九章算術譯註 · 九章算術卷第六

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 均輸〔1〕以御遠近勞費〔2〕 今有均輸粟〔3〕：甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘〔4〕。欲以道里遠近、戶數多少衰出之〔5〕。問：粟、車各幾何？ 荅曰： 甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。 乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。 丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。 丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。 術曰：令縣戶數各如其本行道日數而一，以為衰〔6〕。按：此均輸，猶均運也。令戶率出車，以行道日數為均，發粟為輸。據甲行道八日，因使八戶共出一車；乙行道十日，因使十戶共出一車……計其在道，則皆戶一日出一車〔7〕，故可為均平之率也。　　臣淳風等謹按：縣戶有多少之差，行道有遠近之異。欲其均等，故各令行道日數約戶為衰。行道多者少其戶，行道少者多其戶。故各令約戶為衰。以八日約除甲縣，得一百二十五，乙、丙各九十五，丁六十一。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，以賦粟車數為所有數，而今有之，各得車數〔8〕。一旬除乙，十三除丙，各得九十五；二旬除丁，得六十一也。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一〔9〕，副並為法〔10〕。以賦粟車數乘未並者，各自為實〔11〕。衰分，科率〔12〕。實如法得一車〔13〕。各置所當出車，以其行道日數乘之，如戶數而一，得率：戶用車二日四十七分日之三十一，故謂之均〔14〕。求此戶以率，當各計車之衰分也〔15〕。有分者，上下輩之。輩，配也。車、牛、人之數不可分裂。推少就多，均賦之宜〔16〕。今按：甲分既少，宜從於乙。滿法除之，有餘從丙。丁分又少，亦宜就丙，除之適盡。加乙、丙各一，上下輩益，以少從多也〔17〕。以二十五斛乘車數，即粟數〔18〕。 【注釋】 〔1〕均輸：中國古代處理合理負擔的重要數學方法，九數之一。李籍云：「均，平也。輸，委也。以均平其輸委，故曰均輸。」均輸法源於何時，尚不能確定。1983年底湖北江陵張家山漢墓出土《算數書》竹簡的同時，出土了均輸律，否定了均輸源於桑弘羊均輸法的成說。《鹽鐵論·本議篇》載賢良文學們批評桑弘羊的均輸法時說：「蓋古之均輸，所以齊勞逸而便貢輸，非以為利而賈萬物也。」可見先秦已有均輸法。《九章算術》中的均輸問題與此庶幾相近，而與桑弘羊的均輸法有所不同。《周禮·地官·司徒》云：「均人掌均地政，均地守，均地職，均人民牛馬車輦之力政。」鄭玄註：「政，讀為征。地征謂地守、地職之稅也。地守，衡虞之屬；地職，農圃之屬。力政，人民則治城郭塗巷溝渠，牛馬車輦則轉委積之屬。」實際上都是討論合理負擔的均輸問題。因此，九數中的均輸類起源於先秦是無疑的。不過，《九章算術》的均輸章28個問題中，只有前4個問題是典型的均輸問題，後24個問題是算術難題，大約是西漢張蒼、耿壽昌整理《九章算術》時補充進去的。 〔2〕勞費：李籍云：「耗也。」 〔3〕此問是向各縣徵調粟米時徭役的均等負擔問題。 〔4〕乘（shènɡ）：車輛，或指四馬一車。《左傳·隱公元年》：「繕甲兵，具卒乘。」杜預註：「步曰卒，車曰乘。」《莊子·列禦寇》：「王悅之，益車百乘。」成玄英疏：「乘，駟馬也。」也指配有一定數量士兵的兵車。李籍云：「數車曰乘。一本作『量』。」知李籍時代還有一作「量」的抄本。疑「量」系「輛」的假借字。 〔5〕要求各縣按距離遠近和戶數多少確定的比例出粟和車。 〔6〕記各縣行道日數為ai，戶數為bi，則，i=1，2，3，4，就是各縣出車與出粟的列衰。 〔7〕以行道日數除戶數，就使每戶一日出一車，所以可以做到各戶負擔均等。 〔8〕李淳風等將其歸結為今有術：副並為所有率，未並者各為所求率，i=1，2，3，4，以賦粟車數A為所有數。 〔10〕副並：在旁邊相加。副，見卷一約分術注釋〔13〕。此謂在旁邊將列衰相加，得作為法。 〔12〕衰分，科率：列衰，徵稅的率。此謂以賦粟車數A乘未相加的列衰，得，就是徵調車數的率。科，課稅，徵稅。 〔13〕記各縣出車數為Ai，i=1，2，3，4，則 於是 〔14〕戶用車二日四十七分日之三十一，故謂之均：每戶用車都是日，所以稱之為均。此謂以為戶率。戶率都是日，所以實現了均等負擔。 〔15〕求此戶以率，當各計車之衰分：用率來求該戶的出車數，應當計算各自車數的衰分。 〔16〕均輸諸術提出車、牛、人數不可以是分數，必須搭配成整數。這與商功章的人數可以是分數不同，既反映了兩者編纂時代不同，也反映了均輸諸術的實用性更強。搭配的原則是分數小的，併到分數大的。 〔17〕甲、乙、丙、丁四縣出車的奇零部分依次是。將甲、丁縣的奇零部分併入乙、丙二縣，則四縣出車依次是：3 324，2 526，2 526，1 622。 〔18〕250 000斛，用車10 000乘，則1乘車運送25斛。故以25斛乘各縣出車數，即得各縣出粟數。 【譯文】 均輸為了處理遠近勞費的問題 假設要均等地輸送粟：甲縣有10 000戶，需在路上走8日；乙縣有9 500戶，需在路上走10日；丙縣有12 350戶，需在路上走13日；丁縣有12 200戶，需在路上走20日，才能分別將粟輸送到輸所。四縣的賦共應當輸送粟250 000斛，用10 000乘車。欲根據道里的遠近、戶數的多少按比例出粟與車。問：各縣所輸送的粟、所用的車各是多少？ 答： 甲縣輸粟83 100斛，用車3 324乘。 乙縣輸粟63 175斛，用車2 527乘。 丙縣輸粟63 175斛，用車2 527乘。 丁縣輸粟40 550斛，用車1 622乘。 術：布置各縣的戶數，分別除以它們各自需在路上走的日數，作為衰。按：此處均輸，就是均等輸送。使每戶按戶率出車，就以需在路上走的日數實現均等，而以各縣發送粟作為輸。根據甲縣需在路上走8日，所以就使8戶共出一車；乙縣需在路上走10日，所以就使10戶共出一車……計算它們在路上的勞費，則都是1戶1日出1車，所以可以用來實現均平之率。　　淳風等按：各縣的戶數有多少的差別，走的路有遠近的不同。欲使它們的勞費均等，就分別用需在路上走的日數除各自的戶數作為列衰——需在路上走的日數多的就減少其戶數，需在路上走的日數少的就增加其戶數。所以分別以走的日數除戶數作為列衰。以8日除甲縣戶數，得125，乙、丙縣各95，丁縣61。對於今有術，在旁邊將它們相加作為所有率，沒有相加的各自作為所求率，以輸送作為賦稅的粟所共用的車數作為所有數，應用今有術，分別得到各縣所用的車數。——以10日除乙縣的戶數，13除丙縣的戶數，各自得到95；以20日除丁縣的戶數，得到61。甲縣的衰是125，乙、丙縣的衰各是95，丁縣的衰61，在旁邊將它們相加，作為法。以輸送作為賦稅的粟所共用的車數分別乘未相加的衰，各自作為實。衰分，就是分配繳納的賦稅的率。實除以法，得到各縣所應出的車數。分別布置各縣所應當出的車數，以各自需在路上走的日數乘之，除以各自的戶數，得到率：每戶用車為日，所以叫作均等。用率來求該戶的出車數，應當計算各自出車數的衰分。如果出現分數，就將它們上下輩之。輩，就是搭配。車、牛、人的數量不可有分數。就將少的加到多的上，這是使賦稅均等的權宜做法。今按：甲縣的分數部分既然少，加到乙上比較適宜。滿了法就做除法，其餘數加到丙上。丁縣的分數部分又少，也加到丙上比較適宜，恰好除盡。給乙、丙縣各加1，上下搭配增益，就是以少的加到多的上。以25斛乘各自出的車數，即是各縣所輸送的粟數。 今有均輸卒〔1〕：甲縣一千二百人，薄塞〔2〕；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十人，行道五日。凡五縣，賦輸卒一月一千二百人。欲以遠近、人數多少衰出之。問：縣各幾何？ 荅曰： 甲縣二百二十九人。 乙縣二百八十六人。 丙縣二百二十八人。 丁縣一百七十一人。 戊縣二百八十六人。 術曰：令縣卒各如其居所及行道日數而一，以為衰〔3〕。按：此亦以日數為均，發卒為輸。甲無行道日，但以居所三十日為率。言欲為均平之率者，當使甲三十人而出一人，乙三十一人而出一人〔4〕……「出一人」者，計役則皆一人一日，是以可為均平之率〔5〕。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五〔6〕，副並為法〔7〕。以人數乘未並者各自為實〔8〕。實如法而一〔9〕。為衰，於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，以賦卒人數為所有數〔10〕。此術以別〔11〕，考則意同。以廣異聞，故存之也〔12〕。各置所當出人數，以其居所及行道日數乘之，如縣人數而一，得率：人役五日七分日之五〔13〕。有分者，上下輩之。輩，配也。今按：丁分最少，宜就戊除。不從乙者，丁近戊故也。滿法除之，有餘從乙。丙分又少，亦就乙除。有餘從甲，除之適盡。從甲、丙二分，其數正等。二者於乙遠近皆同，不以甲從乙者，方以下從上也〔14〕。 【注釋】 〔1〕此問是向各縣徵調兵役的均等負擔問題。 〔2〕薄塞：接近邊境。薄，接近，迫近。李籍云：「迫也。」又云：「薄，或作博，非是。」知當時還有一誤作「博」的抄本。塞，邊塞。李籍云：「邊也。」 〔3〕記各縣行道日數為ai，人數為bi，則，i=1，2，3，4，5，就是各縣出卒的列衰。其中30為一個月的日數。 〔4〕1月30日，甲無行道日，1人賦30日；乙行道1日，1人賦30日+1日=31日；丙行道2日，1人賦30日+2日=32日；丁行道3日，1人賦30日+3日=33日；戊行道5日，1人賦30日+5日=35日。為了得到均平之率，應當使甲、乙、丙、丁、戊各縣分別30人，31人，32人，33人，35人而出1人。 〔5〕計役則皆一人一日，是以可為均平之率：此以日數實現均等負擔，使每人服役1日。 〔9〕記各縣出卒數為Ai，i=1，2，3，4，5，則 於是 〔10〕劉徽將其歸結為今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，i=1，2，3，4，5，以出卒數A為所有數。 〔11〕以：古通「似」。漢初簡帛中「似」常作「以」。《馬王堆漢墓帛書·陰陽十一脈灸經》甲本「要以折」，「以」即「似」。 〔12〕劉徽在這裡意在提供不同的思路，以「廣異聞」。 〔14〕為了使車、牛、人之數都是整數，將答案進行調整的原則，除了上一問的以少從多外，還有以下從上，舍遠就近。甲、乙、丙、丁、戊五縣出卒的奇零部分依次是。丁縣的奇零部分最少，就近加到戊縣上，而不先加到較遠的乙縣上。戊縣加，得到1人之後余，加到乙縣上。其次是甲、丙縣最少，根據以下從上的原則，將丙縣的加到乙縣上，得到1人之後余，加到甲縣上，適盡。於是各縣出卒人數依次是甲縣229人，乙縣286人，丙縣228人，丁縣171人，戊縣286人。 【譯文】 假設要均等地輸送兵卒：甲縣有兵卒1 200人，逼近邊塞；乙縣有兵卒1 550人，需在路上走1日；丙縣有1 280人，需在路上走2日；丁縣有990人，需在路上走3日；戊縣有兵卒1 750人，需在路上走5日。五縣共應派出1 200人，戍邊一個月作為兵賦。欲根據道路的遠近、兵卒的多少按比例派出。問：各縣應派出多少兵卒？ 答： 甲縣229人。 乙縣286人。 丙縣228人。 丁縣171人。 戊縣286人。 術：布置各縣的兵卒數，分別除以在居所及需在路上走的日數，作為列衰。按：這裡也是以日數實現均等，派遣兵卒作為輸送的賦。甲縣沒有路上走的日數，只是以在居所的30日計算它的率。說欲得到均平之率，應當使甲縣每30人而派出1人，乙縣每31人而派出1人……而如果「那麼多人派出1人」，計算他們的勞役，則都是每1人服役1日，因此可以作為均平之率。甲縣的衰是4，乙縣的衰是5，丙縣的衰是4，丁縣的衰是3，戊縣的衰是5，在旁邊將它們相加作為法。以總的兵卒數乘未相加的衰，各自作為實。實除以法，就是各縣派出的兵卒數。算出它們的列衰，對於今有術，在旁邊將它們相加，作為所有率，未相加的各為所求率，以賦卒的人數作為所有數。此術與上術好像有差別，考察起來它們的意思是相同的。為了擴充見識，所以保存下來。分別布置各縣所應當派出的兵卒數，乘以他們在居所及需在路上走的日數，除以各縣的兵卒數，便得到率：每人服役為日。如果算出的兵卒數有分數，就將它們上下輩之。輩，就是搭配。今按：丁縣兵卒數的分數最少，將它加到戊縣的兵卒數上，做除法是適宜的。不先加到乙縣上，是丁縣距離戊縣近的緣故。滿了法就做除法，如果有餘數就加到乙縣。丙縣的分數又少，也加到乙縣，做除法。有餘數就加到甲縣上，做除法，恰好除盡。甲、丙二縣的分數，數值正好相等。二者與乙縣的遠近也都相同，不將甲縣的分數加到乙縣上的原因，正是以下從上。 今有均賦粟〔1〕：甲縣二萬五百二十戶，粟一斛二十錢，自輸其縣；乙縣一萬二千三百一十二戶，粟一斛一十錢，至輸所二百里；丙縣七千一百八十二戶，粟一斛一十二錢，至輸所一百五十里；丁縣一萬三千三百三十八戶，粟一斛一十七錢，至輸所二百五十里；戊縣五千一百三十戶，粟一斛一十三錢，至輸所一百五十里。凡五縣賦輸粟一萬斛。一車載二十五斛，與僦一里一錢〔2〕。欲以縣戶賦粟，令費勞等。問：縣各粟幾何？ 荅曰： 甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七。 乙縣二千三百八十斛二千八百七十三分斛之二千二百六十。 丙縣一千三百八十八斛二千八百七十三分斛之二千二百七十六。 丁縣一千七百一十九斛二千八百七十三分斛之一千三百一十三。 戊縣九百三十九斛二千八百七十三分斛之二千二百五十三。 術曰：以一里僦價乘至輸所里，此以出錢為均也。問者曰：「一車載二十五斛，與僦一里一錢。」一錢，即一里僦價也。以乘里數者，欲知僦一車到輸所所用錢也。甲自輸其縣，則無取僦價也。以一車二十五斛除之，欲知僦一斛所用錢。加以斛粟價，則致一斛之費〔3〕。加以斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢也。甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊十九也〔4〕。各以約其戶數，為衰〔5〕。言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛……計其所費，則皆戶一錢，故可為均賦之率也〔6〕。計經賦之率，既有戶算之率，亦有遠近貴賤之率。此二率者，各自相與通〔7〕。通則甲二十，乙十二，丙七，丁十三，戊五〔8〕。一斛之費謂之錢率。錢率約戶率者，則錢為母，戶為子。子不齊，令母互乘為齊，則衰也〔9〕。若其不然，以一斛之費約戶數，取衰。並有分，當通分內子約之，於算甚繁〔10〕。此一章皆相與通功共率，略相依似〔11〕。以上二率、下一率亦可放此，從其簡易而已〔12〕。　　又以分言之〔13〕，使甲一戶出二十分斛之一，乙一戶出十八分斛之一……各以戶數乘之，亦可得一縣凡所當輸，俱為衰也〔14〕。乘之者，乘其子，母報除之。以此觀之，則以一斛之費約戶數者，其意不異矣〔15〕。然則可置一斛之費而返衰之，約戶，以乘戶率為衰也〔16〕。合分注曰：「母除為率，率乘子為齊。」返衰注曰：「先同其母，各以分母約，其子為返衰。」以施其率，為算既約，且不妨處下也〔17〕。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十〔18〕，副並為法〔19〕。所賦粟乘未並者，各自為實〔20〕。實如法得一〔21〕。各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如戶數而一，得率：戶出三錢二千八百七十三分錢之一千三百八十一〔22〕。按：此以出錢為均。問者曰：「一車載二十五斛，與僦一里一錢。」一錢即一里僦價也。以乘里數者，欲知僦一車到輸所用錢。甲自輸其縣，則無取僦之價。「以一車二十五斛除之」者，欲知僦一斛所用錢。加一斛之價於一斛僦直，即凡輸粟取僦錢。甲一斛之費二十，乙、丙各十八，丁二十七，戊一十九。「各以約其戶，為衰」：甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。言使甲二十戶共出一斛，乙、丙十八戶共出一斛……計其所費，則皆戶一錢，故可為均賦之率也。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，賦粟一萬斛為所有數。此今有衰分之義也〔23〕。 【注釋】 〔1〕此問是向各縣徵收粟作為賦稅的均等負擔問題。 〔2〕僦（jiù）：租賃，雇。《史記·平準書》：「天下賦輸或不償其僦費。」司馬貞索隱：「服虔云：『雇載雲僦。』言所輸物不足償其雇載之費也。」 〔3〕此謂 致1斛之費=（1里僦價×里數）÷1車斛數+1斛粟價。（6-3） 〔4〕由（6-3）式求出各縣致1斛之費：甲縣致1斛之費=（1×0）÷25+20=20（錢），乙縣致1斛之費=（1×200）÷25+10=18（錢），丙縣致1斛之費=（1×150）÷25+12=18（錢），丁縣致1斛之費=（1×250）÷25+17=27（錢），戊縣致1斛之費=（1×150）÷25+13=19（錢）。 〔5〕記各縣致1斛之費為ai，戶數為bi，則，i=1，2，3，4，5，就是各縣出粟的列衰。 〔6〕此以錢數實現均等負擔。因為甲、乙、丙等縣的致1斛之費分別是20，18，18……所以依次使20戶，18戶，18戶……共出1斛，就使每戶出1錢，可以做到負擔均等。 〔7〕此問的複雜性在於，既要考慮戶算之率，又要考慮道里遠近，粟價貴賤的因素，使這幾個因素互相通達。 〔8〕各縣的戶數20 520，12 312，7 182，13 338，5 130。它們有公約數1 026，可以約簡為戶率20，12，7，13，5。 〔9〕「錢率約戶率者」六句：錢率約戶率就得到列衰，如果其中有分數，就通過齊同形成列衰。此處先以各縣致1斛之費分別約戶率，得到，，為列衰。通過齊同，化成1 026，684，399，494，270。 〔10〕此謂如果不使用戶率，直接以各縣致1斛之費約戶數，以作為列衰，則非常繁瑣。 〔11〕這一章的共性是通功共率。這大約是張蒼、耿壽昌等將此章後24問這些非均輸問題編入均輸章的原因。 〔12〕指上2問，下1問的率亦可仿此。 〔13〕以分言之：以分數表示。上面是從甲縣20戶共出1斛，乙、丙縣各是18戶共出1斛……計算的，都是以整數表示。下面以分數表示之，則甲縣1戶出斛，乙縣1戶出斛…… 〔14〕俱為衰：則各縣1戶出的斛數，分別以戶數乘之，亦可得到列衰。 〔15〕此謂這種方法與致1斛之費約戶數，實質上是相同的。 〔16〕「然則可置一斛之費而返衰之」三句：那麼可以布置繳納1斛的費用而對其應用返衰術，因為要以各縣繳納1斛的費用除戶數，所以分別乘各縣的戶率作為衰。按：由衰分術（3-1），各縣出粟 與返衰術（3-2）相比較，這是以bia1a2…ai-1ai+1…an，i=1，2，3，4，5為列衰，顯然是以bi乘a1a2…ai-1ai+1…an。 〔17〕處下：處理下面的問題。處，處置，處理。 〔19〕在旁邊將列衰相加，得作為法。 〔20〕以所賦粟乘未並者，各自為實：即，i=1，2，3，4，5，分別為各縣的實： 〔21〕記各縣出粟數為Ai，i=1，2，3，4，5，則 於是 〔23〕劉徽將其歸結為今有術：副並為所有率，未並者各為所求率，i=1，2，3，4，5，以出粟數A為所有數。 【譯文】 假設要均等地繳納粟作為賦稅：甲縣有20 520戶，1斛粟值20錢，自己輸送到本縣；乙縣有12 312戶，1斛粟值10錢，至輸所200里；丙縣有7 182戶，1斛粟值12錢，至輸所150里；丁縣有13 338戶，1斛粟值17錢，至輸所250里；戊縣有5 130戶，1斛粟值13錢，至輸所150里。五縣共輸送10 000斛粟作為賦稅。1輛車裝載25斛，給的租賃價是1里1錢。欲根據各縣的戶數繳納粟作為賦，使它們的費勞均等。問：各縣繳納的粟是多少？ 答： 術：以1里的租賃價分別乘各縣至輸所的里數，這裡是以出錢實現均等。提問的人說：「1輛車裝載25斛，給的租賃價是1里1錢。」1錢，就是1里的租賃價。以它乘里數，是欲知租賃1輛車運到輸所所用的錢。甲縣自己輸送到本縣，則就沒有租賃價。除以1輛車裝載的25斛，想知道租賃車輛運1斛所用的錢。加上各縣1斛粟的價錢，就是各縣運送1斛粟的費用。各縣1斛粟的價錢加租賃車輛運1斛所用的錢，就是該縣繳納1斛粟所需的總錢數。甲縣繳納1斛的費用是20錢，乙縣、丙縣各18錢，丁縣27錢，戊縣19錢。分別以它們除各縣的戶數，作為列衰。這意味著使甲縣20戶共出1斛，乙縣、丙縣18戶共出1斛……計算它們所承擔的費用，則都是每戶1錢，所以可以用來建立使賦稅均等的率。考慮分配賦稅的率，既有每戶算賦的率，也有道里遠近，粟價貴賤的率。各縣的這二種率要分別相與通達。要通達，就將甲縣的戶率化成20，乙縣12，丙縣7，丁縣13，戊縣5。繳納1斛的費用稱為錢率。如果以錢率除戶率，則錢率就是分母，戶率就是分子。分子不齊，就令分母互乘分子作為齊，就是列衰。如果不這樣做，就以繳納1斛的費用除戶數，拿來作為列衰。兼有分數的，還應當將其通分，納入分子，再約簡，計算非常繁瑣。這一章的問題都是相與通達，有共通的率，大體相似。上兩個問題，下一個問題的率也可以仿照此，遵從簡易的原則就是了。　　又以分數表示之，使甲縣1戶出斛，乙縣1戶出斛……各以它們的戶數乘之，也可以得到一縣所應當繳納的粟的率，都作為衰。各以它們的戶數乘之，就是乘它們的分子，再以分母回報以除。由此看來，則與以各縣繳納1斛的費用除其戶數，其意思沒有什麼不同。這樣一來，可以布置繳納1斛的費用而對其應用返衰術，因為要以各縣繳納1斛的費用除戶數，所以分別乘各縣的戶率作為衰。合分術注說：「可以用分母除眾分母之積作為率，用率分別乘各分子作為齊。」返衰注說：「可以先使它們的分母相同，以各自的分母除同，以它們的分子作為返衰術的列衰。」以這樣的方法施行它們的率，作為算法既約簡，又不妨礙處理下面的問題。甲縣的衰是1 026，乙縣的衰是684，丙縣的衰是399，丁縣的衰是494，戊縣的衰是270，在旁邊將它們相加，作為法。以作為賦稅的總粟數分別乘未相加的列衰，各自作為實。實除以法，便得到各縣繳納的粟數。分別布置各縣所應當繳納的粟數，各以繳納1斛的費用乘之，除以本縣的戶數，就得到率：每戶繳納錢。按：這裡是以出錢實現均等。提問的人說：「1輛車裝載25斛，給的租賃價是1里1錢。」1錢，就是1里的租賃價。以它乘里數，是想知道租賃1輛車運到輸所所用的錢。甲縣自己輸送到本縣，則就沒有租賃價。「除以1輛車裝載的25斛」，想知道租賃車輛運1斛所用的錢。各縣1斛粟的價錢加租賃車輛運1斛所用的錢，就是該縣繳納1斛粟所需的總錢數。甲縣繳納1斛的費用是20錢，乙縣、丙縣各18錢，丁縣27錢，戊縣19錢。「分別以它們除各縣的戶數，作為列衰」：甲縣的衰是1 026，乙縣的衰是684，丙縣的衰是399，丁縣的衰是494，戊縣的衰是270。這意味著使甲縣20戶共出1斛，乙縣、丙縣18戶共出1斛……計算它們所承擔的費用，則都是每戶1錢，所以可以用來建立使賦稅均等的率。對於今有術，在旁邊將列衰相加作為所有率，未相加的列衰各為所求率，作為賦稅繳納的總粟數10 000斛作為所有數。這裡是今有術、衰分術的意義。 今有均賦粟〔1〕：甲縣四萬二千算，粟一斛二十，自輸其縣；乙縣三萬四千二百七十二算，粟一斛一十八，傭價一日一十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百二十八算，粟一斛一十六，傭價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七百算，粟一斛一十四，傭價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十算，粟一斛一十二，傭價一日五錢，到輸所二百一十里；己縣一萬九千一百三十六算，粟一斛一十，傭價一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣賦粟六萬斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之間各一日。粟有貴賤，傭各別價，以算出錢，令費勞等。問：縣各粟幾何？ 荅曰： 甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九。 乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九。 丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。 丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。 戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。 己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。 術曰：以車程行空、重相乘為法〔2〕，並空、重，以乘道里，各自為實〔3〕，實如法得一日〔4〕。按：此術重往空還，一輸再行道也。置空行一里，用七十分日之一；重行一里，用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六〔5〕。完言之者〔6〕，一百七十五里之路，往返用六日也。故並空、重者，齊其子也；空、重相乘者，同其母也〔7〕。於今有術，至輸所里為所有數，六為所求率，一百七十五為所有率，而今有之，即各得輸所用日也〔8〕。加載輸各一日，故得凡日也〔9〕。而以六人乘之，欲知致一車用人也〔10〕。又以傭價乘之，欲知致車人傭直幾錢〔11〕。以二十五斛除之，欲知致一斛之傭直也〔12〕。加一斛粟價，即致一斛之費〔13〕。加一斛之價於致一斛之傭直，即凡輸一斛粟取傭所用錢。各以約其算數為衰〔14〕，今按：甲衰四十二，乙衰二十四，丙衰十六，丁衰十五，戊衰二十，己衰十六〔15〕。於今有術，副並為所有率。未並者各自為所求率，所賦粟為所有數〔16〕。此今有衰分之義也。副並為法〔17〕。以所賦粟乘未並者，各自為實〔18〕。實如法得一斛〔19〕。各置所當出粟，以其一斛之費乘之，如算數而一，得率，算出九錢一百三十三分錢之三〔20〕。又載輸之間各一日者，即二日也。 【注釋】 〔1〕此問亦是向各縣徵收粟作為賦稅的均等負擔問題。不過此問徵收的對象是算，而不是戶或人，同時還考慮了空車返回的因素。 〔2〕記空、重行里數分別為m1，m2，則法為m1m2。 〔3〕記各縣到輸所的道里為li，則（m1+m2）li，i=1，2，3，4，5，6，為實。 〔4〕記各縣到輸所所用日數為ti，則 ti=（m1+m2）li÷（m1m2），i=1，2，3，4，5，6。（6-5-1） 得到甲、乙、丙、丁、戊、己六縣到輸所所用日數，分別為0，，，6，，日。 〔5〕以上是「分言之」，空車日行70里，故行1里用日；重車日行50里，故行1里用日；空、重車行1里用日。應用齊同術，得 〔6〕完言之：以整數表示之。此謂175里路，一輛車重往空還，往返用6日。完，完全，整個，引申為整數。這裡是與「分言之」相對。 〔7〕空、重車一日所行相加m1+m2是使分子相齊。空、重車一日所行相乘m1m2是使分母相同。 〔8〕此是以今有術解釋《九章算術》求各縣到輸所用日的算法。甲、乙、丙、丁、戊、己六縣至輸所的里數0，70，140，175，210，280里分別作為所有數，6為所求率，175為所有率。各縣到輸所用日（6-5-1）式化簡為： ti=li×6÷175。　　i=1，2，3，4，5，6。（6-5-2） 由（6-5-2）式，甲縣到輸所用日t1=0，乙縣到輸所用日t2=70×6÷175=（日），丙縣到輸所用日t3=140×6÷175=（日），丁縣到輸所用日t4=175×6÷175=6（日），戊縣到輸所用日t5=210×6÷175=（日），己縣到輸所用日t6=280×6÷175=（日）。 〔9〕加「載輸各一日」，即2日，則各縣到輸所總日數為ti+2日：甲、乙、丙、丁、戊、己縣到輸所的總日數依次是日。 〔10〕由於6人一輛車，所以（ti+2）×6為運送1車所用人數。 〔11〕記某縣1人1日的傭價為pi錢，則運送1車所用人數乘傭價，得（ti+2）×6pi錢，i=2，3，4，5，6，就是繳納1車到輸所的傭價。其中p2=10錢，p3=5錢，p4=5錢，p5=5錢，p6=5錢。 〔12〕除以25，得，就是繳納1斛到輸所的傭價。 〔13〕記某縣1斛粟價為qi錢，q1=20錢，q2=18錢，q3=16錢，q4=14錢，q5=12錢，q6=10錢。則某縣繳納1斛到輸所的傭價加該縣1斛粟價，得，i=1，2，3，4，5，6，就是該縣繳納1斛的費用： 〔14〕記各縣算數為bi，i=1，2，3，4，5，6，b1=42 000算，b2=34 272算，b3=19 328算，b4=17 700算，b5=23 040算，b6=19 136算。以各縣繳納1斛的費用除該縣算數，，就是各縣的列衰。 〔15〕各縣的列衰是： 上述列衰有等數50，約去，列衰變成： 甲縣衰 42， 乙縣衰 24， 丙縣衰 16， 丁縣衰 15， 戊縣衰 20， 己縣衰 16。 〔16〕劉徽將其歸結為今有術：副並為所有率，未並者各為所求率，i=1，2，3，4，5，6，以賦粟數A為所有數。 〔17〕將列衰在旁邊相加：42+24+16+15+20+16=133，作為法。 〔18〕以所賦粟數乘各縣未相加的列衰，分別作為各縣的實： 甲縣之實 60 000斛×42=2 520 000斛， 乙縣之實 60 000斛×24=1 440 000斛， 丙縣之實 60 000斛×16=960 000斛， 丁縣之實 60 000斛×15=900 000斛， 戊縣之實 60 000斛×20=1 200 000斛， 己縣之實 60 000斛×16=960 000斛。 〔19〕記各縣出粟數為Ai，則 於是： 〔20〕此謂以為率。率都是1算出錢，所以實現了均等負擔。 【譯文】 假設要均等地繳納粟作為賦稅：甲縣42 000算，一斛粟值20錢，輸送到本縣；乙縣34 272算，一斛粟值18錢，僱工價1日10錢，到輸所70里；丙縣19 328算，一斛粟值16錢，僱工價一日5錢，到輸所140里；丁縣17 700算，一斛粟值14錢，僱工價一日5錢，到輸所175里；戊縣23 040算，一斛粟值12錢，僱工價一日5錢，到輸所210里；己縣19 136算，一斛粟值10錢，僱工價一日5錢，到輸所280里。六個縣共繳納60 000斛粟作為賦稅，都輸送到甲縣。6個人共同駕一輛車，每輛車載重25斛，載重的車每日行50里，放空的車每日行70里，裝卸的時間各1日。粟有貴有賤，僱工各有不同的價錢，按算繳納錢，使他們的費勞均等。問：各縣繳納的粟是多少？ 答： 術：以放空的車與載重的車每日行的標準里數相乘，作為法，兩者相加，以乘各縣到輸所的里數，各自作為實，實除以法，得各縣到輸所的日數。按：此術中載重的車前往，放空的車返回，運輸一次要在道上行兩次。布置放空的車行1里所用的日；載重的車行1里所用的日，將它們齊同，放空的車與載重的車行1里的路，往返用日。如果用整數表示之，175里的路程，往返用6日。所以將放空的車與載重的車每日行的標準里數相加，是使它們的分子相齊；兩者相乘，是使它們的分母相同。對於今有術，各縣到輸所的里數作為所有數，6作為所求率，175作為所有率，應用今有術，就分別得到各縣到輸所所用的日數。加裝卸的時間各1日，所以得到各縣分別用的總日數。而以6人乘之，想知道輸送1車到輸所所用的人數。又以各縣的僱工價分別乘之，想知道輸送1車到輸所僱工的錢數。除以25斛，想知道輸送1斛到輸所僱工的錢數。加1斛粟的價錢，則就是輸送1斛到輸所的費用。加1斛粟的價錢於輸送1斛到輸所僱工的錢數，則就是各縣繳納1斛粟所需的粟價與僱工所用的總錢數。各以它們除該縣的算數作為列衰，今按：甲縣的列衰是42，乙縣的列衰是24，丙縣的列衰是16，丁縣的列衰是15，戊縣的列衰是20，己縣的列衰是16。對於今有術，在旁邊將列衰相加作為所有率。未相加的各自作為所求率，作為賦稅繳納的總粟數作為所有數。這是今有術、衰分術的意義。在旁邊將它們相加，作為法。以作為賦稅繳納的總粟數乘未相加的，各自作為實。實除以法，得到各縣所應繳納的粟的斛數。分別布置各縣所應當出的粟數，以其繳納1斛的費用乘之，分別除以各縣的算數，得到率：每算出錢。又裝卸的時間各1日，就是2日。 今有粟七斗，三人分舂之，一人為糲米，一人為粺米，一人為糳米，令米數等。問：取粟、為米各幾何？ 荅曰： 糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十。 粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。 糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三。 為米各一斗六百五分斗之一百五十一。 術曰：列置糲米三十，粺米二十七，糳米二十四，而返衰之。此先約三率：糲為十，粺為九，糳為八。欲令米等者，其取粟：糲率十分之一，粺率九分之一，糳率八分之一〔1〕。當齊其子，故曰返衰也〔2〕。　　臣淳風等謹按：米有精粗之異，粟有多少之差。據率，粺、糳少而糲多，用粟，則粺、糳多而糲少。米若依本率之分，粟當倍率〔3〕，故今返衰之，使精取多而粗得少。副並為法〔4〕。以七斗乘未並者，各自為取粟實。實如法得一斗〔5〕。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，粟七斗為所有數，而今有之，故各得取粟也。若求米等者，以本率各乘定所取粟為實，以粟率五十為法，實如法得一斗〔6〕。若徑求為米等數者，置糲米三，用粟五；粺米二十七，用粟五十；糳米十二，用粟二十五。齊其粟，同其米。並齊為法。以七斗乘同為實。所得，即為米斗數〔7〕。 【注釋】 〔1〕糲米率為10，粺米率為9，糳米率為8。欲所取的粟舂出的米相等，那麼糲米取粟率為，粺米取粟率為，糳米取粟率為。 〔2〕分別以為列衰，所以應用返衰術。這需要將列衰應用齊同術，化成。 〔3〕此謂依本率，粺米率、糳米率少而糲米率多，若求舂出同等數量的米所用的粟，則粺米、糳米少而糲米多。各種米若按照本率分配，則取粟就背離了各自的率。　　倍：背離，背棄。《墨子·非儒》：「倍本棄事而安怠傲。」 〔4〕副並為法：在旁邊將返衰相加作為法，即以作為法。 〔5〕此先用返衰術求出糲米、粺米、糳米的取粟數 〔6〕再求舂出的米數 〔7〕此為劉徽提出的直接求舂出的米的方法 【譯文】 假設有粟7斗，由3人分別舂之：一人舂成糲米，一人舂成粺米，一人舂成糳米，使舂出的米數相等。問：各人所取的粟、舂成的米是多少？ 答： 術：布列糲米30，粺米27，糳米24，而對之使用返衰術。此處先約簡三個率：糲米為10，粺米為9，糳米為8。如果想使舂出的米數相等，則它們所取的粟：舂成糲米的率是，舂成粺米的率是，舂成糳米的率是，應當使它們的分子相齊，所以叫作返衰術。　　淳風等按：各種米有精粗的不同，所取的粟就有多少的差別。根據它們的本率，粺米、糳米少而糲米多，而所用的粟，則舂成粺米、糳米者取的多而舂成糲米者取的少。如果各種米依照它們的本率分配粟，則粟就背離了它們的率，所以現在對之應用返衰術，使舂出精米者取的粟多，而舂出粗米者取的粟少。在旁邊將列衰相加作為法。以7斗乘未相加者，各自作為所取粟的實。實除以法，得到各人所取粟的斗數。對於今有術，在旁邊將列衰相加作為所有率，未相加者各自作為所求率，7斗粟作為所有數，而應用今有術，所以分別得到所取的粟。如果求相等的米數，以各自的本率分別乘已經確定的所取的粟數，作為實，以粟率50作為法，實除以法，得到米的斗數。如果要直接求舂成的各種米相等的數量，就布置糲米3，用粟是5；粺米27，用粟是50；糳米12，用粟是25。使它們的粟相齊，又使它們的米數相同。將齊相加作為法。以7斗乘同，作為實。實除以法，所得就是舂成的米的斗數。 今有人當稟粟二斛。倉無粟，欲與米一、菽二，以當所稟粟。問：各幾何？ 荅曰： 米五斗一升七分升之三， 菽一斛二升七分升之六。 術曰：置米一、菽二，求為粟之數。並之，得三、九分之八，以為法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自為實。實如法得一斛〔1〕。臣淳風等謹按：置粟率五，乘米一，米率三除之，得一、三分之二，即是米一之粟也；粟率十，以乘菽二，菽率九除之，得二、九分之二，即是菽二之粟也。並全，得三；齊子，並之，得二十四；同母，得二十七，約之，得九分之八。故云「並之，得三、九分之八」。米一、菽二當粟三、九分之八，此其粟率也〔2〕。於今有術，米一、菽二皆為所求率，當粟三、九分之八為所有率，粟二斛為所有數。凡言率者，當相與通之，則為米九、菽十八，當粟三十五也。亦有置米一、菽二，求其為粟之率，以為列衰。副並為法。以粟乘列衰為實。所得即米一、菽二所求粟也。以米、菽本率而今有之，即合所問〔3〕。 【注釋】 〔2〕此是李淳風等提出的解法：用衰分術先分別求出米1，菽2相當的粟：，。 〔3〕李淳風等用今有術求出所出的米、菽數：斗，斗。顯然李淳風等的方法不如原術簡捷。 【譯文】 假設應當賜給人2斛粟。但是糧倉里沒有粟了，想給他1份米、2份菽，當作賜給他的粟。問：給他的米、菽各多少？ 答： 術：布置米1、菽2，求出它們變成粟的數量。將它們相加，得到，作為法。又布置米1、菽2，而以2斛粟乘之，各自作為實。實除以法，得米、菽的斛數。淳風等按：布置粟率5，乘米1，以米率3除之，得到，就是與米1相當的粟；布置粟率10，乘菽2，以菽率9除之，得到，就是與菽2相當的粟。將整數部分相加，得3；使分數的分子相齊，相加，得24；使它們的分母相同，得27，約簡之，得。所以說「將它們相加，得到」。米1、菽2相當於粟，這就是粟的率。對於今有術，米1、菽2皆作為所求率，相當於粟的作為所有率，粟2斛作為所有數。凡是說到率，都應當互相通達，則就成為米9、菽18，相當於粟35。也可以布置米1、菽2，求它們變為粟的率，作為列衰。在旁邊將它們相加，作為法。以粟數乘列衰，作為實。實除以法，所得就是米1、菽2所求出的粟。以米、菽的本率而應用今有術，即符合問題的要求。 今有取傭，負鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負鹽一斛七斗三升少半升，行八十里。問：與錢幾何？ 荅曰：二十七錢一十五分錢之一十一。 術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之為法。按：此術以負鹽二斛升數乘所行一百里，得二萬里，是為負鹽一升行二萬里，得錢四十。於今有術，為所有率。以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之，為實。實如法得一錢〔1〕。以今負鹽升數乘所行里，今負鹽一升凡所行里也。於今有術以所有數〔2〕，四十錢為所求率也。衰分章「貸人千錢」與此同〔3〕。 【注釋】 〔1〕《九章算術》的解法是 〔2〕以：訓「為」。 〔3〕劉徽認為負鹽2斛行100里，得40錢，相當於負鹽1升行20000里得40錢。而衰分章「貸人千錢」問中，貸人1 000錢30日，得息30錢，相當於貸人30 000錢1日，得息30錢。所以劉徽說兩者相同。 【譯文】 假設僱工，背負2斛鹽，走100里，付給40錢。現在背負1斛7斗升鹽，走80里。問：付給多少錢？ 答：錢。 術：布置2斛鹽的升數，以100里乘之，作為法。按：此術中以所背負的2斛鹽的升數乘所走的100里，得20 000里，這相當於背負1升鹽走20 000里，得到40錢。對於今有術，它作為所有率。以40錢乘現在所背負的鹽的升數，又以80里乘之，作為實。實除以法，就得到所付給的錢。以現在所背負的鹽的升數乘所走的里數，就是現在背負1升鹽所走的總里數。對於今有術，就是所有數，40錢就是所求率。衰分章的「貸人千錢」問與此相同。 今有負籠，重一石，行百步，五十返。今負籠重一石一十七斤，行七十六步。問：返幾何？ 荅曰：五十七返二千六百三分返之一千六百二十九。 術曰：以今所行步數乘今籠重斤數為法。此法謂負一斤一返所行之積步也。故籠重斤數乘故步，又以返數乘之，為實。實如法得一返〔1〕。按：此法，負一斤一返所行之積步；此實者，一斤一日所行之積步。故以一返之課除終日之程，即是返數也。　　臣淳風等謹按：此術，所行步多者，得返少；所行步少者，得返多。然則故所行者，今返率也。故令所得返乘今返之率〔2〕，為實，而以故返之率為法，今有術也。按：此負籠又有輕重，於是為術者因令重者得返少，輕者得返多。故又因其率以乘法、實者，重今有之義也。然此意非也。按：此籠雖輕而行有限，籠過重則人力遺，力有遺而術無窮，人行有限而籠輕重不等。使其有限之力隨彼無窮之變，故知此術率乖理也。若故所行有空行返數，設以問者，當因其所負以為返率，則今返之數可得而知也。假令空行一日六十里，負重一斛，行四十里。減重一斗進二里半，負重二斗以下〔3〕，與空行同。今負籠重六斗，往還行一百步。問：返幾何？荅曰：一百五十返。術曰：置重行率，加十里，以里法通之，為實。以一返之步為法。實如法而一，即得也。 【注釋】 〔1〕《九章算術》的算法是 返數=（故籠重斤數×故步數×返數）÷（今行步數×今籠重斤數）。 〔2〕所得返：指「故所得返」。 〔3〕二斗以下：少於等於二斗。按：《晉書·食貨志》云：「男女十六已上至六十為正丁，十五已下至十三、六十一已上至六十五為次丁，十二已下、六十六已上為老小，不事。」顯然，這裡亦就整數論之，十六以上、六十一以上、六十六以上均含十六、六十一、六十六，十五以下、十二以下均含十五、十二。李淳風參加了《晉書》的編寫。毫無疑問，在李淳風時代，「二斗以下」應指小於等於三斗。 【譯文】 假設有人背負著竹筐，重1石，走100步，50次往返。現在背負的竹筐重1石17斤，走76步。問：往返多少次？ 答：往返次。 術：以現在所走的步數乘現在的竹筐重的斤數，作為法。此處的法是說背負1斤1次往返所走的步數。以原來的竹筐重的斤數乘原來走的步數，又以往返的次數乘之，作為實。實除以法，得到現在往返的次數。按：此處的法是背負1斤1次往返所走的步數；此處的實是背負1斤一日所走的步數。所以以一次往返的步數除一日的路程，就是往返的次數。　　淳風等按：此術中，如果所要走的步數多，得到的往返次數就少；所要走的步數少，得到的往返次數就多。那麼原來所走的步數，就是現在往返次數的率。所以使原來得到的往返次數乘現在的往返次數的率，作為實，而以原來的往返次數的率作為法，這是今有術。按：這裡背負的竹筐又有輕重，於是造術的人就令竹筐重者得到的往返次數少，竹筐輕者得到的往返次數多。所以又根據它們的率乘法與實，這是重今有術的意義。然而這種思路是錯誤的。按：這裡的竹筐即使很輕，而背負著它走的路也是有限的。竹筐即使很重，而人的力量總得有剩餘。人的力量有剩餘，那麼答案就是無窮的。人走的路是有限的，而竹筐的輕重不等。使人們有限的力量的往返次數隨著竹筐輕重作無窮的變化，所以知道此術之率是違背數理的。如果原來所走的往返次數有空手的，假設以此提問，則應當根據有背負重物的情況建立往返次數的率，那麼現在往返次數是可以知道的。假設空手一日走60里，背負1斛的重物，走40里。重量每減1斗，就遞增里，背負重物在2斗以下，與空手走相同。現在背負的竹筐重6斗，往返走100步。問：一日往返多少次？答：往返150次。術：布置背負重物走的率，加10里，以里法通之，作為實。以1次往返的步數作為法。實除以法，就得到答案。 今有乘傳委輸〔1〕，空車日行七十里，重車日行五十里。今載太倉粟輸上林〔2〕，五日三返。問：太倉去上林幾何？ 荅曰：四十八里一十八分里之一十一。 術曰：並空、重里數，以三返乘之，為法。令空、重相乘，又以五日乘之，為實。實如法得一里〔3〕。此亦如上術〔4〕，率：一百七十五里之路，往返用六日也。於今有術，則五日為所有數，一百七十五里為所求率，六日為所有率。以此所得，則三返之路。今求一返，當以三約之，因令乘法而並除也〔5〕。　　為術亦可各置空、重行一里用日之率，以為列衰。副並為法。以五日乘列衰為實。實如法，所得即各空、重行日數也。各以一日所行以乘，為凡日所行。三返約之，為上林去太倉之數〔6〕。　　按〔7〕：此術重往空還，一輸再還道。置空行一里，七十分日之一，重行一里用五十分日之一。齊而同之，空、重行一里之路，往返用一百七十五分日之六〔8〕。完言之者〔9〕，一百七十五里之路，往返用六日。故「並空、重」者，並齊也；「空、重相乘」者，同其母也。於今有術，五日為所有數，一百七十五為所求率，六為所有率。以此所得，則三返之路。今求一返者，當以三約之。故令乘法而並除，亦當約之也。 【注釋】 〔1〕乘傳（zhuàn）：乘坐驛車。乘，乘坐。戴震輯錄本作「程」，匯校本及其增補版、《九章算術新校》從。楊輝本作「乘」，兩通。然「乘」義較長。今依楊輝本。傳，驛站或驛站的馬車。《左傳·成公五年》：「梁山崩，晉侯以傳召伯宗。」杜預註：「傳，驛。」李籍云：「傳，郵。」　　委（wèi）輸：轉運。亦指轉運的物資。睡虎地秦墓竹簡《效律》：「上節（即）發委輸。」《漢書·食貨志》：「置平準於京師，都受天下委輸。」 〔2〕太倉：古代設在京城中的大糧倉。《史記·平準書》：「太倉之粟，陳陳相因。」　　上林：指上林苑，秦漢宮苑，《史記·秦始皇本紀》：秦始皇三十五年，「乃營作朝宮渭南上林苑中。」戴震誤認為漢武帝時才有上林苑，雲「蒼在漢初，何緣預載？」否定張蒼刪補《九章算術》，便是根據這個問題。 〔3〕《九章算術》的算法是 太倉去上林距離=（空行里數×重行里數×5）÷［（空行里數+重行里數）×3］。 〔4〕上術：指上面的「均賦粟」問，即本章的第4問。 〔5〕自此注開頭至此，是劉徽以今有術闡釋《九章算術》的解法，先求出5日所行的距離，而5日共3返，故除以3，得1返的里程，即太倉到上林的距離。 〔6〕自「為術亦可」至此，劉徽又以衰分術求解，由此求出5日中空行與重行分別所用的日數，即，。分別以空行、重行1日的里數乘之，得空行、重行3返的里數。除以3，得1返的里數，即太倉到上林的距離。 〔7〕自此至此注之末，是劉徽進一步解釋今有術中所有率、所求率的來源。將這段文字與劉徽在本章鳧雁類問題註解中提出的兩種齊同方式相對照，不難發現，它與鳧雁類注的第二種齊同方式，即同其距離之分，齊其日行，完全一致。可見其為劉徽注是無可懷疑的。 〔8〕這是以分數表示，所謂「分言之」，空車行1里用日，重車行1里用日。齊而同之，空、重車行1里用日。 〔9〕完言之：以整數表示之。就是空、重車行175里往返用6日。 【譯文】 假設由驛乘運送貨物，空車每日走70里，重車每日走50里。現在裝載太倉的粟輸送到上林苑，5日往返3次。問：太倉到上林的距離是多少？ 答：里。 術：將空車、重車每日走的里數相加，以往返次數3乘之，作為法。使空車、重車每日走的里數相乘，又以5日乘之，作為實。實除以法，得到里數。此術也如上術那樣，率：175里的路程，往返用6日。對於今有術，就是5日為所有數，175里為所求率，6日為所有率。由此所得到的，是3次往返的路程。現在求1次往返的路程，應當以3除之，所以以3乘法而一併除。　　造術亦可以分別布置空車、重車走1里所用的日數之率，作為列衰。在旁邊將它們相加作為法。以5日乘列衰作為實。實除以法，所得就是空車、重車分別所走的日數。各以空車、重車1日所走的里數乘之，就是1日所走的總里數。以往返次數3除之，就是上林苑到太倉的距離數。　　按：此術中重車前往，空車返回，一次輸送要在路上走二次。布置空車走1里所用的日，重車走1里所用的日。將它們齊同，空車、重車走1里的路程，往返1次用日。以整數表示之，175里的路程，往返1次用6日。所以「將空車、重車每日走的里數相加」，就是將所齊的分子相加。「使空車、重車每日走的里數相乘」，就是使它們的分母相同。對於今有術，5日為所有數，175為所求率，6為所有率。由此所得到的，是往返3次的路程。現在求往返1次的路程，應當以3除之。所以以3乘法而一併除，這也相當於以3除之。 今有絡絲一斤為練絲一十二兩〔1〕，練絲一斤為青絲一斤一十二銖〔2〕。今有青絲一斤，問：本絡絲幾何？ 荅曰：一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。 術曰：以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，又以絡絲一斤乘，為實。實如法得一斤〔3〕。按：練絲一斤為青絲一斤十二銖，此練率三百八十四，青率三百九十六也〔4〕。又，絡絲一斤為練絲十二兩，此絡率十六，練率十二也〔5〕。置今有青絲一斤，以練率三百八十四乘之，為實，實如青絲率三百九十六而一。所得，青絲一斤，練絲之數也〔6〕。又以絡率十六乘之，所得為實，以練率十二為法，所得，即練絲用絡絲之數也〔7〕。是謂重今有也〔8〕。雖各有率，不問中間〔9〕。故令後實乘前實，後法乘前法而並除也〔10〕。故以練絲兩數為實，青絲銖數為法〔11〕。　　一曰〔12〕：又置絡絲一斤兩數與練絲十二兩，約之，絡得四，練得三，此其相與之率〔13〕。又置練絲一斤銖數與青絲一斤一十二銖，約之，練得三十二，青得三十三，亦其相與之率〔14〕。齊其青絲、絡絲，同其二練，絡得一百二十八，青得九十九，練得九十六，即三率悉通矣〔15〕。今有青絲一斤為所有數，絡絲一百二十八為所求率，青絲九十九為所有率〔16〕。為率之意猶此，但不先約諸率耳〔17〕。凡率錯互不通者，皆積齊同用之〔18〕。放此，雖四五轉不異也〔19〕。言「同其二練」者，以明三率之相與通耳，於術無以異也。　　又一術〔20〕：今有青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，為實，以青絲一斤一十二銖為法，所得，即用練絲兩數。以絡絲一斤乘，所得為實，以練絲十二兩為法，所得即用絡絲斤數也〔21〕。 【注釋】 〔1〕絡：粗絮。　　練：煮熟的生絲或其織品練過的布帛，一般指白絹。 〔2〕青絲：青色的絲線，通常指藍色絲線。青，顏色，有綠色、藍色、黑色甚至白色等不同的含義。 〔3〕《九章算術》的方法是 〔4〕劉徽先求出練、青絲的率關係：練:青=384:396 〔5〕劉徽又求出絡、練絲的率關係：絡:練=16:12。 〔6〕所得，青絲一斤，練絲之數：劉徽應用今有術，求出青絲1斤用練絲數=青絲1斤×384÷396。「練絲之數」前省「得」字。 〔7〕劉徽又一次應用今有術，求出練絲用絡絲數=用練絲數×16÷12。 〔8〕重今有：雙重今有術。因為兩次應用今有術，故名。顯然它與《九章算術》的方法是不同的。 〔9〕雖各有率，不問中間：雖然諸物各自有率，但是沒有問中間的物品。 〔10〕故令後實乘前實，後法乘前法而並除：所以使後面的實乘前面的實，後面的法乘前面的法而一併除。將兩次今有術連接起來，就是 用絡絲數=用練絲數×16÷12=（青絲1斤×384÷396）×16÷12 =（青絲1斤×384×16）÷（396×12）。 最後一個等號後面是將上述兩次今有術中的兩個實相乘作為實，兩個法相乘作為法。 〔11〕故以練絲兩數為實，青絲銖數為法：所以練絲以兩數形成實，青絲以銖數形成法。 〔12〕一曰：一種方法說。這是劉徽提出「三率悉通」的方法。 〔13〕劉徽先求出絡絲與練絲的相與之率，即絡:練=16:12=4:3。 〔14〕劉徽又求出青絲與練絲的相與之率，即青:練=396:384=33:32。 〔15〕三率悉通：通過齊其青絲、絡絲，同其二練絲，使絡絲、練絲、青絲三率都互相通達。即使二練絲同於96，青絲與其相齊，得99，絡絲與其相齊，得128，則 絡:練:青=128:96:99。 〔16〕劉徽一次應用今有術，直接由青絲求出絡絲 〔17〕為率之意猶此，但不先約諸率耳：前面（注文的第一段）形成率的意圖也是這樣，但不先約簡諸率而已。 〔18〕皆積齊同用之：都可以多次應用齊同術。積，多，多次。《周禮·地官·遺人》：「掌邦之委積，以待施惠。」鄭玄註：「少曰委，多曰積。」 〔19〕雖四五轉不異也：即使是四五次轉換，也沒有什麼不同。 〔20〕又一術：又一種方法。這是對《九章算術》術文的闡釋。 〔21〕這是先求出青絲1斤用練絲的兩數 練絲兩數=（青絲1斤銖數×練絲1斤兩數）÷青絲1斤12銖。再求出練絲所用絡絲數 絡絲=（用練絲兩數×絡絲1斤）÷練絲12兩=［（青絲1斤銖數×練絲1斤兩數）×絡絲1斤]÷（練絲12兩×青絲1斤12銖）。 【譯文】 假設1斤絡絲練出12兩練絲，1斤練絲練出1斤12銖青絲。現在有1斤青絲，問：絡絲原來有多少？ 答：1斤4兩銖。 術：以練絲12兩乘青絲1斤12銖，作為法。以青絲1斤的銖數乘練絲1斤的兩數，又以絡絲1斤乘之，作為實。實除以法，就得到絡絲的斤數。按：1斤練絲練出1斤12銖青絲，這就是練絲率為384，青絲率為396。又，1斤絡絲練出12兩練絲，這就是絡絲率為16，練絲率為12。布置現有的1斤青絲，以練絲率384乘之，作為實，實除以青絲率396。所得到的就是1斤青絲所用的練絲之數。又以絡絲率16乘之，以所得作為實，以練絲率12作為法，所得到的就是練絲所用的絡絲之數。這稱為重今有術。雖然諸物各自都有率，但是沒有問中間的物品。所以使後面的實乘前面的實，後面的法乘前面的法而一併除。所以練絲以兩數形成實，青絲以銖數形成法。　　一術：又布置絡絲1斤的兩數與練絲12兩，將之約簡，絡絲得4，練絲得3，這就是它們的相與之率。又布置練絲1斤的銖數與青絲1斤12銖，將之約簡，練絲得32，青絲得33，也是它們的相與之率。使其中的青絲率、絡絲率分別相齊，使其中練絲的二種率相同，得到絡絲率128，青絲率99，練絲率96，則三種率都互相通達了。以現有的青絲1斤作為所有數，絡絲率128作為所求率，青絲率99作為所有率。前面形成率的意圖也是這樣，但不先約簡諸率而已。凡是諸率錯互不相通達的，都可以多次應用齊同術。仿照這種做法，即使是轉換四五次，也沒有什麼不同。說「使其中練絲的二種率相同」，是為了明確三種率的相與通達，對於各種術沒有不同。　　又一術：現有青絲1斤的銖數乘練絲1斤的兩數，作為實，以青絲1斤12銖作為法，實除以法，所得到的就是用練絲的兩數。以絡絲1斤乘之，所得作為實，以練絲12兩作為法，實除以法，所得到的就是用絡絲的斤數。 今有惡粟二十斗〔1〕，舂之，得糲米九斗。今欲求粺米一十斗，問：惡粟幾何？ 荅曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。 術曰：置糲米九斗，以九乘之，為法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以惡粟二十斗乘之，為實。實如法得一斗〔2〕。按：此術置今有求粺米十斗，以糲米率十乘之，如粺率九而一，即粺化為糲〔3〕。又以惡粟率二十乘之，如糲率九而一，即糲亦化為惡粟矣〔4〕。此亦重今有之義。為術之意，猶絡絲也。雖各有率，不問中間。故令後實乘前實，後法乘前法，而並除之也。 【注釋】 〔1〕惡粟：劣等的粟。惡，劣等。李籍云：「不善也。」 〔2〕《九章算術》的方法是 〔3〕劉徽先應用今有術由10斗粺米求出糲米。即糲米=10斗×10÷9=斗。 〔4〕劉徽又應用今有術由斗糲米求出惡粟。即。 【譯文】 假設有20斗粗劣的粟，舂成糲米，得到9斗。現在想得到10斗粺米，問：需要粗劣的粟多少？ 答：24斗升。 術：布置9斗糲米，乘以9，作為法。又布置10斗粺米，乘以10，又乘以20斗粗劣的粟，作為實。實除以法，就得到粗劣粟的斗數。按：此術中，布置現在想得到的10斗粺米，乘以糲米率10，除以粺米率9，則粺米化為了糲米。又乘以惡粟率20，除以糲米率9，則糲米也化為了粗劣的粟。這也是重今有術的意義。造術的意圖，如同絡絲問。雖然各自都有率，卻不考慮中間的物品。所以使後面的實乘前面的實，後面的法乘前面的法而一併除。 今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問：幾何步及之？ 荅曰：二百五十步。 術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，餘四十步，以為法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步〔1〕，為實。實如法得一步〔2〕。按：此術以六十步減一百步，餘四十步，即不善行者先行率也；善行者行一百步，追及率。約之，追及率得五，先行率得二。於今有術，不善行者先行一百步為所有數，五為所求率，二為所有率，而今有之，得追及步也〔3〕。 今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。問：善行者幾何里及之？ 荅曰：三十三里少半里。 術曰：置不善行者先行一十里，以善行者先至二十里增之，以為法。以不善行者先行一十里乘善行者一百里，為實。實如法得一里〔4〕。按：此術不善行者既先行一十里，後不及二十里，並之，得三十里也，謂之先行率。善行者一百里為追及率。約之，先行率得三，三為所有率，而今有之，即得也〔5〕。其意如上術也。 今有兔先走一百步〔6〕，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問：犬不止，復行幾何步及之？ 荅曰：一百七步七分步之一。 術曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，余為法。以不及三十步乘犬追步數，為實。實如法得一步〔7〕。按：此術以不及三十步減先走一百步，餘七十步，為兔先走率。犬行二百五十步為追及率。約之，先走率得七，追及率得二十五。於今有術，不及三十步為所有數，二十五為所求率，七為所有率，而今有之，即得也〔8〕。 【注釋】 〔1〕此下三問都是追及問題，都比較簡單，我們作為一組。 〔2〕《九章算術》的方法是 追及之步數=（善行者100步×不善行者先行100步） ÷（善行者100步-不善行者60步）=250步。 〔3〕劉徽求出不善行者的先行率和善行者的追及率，分別作為所求率與所有率，不善行者先行100步作為所有數，以今有術解此問，則先行率是善行者與不善行者的單位時間的行程之差100步-60步=40步，追及率就是善行者的行程100步，因此追及率:先行率=100步:40步=5:2，於是 追及之步數=不善行者先行100步×5÷2=250步。 〔4〕《九章算術》的方法是 〔5〕劉徽求出不善行者的先行率和善行者的追及率，分別作為所有率與所求率，不善行者先行10里作為所有數，以今有術解此問，則先行率是不善行者先行10里與後不及20里之和10里+20里=30里，追及率就是善行者追之100里，因此追及率:先行率=100里:30里=10:3，於是 〔6〕走：跑。《韓非子·五蠹》：「兔走觸株，折頸而死。」而「行」則是今之「走」。《墨子·公輸》：「行十日十夜而至於郢。」 〔7〕《九章算術》的方法是 〔8〕劉徽求出兔的先走率和犬的追及率，分別作為所有率與所求率，犬不及30步作為所有數，以今有術解此問，則先走率是兔走100步與不及30步之差100步-30步=70步，追及率就是犬行250步，因此追及率:先走率=250步:70步=25:7，於是 按：王孝通《緝古算術》第一問注云：「今按：《九章》均輸篇有犬追兔術，與此相似。彼問：犬走一百步，兔走七十步。令兔先走七十五步，犬始追之，問：幾何步追及？ 荅曰：二百五十步追及。 彼術曰：以兔走減犬走，余者為法。又以犬走乘兔先走為實。實如法而一，即得追及步數。」 【譯文】 假設善於行走者走100步，不善於行走者走60步。現在不善於行走者先走了100步，善於行走者才追趕他。問：走多少步才能追上他？ 答：250步。 術曰：布置善於行走者走的100步，減去不善於行走者走的60步，餘40步，作為法。以善於行走者走的100步乘不善於行走者先走的100步，作為實。實除以法，得到追及的步數。按：此術中以60步減100步，餘40步，就是不善於行走者的先行率；善於行走者走的100步，就是追及率。約簡之，追及率得5，先行率得2。對於今有術，不善於行走者先走的100步作為所有數，5作為所求率，2作為所有率，而對其應用今有術，便得到追及的步數。 假設不善於行走者先走10里，善於行走者追趕了100里，比不善於行走者先到20里。問：善於行走者走多少里才能追上他？ 答：里。 術：布置不善於行走者先走的10里，加上善於行走者先到的20里，作為法。以不善於行走者先走的10里乘善於行走者走的100里，作為實。實除以法，得到追上的里數。按：此術中不善於行走者已先走了10里，後來又比善行走者落後20里，將它們相加，得到30里，稱為先行率。善於行走者的100里作為追及率。約簡它們，先行率得3，3作為所有率，而對之應用今有術，就得到追上的里數。其思路如同上一術。 假設野兔先跑100步，狗追趕了250步，差30步沒有追上而停止了。問：如果狗不停止，再追多少步能追上？ 答：步。 術：布置野兔先跑的100步，以狗追的差30步減之，餘數作為法。以差的30步乘狗追的步數，作為實。實除以法，得到為了追上應再跑的步數。按：此術中以狗差的30步減野兔先跑的100步，餘數是70步，作為野兔的先跑的率。狗追的250步作為追及率。約簡它們，先跑的率得7，追及率得25。對於今有術，差的30步作為所有數，25作為所求率，7作為所有率，而對之應用今有術，就得到再追的步數。 今有人持金十二斤出關。關稅之，十分而取一。今關取金二斤，償錢五千。問：金一斤值錢幾何？ 荅曰：六千二百五十。 術曰：以一十乘二斤，以十二斤減之，余為法。以一十乘五千，為實。實如法得一錢〔1〕。按：此術置十二斤，以一乘之，十而一，得一斤五分斤之一，即所當稅者也。減二斤，余即關取盈金。以盈除所償錢，即金直也〔2〕。今術既以十二斤為所稅，則是以十為母，故以十乘二斤及所償錢，通其率。於今有術，五千錢為所有數，十為所求率，八為所有率，而今有之，即得也〔3〕。 【注釋】 〔1〕《九章算術》的方法是 1斤金值錢=（償錢5 000錢×10） ÷（關取2斤×10-持金12斤）=6 250錢。 〔2〕此為劉徽提出的新方法，應當向關卡繳稅的金為12斤×，關卡多取的金為關取2斤-稅金12斤×，因此 〔3〕劉徽以今有術解此問，應當繳稅，多繳，所以償錢5 000錢為所有數，10為所求率，8為所有率，即 1斤金值錢=償錢5 000錢×10÷8=6 250錢。 【譯文】 假設有人帶著12斤金出關卡。關卡對之徵稅，稅率是。現在關卡收取2斤金，而償還5 000錢。問：1斤金值多少錢？ 答：6 250錢。 術：以10乘2斤，以12斤減之，餘數作為法。以10乘5 000錢，作為實。實除以法，得1斤金值的錢。按：此術中布置12斤，乘以1，除以10，得斤，就是作為稅款應當繳納的金。以它減2斤，餘數就是關卡多取的金。以多取的金除關卡所償還的錢，就是1斤金所值的錢。現在術文既然以12斤為所應當繳稅的金，則是以10作為分母，所以以10乘2斤及所償還的錢，通達它們的率。對於今有術，5 000錢為所有數，10為所求率，8為所有率，而對之應用今有術，便得到1斤金所值的價錢。 今有客馬，日行三百里。客去忘持衣。日已三分之一，主人乃覺。持衣追及與之而還；至家視日四分之三。問：主人馬不休，日行幾何？ 荅曰：七百八十里。 術曰：置四分日之三，除三分日之一，按：此術「置四分日之三，除三分日之一」者，除，其減也〔1〕。減之餘，有十二分之五，即是主人追客還用日率也〔2〕。半其餘，以為法〔3〕。去其還，存其往。率之者，子不可半，故倍母，二十四分之五，是為主人與客均行用日之率也〔4〕。副置法，增三分日之一。法二十四分之五者，主人往追用日之分也。三分之一者，客去主人未覺之前獨行用日之分也。並連此數得二十四分日之十三，則主人追及前用日之分也。是為客人與主人均行用日率也〔5〕。然則主人用日率者，客馬行率也；客用日率者，主人馬行率也。母同則子齊，是為客馬行率五，主人馬行率十三。於今有術，三百里為所有數，十三為所求率，五為所有率，而今有之，即得也〔6〕。以三百里乘之，為實〔7〕。實如法，得主人馬一日行〔8〕。欲知主人追客所行里者，以三百里乘客用日分子十三，以母二十四而一〔9〕，得一百六十二里半。以此乘客馬與主人均行日分母二十四，如客馬與主人均行用日分子五而一，亦得主人馬一日行七百八十里也〔10〕。 【注釋】 〔1〕除：在《九章算術》及其劉徽注中有二義：一是除法之除，一是減。　　其：裴學海《古書虛字集釋》卷五：「『其』，猶『為』也。」 〔2〕劉徽以今有術解此問。從日時主人發覺客人忘持衣到主人追客還的日，用日為，是主人追客還用日率。 〔3〕《九章算術》以作為法。 〔4〕劉徽認為作為率，分子不能再除以2，所以將分母加倍。是主人與客人共同行走的用日率，也就是主人追客用日率。 〔5〕劉徽認為，加主人發覺前的是主人追及前客人用日率。因此 〔6〕劉徽指出，主人用日率就是客馬行率，客用日率就是主馬行率，亦即主馬行率:客馬行率=13:5。主馬行率為所有率，客馬行率為所求率，300里作為所有數。應用今有術，則 主馬日行里=300里×5÷13=780里。 〔7〕《九章算術》以300里乘作為實。 〔8〕《九章算術》的方法是 〔9〕以：訓「如」。 〔10〕劉徽給出求主馬日行里的另一種方法。先求出主人追客所行里，也就是主人追上客人之前客人所行里。客人用日日，日行300里，故所行里為。主人行里用日，所以 【譯文】 假設客人的馬每日行走300里。客人離去時忘記拿自己的衣服。已經過了日的時侯，主人才發覺。主人拿著衣服追上客人，給了他衣服，回到家望望太陽，已過了日。問：如果主人的馬不休息，一日行走多少里？ 答：780里。 術：布置日，除日，按：此術中，「布置日，除日」——除，就是減。減的餘數是，就是主人追上客人及返回家的用日率。取其餘數的，作為法。這是減去主人返回家的時間，留下他追趕的時間。談到率，分子不可以再取其半，所以將分母加倍，成為，這就是主人與客人的馬同時行走所用日之率。在旁邊布置法，加。法是，這是主人追及客人所用日之分數。是客人走了主人未發覺之前單獨行走用日之分數。將此二數相加，得日，則就是主人追上之前用日之分數。這是客人與主人同時行走的用日率。那麼主人的用日率，就是客人馬的行率；客人的用日率，就是主人馬的行率。分母相同就要使分子相齊。這就是客人馬的行率5，主人馬的行率13。對於今有術，300里為所有數，13為所求率，5為所有率，而對之應用今有術，即得到主人馬一日行走的里數。以300里乘之，作為實。實除以法，得到主人馬一日行走的里數。如果想知道主人追上客人所行走的里數，就以300里乘客人用日的分子13，除以分母24，得里。以此乘客人與主人的馬同時行走日的分母24，除以客人與主人的馬同時行走用日的分子5，也得到主人的馬行走一日為780里。 今有金箠〔1〕，長五尺。斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤。問：次一尺各重幾何？ 荅曰： 末一尺重二斤， 次一尺重二斤八兩， 次一尺重三斤， 次一尺重三斤八兩， 次一尺重四斤。 術曰：令末重減本重，余，即差率也。又置本重，以四間乘之，為下第一衰。副置，以差率減之，每尺各自為衰〔2〕。按：此術五尺有四間者，有四差也。今本末相減，余即四差之凡數也。以四約之，即得每尺之差，以差數減本重，余即次尺之重也。為術所置，如是而已〔3〕。今此率以四為母，故令母乘本為衰，通其率也〔4〕。亦可置末重，以四間乘之，為上第一衰。以差重率加之，為次下衰也〔5〕。副置下第一衰，以為法。以本重四斤遍乘列衰，各自為實。實如法得一斤〔6〕。以下第一衰為法，以本重乘其分母之數，而又返此率乘本重，為實。一乘一除，勢無損益，故惟本存焉〔7〕。眾衰相推為率，則其餘可知也。亦可副置末衰為法，而以末重二斤乘列衰為實〔8〕。此雖迂迴，然是其舊，故就新而言之也〔9〕。 【注釋】 〔1〕箠：馬鞭，杖，刑杖。司馬遷《報任少卿書》：「關木索被箠楚受辱。」李善注引《漢書》曰：「箠長五尺。」李籍云：箠，「策也。」 〔2〕《九章算術》先求出各尺重的列衰。記各尺重ai，i=1，2，3，4，5，a1-a5稱為差率，則列衰就是 a1:a2:a3:a4:a5=4a1:［4a1-（a1-a5）］: ［4a1-2（a1-a5）］:［4a1-3（a1-a5）］:4a5。 其中a1=4斤，a5=2斤，a1-a5=2斤，所以列衰為 a1:a2:a3:a4:a5=16:14:12:10:8。 〔3〕劉徽提出更簡單的方法，a1-a5是各尺重的總差數，是相鄰兩尺重之差，即公差。記各尺重Ai，i=1，2，3，4，5，那麼各尺重依次是，，A5=a5。將a1=4斤，a5=2斤代入，即得到答案。 〔4〕劉徽指出，《九章算術》的方法就是上述方法中以分母4將各數通之，求出列衰。 〔5〕此謂從末重開始，逐次以重量的差率加之，就得到下面各尺的衰。這與《九章算術》從本重開始減差率求各尺的衰不同。差重率：重量的差率。 〔6〕《九章算術》在求出各尺的列衰之後，以第一衰4a1作為法，以本重a1乘諸列衰，作為實，實除以法，即求出各尺重。即 Ai=a1ai÷4a1，i=1，2，3，4，5。 〔7〕在《九章算術》的方法中，對本重而言，以第一衰為法，法與衰相等，故一乘一除無損益，仍是本重。 〔8〕劉徽認為，亦可從末重開始計算，以末衰a5為法，以末重a5乘列衰，作為實。 〔9〕劉徽總吉他的注，指出《九章算術》的方法迂迴曲折，所以提出新的方法。 【譯文】 假設有一根金箠，長5尺。斬下本1尺，重4斤；斬下末1尺，重2斤。問：每1尺的重量各是多少？ 答： 末1尺重量2斤， 下1尺重量2斤8兩， 下1尺重量3斤， 下1尺重量3斤8兩， 本1尺重量4斤。 術曰：使末1尺的重量減本1尺的重量，餘數就是差率。又布置本1尺的重量，以間隔4乘之，作為下第一衰。將它布置在旁邊，逐次以差率減之，就得到每尺各自的衰。按：此術中，5尺有4個間隔，就是有4個差。現在將本末的重量相減，餘數就是4個差的總數。以4除之，就得到每尺之差，以這個差數減本1尺的重量，餘數就是下1尺的重量。造術的意圖，不過如此而已。現在此率以4為分母，所以使分母乘本1尺的重量作為衰，是為了將它們的率通達。也可以布置末1尺的重量，以間隔4乘之，作為上第一衰。逐次以重量的差率加之，就得到下面每尺的衰。在旁邊布置下第一衰，作為法。以本1尺的重量4斤乘全部列衰，各自作為實。實除以法，就得到各尺的斤數。以下第一衰作為法，以本1尺的重量乘它的分母，而反過來以此率乘本1尺的重量，作為實。一乘一除，其態勢既不減小也不增加，所以只有原本的數保存下來。以諸衰互相推求作為率，則其餘各尺的重量可以知道。也可以在旁邊布置末1尺的衰作為法，而以末1尺的重量2斤乘列衰作為實。這種方法雖然迂迴，然而是原來的，所以用新的方法表示之。 今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問：各得幾何？ 荅曰： 甲得一錢六分錢之二， 乙得一錢六分錢之一， 丙得一錢， 丁得六分錢之五， 戊得六分錢之四。 術曰：置錢，錐行衰〔1〕。按：此術錐行者，謂如立錐：初一、次二、次三、次四、次五，各均為一列者也。並上二人為九，並下三人為六。六少於九，三。數不得等，但以五、四、三、二、一為率也。以三均加焉〔2〕。副並為法。以所分錢乘未並者，各自為實。實如法得一錢〔3〕。此問者，令上二人與下三人等。上、下部差一人，其差三。均加上部，則得二三；均加下部，則得三三。上、下部猶差一人，差得三。以通於本率，即上、下部等也。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，五錢為所有數，而今有之，即得等耳。假令七人分七錢，欲令上二人與下五人等，則上、下部差三人。並上部為十三，下部為十五。下多上少，下不足減上，當以上、下部列差而後均減，乃合所問耳〔4〕。　　此可放下術，令上二人分二錢半為上率，令下三人分二錢半為下率，上、下二率以少減多，余為實。置二人、三人各半之，減五人，余為法，實如法得一錢〔5〕，即衰相去也。下衰率六分之五者，丁所得錢數也〔6〕。 【注釋】 〔1〕錐行（hánɡ）衰：就是排列成錐形的列衰。李籍云：「錐行衰者，下多上少，如立錐之形。」行，行列。 〔2〕此謂排列成錐形的列衰，先設它們是5，4，3，2，1。上2人的和是9，下3人的和是6，不相等。下3人之和少3，而人數多1。因此，每個都加上3，以8，7，6，5，4作為列衰，便做到上2人與下3人的列衰之和相等。 〔3〕《九章算術》以衰分術求解。即列衰相加8+7+6+5+4=30作為法，則甲分得錢=5錢×8÷30=錢，乙分得錢=5錢×7÷30=錢，丙分得錢=5錢×6÷30=1錢，丁分得錢=5錢×5÷30=錢，戊分得錢=5錢×4÷30=錢。 〔4〕劉徽在此舉出一個與《九章算術》的例題相反的例子：按錐行衰，下部之和多於上部之和。劉徽提出以列差均減求列衰的方法。「列差」就是上、下部之和的差除以上、下部項數之差。設上部之和為S1，項數為m1，下部之和為S2，項數為m2，則列差為。實際上這是一個普遍方法，對任何錐行衰的情況，以均減，都可以使上、下部相等。 〔5〕劉徽在此用下九節竹問的方法求出各人錢數之差。設總錢數為S，上部m1人，下部m2人，則相鄰二人錢數之差為。五人分五錢問中二人錢數之差是。 〔6〕丁在下3人中居中，所得應是下3人的平均數，因此應分。 【譯文】 假設有5個人分配5錢，使上部2人所分得的錢與下部3人的相等。問：各分得多少錢？ 答： 術：布置錢數，按錐形將諸衰排列成一行。按：此術中，按錐形排列成一行，是說像錐形那樣立起來：自下而上是1，2，3，4，5，都均勻地排成一列。將上部2人的衰相加為9，將下部3人的衰相加為6。6比9少3。諸衰的數值不能相等，就以5，4，3，2，1建立率。以3均等地加諸衰。在旁邊將它們相加作為法。以所分的錢乘未相加的衰，各自作為實。實分別除以法，得到各人分得的錢數。提問的人要使上二人分得的錢與下3人的相等。現在上、下部相差1人，兩者諸衰之和相差3。將差3均等地加到上部諸衰上，即加2個3；均等地加到下部諸衰上，即加3個3。上、下部還是差1人，諸衰之差仍然得3。以3使原來的率相通，則上、下部諸衰之和相等。對於今有術，在旁邊將它們相加為所有率，沒有相加的衰各自作為所求率，5錢作為所有數，而對之應用今有術，就得到上2人與下3人分得的錢相等的結果。假設7個人分配7錢，想使上部2人分得的錢與下部5人的相等，則上、下部相差3人。將上部諸衰相加為13，下部諸衰相加為15。下部的多，上部的少，下部的不能減上部的，應當求出上、下部的列差而後均等地減諸衰，才符合所提出的問題。　　此也可以仿照下面九節竹問的術：使上部2人分錢，作為上率，使下部3人分錢作為下率，上、下二率以少減多，餘數作為實。布置2人、3人，各取其，以減5人，餘數作為法，實除以法，得錢數，就是諸衰的公差。下部諸衰的平率，就是丁所分得的錢數。 今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升。問：中間二節慾均容〔1〕，各多少？ 荅曰： 下初一升六十六分升之二十九， 次一升六十六分升之二十二， 次一升六十六分升之一十五， 次一升六十六分升之八， 次一升六十六分升之一， 次六十六分升之六十， 次六十六分升之五十三， 次六十六分升之四十六， 次六十六分升之三十九。 術曰：以下三節分四升為下率〔2〕，以上四節分三升為上率〔3〕。此二率者，各其平率也〔4〕。上、下率以少減多，余為實〔5〕。按：此上、下節各分所容為率者，各其平率。「上、下以少減多」者，余為中間五節半之凡差，故以為實也〔6〕。置四節、三節，各半之，以減九節，余為法。實如法得一升，即衰相去也〔7〕。按：此術法者，上、下節所容已定之節，中間相去節數也。實者，中間五節半之凡差也。故實如法而一，則每節之差也。下率一升少半升者，下第二節容也〔8〕。一升少半升者，下三節通分四升之平率。平率即為中分節之容也。 【注釋】 〔1〕均容：即各節自下而上均勻遞減。這實際上是一個等差數列的問題。 〔2〕下率：下三節所容的平均值，即。 〔3〕上率：上四節所容的平均值，即。 〔4〕劉徽認為下率升是下3節容積的平均值，即中間一節也就是下第二節的容積；上率升是上4節容積的平均值，即上第一節半至第二節半的容積，所以劉徽稱為「平率」或簡稱「平」。 〔5〕《九章算術》以升作為實。 〔6〕劉徽認為升是中間節的總差，所以作為實。 〔7〕《九章算術》以節作為法。實除以法，即，就是相去衰，即各節容積之差，也就是這個等差數列的公差。 〔8〕下率升是下第二節的容積，由此利用各節的相去衰升即可求出各節的容積。 【譯文】 假設有一支竹，共9節，下3節的容積是4升，上4節的容積是3升。問：如果想使中間2節的容積均勻遞減，各節的容積是多少？ 答： 術：以下3節平分4升，作為下率，以上4節平分3升，作為上率。此二率分別是上4節、下3節的平均率。上率、下率以少減多，餘數作為實。按：此處上4節、下3節分別平分其容積所形成的率，各是它們的平均率。「上率、下率以少減多」，餘數就是中間節之總差，所以作為實。布置4節、3節，各取其，以它們減9節，餘數作為法。實除以法，求得的升數，就是諸衰之差。按：此術中，法就是上4節、下3節中其容積已經確定的節之中間相距的節數，實就是中間節之總差。所以實除以法，就是每節之差。下率升就是下第二節的容積。升是下3節一起分4升之平均率。平均率就是中間這一節的容積。 今有鳧起南海〔1〕，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧、雁俱起，問：何日相逢？ 荅曰：三日十六分日之十五。 術曰：並日數為法，日數相乘為實，實如法得一日〔2〕。按：此術置鳧七日一至，雁九日一至。齊其至，同其日，定六十三日鳧九至，雁七至。今鳧、雁俱起而問相逢者，是為共至。並齊以除同，即得相逢日。故「並日數為法」者，並齊之意；「日數相乘為實」者，猶以同為實也〔3〕。　　一曰：鳧飛日行七分至之一，雁飛日行九分至之一，齊而同之，鳧飛定日行六十三分至之九，雁飛定日行六十三分至之七。是南北海相去六十三分，鳧日行九分，雁日行七分也。並鳧、雁一日所行，以除南北相去，而得相逢日也〔4〕。 今有甲髮長安，五日至齊〔5〕；乙發齊，七日至長安。今乙發已先二日，甲乃髮長安。問：幾何日相逢？ 荅曰：二日十二分日之一。 術曰：並五日、七日以為法。按：此術「並五日、七日為法」者，猶並齊為法。置甲五日一至、乙七日一至，齊而同之，定三十五日甲七至，乙五至。並之為十二至者，用三十五日也。謂甲、乙與發之率耳。然則日化為至，當除日，故以為法也〔6〕。以乙先發二日減七日，「減七日」者，言甲、乙俱發，今以發為始發之端，於本道里則余分也。余，以乘甲日數為實。七者，長安去齊之率也，五者，後發相去之率也。今問後發，故舍七用五。以乘甲五日，為二十五日。言甲七至，乙五至，更相去，用此二十五日也〔7〕。實如法得一日〔8〕。一日甲行五分至之一，乙行七分至之一。齊而同之，甲定日行三十五分至之七，乙定日行三十五分至之五。是為齊去長安三十五分，甲日行七分，乙日行五分也。今乙先行發二日，已行十分，余，相去二十五分。故減乙二日，余，令相乘，為二十五分〔9〕。 今有一人一日為牝瓦三十八枚，一人一日為牡瓦七十六枚〔10〕。今令一人一日作瓦，牝、牡相半。問：成瓦幾何？ 荅曰：二十五枚少半枚。 術曰：並牝、牡為法，牝、牡相乘為實，實如法得一枚〔11〕。此意亦與鳧雁同術。牝、牡瓦相併，猶如鳧雁日飛相併也。按：此術，「並牝、牡為法」者，並齊之意；「牝、牡相乘為實」者，猶以同為實也。故實如法即得也。 今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五〔12〕。今令一人一日自矯、羽、筈，問：成矢幾何？ 荅曰：八矢少半矢。 術曰：矯矢五十，用徒一人；羽矢五十，用徒一人太半人；筈矢五十，用徒三人少半人。並之，得六人，以為法。以五十矢為實。實如法得一矢〔13〕。按：此術言成矢五十，用徒六人，一日工也。此同工共作，猶鳧、雁共至之類，亦以同為實，並齊為法〔14〕。　　可令矢互乘一人為齊，矢相乘為同〔15〕。今先令同於五十矢，矢同則徒齊，其歸一也〔16〕。——以此術為鳧雁者，當雁飛九日而一至，鳧飛九日而一至七分至之二，並之，得二至七分至之二，以為法。以九日為實〔17〕。——實如法而一，得一人日成矢之數也〔18〕。 今有假田〔19〕，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，後年五畝一錢。凡三歲得一百。問：田幾何？ 荅曰：一頃二十七畝四十七分畝之三十一。 術曰：置畝數及錢數。令畝數互乘錢數，並以為法。畝數相乘，又以百錢乘之，為實。實如法得一畝〔20〕。按：此術令畝互乘錢者，齊其錢；畝數相乘者，同其畝，同於六十。則初假之歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二也。凡三歲得錢一百為所有數，同畝為所求率，四十七錢為所有率，今有之，即得也。齊其錢，同其畝，亦如鳧雁術也。於今有術，百錢為所有數，同畝為所求率，並齊為所有率〔21〕。　　臣淳風等按：假田六十畝，初歲得錢二十，明年得錢十五，後年得錢十二，並之得錢四十七，是為得田六十畝三歲所假。於今有術，百錢為所有數，六十畝為所求率，四十七為所有率，而今有之，即合問也。 今有程耕〔22〕，一人一日發七畝〔23〕，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝〔24〕。今令一人一日自發、耕、耰種之，問：治田幾何？ 荅曰：一畝一百一十四步七十一分步之六十六。 術曰：置發、耕、耰畝數。令互乘人數，並，以為法。畝數相乘為實。實如法得一畝〔25〕。此猶鳧雁術也。　　臣淳風等謹按：此術亦發、耕、耰種畝數互乘人者〔26〕，齊其人；畝數相乘者，同其畝。故並齊為法，以同為實。計田一百五畝，發用十五人，耕用三十五人，種用二十一人，並之，得七十一工。治得一百五畝，故以為實。而一人一日所治，故以人數為法除之，即得也。 今有池，五渠注之。其一渠開之，少半日一滿；次，一日一滿；次，二日半一滿；次，三日一滿；次，五日一滿。今皆決之，問：幾何日滿池？ 荅曰：七十四分日之十五。 術曰：各置渠一日滿池之數，並，以為法。按：此術其一渠少半日滿者，是一日三滿也；次，一日一滿；次，二日半滿者，是一日五分滿之二也；次，三日滿者，是一日三分滿之一也；次，五日滿者，是一日五分滿之一也；並之，得四滿十五分滿之十四也〔27〕。以一日為實。實如法得一日〔28〕。此猶矯矢之術也。先令同於一日，日同則滿齊〔29〕。自鳧雁至此，其為同齊有二術焉，可隨率宜也〔30〕。 其一術：各置日數及滿數。令日互相乘滿，並，以為法。日數相乘為實。實如法得一日〔31〕。亦如鳧雁術也。按：此其一渠少半日滿池者，是一日三滿池也；次，一日一滿；次，二日半滿者，是五日再滿；次，三日一滿；次，五日一滿。此謂列置日數於右行，及滿數於左行。以日互乘滿者，齊其滿；日數相乘者，同其日。滿齊而日同，故並齊以除同，即得也。 【注釋】 〔1〕鳧（fú）：野鴨。劉徽認為此問及下長安至齊、牝牡二瓦、矯矢、假田、程耕、五渠共池等7問都是鳧雁類問題，我們合為一組。 〔2〕《九章算術》的方法是 〔3〕劉徽以齊同原理闡釋此題解法。他認為有兩種齊同方式。這裡是齊其至，同其日的方式：同其日為63日，齊其至為鳧9至，雁7至，那麼63日共9+7=16至。所以一至即鳧雁相逢日=63日÷16=日。 〔4〕這是劉徽提出第二種齊同方式，即同其距離之分，齊其日行。鳧日行至，雁日行至。將南北海距離分成63份，則鳧日行至，雁日行至。換言之，鳧日行9份，雁日行7份。因此鳧、雁一日共飛（9+7）份，所以相逢日=63份÷（9+7）份/日=日。 〔5〕長安：古地名。秦離宮。漢高祖七年始都於此。故城在今西安市西北。　　齊：古諸侯國名。周武王封太公望於齊，都營丘，即臨淄。 〔6〕劉徽以「齊其至，同其日」的方式闡釋此問的解法，即由於甲5日1至，乙7日1至，同其日為35日，齊其至為甲7至，乙5至，共為12至。所以作為法。 〔7〕劉徽指出，由於乙先發2日，問題變成（7-2）×5日=25日，12至。 〔8〕《九章算術》的方法是，以（5+7）日作為法，以（7-2）日×5日作為實，於是 〔9〕劉徽又以「同其距離之分，齊其日行」的方式闡釋此問的解法，即長安至齊為35份，甲1日行至，乙1日行至。換言之，甲1日行7份，乙1日行5份，甲、乙1日共行（7+5）份。乙先發2日，走10份，故餘25份。 〔10〕牝（pìn）：本意是鳥獸的雌性，轉指器物的凹入部分。牝瓦又稱為板瓦、雌瓦、陰瓦。　　牡：本意是鳥獸的雄性，轉指器物的凸起部分。牡瓦又稱為筒瓦、雄瓦、陽瓦。 〔11〕《九章算術》的方法是 枚數=（牝瓦數×牡瓦數）÷（牝瓦數+牡瓦數）。 〔12〕這是指為箭安裝箭翎。　　矯：本義是一種揉箭使直的箝子，引申為使彎曲的物體變直。李籍引《說文解字》云：「揉箭，箝也。」又云：矯，「俗作撟」。　　筈（kuò）：本義是箭的尾部扣弦處，引申為安裝箭尾。又作「栝」。　　羽：本義是鳥的長毛，引申為箭翎，裝飾在箭杆的尾部，用以保持方向。 〔13〕《九章算術》的方法是 〔14〕劉徽用齊同原理闡釋此問的解法：同其矢，齊其徒。矢同於50，則用徒分別是，矯矢1人，羽矢人，筈矢人。 〔15〕劉徽認為，也可以以50×30×15矢作為同，用徒人數分別是矯矢30×15人，羽矢50×15人，筈矢50×30人，作為齊。 〔16〕劉徽指出，兩種齊同方式，本質是一樣的。 〔17〕此處插入用此術的方法解鳧雁問如何求得法、實的方法：同其日是同於9日，作為實；齊其至，雁9日而1至，鳧9日而至，則作為法。因此 〔18〕實如法而一，得一人成矢之數也：其中之法、實指上文「亦以同為實，並齊為法，可令矢互乘一人為齊，矢相乘為同」。 〔19〕假田：指漢代租給貧民墾殖的土地。《漢書·食貨志》：「豪民侵陵，分田劫假。」顏師古註：「假亦謂貧人賃富人之田也。」假，雇賃，租賃。李籍云：假，「借也」。 〔20〕《九章算術》的方法是設第一、二、三年分別假a1，a2，a3畝1錢，則 畝數=100錢×a1a2a3÷（1錢×a2a3+1錢×a1a3+1錢×a1a2）。 〔21〕劉徽以今有術闡釋此題的解法：首先利用齊同原理，同其畝，齊其錢。同其畝即a1a2a3，為所求率；齊其錢，第一年為a2a3，第二年為a1a3，第三年為a1a2，相加，以a2a3+a1a3+a1a2作為所有率。 〔22〕程耕：標準的耕作量。李籍云：耕，「犁也。《詩》曰：『亦服爾耕。』」 〔23〕發：開發，開墾。李籍云：發，「伐也。《詩》曰：『駿發爾私。』」 〔24〕耰（yōu）：古代用以破碎土塊，平整田地的農具。這裡指播種後用耰平土，覆蓋種子。李籍云：「覆種也。《孟子》曰：『播種而耰之。』」 〔25〕《九章算術》的方法是，設1人1日程耕發、耕、耰的畝數分別是a1，a2，a3畝，則 畝數=a1a2a3÷（1×a2a3+1×a1a3+1×a1a2）。 〔26〕亦：通「以」。見裴學海《古書虛字集釋》卷三。 〔27〕將各渠1日滿池次數相加，作為法，即劉徽雲，一渠1日滿3次，二渠1日滿1次，三渠1日滿次，四渠1日滿次，五渠1日滿次，共1日滿次，作為法。 〔28〕《九章算術》的方法是，以1日作為實，則 〔29〕劉徽以齊同原理闡釋此問的解法：像矯矢術一樣，同其日，齊其滿。 〔30〕劉徽總結鳧雁問至此諸問，它們都有兩種齊同方式，人們可以根據需要靈活運用。 〔31〕這是《九章算術》對這種問題提出的另一種解法：設五渠bi滿的日數分別是ai，i=1，2，3，4，5，布置日數及滿數（原為豎排，今改橫排）： 【譯文】 假設有一隻野鴨自南海起飛，7日至北海；一隻大雁自北海起飛，9日至南海。如果野鴨、大雁同時起飛，問：它們多少日相逢？ 答：。 術：將日數相加，作為法，使日數相乘，作為實，實除以法，得到相逢的日數。按：此術中，布置野鴨7日飛至1次，大雁9日飛至1次。將它們飛至的次數相齊，使其用的日數相同，則確定63日中野鴨飛至9次，大雁飛至7次。如果野鴨、大雁同時起飛而問它們相逢的日數，這就是同時飛至。將齊相加，以除同，就得到相逢的日數。所以「將日數相加，作為法」，這是將齊相加的意思；「使日數相乘，作為實」，仍然是以同作為實。　　一術說：野鴨1日飛行全程的，大雁1日飛行全程的，將它們齊同，確定野鴨1日飛行全程的，大雁1日飛行全程的。這就是南北海距離63份，野鴨1日飛行9份，大雁1日飛行7份。將野鴨、大雁1日所飛行的份數相加，以它除南、北海的距離，就得到它們相逢的日數。 假設甲自長安出發，5日至齊；乙自齊出發，7日至長安。如果乙先出發已經2日，甲才自長安出發。問：多少日相逢？ 答：日。 術：將5日、7日相加，作為法。按：此術中，「將5日、7日相加，作為法」，仍然是將齊相加，作為法。布置甲5日到達1次，乙7日到達1次，將它們齊同，確定35日中甲到達7次，乙到達5次。將它們相加，為到達12次，用35日。這是說甲、乙一同出發的率。那麼日數化為到達的次數，應當除以日數，所以以它作為法。以乙先出發的2日減7日，「減7日」，是說甲、乙同時出發，現在以同時出發為始發的開端，對於原本的道路里數就是餘數。以其餘數乘甲自長安到達齊的日數，作為實。7是長安至齊的距離之率，5是甲後來自長安出發時甲、乙相距之率。現在就甲後來自長安出發提問，所以捨去7而用5。以5乘甲自長安到達齊的日數5，為25日。所以說甲到達7次，乙到達5次，再考慮甲乙相距，就是用此25日。實除以法，便得到相逢的日數。甲1日行走全程的，乙1日行走全程的。將它們齊同，確定甲1日行走全程的，乙1日行走全程的。這就是齊到長安的全程35份，甲1日行走7份，乙1日行走5份。現在乙先行出發2日，已行走10份，餘數是相距25份。所以減去乙先走的2日，使其餘數相乘，為25份。 假設一人1日製造牝瓦38枚，一人1日製造牡瓦76枚。現在使一人造瓦1日，牝瓦、牡瓦各一半。問：製成多少瓦？ 答：枚。 術：將一人1日制的牝瓦、牡瓦數相加，作為法，牝瓦、牡瓦數相乘，作為實，實除以法，得到枚數。此問的思路也與野鴨大雁的術文相同。牝瓦、牡瓦數相加，如同野鴨、大雁飛行的日數相加。按：此術中，「將一人1日制的牝瓦、牡瓦數相加，作為法」，是將齊相加之意；「牝瓦、牡瓦數相乘，作為實」，仍然是以同作為實。所以實除以法，就得到成瓦數。 假設1人1日矯正箭50支，1人1日裝箭翎30支，1人1日裝箭尾15支。現在使1人1日自己矯正、裝箭翎、裝箭尾，問：1日做成多少支箭？ 答：支箭。 術：矯正箭50支，用工1人；裝箭翎50支，用工人；裝箭尾50支，用人。將它們相加，得到6人，作為法。以50支箭作為實。實除以法，得到成箭數。按：此術說成箭50支，用工6人，是1日的工。這是同工共作類的問題，如同野鴨、大雁共同到達之類，也是以同作為實，將齊相加作為法。　　又可以使矯正、裝箭翎、裝箭尾的支數互乘1人，作為齊，箭的支數相乘作為同。現在先將它們同於50支箭，箭的支數相同，則用工數應該分別與之相齊，其歸宿是一樣的。——如果以此術處理野鴨大雁問題，應當是大雁飛9日而到達1次，野鴨飛9日而到達次。兩者相加，得到次，以它作為法。以9日作為實。——實除以法，得1人1日成箭之數。 假設出租田地，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢。三年共得100錢。問：出租的田是多少？ 答：1頃畝。 術：布置各年的畝數及錢數。使畝數互乘錢數，將它們相加，作為法。各年的畝數相乘，又以100錢乘之，作為實。實除以法，得出租田地的畝數。按：此術中，使畝數互乘錢數，是齊各年的錢；畝數相乘，是使它們的畝數相同，它們都同於60。則第一年得20錢，第二年得15錢，第三年得12錢。三年共得到的100錢作為所有數，相同的畝數作為所求率，47錢作為所有率，對其應用今有術，就得到田地的畝數。齊各年的錢數，使它們的畝數相同，亦如同野鴨大雁術。對於今有術，100錢作為所有數，使它們的畝數相同作為所求率，將齊相加作為所有率。　　淳風等按：出租田地60畝，第一年得到20錢，第二年得到15錢，後年得到12錢，將它們相加，得到47錢，這就是得到60畝田地，是三年所出租的。對於今有術，100錢為所有數，60畝為所求率，47錢為所有率，而對之應用今有術，即符合問題。 假設按標準量耕作，1人1日開墾7畝地，1人1日耕3畝地，1人1日播種5畝地。現在使1人1日自己開墾、耕地、播種之，問：整治的田地是多少？ 答：1畝步。 術：布置開墾、耕地、播種的畝數。使之互乘人數，相加，作為法。開墾、耕地、播種的畝數相乘，作為實。實除以法，得整治的畝數。此問如同野鴨大雁之術。　　淳風等按：此術中也用開墾、耕地、播種的畝數互乘人數，是為了使人相齊；開墾、耕地、播種的畝數相乘，是為了使畝數相同。所以將齊相加作為法，以同作為實。總計田地是105畝，開墾用15人，耕地用35人，播種用21人，將它們相加，得71工。整治了105畝，所以作為實。而要求1人1日所整治的畝數，所以以人數作為法除之，即得。 假設有一水池，五條水渠向里注水。如果開啟第一條渠，日就注滿1池；開啟第二條渠，1日就注滿1池；開啟第三條渠，日就注滿1池；開啟第四條渠，3日就注滿1池；開啟第五條渠，5日就注滿1池。現在同時打開五條渠，問：多少日注滿水池？ 答：日。 術：分別布置各渠1日注滿水池之數，相加，作為法。按：此術中，其第一條渠日就注滿1池，就是1日注滿3池；第二條渠1日注滿1池；第三條渠日就注滿1池，就是1日注滿池；第四條渠3日就注滿1池，就是1日注滿池；第五條渠5日就注滿1池，就是1日注滿池；將它們相加，得池。以1日作為實。實除以法，得到日數。此問如同矯正箭之術。先使它們同於1日，日數相同，則滿池之數要分別與之相齊。自野鴨大雁問至此問，它們施行齊同的方式都有二種，可以根據計算的需要選擇適宜的方式。 另一術：分別布置日數及注滿水池之數。使日數互相乘滿池之數，相加，作為法。日數相乘作為實。實除以法，得到日數。也如同野鴨大雁之術。按：此術中，其第一條渠日就注滿1池，就是1日注滿3池；第二條渠1日注滿1池；第三條渠日就注滿1池，就是5日注滿2池；第四條渠3日注滿1池；第五條渠5日注滿1池。這是說在右行布列日數，在左行布列滿池之數。以日數互乘滿池之數，是使滿池之數分別與日數相齊；日數相乘，是使日數相同。滿池之數分別與日數相齊，而日數相同，所以將齊相加，以它除同，就得到五渠共同注滿一池的日數。 今有人持米出三關〔1〕，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，余米五斗。問：本持米幾何？ 荅曰：十斗九升八分升之三。 術曰：置米五斗，以所稅者三之，五之，七之，為實。以余不稅者二、四、六相互乘為法。實如法得一斗〔2〕。此亦重今有也〔3〕。「所稅者」，謂今所當稅之。定三、五、七皆為所求率〔4〕，二、四、六皆為所有率。置今有餘米五斗，以七乘之，六而一，即內關未稅之本米也〔5〕。又以五乘之，四而一，即中關未稅之本米也〔6〕。又以三乘之，二而一，即外關未稅之本米也〔7〕。今從末求本，不問中間，故令中率轉相乘而同之，亦如絡絲術〔8〕。　　又一術〔9〕「外關三而取一」，則其餘本米三分之二也。求外關所稅之餘，則當置一，二分乘之，三而一。欲知中關，以四乘之，五而一。欲知內關，以六乘之，七而一。凡余分者，乘其母子，以三、五、七相乘得一百五，為分母，二、四、六相乘得四十八，為分子。約而言之，則是余米於本所持三十五分之十六也。於今有術，余米五斗為所有數，分母三十五為所求率，分子十六為所有率也〔10〕。 今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一。並五關所稅，適重一斤。問：本持金幾何？ 荅曰：一斤三兩四銖五分銖之四。 術曰：置一斤，通所稅者以乘之，為實。亦通其不稅者，以減所通，余為法。實如法得一斤〔11〕。此意猶上術也。置一斤，「通所稅者」，謂令二、三、四、五、六相乘為分母，七百二十也。「通其所不稅者」，謂令所稅之餘一、二、三、四、五相乘為分子，一百二十也。約而言之，是為余金於本所持六分之一也。以子減母，凡五關所稅六分之五也。於今有術，所稅一斤為所有數，分母六為所求率，分子五為所有率。此亦重今有之義〔12〕。　　又，雖各有率，不問中間，故令中率轉相乘而連除之，即得也。置一以為持金之本率，以稅率乘之、除之，則其率亦成積分也〔13〕。 【注釋】 〔1〕此問及下一問都是持物出關問題，我們並為一組。 〔2〕《九章算術》的方法是 〔3〕重今有：重今有術。 〔4〕定：確定。 〔5〕這是第一次應用今有術：5斗為所有數，7為所求率，6為所有率，求內關未稅之米。 〔6〕這是第二次應用今有術：內關未稅之米為所有數，5為所求率，4為所有率，求中關未稅之米。 〔7〕這是第三次應用今有術：中關未稅之米為所有數，3為所求率，2為所有率，求外關未稅之米。 〔8〕劉徽以三重今有術解此問，亦如絡絲問。 〔9〕又一術：劉徽提出的又一種方法。 〔10〕這是劉徽提出的從外關開始計算，求出所餘5斗占本持米的比率。外關所稅之餘為，中關所稅之餘為，內關所稅之餘為。即所餘5斗為本持米的，5斗為所有數，35為所求率，16為所有率，應用今有術，得 〔11〕《九章算術》的方法是：設五關所稅者分別是ai，不稅者為bi，i=1，2，3，4，5，則 本持金=（1斤×a1a2a3a4a5）÷（a1a2a3a4a5-b1b2b3b4b5）。 〔12〕如同上術，劉徽求出五關所稅1斤占本持金的比率：所稅者2，3，4，5，6相乘，得720，為分母；所不稅者1，2，3，4，5相乘，得120，為分子。將其約簡，剩餘的金為本持金的。因此，所稅者1斤為本持金的。然後，應用今有術，便求出本持金。 〔13〕此謂本持金率為1，稅率為，由五關所稅1斤，應用今有術求出本持金。 【譯文】 假設有人帶著米出三個關卡，外關3份而徵稅1份，中關5份而徵稅1份，內關7份而徵稅1份，還剩餘5斗米。問：本來帶的米是多少？ 答：10斗升。 術：布置米5斗，以所徵稅者3，5，7乘之，作為實。以剩餘不徵稅者2，4，6互相乘，作為法。實除以法，得米的斗數。這也是重今有術的意義。「所徵稅者」，是說現在所應當徵稅的部分。確定3，5，7皆為所求率，2，4，6皆為所有率。布置現有的剩餘的米5斗，以7乘之，除以6，就是內關未徵稅時本來的米。又以5乘之，除以4，就是中關未徵稅時本來的米。又以3乘之，除以2，就是外關未徵稅時本來的米。現在從末求本，不考慮中間的，所以使中率輾轉相乘而使它們通同之，也如同絡絲術。　　又一術「外關3份而徵稅1份」，則它的剩餘是本來帶的米的。求外關徵稅的剩餘，則應當布置1，以2分乘之，除以3。想知道中關徵稅後的剩餘，以4乘之，除以5。想知道中關徵稅後的剩餘，以6乘之，除以7。求總的剩餘所占的分數，則使分母、分子分別相乘，以3，5，7相乘，得到105，作為分母，以2，4，6相乘，得到48，作為分子。約簡地表示之，則是剩餘的米是本來所帶的米的。對於今有術，剩餘的米5斗為所有數，分母35為所求率，分子16為所有率。 假設有人帶著金出五個關卡，前關2份而徵稅1份，第二關3份而徵稅1份，第三關4份而徵稅1份，第四關5份而徵稅1份，第五關6份而徵稅1份。五關所徵稅之和恰好重1斤。問：本來帶的金是多少？ 答：1斤3兩銖。 術曰：布置1斤，通所應徵稅者，以其乘之，作為實。亦通其不應徵稅者，用以減通所應徵稅者，剩餘作為法。實除以法，得到本來帶的斤數。此術的思路如同上一術。布置1斤，「通所應徵稅者」，是說使2，3，4，5，6相乘作為分母，即720。「連通所不應徵稅者」，是說使徵稅後剩餘的1，2，3，4，5相乘作為分子，即120。約簡地表示之，這就是剩餘的金是本來所帶的金的。以分子減分母，五關所征的稅總計為。對於今有術，所征的稅1斤為所有數，分母6為所求率，分子5為所有率。這也是重今有術的意義。　　又，雖然都有各自的率，卻不考慮中間的，所以使中率輾轉相乘而連除之，即得其結果。布置1，以作為所帶金的本率，以其稅率乘之、除之，則它的率也是分數的積累。