲莉對整個劇情來說，是非常重要的，她非常迷人，同時又有一點瘋瘋癲癲。我們不妨認為數學的研究是人類性靈的一種神聖的瘋癲，是對咄咄逼人的世事的一種逃避。 當我們想到數學時，心裡便出現一種專門探討數、量、幾何等等的科學。近代數學還包括許多更抽象的序數概念以及純邏輯關係的類似型式的研究等等。數學的特點是：我們在這裡面可以完全擺脫特殊事例，甚至可以擺脫任何一類特殊的實有。因此並沒有隻能應用於魚、石頭或顏色的數學真理。 當你研究純數學時，你便處在完全、絕對的抽象領域裡。你所說的一切不過是：理性堅信任何實有如果具有能滿足某某純抽象條件的關係，就必然也具有能滿足另一件純抽象條件的關係。 數學被認為是在完全抽象的領域裡活動的科學，它和自身所研究的任何特殊事例都脫離了關係。這種數學觀還不太明確，所以我們可以相信，一直到現在這種看法還不能為一般人所了解。舉個例來說，一般人在習慣上都認為我們對實際宇宙空間的幾何知識的肯定性所根據的理由就是數學的肯定性。這一幻覺在過去曾引起過許多哲學思維，到現在也仍然能引起一些哲學思維。幾何問題是一個相當重要的測驗。對於許多群未定的實有說來，有好幾套不同的純抽象條件都可以成為這些群之間的關係。我把這些條件稱為幾何條件。我們在自身對於自然界的直接感覺中可以觀察到事物之間具有某種幾何關係。上述的抽象條件中有某些條件被認為是可以適用這種特殊幾何關係的。而其他各種抽象條件一般說來又都類似這種條件，因此我便通稱之為幾何條件。但我們這種觀察還不夠準確。所以關於我們在自然界中所見到的事物，究竟受著什麼樣的條件控制，也知道得不夠確切。但我們只要把假說稍微引伸一下，就能使這些被觀察到的條件符合某一套完全抽象的幾何條件。這類未定實有原先在抽象科學中本只是一些單純的敘述。但這樣一來，我們就對它作出了某種特殊的決定。在關於幾何關係的純數學中，如果任何一群實有在本群各單位之間所具有的任何關係能滿足某一套抽象的幾何條件，則某種性質的附加抽象條件一定也能符合這種關係。但當我們討論物理空間時，便會說某群被確定地觀察到的物理實有在本群各實有之間具有某種被確定地觀察到的關係，這種關係能滿足上述的一套抽象幾何條件。因此我們就作出結論說：如果某種附加關係被認定能符合任何這類情形，就一定能符合這一特殊情形。 數學的肯定性建築在它完全抽象的一般性上。我們相信實際世界中被觀察到的實有能成為我們普遍推理過程中的一個特殊事例，但我們並沒有先天的肯定性可以認為這種信念是對的。不妨再舉一個算術中的例子來看：純數學中有一條普遍的抽象真理，認為任何包含40個實有的一群可以分為包含20個實有的兩群。因此我們便有根據認為，如果某堆蘋果包含40個個體，便可以分成兩堆，每堆中包含20個個體。但我們把40個那一堆數錯的可能是常有的，所以實際上分的時候就可能有一堆多一個，另一堆少一個。 因此，當我們評述一種理論時，如果它的基礎是把數學應用在特殊的實際事例上，我們心中便應當把以下三種過程完全記清楚。首先我們必須細細地檢查一下純數學的推理，驗明它沒有漏洞，沒有因為偶然疏忽而產生的不合邏輯的地方。 任何數學家都能從本身痛苦的經驗中認識到，開始擬定一系列推理過程時很容易發生一點極微小的錯誤，後來卻因此而差之毫厘、謬以千里。但當一種數學推論已經檢驗過，並且在專家們之前考驗過一個時期之後，偶然的錯誤是不大可能發生的。接著，第二個過程是，確實肯定一下，這個推論所預先假定的抽象條件是否可以成立。這就是把數學推論開始的抽象前提確定一下。這一過程是相當困難的。以往曾經發生過極其顯然的疏忽，而且這些竟被許多最偉大的數學家歷代相沿地接受下來了。這裡面最大的危險就是疏忽；也就是說，在不知不覺之間引入某些我們認為自然應當事先設定的條件，然而事實上這些條件卻不一定都能成立。在這一方面還存在著一個相反的疏忽，這種疏忽倒不會造成錯誤，只是會使推理複雜化。也就是說，必要的假設條件很容易被估計得多於實際的要求。換句話說，我們可能認為某些抽象的假設是必要的，但實際上卻可以從其他已有的假設上證明出來。 抽象的假設提得過多，唯一的效果就是使我們在數學推理中減少審美方面的樂趣，並且會給第三個評述過程造成麻煩。 第三個評述過程是驗證我們的抽象假設在當前的特殊事例中是否能成立。一切的麻煩都是從這個驗證特殊事例的過程中產生的。在數40個蘋果這種簡單的事例中，只要稍加留心就可以在實際上達到肯定的程度。 但一般說來，在十分複雜的事例上就不可能達到完全肯定的程度。為這一問題而寫的書籍簡直是汗牛充棟。但這是對立的哲學家交鋒的戰場。這裡面牽涉到兩個不同的問題。一方面是我們已經觀察到了某些確定的東西，同時我們又要確實弄明白這些東西之間的關係的確服從於某些固定的嚴格抽象條件。這兒發生錯誤的可能性就非常大了。一切嚴格的科學觀察法都只是一些措施，為的是減少這些關於直接事實的錯誤。但這兒又產生了另一個問題：被直接觀察到的事物幾乎永遠只是一些例子。我們所要作的結論是：某些抽象條件如果在例證中能成立，那麼在其他一切由於某種理由而被認為是屬於同一類型的實有中也都能成立。這種由例證而推論及全體的推理過程就叫歸納法。 歸納法的理論是哲學上無法處理的東西，然而我們的一切行為又都以這種理論為基礎。總而言之，當我們評述一件特殊實際事物的數學結論時，真正的困難在於找出被牽涉到的抽象假設，並對它能否適用於當前的特殊事例的證據加以估價。 因此，我們常常看到，在評述一部造詣極深的應用數學書籍或一篇論文時，一切的麻煩就在於第一章上，甚至於就在第一頁上。因為正是在這個剛一開始的地方，作者很可能在假設上有失誤。同時，麻煩還不在於作者說了一些什麼，而在於他沒有說的是什麼；不在於他明確了的假設，而在於他不知不覺地作出的假設。我們並不懷疑作者的誠實，這裡所批評的是他自作聰明的地方。每一代人都批評上一代所作的非意識的假設。人們也可能同意這種假設，但卻不能讓它停留在非意識階段，而要把它揭示出來。 語言發展史可以說明這一問題。這種歷史是觀念分析不斷進展的歷史。拉丁文和希臘文都是有字尾變化的語言。這就是說，他們表達一叢未加分析的觀念時只要把字尾變一下格就行了。但拿英文來說，我們便要用前置詞和助動詞來表明整個的意義。把輔助的意義硬塞進主要的詞句中去雖不見得對所有的文學體裁都方便，但對某些體裁卻可能是一個方便。不過，就表達明了這一方面說來，英語這種語言卻是高得不可比擬的。明了程度的加強就是把語句涵義中的複雜觀念所牽涉的各種抽象概念更完整地表達出來。 拿語言的情形作了一個比較，就可以看出純數學所達到的思想功能是什麼。 這是完全走向完整的分析的有效步驟，這樣做為的是把單純的事物和這種事物所體現的純抽象條件分開來。 這種分析的習慣啟發了人類腦筋的每一種功能。它首先通過分離的方法，強調從審美觀點出發直接體察經驗的內容。 這種直接體察是理解經驗本身就其固有的特質（包括它的直接實際價值在內）說來，究竟是什麼。這是屬於直接經驗方面的問題，必須依靠精微的感覺。然後便是把有關的特殊實有抽象化的問題，也就是把這些實有和它被了解時所處的特殊經驗狀況分離開來，從而理解它的本身。最後還要進一步理解這些經驗中的實有之間的特殊關係所能滿足的絕對普遍條件。這些條件之所以具有普遍性，是因為它們可以不涉及某種特殊經驗中所發生的某些特殊關係或特殊狀態，單靠本身就能表示出來。這些條件可以適用於牽涉其他實有和其他相互關係的無數事態。因此，這些條件是完全普遍的，因為它們不涉及任何特殊事態或在不同事態下存在的任何特殊實有（如綠、紅、樹等），也不牽涉這些實有之間的關係。 然而數學的普遍性卻可以劃出一個極限，這一限制對所有的普遍敘述都能適用。任何疏遠的事態如果和直接的事態沒有關係，因而不能形成該直接事態的要素中一個組成部分的話，那麼對這種事態除開一種敘述以外就無法提出任何其他敘述了。我們說的直接事態就是把該問題中的個人判斷活動當成一個組成部分的事態，而唯一能作出的敘述則是：「如果任何東西處於關係之外，則對它將無所知」。這兒所說的「無所知」是指「完全不知道」。因之，不論是在實踐中或任何情況下，關於如何看待它或處理它的問題都無法提出意見。 我們要知道疏遠事態中的一些東西，就必須通過一種認識，這種認識本身就是直接事態的組成部分，否則我們就一無所知。 因此，在各種經驗下顯示出來的全部宇宙，其中的全部細節都和直接事態具有一定的關係。數學的普遍性是最完整的普遍性，它和構成我們的形上學世界的各種事態都能符合。 還有一點應當注意的是，特殊的實有在進入任何事態時都必須具有這種一般條件。但許多不同類型的實有也許會要求同一種的一般條件。一般條件超越於任何一套特殊實有之上——這就是「變數」這個概念進入數學和數理邏輯的理由。 正是由於運用了「變數」的概念，考察一般條件時才可以不要任何特殊實有來說明。特殊實有的這種不相關性並沒有為一般人所理解。例如實際經驗中的「圓性」、「球形性」、「立體性」等等形態的性質在幾何推理中並沒有地位。 運用邏輯推理時所涉及的完全是這種絕對普遍的條件從最廣泛的意義上來說，發現數學就是發現這些抽象條件的全部情況。它們都可以同樣運用於一切實有在任何實際狀況下所發生的關係，而且彼此之間用一定的模式互相聯繫起來，其中還具有一種啟開全局的鎖鑰。普遍抽象條件之間所存在的這種關係模式無分軒輊地存在於所有的外界實有之上。同時也普遍存在於我們對外界實有所作的抽象表達之上。這一情形是通過下一普遍的必然性形成的；即每一事物都必然不多不少正好形成它的自身，並且以它自身特有的方式區別於其他任何事物。這就是抽象邏輯的必然性，而這種必然性就是每一種直接經驗事態所顯示的關聯存在這一事實必然假定的前提。 打開關係模式的鎖鑰所指的情況是這樣：普遍條件中被選定的某一套條件在某一事態下體現後，如果想要求得體現在同一事態下然而又涉及該條件的無限變種的模式，就可以純粹運用抽象邏輯來推演。任何這類被選定的條件就叫一套假設或前提，推理就是從這種假設或前提下開始的。如果把這一套選定的假設推演出它的模式來，然後再把這一模式中所包括的普遍條件的全部模式表達出來，便是所說的推理過程了。 推演出假設中所包含的完整模式來的邏輯推理的諧和是一種最普遍的審美性質。這種性質僅是從一個事態的統一體中所包含的協同存在這一事實上產生出來的。只要有事態的統一體存在的地方，該事態所牽涉的普遍條件之間便存在著審美學的關係。這種審美學的關係是在運用理性的時候發現的。所有屬於這一關係之內的東西便都在該事態中體現出來，所有不屬於這一關係之內的東西便不可能在該事態中體現。 因此，象這樣體現出來的普遍條件的完整模式便可以由任何一套精選的條件來決定。這類鎖鑰性的各套假設是由相等的假設組成的。「存在」的這種理性諧和是一個複雜事態的統一體所必需的，這種諧和再加上該事態的邏輯諧和所牽涉的一切完整體現就是形上學理論的主題。這話的意思就是說：事物在一起存在時都是有理性地在一起存在的。同時也就是說，思想可以認識每一種事實的事態。 因此，只要理解了鎖鑰性的條件，條件模式的全部複雜情況便被打開了。總起來說：如果我們知道了某一事態中各種要素的某些完全普遍的性質，就能知道同一事態下必然會出現的無數其他同樣普遍的概念。一種事態的統一性所牽涉的邏輯諧和既是排他的，又是無所不包的。該事態必須排斥一切非諧和的東西而包含一切諧和的東西。 畢達哥拉斯第一個掌握了這一普遍原則的全部意義。他是紀元前6世紀的人。 我們對他的了解是很不完全的。但我們欲知道某些使他成為思想史中的偉大人物的特點。他堅持推理中極終普遍性的重要意義。他看出了數字在幫助人們敘述出自然秩序中所涉及的條件時的重要意義。我們也知道他研究過幾何，發現了直角三角形著名定理的普遍證法。他建立了畢達哥拉斯兄弟社，關於該社的儀式和影響還有許多神秘的傳說。這些都提供了證據，說明畢達哥拉斯的認識不論怎樣模糊，但總是看出了數學在科學構成中可能具有的意義。 在哲學方面他開創了一種討論，這討論往後一直在激動著思想家的心弦。他問道：「數學中的實有象『數』之類的東西在事物領域中究竟應占什麼地位呢？」 例如「2」這一個數目便是處在時間之流和空間的必然位置以外的東西。然而它卻是實際世界所涉及的東西。同樣的理由也可以適用於圓形之類的幾何概念。據說畢達哥拉斯曾經認為數學的實有如數與形狀等是最後的材料，我們的感官經驗中的實有都是由這種材料組成的。這樣概略說來，這種觀念似乎非常粗糙，而且也誠然很笨。但他卻講到了一個相當重要的哲學概念。這個概念具有悠久的歷史，曾經激動過人們的心弦，甚至還深入了基督教的神學。阿德納肖信條和畢達哥拉斯相距有1，000年之久，黑格爾和畢達哥拉斯則相差有2，400年之久。不管時間距離有多長，但有限數在神性構成中的意義，以及現實世界是觀念發展的體現等說法，都可以追溯到畢達哥拉斯所創始的一系列思想上去。 個別思想家的地位有時是隨機遇而轉移的。也就是說，必須看他的觀念在繼承人心中的命運如何而定。在這一方面畢達哥拉斯是很幸運的。他的哲學思想通過柏拉圖的頭腦傳授給我們了。柏拉圖的觀念世界就是修正和提煉畢達哥拉斯的學說而成的。這一學說認為現實世界的基礎是數。希臘時代表示數時用的是不同形式的點。因之，數的觀念和幾何形狀的觀念便不象我們現在這樣離得很遠了。 無疑，畢達哥拉斯把形狀的性質也包括到自己的學說里去了，這是不純粹的數學實有。現在愛因斯坦和他的繼承人都主張重力這一類的物理事實，可以說是時—空性質中局部特徵的表現。他們這種學說便是在追隨著純粹的畢達哥拉斯傳統。 從某種意義來說，柏拉圖和畢達哥拉斯比亞里士多德更接近於近代物理科學。 前二者都是數學家，而亞里士多德則是一個醫生的兒子。當然我不是因此就說他不懂數學了。從畢達哥拉斯那裡所能得到的實際見解就是事先度量，然後用數字決定的量來表示質。 但從那時起一直到我們這個時代以前這個時期，生物學一直多半只是一種分類的科學。因此，亞里士多德便在他的「邏輯學」中把重點放在分類上。他這部「邏輯學」很享盛名，因而在整個的中古世紀一直阻礙著物理科學的進展。如果煩瑣學者實行度量而不專門搞分類的話，他們將要多知道多少東西啊！ 分類是可以直接觀察的個別實際事物和完全抽象的數學觀念之間的中途站。生物分類中的種所注意的只是種的特性，屬所注意的是屬的特性。但當我們通過數計、度量、幾何關係和秩序形態等把數學觀念和自然界的事實連繫起來，理性的思維便離開了那種牽涉一定的種與屬的不完整抽象境界，而進入了完整的數學抽象境域了。分類是必須的，但除非你能從分類走向數學，否則你的推理便不會有多大進展。 從畢達哥拉斯到柏拉圖那一段時期和屬於現代世界的17世紀這一段時期之間，相隔差不多有兩千年之久。在這個漫長的時期中，數學得到了長足的發展。幾何在圓椎截面和三角的研究方面獲得了成功，窮究法也幾乎先聲奪人地達成了微積分的研究。最重要的還是亞洲思想家供獻了阿拉伯數字和代數學。但這些進步都是技術方面的。在這些漫長的歲月中，數學作為哲學發展的構成部分來說，從來沒有從亞里士多德的掌握中解脫出來。但從畢達哥拉斯與柏拉圖那一時代傳來的一些老觀念，在這兩千年中仍然不絕如縷；這些觀念從柏拉圖學說對基督教神學初期發展的影響中也可以看出來。但哲學並沒有從不斷發展的數學科學中得到任何新的靈感。到17世紀亞里士多德的影響降到了最低潮，數學也就恢復了往日的重要地位。這是一個偉大物理學家和偉大哲學家的時代，而哲學家和物理學家又都是數學家。唯有約翰·洛克不同，他雖然也曾受到皇家學會中牛頓這一派人物的深刻影響，但卻是一個例外。在伽利略、笛卡兒、斯賓諾莎、牛頓和萊布尼茲的時代里，數學對哲學觀念的形成發生了極大的影響。但這時脫穎而出的數學是一門和早期的數學完全不同的科學。它開始了幾乎難以令人置信的現代事業，它在普遍性上有了進展，推演出了一套又一套的奧妙的理論。而且每增加一分複雜性時，就愈找到了應用於物理科學或哲學思維的新途徑。阿拉伯數字在處理數目方面幾乎為科學提供了完整的技術效能。象這樣從瑣屑的算術細節（如紀元前1，600年埃及的算術所表現的情形一樣）中掙脫出來以後，便使希臘晚期數學模糊地預見到的前途得到了發展。這時代數登上了舞台，代數成了算術的普通理論。正如同數字超脫了任何一套特殊實念的約束一樣，代數也超脫了任何特殊數字的觀念。比如說，數字「5」可以無分軒輊地表示任何包含5個實有的群。同樣的道理，代數中的字母也可以無分軒輊地用來表示任何數字。只是事先應當規定，在同一用法中每個字母都始終代表同一數字。 這種用法首先是用在方程式中。方程式是用來問複雜的算術問題的方式。在這種場合下，代表數字的字母稱為「未知數」。但不久方程式就提出一個新概念，即一個或多個普遍符號的函數。這種符號就是代表任何數字的字母。在這種用法中，代數字母稱為函數的「自變數」，有時也稱為變數。比方說，在這種情形下，如果以某種單位來測量一個角，並將所得的數字用一個代數字母來代表，於是三角便被吸收到這種新的代數中去了。因此，代數就發展成為一門普遍的分析科學，研究許多未定自變數的各種函數的性質。最後，各種特殊的函數如「三角函數」、「對數函數」和「代數函數」等都綜合為一個概念——「任何函數」。太廣泛的綜合就會毫無結果。唯有用一種巧妙的特殊性來限制廣泛的綜合，才能成為有效果的概念。例如任何連續函數的概念都引入了連續性有限制的概念，因而便是富於效果的概念，並且已經得到了許多極重要的應用。當時興起的代數分析正好和笛卡兒發現解析幾何以及牛頓與萊布尼茲發現微積分同時。誠然，畢達哥拉斯如果預先看到了他所創始的思緒的結果，一定會認為他的兄弟會和會裡所熱衷的神秘儀式是完全有理由的。 我現在要說明的一點是：函變數觀念在數學的抽象領域中這樣流行，反映在自然秩序中便是用數學表達出來的自然規律。要是沒有這種數學的進步，17世紀的科學發展便是不可能的。數學為科學家對自然的觀察提供了想像力的背景。伽利略、笛卡兒、惠根斯和牛頓等人都創造了許多公式。 如果要舉一個特殊的例子來說明數學的抽象發展對當時科學的影響，那麼不妨看看周期性這一概念吧。在我們的日常經驗中，事物的一般重複現象是很明顯的。日子、月相、一年的四季、心跳、呼吸等都重複出現，繞行的星球也重複回到自己的老位置上去。我們在各方面都看到有重複現象發生。 沒有重複現象就不可能有知識，因為在這種情形下就沒有任何東西能根據以往的經驗推斷出來。同時，沒有某些規律性的重複現象，也不可能有度量。當我們獲得了這一「精確」觀念後，重複現象在我們的經驗中便成了基本的東西。 在16、17世紀時，周期性的理論在科學中占了主要地位。 凱普勒發現了一條定律，可以把各種行星軌道的長軸和各行星循著自己的軌道環行時的周期聯繫起來；伽利略觀察了擺的振動周期；牛頓認為聲音是由稀密相間的周期性波動通過空氣時所發生的擾動而形成的；惠根斯認為光線是由精微的以太的橫振動波而形成的。麥西尼把提琴弦的振動周期和它的密度、張力以及長度聯繫起來。現代物理的誕生必須依靠周期性的抽象概念在許多實例上的應用。但假若不是數學首先用抽象的方式把環繞著周期性這一概念的各種抽象觀念全推演出來了，這事是不可能辦到的。三角學剛興起時是研究直角三角形兩銳角跟勾股弦的比率之間的關係。接著，在數學中新發現的函數分析的影響下，又擴大為體現這種比率的純粹抽象的周期函數的研究。因此三角便完全變成抽象的研究了，而且正是由於變成了抽象的研究，所以就有用處了。它說明了各種完全不同的物理學現象中所潛存著的相同關係。 同時也提供了一種武器，使任何一套物理學現象都可以把自身的各種性狀加以分析，然後連繫起來①。 從以往的事實看來，數學往更極端的抽象思維的高超領域上升得愈高，日後再回到下面來時對具體事物的分析就愈加重要，這一點是再清楚不過了。17世紀的科學史讀來，仿佛是柏拉圖和畢達哥拉斯一些歷歷如目前的夢境。從這方面說來，17世紀僅僅是後繼者的開路先鋒而已。 最高的抽象思維是控制我們對具體事物的思想的真正武器，這一個似非而是的說法現在已經完全肯定了。由於17世紀時數學家盛極一時，18世紀的思想便也是數學性的，尤其是法國的影響占優勢的地方更是如此。 但英國從洛克開始的經驗主義卻是一個例外。在法國以外的國家裡，牛頓對哲學的直接影響表現在康德身上最為明顯，在休謨身上倒並不如此。 19世紀時，數學的一般影響減弱了。文學上的浪漫主義運動和哲學上的唯心主義運動都不是從數學家開始的。甚至在科學領域裡的地質學、動物學和一般生物科學的發展都完全與數學無關。這一世紀科學上最驚人的成就便是達爾文的進化論。因此，按照這個世紀一般的思想狀況說來，數學遠遠地退居到後面去了。這倒不是說數學被忽視了。甚至也不是說數學沒有發生影響。19世紀純數學的進步幾乎等於從畢達哥拉斯以來所有各世紀的總和。當然，由於技術日趨完善，進步是比較快的。 我們縱使是承認這一點，但數學從1800到1900年這一段時期中的變化仍然是驚人的。如果我們把前一百年也數上，看一看現代以前兩百年的情形，我們也許會認為數學是在17世紀的最後25年間奠定基礎的。發現基本要素的時期可以說是從畢達哥拉斯起一直到笛卡兒、牛頓和萊布尼茲這個時期，但發展成熟的科學則是在最近250年才出現的。這並不是在誇耀近代天才的高超，因為發現基本要素本來比發展科學要困難得多。 在19世紀的整個時期中，數學的影響在於它對動力學和物理學的影響，然後又發展到工程和化學。數學通過這些科學對人生的影響之大是難以估量的。但它對當時的一般思想卻沒有直接的影響。 上面是數學在全部歐洲歷史中的影響的簡述，回想一下這一簡述就能看出數學曾在兩個偉大時代對一般思想發生的直接影響。這兩個時代全部大約延續了200年之久。第一個時代是從畢達哥拉斯到柏拉圖的時期，那時創立數學的可能性和數學的一般性質破天荒第一次在希臘思想家心中萌芽了。第二個時代包括現代的17、18兩個世紀。這兩個時代具有某些共同點。 在前後兩個時代中，與人類有關的許多領域裡的一般思想範疇都瓦解了。在畢達哥拉斯時代，一般人不知不覺地接受的異教文化具有美妙的儀式和魔術的法事作為傳統的外衣；那時異教文明在兩方面影響下進入了一個新的階段。一方面有許多宗教熱忱的浪潮，在為奧妙的事物尋求直接的啟示。但在另一個極端上卻產生了一種批判的分析思想，以冷靜的頭腦探究事物的終極意義。這兩種影響的結果雖然完全是背道而馳的，但卻有一個共同的因素，也就是喚醒了一股好奇心，和一股重建傳統方式的運動。這種異教的神秘可以比之於後一時期清教徒和天主教的反作用。在兩個世紀中批判的科學思想除了實際意義上略有區別而外，其他的方面是相同的。 兩個時代的早期都是繁榮景象興起，新的前景蓬勃展開的時期，在這一點上和公元第二、三世紀基督教征服羅馬帝國世界那種衰落的時代不同。唯有在幸運的時代里，一方面能擺脫環境的壓迫，另一方面又具有強烈的好奇心，時代精神才能重新評價那些隱藏在實際概念後面的極終抽象概念。 一個時代的嚴肅思維就是從這些實際概念出發的。唯有在難逢的世紀中才能完成這種事情，從而使數學和哲學發生關係。 因為數學是人類頭腦所能達到的最完美的抽象境界。 這兩個時代的類似之處也不能說得太過火。現代世界比古代地中海沿岸的世界更大而且更複雜。甚至和遣送哥倫布與開闢美州的清教徒渡過大西洋的歐洲比起來也是如此。我們這個時代已經無法用一個盛行一時然後又擱置上千年的簡單公式來解釋了。因此，從盧梭以來，數學思維的暫時沉寂狀態似乎已近尾聲了。我們已經進入一個宗教、科學與政治思想的改造時代。這樣的時代如果不願單純懵懵懂懂地在兩極端之間搖擺的話，就必須在事物的極終深處尋求真理。 但除非有充分說明這種極終的抽象思維的哲學，並以數學來說明各思維之間的關係，否則這種深奧的真理是無法洞察的。 為了確切地說明數學在現代的普遍重要性正在怎樣地增長，我們不妨從科學上的某一個令人迷惑莫解的事實出發，看看我們在試圖解決其中的困難時，必然會被引導到什麼樣的觀念上去。目前物理學正在量子論上感到為難。如果讀者有人還不清楚這理論究竟是什麼的話，我在這兒暫不多談①。主要是說明這理論中最有希望的解釋是，先假定電子不是連續地渡過其空間中的道路。有一個不同於現行看法的觀念認為電子存在的方式是通過一系列的期間所組成的時間占據一段空間，而且在這一段空間中只在一系列不連續的位置上出現。 正好像是一部平均時速30英哩的汽車不連續地通過這條道路，而只遞次在一系列的里程碑上出現，並在每塊里程碑上停留兩分鐘。 首先，這觀念須要將數學作純技術的應用，看看這概念是不是真正能解釋量子論中許多令人迷惑莫解的性質。如果經過這樣的測驗這觀念還能存留下來，物理學無疑是會採用它的。就以上所談的一切說來，這問題純粹是要在數學和物理科學之間根據數學的計算和物理的觀察來加以解決的問題。 但目前這一問題已經轉交給哲學家了。象這樣，我們就認定電子在空間中具有一種不連續的存在，這和我們通常假定物質顯然具有的連續存在是很不相象的。 電子似乎把一般所謂西藏紅教喇嘛的道行借來了。現在一般認為這種電子加上相應的質子就構成日常生活中的物體的基本實念。這樣說來，如果上述解釋被採用的話，我們關於物質存在的終極性質的概念就必須全部重新考慮。因為當我們深入這種終極實有時，空間存在的令人驚訝的不連續性就顯示出來了。 解釋這個表面上的矛盾是不困難的，只要我們同意把目前在聲和光兩種現象上一般所接受的原則應用到表面穩定而不分化的物質持續狀態上去就行。一個持續發音的音符被解釋成為空氣振動的結果，一種穩定的色彩被解釋成為以太振動的結果。要是用同樣的原則來解釋物質的穩定持續狀態，我們就會認識到每一種原始要素都是潛能或潛在活動所產生的振動波。如果我們所說的能始終是物理學上那種能，那麼每一種基本要素便都成了一種有組織的振動能流系統。同時，每一種基本要素便都具有一個一定的周期，能流系統將從一個靜止的極限擺到另一個靜止的極限。假如用海潮來作例子的話，能流系統便將從一個高潮擺到另一個高潮。這種組成基本要素的體系，在某一瞬間講來是不成體統的。它需要本身的整個周期才能顯示出來。同樣的道理，一個音符在任何瞬間也不能成為音符，而需要它本身的整個周期才能顯示出來。 因此，如果要問原始要素在什麼地方，我們就必須取它在每一個周期的中央的平均位置。如果我們把時間分成更小的單位，作為單個電子實有的振動系統是不存在的。象這樣一個振動的實有在空間所經過的道路（振動組成實有的地方）必須說成是空間一系列分離的位置，就好象是出現在一系列裡程碑上，而不出現在兩碑之間的汽車一樣。 首先我們要問有沒有證據可以把量子論和振動說聯繫起來。這問題馬上就可以作肯定答覆。整個的量子論都是圍繞著原子的輻射能來研究問題的，並且與輻射波系統的周期有密切關係。因此，振動存在的假說是有希望解釋軌道不連續這一矛盾。 其次，如果我們採用上述假說，認為物質的原始要素的本質具有振動性，那末，哲學家和物理學家又會遇到一個新問題。上述的假說的意思是說除開周期性的系統以外，這種要素就不存在了。有了這種假說之後我們就要問：組成振動機構的成分究竟是什麼呢？我們已經拋卻了不分化的持續狀態的物質。除去形上學的強制性以外，拋卻了這種物質之後並沒有理由必須提出另一種更精微的質料來代替它。現在這方面已經打開了大門，可以引入一種新機體論來代替唯物論。 自從17世紀以來，哲學就讓科學把這種唯物論象馬鞍子一樣套在自己身上了。我們必須記住，物理學家所謂的「能」顯然只是一種抽象概念。有形的事實是機體，它必然是實在事件的性質的完整表現。假如把這種科學的唯物論替換下來，思想的每一個領域中就一定會受到重大的影響。 最後，我們的結論必然是：我們終於又回到老畢達哥拉斯理論的一個說法上來了。數學和數理物理就是他所創始的。 他認識到研究抽象概念的重要性，尤其是他使人們注意到數字能說明音樂中音符的周期性這一事實。因此，周期性這一抽象概念的意義，從一開始就是歐洲哲學和數學所共同提供的貢獻。 17世紀時，現代科學的誕生需要一種新的數學，需要具有更完備的方法，以分析「振動存在」的性質。在20世紀的今天，又看到物理學家大多從事原子周期的分析。誠然，畢達哥拉斯在建立歐洲哲學和歐洲數學時，就使它們十分幸運地獲得了關於周期的推測。這會不會是神聖的天才的閃現，洞察到事物最奧秘的本性中去了呢？