九章算術譯註 · 九章算術卷第五

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 商功〔1〕以御功程積實〔2〕 今有穿地〔3〕，積一萬尺。問：為堅、壤各幾何〔4〕？ 荅曰： 為堅七千五百尺； 為壤一萬二千五百尺。 術曰：穿地四為壤五，壤謂息土〔5〕。為堅三，堅謂築土。為墟四〔6〕。墟謂穿坑。此皆其常率。以穿地求壤，五之；求堅，三之；皆四而一〔7〕。今有術也。以壤求穿，四之；求堅，三之；皆五而一〔8〕。以堅求穿，四之；求壤，五之；皆三而一〔9〕。臣淳風等謹按：此術並今有之義也。重張穿地積一萬尺，為所有數，堅率三、壤率五各為所求率，穿率四為所有率，而今有之，即得。 【注釋】 〔1〕商功：九數之一，其本義是商量土方工程量的分配。李籍云：「商，度也。以度其功傭，故曰商功。」要計算工程量，首先要計算土方的體積，因此提出了若干多面體和圓體的體積公式。今天人們更重視其中立體的體積公式的內容。由體積公式派生出來的委粟問題也成為本章的重要內容，後來歸於《永樂大典》的委粟類。 〔2〕功程積實：指土建工程及體積問題。功，謂一個勞力一日的工作。《漢紀·文帝紀》：「冬則民既入，婦人同巷夜績，女工一月得四十五功。」功程，謂需要投入較多人力物力營建的項目。積，體積。 〔3〕穿地：挖地。李籍云：「掘地也。」穿，開鑿，挖掘。 〔4〕堅：堅土，夯實的泥土。李籍云：「堅為築土。《詩》曰：『築之登登。』」穿:堅=4:3。　　壤：鬆散的泥土，《書經·禹貢》：「厥土惟白壤。」孔傳：「無塊曰壤。」劉徽說是「息土」。穿:壤=4:5。 〔5〕息土：猶息壤，沃土，利於生長農作物的土，亦即鬆散的泥土。《孔子家語·執轡》「息土之人美」，盧辯註：「息土，謂衍沃之田。」息，本義是呼吸時進出的氣，引申為滋生，生長。《周易·革》：「水火相息。」王弼註：「息者，生變之謂也。」孔穎達疏：「息，生也。」 〔6〕墟：廢址，故劉徽說「墟謂穿坑」。穿:墟=4:4。 〔7〕此即壤=×穿，堅=×穿。劉徽謂這是應用今有術。 〔8〕此即穿=×壤，堅=×壤。 〔9〕此即穿=×堅，壤=×堅。 【譯文】 商功為了處理工程的體積問題 假設挖出的泥土，其體積為10 000尺3。問：變成堅土、壤土各是多少？ 答： 變成堅土7 500尺3； 變成壤土12 500尺3。 術：挖出的土是4，變成壤土是5。壤土是指肥沃的土。變成堅土是3。堅土是指夯土。變成墟土是4。墟土是指挖坑的土。這些都是它們的常率。由挖出的土求壤土，乘以5，求堅土，乘以3，都除以4。這是用今有術。由壤土求挖出的土，乘以4，求堅土，乘以3，都除以5。由堅土求挖出的土，乘以4，求壤土，乘以5，都除以3。淳風等按：這些方法都是今有術。重複布置挖出的土的體積10 000尺3，作為所有數。堅土率3、壤土率5各為所求率，挖出的土的率作為所有率，用今有術求之，就得到了。 城〔1〕、垣〔2〕、堤〔3〕、溝〔4〕、塹〔5〕、渠〔6〕皆同術〔7〕。 術曰：並上下廣而半之，損廣補狹〔8〕。以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺〔9〕。按：此術「並上下廣而半之」者，以盈補虛，得中平之廣〔10〕。「以高若深乘之」，得一頭之立冪〔11〕。「又以袤乘之」者，得立實之積〔12〕，故為積尺。 今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。問：積幾何？ 荅曰：一百八十九萬七千五百尺〔13〕。 今有垣，下廣三尺，上廣二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。問：積幾何？ 荅曰：六千七百七十四尺〔14〕。 今有堤，下廣二丈，上廣八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。問：積幾何？ 荅曰：七千一百一十二尺〔15〕。 冬程人功四百四十四尺〔16〕。問：用徒幾何〔17〕？ 荅曰：一十六人一百一十一分人之二。 術曰：以積尺為實，程功尺數為法。實如法而一，即用徒人數〔18〕。 今有溝，上廣一丈五尺，下廣一丈，深五尺，袤七丈。問：積幾何？ 荅曰：四千三百七十五尺〔19〕。 春程人功七百六十六尺〔20〕，並出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四〔21〕。問：用徒幾何？ 荅曰：七人三千六十四分人之四百二十七。 術曰：置本人功，去其五分之一，余為法。「去其五分之一」者，謂以四乘五除也〔22〕。以溝積尺為實。實如法而一，得用徒人數〔23〕。按：此術「置本人功，去其五分之一」者，謂以四乘之，五而一。除去出土之功，取其定功，乃通分內子以為法。以分母乘溝積尺為實者，法里有分，實里通之〔24〕，故實如法而一，即用徒人數。此以一人之積尺除其眾尺，故用徒人數不盡者，等數約之而命分也。 今有塹，上廣一丈六尺三寸，下廣一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。問：積幾何？ 荅曰：一萬九百四十三尺八寸〔25〕。八寸者，謂穿地方尺，深八寸。此積余有方尺中二分四厘五毫，棄之〔26〕。貴欲從易，非其常定也。 夏程人功八百七十一尺〔27〕，並出土功五分之一，沙礫水石之功作太半〔28〕，定功二百三十二尺一十五分尺之四〔29〕。問：用徒幾何？ 荅曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。 術曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙礫水石之功太半，余為法。以塹積尺為實。實如法而一，即用徒人數〔30〕。按：此術「置本人功，去其出土功五分之一」者，謂以四乘五除。「又去沙礫水石作太半」者，一乘三除，存其少半，取其定功，乃通分內子以為法。以分母乘積尺為實者，為法里有分，實里通之，故實如法而一，即用徒人數。不盡者，等數約之而命分也。 今有穿渠，上廣一丈八尺，下廣三尺六寸，深一丈八尺，袤五萬一千八百二十四尺。問：積幾何？ 荅曰：一千七萬四千五百八十五尺六寸〔31〕。 秋程人功三百尺〔32〕。問：用徒幾何？ 荅曰：三萬三千五百八十二人，功內少一十四尺四寸〔33〕。 一千人先到，問：當受袤幾何？ 荅曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。 術曰：以一人功尺數乘先到人數為實。以一千人一日功為實〔34〕。並渠上、下廣而半之，以深乘之為法〔35〕。以渠廣、深之立實為法〔36〕。實如法得袤尺〔37〕。 【注釋】 〔1〕城：此指都邑四周用以防守的牆垣。 〔2〕垣：牆，矮牆。《說文》：「垣，牆也。」李籍云：「墉也。」 〔3〕堤：堤防，沿江河湖海用土石修築的擋水工程。《韓非子·喻老》：「千丈之堤，以螻蟻之穴潰。」李籍云：堤，「防也」。 〔4〕溝：田間水道。《周禮·考工記·匠人》：「九夫為井。井間廣四尺，深四尺謂之溝。」李籍引《釋名》曰：「田間之水曰溝。溝，搆也，縱橫相交搆。」 〔5〕塹：坑，壕溝，護城河。《說文》：「塹，坑也。」《墨子·備城門》：「塹中深丈五，廣比肩。」李籍云：「長於溝也。水之繞城者。」 〔6〕渠：人工開挖的壕溝，水道。《說文》：「渠，水所居。」王筠句讀：「河者，天生之；渠者，人鑿之。」李籍云：「長於塹也。水之通運者。」 〔7〕城、垣、堤是地面上的土石工程，溝、塹、渠是地面下的水土工程，然而在數學上它們的形狀完全相同：上、下兩底是互相平行的長方形，它們的長相等而寬不等，兩側為相等的兩長方形，兩端為垂直於地面的全等的等腰梯形，如圖5-1（1）。因而《九章算術》說它們「同術」，即有同一求積公式。以下以「塹」代表這種多面體。 圖5-1　塹及其出入相補 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔8〕損廣補狹：減損長的，補益短的。因為塹的上下廣不相等，故損廣補狹，以求其平均值。如圖5-1（2）。「損廣補狹」，下條注稱為「以盈補虛」，都是出入相補原理的不同表達方式。用語不同，反映了時代的差異，必有劉徽「采其所見」者。 〔9〕若：或。　　袤：李籍雲「長也」。記塹的上、下廣分別是a1，a2，袤是b，高或深是h，則其體積 〔10〕中平之廣：廣的平均值。中平，中等，平均。 〔11〕立冪：這裡指直立的面積，與少廣章開立方術劉徽注的「立冪」指體積，是不同的。 〔12〕立實：這裡指直立的面積的實。按：「立冪」、「立實」在少廣章、商功章注文中凡數見，各有歧義。少廣章開立方術劉徽注中，「立冪」與「平冪」相對應，前者指立方體體積，後者指平面面積。這裡的「立實」與「立冪」相對應，深廣相乘為立冪，又乘以袤，則為立實。下穿渠問注中有一「立實」，為深廣之積。下穿地求廣問術文分注中有兩「立實」，皆為深、袤相乘之積。此兩「立實」在下總注中皆作「立冪」。這種一實兩名的情況很可能反映了時代的不同，即前者是劉徽前的名稱，劉徽「采其所見」，寫入注中，後者系劉徽使用的名稱。 〔13〕由城體積公式（5-1），其體積 〔14〕由垣體積公式（5-1），其體積 〔15〕由堤體積公式（5-1），其體積 〔16〕冬程人功四百四十四尺：一人在冬季的標準工作量是444尺3。《晉書·律曆志》：「暨於秦漢乃以孟冬為歲首。」說明秦漢時期以冬季第一個月十月為歲首，故將冬程人功作為第一個程功問題。冬程人功，就是一人在冬季的程功，即標準工作量。程功，標準的工作量。 〔17〕徒：服徭役者。《周禮·天官·冢宰》：「胥十有二人，徒百有二十人。」鄭玄註：「此民給徭役者。」 〔18〕《九章算術》的方法是：用徒人數=堤積尺÷冬程人功。 〔19〕由溝體積公式（5-1），其體積 〔20〕春程人功七百六十六尺：一人在春季的標準工作量是766尺3。春程人功，就是一人在春季的標準工作量。 〔21〕並：合併，吞併，兼。這裡是說兼有，其中合併了出土功。　　定功：確定的工作量。春季每人的標準工作量是766尺3，但挖溝時需要自己出土，占工作量的，因此確定的工作量是。 〔22〕實際的工作量是春程人功的，因此定功為。 〔23〕《九章算術》的算法是：。 〔24〕法里有分，實里通之：當法有分數的時候，要用法的分母將實通分。設由法化成的假分數為，則用徒人數=。 〔25〕由塹體積公式（5-1），其體積 八寸，即8尺2寸=800寸3。「八寸」實際上是表示長、寬各1尺，高8寸的長方體的體積。 〔26〕方尺中二分四厘五毫，棄之：2尺2分4尺2厘5尺2毫，相當於長、寬各1尺，高2分4厘5毫的長方體的體積，即寸3。捨棄寸3，以10 943尺3800寸3作為塹的體積。 〔27〕夏程人功八百七十一尺：一人在夏季的標準工作量是871尺3。夏程人功，就是一人在夏季的標準工作量。 〔28〕此謂夏程人功中兼有出土功，沙礫水石功。礫：李籍引《釋名》曰：「小石曰礫。」 〔29〕定功為。 〔30〕《九章算術》的算法是：用徒人數=塹積尺÷［夏程人功×。 〔31〕由穿渠體積公式（5-1），其體積 〔32〕秋程人功三百尺：一人在秋季的標準工作量是300尺3。秋程人功，就是一人在秋季的標準工作量。 〔33〕用徒為10 074 585尺3600寸÷300尺3/人，接近33 582人。若將穿渠的土方積加14尺3400寸3，則（10 074 585尺3600寸3+14尺3400寸3）÷300尺3/人=33 582人。故云功內少14尺3400寸3。 〔34〕此謂以300尺3×1 000=300 000尺3為實。 〔35〕此即以為法。 〔36〕立實：這裡指寬、深形成的直立的面積。 〔37〕此是公式（5-1）的逆運算：。 【譯文】 城、垣、堤、溝、塹、渠都使用同一術 術：將上、下寬相加，取其一半。這是減損寬廣的，補益狹窄的。以高或深乘之，又以長乘之，就是體積的尺數。按：此術中「將上、下寬相加，取其一半」，這是以盈餘的補益虛缺的，得到寬的平均值。「以高或深乘之」，就得到一頭豎立的面積。「又以長乘之」，便得到立體的體積，所以就是體積的尺數。 假設有一堵城牆，下底寬是4丈，上頂寬是2丈，高是5丈，長是126丈5尺。問：它的體積是多少？ 答：1 897 500尺3。 假設有一堵垣，下底寬是3尺，上頂寬是2尺，高是1丈2尺，長是22丈5尺8寸。問：它的體積是多少？ 答：6 774尺3。 假設有一段堤，下底寬是2丈，上頂寬是8尺，高是4尺，長是12丈7尺。問：它的體積是多少？ 答：7 112尺3。 假設冬季每人的標準工作量是444尺3，問：用工多少？ 答：人。 術：以體積的尺數作為實，每人的標準工作量作為法。實除以法，就是用工人數。 假設有一條溝，上寬是1丈5尺，下底寬是1丈，深是5尺，長是7丈。問：它的容積是多少？ 答：4 375尺3。 假設春季每人的標準工作量是766尺3，其中包括出土的工作量。確定的工作量是尺3。問：用工多少？ 答：人。 術：布置一人本來的標準工作量，除去它的，餘數作為法。「除去它的」，就是乘以4，除以5。以溝的容積尺數作為實。實除以法，就是用工人數。按：此術中，「布置一人本來的標準工作量，除去它的」，就是乘以4，除以5。除去出土的工作量，留取一人確定的工作量。於是通分，納入分子，作為法。用法的分母乘溝的體積尺數作為實，是因為如果法中有分數，就在實中將其通分。所以，實除以法，就是用工人數。這裡用一人完成的土方體積尺數除眾人完成的土方體積尺數，所以如果求出用工人數後還有剩餘，就用等數約簡之而命名一個分數。 假設有一道塹，上寬是1丈6尺3寸，下底寬是1丈，深是6尺3寸，長是13丈2尺1寸。問：它的容積是多少？ 答：10 943尺3800寸3。這裡「八寸」，是說挖地1方尺而深8寸。這一容積中還有餘數為方尺中2分4厘5毫，將其捨去。處理問題時，貴在遵從簡易的原則，沒有一成不變的規矩。 假設夏季每人的標準工作量是871尺3，其中包括出土的工作量，沙礫水石的工作量。確定的工作量是尺3。問：用工多少？ 答：人。 術：布置一人本來的標準工作量，除去出土的工作量即它的，又除去沙礫水石的工作量即它的，餘數作為法。以塹的容積尺數作為實。實除以法，就是用工人數。按：此術中，「布置一人本來的標準工作量，除去它的」，就是乘以4，除以5。「又除去沙礫水石的工作量」，就是乘以1，除以3，存下其。留取一人確定的工作量，於是通分，納入分子，作為法。用法的分母乘體積尺數作為實，是因為如果法中有分數，就在實中將其通分。所以，實除以法，就是用工人數。除不盡的，就用等數約簡之而命名一個分數。 假設挖一條水渠，上寬是1丈8尺，下底寬是3尺6寸，深是1丈8尺，長是51 824尺。問：挖出的土方體積是多少？ 答：10 074 585尺3600寸3。 假設秋季每人的標準工作量是300尺3，問：用工多少？ 答：33 582人，而總工作量中少了14尺3400寸3。 如果1 000人先到，問：應當領受多長的渠？ 答：154丈3尺寸。 術：以一人標準工作量的體積尺數乘先到人數，作為實。以1 000人一天的工作量作為實。將水渠的上、下寬相加，取其一半，以深乘之，作為法。以水渠的寬與深形成的豎立的面積作為法。實除以法，就得到長度尺數。 今有方堢〔1〕堢者〔2〕，堢城也。，音丁老切，又音纛〔3〕，謂以土擁木也。方一丈六尺，高一丈五尺。問：積幾何？ 荅曰：三千八百四十尺。 術曰：方自乘，以高乘之，即積尺〔4〕。 今有圓堢〔5〕，周四丈八尺，高一丈一尺。問：積幾何？ 荅曰：二千一百一十二尺。於徽術，當積二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。　　臣淳風等謹按：依密率，積二千一十六尺。 術曰：周自相乘，以高乘之，十二而一〔6〕。此章諸術亦以周三徑一為率，皆非也。於徽術，當以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一〔7〕。此之圓冪亦如圓田之冪也。求冪亦如圓田，而以高乘冪也。　　臣淳風等謹按：依密率，以七乘之，八十八而一〔8〕。 【注釋】 〔1〕方堢：即今之正方柱體，如圖5-2。，土堡。 圖5-2　方堢 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕堢：李籍云：「小城也。」 〔3〕纛（dào）：古代用雉尾或氂牛尾做的舞具、帝王車上的飾物，亦作儀仗、軍隊中的大旗。 〔4〕設方堢每邊長為a，高h，則其體積 V=a2h。（5-2） 將此例題的數值代入，得該方堢的體積為 V=a2h=162×15=3 840（尺3）。 〔5〕圓堢：即今之圓柱體，如圖5-3。 圖5-3　圓堢 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔6〕設圓堢的底周長為L，高h，則其體積 〔7〕劉徽以徽術將（531）式修正為 〔8〕李淳風等將（531）式修正為 【譯文】 假設有一方堢，堢是堢城，，音丁老切，又音纛，是說用土圍裹著一根木樁。它的底是邊長1丈6尺的正方形，高是1丈5尺。問：其體積是多少？ 答：3 840尺3。 術：底面邊長自乘，以高乘之，就是體積尺數。 假設有一圓堢，底面圓周長是4丈8尺，高是1丈1尺。問：其體積是多少？ 答：2 112尺3。用我的徽術，體積應當是尺3。　　淳風等按：依照密率，體積是2 016尺3。 術：底面圓周長自乘，以高乘之，除以12。此章中各術也都以周3徑1作為率，都是錯誤的。用我的徽術，應當以底面圓周長自乘，以高乘之，又以25乘之，除以314。此處之圓面積也如同圓田之面積。因此求它的冪也如圓田，然後以高乘面積。　　臣淳風等按：依照密率，以7乘之，除以88。 今有方亭〔1〕，下方五丈，上方四丈，高五丈。問：積幾何？ 荅曰：一十萬一千六百六十六尺太半尺。 術曰：上、下方相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三而一〔2〕。此章有塹堵、陽馬，皆合而成立方，蓋說算者乃立棋三品〔3〕，以效高深之積〔4〕。假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺〔5〕。其用棋也，中央立方一，四面塹堵四，四角陽馬四〔6〕。上、下方相乘為三尺，以高乘之，約積三尺〔7〕，是為得中央立方一，四面塹堵各一〔8〕。下方自乘為九，以高乘之，得積九尺〔9〕，是為中央立方一，四面塹堵各二，四角陽馬各三也〔10〕。上方自乘，以高乘之，得積一尺，又為中央立方一〔11〕。凡三品棋皆一而為三〔12〕。故三而一，得積尺〔13〕。用棋之數：立方三，塹堵、陽馬各十二，凡二十七，棋十三〔14〕。更差次之〔15〕，而成方亭者三，驗矣〔16〕。　　為術又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四陽馬也〔17〕。上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面塹堵也〔18〕。並之，以為方亭積數也〔19〕。 今有圓亭〔20〕，下周三丈，上周二丈，高一丈。問：積幾何？ 荅曰：五百二十七尺九分尺之七。於徽術，當積五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。　　按密率〔21〕，為積五百三尺三十三分尺之二十六。 術曰：上、下周相乘，又各自乘，並之，以高乘之，三十六而一〔22〕。此術周三徑一之義，合以三除上、下周，各為上、下徑，以相乘；又各自乘，並，以高乘之，三而一，為方亭之積〔23〕。假令三約上、下周，俱不盡，還通之，即各為上、下徑。令上、下徑相乘，又各自乘，並，以高乘之，為三方亭之積分〔24〕。此合分母三相乘得九，為法，除之〔25〕。又三而一，得方亭之積〔26〕。從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪〔27〕。乃令圓率三乘之，方率四而一，得圓亭之積〔28〕。前求方亭之積，乃以三而一，今求圓亭之積〔29〕，亦合三乘之〔30〕。二母既同，故相准折〔31〕。惟以方冪四乘分母九，得三十六，而連除之〔32〕。於徽術，當上、下周相乘，又各自乘，並，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一〔33〕。此圓亭四角圓殺〔34〕，比於方亭，二百分之一百五十七〔35〕。為術之意，先作方亭，三而一，則此據上、下徑為之者，當又以一百五十七乘之，六百而一也〔36〕。今據周為之，若於圓堢，又以二十五乘之，三百一十四而一，則先得三圓亭矣〔37〕。故以三百一十四為九百四十二而一，並除之。　　臣淳風等謹按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔38〕。 【注釋】 〔1〕方亭：即今之正四錐台，或方台，如圖5-4。李籍云：「方亭者，其積之形如亭之方者。」亭，本是古代設在路旁供行人休息、食宿的處所。《說文解字》：「亭，民所安定也。」李籍引《釋名》曰：「亭，停也。人所停集也。」 圖5-4　方亭 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕設方亭的上底邊長為a1，下底邊長為a2，高h，則其體積公式為 〔3〕說算者：研究數學的學者。這裡主要指劉徽之前的數學家。　　棋三品：即三品棋，是指廣、長、高均為1尺的正方體、塹堵、陽馬，如圖5-5，是為《九章算術》、秦漢數學簡牘時代直到劉徽之前人們推導多面體體積公式所使用的三種基本立體模型。品，種類。 圖5-5　三品棋 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕以效高深之積：以三品棋推證由高、深形成的多面體體積。效，通校（jiào），考核，考查。《莊子·列禦寇》：「彼將任我以事，而校我以功，吾是以驚。」又作驗證，證明。《淮南子·脩務訓》：「哭者，悲之效也。」高誘註：「效，驗也。」 〔5〕「假令方亭」四句：假設方亭的上底邊長1尺，下底邊長3尺，高1尺，如圖5-6（1）。這是一枚標準型方亭。此下是劉徽記述的《九章算術》時代利用三品棋以棋驗法推導（5-4-1）式的方法。 圖5-6　方亭之棋驗法 （采自譯註本《九章算術》） 〔6〕標準型方亭含有三品棋的個數是位於中央的1個立方體，位於四面的4個塹堵，位於四角的4個陽馬。 〔7〕這裡構造第一個長方體，寬是標準型方亭上底邊長1尺，長是其下底邊長3尺，高是其高1尺，如圖5-6（2）。約積三尺：得到其體積是a1a2h=1×3×1=3（尺3）。約，求取，見少廣章開立圓術李淳風等注釋的註解〔33〕。 〔8〕第一個長方體含有中央正方體1個，四面塹堵各1個。 〔9〕再構造第二個長方體，實際上是一個方柱體，底的邊長是標準型方亭下底邊長3尺，高是其高1尺，如圖5-6（3），其體積是=32×1=9（尺3）。 〔10〕第二個長方體含有中央正方體1個，四面塹堵各2個，四角陽馬各3個。 〔11〕再構造第三個長方體，實際上是以標準方亭的上底邊長1尺為邊長的正方體，如圖5-6（4），其體積是=12×1=1（尺3），它就是1個中央正方體。 〔12〕凡三品棋皆一而為三：所構造的三個長方體共有中央立方體3個，四面塹堵12個，四角陽馬12個，與標準方亭所含中央立方1個、四面塹堵4個、四角陽馬4個相比較，構成標準方亭的三品棋1個都變成了3個。三個長方體的體積總共是。 〔13〕故三而一，得積尺：所以除以3，就得（5-4-1）式，這就是一個標準方亭的體積。 〔14〕此謂三個長方體的三品棋分別是3個正方棋，12個塹堵棋，12個陽馬棋，總數是27個，可以合成13個正方棋。此取法國林力娜（K. Chemla）的意見。 〔15〕更差（cī）次之：將這13個正方棋按照一定的類別和次序重新組合。差次，是指等級次序。《史記·商君列傳》：「明尊卑爵秩等級，各以差次名田宅。」 〔16〕此13個立方棋重新構成3個標準型方亭，又驗證了（5-4-1）式。這就是關於方亭的棋驗法。顯然，這種方法只適應於標準型方亭，因為對一般的方亭，儘管可以構造三個長方體，但其中所含的3個立方體、12個塹堵、12個陽馬，因為都不是三品棋，其廣、袤、高不相等，無法重新組合成三個方亭。 〔17〕這是劉徽在證明了陽馬的體積公式（見下陽馬術劉徽注）之後，以有限分割求和法推導方亭的體積公式。如圖5-7，將方亭分解成中央1個長方體（實際上是一個方柱體），四面4個塹堵，四角4個陽馬。每個陽馬的底面是以為邊長的正方形，由陽馬體積公式，其體積是，4個陽馬的體積是。 圖5-7　方亭的有限分割求和法 （采自譯註本《九章算術》） 〔18〕中央長方體的底面是以a1為邊長的正方形，其體積是。每個塹堵的底面的長是a1，寬是，由塹堵體積公式（見下塹堵術），其體積是，4個塹堵的體積是a1（a2-a1）h。中央長方體與4個塹堵的體積之和是。 〔19〕將四角4陽馬、中央長方體、四面4塹堵的體積相加，便得到方亭的體積 〔20〕圓亭：即今之圓台，如圖5-8（1）。 圖5-8　圓亭 （采自譯註本《九章算術》） 〔21〕按密率：此注之作者難以定論，南宋本、楊輝本不具作者，戴震輯錄本作淳風等注。參見開立圓術例題1注釋〔2〕。 〔22〕設圓亭的上底邊長為L1，下底邊長為L2，高h，則其體積公式為 〔23〕這是以周3徑1之率，作圓亭的外切方亭，此方亭的上、下底的邊長分別為，由公式（541）便求出此方亭的體積。 〔24〕此謂在不可除盡的情況下，計算，它是3個以圓亭上周L1，下周L2分別為上、下底邊長的大方亭的體積。 〔25〕計算大方亭時沒有以3除周長，故計算3個外切方亭的體積時需以32=9除之。這種做法在後來的數學著作中稱為「寄母」。 〔26〕圓亭的一個外切方亭的體積是。 〔27〕從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪：記圓冪為S圓，方冪為S方，圓亭體積為V圓亭，方亭體積為V方亭，此即 V方亭:V圓亭=S方:S圓。（5-6） 是為祖暅之原理髮展過程中的一個應用。 〔29〕三而一：由於方亭體積公式（5-4-1）有係數，故以3除之。 〔30〕三：指相對於方率4之圓率3，即π=3。 〔31〕准折：恰好抵消。先「三而一」，後「三乘之」，故互相抵消。 〔32〕此謂只以32×4=36一併除即可，即由得到（5-5-1）式。 〔33〕劉徽以徽術將（5-5-1）修正為 〔34〕殺（shài）：差（cī），差等，見卷四開立圓術劉徽注第一段註解〔19〕。 〔35〕劉徽將（5-7-1）式修正為 〔36〕設圓亭的上、下底的直徑分別為d1，d2，劉徽認為其外切方亭的體積為 〔37〕根據圓堢的體積公式（5-3-2），3個圓亭的體積應為。 〔38〕李淳風等將（5-5-1）修正為 【譯文】 假設有一個方亭，下底面是邊長為5丈的正方形，上底面是邊長為4丈的正方形，高是5丈。問：其體積是多少？ 答：尺3。 術：上、下底面的邊長相乘，又各自乘，將它們相加，以高乘之，除以3。此章有塹堵、陽馬等立體，都可以拼合成立方體。所以治算學的人就設立三品棋，為的是推證以高深形成的立體體積。假設一個方亭，上底是邊長為1尺的正方形，下底是邊長為3尺的正方形，高是1尺。它所使用的棋是：中央1個正方體，四面4個塹堵，四角4個陽馬。上、下底的邊長相乘，得到3尺2，以高乘之，求得體積3尺3。這就得到中央的1個正方體，四面各1個塹堵。下底邊長自乘是9尺3，以高乘之，得到體積9尺3。這就是中央的1個正方體，四面各2個塹堵，四角各3個陽馬。上底邊長自乘，以高乘之，得到體積1尺3，又為中央的1個正方體。那麼，凡是三品棋，1個都變成了3個。所以除以3，便得到方亭的體積尺數。用三品棋的數目：正方體3個，塹堵、陽馬各12個，共27個，能合成13個正方棋。重新按一定順序將它們組合，可成為3個方亭，這就推驗了方亭的體積公式。　　造術又可以使上、下兩底邊長的差自乘，以高乘之，除以3，就是四角四陽馬的體積；上、下底邊長相乘，以高乘之，就是中央一個長方體與四面四個塹堵的體積。兩者相加，就是方亭的體積尺數。 假設有一個圓亭，下底周長是3丈，上底周長是2丈，高是1丈。問：其體積是多少？ 答：尺3。用我的徽術，體積應當是尺3。　　依照密率，體積是尺3 術：上、下底周長相乘，又各自乘，將它們相加，以高乘之，除以36。此術依照周3徑1之義，應當以3除上、下底的周長，分別作為上、下底的直徑。將它們相乘，又各自乘，相加，以高乘之，除以3，就成為圓亭的外切方亭的體積。如果以3約上、下底的周長，都約不盡，就回頭將它們通分，將它們分別作為上、下底的直徑。使上、下底的直徑相乘，又各自乘，相加，以高乘之，就是3個方亭體積的積分。這裡還應當以分母3相乘得9，作為法，除之。再除以3，就得到一個方亭的體積。從方亭求圓亭的體積，也如同從正方形的面積中求其內切圓的面積。於是乘以圓率3，除以方率4，就得到圓亭的體積。前面求方亭的體積是除以3。現在求圓亭的體積，又應當乘以3。二數既然相同，所以恰好互相抵消，只以正方形的面積4乘分母9，得36而合起來除之。用我的徽術，應當將上、下底的周長相乘，又各自乘，相加，以高乘之，又乘以25，除以942。這裡的圓亭的四個角收縮成圓，它與方亭相比，是。造術的意思是：先作一個方亭，除以3。如果這是根據上、下底的周長作的方亭，應當又乘以157，除以600。現在是根據圓亭上、下底的周長作的方亭，如同對圓堢那樣，乘以25，除以314。那麼就先得到了3個圓亭。所以將除以314變為除以942，就是用3與314一併除。淳風等按：依照密率，乘以7，除以264。 今有方錐〔1〕，下方二丈七尺，高二丈九尺。問：積幾何？ 荅曰：七千四十七尺。 術曰：下方自乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此術假令方錐下方二尺，高一尺，即四陽馬〔3〕。如術為之，用十二陽馬，成三方錐〔4〕，故三而一，得方錐也。 今有圓錐〔5〕，下周三丈五尺，高五丈一尺。問：積幾何？ 荅曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。於徽術，當積一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。　　依密率〔6〕，為積一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。 術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔7〕。按：此術圓錐下周以為方錐下方。方錐下方今自乘，以高乘之，令三而一，得大方錐之積〔8〕。大錐方之積合十二圓矣〔9〕。今求一圓，複合十二除之，故令三乘十二得三十六，而連除〔10〕。於徽術，當下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一〔11〕。圓錐比於方錐，亦二百分之一百五十七〔12〕。命徑自乘者，亦當以一百五十七乘之，六百而一。其說如圓亭也〔13〕。　　臣淳風等謹按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔14〕。 【注釋】 〔1〕方錐：如圖5-9。李籍云：「方錐者，其積之形如錐之方者。」 圖5-9　方錐 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕設方錐的下方為a，高為h，則其體積為 〔3〕這是劉徽記述的《九章算術》時代以棋驗法推導（5-8）式的方法。取一個標準型方錐：下底邊長2尺，高1尺。它可以分解為4個陽馬棋，如圖5-10（1）。 圖5-10　方錐之棋驗法 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕取12個陽馬棋，可以合成4個正方棋，它可以重新拼合成3個標準方錐。如圖5-10（2）。 〔5〕圓錐：如圖5-11。 圖5-11　圓錐 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔6〕依密率：此注作者亦難定論，參見圓亭問注釋。 〔7〕設圓錐的下底周長為L，高為h，則其體積為 〔8〕這是取圓錐下周長L為下底邊長，作一大方錐，如圖5-12。其體積為 圖5-12　圓錐與大方錐 （采自譯註本《九章算術》） 〔9〕此謂以周3徑1為率，大方錐下底的面積L2恰為12個圓錐底面的圓，見圖5-12。　　大錐：大方錐之省稱。　　方：下方。 〔10〕這裡實際上是通過比較圓錐與大方錐的底面積由後者的體積推導前者的體積，亦為祖暅之原理髮展過程中的一個應用。設L2=S大圓，圓錐的底面積為S圓，由於S大圓:S圓=12:1，故圓錐體積為，此即（591）式。 〔11〕劉徽以徽術將（5-9-1）修正為 〔12〕設圓錐體積為V圓錐，外切方錐體積為V方錐，如圖5-13，劉徽認為 圖5-13　圓錐與外切方錐 （采自譯註本《九章算術》） 〔13〕設圓錐下底的直徑為d，劉徽認為其外切方錐的體積為 〔14〕李淳風等將（5-9-1）修正為 【譯文】 假設有一個方錐，下底是邊長為2丈7尺的正方形，高是2丈9尺。問：其體積是多少？ 答：7 047尺3。 術：下底邊長自乘，以高乘之，除以3。按：此術中假設方錐下底的邊長是2尺，高是1尺，即可分解成4個陽馬。如方亭術那樣處理這個問題：用12個陽馬可以合成3個方錐，所以除以3，便得到方錐的體積。 假設有一個圓錐，下底周長3丈5尺，高是5丈1尺。問：其體積是多少？ 答：尺3。用我的徽術，體積應當是尺3。依照密率，體積是尺3。 術：下底周長自乘，以高乘之，除以36。按：此術中以圓錐的下底周長作為方錐下底的邊長。現方錐下底的邊長自乘，以高乘之，除以3，得到大方錐的體積。大方錐的底面積折合12個圓錐的底圓。現在求一個圓，又應當除以12。所以使3乘以12，得36而合起來除。用我的徽術，應當將下底的周長自乘，以高乘之，又乘以25，除以942。圓錐與方錐的體積相比，也是。如果使圓錐下底的直徑自乘，也應當乘以157，除以600，其原理如同圓亭術。　　淳風等按：依照密率，乘以7，除以264。 今有塹堵〔1〕，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。問：積幾何？ 荅曰：四萬六千五百尺。 術曰：廣、袤相乘，以高乘之，二而一〔2〕。邪解立方得兩塹堵〔3〕。雖復隨方〔4〕，亦為塹堵，故二而一〔5〕。此則合所規棋〔6〕。推其物體，蓋為塹上疊也〔7〕。其形如城，而無上廣〔8〕，與所規棋形異而同實〔9〕。未聞所以名之為塹堵之說也〔10〕。 【注釋】 〔1〕塹堵：如圖5-14所示。 圖5-14　塹堵 （采自譯註本《九章算術》） 〔2〕設塹堵的廣、袤、高分別為a，b，h，則其體積為 〔3〕此謂沿正方體相對兩棱將其斜剖開，便得到兩塹堵。 〔4〕隨（tuǒ）方：即橢方，長方體。隨，音義同「橢」，古此二字相通。《淮南子·齊俗訓》：「窺面於盤水則員，於杯則隨。面形不變，其故有所員、有所隨者，所自窺之異也。」呂大臨曰：「『隨』當讀『橢』，圜而長也。」《群書治要》引作「於杯，水即橢」。 〔5〕此謂將隨方斜剖，也得到兩塹堵，如圖5-15，因此容易得出（5-12）式。 圖5-15　邪解隨方為二塹堵 〔6〕所規棋：所規定的棋，即《九章算術》中的塹堵。 〔7〕疊：堆積。此謂推究其形狀，大體像疊在塹上的物體，如圖5-16。劉徽提出了另一種形狀的塹堵。 圖5-16　塹上之疊 （采自譯註本《九章算術》） 〔8〕疊在塹上的塹堵就是城的上廣為零的情形。 〔9〕這種多面體與所規定的棋，形狀稍有不同，而其體積公式是相同的。 〔10〕此謂沒有聽說過將其稱作塹堵的原因。這再次表明劉徽具有知之為知之，不知為不知的高貴品質。 【譯文】 假設有一道塹堵，下寬是2丈，長是18丈6尺，高是2丈5尺。問：其體積是多少？ 答：46 500尺3。 術：寬與長相乘，以高乘之，除以2。將一個正方體斜著剖開，就得到2個塹堵。更進一步，即使是一個長方體被剖開，也得到2個塹堵。所以除以2。這與所規定的棋吻合。推斷它的形狀，大體是疊在塹上的那塊物體。它的形狀像城，但是沒有上寬。與所規定的棋形狀稍異而體積公式相同，沒有聽說將其叫作塹堵的原因。 今有陽馬〔1〕，廣五尺，袤七尺，高八尺。問：積幾何？ 荅曰：九十三尺少半尺。 術曰：廣、袤相乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此術陽馬之形，方錐一隅也〔3〕。今謂四柱屋隅為陽馬〔4〕。假令廣、袤各一尺，高一尺，相乘之，得立方積一尺。邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉腝〔5〕，陽馬居二，鱉腝居一，不易之率也〔6〕。合兩鱉腝成一陽馬〔7〕，合三陽馬而成一立方，故三而一〔8〕。驗之以棋，其形露矣〔9〕。悉割陽馬，凡為六鱉腝〔10〕。觀其割分，則體勢互通，蓋易了也〔11〕。　　其棋或脩短，或廣狹，立方不等者〔12〕，亦割分以為六鱉腝〔13〕。其形不悉相似，然見數同，積實均也〔14〕。鱉腝殊形，陽馬異體〔15〕。然陽馬異體，則不可純合〔16〕。不純合，則難為之矣〔17〕。何則？按：邪解方棋以為塹堵者〔18〕，必當以半為分，邪解塹堵以為陽馬者，亦必當以半為分，一從一橫耳〔19〕。設為陽馬為分內，鱉腝為分外〔20〕。棋雖或隨脩短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已〔21〕。其使鱉腝廣、袤、高各二尺〔22〕，用塹堵、鱉腝之棋各二，皆用赤棋〔23〕。又使陽馬之廣、袤、高各二尺〔24〕，用立方之棋一，塹堵、陽馬之棋各二，皆用黑棋〔25〕。棋之赤、黑，接為塹堵，廣、袤、高各二尺〔26〕。於是中攽其廣、袤，又中分其高〔27〕。令赤、黑塹堵各自適當一方〔28〕，高一尺、方一尺，每二分鱉腝，則一陽馬也〔29〕。其餘兩端各積本體，合成一方焉〔30〕。是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一〔31〕。雖方隨棋改，而固有常然之勢也〔32〕。按：餘數具而可知者有一、二分之別，即一、二之為率定矣〔33〕。其於理也豈虛矣〔34〕？若為數而窮之，置余廣、袤、高之數各半之，則四分之三又可知也〔35〕。半之彌少，其餘彌細〔36〕。至細曰微，微則無形〔37〕。由是言之，安取余哉〔38〕？數而求窮之者，謂以情推，不用籌算〔39〕。鱉腝之物，不同器用〔40〕，陽馬之形，或隨脩短廣狹。然不有鱉腝，無以審陽馬之數，不有陽馬，無以知錐亭之類〔41〕，功實之主也〔42〕。 今有鱉腝，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺。問：積幾何？ 荅曰：二十三尺少半尺。 術曰：廣、袤相乘，以高乘之，六而一〔43〕。按：此術腝者，臂骨也。或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名雲。中破陽馬得兩鱉腝，之見數即陽馬之半數。數同而實據半，故云六而一，即得。 【注釋】 〔1〕陽馬：本是房屋四角承短椽的長桁條，其頂端刻有馬形，故名。何晏《景福殿賦》：「承以陽馬，接以員方。」李善注云：「陽馬，四阿長桁也。馬融《梁將軍西第賦》曰：『騰極受檐，陽馬承阿。』」椽（chuán），放在檁上架著屋頂的木條。桁（hénɡ），檁。阿（ē），屋棟。張協《七命》：「陰虬負檐，陽馬承阿。」呂向註：「馬為陽物，謂刻作其象負荷檐梁之勢，承接木石之曲。」它實際上是一棱垂直於底面，且垂足在底面一角的直角四稜錐，如圖5-17所示。 圖5-17　陽馬 （采自譯註本《九章算術》） 〔2〕設陽馬的廣、袤、高分別為a，b，h，則其體積為 〔3〕此謂4個陽馬合成一個方錐，所以陽馬的形狀居於方錐的一角，如圖5-18。 圖5-18　四陽馬合為一方錐 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕四柱屋隅為陽馬：四柱屋屋角的部件為陽馬。沈康身認為「柱」通「注」。四注屋隅是陽馬，見圖5-19。 圖5-19　四注屋隅 （采自沈康身《九章算術導讀》） 〔5〕「邪解塹堵」三句：斜解一個塹堵，得到一個陽馬與一個鱉腝，如圖5-20。鱉腝，有下廣無下袤，有上袤無上廣，有高的四面體，實際上它的四面都是勾股形，其形狀如圖5-21（1）。腝，通臑。李籍云：「『臑』，或作『腝』，非是。」似不妥。《玉篇》：「『腝』，那到切，臂節也。」《唐韻》、《廣韻》同。 圖5-20　邪解塹堵得一陽馬一鱉腝 （采自譯註本《九章算術》） 圖5-21　鱉腝、陽馬與立方 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔6〕這是著名的劉徽原理：在一個塹堵中，陽馬與鱉腝的體積之比恆為2:1。此原理儘管是在廣、長、高相等的塹堵、陽馬、鱉腝的情況下提出的，但劉徽在下面說：「棋雖或隨脩短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者。」可見它對任意情況都是適應的。記陽馬體積為V陽馬，鱉腝體積為V鱉腝，此即： V陽馬:V鱉腝=2:1（5-14） 是為劉徽多面體理論的基礎。 〔7〕此謂兩個鱉腝合成一個陽馬，如圖5-21（2）。 〔8〕此謂三個陽馬合成一個正方體，如圖5-21（3），因此正方體體積除以3就是一個陽馬的體積。 〔9〕此謂使用棋驗法，（5-14）很明顯是成立的。　　形：形勢，態勢。《孫子兵法·虛實》：「夫兵形象水。」孟氏註：「兵之形勢如水流，遲速之勢無常也。」　　露：顯露。 〔10〕此謂每個陽馬都分解成兩個鱉腝，則一個正方體分解成六個鱉腝，如圖5-21（3）。　　悉：全，都。《書經·湯誓》：「格爾眾庶，悉聽朕言。」 〔11〕體勢互通：指兩立體的全等或對稱，其體積當然相等。因此一個陽馬的體積是正方體的，即（5-13）式；一個鱉腝的體積是正方體的，即下一問的（5-15）式。以上這是棋驗法。 〔12〕劉徽由此開始在陽馬或脩短或廣狹，廣、長、高不相等即a≠b≠h的情形下討論劉徽原理。 〔13〕記廣、長、高不相等的長方體為ABCDEFGH，當然，它可以分解為三個陽馬AHEFG，ABGFC，ADCFE，如圖5-22（1），或六個鱉腝AHEF，AHGF，ABGF，ABCF，ADCF，ADEF，如圖5-22（2）。 圖5-22　長方體分解為陽馬和鱉腝 （采自譯註本《九章算術》） 〔14〕「其形不悉相似」三句：這三個陽馬既不全等，也不對稱，六個鱉腝兩兩對稱，卻三三不全等。然而只要它們三度的數組相同，則其體積分別相等。相似，相類，相像。《周易·繫辭上》：「與天地相似，故不違。」見（xiàn）數，顯現的數。這裡指廣、袤、高這三度顯現的數值。均，等，同。《玉篇》：「均，等也。」《國語·楚語下》：「君王均之，群臣懼矣。」韋昭註：「均，同也。」 〔15〕劉徽進一步說明陽馬、鱉腝的形狀分別不同。 〔16〕然陽馬異體，則不可純合：然而這樣分割出的陽馬有不同的形態，那就不可能完全重合。 〔17〕不純合，則難為之矣：不完全重合，那麼使用上述方法是困難的。換言之，在廣、長、高不相等的情況下，用棋驗法難以解決這個問題。 〔18〕方棋：指「隨方棋」，即「橢方棋」。將隨方棋分割成兩個塹堵。 〔19〕一從一橫耳：此時分割出來的陽馬，一個是橫的，則另一個就是縱的。將三個陽馬的底面放置於一個平面，使其高在同一直線上，垂足重合，如圖5-23。顯然，若將陽馬ABGFC看成縱的，則AHEFC或ADCFE就是橫的。既然一縱一橫，就不可能全等或對稱。 圖5-23　陽馬一縱一橫 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔20〕設為陽馬為分內，鱉腝為分外：此謂將塹堵分割成一個陽馬，一個鱉腝。以陽馬為分內，鱉腝為分外。為，訓「以」。王引之《經傳釋詞》卷二：「『為』，猶『以』也。」 〔21〕此謂在棋是由隨方產生，出現脩短廣狹的情況下，塹堵中的陽馬與鱉腝仍然滿足（5-14）式。換言之，在陽馬、鱉腝殊形異體的情況下，它們的體積公式與非殊形異體的情況完全相同。隨，通橢（tuǒ）。參見塹堵問注釋。知，訓「者」，其說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔22〕劉徽取一個廣、袤、高各2尺的鱉腝。劉徽從這裡開始了劉徽原理的證明。他仍使用廣、長、高相等的棋，這可能受他手頭棋的限制。下面將看到，這並不影響論述的一般性。因此，以下的圖均按一般情形繪製。 〔23〕用塹堵、鱉腝之棋各二，皆用赤棋：將鱉腝分割成廣、袤、高各1尺的2個塹堵棋Ⅱ′，Ⅲ′，2個鱉腝棋Ⅳ′，Ⅴ′，都用赤色，如圖5-24（1）。赤：淺紅色。《禮記·月令》：天子「乘朱路，駕赤騮」。孔穎達疏：「色淺曰赤，色深曰朱。」亦泛指紅色。 圖5-24　塹堵、陽馬、鱉腝的分割 （采自譯註本《九章算術》） 〔24〕又使陽馬之廣、袤、高各二尺：又取一個廣、袤、高各2尺的陽馬。 〔25〕「用立方之棋一」三句：將陽馬分割成廣、袤、高各1尺的1個立方棋Ⅰ，2個塹堵棋Ⅱ，Ⅲ，2個陽馬棋Ⅳ，Ⅴ，都用黑色，如圖5-24（2）。 〔26〕「棋之赤、黑」三句：將赤鱉腝與黑陽馬拼接成廣、長、高各2尺的塹堵。 〔27〕中攽（bān）其廣、袤，又中分其高：從中間分割塹堵的廣和袤，又從中間分割塹堵的高。這相當於用三個互相垂直的平面平分塹堵的廣、袤、高，如圖5-24（3）。塹堵總共分割成1個立方棋Ⅰ，4個塹堵棋Ⅱ，Ⅲ，Ⅱ′，Ⅲ′，2個陽馬棋Ⅳ，Ⅴ，2個鱉腝棋Ⅳ′，Ⅴ′。攽，又音bīn，分。《說文解字》：「攽，分也。」 〔28〕令赤、黑塹堵各自適當一方：將赤塹堵與黑塹堵恰好分別合成一個立方體。此謂將赤塹堵Ⅱ′與黑塹堵Ⅱ恰好合成立方體Ⅱ-Ⅱ′，如圖5-24（4），赤塹堵Ⅲ′與黑塹堵Ⅲ恰好合成立方體Ⅲ-Ⅲ′，如圖5-24（5），共2個立方體。劉徽所用的棋是正方體，但實際上是長方體。就字面而言，「令赤黑塹堵各自適當一方」還有另一種解釋，即兩個赤塹堵Ⅱ′，Ⅲ′拼在一起，兩個黑塹堵Ⅱ，Ⅲ拼在一起。這在廣、袤、高相等的情況下可以拼接成正方體。然而在a≠b≠h時，兩個赤塹堵Ⅱ′，Ⅲ′與兩個黑塹堵Ⅱ，Ⅲ都無法分別拼接成立方，如圖5-25。日本三上義夫提出了以上兩種可能性，但是他傾向於後者，見三上義夫《關孝和の業績と京阪の算家並に支那の演算法との關係及ぴ比較》，《東洋學報》，第20—22卷（1932—1935）。丹麥華道安則主張後者，見D.B. Wagner: An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid:Liu Hui，Third Century A.D., Historia Mathematica，6（1979）。 圖5-25　赤赤塹堵黑黑塹堵無法拼合 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔29〕每二分鱉腝，則一陽馬：赤、黑塹堵合成的立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′與陽馬中的立方Ⅰ共三個立方，其中在赤鱉腝的每2份，相當於在黑陽馬的1份。換言之，在這3個立方中，在黑陽馬中與在赤鱉腝中的體積之比為2:1。 〔30〕其餘兩端各積本體，合成一方焉：餘下的兩端，先各自拼合，再合成一個立方體（實際上仍是長方體）。此謂原塹堵中除去立方和4個塹堵後所剩餘的2個塹堵，分別由陽馬Ⅳ和鱉腝Ⅳ′，陽馬Ⅴ和鱉腝Ⅴ′構成，即Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′，如圖5-24-（6）。而這兩個塹堵Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′又可以合成第四個立方體（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′），如圖5-24（6）。 〔31〕是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一：這就是說，與原塹堵不同類型的立方體所占的率是3，而與原塹堵結構相似的立方體所占的率是1。別種，與原塹堵不同類型即結構不同的部分，即立方棋Ⅰ，和立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′，共3個立方體。通其體：是說與原塹堵通體，即與原塹堵相似的部分，即立方體（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）。因此，與原塹堵結構不同的部分拼合成的立方的率是3，與原塹堵相似的部分拼合成的立方的率是1。 〔32〕雖方隨棋改，而固有常然之勢：雖然正方體變成隨方，即長方體，棋也改變了，仍然有恆定的態勢，即仍然是「別種而方者率居三，通其體而方者率居一」。隨，通橢。常然，常態。《莊子·駢拇》：「天下有常然。常然者，曲者不以鉤，直者不以繩，圓者不以規，方者不以矩。」 〔33〕餘數具而可知者有一、二分之別，即一、二之為率定矣：如果能證明在第四個立方中能完全知道陽馬與鱉腝的體積之比的部分為2:1，則在整個塹堵中陽馬與鱉腝的體積之比為2:1就是確定無疑的了。這顯然是數學歸納法的雛形。餘數，指第四個立方體。具，完全，盡。《史記·項羽本紀》：「良乃入，具告沛公。」 〔34〕其於理也豈虛矣：這在數理上難道是虛假的嗎？虛，虛假，不真實。 〔35〕「若為數而窮之」三句：若要從數學上窮盡它，就取塹堵剩餘部分的廣、長、高，平分之，那麼又可以知道其中的以1，2作為率。換言之，在第四個立方（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）中，由於兩個塹堵Ⅳ-Ⅳ′和Ⅴ-Ⅴ′與原塹堵完全相似，所以可以重複剛才的分割，從而證明在其中即原塹堵的中，屬於陽馬的和屬於鱉腝的體積之比為2:1。 〔36〕半之彌少，其餘彌細：平分的部分越小，剩餘的部分就越細。 〔37〕至細曰微，微則無形：非常細就叫作微，微就不再有形體。《莊子·秋水》中河伯曰「至精無形」，北海若曰「夫精粗者，期於有形者也；無形者，數之所不能分也；不可圍者，數之所不能窮也」。《淮南子·要略》：「至微之論無形也。」劉徽的「微則無形」的思想似受到《莊子》、《淮南子》的影響。另外，劉徽這裡「微則無形」的思想與割圓術（卷一圓田術注）「不可割」是一致的。無形則數不能分，當然不可割。 〔38〕由是言之，安取余哉：由此說來，哪裡還有剩餘呢？上述這個過程可以無限地繼續下去，不知道其體積之比的部分越來越小，最後達到無形，沒有任何剩餘的地步。換言之，在整個塹堵中證明了（5-14）式，從而用無窮小分割方法和極限思想完成了劉徽原理的證明。 〔39〕「數而求窮之者」三句：對於數學中無窮的問題，就要按數理進行推斷，不能用籌算。在當時的數學水平下，尚沒有無窮分割的數學表達式，故云「不用籌算」。 〔40〕鱉腝之物，不同器用：鱉腝這種物體，不同於器皿用具。《九章算術》中的諸立體，都是各種器用或土方工程的抽象，惟有鱉腝這種多面體，現實中沒有任何原型。它是多面體分割的產物，是多面體理論的需要。 〔41〕錐亭之類：即方錐、方亭、芻甍、芻童、羨除等多面體。劉徽在嚴格證明了鱉腝、陽馬的體積公式之後，將錐亭之類分割成若干個長方體、塹堵、陽馬、鱉腝，求其體積之和，從而解決它們的體積問題。 〔42〕功實之主：解決程功積實問題的根本。主，事物的根本。劉徽將鱉腝看成多面體體積的「功實之主」的結論與現今數學將四面體看作多面體分割的最小單元的思想完全一致。劉徽在此總結了鱉腝在多面體體積理論中的核心作用。像在前面方亭、方錐等術中已經看到的及後面羨除、芻甍、芻童等錐亭之類中將要看到的那樣，劉徽是將多面體分割成長方體、塹堵、陽馬、鱉腝，求它們的體積之和以解決它們的求積問題的，而陽馬、鱉腝的體積公式的證明必須使用無窮小分割方法，這就把多面體體積理論建立在無窮小分割基礎之上。近代數學大師高斯（Gauss，1777—1855）曾提出一個猜想：多面體體積的解決不藉助於無窮小分割是不是不可能的？這一猜想構成了希爾伯特（Hilbert，1861—1943）《數學問題》（1900）第三問題的基礎。他的學生德恩作了肯定的回答。這與劉徽的思想不謀而合。 〔43〕記下廣、上袤、高分別為a，b，h，則鱉腝的體積公式是 【譯文】 假設有一個陽馬，底寬是5尺，長是7尺，高是8尺。問：其體積是多少？ 答：尺3。 術：寬與長相乘，以高乘之，除以3。按：此術中陽馬的形狀是方錐的一個角隅。今天把四注屋的一個角隅稱作陽馬。假設陽馬底的寬、長都是1尺，高是1尺。將它們相乘，得到正方體的體積1尺3。將一個正方體斜著剖開，得到2個塹堵；將一個塹堵斜著剖開，其中一個是陽馬，一個是鱉腝。陽馬占2份，鱉腝占1份，這是永遠不變的率。兩個鱉腝合成一個陽馬，三個陽馬合成一個正方體，所以陽馬的體積是正方體的。用棋來驗證，其態勢很明顯。剖開上述所有的陽馬，總共為六個鱉腝。考察分割的各個部分，其形體態勢都是互相通達的，因此其體積公式是容易得到的。　　如果這裡的棋或長或短，或寬或窄，是寬、長、高不等的長方體，也分割成6個鱉腝，它們的形狀就不完全相同。然而只要它們所顯現的寬、長、高的數組是相同的，則它們的體積就是相等的。這些鱉腝有不同的形狀，這些陽馬也有不同的體態。然而這樣陽馬有不同的體態，那就不可能完全重合；不能完全重合，那麼使用上述的方法是困難的。為什麼呢？將長方體棋斜著剖開，成為塹堵，一定分成兩份；將塹堵棋斜著剖開，也必定分成兩份。這些陽馬一個是縱的，另一個就會是橫的。假設將陽馬看作分割的內部，將鱉腝看作分割的外部，即使是棋有時是長方體，或長或短，或寬或窄，仍然有這種分割的不變的率的話，那麼不同形狀的鱉腝，不同體態的陽馬，其體積公式仍然分別相同，如此罷了。如果使鱉腝的寬、長、高各2尺，那麼用塹堵棋、鱉腝棋各2個，都用紅棋。又使陽馬的寬、長、高各2尺，那麼用立方棋1個，塹堵棋、陽馬棋各2個，都用黑棋。紅鱉腝與黑陽馬拼合成一個塹堵，它的寬、長、高各是2尺。於是就相當於從中間平分了塹堵的寬與長，又平分了它的高。使紅塹堵與黑塹堵恰好分別拼合成立方體，高是1尺，底方也是1尺。那麼這些立方體中，在原鱉腝中的2份，相當於原陽馬中的1份。餘下的兩端，先各自拼合，再拼合成一個立方體。這就是說，與原塹堵結構不同的立方體所占的率是3，而與原塹堵結構相似的立方體所占的率是1。即使是立方體變成了長方體，棋的形狀發生了改變，這個結論必定具有恆定不變的態勢。按：如果餘下的立體中，能列舉出來並且可以知道其體積的部分屬於鱉腝的與屬於陽馬的有1，2的分別，那麼在整個塹堵中，1與2作為鱉腝與陽馬的率就是完全確定了，這在數理上難道是虛假的嗎？若要從數學上窮盡它，那就取塹堵剩餘部分的寬、長、高平分之，那麼又可以知道其中的以1，2作為率。平分的部分越小，剩餘的部分就越細。非常細就叫作微，微就不再有形體。由此說來，哪裡還會有剩餘呢？對於數學中無限的問題，就要按數理進行推斷，不能用籌算。鱉腝這種物體，不同於一般的器皿用具；陽馬的形狀，有時底是長方形，或長或短，或寬或窄。然而，如果沒有鱉腝，就沒有辦法考察陽馬的體積，如果沒有陽馬，就沒有辦法知道錐亭之類的體積，這是解決程功積實問題的根本。 假設有一個鱉腝，下寬是5尺，沒有長，上長是4尺，沒有寬，高是7尺。問：其體積是多少？ 答：尺3。 術：下寬與上長相乘，以高乘之，除以6。按：此術中，腝就是臂骨。有人說，半個陽馬，其形狀有點像鱉肘，所以叫這個名字。從中間平分陽馬，得到兩個鱉腝，它的體積是陽馬的半數。寬、長、高都與陽馬相同而其體積是其一半，所以除以6，即得。 今有羨除〔1〕，下廣六尺，上廣一丈，深三尺；末廣八尺，無深；袤七尺。問：積幾何？ 荅曰：八十四尺。 術曰：並三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一〔2〕。按：此術羨除，實隧道也。其所穿地，上平下邪，似兩鱉腝夾一塹堵，即羨除之形〔3〕。假令用此棋：上廣三尺，深一尺，下廣一尺；末廣一尺，無深；袤一尺〔4〕。下廣、末廣皆塹堵〔5〕；上廣者，兩鱉腝與一塹堵相連之廣也〔6〕。以深、袤乘，得積五尺。鱉腝居二，塹堵居三，其於本棋，皆一為六〔7〕，故六而一〔8〕。合四陽馬以為方錐〔9〕。邪畫方錐之底，亦令為中方〔10〕。就中方削而上合，全為中方錐之半〔11〕。於是陽馬之棋悉中解矣〔12〕。中錐離而為四鱉腝焉〔13〕。故外錐之半亦為四鱉腝〔14〕。雖背正異形，與常所謂鱉腝參不相似，實則同也〔15〕。所云夾塹堵者，中錐之鱉腝也〔16〕。凡塹堵上袤短者，連陽馬也〔17〕。下袤短者，與鱉腝連也〔18〕。上、下兩袤相等知，亦與鱉腝連也〔19〕。並三廣，以高、袤乘，六而一，皆其積也〔20〕。今此羨除之廣，即塹堵之袤也〔21〕。按：此本是三廣不等，即與鱉腝連者〔22〕。別而言之〔23〕：中央塹堵廣六尺，高三尺，袤七尺〔24〕。末廣之兩旁，各一小鱉腝，皆與塹堵等〔25〕。令小鱉腝居里，大鱉腝居表〔26〕，則大鱉腝皆出隨方錐〔27〕，下廣二尺，袤六尺，高七尺〔28〕。分取其半，則為袤三尺〔29〕。以高、廣乘之，三而一，即半錐之積也〔30〕。邪解半錐得此兩大鱉腝〔31〕。求其積，亦當六而一，合於常率矣〔32〕。按：陽馬之棋兩邪，棋底方，當其方也，不問旁、角而割之，相半可知也〔33〕。推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實〔34〕。角而割之者，相半之勢〔35〕。此大、小鱉腝可知更相表里，但體有背正也〔36〕。 【注釋】 〔1〕羨（yán）除：一種楔形體，有五個面，其中三個面是等腰梯形，兩個側面是三角形，其長所在的平面與高所在的平面垂直，如圖5-26所示。這是三廣不相等的情形。也有兩廣相等的情形，此時只有兩個面是等腰梯形，另一個面是長方形。羨，通延，墓道。《史記·衛康叔世家》：「共伯入厘侯羨自殺。」司馬貞索隱：「羨，音延。延，墓道。」李籍云：「羨，延也；除，道也。羨除乃隧道也。」 圖5-26　羨除 （采自譯註本《九章算術》） 〔2〕記羨除的上廣、下廣、末廣、袤、深分別為a1，a2，a3，b，h，則其體積為 〔3〕自此，劉徽注先討論有兩廣相等的羨除。首先是下、末兩廣相等的羨除，如圖5-27（1），是兩個鱉腝夾著一個塹堵。這裡塹堵就是《九章算術》給出者，而鱉腝卻不同於《九章算術》給出者，而是三棱垂直於一點的四面體，如圖5-27（2）。 圖5-27　下末兩廣相等的羨除 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕這是劉徽記述的以棋驗法推導下、末兩廣相等的羨除的體積公式的方法。先構造一個標準型下、末兩廣相等的羨除，上廣3尺，下、末兩廣及袤、深均為1尺。它可以分解為中間一個廣、長、高皆為1尺的塹堵，及其兩側的廣、長、高皆為1尺的鱉腝，如圖5-28（1）。 圖5-28　下末兩廣相等的標準型羨除 （采自譯註本《九章算術》） 〔5〕在這種羨除中，下廣、末廣都是塹堵的廣。 〔6〕這裡羨除的上廣是塹堵與夾塹堵的兩鱉腝相連的廣。 〔7〕這裡構造3個立方體：一個是廣3尺，深1尺，長1尺的長方體，其體積是3尺3，含有2個塹堵，12個鱉腝；另外2個都是廣、深、長皆為1尺的正方體，體積為1尺3，各含有2個塹堵，共為2尺3，4個塹堵，如圖5-28（2）。這3個立方體合起來共5尺3，6個塹堵，12個鱉腝，所以說標準型羨除中的塹堵、鱉腝「皆一為六」。 〔8〕構造的3個立體的體積就是（上廣+下廣+末廣）×長×深，所以除以6就是（5-16）式。 〔9〕合四陽馬以為方錐：將4個陽馬拼合在一起就成為方錐。蓋在上述推導下、末兩廣相等的羨除體積的棋驗法中，一個正方體是無法分割成夾塹堵的6個鱉腝的。說2鱉腝，「一為六」變成12個鱉腝，大約是人們的猜想。劉徽認為，必須求出形如圖5-27（2）的鱉腝的體積。因此，他取4個陽馬ABCDE，ABEFG，ABGHI，ABIJC，每一個皆為底廣a，長b，高h，合成一個方錐ADFHJ，底廣2a，長2b，高h，如圖5-29。依據方錐體積公式（5-12），此方錐的體積為。 圖5-29　合四陽馬為方錐 （采自譯註本《九章算術》） 〔10〕邪畫方錐之底，亦令為中方：斜著分割方錐的底，就形成一個中間的正方形。這相當於連接方錐底面每邊的中點C，E，G，I，就得到中方CEGI。 〔11〕就中方削而上合，全為中方錐之半（piàn）：從這個中間正方形CEGI向上削至方錐ADFHJ的頂點A，得到的鱉腝全都是中方錐的一片。半，片也。《漢書·李陵傳》：「令軍士持二升糒，一半冰。」如淳曰：「『半』讀曰『片』。」中錐ACEGI的體積顯然是。 〔12〕陽馬之棋悉中解矣：合成方錐的四個陽馬都從中間被剖分。 〔13〕中錐離而為四鱉腝焉：中錐ACEGI被分割為全等的4個鱉腝ABCE，ABEG，ABGI，ABIC。因此每一個的體積當然是中方錐的，即，與《九章算術》的鱉腝體積公式（5-15）相同。 〔14〕外錐之半（piàn）亦為四鱉腝：外錐的片也成為4個鱉腝。方錐ADFHJ分割出中錐ACEGI後剩餘的部分，稱為外錐，它的每一片也都是鱉腝，也是4個，即ACDE，AEFG，AGHI，AIJC。 〔15〕「背正異形」三句：中錐的4個鱉腝與外錐的4個鱉腝背正相對，形狀不同，與通常的鱉腝的廣、袤、高三度不相等，它們的體積公式卻相同。蓋外錐的體積也是，每一個鱉腝的體積當然也是。 〔16〕夾塹堵者，中錐之鱉腝：夾塹堵的鱉腝就是從中錐分離出來的鱉腝。求塹堵和兩鱉腝的體積之和，就得到下、末兩廣相等的羨除的體積公式，即（5-16）式。 〔17〕凡塹堵上袤短者，連陽馬：凡是塹堵的上長比羨除的上廣短的羨除，由一個塹堵及兩側的陽馬組成，如圖5-30（1）（2）。顯然，這兩種羨除在數學上沒有什麼不同。自此劉徽討論兩廣相等的另外幾種羨除。 圖5-30　兩廣相等的其他羨除 （采自譯註本《九章算術》） 〔18〕下袤短者，與鱉腝連：凡是塹堵的下長短於羨除下廣的羨除，由一塹堵及兩側的兩鱉腝組成，如圖5-30（3）。 〔19〕上、下兩袤相等知，亦與鱉腝連：凡是塹堵的上、下兩長與羨除的上、下廣相等的羨除，由一個塹堵及兩側的鱉腝組成，如圖5-30（4）。知，訓「者」，其說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔20〕這幾種羨除的體積公式都是（5-16）式。 〔21〕在上述討論中，羨除的廣與塹堵的長在同一直線上。 〔22〕此謂三廣不等的羨除，其分割出的塹堵與鱉腝相連，如圖5-31所示。實際上羨除ABCDEF由於是按《九章算術》例題所繪，上廣10尺，末廣8尺，下廣6尺，三廣之尺數呈等差，仍是一個特殊的羨除。不過劉徽的處理方法具有一般性。 圖5-31　三廣不等的羨除 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔23〕別而言之：將羨除分割開分別表述之。別，分解，分剖。《說文解字》：「別，分解也。」這是將羨除分解為中央塹堵GHCDIJ，末廣兩旁的兩小鱉腝GDEI，HCFJ，外側兩大鱉腝GDAE，HCBF。 〔24〕中央塹堵GHCDIJ的廣GH為6尺，高GD為3尺，長GI為7尺。 〔25〕「末廣之兩旁」三句：塹堵末廣兩旁的兩小鱉腝與塹堵的高與袤分別相等。兩小鱉腝GDEI，HCFJ的廣是IE，為1尺，高GD為3尺，長GI為7尺，與塹堵相同。兩小鱉腝的形狀與《九章算術》的相同，無疑可以用（5-15）式求其體積。 〔26〕此謂兩小鱉腝GDEI，HCFJ居於內側，兩大鱉腝GDAE，HCBF居於外側。 〔27〕大鱉腝皆出隨方錐：兩大鱉腝皆從橢方錐中分離出來。隨方錐，即橢方錐，是底面為長方形的方錐。然而這種大鱉腝是沒有討論過的形狀，是不是用（5-15）求積，尚未知。劉徽認為，需要將大鱉腝從隨方錐中分割出來，以考察它的體積。以下就是分割的方法。 〔28〕劉徽構造一個橢方錐，如圖5-32，記作EMNCD，下廣DM為3尺，長CD為6尺，高EO為7尺。 圖5-32　大鱉腝之分解 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔29〕分取其半，則為袤三尺：此謂用平面EAG平分橢方錐，得到兩個半橢方錐EAGCN，EAGDM，此半橢方錐的長CG=DG為3尺。 〔30〕記半橢方錐的廣CN為a，長CG為b，高EO為h，則其體積為。 〔31〕邪解半錐得此兩大鱉腝：用平面EAC，EAD分別分割半橢方錐EAGCN和EAGDM，得到鱉腝GCAE和GDAE，就是上述的兩大鱉腝。 〔32〕「求其積」三句：求大鱉腝的體積，也應當除以6，符合通常的率。大鱉腝GCAE或GDAE的體積應該是半隨方錐EAGCN或EAGDM體積的一半，即，也是（5-15）式，所以說「合於常率」。大鱉腝的體積為什麼是半橢方錐的一半呢？下面就是劉徽的證明方法。 〔33〕不問旁、角而割之，相半可知：這是劉徽提出一個命題：對一個長方形，不管是用對角線還是用對邊中點的連線分割之，都將其面積平分，如圖5-33。 圖5-33　不問旁、角而割之 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔34〕推此上連無成不方，故方錐與陽馬同實：將這一結論由底向上推廣，所連接出的方錐與陽馬的各層沒有一層不是相等的方形，所以它們的體積相等。成，訓「重（chónɡ）」，層。《周禮·秋官·司寇》：「將合諸侯，則令為壇三成。」鄭玄註：「三成，三重也。」劉徽在這裡提出了一個重要原理：如果同底等高的方錐與陽馬沒有一層不是相等的方形，則它們的體積相等，如圖5-34。可見劉徽已經掌握了祖暅之原理的本質。這裡還有一個不言自明的推論：一個立體，如果每一層都被同一平面所平分，則整個立體被該平面所平分。 圖5-34　方錐與陽馬同實 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔35〕角而割之者，相半之勢：對一長方形從對角分割，是將其平分的態勢。用平面EAC，EAD分別分割半橢方錐EAGCN和EAGDM，就是對每一層「角而割之」。因此，兩半橢方錐的體積分別被平面EAC，EAD所平分。所以大鱉腝的體積是半橢方錐的。 〔36〕此大、小鱉腝可知更相表里，但體有背正也：這裡的大鱉腝、小鱉腝互為表里，但形狀有反有正。半橢方錐除去大鱉腝，其剩餘部分分別是NCAE和MDAE，是另一種形狀的大鱉腝，其求積公式也是。所以大、小鱉腝互為表里。在這個注中，劉徽討論了幾種特殊情形的鱉腝，證明它們都用（5-15）式求積，接近於提出任何四面體都可以用（5-15）式求積。6尺，高是7尺。分取它的一半，那麼長變成3尺。以高、寬乘之，除以3，就是半長方錐的體積。斜著剖開兩個半長方錐，就得到兩大鱉腝。求它的體積，也應該除以6，符合鱉腝通常的率。按：陽馬棋有兩個斜面，棋的底是長方形。對長方形，不管是從兩旁分割它，還是從對角分割它，都將其平分成二等分。將這一結論由底向上推廣，所連接出的方錐與陽馬的各層沒有一層不是相等的方形，所以它們的體積相等。從對角分割，是平分的態勢。所以大鱉腝的體積是半長方錐的，是正確的。這裡的大鱉腝、小鱉腝互為表里，但形狀有反有正。 【譯文】 假設有一條羨除，一端下寬是6尺，上寬是1丈，深是3尺；末端寬是8尺，沒有深；長是7尺。問：其體積是多少？ 答：84尺3。 術：將三個寬相加，以深乘之，又以長乘之，除以6。按：此術中羨除實際上是一條隧道。如果所挖的地上面是平的，下面是斜面，好像兩個鱉腝夾著一個塹堵，就是羨除的形狀。假設使用這樣的棋：一端上寬是3尺，深是1尺，下寬是1尺，末端寬是1尺，沒有深，長是1尺。一端的下寬與末端的寬都是塹堵的寬；一端的上寬是兩個鱉腝與一個塹堵相連的寬。以深、長乘三個寬之和，得到體積5尺3，鱉腝占據2份，塹堵占據3份。對原來的棋，它們都由1個變成了6個，所以要除以6。將4個陽馬拼合成1個方錐。斜著分割方錐的底，就形成一個中間正方形。從這個中間正方形向上到方錐的頂點剖開，得到的全都是中方錐的一片。於是陽馬之棋全被從中間剖開了，中間方錐分離成4個鱉腝。那麼外錐的一片片也是4個鱉腝。雖然這些鱉腝一反一正，形狀不同，與通常說的鱉腝的三度都不相等，它們的求積公式卻是相同的。所說的夾塹堵的，就是從中間方錐分離出來的鱉腝。凡是塹堵的長比羨除的上寬短的，兩側就與陽馬相連；塹堵的長比羨除的下寬短的，兩側就與鱉腝相連；塹堵的長與羨除的上、下寬相等的，兩側也與鱉腝相連。使三個寬相加，以高、長乘之，除以6，都得到羨除的體積。這裡所說的羨除的寬，在塹堵的長的位置上。　　按：這一問題中本來是三寬不相等的即與鱉腝相連的羨除。將其分解進行討論：位於中央的塹堵，寬是6尺，高是3尺，長是7尺。羨除末端寬的兩旁，各有一小鱉腝。它的寬、長皆與塹堵的相等。使小鱉腝居於裡面，大鱉腝居於表面。大鱉腝都可以從長方錐中分離出來。長方錐的下底寬是2尺，長是 今有芻甍〔1〕，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈。問：積幾何？ 荅曰：五千尺。 術曰：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一〔2〕。推明義理者〔3〕：舊說雲〔4〕，凡積芻有上下廣曰童〔5〕，甍謂其屋蓋之茨也〔6〕。是故甍之下廣、袤與童之上廣、袤等〔7〕。正斬方亭兩邊，合之即芻甍之形也〔8〕。假令下廣二尺，袤三尺；上袤一尺，無廣；高一尺〔9〕。其用棋也，中央塹堵二，兩端陽馬各二〔10〕。倍下袤，上袤從之，為七尺，以廣乘之，得冪十四尺〔11〕，陽馬之冪各居二，塹堵之冪各居三〔12〕。以高乘之，得積十四尺〔13〕。其於本棋也，皆一而為六〔14〕，故六而一，即得〔15〕。亦可令上、下袤差乘廣，以高乘之，三而一，即四陽馬也〔16〕；下廣乘之上袤而半之，高乘之，即二塹堵〔17〕；並之，以為甍積也〔18〕。 【注釋】 〔1〕芻甍：其本義是形如屋脊的草垛，是一種底面為長方形而上方只有長，無廣，上長短於下長的楔形體，如圖5-35。芻，指餵牲口的草。甍，屋脊。《說文解字》：「甍，屋棟也。」 圖5-35　芻甍 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕記芻甍的下廣為a，上長b1，下長b2，高h，則其體積公式為 〔3〕推明義理：闡明其涵義。推明，闡明。《新唐書·柳冕傳》：「乃上表乞代，且推明朝覲之意。」義理，經義名理，涵義。《漢書·劉歆傳》：「初《左氏傳》古字古言，學者傳訓故而已，及歆治《左氏》，引傳文以解經，轉相發明，由是章句義理備矣。」 〔4〕舊說：指前代數學家的說法。 〔5〕凡積芻有上下廣曰童：垛成的草垛上不僅有長，而且有廣，叫作童。童，山無草木，牛羊無角，人禿頂，皆曰童。《管子·侈靡》：「山不童而用贍。」 〔6〕茨：是用茅草、蘆葦搭蓋的屋頂。李籍云：「芻甍之形似屋蓋上苫也。」　　苫：用茅草編成的覆蓋物。 〔7〕此謂用一個平行於芻甍底面的平面切割芻甍，下為芻童，上仍為芻甍，所以說，芻甍的下廣、長與芻童的上廣、長相等。 〔8〕此謂以垂直於底面的兩個平面從方亭上底的兩對邊切割方亭，切割下的兩側合起來就是芻甍，如圖5-36。以上從各種角度界定芻甍。 圖5-36　方亭兩邊合為芻甍 （采自沈康身《九章算術導讀》） 〔9〕以下是劉徽記述的《九章算術》時代推導芻甍體積公式（5-17-1）的棋驗法。先構造一個標準型芻甍：下廣2尺，長3尺，上長1尺，高1尺。 〔10〕將標準型芻甍分解為三品棋，可以分解為2個中央塹堵，兩端各2個陽馬，共4個陽馬，如圖5-37（1）。 圖5-37　芻甍之棋驗法 （采自譯註本《九章算術》） 〔11〕「倍下袤」五句：此謂構造一個長方形：長為標準型芻甍下長3尺的2倍加上長1尺，即7尺，廣是芻甍的廣2尺，如圖5-37（2）。得到面積14尺2。 〔12〕陽馬之冪各居二，塹堵之冪各居三：此謂在這個長方形中，1個陽馬占據2尺2，1個塹堵占據3尺2。換言之，4個陽馬共占據8尺2，2個塹堵共占據6尺2，共14尺2。 〔13〕此謂以高1尺乘14尺2，得14尺3，就形成了長7尺，廣2尺，高1尺的長方體，如圖5-37（3）。 〔14〕其於本棋也，皆一而為六：這個長方體中的塹堵、陽馬對於標準型芻甍，1個都變成了6個。這是因為一個正方體可以分解為2個塹堵，如圖5-37（4），或3個陽馬，如圖5-37（5），那麼2個塹堵占據的6尺3，共分解為12個塹堵；4個陽馬占據的8尺3，共分解為24個陽馬；標準型芻甍中的塹堵、陽馬都是1個變成了6個。實際上圖5-37（3）的長方體可以重新拼合成6個標準型芻甍。 〔15〕故六而一，即得：所以除以6，就得到標準型芻甍的體積，即（5-17-1）式。同樣，這種棋驗法對一般芻甍並不適用。 〔16〕劉徽在這裡提出了將芻甍分解為中央2個塹堵、四角4個陽馬求其體積之和解決其體積問題的方法，如圖5-38。一個陽馬的廣是，長是，高是h，則根據公式（5-13），一個陽馬的體積是，四角4個陽馬的體積是。 圖5-38　芻甍之有限分割求和法 （采自譯註本《九章算術》） 〔17〕一個塹堵的廣為，長b1，高h，根據公式（5-12），其體積是，兩個中央塹堵的體積是。之，訓「以」，裴學海《古書虛字集釋》卷九：「『之』，猶『以』也。」 〔18〕所以劉徽給出芻甍新的體積公式 【譯文】 假設有一座芻甍，下底寬是3丈，長是4丈；上長是2丈，沒有寬；高是1丈。問：其體積是多少？ 答：5 000尺3。 術：將下長加倍，加上長，以寬乘之，又以高乘之，除以6。先把它的涵義推究明白：舊的說法是，凡是堆積芻草，有上頂寬與下底寬，就叫作童。甍是指用茅草做成的屋脊。所以芻甍下底的寬、長與芻童上頂的寬、長相等。從正面切割下方亭的兩邊，合起來，就是芻甍的形狀。假設一個芻甍，下底寬是2尺，長是3尺，上長是1尺，沒有寬，高是1尺。它所使用的棋：中央有2個塹堵，兩端各有2個陽馬。將上長加倍，加上長，得7尺。以下底寬乘之，得到面積14尺2。每個陽馬的面積占據2尺2，每個塹堵的面積占據3尺2。再以高乘之，得體積14尺3。它們對於本來的棋，1個都變成了6個。所以除以6，就得到芻甍的體積。也可以使芻甍的下長與上長之差乘下底寬，再以高乘之，除以3，就是4個陽馬的體積；下底的寬乘上頂的長，取其一半，再以高乘之，就是2個塹堵的體積。兩者相加，就得芻甍的體積。 芻童〔1〕、曲池〔2〕、盤池〔3〕、冥谷〔4〕皆同術。 術曰：倍上袤，下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之；並，以高若深乘之，皆六而一〔5〕。按：此術假令芻童上廣一尺，袤二尺；下廣三尺，袤四尺；高一尺〔6〕。其用棋也，中央立方二，四面塹堵六，四角陽馬四〔7〕。倍下袤為八，上袤從之，為十。以高、廣乘之，得積三十尺〔8〕。是為得中央立方各三，兩端塹堵各四，兩旁塹堵各六，四角陽馬亦各六〔9〕。後倍上袤，下袤從之，為八。以高、廣乘之，得積八尺〔10〕。是為得中央立方亦各三，兩端塹堵各二〔11〕。並兩旁，三品棋皆一而為六〔12〕，故六而一，即得〔13〕。　　為術又可令上、下廣、袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四陽馬〔14〕；上、下廣、袤互相乘，並而半之，以高乘之，即四面六塹堵與二立方〔15〕；並之，為芻童積〔16〕。　　又可令上、下廣、袤互相乘而半之，上、下廣、袤又各自乘，並，以高乘之，三而一，即得也〔17〕。其曲池者，並上中、外周而半之，以為上袤；亦並下中、外周而半之，以為下袤〔18〕。此池環而不通匝，形如盤蛇而曲之。亦云周者，謂如委谷依垣之周耳〔19〕。引而伸之，周為袤。求袤之意，環田也〔20〕。 今有芻童，下廣二丈，袤三丈；上廣三丈，袤四丈；高三丈。問：積幾何？ 荅曰：二萬六千五百尺。 今有曲池，上中周二丈，外周四丈，廣一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四尺，廣五尺；深一丈。問：積幾何？ 荅曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。 今有盤池，上廣六丈，袤八丈；下廣四丈，袤六丈；深二丈。問：積幾何？ 荅曰：七萬六百六十六尺太半尺。 負土往來七十步〔21〕；其二十步上下棚、除〔22〕，棚、除二當平道五〔23〕，踟躕之間十加一〔24〕，載輸之間三十步〔25〕，定一返一百四十步〔26〕。土籠積一尺六寸〔27〕。秋程人功行五十九里半〔28〕。問：人到積尺及用徒各幾何〔29〕？ 荅曰： 人到二百四尺。 用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。 術曰：以一籠積尺乘程行步數，為實。往來上下棚、除二當平道五。棚，閣，除，邪道，有上下之難，故使二當五也。置定往來步數，十加一，及載輸之間三十步以為法。除之，所得即一人所到尺〔30〕。按：此術棚，閣，除，邪道，有上下之難，故使二當五。置定往來步數，十加一，及載輸之間三十步，是為往來一返凡用一百四十步。於今有術為所有行率，籠積一尺六寸為所求到土率，程行五十九里半為所有數，而今有之，即人到尺數。「以所到約積尺，即用徒人數」者，此一人之積除其眾積尺，故得用徒人數〔31〕。為術又可令往來一返所用之步約程行為返數，乘籠積為一人所到〔32〕。以此術與今有術相返覆，則乘除之或先後，意各有所在而同歸耳〔33〕。以所到約積尺，即用徒人數〔34〕。 今有冥谷，上廣二丈，袤七丈；下廣八尺，袤四丈；深六丈五尺。問：積幾何？ 荅曰：五萬二千尺。 載土往來二百步〔35〕，載輸之間一里，程行五十八里。六人共車，車載三十四尺七寸〔36〕。問：人到積尺及用徒各幾何？ 荅曰： 人到二百一尺五十分尺之十三。 用徒二百五十八人一萬六十三分人之三千七百四十六。 術曰：以一車積尺乘程行步數，為實。置今往來步數，加載輸之間一里，以車六人乘之，為法。除之，所得即一人所到尺〔37〕。按：此術今有之義。以載輸及往來並得五百步〔38〕，為所有行率，車載三十四尺七寸為所求到土率，程行五十八里，通之為步〔39〕，為所有數。而今有之，所得則一車所到〔40〕。欲得人到者，當以六人除之，即得〔41〕。術有分，故亦更令乘法而並除者，亦用以車尺數以為一人到土率，六人乘五百步為行率也〔42〕。　　又亦可五百步為行率〔43〕，令六人約車積尺數為一人到土率，以負土術入之〔44〕。入之者〔45〕，亦可求返數也〔46〕。要取其會通而已。術恐有分，故令乘法而並除〔47〕。「以所到約積尺，即用徒人數」者，以一人所到積尺除其眾積，故得用徒人數也。以所到約積尺，即用徒人數〔48〕。 【注釋】 〔1〕芻童：本義是平頂草垛，如圖5-39。也是地面上的土方工程，西漢帝王陵皆為芻童形。然而《九章算術》和秦漢數學簡牘關於芻童的例題皆是上大下小。李籍云：「如倒置砑石。」 圖5-39　芻童、盤池、冥谷 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕曲池：是曲折迴繞的水池。實際上是曲面體，此處曲池的上下底皆為圓環，如圖5-40，顯然是規範的曲池。 圖5-40　曲池 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔3〕盤池：是盤狀的水池，地下的水土工程，在數學上與芻童相同，如圖5-39。 〔4〕冥谷：是墓穴，地下的土方工程。李籍云：「如正置砑石。」在數學上亦與芻童相同，如圖5-39。 〔5〕若：或。記芻童的上廣、長分別為a1，b1，下廣、長分別為a2，b2，高h，則其體積公式為 〔6〕以下是劉徽記述的《九章算術》時代以棋驗法推導芻童的體積公式（5-18-1）的方法。首先構造一個標準型芻童：上廣1尺，長2尺，下廣3尺，長4尺，高1尺。如圖5-41（1）。 圖5-41　芻童之棋驗法 （采自譯註本《九章算術》） 〔7〕將標準型芻童分解為三品棋：2個中央正方體，6個四面塹堵，4個四角陽馬。 〔8〕構造第一個長方體：其長為標準型芻童下長4尺的2倍加上長2尺，即10尺；廣為其下廣3尺，高為其高1尺。其體積為30尺3。如圖5-41（2）。 〔9〕標準型芻童中的2個中央正方體每1個在第一個長方體中變成了3個，共6個，即圖5-41（2）中標Ⅰ者；芻童中的4個兩旁塹堵1個變成了6個，共24個，即標Ⅱ者；芻童中的2個兩端塹堵1個變成了4個，共8個，即標Ⅲ者；芻童中的4個四角陽馬1個變成了6個，共24個，即標Ⅳ者。正方體Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分解成塹堵、陽馬的方法分別如圖5-41（4），（5），（6）所示。 〔10〕再構造第二個長方體：長為標準型芻童上長2尺的2倍加下長4尺，即8尺；廣為芻童的上廣1尺，高為芻童的高1尺，如圖5-41（3）。其體積為8尺3。 〔11〕標準型芻童中的2個中央正方體1個在第二個長方體中變成了3個，共6個；芻童中的2個兩端塹堵1個變成了2個，共4個。 〔12〕並兩旁，三品棋皆一而為六：將兩個長方體相加，三品棋1個都變成了6個。旁，通方。《莊子·人間世》：「其可以為舟者旁十數。」俞樾平議：「旁讀為方，古字通用。」兩個長方體所含正方棋、塹堵棋、陽馬棋這三品棋的數目如下 標準型芻童中的三品棋1個都變成了6個。 〔13〕此謂除以6，就得到標準型芻童的體積，即（5-18-1）式。同樣，這種棋驗法對一般芻童並不適用。 〔14〕劉徽在這裡使用了有限分割求和法，即將芻童分解為中央2個立方體、四面6個塹堵、四角4個陽馬，求其體積之和以解決其體積問題，如圖5-42。一個陽馬的廣是，長是，高是h，則根據公式（5-13），一個陽馬的體積是，四角4個陽馬的體積是。 圖5-42　芻童之有限分割求和法 （采自譯註本《九章算術》） 〔15〕一個端塹堵的廣是a1，長是，高是h，則根據公式（5- 12），一個端塹堵的體積是。2個端塹堵的體積是。一個旁塹堵的廣是，長是，高是h，則根據公式（5-12），一個旁塹堵的體積是。4個旁塹堵的體積是。中央2立方的體積是a1b1h。那麼四面6塹堵和中央2立方的體積是 〔16〕劉徽求中央2立方、四面6塹堵和四角4陽馬的體積之和，便得到芻童的體積公式 顯然，其中分割成2個中央立方和4個旁塹堵是沒有必要的，只要分割成1個中央長方體和2個旁塹堵就夠了。之所以如此分割，大約是受到手頭棋的限制，如同劉徽原理的證明中使用廣、長、高均為1尺棋那樣。 〔17〕劉徽給出芻童的另一體積公式 〔18〕記曲池的上中、外周分別為l1，L1，下中、外周為l2，L2，則令，利用（5-18-1）求其體積。 〔19〕此謂曲池之周像委谷依垣那樣不通匝。 〔20〕像環田那樣引而伸之，展為梯形，如圖1-21。 〔21〕以下是附屬於盤池問的題目。這是說挖一盤池，負土距離70步。　　負土：背土。《淮南子·齊俗訓》：「故伊尹之興土功也，脩脛者使之跖钁，強脊者使之負土。」高誘註：「脊強者負重。」 〔22〕棚：下文劉徽注曰：「棚，閣。」閣就是樓閣，也作棧道。　　除：台階，階梯。下文劉徽注曰：「除，邪道。」 〔23〕上下棚、除二當平道五：在棚、除行進2，相當於在平道行進5。那麼20步就相當於。行進的路程相當於（70步-20步）+。 〔24〕踟躕：徘徊。李籍云：「行不進也。」　　十加一：行進10步加1步，則行進的路程相當於。 〔25〕載輸：裝卸。裝卸之間相當於30步。 〔26〕此謂定一返為：110步+30步=140步。 〔27〕籠：盛土器，土筐。《說文解字》：「籠，舉土器也。」　　積一尺六寸：其體積是1尺3600寸3。 〔28〕秋程人功行五十九里半：秋季1個勞動力的標準工作量為一天背負容積為1尺3600寸3的土籠行里。 〔29〕人到積尺：即每人每天運到的土方尺數。 〔30〕《九章算術》的方法是 〔31〕以1人所運到的積尺數除眾人共同運到的積尺數，就得用徒人數。劉徽將其歸結為今有術，140步為所有率，土籠容積1尺3600寸3為所求率，程行里為所有數。 〔32〕劉徽提出的又一方法 其中程行步數÷定往返步數是一人每天往返次數。 〔33〕劉徽的方法是先除後乘，與《九章算術》的先乘後除不同，意在提供不同的思路。一般說來，劉徽是主張先乘後除的。 〔34〕《九章算術》給出 〔35〕載土：用車輛運輸土石。 〔36〕一輛車運載的土方是34尺3700寸3。 〔37〕《九章算術》的方法是 〔38〕載輸之間1里=300步，往來200步，故為500步。 〔39〕1里為300步，58里為17 400步。 〔40〕劉徽認為《九章算術》的方法是利用今有術先求出一天的一車到積尺 車到積尺=（一車積尺×程行步數）÷（往來步數+1里） =（34尺3700寸3×58里）÷（200步+300步） 其中往來步數及載輸共500步為所有率，車載即一車積尺34尺3700寸3為所求率，一天標準輸送路程58里為所有數。 〔41〕6人共一車，車到積尺除以6，就是人到積尺。 〔42〕一般說來，先求出車到積尺會有分數，再除以6，更繁瑣。於是以一車積尺數作為一人到土率，以6乘500步作為行率，變成了以6乘法而一併除。 〔43〕亦可：這是劉徽提出的第二種思路。 〔44〕負土：南宋本、《大典》本訛作「載土」，李潢校正，錢校本、譯註本、《傳世藏書》本、《算經十書》本從。匯校本及其增補版恢復原文。今按：載土術與負土術的區別是前者以「一車所到」入算，後者以「一人所到」入算。劉徽在註解了載土術之後提出另外一種思路，即以6人約「車積尺數」為一人到土率，應該採納負土術。 〔45〕入之者：假設採納負土術。者，假設之辭，見裴學海《古書虛字集釋》卷九。 〔46〕亦可先求返數：即由「程行步數÷（往來步數+1里）」求出每輛車一天往返的次數。這是劉徽提出的又一方法 〔47〕術恐有分，故令乘法而並除：先求出每輛車一天的往返次數，方法雖然亦正確，但先做除法，難免有分數，所以《九章算術》採取乘法而並除的方式。 〔48〕《九章算術》給出 【譯文】 芻童、曲池、盤池、冥谷都用同一術。 術：將上長加倍，加下長，又將下長加倍，加上長，分別以各自的寬乘之。將它們相加，以高或深乘之，除以6。按：此術中，假設芻童的上頂寬是1尺，長是2尺；下底寬是3尺，長是4尺，高是1尺。它所使用的棋：中央有2個正方體，四面有6個塹堵，四角有4個陽馬。將下長加倍，得8，加上長，得10，以高、下底寬乘之，得體積30尺3。這就成為：中央的正方體1個變成了3個，兩端的塹堵1個變成了4個，兩旁的塹堵1個變成了6個，四角的陽馬1個變成了6個。然後將上長加倍，加下長，得8。以高、上寬乘之，得體積8尺3。這就成為：中央的正方體1個也變成了3個，兩端塹堵1個變成了2個。將兩個長方體相加，三品棋1個都變成了6個。所以除以6，就得到芻童的體積。　　造術又可以使芻童的上、下寬的差與上、下長的差相乘，以高乘之，除以3，就是4個陽馬的體積；下寬乘上長與上寬乘下長相加，取其一半，以高乘之，就是四面6個塹堵與中央2個立方的體積；兩者相加，就得芻童的體積。　　又可以使上寬乘下長，下寬乘上長，均取其一半；上寬、長相乘，下寬、長相乘；將它們相加，以高乘之，除以3，就得到芻童的體積。如果是曲池，就將上中、外周相加，取其一半，作為上長；又將下中、外周相加，取其一半，作為下長。這種曲池是圓環形的但不連通，形狀像盤起來的蛇那樣彎曲。也稱為周，是說像把穀物堆放在牆邊那樣的周。將它伸直，周就成為長。求長的意思如同環田。 假設有一芻童，下寬是2丈，長是3丈；上寬是3丈，長是4丈；高是3丈。問：其體積是多少？ 答：26 500尺3。 假設有一曲池，上中周是2丈，外周是4丈，寬是1丈；下中周是1丈4尺，外周是2丈4尺，寬是5尺；深是1丈。問：其體積是多少？ 答：1 883尺3寸3。 假設有一盤池，上寬是6丈，長是8丈；下寬是4丈，長是6丈；深是2丈。問：其體積是多少？ 答：尺3。 如果背負土筐一個往返是70步。其中有20步是上下的棚、除。在棚、除上行走2相當於平地5，徘徊的時間10加1，裝卸的時間相當於30步。因此，一個往返確定走140步。土籠的容積是1尺3600寸3。秋天一人每天標準運送里。問：一人一天運到的土方尺數及用工人數各多少？ 答： 一人運到土方204尺3； 用工人。 術：以一土筐容積尺數乘一人每天的標準運送步數，作為實。往來上下要走棚、除，2相當於平地5。棚是棧道，除是台階，有上下的困難，所以2相當於5。布置運送一個往返確定走的步數，每10加1，再加裝卸時間的30步，作為法。實除以法，所得就是1人每天所運到的土方尺數。按：此術中棚是棧道，除是台階，有上下的困難，所以2相當於5。布置運送一個往返確定走的步數，每10加1，再加裝卸的時間30步，這是說往來運送一次共走140步。對今有術來說，它是所有率即行率，土筐容積1尺3600寸3是所求率即到土率，一人每天標準運送的里是所有數。應用今有術，就得到一人每天所運到的土方尺數。「以一人每天所運到的土方尺數除盤池容積尺數，就是用工人數」，這是因為以一人運到的土方尺數，去除眾人應該運送的土方尺數，就得到用工人數。　　造術又可以：以往來一次所用的步數除一人標準運送的步數，作為往返次數。以它乘土筐容積，為一人所運送到的土方尺數。以此術與今有術相比較，一個是先乘後除，一個是先除後乘，各自有不同的思路，卻有同一個結果。以一人每天所運到的土方尺數除盤池容積尺數，就是用工人數。 假設有一冥谷，上寬是2丈，長是7丈；下寬是8尺，長是4丈；深是6丈5尺。問：其體積是多少？ 答：52 000尺3。 如果裝運土石一個往返是200步，裝卸的時間相當於1里。一輛車每天標準運送58里。6個人共一輛車，每輛車裝載34尺3700寸3。問：一人一天運到的土方尺數及用工人數各多少？ 答： 術：以一輛車裝載尺數乘一輛車每天標準運送里數，作為實。布置運送一個往返的步數，加裝卸時間所相當的1里，以每輛車的6人乘之，作為法。實除以法，所得就是1人每天所運到的土方尺數。按：此術有今有術的意義。以裝卸及往返的步數相加，得500步，作為所有率即行率，每輛車所裝載34尺3700寸3作為所求率，一輛車每天標準運送的58里，換算成步數，作為所有數。應用今有術，所得到的就是一車每天所運到的土方尺數。如果想得到一人運送的土方尺數，應當用6除之，即得。此術中會有分數，所以也可以變換成乘法而一併除的方法：以一輛車的裝載尺數作為一人運到的土方率，6人乘500步作為所有率，即行率。　　又可以：以500步作為所有率，即行率，用6人除一輛車的裝載尺數作為一人運到的土方率，採用負土術。假設採用負土術，也可以求出往返的次數。關鍵在於要融會通達。此術中因恐先除會出現分數，所以採取乘法而一併除。「以一人每天所運到的土方尺數除冥谷的容積尺數，就是用工人數」，這是因為以一人運到的土方尺數，去除眾人應該運送的土方尺數，就得到用工人數。以一人每天所運到的土方尺數除冥谷容積尺數，就是用工人數。 今有委粟平地〔1〕，下周一十二丈，高二丈。問：積及為粟幾何？ 荅曰： 積八千尺。於徽術，當積七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。　　臣淳風等謹依密率，為積七千六百三十六尺十一分尺之四。 為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。於徽術，當粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。　　臣淳風等謹依密率，為粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。 今有委菽依垣〔2〕，下周三丈，高七尺。問：積及為菽各幾何？ 荅曰： 積三百五十尺。依徽術，當積三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六也。　　臣淳風等謹依密率，為積三百三十四尺十一分尺之一。 為菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。依徽術，當菽一百三十七斛一萬二千七百一十七分斛之七千七百七十一。　　臣淳風等謹依密率，為菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。 今有委米依垣內角〔3〕，下周八尺，高五尺。問：積及為米各幾何？ 荅曰： 積三十五尺九分尺之五。於徽術，當積三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。　　臣淳風等謹依密率，當積三十三尺三十三分尺之三十一。 為米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。於徽術，當米二十斛三萬八千一百五十一分斛之三萬六千九百八十。臣淳風等謹依密率，為米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。 委粟術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔4〕。此猶圓錐也。於徽術，亦當下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也〔5〕。其依垣者，居圓錐之半也。十八而一〔6〕。於徽術，當令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔7〕。依垣之周，半於全周。其自乘之冪居全周自乘之冪四分之一，故半全周之法以為法也。其依垣內角者，角，隅也，居圓錐四分之一也。九而一〔8〕。於徽術，當令此下周自乘而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔9〕。依隅之周半於依垣。其自乘之冪居依垣自乘之冪四分之一，當半依垣之法以為法。法不可半，故倍其實。又此術亦用周三徑一之率〔10〕。假令以三除周，得徑。若不盡，通分內子，即為徑之積分。令自乘，以高乘之，為三方錐之積分。母自相乘，得九，為法，又當三而一，約方錐之積〔11〕。從方錐中求圓錐之積，亦猶方冪求圓冪。乃當三乘之，四而一，得圓錐之積。前求方錐積，乃合三而一，今求圓錐之積，複合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而連除，圓錐之積〔12〕。其圓錐之積與平地聚粟同，故三十六而一。　　臣淳風等謹依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也〔13〕。 【注釋】 〔1〕委粟：堆放穀物。委，累積，堆積。《公羊傳·桓公十四年》：「御廩者何？粢盛委之所藏也。」何休註：「委，積也。」委粟平地，得圓錐形，如圖5-11。 〔2〕委菽依垣：得半圓錐形，如圖5-43。 圖5-43　委粟依垣 （采自譯註本《九章算術》） 〔3〕委米依垣內角：得圓錐的，如圖5-44。 圖5-44　委粟依垣內角 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕委粟平地的體積公式同5-9-1式。 〔5〕劉徽的修正公式同5-9-2式。 〔6〕半圓錐的體積公式為，其中L是圓周的。 〔7〕劉徽以徽術修正的半圓錐的體積公式為，其中L是圓周的。 〔8〕四分之一圓錐的體積公式為，其中L是圓周的。 〔9〕劉徽以徽術修正的四分之一圓錐的體積公式為，其中L是圓周的。 〔10〕對「又此術」以下的理解請參閱圓亭術注相應的部分。 〔11〕約方錐之積：得方錐之積。約，求取。見卷四開立圓術李淳風等注釋註解。 〔12〕圓錐之積：得圓錐的體積。前省「得」字。 〔13〕李淳風等以密率將《九章算術》的公式分別修正為。 【譯文】 假設在平地上堆積粟，下周長是12丈，高是2丈。問：其體積及粟的數量各是多少？ 答： 體積是8 000尺3。依據我的徽術，體積應當是尺3。　　淳風等按：依照密率，體積是尺3。 粟是斛。依據我的徽術，粟應當是斛。　　淳風等按：依照密率，粟是斛。 假設靠牆一側堆積菽，下周長是3丈，高是7尺。問：其體積及菽的數量各是多少？ 答： 體積是350尺3。依據我的徽術，體積應當是尺3。　　淳風等按：依照密率，體積是尺3。 菽是斛。依據我的徽術，菽應當是斛。　　淳風等按：依照密率，菽是斛。 假設靠牆內角堆積米，下周長是8尺；高是5尺。問：其體積及米的數量各是多少？ 答： 體積是尺3。依據我的徽術，體積應當是尺3。　　淳風等按：依照密率，體積是尺3。 米是斛。依據我的徽術，米應當是斛。　　淳風等按：依照密率，米是斛。 委粟術：下周長自乘，以高乘之，除以36。此如同圓錐術。依據我的徽術，應當以下周長自乘，以高乘之，又以25乘之，除以942。如果是靠牆一側，占據圓錐的。除以18。依據我的徽術，應當以下周長自乘，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠牆一側的周長是整個周長的。它的周長自乘之面積占據整個周長自乘之面積的，所以以整個周長的情形中的法的作為法。如果是靠牆的內角，角是隅角，占據圓錐的。除以9。依據我的徽術，應當以下周長自乘，加倍，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠牆內角是靠牆一側的。它的周長自乘之面積占據靠牆一側周長自乘之面積的，應當以靠牆一側情形中的法的作為法。前者的法無法取，所以將實加倍。又，此術也是用周3徑1之率。假設以3除下周長，得到直徑。如果除不盡，就通分，納入分子，便是直徑的積分。將直徑自乘，以高乘之，是三個外切方錐的積分。分母相乘，得9，作為法，又應當除以3，求得一個方錐的體積積分。從方錐求內切圓錐的體積，也如同從正方形之面積求內切圓之面積。於是應當用3乘之，除以4，得到內切圓錐的體積。前面求方錐的體積，應當除以3；現在求圓錐的體積，又應當以3乘；兩個數既然相同，所以恰好互相抵消，只以4乘分母9，得36而合起來除，就是內切圓錐的體積。圓錐的體積與平地堆積粟的形狀相同，所以除以36。　　淳風等按：依照密率，以7乘之，如果堆積於平地，除以264；如果堆積於靠牆一側，除以132；如果堆積於靠牆的內角，除以66。 程粟一斛積二尺七寸〔1〕；二尺七寸者，謂方一尺，深二尺七寸，凡積二千七百寸。其米一斛積一尺六寸五分寸之一〔2〕；謂積一千六百二十寸〔3〕。其菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三〔4〕。謂積二千四百三十寸。此為以精粗為率，而不等其概也〔5〕。粟率五，米率三，故米一斛於粟一斛，五分之三〔6〕；菽、荅、麻、麥亦如本率雲〔7〕。故謂此三量器為概，而皆不合於今斛〔8〕。當今大司農斛圓徑一尺三寸五分五厘，正深一尺〔9〕。於徽術，為積一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三〔10〕。王莽銅斛於今尺為深九寸五分五厘，徑一尺三寸六分八厘七毫。以徽術計之，於今斛為容九斗七升四合有奇〔11〕。《周官·考工記》：「㮚氏為量，深一尺，內方一尺，而圓外，其實一鬴〔12〕。」於徽術，此圓積一千五百七十寸〔13〕。《左氏傳》曰：「齊舊四量：豆、區、釜、鍾。四升曰豆，各自其四，以登於釜。釜十則鍾〔14〕。」鍾六斛四斗；釜六斗四升，方一尺，深一尺，其積一千寸〔15〕。若此方積容六斗四升〔16〕，則通外圓積成旁，容十斗四合一龠五分龠之三也〔17〕。以數相乘之〔18〕，則斛之制：方一尺而圓其外，庣旁一厘七毫，冪一百五十六寸四分寸之一，深一尺，積一千五百六十二寸半，容十斗〔19〕。王莽銅斛與《漢書·律曆志》所論斛同。 【注釋】 〔1〕程粟一斛積二尺七寸：1標準粟斛的容積是2尺37尺2寸，即2尺3700寸3，或2 700寸3。 〔2〕米一斛積一尺六寸五分寸之一：1標準米斛的容積是1尺3尺2寸。 〔3〕積一千六百二十寸：1標準米斛的容積也是1 620寸3。 〔4〕菽、荅、麻、麥一斛皆二尺四寸十分寸之三：1標準菽、荅、麻、麥斛的容積都是2尺3尺2寸，或2 430寸3。 〔5〕概：古代稱量穀物時用以刮平斗斛的器具。《禮記·月令》：「正權概。」鄭玄註：「概，平斗斛者。」此處引申為標準量器的容積。一標準粟斛，一標準米斛，一標準菽、荅、麻、麥斛，儘管都是1斛，其容積卻不相等。 〔6〕米一斛於粟一斛，五分之三：是說由粟率5，米率3，所以一標準米斛1尺3尺2寸是一標準粟斛2尺3700寸3的。 〔7〕此謂一標準菽、荅、麻、麥斛的容積2尺3尺2寸與一標準粟斛2尺3700寸3亦如其本來的率，即粟率10，而菽、荅、麻、麥率9。 〔8〕三量器：指粟斛，米斛，和菽、荅、麻、麥斛，與現今之斛制當然不同。 〔9〕當今大司農斛：即魏大司農斛，呈圓柱形，底徑d=1尺3寸5分5厘，深1尺。 〔12〕㮚氏為量：㮚氏製造量器。㮚氏量是底為邊長1尺的正方形的外接圓，深1尺的圓柱形，如圖5-45。 圖5-45　㮚氏量示意圖 （采自譯註本《九章算術》） 〔14〕此謂齊國的四種量器的進位制：4升叫作豆，4豆叫作區（ōu），4區叫作釜。釜即鬴。10鬴就是鍾。 〔15〕釜的形制是：底方1尺，深1尺，容積是1 000寸3。 〔16〕六斗四升：釜的容積是6斗4升。 〔17〕以釜的外接圓柱體作為量器，以徽術計算，其容積是1 570寸3，則容10斗4合龠。 〔18〕乘：計算。《周官·天官·宰夫》：「乘其財用之出入。」 〔19〕庣旁：量器的截面中假設的邊長1尺的正方形的對角線超過外圓周的部分，如圖5-46。若要上述量器變成容積是10斗的斛，則此斛的容積應為，。因此，底的直徑。它與邊長1尺的正方形的對角線尺相差尺-d=1尺4寸1分4厘2毫-1尺4寸1分8毫=3厘4毫。故庣旁1厘7毫。這裡的庣旁與王莽銅斛之庣旁相反，在那裡是正方形的對角線不滿圓周的部分。參見卷一圓田術劉徽注相關注釋。匯校本云：此段所列數值，以徽率周一百五十七、徑五十入算，皆合。然《隋書·律曆志》云：「祖沖之以算術考之，積凡一千五百六十二寸半。方尺而圓其外，減旁一厘八毫，其徑一尺四寸一分四毫七秒有奇，而深尺，即古斛之制也。」以徽率周三千九百二十七、徑一千二百五十入算，相合；然以祖率周三百五十五、徑一百一十三入算，則不合，知《隋書·律曆志》此「祖沖之」三字系衍文。《晉書·律曆志》與此同樣文字中則無「祖沖之」三字，可為佐證。《九章算術注》與《隋書·律曆志》、《晉書·律曆志》實際上是記載了劉徽用他求得的兩個圓周率對王莽銅斛的兩次校驗。 圖5-46　庣旁 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 【譯文】 一標準粟斛的容積是2尺3700寸3；2尺3700寸3，是說1尺見方，深2尺7寸，容積總共是2 700寸3。一標準米斛的容積是1尺3尺2寸；是說容積1 620寸3。一標準菽、荅、麻、麥斛的容積是2尺3尺2寸，是說容積2 430寸3。這裡是以精粗建立率，而每斛的容積不相等。粟率是5，米率是3。所以1斛米相對於1斛粟而言，容積是其。菽、荅、麻、麥也遵從自己的率。所以說以此三種量器作為標準，但都不符合現在的斛。現今大司農斛的圓徑是1尺3寸5分5厘，垂直深1尺。根據我的徽術，容積是1 441寸3。列出剩餘的分數，還有尺2寸。依據現在的尺度，王莽銅斛的深是9寸5分5厘，直徑是1尺3寸6分8厘7毫。用我的徽術計算，容積合今天的斛是9斗7升4合，還有奇零。《周官·考工記》說：「㮚氏製作量器，它的深是1尺，底面是一個邊長為1尺的正方形的外接圓，其容積是1鬴。」依據我的徽術，這裡的圓面積是1 570寸2。《左氏傳》說：「齊國舊有四種量器：豆、區、釜、鍾。4升是1豆，豆、區各以4進，便得到釜，10釜就是1鍾。」1鍾是6斛4斗。1釜是6斗4升，它的底面是1尺見方，深是1尺，容積是1 000寸3。如果這一方斛的容積是6斗4升，那麼，作其底的外接圓，成為一個量器，容積便是10斗4合龠。用這些數值計算，則斛的形制：底面是與邊長1尺的正方形相切割的圓，庣旁是1厘7毫。圓面積是寸2，深是1尺，容積是寸3，容量是10斗。王莽銅斛與《漢書·律曆志》所論述的斛相同。 今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上廣六尺，為垣積五百七十六尺。問：穿地下廣幾何？ 荅曰：三尺五分尺之三。 術曰：置垣積尺，四之為實。穿地四為堅三。垣，堅也。以堅求穿地，當四之，三而一也。以深、袤相乘，為深袤之立實也。又以三之，為法〔1〕。以深、袤乘之立實除垣積，則坑廣〔2〕。又「三之」者，與堅率並除之。所得，倍之。坑有兩廣，先並而半之，即為廣狹之中平。令先得其中平，故又倍之知〔3〕，兩廣全也。減上廣，余即下廣〔4〕。按：此術穿地四，為堅三。垣，即堅也。今以堅求穿地，當四乘之，三而一。「深、袤相乘」者，為深袤立冪。以深袤立冪除積，即坑廣。又「三之，為法」，與堅率並除。「所得倍之」者，為坑有兩廣，先並而半之，為中平之廣。今此得中平之廣，故倍之還為兩廣並。故「減上廣，余即下廣」也。 【注釋】 〔1〕「四之為實」，「又以三之，為法」：是穿地為垣是由穿土變堅土，其比率為穿4為堅3。 〔2〕此即，其中a即穿坑的中平之廣，或先假定挖的坑是長方體。 〔3〕知：訓「者」，見劉徽序「故板條雖分而同本干知」之注釋。 〔4〕如不考慮穿地4變堅土3的因素，此問實際上是（5-1）式的逆運算，即已知穿地的上廣a1，袤b，深h，體積V，求下廣a2 【譯文】 假設挖一個坑，長是1丈6尺，深1丈，上寬6尺，築成垣，其體積是576尺3。問：所挖坑的下寬是多少？ 答：尺3。 術：布置垣的體積尺數，乘以4，作為實。挖出的土是4，成為堅土是3。垣，是堅土。由堅土求挖出的土，應當乘以4，除以3。以挖的坑的深、長相乘，成為深與長形成的直立的面積。又乘以3，作為法。以深、長形成的直立的面積除垣的體積，就是坑的寬。「又乘以3」的原因，是與堅土的率一併除。將所得的結果加倍。挖的坑有上、下兩寬，先將它們相加，取其一半，就是寬窄的平均值。使首先得出其平均值，而又加倍的原因，是得到上下兩寬的全部。減去上寬，餘數就是下寬。按：此術中挖出的土4，成為堅土是3。垣，是堅土。今由堅土求挖出的土，應當乘以4，除以3。「以挖的坑的深、長相乘」，是成為深與長形成的直立的面積。以深與長形成的直立的面積除垣的體積，就是挖的坑的寬。「又乘以3，作為法」的原因，是與堅土的率一併除。「將所得的結果加倍」，是因為挖的坑有上、下兩寬，先將它們相加，取其一半，就是其平均值。現在得到其平均值，所以將其加倍，還原為上、下兩寬之和。所以「減去上寬，餘數就是下寬」。 今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛。問：高几何？ 荅曰：二丈。 術曰：置粟一萬斛積尺為實〔1〕。廣、袤相乘為法。實如法而一，得高尺〔2〕。以廣、袤之冪除積，故得高。按：此術本以廣、袤相乘，以高乘之，得此積〔3〕。今還元〔4〕，置此廣、袤相乘為法，除之，故得高也。 【注釋】 〔1〕一萬斛積尺：由委粟術，「程粟一斛積二尺七寸」，即一斛標準粟的容積是2 700寸3，1萬斛的積尺為27 000尺3。 〔2〕這是已知長方體體積V，廣a，長b，求高h:。顯然它是長方體體積公式（5-19） V=abh 的逆運算。方堢體積公式（5-2）是（5-19）式b=a的情形。 〔3〕此即（5-19）式。 〔4〕元：通「原」。參見卷四開圓術注釋〔12〕。 【譯文】 假設有一座糧倉，寬是3丈，長是4丈5尺，容積是10 000斛粟。問：其高是多少？ 答：2丈。 術曰：布置10 000斛粟的積尺數作為實。糧倉的寬長相乘作為法。實除以法，便得到高的尺數。以寬與長形成的面積除體積，就得到高。按：此術中本來以寬、長相乘，又以高乘之，就得到這個體積。現在還原，就布置此寬、長相乘，作為法，除體積，所以得到高。 今有圓囷，圓囷，廩也〔1〕，亦云圓囤也。高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛〔2〕。問：周幾何？ 荅曰：五丈四尺。於徽術，當周五丈五尺二寸二十分寸之九。臣淳風等謹按：密率，為周五丈五尺一百分尺之二十七。 術曰：置米積尺，此積猶圓堢之積。以十二乘之，令高而一，所得，開方除之，即周〔3〕。於徽術，當置米積尺，以三百一十四乘之，為實。二十五乘囷高，為法。所得，開方除之，即周也〔4〕。此亦據見冪以求周，失之於微少也〔5〕。　　晉武庫中有漢時王莽所作銅斛。其篆書字題斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圓其外，庣旁九厘五毫，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十斗〔6〕。及斛底云：律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，冪一尺六寸二分，深一寸，積一百六十二寸，容一斗〔7〕。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。後有贊文，與今《律曆志》同，亦魏晉所常用〔8〕。今粗疏王莽銅斛文字尺寸分數〔9〕，然不盡得升、合、勺之文字。　　按：此術本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此積〔10〕。今還元，置此積，以十二乘之，令高而一，即複本周自乘之數〔11〕。凡物自乘，開方除之，復其本數。故開方除之，即得也。　　臣淳風等謹依密率，以八十八乘之，為實，七乘囷高為法，實如法而一。開方除之，即周也〔12〕。 【注釋】 〔1〕圓囷：即圓柱體，亦即《九章算術》的圓堢，其體積公式為（5-3-1）。見卷四開立圓術劉徽注之註解〔7〕。　　廩：糧倉，倉庫。《說文解字》：「廩，廨也。」邢昺疏：「廩，廨，皆囷倉之別名。」李籍云：「倉圓曰囷。」 〔2〕容米二千斛：由委粟術，「米一斛積一尺六寸五分寸之一」，即一標準米斛的容積是1 620寸3，2 000斛米的積尺為3 240尺3。 〔3〕此即已知圓囷的體積V，高h，求底周L 它顯然是（5-3-1）式的逆運算。 〔4〕劉徽將開方式（5-20-1）修正為 〔5〕由於徽術是不足近似值，故由（5-20-2）求出的周長略嫌微小。 〔6〕劉徽所引與傳世王莽銅斛斛銘略有出入。原器斛銘為：「律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。」（見文物出版社：《中國古代度量衡圖集》）《隋書·律曆志》所引斛銘，「圜」作「圓」，「豪」作「毫」，「冥」作「冪」，「千」作「一千」。 〔7〕劉徽所引與傳世王莽銅斛斗銘略有出入。原器斛銘為：「律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深寸，積百六十二寸，容一斗。」 〔8〕贊文：指王莽銅斛正面之總銘，凡八十一字，如下：「黃帝初祖，德幣於虞，虞帝始祖，德幣於新。歲在大梁，龍集戊辰。戊辰直定，天命有民。據土德受，正號即真。改正建丑，長壽隆崇。同律度量衡，稽當前人。龍在己巳，歲次實沈。初班天下，萬國永遵。子子孫孫，享傳億年。」正史「律曆志」記載此總銘的只有《隋書》。其《律曆志》為李淳風等人所撰。故注文「與今律曆志同，亦魏晉所常用」兩句斷非唐初以前所為，或此兩句為唐人旁註「贊文」以上文字，闌入正文，或自「晉武庫中」以下一百三十一字，為唐人所作，疑即李淳風等注釋，闌入劉注。 〔9〕今粗疏：現在粗略地疏解。「粗疏」是南宋本、《大典》本、楊輝本原文，戴震整理的微波榭本訛作「祖疏」，李潢據此說劉注中涉及王莽銅斛的幾段文字是祖沖之撰，劉徽所求出的第二個圓周率近似值是祖沖之所創。20世紀50年代中國數學史界還就此展開了一次大辯論。 〔10〕此即圓柱體體積公式（5-3-1）。 〔11〕此即。 〔12〕此為李淳風等以對《九章算術》方法的修正 【譯文】 假設有一座圓囷，圓囷，就是倉廩，也稱為圓囤。高是1丈3尺寸，容積是2 000斛米。問：其圓周長是多少？ 答：5丈4尺。對於我的徽術，圓周應當是5丈5尺寸。淳風等按：依照密率，周長是5丈尺。 術：布置米的容積尺數，這一容積如同圓堢的體積。乘以12，除以高，對所得到的結果作開平方除法，就是圓囷的周長。依據我的徽術，應當布置米的容積尺數，乘以314，作為實。以25乘圓囷的高，作為法。對所得到的結果作開平方除法，就是其周長。這也是根據已有的面積求圓周長，誤差稍微小了一點。　　晉武庫中有漢朝王莽所作的銅斛。斛的側面有篆體字說：律嘉量斛，裡面相當於有方1尺的正方形而外面是圓形，其庣旁為9厘5毫，其面積是162寸2，深是1尺，容積是1 620寸3，容量是10斗。而斛底說：律嘉量斗，裡面相當於有方1尺的正方形而外面是圓形，其庣旁為9厘5毫，其面積是162寸2，深是1寸，容積是162寸3，容量是1斗。合、龠旁邊都有文字。升量位於斛的旁邊，合量和龠量位於斛的耳朵上。斛的後面有贊文，與今天的《律曆志》相同，也是魏晉時期所常用的。現在粗略地敘述了王莽銅斛的文字、尺、寸、分數，然沒有完全得到升、合、勺的文字。　　按：此術中本來是圓周自相乘，以高乘之，除以12，就得到圓囷的體積。現在還原，布置此圓囷的體積，乘以12，除以高，就恢復了本來的圓周自乘之數。——凡是一物的數量自乘，對之作開方除法，就恢復了其本數。所以對其作開方除法，即得到周長。　　淳風等按：依照密率，乘以88，作為實。以七乘囷的高作為法。實除以法，對其結果作開方除法，即周長。