九章算術譯註 · 九章算術卷第四
魏 劉徽 注
唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋
少廣〔1〕以御積冪方圓
少廣〔2〕臣淳風等謹按：一畝之田，廣一步，長二百四十步。今欲截取其從少，以益其廣，故曰少廣。術曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘諸分子及全步，臣淳風等謹按：以分母乘全者，通其分也；以母乘子者，齊其子也。各以其母除其子，置之於左；命通分者，又以分母遍乘諸分子及已通者〔3〕，皆通而同之〔4〕，並之為法〔5〕。臣淳風等謹按：諸子悉通，故可並之為法。亦宜用合分術，列數尤多。若用乘則算數至繁，故別制此術，從省約〔6〕。置所求步數，以全步積分乘之為實〔7〕。此以田廣為法，一畝積步為實。法有分者，當同其母，齊其子，以同乘法實，而並齊於法〔8〕。今以分母乘全步及子，子如母而一〔9〕。並以並全法，則法、實俱長，意亦等也。故如法而一，得從步數。實如法而一，得從步。
今有田廣一步半。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：一百六十步。
術曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，並之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實。實如法得從步〔10〕。
今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：一百三十步一十一分步之一十。
術曰：下有三分，以一為六，半為三，三分之一為二，並之得一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為六乘之，為實。實如法得從步〔11〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：一百一十五步五分步之一。
術曰：下有四分，以一為一十二，半為六，三分之一為四，四分之一為三，並之得二十五，以為法。置田二百四十步，亦以一為一十二乘之，為實。實如法而一，得從步〔12〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
術曰：下有五分，以一為六十，半為三十，三分之一為二十，四分之一為一十五，五分之一為一十二，並之得一百三十七，以為法。置田二百四十步，亦以一為六十乘之，為實。實如法得從步〔13〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：九十七步四十九分步之四十七。
術曰：下有六分，以一為一百二十，半為六十，三分之一為四十，四分之一為三十，五分之一為二十四，六分之一為二十，並之得二百九十四，以為法。置田二百四十步，亦以一為一百二十乘之，為實。實如法得從步〔14〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
術曰：下有七分，以一為四百二十，半為二百一十，三分之一為一百四十，四分之一為一百五，五分之一為八十四，六分之一為七十，七分之一為六十，並之得一千八十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為四百二十乘之，為實。實如法得從步〔15〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。
術曰：下有八分，以一為八百四十，半為四百二十，三分之一為二百八十，四分之一為二百一十，五分之一為一百六十八，六分之一為一百四十，七分之一為一百二十，八分之一為一百五，並之得二千二百八十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八百四十乘之，為實。實如法得從步〔16〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。
術曰：下有九分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，並之得七千一百二十九，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步〔17〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
術曰：下有一十分，以一為二千五百二十，半為一千二百六十，三分之一為八百四十，四分之一為六百三十，五分之一為五百四，六分之一為四百二十，七分之一為三百六十，八分之一為三百一十五，九分之一為二百八十，十分之一為二百五十二，並之得七千三百八十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二千五百二十乘之，為實。實如法得從步〔18〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。
術曰：下有一十一分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，一十分之一為二千七百七十二，一十一分之一為二千五百二十，並之得八萬三千七百一十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，為實。實如法得從步〔19〕。
今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問：從幾何？
荅曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。
術曰：下有一十二分，以一為八萬三千一百六十，半為四萬一千五百八十，三分之一為二萬七千七百二十，四分之一為二萬七百九十，五分之一為一萬六千六百三十二，六分之一為一萬三千八百六十，七分之一為一萬一千八百八十，八分之一為一萬三百九十五，九分之一為九千二百四十，一十分之一為八千三百一十六，十一分之一為七千五百六十，十二分之一為六千九百三十，並之得二十五萬八千六十三，以為法。置田二百四十步，亦以一為八萬三千一百六十乘之，為實。實如法得從步〔20〕。臣淳風等謹按：凡為術之意，約省為善。宜云：「下有一十二分，以一為二萬七千七百二十，半為一萬三千八百六十，三分之一為九千二百四十，四分之一為六千九百三十，五分之一為五千五百四十四，六分之一為四千六百二十，七分之一為三千九百六十，八分之一為三千四百六十五，九分之一為三千八十，十分之一為二千七百七十二，十一分之一為二千五百二十，十二分之一為二千三百一十，並之得八萬六千二十一，以為法。置田二百四十步，亦以一為二萬七千七百二十乘之，以為實。實如法得從步。」其術亦得知，不繁也〔21〕。
【注釋】
〔1〕少廣：九數之一。根據少廣術的例題中都是田地的廣遠小於縱，我們推斷「少廣」的本義是小廣。李籍雲「廣少從多」，符合其本義。李籍又雲「截從之多，益廣之少，故曰少廣」，似與前說牴牾。此源於李淳風等的注釋「截取其從少，以益其廣」。李淳風等的理解未必符合其本義。這種理解大約源於商周時人們通過截長補短，將不規則的田地化成正方形衡量其大小，如《墨子·非命上》雲「古者湯封於亳，絕長繼短，方地百里」，「昔者文王封於岐周，絕長繼短，方地百里」。春秋以後，人們還有這種習慣，《孟子·滕文公上》雲「今滕絕長補短，將五十里也」。李淳風等的理解符合開方術。傳統的「少廣」含有少廣術、開方術，是面積以及體積問題的逆運算，就是已知面積或體積求其廣的問題。北京大學藏秦簡《算書》之《陳起論數》篇載陳起答魯久次曰：「酈首者，算之始也，少廣者算之市也，所求者毋不有也。」酈首即隸首。這是說隸首是數學的始祖，而少廣就像是數學的市場，學數學者所需要的一切沒有不包括在其中的。為什麼將少廣提到這樣的高度，箇中原因有待探討。
〔2〕秦簡《數》、《算書》、漢簡《算數書》中亦有少廣術及其例題，唯少廣術文字古樸，而例題則僅有9問，即到「下有十分」問為止。
〔3〕遍乘：普遍地乘。通常指以某數整個地乘一行的情形。方程章方程術「以右行上禾遍乘中行」，亦此義。
〔4〕通而同之：依次對各個分數通分，即「通」，再使分母相同，即「同」。數學史界，包括筆者在內，過去都認為「通而同之」是與「同而通之」等價的運算，實際上兩者是有所不同的運算。「同而通之」在通分時必須使用，先通過諸分數的分母相乘使各分數的分母相同，然後使分母互乘子，使分數值不變，達到使各分數互相通達，這就是「通」。可以說是先同後通，故云「同而通之」。「通而同之」是先「通」再「同」。「同而通之」是先使各分數分母相同，然後進行一次通分；而「通而同之」則是要進行多次通分，才使得各分數分母相同。這裡採納了朱一文的意見。
〔5〕根據少廣術的例題，都是已知田的面積為1畝，廣為，n=2，3，…，12，求其縱。術文求其「法」的計算程序如下：將自上而下排列，如左第1列，以最下分母n乘第1列各數，成為第2列，再以最下分母n-1乘第2列各數，成為第3列，如此繼續下去，直到某列所有的數都成為整數為止，即
因其中有「各以其母除其子」的程序，有時實際上用不到所有的分母乘，就可以將某行全部化成整數。將成為整數的這行所有的數相加，作為法。同時，該行最上這個數，就是第1列每個數所擴大的倍數，也就是1步的積分。將它作為同。由於沒有「可約者約之」的規定，它還不能稱為求最小公倍數的完整程序。實際上，當n=6，12時，《九章算術》沒有求出最小公倍數。但是，沒有規定「可約者約之」，並不是說不可以「約之」，實際上，在n=5，7，8，9，10，11時，都做了約簡，求出了諸分母的最小公倍數。
〔6〕李淳風等認為求解這類問題，既可以用少廣術，也可以用合分術。但用合分術太繁瑣，所以制定少廣術，以求省約。
〔7〕置所求步數，以全步積分乘之為實：這是以同，即1步的積分乘1畝的步數，作為實。「積分」就是分之積，「全步積分」是將1步化成分數後的積數。
〔8〕劉徽此處用合分術。
〔9〕以上三十五字，南宋本、《大典》本、楊輝本（典）均作大字，戴震輯錄校勘本及四庫本、聚珍版改作劉徽注，其後諸本從，是不妥的。今據南宋本、《大典》本、楊輝本（典）恢復大字。
〔10〕布置廣的數值，以2遍乘，便可全部化為整數：
求出法：2+1=3。同是2。因此縱=240步×2÷3=160步。
〔11〕布置廣的數值，先後以3，2遍乘，便可全部化為整數：
求出法：6+3+2=11。同是6。因此縱=240步×6÷11=步。
〔12〕布置廣的數值，先後以4，3遍乘，便可全部化為整數：
求出法：12+6+4+3=25。同是12。因此縱=240步×12÷25=步。此問中的同12是分母2，3，4的最小公倍數。
〔13〕布置廣的數值，先後以5，4，3遍乘，便可全部化為整數：
求出法：60+30+20+15+12=137。同是60。因此縱=240步×60÷137=步。此問中的同60是分母2，3，4，5的最小公倍數。
〔14〕布置廣的數值，先後以6，5，4遍乘，便可全部化為整數：
求出法：120+60+40+30+24+20=294。同是120。因此縱=240步×120÷294=步。此問中的同120不是分母2，3，4，5，6的最小公倍數，因為沒有將約簡。
〔15〕布置廣的數值，先後以7，6，5，2遍乘，便可全部化為整數：
求出法：420+210+140+105+84+70+60=1 089。同是420。因此縱=240步×420÷1 089=步。此問中的同420是分母2，3，4，5，6，7的最小公倍數。因為運算中將約簡成。
〔16〕布置廣的數值，先後以8，7，3，5遍乘，便可全部化為整數：
求出法：840+420+280+210+168+140+120+105=2 283。同是840。因此縱=240步×840÷2283=步。此問中的同840是分母2，3，4，5，6，7，8的最小公倍數。因為運算中將約簡成。
〔17〕布置廣的數值，先後以9，8，7，5遍乘，便可全部化為整數：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280=7 129。同是2520。因此縱=240步×2 520÷7 129=步。此問中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數。因為運算中將約簡成。
〔18〕布置廣的數值，先後以10，9，4，7遍乘，便可全部化為整數：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280+252=7 381。同是2 520。因此縱=240步×2 520÷7 381=步。此問中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10的最小公倍數。因為運算中將分別約簡成。
〔19〕布置廣的數值，先後以11，10，9，4，7遍乘，便可全部化為整數：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520=83 711。同是27 720。因此縱=240步×27 720÷83 711=步。此問中的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的最小公倍數。因為運算中將，分別約簡成，。
〔20〕布置廣的數值，先後以12，11，10，9，7遍乘，便可全部化為整數：
求出法：83 160+41 580+27 720+20 790+16632+13 860+11 880+10 395+9 240+8 316+7 560+6 930=258 063。同是83 160。因此縱=240步×83 160÷258 063=步。此問中的同83 160不是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍數。因為運算中沒有將，，約簡。
〔21〕李淳風等認為，只要先後以12，11，10，3，7遍乘，便可全部化為整數：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520+2 310=86 021。同是27 720。因此縱=240步×27 720÷86 021=步。這裡的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍數。因為運算中將，，約簡成，，。
【譯文】
少廣為了處理積冪方圓問題
少廣淳風等按：1畝的田地，如果寬是1步，那麼長就是240步。現在想從它的長截取一少部分，增益到寬上，所以叫作少廣。術：布置整步數及分母、分子，以最下面的分母普遍地乘各分子及整步數。淳風等按：以分母乘整步數，是為了將它通分；以分母乘分子，是為了使分子相齊。分別用分母除其分子，將它們布置在左邊。使它們通分：又以分母普遍地乘各分子及已經通分的數，使它們統統通過通分而使分母相同。將它們相加作為法。淳風等按：各分子都互相通達，所以可將它們相加作為法。使用合分術也是適宜的，不過這布列的數字太多，如果使用乘法，則計算的數字太繁瑣。所以另外製定此術，遵從省約的原則。布置所求的步數，以1整步的積分乘之，作為實。這裡把田的寬作為法，1畝田的積步作為實。法中有分數者，應當使它們的分母相同，使它們的分子相齊，以同乘法與實，而將諸齊相加，作為法。現在依次用分母乘整步數及各分子，分子除以分母。皆加到整個法中，那麼法與實同時增長，意思也是等同的。所以除以法，得到長的步數。實除以法，得到縱的步數。
假設田的寬是1步半。求1畝田，問：長是多少？
答：長是160步。
術：下方有半，是。將1化為2，半化為1。相加得到3，作為法。布置1畝田240步，也將1化為2，乘之，作為實。實除以法，得長的步數。
假設田的寬是1步半與步。求1畝田，問：長是多少？
答：長是步。
術：下方有3分，將1化為6，半化為3，化為2。相加得到11，作為法。布置1畝田240步，也將1化為6，乘之，作為實。實除以法，得長的步數。
假設田的寬是1步半與步、步。求1畝田，問：長是多少？
答：長是步。
今有積五萬五千二百二十五步。問：為方幾何〔1〕？
荅曰：二百三十五步。
又有積二萬五千二百八十一步。問：為方幾何？
荅曰：一百五十九步。
又有積七萬一千八百二十四步。問：為方幾何？
荅曰：二百六十八步。
又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一。問：為方幾何？
荅曰：七百五十一步半。
又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問：為方幾何？
荅曰：六萬三千二十五步。
開方〔2〕求方冪之一面也〔3〕。術曰〔4〕：置積為實〔5〕。借一算〔6〕，步之，超一等〔7〕。言百之面十也，言萬之面百也〔8〕。議所得〔9〕，以一乘所借一算為法〔10〕，而以除〔11〕。先得黃甲之面，上下相命，是自乘而除也〔12〕。除已，倍法為定法〔13〕。倍之者，豫張兩面朱冪定袤，以待覆除，故曰定法〔14〕。其復除，折法而下〔15〕。欲除朱冪者，本當副置所得成方〔16〕，倍之為定法，以折、議、乘，而以除。如是當復步之而止，乃得相命，故使就上折下〔17〕。復置借算，步之如初，以複議一乘之〔18〕，欲除朱冪之角黃乙之冪〔19〕，其意如初之所得也。所得副以加定法，以除〔20〕。以所得副從定法〔21〕。再以黃乙之面加定法者〔22〕，是則張兩青冪之袤〔23〕。復除，折下如前〔24〕。若開之不盡者，為不可開〔25〕，當以面命之〔26〕。術或有以借算加定法而命分者〔27〕，雖粗相近，不可用也。凡開積為方，方之自乘當還復其積分。令不加借算而命分〔28〕，則常微少；其加借算而命分，則又微多〔29〕。其數不可得而定。故惟以面命之，為不失耳。譬猶以三除十，以其餘為三分之一，而復其數可舉。不以面命之，加定法如前，求其微數〔30〕。微數無名者以為分子〔31〕。其一退以十為母，其再退以百為母〔32〕。退之彌下，其分彌細〔33〕，則朱冪雖有所棄之數〔34〕，不足言之也〔35〕。若實有分者，通分內子為定實，乃開之〔36〕。訖，開其母，報除〔37〕。臣淳風等謹按：分母可開者，並通之積先合二母。既開之後，一母尚存，故開分母，求一母為法，以報除也。若母不可開者，又以母乘定實，乃開之。訖，令如母而一〔38〕。臣淳風等謹按：分母不可開者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既開之後，亦一母存焉。故令一母而一〔39〕，得全面也。 又按：此術「開方」者，求方冪之面也〔40〕。「借一算」者，假借一算，空有列位之名，而無除積之實。方隅得面，是故借算列之於下。「步之，超一等」者，方十自乘，其積有百，方百自乘，其積有萬，故超位至百而言十，至萬而言百。「議所得，以一乘所借算為法，而以除」者，先得黃甲之面，以方為積者兩相乘。故開方除之，還令兩面上下相命，是自乘而除之。「除已，倍法為定法」者，實積未盡，當復更除，故豫張兩面朱冪袤，以待覆除，故曰定法。「其復除，折法而下」者，欲除朱冪，本當副置所得成方，倍之為定法，以折、議、乘之，而以除。如是當復步之而止，乃得相命，故使就上折之而下。「復置借算，步之如初，以複議一乘之，所得副以加定法，以定法除」者，欲除朱冪之角黃乙之冪。「以所得副從定法」者，再以黃乙之面加定法，是則張兩青冪之袤，故如前開之，即合所問。
【注釋】
〔1〕方：一邊，一面。《詩經·秦風·蒹葭》：「所謂伊人，在水一方。」此處指將給定的面積變成正方形後的邊，即劉徽所說的「方冪之一面」。
〔2〕開方：《九章算術》中指求的正根，即今之開平方。與現今僅將求二項方程xn=A，n=2，3，…的根稱為開方不同，在中國古代，凡是求解一元方程a1xn+a2xn-1+…+anx=A，n=1，2，3，…的根，都稱為「開方」，只不過根據開方式的不同情況，賦予不同的名稱。如果n=2，當a2=0時稱為開方，當a2≠0時稱為開帶從方；如果n=3，稱為開立方；如果n≥4，則稱開n-1乘方。到宋元時代，還根據a2，a3，…，an的情況，又有具體的名稱。甚至在元朱世傑《四元玉鑒》（1303）中n=1時也稱為開方，叫作「開無隅方」。
〔3〕面：邊長。這是說開方就是求正方形面積的一邊長。
〔4〕開方術：開方程序。《周髀算經》陳子答榮方問中就使用開方，但只說「開方除之」而未給出開方程序，說明開方術已是當時數學界的共識。《九章算術》的開方術是世界上現存最早的多位數開方程序。它後來不斷在改進，發展為中國古代最為發達的數學分支。魏晉劉徽、《孫子算經》，南朝祖沖之，北宋賈憲、劉益，南宋秦九韶、楊輝，金元李冶、朱世傑等都為開方法的改進做出貢獻。賈憲總結劉徽、《孫子算經》等的改進，提出「立成釋鎖法」，藉助於「開方作法本源」即賈憲三角（中學數學教科書誤為楊輝三角），將開方術推廣到開任意高次方。「立成」是唐宋歷算學家將數學與曆法計算中常用的一些常數列成的算表，而「釋鎖」是將開方比喻為打開一把鎖，賈憲三角就是立成釋鎖法的立成。《隋書·律曆志》雲祖沖之「開差冪、開差立，兼以正負參之」（「負」原作「員」，據錢寶琮校正），說明祖沖之很可能討論了負係數二次、三次方程，但是祖沖之的《綴術》因「學官莫能究其深奧，是故廢而不理」而失傳，隋唐至北宋初年的數學家只會解正係數方程。北宋數學家劉益撰《議古根源》，再次引入負係數方程，提出了減從術和益積術兩種開方程序。賈憲創造增乘開方法，現今中學數學教科書中的綜合除法的程序與之類似。秦九韶提出正負開方術，把以增乘開方法為主導的求一元高次方程正根的方法發展到十分完備的程度。14世紀阿拉伯地區的阿爾·卡西，19世紀歐洲的魯菲尼和霍納才創造同類的方法。
〔5〕實：被開方數。開方術是從除法轉化而來的，除法中的「實」即被除數自然轉化為被開方數。
〔6〕算：算籌。算籌是明初以前中國數學的主要計算工具，它是什麼時候產生的已不可考。《老子》說「善數不用籌策」，說明最遲在春秋時期人們已經普遍使用算籌。算籌採用位值制記數，分縱橫兩式，如圖4-1（1）。《孫子算經》云：「一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。」這是現存關於算籌記數法的最早記載。《夏侯陽算經》除上述文字外又補充道：「滿六已上，五在上方。六不積算，五不單張。」則更為完整。算籌通常用竹，也有用木、骨、石、金屬等製成的。圖4-1（2）是20世紀70年代陝西旬陽縣出土的西漢算籌，證實了《漢書·律曆志》算籌「徑一分（0.23 cm），長六寸（13.8 cm）」記載。為避免算籌滾動與布算面積過大，後來算籌逐漸變短，截面由圓變方。20世紀70年代末石家莊東漢墓出土的算籌截面已變為方形，長度縮短為8.9 cm左右。算籌是當時世界上最方便的計算工具。
圖4-1 算籌
將算籌縱橫交錯，並用空位表示○，可以表示任何自然數，也可以表示分數、小數、負數，高次方程和線性方程組，甚至多元高次方程組。算籌加之最先進的十進位值制記數法，是為中國古典數學長於計算的重要原因。中國古典數學的主要成就大都是藉助於算籌完成的。借一算：又稱借算，即借一枚算籌，表示未知數二次項的係數1。既是「借」，完成運算後需要「還」。本來問題只給出面積，設為A，通過「借一算」，變成開方式：
它表示二項方程x2=A。設被開方數為A=10n-1bn+10n-2bn-1+…+10b2+b1，開方式為：
〔7〕步之，超一等：將借算由右向左隔一位移一步，直到不能再移為止。由此確定開方得數（即根）的位數。開方式變成（設n為奇數）：
這相當於作變換，方程變成。步，本義是行走，《說文解字》：「步，行也。」這裡引申為移動。超，隔一位。等，位。
〔8〕言百之面十：面積為百位數，其邊長即根就是十位數。 言萬之面百：面積為萬位數，其邊長即根就是百位數。依此類推。
〔9〕議所得：商議得到根的第一位得數，記為a1。
〔10〕一乘：一次方。這是說以借算1乘a1，得10n-1a1作為法。此處的「法」的意義，與除法「實如法而一」中的法完全相同。
〔11〕以除：以法a1除實A。此處「除」指除法，不是「減」。這就是為什麼古代稱開方為「開方除之」。顯然，a1的確定，須使10n-1a1除實，其商的整數部分恰好是a1。其餘數。其算式為：
「借算」在乘a1後，自動消失。
〔12〕除：除去，減。劉徽注此處的「除」與《九章算術》開方術中「除」訓「除法」不同。這是劉徽對開方術作幾何解釋：如圖4-2，在以實即被開方數為面積的正方形中，求出第一位得數a1，就是從該正方形中除去以a1為邊長的正方形黃甲，也就是說被開方數變成。
圖4-2 開方術的幾何解釋
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔13〕除已：做完了除法。 定法：確定的法。此謂將法a1加倍作為繼續開方的法，故稱為定法。開方式變成
〔14〕劉徽認為，將定法a1加倍，是為了預先顯現黃甲兩邊外的兩朱冪的長，以繼續開方。朱冪的寬將是議得的第二位得數。 豫張：預先展開。豫，通「預」，預備，預先。 朱冪：紅色的面積，位於黃甲的側邊。 袤：本指南北距離的長度。《說文解字》：「南北曰袤。」通常指長。李籍卷五音義云：「袤，長也。」
〔15〕復除：第二次除法。 折法：通過退位將法縮小。李籍云：「折法，即退位也。」折，減損。李籍云：「折者，屈而有降意。」
〔16〕成方：已得到的方邊，即a1。
〔17〕折：將成方a1縮小。 議：商議第二位得數，記為a2。 乘：以議得的第二位得數乘。 復：復置借算。 步：將借算自右向左步之。 就上折下：指將借算自上而下退位，亦即得出第一位得數後，劉徽不再將借算還掉，而是保留，將其退位，以求第二位得數。即得到開方式：
〔18〕「復置借算」三句：《九章算術》的方法是又一次在「實」的個位下布置借算，仍自右向左隔一位步之。以借算乘第二位得數，亦即：
〔19〕黃乙：是以第二位得數a2為邊長的正方形，位於兩朱冪的角隅。
〔20〕所得副以加定法，以除：在旁邊將第二位得數a2加定法2a1，得2a1+a2，作為法，以法除余實，其商的整數部分恰好是a2。
〔21〕以所得副從定法：在旁邊再將第二位得數a2加到定法2a1+a2上，得到2a1+2a2=2（a1+a2）。
〔22〕以黃乙之面加定法：其幾何解釋就是以黃乙的邊長的2倍加定法。
〔23〕青冪：是以2（a1+a2）為長，以黃乙的邊長a2為寬的兩長方形。
〔24〕復除，折下如前：如果實中還有餘數，就要再作除法，那麼就像前面那樣縮小退位。
〔25〕不可開：即開方不盡。
〔26〕以面命之：以面命名一個數。這裡有無理數概念的萌芽。面，即。有的學者認為「面」是明確的無理數概念，似有拔高之嫌。蓋不管A是不是完全平方數，都稱為「面」。如劉徽說，開方是「求方冪之一面也」。
〔27〕或：有人，有的。 以借算加定法而命分：以余實作分子，以借算加定法作分母命名一個分數，即設根的整數部分為a，。當時有人將根的近似值表示成。
〔28〕不加借算而命分：整數部分之外命名的分數為。也有人將根的近似值表示成。
〔29〕此即。可以證明，這個不等式是正確的。
〔30〕微數：細微的數。這是按照上述的開方程序繼續開方，求既定的名數以下的部分。實際上是以十進分數逼近無理根，如圖4-3。這是劉徽對開方術的重大貢獻。比如原以寸為單位，那麼求寸以下的以分、厘、毫等為單位的數就是求微數。
圖4-3 開方不盡求微數
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔31〕無名：無名數單位，即當時的度量衡制度下所沒有的單位。此謂以無名時的開方得數作為分子。
〔32〕一退：退一位。 再退：退二位。無名時如果一退則求得的數以10為分母，再退則求得的數以100為分母。
〔33〕其分彌細：此謂開方時退得越多，分數就越細。
〔34〕所棄之數：所捨棄的數。
〔35〕不足言之：可以忽略不計。有的學者說求微數是取極限，似不妥當。劉徽明確指出有「所棄之數」，可見不是極限過程，只是極限思想在近似計算中的應用。
〔36〕「若實有分者」三句：如果被開方數有分數，設整數部分為A，分數部分為。求出定實：。
〔37〕開其母，報除：如果C是完全平方數，設，則
〔38〕如果C不是完全平方數，《九章算術》的方法是：
〔39〕令一母而一：「令如一母而一」的省稱，即以分母除。
〔40〕此是系統複述劉徽注。
【譯文】
假設有面積55 225步2。問：變成正方形，邊長是多少？
答：235步。
假設又有面積25 281步2。問：變成正方形，邊長是多少？
答：159步。
假設又有面積71 824步2。問：變成正方形，邊長是多少？
答：268步。
假設又有面積步2。問：變成正方形，邊長是多少？
答：步。
假設又有面積3 972 150 625步2。問：變成正方形，邊長是多少？
答：63 025步。
開方這是求正方形面積的一邊長。術：布置面積作為實。借1算，將它向左移動，每隔一位移一步。這意味著百位數的邊長是十位數，萬位數的邊長是百位數……商議所得的數，用它的一次方乘所借1算，作為法，而用來作除法。這是先得出黃色正方形甲的一邊長。上、下相乘，這相當於將邊長自乘而減實。作完除法，將法加倍，作為定法。「將法加倍」，是為了預先展開兩塊紅色面積已經確定的長，以便準備作第二次除法，所以叫作定法。若要作第二次除法，應當縮小法，因此將它退位。如果要減去紅色面積，本來應當在旁邊布置所得到的已經確定的正方形的邊長，將它加倍，作為定法，通過縮小定法，商議得數，乘借算等運算而用來作除法。如果這樣，應當重新布置借算，並自右向左移動，到無法移動時而止，才能相乘。這太繁瑣。所以使借算就在上面縮小而將它退位。再布置所借1算，向左移動，像開頭作的那樣。用第二次商議的得數的一次方乘所借1算。這是想減去位於兩塊紅色面積形成的角隅處的黃色正方形乙的面積。它的意義如同對第一步的得數所做的那樣。將第二位得數在旁邊加入定法，用來作除法。將第二位得數在旁邊納入定法。再將黃色正方形乙的邊長加入定法，是為了展開兩塊青色面積的長。如果再作除法，就像前面那樣縮小退位。如果是開方不盡的，稱為不可開方，應當用「面」命名一個數。各種方法中有的是用所借1算加定法來命名一個分數的，雖然大略近似，然而是不可使用的。凡是將某一面積開方成為正方形一邊者，將該邊的數自乘，應當仍然恢復它的積分。使定法不加借算1而命名一個分數，則分母必定稍微小了一點；使定法加借算1而命名一個分數，則分母又稍微大了一點；那麼它的準確的數值是不能確定的。所以，只有以「面」命名一個數，才是沒有缺失的。這好像以3除10，其餘數是。恢復它的本數是可以做到的。如果不以「面」命名一個數，像前面那樣，繼續加定法，求它的微數。微數中沒有名數單位的，作為分子。如果退一位，就以10為分母，如果退二位，就以100為分母。越往下退位，它的分數單位就越細。那麼，紅色面積中雖然有被捨棄的數，是不值得考慮的。如果實中有分數，就通分，納入分子，作為定實，才對之開方。開方完畢，再對它的分母開方，回報以除。淳風等按：如果分母是完全平方數，就是已通同的積，它含有二重分母。完成開方之後，仍存在一重分母。所以對分母開方，求出一重分母，作為法，以它回報以除法。如果分母不是完全平方數，就用分母乘定實，才對它開方。完了，除以分母。淳風等按：如果分母不是完全平方數，它本來是一重分母。又乘以分母，就合成了二重分母。完成開方之後，也是存在一重分母，所以除以一重分母，就得到整個邊長。 又按：此術中「開方」就是求方冪的一邊長。「借1算」是假借1枚算籌，徒然有列置數位的名義而沒有用以除積的實際意義，只是從正方形的一個角隅得到邊長，這就是為什麼要借1算並布置到積的下方。「將它向左移動，每隔一位移一步」，是因為邊長是十位數，自乘，它的面積中有百位數；邊長是百位數，自乘，它的面積中有萬位數……所以每隔一位移一步，到百位時就意味著邊長是十位數，到萬位時就意味著邊長是百位數。「商議所得的數，用它的一次方乘所借1算，作為法，而用來作除法」，這是先得出黃色正方形甲的一邊長。以邊長求面積是兩邊長相乘，所以開方除之。回過頭來使兩邊長上、下相乘，這是將邊長自乘而減實。「作完除法，將法加倍，作為定法」，這是因為作為實的面積未除盡，應當再除，所以預先展開兩塊紅色面積的長，以便準備作第二次除法，所以叫作定法。「若要作第二次乘法，應當縮小法，因此將它退位」，這是如果要減去紅色面積，本來應當在旁邊布置所得到的已經確定的正方形的邊長，將它加倍，作為定法，通過縮小定法，商議得數，乘借算等運算而用來作除法。如果這樣，應當重新布置借算，並自右向左移動，到無法移動時而止，才能相乘。這太繁瑣。所以使借算就在上面縮小而將它退位。「再布置所借1算，向左移動，像開頭作的那樣。將第二位得數在旁邊加入定法，用來作除法」，這是想減去位於兩塊紅色面積形成的角隅處的黃色正方形乙的面積。「將第二位得數在旁邊納入定法」，這是再將黃色正方形乙的邊長加入定法，是為了展開兩塊青色正方形的長，所以像前面那樣開方，就符合所問的問題。
今有積一千五百一十八步四分步之三。問：為圓周幾何？
荅曰：一百三十五步。於徽術，當周一百三十八步一十分步之一〔1〕。 臣淳風等謹按：此依密率，為周一百三十八步五十分步之九〔2〕。
又有積三百步。問：為圓周幾何？
荅曰：六十步。於徽術，當周六十一步五十分步之十九〔3〕。臣淳風等謹依密率，為周六十一步一百分步之四十一〔4〕。
開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周〔5〕。此術以周三徑一為率，與舊圓田術相返覆也〔6〕。於徽術，以三百一十四乘積，如二十五而一，所得，開方除之，即周也〔7〕。開方除之，即徑〔8〕。是為據見冪以求周，猶失之於微少〔9〕。其以二百乘積，一百五十七而一，開方除之，即徑，猶失之於微多〔10〕。 臣淳風等謹按：此注於徽術求周之法，其中不用「開方除之，即徑」六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一〔11〕。按周三徑一之率，假令周六徑二，半周半徑相乘得冪三。周六自乘得三十六，俱以等數除，冪得一，周之數十二也。其積：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得積三也。術為一乘不長，故以十二而一，得此積。今還元〔12〕，置此積三，以十二乘之者，復其本周自乘之數。凡物自乘，開方除之，復其本數。故開方除之，即周。
【注釋】
〔5〕此即《九章算術》的開圓術：。
〔6〕此謂《九章算術》的開圓術是方田章圓田又術的逆運算。
〔7〕此即劉徽依徽率提出的開圓術：。
〔8〕李淳風等指出此六字系衍誤。
〔9〕劉徽指出，它是方田章劉徽注公式的逆運算，並且。
〔10〕劉徽指出，它是方田章劉徽注公式的逆運算，並且。
〔11〕李淳風等依密率提出的開圓術：。
〔12〕元：通「原」。陳垣《校勘學釋例》卷三：「原免之『原』與元來之『元』異。自明以來，始以『原』為『元』。言版本學者輒以此為明刻元刻之分，因明刻或仍用『元』，而用『原』者斷非元刻也。」
【譯文】
假設有面積步2。問：變成圓，其周長是多少？
答：圓周長135步。用我的方法，周長應當是步。 淳風等按：依照密率，這周長應為步。
假設又有面積300步2。問：變成圓，其周長是多少？
答：圓周長60步。用我的方法，周長應當是步。 淳風等按：依照密率，圓周長應為步。
開圓術：布置面積的步數，乘以12，對所得數作開方除法，就得到圓周長。此術以周三徑一為率，與舊圓田術互為逆運算。用我的方法，以314乘面積，除以25，對所得數作開方除法，就是圓周長。對它作開方除法，就是直徑長。這是由圓的面積求周長，失誤仍然在於稍微小了一點。如果以200乘面積，除以157，對它作開方除法，就是直徑長，失誤在於稍微多了一點。 淳風等按：此注劉徽求周長的方法，其中用不到「對它作開方除法，就是直徑長」諸字。現傳本有這些字，是衍剩。依照密率，以88乘之，除以7。按周3徑1之率，假設周長是6，那麼直徑就是2。半周半徑相乘，得到面積是3。周長6自乘，得到面積是36，全都以等數除面積，得到與一周長相應的係數是12。它的積，本來的周長自乘，應當以1乘之，除以12，得到面積3。此術中因為用1乘不增加，所以除以12，就得到這一面積。現在還原：布置這一面積3，用12乘之，就恢複本來的周長自乘的數值。凡是一物的數量自乘，對它作開方除法，就恢復了它本來的數量。所以對它作開方除法，就是圓周長。
今有積一百八十六萬八百六十七尺。此尺謂立方之尺也。凡物有高深而言積者，曰立方〔1〕。問：為立方幾何？
荅曰：一百二十三尺。
又有積一千九百五十三尺八分尺之一。問：為立方幾何？
荅曰：一十二尺半。
又有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。問：為立方幾何〔2〕？
荅曰：三十九尺八分尺之七。
又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。問：為立方幾何？
荅曰：一百二十四尺太半尺。
開立方立方適等，求其一面也〔3〕。術曰：置積為實。借一算，步之，超二等〔4〕。言千之面十，言百萬之面百〔5〕。議所得〔6〕，以再乘所借一算為法〔7〕，而除之〔8〕。再乘者，亦求為方冪。以上議命而除之，則立方等也〔9〕。除已，三之為定法〔10〕。為當復除，故豫張三面，以定方冪為定法也〔11〕。復除，折而下〔12〕。復除者，三面方冪以皆自乘之數，須得折、議定其厚薄爾〔13〕。開平冪者，方百之面十；開立冪者，方千之面十。據定法已有成方之冪〔14〕，故復除當以千為百，折下一等也〔15〕。以三乘所得數，置中行〔16〕。設三廉之定長〔17〕。復借一算，置下行〔18〕。欲以為隅方，立方等未有定數，且置一算定其位〔19〕。步之，中超一，下超二等〔20〕。上方法，長自乘，而一折〔21〕；中廉法，但有長，故降一等〔22〕；下隅法，無面長，故又降一等也〔23〕。復置議，以一乘中〔24〕，為三廉備冪也〔25〕。再乘下〔26〕，令隅自乘，為方冪也〔27〕。皆副以加定法〔28〕。以定除〔29〕。三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除去三冪之厚也〔30〕。除已，倍下、並中，從定法〔31〕。凡再以中，三以下，加定法者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端〔32〕，以待覆除也。言不盡意〔33〕，解此要當以棋，乃得明耳〔34〕。復除，折下如前〔35〕。開之不盡者，亦為不可開。術亦有以定法命分者〔36〕，不如故冪開方，以微數為分也。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之〔37〕。訖，開其母以報除〔38〕。臣淳風等按：分母可開者，並通之積先合三母。既開之後一母尚存，故開分母，求一母為法，以報除也。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一〔39〕。臣淳風等謹按：分母不可開者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既開之後，一母猶存，故令一母而一，得全面也。 按〔40〕：開立方知〔41〕，立方適等，求其一面之數。「借一算，步之，超二等」者，但立方求積〔42〕，方再自乘〔43〕，就積開之，故超二等，言千之面十，言百萬之面百。「議所得，以再乘所借算為法，而以除」知，求為方冪，以議命之而除，則立方等也。「除已，三之為定法」，為積未盡，當復更除，故豫張三面已定方冪為定法。「復除，折而下」知，三面方冪皆已有自乘之數，須得折、議定其厚薄。據開平方，百之面十，其開立方，即千之面十；而定法已有成方之冪，故復除之者，當以千為百，折下一等。「以三乘所得數，置中行」者，設三廉之定長。「復借一算，置下行」者，欲以為隅方，立方等未有數，且置一算定其位也。「步之，中超一，下超二」者，上方法長自乘而一折，中廉法但有長，故降一等，下隅法無面長，故又降一等。「復置議，以一乘中」者，為三廉備冪。「再乘下」，當令隅自乘為方冪。「皆副以加定法，以定法除」者，三面、三廉、一隅皆已有冪，以上議命之而除去三冪之厚。「除已，倍下、並中，從定法」者，三廉各當以兩面之冪連於兩方之面，一隅連於三廉之端，以待覆除。其開之不盡者，折下如前。開方，即合所問。「有分者，通分內子」開之，「訖，開其母以報除」，可開者，以通之積，先合三母，既開之後，一母尚存。故開分母者，求一母為法，以報除。「若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一」，分母不可開者，本一母，又以母再乘，令合三母，既開之後，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。
【注釋】
〔1〕劉徽給出了「立方」的定義。此處物有廣、袤，是不言自明的，因此劉徽是說凡是某物有廣、袤、高（或深），就叫作立方。
〔2〕此即求的根。下面的注釋即以其分子為例。
〔3〕立方適等，求其一面：立方體的三邊恰好相等，開立方就是求其一邊長。
〔4〕借一算：借一枚算籌，表示未知數三次項的係數1。本來問題只給出一個體積，設體積為A，通過借一算，就將其變成一個開方式x3=A。如圖4-4。以為例，就是求三次方程x3=32461 759的根。其開方式為：
圖4-4 開立方的幾何解釋
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
步之，超二等：就是將借算自右向左隔二位移一步，到不能移而止。開方式變成：
移三步，說明根是三位數。這個開方式表示方程（102x1）3=32 461 759。
〔5〕言千之面十，言百萬之面百：體積為千位數，其邊長即根就是十位數；體積為百萬位數，其邊長即根就是百位數。依此類推。
〔6〕議所得：也是商議根的第一位得數。記議得即根的第一位得數為a1。
〔7〕以再乘所借一算為法：即以×1作為法。這裡的「法」也是除法中的法。再乘，乘二次，相當於二次方。這裡即以根的第一位得數的平方乘，所以劉徽說「求為方冪」。
〔8〕除之：與開方術一樣，此處的「除」也是指除法。a1的確定，須使其平方乘以借算1，以其作為法，除實，其商的整數部分恰好是a1。在這個例題中，議得根的第一位得數3，置於「議得」的百位數上，使之以借算1乘32=9，為法。以法除實，整數部分恰好亦得3。餘數是5 461 759。借算同時消失。其算式為：
〔9〕以上議命而除之，則立方等：以議得a1乘以a1為邊長的面積，得。這樣就得到一個每邊恰好相等其體積為的正方體。命，就是乘。除，是減。以減原體積A，得余實。在這個例子中就是32 461 759-3003=5 461 759。在劉徽的幾何解釋中，原體積A相當於正方體，如圖4-4（1），除去的相當於以a1為邊長的正方體，如圖4-4（2）。
〔10〕除已，三之為定法：做完除法，以3乘法，得作為定法。《九章算術》這裡的「除」仍是「除法」。
〔11〕豫張三面，以定方冪為定法：劉徽認為，《九章算術》的方法是預先展開將要除去的三個扁平長方體（位於以為體積的正方體的三面之旁）的面，如圖4-4（3），所以以為定法。
〔12〕折而下：將定法縮小，下降一位。開方式成為：
〔13〕「三面方冪」二句：因為三個扁平長方體的面已經是a1的自乘，所以通過折、議確定這三個扁平的長方體的厚薄。議，議第二位得數，記為a2。
〔14〕成方：確定的方。方，方冪的簡稱。它就是「法」，或「法」的一部分，又稱為「方法」。此後「方」或「方法」成為開方術中表示一次項係數的專用名詞。在劉徽的幾何解釋中，三方就是以為面，以第二位得數為厚的扁平長方體，如圖4-4（3）。
〔15〕復除當以千為百，折下一等：劉徽認為，因為定法中已有，故在作第二次除法時將千作為百，這通過退一位實現。
〔16〕以三乘所得數，置中行：《九章算術》是將3a1布置於中行。這個例子中是將3×3=9布置在中行。
〔17〕三廉之定長：劉徽認為以3乘得數a1，稱為三廉。這是將第一位得數a1預設為三廉的長。廉，本義是邊，側邊。《儀禮·鄉飲酒禮》：「設席於堂廉東上。」鄭玄註：「側邊曰廉。」引申為棱。廉在繼續開方中成為「法」的一部分，又稱為「廉法」。在劉徽的幾何解釋中，三廉就是位於除去的以a1為邊長的正方體與三方之間的棱上，故名，如圖4-4（4）。此後「廉」或「廉法」成為開方術中表示二次或二次以上直至次高次項係數的專用名詞。
〔18〕復借一算，置下行：《九章算術》在下行又布置借算。可見在得出第一位得數後「借算」自動消失，即被還掉。開方式變成：
〔19〕「欲以為隅方」三句：劉徽認為，借一算的目的是為了求位於隅角的小正方體的邊長。該小正方體邊長相等，但數值還沒有確定，所以借一算，形成一個開方式。此後「隅」成為開方術中表示最高次項的係數的專門術語。
〔20〕「步之」三句：《九章算術》是自右向左，中行隔一位移一步，下行是隔二位移一步。在這個例題中，開方式變成：
此即減根方程：
（102x2）3+3×300×（10x2）2+3×3002×10x2=5 461 759。
〔21〕「上方法」三句：「方法」中有長的自乘，即，故「一折」，即退一位。
〔22〕「中廉法」三句：「廉法」中只有長a1，故降一等，即退二位。但，表示範圍，只，僅。《史記·劉敬叔孫通列傳》：「匈奴匿其壯士、肥牛馬，但見老弱及羸畜。」
〔23〕「下隅法」三句：「隅法」沒有長，故又降一等，即退四位。可見與開方術一樣，劉徽不再還掉借算，中行自然與借算相應。其籌式原來應是：
通過法、廉、隅分別退位，得到
與注〔20〕同一開方式。
〔24〕復置議，以一乘中：《九章算術》議得根的第二位得數a2，以其一次方乘中行，得3a1a2。
〔25〕為三廉備冪：劉徽認為這是為三個廉預先準備面積。在這個例子中a2=10，3a1a2=9 000。
〔26〕再乘下：《九章算術》以第二位得數的平方乘下行，仍為。
〔27〕令隅自乘，為方冪：劉徽認為這是使隅法自乘，成為一個小正方形的面積。在這個例子中，。
〔28〕皆副以加定法：《九章算術》將乘得的中行3a1a2、下行都加到定法上，得。仍稱為定法，這也體現出位值制。
〔29〕以定除：《九章算術》以定法除余實，其商的整數部分恰好為a2。在這個例子中。算式是：
〔30〕「三面」二句：劉徽認為，三個面、三個廉、一個隅都已具備了面積，以第二位得數乘之，從余實中除去，就相當於除去三個面積的厚薄。劉徽注此處的「除」是減的意思。
〔31〕「除已」三句：完成除法之後，將下行加倍即，加到中行，得，都加到定法上，得。
〔32〕「凡再以中」五句：《九章算術》的做法相當於中行的2倍，下行的3倍，劉徽認為三廉中每個廉都以兩個面與兩個方相連，一隅位於三廉的端上。
〔33〕言不盡意：語言不可能窮盡其中的意思。語出《周易·繫辭上》：「子曰：『書不盡言，言不盡意。』然則聖人之意，其不可見乎？」「言不盡意」與「言盡意」是魏晉時期玄學家的爭論的論題之一。
〔34〕解此要（yào）當以棋，乃得明耳：解決這個問題關鍵是應當使用棋，才能明白。要，關鍵，綱要。《韓非子·揚權》：「聖人執要，四方來效。」棋，中國古代的多面體模型。
〔35〕復除，折下如前：《九章算術》認為，如果繼續作開方除法，應當如同前面那樣將法退一位（劉徽則是法退一位，中行退二位，下行退三位）。在這個例子中，算式變為
〔36〕術亦有以定法命分者：各種方法中也有以定法命名一個分數的。設根的整數部分為a，劉徽之前也有將根的近似值表示成的。
〔37〕「若積有分者」三句：如果被開方數有分數，則將整數部分通分，納入分子，作為定實，對定實開方。設被開方數的整數部分為A，分數部分為。則以為定實。
〔38〕開其母以報除：如果C是完全立方數，設，《九章算術》的方法是：。
〔39〕「若母不可開者」五句：如果C不是完全立方數，《九章算術》的方法是：
〔40〕此是系統複述劉徽注和李淳風等注釋。
〔41〕開立方知：與下文「議所得，以再乘所借算為法，而以除知」、「『復除，折而下』知」，此三「知」字訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。
〔42〕但：凡，凡是。
〔43〕方再自乘：指邊長自乘2次，即其立方。方，邊長。
【譯文】
假設有體積1 860 867尺3。這裡尺3是說立方之尺。凡是物體有高或深而討論其體積，就叫作立方。問：變成正方體，它的邊長是多少？
答：123尺3。
假設又有體積尺3。問：變成正方體，它的邊長是多少？
答：尺3。
假設又有體積尺3。問：變成正方體，它的邊長是多少？
答：尺3。
假設又有體積1 937 541 17 27尺3。問：變成正方體，它的邊長是多少？
答：尺3。
開立方正方體的各邊恰好相等，求它的一邊長。術：布置體積，作為實。借1算，將它向左移動，每隔二位移一步。這意味著千位數的邊長是十位數，百萬位數的邊長是百位數。商議所得的數，以它的二次方乘所借1算，作為法，而以法除實。以二次方乘，只是正方形的面積。以位於上方的商議的數乘它而成為實，那麼立方的邊長就相等。作完除法，以3乘法，作為定法。為了能繼續作除法，所以預先展開三面，以已經確定的正方形的面積作為定法。若要繼續作除法，就將法縮小而退位。如果繼續作除法，因為三面正方形的面積都是自乘之數，所以必須通過縮小法、商議所得的數來確定它們的厚薄。如果開正方形的面積，百位數的正方形的邊長是十位數，如果開正方體的體積，千位數的正方體的邊長是十位數。根據定法已有了確定的正方形的面積，所以繼續作除法時應當把10 000變成100，就是說將它退一位而縮小。以3乘商議所得到的數，布置在中行。列出三廉確定的長。又借1算，布置於下行。想以它建立位於隅角的正方體。該正方體的邊長相等，但尚沒有確定的數，姑且布置1算，以確定它的地位。將它們向左移動，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步。位於上行的方法，是長的自乘，所以退一位；位於中行的廉法，只有長，所以再退一位；位於下行的隅法，沒有面，也沒有長，所以又退一位。布置第二次商議所得的數，以它的一次方乘中行，為三個廉法準備面積。以它的二次方乘下行，使隅的邊長自乘，變成正方形的面積。都在旁邊將它們加定法。以定法除余實。三個方面、三個廉、一個隅都已具備了面積。以在上方議得的數乘它們，減余實，這就除去了三種面積的厚。完成除法後，將下行加倍，加中行，都加入定法。凡是以中行的2倍、下行的3倍加定法，是因為三個廉應當分別以兩個側面的面積連接於兩個方的側面，一個隅的三個面連接於三個廉的頂端，為的是準備繼續作除法。用語言無法表達全部的意思，解決這個問題關鍵是應當使用棋，才能把這個問題解釋明白。如果繼續作除法，就像前面那樣縮小、退位。如果是開方不盡的，也稱為不可開。各種方法中也有以定法命名一個分數的，不如用原來的體積繼續開方，以微數作為分數。如果已給的體積中有分數，就通分，納入分子，作為定實，對定實開立方。完了，對它的分母開立方，再以它作除法。淳風等按：如果分母是完全立方數，通分後的積已經對應於三重分母，完成開立方之後，仍存在一重分母。所以對分母開立方，求出一重分母作為法，用它作除法。如果分母不是完全立方數，就以分母的二次方乘定實，才對它開立方。完了，以分母除。淳風等按：分母不可開的數，本來是一重分母。又以分母的二次方乘之，使它合成三重分母。完成開方之後，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整個邊長。 按：開立方就是當立方的各邊恰好相等，求它的一邊長。「借1算，將它向左移動，每隔二位移一步」的原因是，凡求正方體的體積，都是邊長自乘2次，然後就這個積開立方，所以要隔二位移一步，這意味著千位數的邊長是十位數，百萬位數的邊長是百位數。「商議所得的數，以它的二次方乘所借1算，作為法，而以法除實」的原因是，求成為正方形的面積，以位於上方的商議所得的數乘它而減實，那麼立方的長就相等。「作完除法，以3乘法，作為定法」是因為體積未除盡，應當繼續作除法，所以預先展開三面，以已經確定的正方形的面積作為定法。「若要繼續作除法，就將法縮小而退位」的原因是，三面正方形的面積都是自乘之數，所以必須通過縮小法、商議所得的數來確定它們的厚薄。根據開平方，百位數的邊長是十位數，如果開立方，千位數的邊長是十位數；而定法已有了確定的正方形的面積，所以繼續作除法時應當把千位數變為百位數，就是將其退一位而縮小。「以3乘商議所得到的數，布置在中行」是列出三廉確定的長。「又借1算，布置於下行」，是想以它建立位於隅角的正方體，其邊長相等，但尚沒有確定的數，姑且布置1算以確定它的地位。「將它們向左移動，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步」的原因是，位於上行的方形的法是長的自乘，所以退一位，位於中行的廉形的法只有長，所以再退一位，位於下行的隅形的法既沒有面，也沒有長，所以又退一位。「布置第二次商議所得的數，以它的一次方乘中行」，這是為三個廉形的法準備面積。「以它的二次方乘下行」，相當於使隅的邊長自乘，變成正方形的面積。「都在旁邊將它們加定法。以定法除余實」的原因是，三個面、三個廉、一個隅都已具備了面積，以在上方商議所得的數乘它們，減余實，這就除去了三種面積的厚。「完成除法後，將下行加倍，加中行，都加入定法」，是因為三個廉應當分別以兩個側面的面積連接於兩個方的側面，一個隅的三個面連接於三個廉的頂端，為的是準備繼續作除法。如果是開方不盡的，就像前面那樣縮小、退位。再開方，就符合問題的答案。「如果已給的體積中有分數，就通分，納入分子」，對之開立方，「完了，對它的分母開立方，再以它作除法」，這是因為，如果分母是完全立方數，通分後的體積已經對應於三重分母。完成開立方之後，仍存在一重分母。所以對分母開立方，求出一重分母，作為法，再用它作除法。「如果分母不是完全立方數，就以分母的二次方乘定實，才對它開立方。完了，以分母除」，這是因為，分母不是完全立方數，本來是一重分母。又用分母的二次方乘之，使它合成了三重分母。完成開方之後，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整個邊長。
今有積四千五百尺。亦謂立方之尺也。問：為立圓徑幾何〔1〕？
荅曰：二十尺。依密率〔2〕，立圓徑二十尺，計積四千一百九十尺二十一分尺之一十〔3〕。
又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問：為立圓徑幾何？
荅曰：一萬四千三百尺。依密率，為徑一萬四千六百四十三尺四分尺之三〔4〕。
開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即立圓徑〔5〕。立圓，即丸也〔6〕。為術者蓋依周三徑一之率。令圓冪居方冪四分之三。圓囷居立方亦四分之三〔7〕。更令圓囷為方率十二，為丸率九，丸居圓囷又四分之三也〔8〕。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也〔9〕。故以十六乘積，九而一，得立方之積。丸徑與立方等，故開立方而除，得徑也〔10〕。然此意非也。何以驗之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸〔11〕。規之為圓囷，徑二寸，高二寸〔12〕。又復橫因之〔13〕，則其形有似牟合方蓋矣〔14〕。八棋皆似陽馬，圓然也〔15〕。按：合蓋者，方率也，丸居其中，即圓率也〔16〕。推此言之，謂夫圓囷為方率，豈不闕哉〔17〕？以周三徑一為圓率，則圓冪傷少〔18〕，令圓囷為方率，則丸積傷多，互相通補，是以九與十六之率偶與實相近，而丸猶傷多耳。觀立方之內，合蓋之外，雖衰殺有漸〔19〕，而多少不掩〔20〕。判合總結〔21〕，方圓相纏，濃纖詭互〔22〕，不可等正〔23〕。欲陋形措意〔24〕，懼失正理。敢不闕疑〔25〕，以俟能言者〔26〕。 黃金方寸，重十六兩；金丸徑寸，重九兩，率生於此，未曾驗也〔27〕。《周官·考工記》〔28〕：「㮚氏為量〔29〕，改煎金錫則不耗。不耗然後權之〔30〕，權之然後准之〔31〕，准之然後量之〔32〕。」言煉金使極精，而後分之則可以為率也。令丸徑自乘，三而一，開方除之，即丸中之立方也〔33〕。假令丸中立方五尺〔34〕，五尺為句，句自乘冪二十五尺。倍之得五十尺，以為弦冪，謂平面方五尺之弦也〔35〕。以此弦為股，亦以五尺為句，並句股冪得七十五尺，是為大弦冪。開方除之，則大弦可知也〔36〕。大弦則中立方之長邪〔37〕，邪即丸徑也〔38〕。故中立方自乘之冪於丸徑自乘之冪三分之一也〔39〕。令大弦還乘其冪，即丸外立方之積也〔40〕。大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之〔41〕。為面，命得外立方積〔42〕，四十二萬一千八百七十五尺之面〔43〕。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得積一百二十五尺〔44〕。一百二十五尺自乘，為面，命得積，一萬五千六百二十五尺之面〔45〕。皆以六百二十五約之，外立方積六百七十五尺之面，中立方積二十五尺之面也〔46〕。張衡算又謂立方為質，立圓為渾〔47〕。衡言質之與中外之渾〔48〕。六百七十五尺之面，開方除之，不足一，謂外渾積二十六也〔49〕。內渾二十五之面，謂積五尺也〔50〕。今徽令質言中渾，渾又言質，則二質相與之率猶衡二渾相與之率也〔51〕。衡蓋亦先二質之率推以言渾之率也〔52〕。衡又言質六十四之面，渾二十五之面〔53〕。質復言渾，謂居質八分之五也〔54〕。又云：方八之面，圓五之面〔55〕，圓渾相推，知其復以圓囷為方率，渾為圓率也〔56〕，失之遠矣。衡說之自然欲協其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣〔57〕。雖有文辭，斯亂道破義，病也〔58〕。置外質積二十六，以九乘之，十六而一，得積十四尺八分尺之五，即質中之渾也〔59〕。以分母乘全內子，得一百一十七〔60〕；又置內質積五，以分母乘之，得四十〔61〕；是為質居渾一百一十七分之四十〔62〕，而渾率猶為傷多也。假令方二尺，方四面，並得八尺也，謂之方周。其中令圓徑與方等，亦二尺也。圓半徑以乘圓周之半，即圓冪也。半方以乘方周之半，即方冪也。然則方周知〔63〕，方冪之率也；圓周知，圓冪之率也。按：如衡術，方周率八之面，圓周率五之面也〔64〕。令方周六十四尺之面，即圓周四十尺之面也〔65〕。又令徑二尺自乘，得徑四尺之面〔66〕，是為圓周率十之面，而徑率一之面也〔67〕。衡亦以周三徑一之率為非，是故更著此法。然增周太多，過其實矣〔68〕。
【注釋】
〔1〕立圓：球。《九章算術》時代將今之球稱為「立圓」。
〔2〕密率：指。此處沒有他處之「臣淳風等」諸字，蓋李淳風等使用過此率，但不能說凡使用此率的都是李淳風等。因此依密率計算球體積，未必是李淳風等所為。
〔3〕根據得出的球體積公式（見下），以及直徑d=20尺，此球體積為：。
〔4〕根據得出的球直徑為尺。當時地面上不存在這麼大的球，再一次表明《九章算術》的題目並不全是實際應用題，而只是算法的例題。
〔5〕設球的直徑、體積分別為d，V，此即《九章算術》求球直徑的公式
劉徽證明這個公式是錯誤的。
〔6〕丸：球，小而圓的物體。《說文解字》：「丸，圜，傾側而轉者。」
〔7〕圓囷（qūn）：圓柱體，《九章算術》稱為圓堢，卷五有圓堢問。囷，古代圓形的穀倉。《說文解字》：「囷，廩之圜者。」圓囷居立方亦四分之三：設正方體體積為V方，其內切圓囷的體積為V囷，《九章算術》時代認為V方:V囷=4:3。這是由V方:V囷=4:π，取π=3得到的。如圖4-5（1）。
圖4-5 球與外切圓柱體
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔8〕為丸率九：日本三上義夫改為「丸為圓率九」。 丸居圓囷又四分之三：《九章算術》時代認為圓囷與內切球的關係為：V囷:V=4:3。
〔9〕「四分自乘得十六」三句：4分自乘得16，3分自乘得9，因此球體積是其外切正方體體積的，亦即
以上是劉徽記載的《九章算術》時代推導球體積的方法。
〔10〕「丸徑與立方等」三句：由於球直徑等於其外切正方體的邊長，故開立方除之，得到球直徑，即《九章算術》的公式（4-1）。
〔11〕立方一寸：邊長為1寸的正方體。 立方二寸：邊長為2寸的正方體。
〔12〕規之為圓囷：用規在正方體內作圓囷，即正方體之內切圓柱體。其底直徑與高都是2寸。規，本義是畫圓的工具，這裡指用規切割。
〔13〕橫因之：橫著用規切割，即與切割出圓囷的方向垂直。因，因襲，沿襲。《論語·為政》：「殷因於夏禮，所損益，可知也。」
〔14〕牟合方蓋：兩個相合的方蓋。牟，加倍。《楚辭·招魂》：「成梟而牟。」王逸註：「倍勝為牟。」劉徽將兩個全等的圓柱體正交，取其公共部分而得到牟合方蓋，如圖4-6。
圖4-6 牟合方蓋
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔15〕圓然：像圓弧形的樣子。
〔16〕設牟合方蓋的體積為V蓋，則：
V蓋:V=4:π。（4-3）
〔17〕闕（quē）：過失，弊病。《詩經·大雅·烝民》：「袞職有闕，維仲山甫補之。」鄭玄箋：「善補過也。」此謂V囷:V=4:π不可能成立。
〔18〕傷：嫌，失之於。《漢語大詞典》的例句是《北史·蘇威傳》：「所修格令章程，並行於當世，頗傷煩碎，論者以為非簡久之法。」比劉徽晚多矣。
〔19〕衰殺（shài）：衰減。殺，差（cī），差等。《禮記·文王世子》：「其族食世降一等，親親之殺也。」鄭玄註：「殺，差也。」
〔20〕多少不掩：大小無法知道。掩，取，捕取，覆取。《方言》卷六：「掩，取也。自關而東曰掩。」
〔21〕判合總結：分割併合匯聚。判，分割，分離。《左傳·莊公三年》：「紀季以酅入於齊，紀於是乎始判。」杜預註：「判，分也。」總，匯聚。結，聚合，凝聚。
〔22〕濃纖詭互：濃密纖細互相錯雜。濃，密，厚，多。詭互，奇異錯雜。沈約《佛記序》：「神塗詭互，難以臆辨。」此例句亦晚於劉徽矣。
〔23〕等正：齊等規範。等，本義是整齊的竹簡。引申為同，等同，齊等。正，合規範，合標準。《論語·鄉黨》：「割不正不食。」
〔24〕陋形：劉徽自謙之辭。陋，粗俗，鄙野。 措意：留意，在意，用心。《孔子家語·致思》：「丈夫不以措意，遂渡而出。」
〔25〕敢不闕疑：豈敢不把疑惑擱置起來。闕疑，對疑難未解的問題不妄加評論。《論語·為政》：「多聞闕疑，慎言其餘，則寡尤。」劉寶楠正義：「其義有未明，未安於心者，闕空之也。」
〔26〕俟：等待。《詩經·邶風·靜女》：「靜女其姝，俟我於城隅。」鄭玄箋：「俟，待也。」 能言者：能解決這個問題的人。這位「能言者」就是約200年後的祖沖之父子，見下李淳風等注釋。
〔27〕這是說，《九章算術》所使用的V方:V=16:9是從邊長為1寸的正方體的金塊重16兩，直徑為1寸的金球重9兩的測試中得到的。劉徽自己沒有試驗過。
〔28〕周官：即《周禮》，有春、夏、秋、冬四官。漢以後，冬官亡佚，人們遂以《考工記》充冬官，故云《周官·考工記》。《考工記》，是先秦的一部關於技術規範與手工業管理的重要著作，學術界多認為其成書於戰國的齊國。
〔29〕㮚氏：《考工記》記載的管理冶鑄的官員。李籍云：「㮚氏，鑄量之官也。」一作栗氏。
〔30〕權：本是秤錘，或秤。這裡指稱量。《孟子·梁惠王上》：「權，然後知輕重。」
〔31〕准：本義是平，引申為測平的工具。《管子·水地》：「准也者，五量之宗也。」進而引申為標準。《荀子·致使》：「程者，物之准也。」這裡是標準的意思。
〔32〕量：度量。以上文字引自《周禮·考工記》。
〔33〕這是由球的直徑求其內接正方體的邊長。如圖4-7，設內接正方體的邊長為a，考慮以球的內接正方體的一面的兩邊為勾、股，以對角線為弦構成的勾股形，正方體底面的對角線c，根據勾股術，則c2=a2+a2=2a2。再考慮以內接正方體的一邊a為勾，以一面的對角線c為股，以球直徑d為弦的勾股形，則弦為，故。此弦下文稱為大弦。
圖4-7 球內接正方體
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔34〕中立方：球的內接正方體。其邊長為5尺。
〔35〕假設球的內接正方體的一邊a為5尺，則c2=2×（5尺）2=50尺2，則弦尺。
〔36〕此謂，大弦尺。
〔37〕長邪：又稱為「大弦」。即圓內接正方體的對角線，上述勾股形的大弦。
〔38〕邪即丸徑：長邪就是球的直徑。
〔39〕中立方自乘之冪於丸徑自乘之冪三分之一：。
〔40〕丸外立方：球的外切正方體，下常稱為外立方。它的邊長是大弦d。以d乘其冪d2，就得到以大弦即球直徑為邊長的正方體的體積，也就是球的外切正方體的體積：V外=d3。
〔41〕大弦冪開之不盡，令其冪七十五再自乘之：大弦之冪為d2=3a2=75尺2，開方不盡。再自乘之，即d2d2d2=d6=（75尺2）3。
〔42〕為面，命得外立方積：建立大弦冪再自乘的面，就是球的外切正方體的體積。換言之，d6的面就是，因此，球的外切立方體的體積d3就是d6的面。
〔43〕四十二萬一千八百七十五尺之面：球的外切正方體體積是（75尺2）3=421 875尺6之面。此面顯然以尺3為單位。
〔44〕「令中立方五尺自乘」三句：球的內接正方體的體積V內=a3=（5尺）3=125尺3。
〔45〕「一百二十五尺自乘」四句：將125尺3自乘，建立它的面，就得到球的內接正方體的體積，它就是（125尺3）2=15 625尺6之面。此面顯然以尺3為單位。
〔46〕將421 875尺6與15 625尺6皆以等數625約之，則外切正方體的體積d3是675尺6之面，內接正方體的體積a3就是25尺6之面。
〔47〕張衡算：是指張衡的一部數學著作，或就是《算網論》，還是泛指張衡的數學知識，不詳。張衡（78—139），字平子，南陽（屬河南省）人。東漢著名天文學家、數學家、文學家。崔瑗《河間相張平子碑》雲他「天資睿哲，敏而好學」。公元115年、126年兩度為太史令，掌天時，星曆。撰天文著作《靈憲》、《渾天儀注》和數學著作《算網論》，後者已佚。製造世界上第一台地震觀測儀器候風地動儀。還撰《西京賦》、《東京賦》、《歸田賦》、《四愁詩》等中國文學史上的名篇。 又謂立方為質，立圓為渾（hùn）：張衡又將正方體稱為質，將球稱為渾。
〔48〕衡言質之與中外之渾：張衡討論了正方體（即質）與其外接球（即外渾）、內切球（中渾）體積的相與關係。外渾就是所討論的球，中渾下稱內渾。
〔49〕由於，張衡認為，675尺6的面不足1就是26尺3，這是外渾即球的體積。
〔50〕內渾的體積V內渾是25尺6的面，也就是5尺3。
〔51〕「今徽令質言中渾」三句：現在我就正方體討論它的內切球，就球又討論它的內接正方體，那麼兩個正方體的相與之率等於兩個球的相與之率，亦即
V外:V內=V:V內渾。（4-4）
〔52〕衡蓋亦先二質之率推以言渾之率：劉徽認為張衡是由二正方體的體積之率推出二球的體積之率的。
〔53〕質六十四之面，渾二十五之面：張衡認為，質（正方體）的體積V質是64尺6之面，即8尺3，則渾（正方體的內切球）的體積V渾是25尺6之面，即5尺3。V質即V外，V渾即V。
〔54〕質復言渾，謂居質八分之五：於是:。
〔55〕方八之面，圓五之面：張衡認為
〔56〕以圓囷為方率，渾為圓率：張衡仍認為V圓柱:V球=4:π，重複了《九章算術》時代的錯誤。
〔57〕自然：當然。劉徽將「自然」作副詞用。《北史·裴叔業傳》：「咱應送家還都以安慰之，自然無患。」用作副詞，卻在劉徽之後矣。陰陽：見劉徽序注釋。 奇耦：指奇數、偶數，即單數、雙數。人們常將其與陰陽八卦聯繫起來。《周易·繫辭下》：「陽卦奇，陰卦耦。」《孔子家語·執轡》：「子夏問於孔子曰：『商問《易》之生人及萬物鳥獸昆蟲，各有奇耦，氣分不同。』」認為人間萬物皆有奇耦，陷入神秘主義。張衡未能免俗，因而受到劉徽的批評。
〔58〕亂道：敗壞道術。亂，敗壞，擾亂。《論語·衛靈公》：「巧言亂德，小不忍則亂大謀。」 破義：破壞義理。《淮南子·泰族訓》：「孔子曰：『小辨破言，小利破義，小藝破道。』」病：缺點，毛病。《莊子·讓王》：「學而不能行謂之病。」劉徽批評張衡敗壞道術、破壞義理的錯誤，應該包括得出「方八之面，圓五之面」，及「復以圓囷為方率，渾為圓率」等幾點。
〔59〕此謂球的外切正方體（外質）體積是26尺3，則由，得出球（內渾）的體積。由此可見張衡仍用《九章算術》錯誤的球體積公式。
〔60〕此謂將球的體積的整數部分以分母8乘，納入分子：。
〔61〕由（4-4）式，球的內接正方體（內質）的體積是5尺3。此謂以分母8乘5尺3，則。
〔62〕張衡得出V:V內=117:40。
〔63〕方周知：與下文「圓周知」，此二「知」，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。
〔64〕「如衡術」三句：張衡認為，如果圓外切正方形周長的率是8的面，則圓周長的率是5的面。此即
其中L方是圓外切正方形的周長，L是圓周長。由（4-5）式，這是顯然的。
〔65〕令方周六十四尺之面，即圓周四十尺之面：假設正方形周長的率是64尺2的面，則圓周長的率就是40尺2的面。這是顯然的：由（4-6）式，若。
〔66〕令徑二尺自乘，得徑四尺之面：此謂若圓直徑為2尺，將其自乘，直徑是4尺2之面，即。
〔67〕圓周率十之面，而徑率一之面：如果圓周的率是10的面，則直徑的率是1的面。此即，換言之，張衡求得圓周率為。
〔68〕劉徽指出，批評張衡的圓周率不準確。
【譯文】
假設有體積4 500尺3，也是說立方尺。問：變成球，它的直徑是多少？
答：20尺。依照密率，球的直徑是20尺，計算出體積是尺3。
假設又有體積1 644 866 437 500尺3，問：變成球，它的直徑是多少？
答：14 300尺。依照密率，球的直徑成為尺。
開立圓術：布置體積的尺數，乘以16，除以9，對所得的數作開立方除法，就是球的直徑。立圓，就是球，設立此術的人原來是依照周3徑1之率。使圓面積占據正方形面積的，那麼圓柱亦占據正方體的。再使圓柱變為方率12，那麼球的率就是9，球占據圓柱又是。布置4分，自乘得16，3分自乘得9，所以球占據正方體的。所以用16乘體積，除以9，便得到正方體的體積。球的直徑與外切正方體的邊長相等，所以作開立方除法，就得到球的直徑。然而這種思路是錯誤的。為什麼呢？取8枚正方體棋，使每個正方體的邊長都是1寸，將它們拼積起來，成為邊長為2寸的正方體。豎著用圓規分割它，變成圓柱體：直徑是2寸，高也是2寸。又再橫著使用上述方法分割，那麼分割出來的形狀就像一個牟合方蓋。而8個棋都像陽馬，只是呈圓弧形的樣子。按：合蓋的率是方率，那麼球內切於其中，就是圓率。由此推論，說這圓柱體為方率，難道不是錯誤的嗎？以周3徑1作為圓率，那圓面積少了一點；使圓柱體為方率，那球的體積多了一點。互相補償，所以9與16之率恰與實際情況接近，而球的體積仍多了一點。考察正方體之內，合蓋之外的部分，雖然是有規律地漸漸削割下來，然而它的大小無法搞清楚。它們分割成的幾塊互相聚合，方圓互相糾纏，彼此的厚薄互有差異，不是齊等規範的形狀。想以我的淺陋解決這個問題，又擔心背離正確的數理。我豈敢不把疑惑擱置起來，等待有能力闡明這個問題的人呢？ 1寸見方的黃金，重16兩；直徑1寸的金球，重9兩。術文中的率來源於此，未曾被檢驗過。《周官·考工記》說：「㮚氏製造量器的時候，熔煉改鑄金、錫而沒有損耗；沒有損耗，那麼就稱量之；稱量之，那麼就把它作為標準；把它作為標準，那麼就度量之。」就是說，熔煉黃金使之極精，而後分別改鑄成正方體與球，就可以確定它們的率。使球的直徑自乘，除以3，再對之作開方除法，就是球中內接正方體的邊長。假設球中內接正方體每邊長是5尺，5尺作為勾。勾自乘得面積25尺2。將之加倍，得50尺2，作為弦方的面積，是說平面上正方形的邊長5尺所對應的弦。把這個弦作為股，再把5尺作為勾。把勾方的面積與股方的面積相加，得到75尺2，這就是大弦方的面積。對之作開方除法，就可以知道大弦的長。大弦就是球內接正方體的對角線。這條對角線就是球的直徑。所以球內接正方體的邊長自乘的面積，對於球直徑自乘的面積是。使大弦又乘它自己的面積，就是球外切正方體的體積。對大弦方的面積開方不盡，於是使它的面積75再自乘，求它的面，便得到外切正方體體積即421 875尺6之面。又使內接正方體的邊長5尺自乘，再以邊長乘之，得到積125尺3。使125尺3自乘，求它的面，便得到內接正方體的體積，即15 625尺6的面。都用625約簡，外切正方體體積是675尺6的面，內接正方體的體積是25尺6的面。《張衡算》卻把正方體稱為質，把球稱為渾。張衡論述了質與其內切、外接渾的關係。675尺6的面，對之作開方除法，只差1，外接渾的體積就是26尺3；內切渾是25尺6的面，是說其體積5尺3。現在我就質討論它的內切渾，就渾又討論它的內接質，那麼，兩個質的相與之率，等於兩個渾的相與之率。大約張衡也是先有二質的相與之率，由此推論出二渾的相與之率。張衡又說，質是64之面，渾是25之面。由質再說到渾，它占據質的。他又說，如果正方形是8的面，那麼圓是5的面。圓與渾互相推求，知道他又把圓柱作為方率，把渾作為圓率，失誤太大。張衡的說法當然是想協調陰陽、奇耦的學說而不顧及它是粗疏還是精密了。雖然他的言辭很有文采，這卻是敗壞了道術，破壞了義理，是錯誤的。布置外切質的體積26尺3，乘以9，除以16，得到尺3，就是質中內切渾的體積。以分母乘整數部分，納入分子，得117。又布置內切質體積5尺3，以分母乘之，得40。這意味著質占據渾的，而渾的率的失誤仍在於稍微多了一點。假設正方形每邊長2尺，正方形有4邊，加起來得8尺，稱為正方形的周長。使其中內切圓的直徑與正方形邊長相等，也是2尺。以圓半徑乘圓周長的一半，就是圓面積。以正方形邊長的一半乘其周長的一半，就是正方形的面積。那麼，正方形的周長就是正方形面積的率，圓周長就是圓面積的率。按：如果按照張衡的方法，正方形周長之率是8的面，圓周長之率是5的面。如果使正方形的周長是64的面，那麼圓周長是40尺的面；又使直徑2尺自乘，得到直徑是4尺的面。這就是圓周率是10的面，而直徑率是1的面。張衡也認為周3徑1之率是錯誤的。正因為此，他重新撰述這種方法。然而周長增加太多，超過了它的準確值。
臣淳風等謹按：祖暅之謂劉徽〔1〕、張衡二人皆以圓囷為方率，丸為圓率〔2〕，乃設新法。祖暅之開立圓術曰：「以二乘積，開立方除之，即立圓徑〔3〕。其意何也？取立方棋一枚，令立樞於左後之下隅〔4〕，從規去其右上之廉〔5〕；又合而橫規之，去其前上之廉〔6〕。於是立方之棋分而為四：規內棋一，謂之內棋〔7〕。規外棋三，謂之外棋〔8〕。規更合四棋〔9〕，復橫斷之〔10〕。以句股言之，令余高為句，內棋斷上方為股，本方之數，其弦也〔11〕。句股之法：以句冪減弦冪，則余為股冪〔12〕。若令余高自乘，減本方之冪，余即內棋斷上方之冪也〔13〕。本方之冪即此四棋之斷上冪〔14〕。然則余高自乘，即外三棋之斷上冪矣〔15〕。不問高卑，勢皆然也〔16〕。然固有所歸同而塗殊者爾〔17〕，而乃控遠以演類，借況以析微〔18〕。按：陽馬方高數參等者，倒而立之〔19〕，橫截去上，則高自乘與斷上冪數亦等焉〔20〕。夫疊棋成立積，緣冪勢既同，則積不容異〔21〕。由此觀之，規之外三棋旁蹙為一，即一陽馬也〔22〕。三分立方，則陽馬居一，內棋居二可知矣〔23〕。合八小方成一大方，合八內棋成一合蓋〔24〕。內棋居小方三分之二，則合蓋居立方亦三分之二，較然驗矣〔25〕。置三分之二，以圓冪率三乘之，如方冪率四而一，約而定之，以為丸率〔26〕。故曰丸居立方二分之一也〔27〕。」等數既密〔28〕，心亦昭晣〔29〕。張衡放舊，貽哂於後〔30〕；劉徽循故，未暇校新〔31〕。夫豈難哉？抑未之思也〔32〕。依密率，此立圓積，本以圓徑再自乘，十一乘之，二十一而一，約此積〔33〕。今欲求其本積，故以二十一乘之，十一而一〔34〕。凡物再自乘，開立方除之，復其本數。故立方除之，即丸徑也。
【注釋】
〔1〕祖暅之：一作祖暅，字景爍，生卒年不詳，南朝齊、梁數學家、天文學家，祖沖之之子。「究極精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕無以過也。」聚精會神之時，雷霆不能入。有一次他走路思考問題，撞到僕射徐勉身上。徐勉喚他，方才醒悟。傳為佳話。梁天監六年（507）治漏，撰《漏經》。又修乃父《大明曆》，九年（510）得以頒行。嘗作《渾天論》，造銅圭影表，撰《天文錄》三十卷。位至大舟卿。《北史·信都芳傳》雲，南朝梁普通六年（525）祖暅之被北魏俘虜，在王子元延明家，「不為王所待。芳諫王禮遇之。暅後還，留諸法授芳，由是彌復精密」。又應元延明之約，撰《欹器》、《漏刻銘》。還朝後任南康太守。
〔2〕李淳風等無視劉徽糾正了前人「圓囷為方率，丸為圓率」的錯誤，首創牟合方蓋，為祖暅之最後解決球體積問題指出了正確方向的巨大功績，而將劉徽與張衡同等指責，又一次說明李淳風等數學水平之低下。
〔3〕「以二乘積」三句：此處取π=3，則祖暅之給出
〔4〕立樞於左後之下隅：如圖4-8（1），這是說以立方棋ABCDEFGO的左後下角O作為中心，引出兩條轉軸：縱軸OE和橫軸OG，分割出牟合方蓋的。樞，戶樞，門的轉軸或門臼。
圖4-8 牟合方蓋求積
（采自《古代世界數學泰斗劉徽》）
〔5〕從規去其右上之廉：用規縱著切割，除去右上的廉。此指用以縱軸OE為中心軸的圓柱面AGFD從縱的方向對立方棋ABCDEFGO進行分割，切除其右上廉ABCDFG。規，本是圓規，引申為圓形，這裡是動詞。從規，是從縱的方向用規進行切割。
〔6〕又合而橫規之，去其前上之廉：將被縱規切割的正方體拼合起來，用規橫著切割，除去前上的廉。此指用以橫軸OG為中心軸的圓柱面ABFE從橫的方向對正方棋ABCDEFGO進行分割，切除其前上廉ABCDEF。橫規，是從橫的方向進行分割。
〔7〕「於是立方之棋分而為四」三句：正方體ABCDEFGO通過縱規、橫規，分割成4個棋。位於規內的，是1個，稱為內棋。此即牟合方蓋的：AEFGO，如圖4-8（2）。
〔8〕規外棋三，謂之外棋：規外面有3個棋，稱為外棋。即牟合方蓋之外的3部分：ABFG，ADEF，ABCDF，如圖4-8（3），（4），（5）。
〔9〕規更合四棋：沿著規將4個棋重新拼合在一起。規，指4個棋沿「規」處相合。
〔10〕橫斷之：用一平面橫著截斷正方棋。即在內棋的高OA上任一點N處用一平面NIJK橫截正方棋ABCDEFGO。
〔11〕余高：剩餘的高，即ON。 內棋斷上方：內棋截面正方形的邊長，即NM。 本方之數：本來的正方棋的邊長，即球半徑OA。顯然OM=OA。考慮以余高ON為勾（記為a），內棋斷上方NM為股（記為b），以球半徑即本方之數OM為弦（記為r）的勾股形ONM。
〔12〕此複述勾股術即勾股定理。
〔13〕「令余高自乘」三句：由勾股定理，b2=r2-a2。
〔14〕本方之冪即此四棋之斷上冪：本方的冪是四棋橫截面處的面積之和。此即正方體ABCDEFGO在N處之橫截面等於N處牟合方蓋的橫截面積NMHL和外三棋在N處的橫截面積MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔15〕然則余高自乘，即外三棋之斷上冪：那麼，余高自乘等於外三棋橫截面積之和。此即a2等於外三棋在N處的橫截面積MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔16〕不問高卑，勢皆然也：不論高低，其態勢都是這樣的。此謂以上的論述不論N點的高低都是如此。
〔17〕固有：本來就有。《周易·益》：「益用凶事，固有之也。」 所歸同而塗殊：殊塗同歸，又作殊途同歸。塗，通途。
〔18〕控遠以演類：駕馭遠的，以闡發同類的。控，本義是引弓，開弓。引申為駕馭，控制。《詩經·鄭風·大叔于田》：「抑磬控忌，抑縱送忌。」毛傳：「騁馬曰磬，止馬曰控。」演，推演，闡發。 借況以析微：借宏大的以分析細微的。況，通「皇」。《荀子·非十二子》：「成名況乎諸侯，莫不願以為臣。」孫詒讓《札迻》卷六：「況與『皇』通。」皇，大。《詩經·大雅·皇矣》：「皇矣上帝，臨下有赫。」毛傳：「皇，大。」由「析微」可知，此「況」應指宏觀的、大的情形。
〔19〕陽馬方高數：陽馬的正方形底的邊長與高的數值實際上是其廣、長、高的數值。 參（sān）等：廣、長、高三者相等。參，同三。《左傳·隱公元年》：「先王之制，大都不過參國之一。」杜預註：「三分國城之一。」此謂取廣、長、高相等的陽馬，將其倒置。如圖4-8（6）。
〔20〕橫截去上，則高自乘與斷上冪數亦等焉：用一正方形橫截此倒立的陽馬，除去上部，則余高自乘等於其上方截斷處的面積。設截斷處距頂點為a，截斷處的正方形的邊長也是a，其面積為a2，則余高自乘a2與其相等。
〔21〕緣冪勢既同，則積不容異：因為冪的態勢都相同，所以它們的體積不能不同。這就是著名的祖暅之原理：諸立體凡等高處截面積相等，則其體積必相等。它在西方稱為卡瓦列利（B.Cavalieri，1598—1647）原理。緣，因為。班固《白虎通·喪服》：「天子崩，赴告諸侯者何？緣臣子喪君，哀痛憤懣，無能不告語人者也。」既，副詞，全，都。《左傳·僖公二十二年》：「楚人未既濟。」
〔22〕規之外三棋旁蹙（cù）為一，即一陽馬：規之外三棋在旁邊聚合為一個立體，就是一個陽馬。蹙，聚攏，皺縮。《孟子·梁惠王》：「舉疾首蹙而相告。」
〔23〕「三分立方」三句：將一個正方體分割成三等份，則陽馬是1份，那麼可以知道內棋占據2份。換言之，外三棋的體積之和與廣、長、高為球半徑r的陽馬的體積相等，即，於是內棋AEFGO的體積是。
〔24〕合八小方成一大方，合八內棋成一合蓋：將8個小正方體合成一個大正方體，將8個內棋合成一個牟合方蓋。上面討論了球的外切牟合方蓋與外切正方體的，現在回到整個的牟合方蓋和正方體。
〔25〕「內棋居小方三分之二」三句：由於內棋占據小正方體的，那麼牟合方蓋占據整個正方體也是，明顯地被證明了。換言之，。較然，明顯貌。《史記·刺客列傳》：「自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂後世，其妄也哉！」
〔26〕約而定之，以為丸率：約簡而確定之，將其作為球體積的率。此謂取π=3，由V合蓋:V=4:3，得到。
〔27〕此謂。
〔28〕等數既密：等到數值已經精確了。
〔29〕昭晣：明了，清楚，明顯。何晏《景福殿賦》：「雖離朱之至精，猶眩曜而不能昭晣也。」《說文解字》：「『昭晣』，明也。」《廣雅·釋詁四上》：晣，「明也」。
〔30〕放（fǎnɡ）舊：模襲舊的方法。放，仿效，模襲。《書·堯典》：「曰若稽古，帝堯放重力。」孔穎達疏：「能放效上世之功。」 貽哂（shěn）：貽笑，見笑。貽，遺留。哂，微笑。李籍《音義》引作「咍哂」，並云：「上呼開切，下式忍切，笑也。」咍（hāi），嘲笑，嗤笑。按：「貽」與「咍」不知孰是。
〔31〕校新：考察新的方法。校，考察，考核。李淳風等無視劉徽對《九章算術》開立圓術的批評，設計牟合方蓋，指出解決球體積的正確方向的重大貢獻，再次對劉徽無端指責。
〔32〕抑：只是。
〔33〕約此積：求得這個體積。約，求取，得。《商君書·修權》：「夫廢法度而好私議，則奸臣鬻權以約祿。」
〔34〕李淳風等依圓周率提出的球體積公式。
【譯文】
淳風等按：祖暅之因為劉徽、張衡兩人都把圓柱作為正方形的率，把球作為圓率，於是創立新的方法。祖暅之開立圓術：「以2乘體積，對之作開立方除法，就是球的直徑。為什麼是這樣呢？取一枚正方體，將其左後下角取作樞紐，縱向沿著圓柱面切割去它的前上之廉，又把它們合起來，橫向沿著圓柱面切割去它的右上之廉。於是正方棋分割成4個棋：圓柱體內1個棋，稱為內棋；圓柱體外3個棋，稱為外棋。沿著圓柱面重新把4個棋拼合起來，又橫著切割它。用勾股定理考察這個橫截面，將剩餘的高作為勾，內棋的橫截面的邊長作為股，那麼，原來正方形的邊長就是弦。勾股法：以勾方的面積減弦方的面積，那麼剩餘的就是內棋的橫截面之面積。原來正方形的面積就是此4棋之橫截面積。那麼，剩餘的高自乘，就是外3棋的橫截面積。不管橫截之處是高還是低，其態勢都是這樣。而事情本來就有殊途同歸的。於是引證遠處的以推演同類的，藉助大的以分析細微的。按：一個寬、長、高三度相等的陽馬，將它倒立，橫截去上部，那麼它的高自乘與外3棋的橫截面積的總和總是相等的。將棋積疊成不同的立體，循著每層的面積，審視其態勢，如果每層的面積都相同，則其體積不能不相等。由此看來，圓柱外的3棋在旁邊聚合成一個棋，就是一個陽馬。將正方體分成3等份，那麼由於陽馬占據1份，便可知道內棋占據2份。將8個小正方體合成一個大正方體，將8個內棋合成一個合蓋。由於內棋占據小正方體的，那麼合蓋占據大正方體也是，很明顯地被證實了。布置，乘以圓冪率3，除以正方形冪的率4，約簡而確定之，將其作為球體積的率。所以說，球占據正方形的。」等到數值已經精密了，思想就豁然開朗。張衡模襲舊的方法，給後人留下笑料。劉徽因循過去的思路，沒有創造新的方法。這難道是困難的嗎？只是沒有深入思考罷了。依照密率，這球的體積，本來應當以球直徑兩次自乘，乘以11，除以21，便求得這個體積。今想求它本來的體積，所以乘以21，除以11。凡是一物的數量兩次自乘，對之作開立方除法，就恢復其本來的數量。所以對之作開立方除法，就是球的直徑。