九章算術譯註 · 九章算術卷第七

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 盈不足〔1〕以御隱雜互見 今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問：人數、物價各幾何〔2〕？ 荅曰： 七人， 物價五十三〔3〕。 今有共買雞，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。問：人數、雞價各幾何？ 荅曰： 九人， 雞價七十〔4〕。 今有共買璡〔5〕，人出半，盈四；人出少半，不足三。問：人數、璡價各幾何？ 荅曰： 四十二人， 璡價十七〔6〕。 注云〔7〕：「若兩設有分者，齊其子，同其母。」此問兩設俱見零分，故齊其子，同其母。又雲〔8〕：「令下維乘上，訖，以同約之。」不可約，故以乘，同之〔9〕。 今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。問：家數、牛價各幾何？ 荅曰： 一百二十六家， 牛價三千七百五十〔10〕。 按此術並盈、不足者，為眾家之差，故以為實。置所出率，各以家數除之，各得一家所出率；以少減多者，得一家之差。以除，即家數〔11〕。以多率乘之，減盈，故得牛價也〔12〕。 盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。按：盈者，謂之朓〔13〕，不足者，謂之朒〔14〕，所出率謂之假令。令維乘所出率〔15〕，並，以為實。並盈、不足為法。實如法而一〔16〕。盈、朒維乘兩設者欲為同齊之意〔17〕。據「共買物，人出八，盈三；人出七，不足四」，齊其假令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通計齊則不盈不朒之正數，故可並之為實，並盈、不足為法〔18〕。齊之三十二者，是四假令，有盈十二。齊之二十一者，是三假令，亦朒十二。並七假令合為一實，故並三、四為法。有分者，通之〔19〕。若兩設有分者，齊其子，同其母。令下維乘上，訖，以同約之。盈、不足相與同其買物者〔20〕，置所出率，以少減多，余，以約法、實〔21〕。實為物價，法為人數〔22〕。所出率以少減多者，余謂之設差，以為少設〔23〕。則並盈、朒，是為定實。故以少設約定實，則法，為人數，適足之實故為物價〔24〕。盈、朒當與少設相通。不可遍約，亦當分母乘，設差為約法、實。 其一術曰：並盈、不足為實。以所出率以少減多，余為法。實如法得一〔25〕。以所出率乘之，減盈、增不足即物價〔26〕。此術意謂盈不足為眾人之差，以所出率以少減多，余為一人之差。以一人之差約眾人之差，故得人數也。 【注釋】 〔1〕盈不足：中國古典數學的重要科目，「九數」之一，現今稱之為盈虧類問題。秦漢數學簡牘及鄭玄引鄭眾「九數」作「贏不足」。李籍云：「盈者，滿也。不足者，虛也。滿、虛相推，以求其適，故曰盈不足。」 〔2〕此問是設人出8，記為a1，盈3，記為b1；人出7，記為a2，不足4，記為b2；求人數、物價。這是盈不足問題的標準表述。連同以下3問，都是盈不足術的例題，我們合為一組。 〔3〕將題設代入盈不足術公式（7-3），得，代入（7-2），得。 〔4〕此問是設人出9，記為a1，盈11，記為b1；人出6，記為a2，不足16，記為b2；求人數、雞價。將其代入公式（7-3），得，代入（7-2），得70（錢）。 〔5〕璡：美石。《說文解字》卷一：璡，「石之似玉者」。「璡」字下，楊輝本有小字：「一雲准。」李籍云：「一本作準。」可見李籍、楊輝都看到不同的《九章算術》抄本。准，古代定律數之樂器，狀如瑟。漢京房（前77—前37）作，事見《晉書·律曆志上》。 〔7〕注云：此為劉徽引盈不足術自注。 〔8〕又云：此亦為劉徽引盈不足術自注。 〔9〕不可約，故以乘，同之：自「又雲令下維乘上」至此，繼續討論兩設俱見零分的情形。將有零分的兩設齊同，並以盈、朒維乘後，可以以同（即兩設齊同後的公分母）約之，化成整數的情形；也可能以同約之不盡，即不可約，則以同（即兩設齊同後的公分母，注中省去）乘兩設及盈、朒，化成整數的情形，這是又一「同」的運算，故稱「同之」。 〔11〕此謂盈與不足相加b1+b2為各家之差，所以作為實。，為一家所出率，則為一家所出之差，作為法。實除以法，就得家數。 〔12〕此謂牛價=家數×a1-b1=126×30-30=3 750（錢）。這是用盈不足術之其一術的方法。 〔13〕朓（tiǎo）：本義是夏曆月底月亮在西方出現。《說文解字》：「朓，晦而月見西方謂之朓。」引申為盈，有餘。 〔14〕朒（nǜ）：本義是夏曆月初月亮在東方出現。《說文解字》：「朒，朔而月見東方謂之縮朓。」引申為不足。李籍云：朒，「不足也。或作朏，非是」。朏（fěi），夏曆月初未勝之明，也指夏曆每月初三。《說文解字》：「朏，月未勝之明。」又引《周書》曰：「丙午朏。」徐灝箋：「月朔初生明，至初三乃可見，故曰三日曰朏。」引申為不足。李籍雲朏「非是」，則不妥。朏、朒都可以引申為不足。楊輝本作「朏」，其母本當是李籍所見另一抄本。 〔15〕維乘：交叉相乘，即楊輝所說的「四維而乘」，亦即楊輝所說的「互乘」。維，連結。《周禮·夏官·大司馬》：「建牧立監，以維邦國。」鄭玄註：「維，猶連結也。」此謂以盈、不足與兩所出率交叉連結即相乘。 〔16〕《九章算術》的方法是，設出a1，盈b1，出a2，不足b2，則 《九章算術》提出以a1b2+a2b1作為實，以b1+b2作為法，那麼不盈不朒之正數就是 用盈不足術解決一般數學問題便需要用（7-1）式。 〔17〕盈、朒維乘兩設者欲為同齊之意：將盈、朒與兩設交叉相乘，是想做到齊同的意思，即以盈、朒分別乘對方的整行，使盈、朒相同，同時使所出分別與盈、朒相齊。即 〔18〕「通計齊則不盈不朒之正數」三句：謂既然盈、朒已經相同，那麼齊之後的所出就是既不盈，也不朒，因此可以將齊之後的所出相加作為實，將盈、朒相加作為法。 〔19〕有分者，通之：如果有分數，就通分。 〔20〕盈、不足相與同其買物者：如果使盈、不足相與通同，共同買東西的問題。 〔21〕以少減多，余，以約法、實：此謂求｜a1-a2｜，然後以｜a1-a2｜除法與實。約，除。 〔22〕此是《九章算術》為共買物類問題而提出的術文，它表示 這一運算也體現出位值制。 〔23〕「所出率以少減多者」三句：此謂將｜a1-a2｜稱為設差，也就是少設。 〔24〕「以少設約定實」四句：以少設的數量去除確定的實，即法，得到人數；去除適足之實，就得到物價。則，訓「即」。此處以少設約定實與上「並盈、朒，是為定實」相應，定實即是法，以少設約定實即是約法。 〔25〕此亦是《九章算術》為共買物類問題提出的方法。即（7-3）式。初版於「一」下衍「人」字，系誤從石研齋抄楊輝本。今據《九章算術新校》校刪。 〔26〕此即 【譯文】 盈不足為了處理隱雜互見的問題 假設共同買東西，如果每人出8錢，盈餘3錢；每人出7錢，不足4錢。問：人數、物價各多少？ 答： 人數是7人， 物價是53錢。 假設共同買雞，如果每人出9錢，盈餘11錢；每人出6錢，不足16錢。問：人數、雞價各多少？ 答： 人數是9人， 雞價是70錢。 假設共同買璡，如果每人出錢，盈餘4錢；每人出錢，不足3錢。問：人數、璡價各多少？ 答： 人數是42人， 璡價是17錢。 注云：「如果兩個假設中有分數，則使它們的分子相齊，使它們的分母相同。」這個問題中兩個假設都出現分數，所以要使它們的分子相齊，使它們的分母相同。注又云：「使下行與上行交叉相乘，完了，以同約簡之。」如果不可約簡，就反過來以分母乘，使盈、朒相同。 假設共同買牛，如果7家共出190錢，不足330錢；9家共出270錢，盈餘30錢。問：家數、牛價各多少？ 答： 126家， 牛價3 750錢。 按：此術中，盈與不足相加，是所有家所出錢之差，所以作為實。布置所出率，分別以家數除之，各得每一家的所出率。以少減多，得一家所出錢之差。以它除之，就是家數。以所出率之多者乘之，減去盈，就得到牛價。 盈不足術：布置所出率，將盈與不足分別布置在它們的下面。按：盈稱之為朓，不足稱之為朒，所出率稱之為假令。使盈、不足與所出率交叉相乘，相加，作為實。將盈與不足相加，作為法。實除以法，即得。使盈、朒與兩假令交叉相乘，是為了同齊的意思。根據「共同買東西，如果每人出8錢，盈餘3錢；每人出7錢，不足4錢」，若使它們的假令相齊，使它們的盈、朒相同，則盈、朒都是12。通同之後計算齊，則就是既不盈也不朒的準確之數，所以可將它們相加，作為實；將盈、不足相加，作為法。將假令8通過齊變成32，是4次假令，有盈12。將假令7通過齊變成21，是3次假令，朒也是12。將7次假令合併成一個實，所以將3與4相加，作為法。如果有分數，就將它們通分。如果兩個假令中有分數，應當使它們的分子相齊，使它們的分母相同。使下行的盈、不足與上行的假令交叉相乘。完了，以同約簡它們。如果使盈、不足相與通同，共同買東西的問題，就布置所出率，以小減大，用餘數除法與實。除實就得到物價，除法就得到人數。所出率中以小減大，其餘數稱為設差。將它看作少設的數量，那麼將盈與朒相加，這就是確定的實。所以用少設的數量去除確定的實，即法，得到人數，去除適足之實，就得到物價。盈、朒應當與少設的數量相通。如果出現少設的數量不能都除盡的情形，也應當用分母乘，用設差去除法、實。 其一術：將盈與不足相加，作為實。所出率以小減大，以餘數作為法。實除以法，得到人數。以所出率分別乘人數，或減去盈，或加上不足，就是物價。此術的思路是：盈與不足之和是眾人所出錢數的差額，所出率以小減大，餘數為一人所出錢數的差額。以一人的差額除眾人的差額，所以得到人數。 今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問：人數、金價各幾何？ 荅曰： 三十三人， 金價九千八百〔1〕。 今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問：人數、羊價各幾何？ 荅曰： 二十一人， 羊價一百五十〔2〕。 兩盈、兩不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，余為實。兩盈、兩不足以少減多，余為法。實如法而一〔3〕。有分者，通之。兩盈、兩不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，余，以約法、實，實為物價，法為人數〔4〕。按：此術兩不足者，兩設皆不足於正數。其所以變化，猶兩盈。而或有勢同而情違者。當其為實，俱令不足維乘相減，則遺其所不足焉。故其餘所以為實者，無朒數以損焉。蓋出而有餘兩盈，兩設皆逾於正數。假令與共買物，人出八，盈三；人出九，盈十。齊其假令，同其兩盈。兩盈俱三十。舉齊則兼去〔5〕。其餘所以為實者，無盈數。兩盈以少減多，余為法。齊之八十者，是十假令，而凡盈三十者，是十，以三之〔6〕；齊之二十七者，是三假令，而凡盈三十者，是三，以十之〔7〕。今假令兩盈共十、三，以三減十，餘七為一實〔8〕。故令以三減十，餘七為法。所出率以少減多，余謂之設差。因設差為少設，則兩盈之差是為定實。故以少設約法得人數，約實即得金數〔9〕。 其一術曰：置所出率，以少減多，余為法。兩盈、兩不足以少減多，余為實。實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價〔10〕。「置所出率，以少減多」，得一人之差。兩盈、兩不足相減，為眾人之差。故以一人之差除之，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。 【注釋】 〔3〕此亦為解決可以化為兩盈、兩不足的一般算術問題而設，但是《九章算術》沒有這類問題。設出a1，盈（或不足）b1，出a2，盈（或不足）b2，《九章算術》提出以｜a1b2-a2b1｜作為實，以｜b1-b2｜作為法，那麼不盈不朒之正數就是 〔4〕此是為共買物類問題而設的術文，即 〔5〕舉齊則兼去：實現了齊，那麼兩盈都可以消去。 〔6〕是十，以三之：是10用3乘得到的。 〔7〕是三，以十之：是3用10乘得到的。 〔8〕「今假令兩盈共十、三」三句：現在由假令得到的兩盈是10與3，以3減10，餘數7成為一份實。自「齊之八十者」至「餘七為一實」系以例說明何以「兩盈以少減多，余為法」。 〔9〕以少設約法得人數，約實即得金數：以假令所少的除法就得到人數，除實就得到金數。以上是劉徽以齊同原理，並將共買物問改成兩盈的問題為例，闡釋了《九章算術》解法的正確性。 〔10〕此亦為共買物類問題而設的方法，求人數的方法同上。求物價的方法：若是兩盈的情形，則 若是兩不足的情形，則 【譯文】 假設共同買金，如果每人出400錢，盈餘3 400錢；每人出300錢，盈餘100錢。問：人數、金價各多少？ 答： 33人， 金價9 800錢。 假設共同買羊，如果每人出5錢，不足45錢；每人出7錢，不足3錢。問：人數、羊價各多少？ 答： 21人， 羊價150錢。 兩盈、兩不足術：布置所出率，將兩盈或兩不足分別布置在它們的下面。使兩盈或兩不足與所出率交叉相乘，以小減大，餘數作為實。兩盈或兩不足以小減大，餘數作為法。實除以法，即得。如果有分數，就將它們通分。如果使兩盈或兩不足相與通同，共同買東西的問題，布置所出率，以小減大，用其餘數除法、實。除實得到物價，除法得到人數。按：此術中的兩不足，就是兩次假令的結果皆小於準確的數。對之進行變換的原因，如同兩盈的情形。而有時會出現態勢相同而情理相反的情形。如果要將兩次假令變為實，那就使兩不足與它們交叉相乘，然後相減，那麼留下的是其不足的部分。所以它的餘數成為實的原因，就是此處沒有不足的數進行減損。原來所出的結果都有餘，就是兩盈，即兩次假令皆大於準確的數。假令共同買東西，如果每人出8錢，盈餘3錢；每人出9錢，盈餘10錢。使兩假令相齊，使兩盈相同。兩盈都變成30錢。實現了齊那麼兩盈都可以消去。將齊的餘數用來作為實的原因，是沒有盈餘的數。兩盈以小減大，餘數作為法。將假令8通過齊變成80，是10次假令，而總共盈30，是10用3乘得到的；將假令9通過齊變成27，是3次假令，而總共盈30，是3用10乘得到的。現在由假令得到的兩盈是10與3，以3減10，餘數7成為一份實。所以以3減10，餘數7作為法。所出率以小減大，其餘數稱之為設差。因為設差就是假令所少的，則兩盈之差就是定實。故以假令所少的除法就得到人數，除實就得到金數。 其一術：布置所出率，以小減大，餘數作為法。兩盈或兩不足以小減大，餘數作為實。實除以法，得到人數。分別用所出率乘人數，減去盈餘，或加上不足，就是物價。「布置所出率，以小減大」，就是一人所出之差。兩盈或兩不足相減，是眾人所出之差。所以以一人所出之差除眾人所出之差，便得到人數。以所出率乘人數，減去盈餘，或加上不足，就是物價。 今有共買犬，人出五，不足九十；人出五十，適足〔1〕。問：人數、犬價各幾何？ 荅曰： 二人， 犬價一百〔2〕。 今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問：人數、豕價各幾何？ 荅曰： 一十人， 豕價九百〔3〕。 盈適足、不足適足術曰：以盈及不足之數為實。置所出率，以少減多，余為法，實如法得一〔4〕。其求物價者，以適足乘人數，得物價〔5〕。此術意謂以所出率，「以少減多」者，余是一人不足之差。不足數為眾人之差。以一人差約之，故得人之數也。「以盈及不足數為實」者，數單見，即眾人差，故以為實。所出率以少減多，即一人差，故以為法。以除眾人差得人數。以適足乘人數，即得物價也。 【注釋】 〔1〕適足：李籍云：「恰也。」 〔4〕設所出a1，盈或不足b，出a2，適足，則《九章算術》求人數的方法是 〔5〕《九章算術》求物價的方法是 【譯文】 假設共同買狗，每人出5錢，不足90錢；每人出50錢，適足。問：人數、狗價各多少？ 答： 2人， 狗價100錢。 假設共同買豬，每人出100錢，盈餘100錢；每人出90錢，適足。問：人數、豬價各多少？ 答： 10人， 豬價900。 盈適足、不足適足術：以盈或不足之數作為實。布置所出率，以小減大，餘數作為法，實除以法，得人數。如果求物價，便以對應於適足的所出率乘人數，就得到物價。此術的思路是說，所出率「以小減大」，那麼餘數就是一人的不足之差。而不足數是眾人所出之差。以一人差除之，所以得到人數。「以盈或不足之數作為實」，是因為只出現這一個數，就是眾人所出之差，所以以它作為實。所出率以小減大，是一人所出差，所以作為法。以它除眾人所出之差，得人數。以對應於適足的所出率乘人數，即得到物價。 今有米在十斗桶中，不知其數。滿中添粟而舂之，得米七斗。問：故米幾何？ 荅曰：二斗五升。 術曰：以盈不足術求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有餘二升〔1〕。按：桶受一斛，若使故米二斗，須添粟八斗以滿之。八斗得糲米四斗八升，課於七斗，是為不足二升。若使故米三斗，須添粟七斗以滿之。七斗得糲米四斗二升，課於七斗，是為有餘二升。以盈、不足維乘假令之數者，欲為齊同之意。為齊同者，齊其假令，同其盈、朒。通計齊即不盈不朒之正數，故可以並之為實，並盈、不足為法。實如法，即得故米斗數，乃不盈不朒之正數也。 今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸〔2〕；瓠生其下〔3〕，蔓日長一尺。問：幾何日相逢？瓜、瓠各長几何？ 荅曰： 五日十七分日之五， 瓜長三尺七寸一十七分寸之一， 瓠長五尺二寸一十七分寸之一十六。 術曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有餘一尺二寸〔4〕。按：「假令五日，不足五寸」者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，上延蔓五尺。課於九尺之垣，是為不足五寸。「令之六日，有餘一尺二寸」者，若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺。課於九尺之垣，是為有餘一尺二寸。以盈、不足維乘假令之數者，欲為齊同之意。齊其假令，同其盈、朒。通計齊，即不盈不朒之正數，故可並以為實，並盈、不足為法。實如法而一，即設差不盈不朒之正數，即得日數。以瓜、瓠一日之長乘之，故各得其長之數也。 【注釋】 〔1〕將假令故米2斗，不足2升，假令3斗，盈2升代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 〔2〕蔓（wàn）：細長而不能直立的莖，木本曰藤，草本曰蔓。李籍云：「瓜蔓也。」 〔3〕瓠（hù）：蔬菜名，一年生草本，莖蔓生。結實呈長條狀者稱為瓠瓜，可入菜；呈短頸大腹者就是葫蘆。 〔4〕此謂將假令5日，不足5寸，假令6日，盈12寸代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 【譯文】 假設有米在容積為10斗的桶中，不知道其數量。把桶中添滿粟，然後舂成米，得到7斗米。問：原有的米是多少？ 答：2斗5升。 術曰：以盈不足術求解之。假令原來的米是2斗，那麼不足2升；假令是3斗，則盈餘2升。按：此桶能容納1斛米，如果假令原來的米是2斗，必須添8斗粟才能盛滿它。8斗粟能得到4斗8升糲米，與7斗米相比較，是不足2升。如果使原來的米是3斗，必須添7斗粟才能盛滿它。7斗粟能得到4斗2升糲米，與7斗米相比較，是有盈餘2升。以盈、不足與假令之數交叉相乘，是想使其符合齊同的意義。所謂齊同，就是使假令相齊，使其盈、朒相同。整個地考慮齊，則就是既不盈也不朒之準確的數，所以可以將它們相加，作為實，將盈、不足相加作為法。實除以法，就得到原來的米的斗數，正是既不盈也不朒之準確的數。 假設有一堵牆，高9尺。一株瓜生在牆頂，它的蔓每日向下長7寸；又有一株瓠生在牆根，它的蔓每日向上長1尺。問：它們多少日後相逢？瓜與瓠的蔓各長多少？ 答： 術：假令5日相逢，不足5寸；假令6日相逢，盈餘1尺2寸。按：「假令5日相逢，不足5寸」，是因為瓜生長5日，向下垂伸的蔓是3尺5寸；瓠生長5日，向上延伸的蔓是5尺。與9尺高的牆相比較，這就是不足5寸。「假令6日相逢，盈餘1尺2寸」，是因為如果使瓜生長6日，向下垂伸的蔓是4尺2寸；瓠生長6日，向上延伸的蔓是6尺。與9尺高的牆相比較，這就是盈餘1尺2寸。以盈、不足與假令之數交叉相乘，是想使其符合齊同的意義。就是使假令相齊，使其盈、朒相同。整個地考慮齊，則就是既不盈也不朒之準確的數，所以可以將它們相加，作為實，將盈、不足相加作為法。實除以法，就得到相逢日數。以瓜、瓠一日所長的尺寸乘日數，就分別得到它們所長的尺寸。 今有蒲生一日〔1〕，長三尺；莞生一日〔2〕，長一尺。蒲生日自半；莞生日自倍。問：幾何日而長等？ 荅曰： 二日十三分日之六， 各長四尺八寸一十三分寸之六。 術曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有餘一尺七寸半〔3〕。按：「假令二日，不足一尺五寸」者，蒲生二日，長四尺五寸，莞生二日，長三尺，是為未相及一尺五寸，故曰不足。「令之三日，有餘一尺七寸半」者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是為過一尺七寸半，故曰有餘。以盈、不足乘除之，又以後一日所長各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之長也。故各增二日定長，即得其數〔4〕。 【注釋】 〔1〕蒲：香蒲，又稱蒲草，多年生水草，葉狹長，可以編制蒲蓆、蒲包、扇子。《說文解字》：「蒲，水艸也，可以作席。」 〔2〕莞（ɡuān）：蒲草類水生植物，俗名水蔥。《說文解字》：「莞，艸也，可以作席。」也指莞草編的蓆子。 〔3〕將假令2日，不足15寸，假令3日，盈寸代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得到 然而這個解是不準確的。由題設，蒲、莞皆以等比級數生長。設生長x日，則蒲長為，莞長（1-2x）÷（1- 2）。若要它們相等，x應滿足方程 整理得 （2x）2-7×2x+6=0 分解得 （2x-1）（2x-6）=0。 於是 2x=1， 2x=6。 第一式的解x=0，不合題意，捨去。對第二式兩端取對數， lg2x=lg6， 得 然而《九章算術》和劉徽都未認識到盈不足術對非線性問題只能給出近似解，不能得出精確解。不過，由於盈不足術實際上是一種線性插值方法，它對求解一些複雜的不容易計算其實根的方程，仍不失為一種有效的求解根的近似值的方法。如圖7-1，錢寶琮指出：在現在的高等數學教科書中，這種求方程實根的方法叫作「假借法」，也叫「弦位法」。我們不要數典忘祖，這個方法應該叫作「盈不足術」。 圖7-1　盈不足術 （采自錢寶琮《中國數學史話》） 〔4〕以莞的生長為例，2日莞生長1+2=3（尺）。第三日全天應當生長4尺，那麼日應當生長4尺×。故日生長。 【譯文】 假設有一株蒲，第一日生長3尺；一株莞第一日生長1尺。蒲的生長，後一日是前一日的；莞的生長，後一日是前一日的2倍。問：過多少日而它們的長才能相等？ 答： 過日其長相等， 各長4尺寸。 術：假令2日它們的長相等，則不足1尺5寸；假令3日，則有盈餘1尺寸。按：「假令2日它們的長相等，則不足1尺5寸」，是因為蒲生長2日，長是4尺5寸，莞生長2日，長是3尺，這是莞與蒲相差1尺5寸，所以說「不足」。「假令3日，則有盈餘1尺寸」，是因為蒲比前一日增長了寸，莞比前一日增長了4尺，這就是莞超過蒲1尺寸，所以說「有盈餘」。以盈不足術對之做乘除運算，即得日數。又以第三日蒲、莞所長的長度分別乘日數的分子，除以日數的分母，就分別得到第三日的分子所長的長度。所以各增加前二日所長的長度，就得到它們的長度數。 今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗〔1〕，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問：醇、行酒各得幾何？ 荅曰： 醇酒二升半， 行酒一斗七升半。 術曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有餘一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二〔2〕。據醇酒五升，直錢二十五；行酒一斗五升，直錢一十五。課於三十，是為有餘十。據醇酒二升，直錢一十；行酒一斗八升，直錢一十八。課於三十，是為不足二。以盈不足術求之。此問已有重設及其齊同之意也〔3〕。 今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。問：大、小器各容幾何？ 荅曰： 大器容二十四分斛之十三， 小器容二十四分斛之七。 術曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗〔4〕。按：大器容五斗，大器五容二斛五斗，以減三斛，餘五斗，即小器一所容，故曰小器亦五斗。小器五容二斛五斗，大器一，合為三斛。課於兩斛，乃多十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升，以減三斛，餘二斗五升，即小器一所容，故曰小器二斗五升。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合為一斛八斗。課於二斛，少二斗。故曰不足二斗。以盈、不足維乘除之。 【注釋】 〔1〕醇酒：酒味醇厚的美酒。李籍云：「厚酒也。」　　行（hánɡ）酒：指劣質酒。李籍云：「市酒也。」行，質量差。 〔2〕利用一種酒，比如醇酒進行假令，如果醇酒5升（則行酒1斗5升），盈餘10錢，如果醇酒2升（則行酒1斗8升），不足2錢，代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 〔3〕重設：雙重假設。 〔4〕利用一種器，比如大器進行假令，如果大器容5斗（則小器亦容5斗），盈餘10斗，如果大器容5斗5升（則小器容2斗5升），不足2斗，代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 則。此亦有雙重假設之意。 【譯文】 假設1斗醇酒值50錢，1斗行酒值10錢。現在用30錢買得2斗酒。問：醇酒、行酒各得多少？ 答： 醇酒升， 行酒1斗升。 術：假令買得醇酒5升，那麼行酒就是1斗5升，則有盈餘10錢；假令買得醇酒2升，那麼行酒就是1斗8升，則不足2錢。根據醇酒5升，值25錢；行酒是1斗5升，值15錢。與30錢相比較，這就是有盈餘10錢。根據醇酒2升，值10錢；行酒1斗8升，值18錢。與30錢相比較，這就是有不足2錢。以盈不足術求之。此問已經有雙重假設及其齊同的思想。 假設有5個大容器、1個小容器，容積共3斛；1個大容器、5個小容器，容積共2斛。問：大、小容器的容積各是多少？ 答： 大容器的容積是斛， 小容器的容積是斛。 術：假令1個大容器的容積是5斗，那麼1個小容器的容積也是5斗，則盈餘10斗；假令1個大容器的容積是5斗5升，那麼1個小容器的容積是2斗5升，則不足2斗。按：1個大容器的容積是5斗，5個大容器的容積就是2斛5斗，以減3斛，盈餘5斗，這就是1個小容器的容積，所以說1個小容器的容積也是5斗。5個小容器的容積是2斛5斗，與1個大容器合起來是3斛。與2斛相比較，就是多10斗。假令1個大容器的容積是5斗5升，5個大容器的容積合起來就是2斛7斗5升，以減3斛，剩餘2斗5升，這就是1個小容器的容積，所以說1個小容器的容積是2斗5升。1個大容器的容積是5斗5升，5個小容器的容積共是1斛2斗5升，合起來是1斛8斗。與2斛相比較，就是少2斗。所以說不足2斗。以盈、不足作交叉相乘，並作除法，即得容積。 今有漆三得油四，油四和漆五〔1〕。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和余漆。問：出漆、得油、和漆各幾何？ 荅曰： 出漆一斗一升四分升之一， 得油一斗五升， 和漆一斗八升四分升之三。 術曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有餘二升〔2〕。按：此術三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升〔3〕。余有二斗一升，則六升無油可和，故曰不足六升。令之出漆一斗二升，則易得油一斗六升，可和漆二斗〔4〕。於三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。見在油合和得漆二斗，則是有餘二升。以盈、不足維乘之，為實，並盈、不足為法。實如法而一，得出漆升數。求油及和漆者，四、五各為所求率，四、三各為所有率，而今有之，即得也〔5〕。 【注釋】 〔1〕油：指桐油，用油桐的果實榨出的油，與漆調和，成為油漆，家具的塗料。　　和（hé）：調和。 〔2〕將假令出漆9升，不足6升，出漆1斗2升，有盈餘2升，代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 〔3〕由今有術，9升漆易得油=9升×4÷3=12升。而再由今有術，12升油能和漆=12升×5÷4=15升。 〔4〕由今有術，1斗2升漆易得油=12升×4÷3=16升。而再由今有術，16升油能和漆=16升×5÷4=20升。 〔5〕應用今有術，由出漆升，求出易得的油：升×4÷3=15升。再由易得的油15升，應用今有術，求出所和的漆：15升×5÷4=升。 【譯文】 假設3份漆可以換得4份油，4份油可以調和5份漆。現在有3斗漆，想從其中分出一部分換油，使換得的油恰好能調和剩餘的漆。問：分出的漆、換得的油、調和的漆各多少？ 答： 分出的漆1斗升， 換得的油1斗5升， 調和的漆1斗升。 術：假令分出的漆是9升，則不足6升；假令分出的漆是1斗2升，則有盈餘2升。按：此術在3斗的漆中分出9升，換得的油是1斗2升，它可調和1斗5升漆。剩餘的漆有2斗1升，就是說有6升漆沒有油可以調和，所以說不足6升。假令分出的漆是1斗2升，則換得的油是1斗6升，它可以調和2斗漆。在3斗漆之中已分出1斗2升，還剩餘1斗8升。現在的油能調和的漆是2斗，就是說剩餘2升漆。以盈、不足與假令交叉相乘，作為實，將盈、不足相加作為法。實除以法，而得到分出的漆的升數。如果要求換得的油及所調和的漆，則以4，5分別作為所求率，4，3各為所有率，而應用今有術，即得到結果。 今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，並重十一斤。問：玉、石重各幾何？ 荅曰： 玉一十四寸，重六斤二兩， 石一十三寸，重四斤一十四兩。 術曰：假令皆玉，多十三兩；令之皆石，不足一十四兩。不足為玉，多為石。各以一寸之重乘之，得玉、石之積重〔1〕。立方三寸是一面之方，計積二十七寸〔2〕。玉方一寸重七兩，石方一寸重六兩，是為玉、石重差一兩。假令皆玉，合有一百八十九兩。課於一十一斤，有餘一十三兩。玉重而石輕，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸損一兩，則以為石重，故言多為石。言多之數出於石以為玉。假令皆石，合有一百六十二兩。課於十一斤，少十四兩。故曰不足。此不足即以重為輕，故令減少數於石重〔3〕，即二十七寸之中有十四寸，寸增一兩也。 【注釋】 〔1〕此問實際上沒有用到盈不足術，將其編入此章，大約是編者的疏忽。 〔2〕立方三寸：是指以3寸為邊長的正方體，其體積是27寸3。 〔3〕石重：指以玉為石後石之總重，亦即玉石並重。 【譯文】 假設一塊1寸見方的玉，重是7兩；1寸見方的石頭，重是6兩。現在有一塊3寸見方的石頭，中間有玉，總重是11斤。問：其中玉和石頭的重量各是多少？ 答： 玉是14寸3，重6斤2兩， 石是13寸3，重4斤14兩。 術：假令這塊石頭都是玉，就多13兩；假令都是石頭，則不足14兩。那麼不足的數就是玉的體積，多的數就是石頭的體積。各以它們1寸3的重量乘之，便分別得到玉和石頭的重量。3寸見方的立方是說一邊長3寸，計算其體積是27寸3。1寸見方的玉重7兩，1寸見方的石頭重6兩，就是說1寸見方的玉與石頭的重量之差是1兩。假令這塊石頭都是玉，應該有189兩重。與11斤相比較，有盈餘13兩。玉比較重而石頭比較輕，所以才有此盈餘。就是說27寸3之中有13寸3，如果每寸3減損1兩，就成為石頭的重量，所以說多的數就是石頭的體積。所說的多的數出自把石頭當作了玉。假令這塊石頭都是石頭，應該有162兩。與11斤相比較，少了14兩。所以說不足。這個不足就是把重的作為輕的造成的，因而從石頭的總重中減去少了的數，就是27寸3之中有14寸3，每寸3增加1兩。 今有善田一畝，價三百；惡田七畝〔1〕，價五百。今並買一頃，價錢一萬。問：善、惡田各幾何？ 荅曰： 善田一十二畝半， 惡田八十七畝半。 術曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢七分錢之二；令之善田一十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三〔2〕。按：善田二十畝，直錢六千；惡田八十畝，直錢五千七百一十四、七分錢之二。課於一萬，是多一千七百一十四、七分錢之二。令之善田十畝，直錢三千，惡田九十畝，直錢六千四百二十八、七分錢之四。課於一萬，是為不足五百七十一、七分錢之三。以盈不足術求之也。 【注釋】 〔1〕善田：良田。　　惡田：又稱為「惡地」，貧瘠的田地。李籍云：惡，「不善也」。 〔2〕此亦有雙重假設之意。將兩假令，比如假令善田20畝（則惡田80畝），盈餘錢，假令善田10畝（則惡田90畝），不足錢代入盈不足術求不盈不朒的正數的公式（7-1），得 因此惡田=100畝-畝=畝。 【譯文】 假設1畝良田，價是300錢；7畝劣田，價是500錢。現在共買1頃田，價錢是10 000錢。問：良田、劣田各多少？ 答： 良田是畝， 劣田是畝。 術：假令良田是20畝，那麼劣田是80畝，則價錢多了錢；假令良田是10畝，那麼劣田是90畝，則價錢不足錢。按：良田20畝，值錢6 000錢；劣田80畝，值錢錢。與10 000錢相比較，這就是多了錢。假令良田10畝，值錢3 000，劣田90畝，值錢錢。與10 000錢相比較，這就是不足錢。以盈不足術求解之。 今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重，適等。交易其一，金輕十三兩。問：金、銀一枚各重幾何？ 荅曰： 金重二斤三兩一十八銖， 銀重一斤一十三兩六銖。 術曰：假令黃金三斤，白銀二斤一十一分斤之五，不足四十九，於右行。令之黃金二斤，白銀一斤一十一分斤之七，多一十五，於左行。以分母各乘其行內之數，以盈、不足維乘所出率，並，以為實。並盈、不足為法。實如法，得黃金重〔1〕。分母乘法以除，得銀重〔2〕。約之得分也。按：此術假令黃金九，白銀一十一，俱重二十七斤。金，九約之，得三斤；銀，一十一約之，得二斤一十一分斤之五，各為金、銀一枚重數。就金重二十七斤之中減一金之重，以益銀，銀重二十七斤之中減一銀之重，以益金，則金重二十六斤一十一分斤之五，銀重二十七斤一十一分斤之六。以少減多，則金輕一十七兩一十一分兩之五。課於一十三兩，多四兩一十一分兩之五。通分內子言之，是為不足四十九〔3〕。又令之黃金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤，白銀一十一，亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一枚一斤一十一分斤之七，為銀一枚之重數。今就金重一十八斤之中減一枚金，以益銀，復減一枚銀，以益金，則金重一十七斤一十一分斤之七，銀重一十八斤一十一分斤之四。以少減多，即金輕一十一分斤之八。課於一十三兩，少一兩一十一分兩之四。通分內子言之，是為多一十五〔4〕。以盈不足為之，如法，得金重〔5〕。「分母乘法以除」者，為銀兩分母故同之〔6〕。須通法而後乃除得銀重。余皆約之者，術省故也。 【注釋】 〔1〕《九章算術》的方法是 將黃金3斤，不足49，黃金2斤，盈餘15代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 〔2〕將白銀斤，不足49，白銀斤，盈餘15代入盈不足術求不盈不朒之正數的公式（7-1），得 〔3〕這是劉徽闡釋《九章算術》術文「不足四十九」的來源。假令9枚金，或11枚白銀，其重量都是27斤。換言之，1枚金重3斤，1枚銀重斤。在9枚金重的27斤中減去1枚金重，加1枚銀重，則；在11枚銀重的27斤中減去1枚銀重，加1枚金重，則。以小減大，，與題設中的金這邊輕13兩相比較，，通分內子，為，所以說不足為49。 〔4〕這是劉徽闡釋《九章算術》術文「多一十五」的來源：假令9枚黃金，1枚重2斤，9枚重18斤。11枚白銀，也重18斤，斤。在9枚金重的18斤中減去1枚金重，加1枚銀重，則；在11枚銀重的18斤中減去1枚銀重，加1枚金重，則。以小減大，，與題設中的金這邊輕13兩相比較，，通分內子，為兩，所以說多15。 〔5〕「以盈不足為之」三句：以盈不足術解決之，如法計算，便得到1枚黃金的重量。 〔6〕「分母乘法以除」者，為銀兩分母故同之：「以分母乘法，以除實」，是因為所出白銀的兩分母本來是相同的。 【譯文】 假設有9枚黃金，11枚白銀，稱它們的重量，恰好相等。交換其一枚，黃金這邊輕13兩。問：1枚黃金、1枚白銀各重多少？ 答： 1枚黃金重2斤3兩18銖， 1枚白銀重1斤13兩6銖。 術：假令1枚黃金重3斤，1枚白銀重斤，不足是49，布置於右行。假令1枚黃金重2斤，1枚白銀重斤，多是15，布置於左行。以分母分別乘各自行內之數，以盈、不足與所出率交叉相乘，相加，作為實。將盈、不足相加，作為法。實除以法，得1枚黃金的重量。以分母乘法，以除實，便得到1枚白銀的重量。將它們約簡，得到分數。按：此術中假令9枚黃金，11枚白銀，重量都是27斤。黃金的重量，以9約之，得3斤；白銀的重量，以11約之，得斤，分別是1枚黃金、白銀的重量數。在黃金的重量27斤之中減去1枚黃金的重量，再加1枚白銀的重量，在白銀的重量27斤之中減去1枚白銀的重量，再加1枚黃金的重量，就是黃金這邊重斤，白銀這邊重斤。以小減大，那麼黃金這邊輕兩。與13兩相比較，多了兩。通過通分納入分子表示之，這就是不足49。又假令9枚黃金，1枚重2斤，9枚重18斤，11枚白銀總重也應該是18斤。於是以11除之，得到1枚斤，為1枚白銀的重量數。現在在黃金的重量18斤之中減去1枚黃金的重量，增加到白銀的重量上，再從白銀的重量中減去1枚白銀的重量，增加到黃金的重量上，就是黃金這邊重斤，白銀這邊重斤。以小減大，就是黃金這邊輕斤。與13兩相比較，少了兩。通過通分納入分子表示之，這就是多15。以盈不足術解決之，如法計算，便得到1枚黃金的重量。「以分母乘法，以除實」，是因為所出白銀的兩分母本來是相同的，必須使法相通之後才能除實，得到1枚白銀的重量。其餘的都要約簡，是要方法簡省的緣故。 今有良馬與駑馬髮長安〔1〕，至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增一十三里，駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問：幾何日相逢及各行幾何？ 荅曰： 一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢， 良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六，駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。 術曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數，並而為實。並盈、不足為法。實如法而一，得日數。不盡者，以等數除之而命分〔2〕。　　求良馬行者：十四乘益疾里數而半之，加良馬初日之行里數，以乘十五日，得良馬十五日之凡行〔3〕。又以十五乘益疾里數，加良馬初日之行〔4〕。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良馬凡行里數，即得〔5〕。其不盡而命分。　　求駑馬行者：以十四乘半里，又半之，以減駑馬初日之行里數，以乘十五日，得駑馬十五日之凡行〔6〕。又以十五日乘半里，以減駑馬初日之行〔7〕。余，以乘日分子，如日分母而一。所得，加前里，即駑馬定行里數〔8〕。其奇半里者，為半法，以半法增殘分，即得。其不盡者而命分〔9〕。按：令十五日，不足三百三十七里半者，據良馬十五日凡行四千二百六十里，除先去齊三千里，定還迎駑馬一千二百六十里。駑馬十五日凡行一千四百二里半。並良、駑二馬所行，得二千六百六十二里半。課於三千里，少三百三十七里半，故曰不足。令之十六日，多一百四十里者，據良馬十六日凡行四千六百四十八里，除先去齊三千里，定還迎駑馬一千六百四十八里。駑馬十六日凡行一千四百九十二里。並良、駑二馬所行，得三千一百四十里。課於三千里，余有一百四十里，故謂之多也。以盈不足之。「實如法而一，得日數」者，即設差不盈不朒之正數。以二馬初日所行里乘十五日，為一十五日平行數〔10〕。求初末益疾減遲之數者，並一與十四，以十四乘而半之，為中平之積〔11〕；又令益疾減遲里數乘之，各為減益之中平里，故各減益平行數，得一十五日定行里〔12〕。若求後一日，以十六日之定行里數乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里數。故各並十五日定行里，即得。其駑馬奇半里者，法為全里之分，故破半里為半法，以增殘分，即合所問也。 【注釋】 〔1〕駑馬：能力低下的馬。駑，李籍引《字林》曰：「駘也。」駘（tái），劣馬。 〔2〕假令16日相逢，盈140里，假令15日，不足里，將其代入盈不足術之不盈不朒之正數公式（7-1），得 然而，此問亦非線性問題，答案也是近似的。由下文所給出的等差數列求和公式（7-7），設良、駑二馬n日相逢，則良馬所行為 駑馬所行為 依題設 整理得 5n2+227n=4 800， 為相逢日。 〔3〕設良馬日疾里數為d，第n日所行為an，《九章算術》計算良馬15日所行里數為 《九章算術》實際上使用了等差數列求和公式： 這是中國數學史上第一次有記載的等差數列求和公式。 〔4〕又以十五乘益疾里數，加良馬初日之行：此給出了良馬在第16日所行里數，則 a16=a1+15×d=193+15×13=388（里）。 這裡實際上使用了等差數列的通項公式 an=a1+nd。 這是中國數學史上第一次有記載的等差數列通項公式。 〔5〕《九章算術》先計算出良馬在第16日的中所行為。良馬在日中共行。 〔6〕設駑馬日減里數為e，第n日所行為bn，《九章算術》計算駑馬15日所行里數為 〔7〕此得駑馬第16日所行里數 〔8〕駑馬在第16日的中所行為，那麼駑馬在日中共行。 〔9〕其不盡者而命分：如果除不盡，就以法作分母命名一個分數。 〔10〕平行：勻速行進。平，齊一，均等。《詩經·小雅·伐木》：「神之聽之，終和且平。」鄭玄箋：「平，齊等也。」 〔11〕求初末益疾減遲之數：就是求從第1日到最後1日增加的或減少的里數。疾，急速。　　中平之積：各項平均值之和，即，實際上是自然數列1，2，3，……n-1之和。這是中國數學史上第一次出現此公式，即後來宋元時期的茭草形垛的求積公式。中平，平均。見卷一圭田術注釋〔8〕。 〔12〕劉徽給出了等差數列前n項之和公式的另一形式 【譯文】 假設有良馬與劣馬自長安出發到齊。齊距長安有3 000里。良馬第1日走193里，每日增加13里，劣馬第1日走97里，每日減少里。良馬先到達齊，又回頭迎接劣馬。問：它們幾日相逢及各走多少？ 答： 日相逢， 良馬走里， 劣馬走里。 術：假令它們15日相逢，不足里。假令16日相逢，多了140里。以盈、不足與假令之數交叉相乘，相加而作為實。將盈、不足相加作為法。實除以法，而得到相逢日數。如果除不盡，就以等數約簡之而命名一個分數。　　求良馬走的里數：以14乘每日增加的里數而除以2，加良馬第1日所走的里數，以15日乘之，便得到良馬15日走的總里數。又以15乘每日增加的里數，加良馬第1日所走的里數。以此乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的結果，加良馬前面走的總里數，就得到良馬所走的確定里數。如果除不盡就命名一個分數。　　求劣馬走的里數：以14乘里，又除以2，以減劣馬第1日所走的里數，以此乘15日，便得到劣馬15日走的總里數。又以15日乘里，以此減劣馬第1日所走的里數。以其餘數乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的結果，加劣馬前面走的總里數，就是劣馬所走的確定里數。其奇零是里的，就以2作為法，將以2為法的分數加到剩餘的分數上，即得到結果。如果除不盡，就命名一個分數。按，「假令它們15日相逢，不足里」，這是因為，根據良馬15日所總共走4 260里，減去它先到齊的3 000里，那麼回頭迎接劣馬一定是1 260里。劣馬15日總共走里。良、劣二馬所走的里數相加，得到里。與3 000里相比較，少了里，所以說不足。「假令16日相逢，多了140里」，這是因為，根據良馬16日總共走4 648里，減去它先到齊的3 000里，那麼回頭迎接劣馬一定是1 648里。劣馬16日總共走1 492里。將良、劣二馬所走的里數相加，得到3 140里。與3 000里相比較，有盈餘140里，所以叫作多。以盈不足術求解之。「實除以法，而得到相逢日數」，就是把本來有設差的數變成了不盈不朒的準確的數。以良、劣二馬第1日所走的里數乘15日，就是15日按勻速所走的里數。如果求從第1日到最後1日增加的或減少的里數，就將1與14相加，以14乘之而除以2，就是各項平均值之和。又以每日增加或減少的里數乘之，各為增加或減少的中平里數，所以，將它分別與按勻速所走的里數相加或相減，就得到15日所走的確定的里數。如果求最後一日到某時刻所走的里數，則以第16日所走的確定的里數乘第16日的分子，除以該日的分母，就分別得到在該日分子內所走的確定的里數。故分別與15日所走的確定的里數相加，即得到良、劣二馬所走的里數。當劣馬所走里數有里的奇零時，法是由1整里的分數產生的，所以以2破開1里，以2作為法，增加到剩餘產生的分數上，即符合所問的問題。 今有人持錢之蜀賈〔1〕，利：十，三〔2〕。初返，歸一萬四千；次返，歸一萬三千；次返，歸一萬二千；次返，歸一萬一千；後返，歸一萬。凡五返歸錢，本利俱盡。問：本持錢及利各幾何？ 荅曰： 本三萬四百六十八錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六，利二萬九千五百三十一錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。 術曰：假令本錢三萬，不足一千七百三十八錢半；令之四萬，多三萬五千三百九十錢八分〔3〕。按：假令本錢三萬，並利為三萬九千，除初返歸留，余，加利為三萬二千五百；除二返歸留，余，又加利為二萬五千三百五十；除第三返歸留，余，又加利為一萬七千三百五十五；除第四返歸留，余，又加利為八千二百六十一錢半；除第五返歸留，合一萬錢，不足一千七百三十八錢半〔4〕。若使本錢四萬，並利為五萬二千，除初返歸留，余，加利為四萬九千四百；除第二返歸留，余，又加為利四萬七千三百二十，除第三返歸留，余，又加利為四萬五千九百一十六；除第四返歸留，余，又加利為四萬五千三百九十錢八分；除第五返歸留，合一萬，餘三萬五千三百九十錢八分，故曰多〔5〕。　　又術：置後返歸一萬，以十乘之，十三而一，即後所持之本。加一萬一千，又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一萬二千，又以十乘之，十三而一，即第三返之本。加一萬三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一萬四千，又以十乘之，十三而一，即初持之本〔6〕。並五返之錢以減之，即利也〔7〕。 【注釋】 〔1〕之蜀賈（ɡǔ）：到蜀地做買賣。賈，做買賣。《說文解字》：「賈，市也。」《韓非子·五蠹》：「長袖善舞，多錢善賈。」李籍云：「賈，一本作『價』。」知李籍時代還有一將「賈」訛作「價」的抄本。 〔2〕利：十，三：即的利息，本利之和=本錢×。 〔3〕將假令本錢為30 000錢，不足錢，假令本錢為40 000錢，盈餘錢代入盈不足術求不盈不朒的正數的公式（7-1），則 〔4〕假令本錢是30 000錢，初返本利為錢。歸留14000錢，餘25 000錢。二返本利為錢。歸留13 000錢，餘19 500錢。三返本利為錢。歸留12 000錢，餘13 350錢。四返本利為錢。歸留11 000錢，餘6 355錢。五返本利為錢。除去第五返歸留10 000錢，，所以說不足錢。 〔5〕假令本錢是40 000錢，初返本利為錢。歸留14000錢，餘38 000錢。二返本利為錢。歸留13 000錢，餘36400錢。三返本利為錢。歸留12 000錢，餘35 320錢。四返本利為錢。歸留11 000錢，餘34 916錢。五返本利為。除去第五返歸留10 000錢，，所以說盈餘錢。 〔7〕劉徽提出的求利息的方法是 【譯文】 假設有人帶著錢到蜀地做買賣，利潤是：每10，可得3。第一次返回留下14 000錢，第二次返回留下13 000錢，第三次返回留下12 000錢，第四次返回留下11 000錢，最後一次返回留下10 000錢。第五次返回留下錢之後，本、利俱盡。問：原本帶的錢及利潤各多少？ 答： 本錢是錢， 利潤是錢。 術：假令本錢是30 000錢，則不足是錢；假令本錢是40 000錢，則多了錢。按：假令本錢是30 000錢，加利潤為39 000錢，減去第一次返回留下的錢，餘數加利潤為32 500錢；減去第二次返回留下的錢，餘數又加利潤為25 350錢；減去第三次返回留下的錢，餘數又加利潤為17 355錢；減去第四次返回留下的錢，餘數又加利潤為錢；減去第五次返回留下的錢，應當為10 000錢，則不足錢。若本錢為40 000錢，加利潤為52 000錢，減去第一次返回留下的錢，餘數加利潤為49 400錢；減去第二次返回留下的錢，餘數又加利潤為47 320錢；減去第三次返回留下的錢，餘數又加利潤為45 916錢；減去第四次返回留下的錢，餘數又加利潤為錢；減去第五次返回留下的錢，應當為10 000錢，盈餘是錢，所以叫作多。 又術：布置最後一次返回留下的10 000錢，乘以10，除以13，就是最後一次所帶的本錢。加11 000錢，又乘以10，除以13，就是第四次所帶的本錢。加12 000錢，又乘以10，除以13，就是第三次所帶的本錢。加13 000錢，又乘以10，除以13，就是第二次所帶的本錢。加14 000錢，又乘以10，除以13，就是初次所帶的本錢。將五次返回所留下的錢相加，以此減之，就是利潤。 今有垣厚五尺，兩鼠對穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍〔1〕，小鼠日自半〔2〕。問：幾何日相逢？各穿幾何？ 荅曰： 二日一十七分日之二。 大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二， 小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。 術曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有餘三尺七寸半〔3〕。大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸，並大鼠所穿，合四尺五寸。課於垣厚五尺，是為不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半，並之，以減垣厚五尺，有餘三尺七寸半。以盈不足術求之，即得。以後一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所問也。 【注釋】 〔1〕日自倍：後一日所穿是前一日的2倍，則各日所穿是以2為公比的遞升等比數列。 〔2〕日自半：後一日所穿是前一日的倍，則各日所穿是以為公比的遞減等比數列。 〔3〕將假令2日，不足5寸，假令3日，盈餘寸代入盈不足術求不盈不朒的正數的公式（7-1），則 然此亦為近似解。求其準確解的方法是：設二鼠n日相逢，則大小鼠所穿分別為 由題設 整理得 22n-4×2n-2=0， 於是 【譯文】 假設有一堵牆，5尺厚，兩隻老鼠相對穿洞。大老鼠第一日穿1尺，小老鼠第一日也穿1尺。大老鼠每日比前一日加倍，小老鼠每日比前一日減半。問：它們幾日相逢？各穿多長？ 答： 日相逢， 大老鼠穿3尺寸， 小老鼠穿1尺寸。 術：假令兩隻老鼠2日相逢，不足5寸；假令3日相逢，有盈餘3尺寸。大老鼠每日比前一日加倍，2日應當穿3尺；小老鼠每日比前一日減半，那麼2日應當穿1尺5寸。加上大老鼠所穿的，總共應當是4尺5寸。與牆厚5尺相比較，這就是不足5寸。假令3日相逢，大老鼠穿得7尺，小老鼠穿得1尺寸。兩者相加，以減牆厚5尺，有盈餘3尺寸。以盈不足術求解之，即得相逢日數。以最後一日兩隻老鼠所穿的長度分別乘該日的分子，除以該日的分母，各得兩隻老鼠該日的分子之中所穿的長度。所以，以它們分別加2日所穿的長度，就符合所問的問題。