九章算術譯註 · 九章算術卷第三

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 衰分〔1〕以御貴賤稟稅〔2〕 衰分衰分，差也〔3〕。術曰：各置列衰〔4〕；列衰，相與率也〔5〕。重疊，則可約〔6〕。副並為法〔7〕，以所分乘未並者各自為實〔8〕。法集而衰別〔9〕。數本一也。今以所分乘上別，以下集除之，一乘一除適足相消。故所分猶存，且各應率而別也。於今有術，列衰各為所求率，副並為所有率，所分為所有數〔10〕。　　又以經分言之〔11〕，假令甲家三人，乙家二人，丙家一人，並六人，共分十二，為人得二也。欲復作逐家者〔12〕，則當列置人數，以一人所得乘之。今此術先乘而後除也〔13〕。實如法而一〔14〕。不滿法者，以法命之〔15〕。 今有大夫〔16〕、不更〔17〕、簪〔18〕、上造〔19〕、公士〔20〕，凡五人，共獵得五鹿。欲以爵次分之〔21〕，問：各得幾何？ 荅曰： 大夫得一鹿三分鹿之二； 不更得一鹿三分鹿之一； 簪得一鹿； 上造得三分鹿之二； 公士得三分鹿之一。 術曰：列置爵數，各自為衰。爵數者，謂大夫五，不更四，簪三，上造二，公士一也。《墨子·號令篇》以爵級為賜〔22〕，然則戰國之初有此名也。今有術，列衰各為所求率，副並為所有率，今有鹿數為所有數，而今有之，即得。副並為法。以五鹿乘未並者各自為實。實如法得一鹿〔23〕。 今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五斗。羊主曰：「我羊食半馬。」馬主曰：「我馬食半牛。」今欲衰償之〔24〕，問：各出幾何？ 荅曰： 牛主出二斗八升七分升之四， 馬主出一斗四升七分升之二， 羊主出七升七分升之一。 術曰：置牛四、馬二、羊一，各自為列衰。副並為法。以五斗乘未並者各自為實。實如法得一斗〔25〕。臣淳風等謹按：此術問意，羊食半馬，馬食半牛，是謂四羊當一牛，二羊當一馬。今術置羊一、馬二、牛四者，通其率以為列衰。 今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關〔26〕，關稅百錢〔27〕。欲以錢數多少衰出之，問：各幾何？ 荅曰： 甲出五十一錢一百九分錢之四十一， 乙出三十二錢一百九分錢之一十二， 丙出一十六錢一百九分錢之五十六。 術曰：各置錢數為列衰。副並為法。以百錢乘未並者，各自為實。實如法得一錢〔28〕。臣淳風等謹按：此術甲、乙、丙持錢數以為列衰，副並為所有率，未並者各為所求率，百錢為所有數，而今有之，即得。 今有女子善織〔29〕，日自倍〔30〕。五日織五尺，問：日織幾何？ 荅曰： 初日織一寸三十一分寸之十九， 次日織三寸三十一分寸之七， 次日織六寸三十一分寸之十四， 次日織一尺二寸三十一分寸之二十八， 次日織二尺五寸三十一分寸之二十五。 術曰：置一、二、四、八、十六為列衰。副並為法。以五尺乘未並者，各自為實。實如法得一尺〔31〕。 今有北鄉算八千七百五十八〔32〕，西鄉算七千二百三十六，南鄉算八千三百五十六，凡三鄉發徭三百七十八人〔33〕。欲以算數多少衰出之，問：各幾何？ 荅曰： 北鄉遣一百三十五人一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七， 西鄉遣一百一十二人一萬二千一百七十五分人之四千四， 南鄉遣一百二十九人一萬二千一百七十五分人之八千七百九。 術曰：各置算數為列衰。臣淳風等謹按：三鄉算數，約、可半者，為列衰。副並為法。以所發徭人數乘未並者，各自為實。實如法得一人〔34〕。按：此術，今有之義也。 今有稟粟〔35〕，大夫、不更、簪、上造、公士凡五人，一十五斗。今有大夫一人後來，亦當稟五斗。倉無粟，欲以衰出之，問：各幾何？ 荅曰： 大夫出一斗四分斗之一， 不更出一斗， 簪出四分斗之三， 上造出四分斗之二， 公士出四分斗之一。 術曰：各置所稟粟斛斗數，爵次均之，以為列衰。副並，而加後來大夫亦五斗，得二十以為法。以五斗乘未並者，各自為實。實如法得一斗〔36〕。稟前「五人十五斗」者，大夫得五斗，不更得四斗，簪得三斗，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少減與後來大夫，即與前來大夫同。據前來大夫已得五斗，故言「亦」也。各以所得斗數為衰，並得十五，而加後來大夫亦五斗，凡二十，為法也。是為六人共出五斗，後來大夫亦俱損折。今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，五斗為所有數，而今有之，即得。 今有稟粟五斛，五人分之。欲令三人得三，二人得二，問：各幾何？ 荅曰： 三人，人得一斛一斗五升十三分升之五， 二人，人得七斗六升十三分升之十二。 術曰：置三人，人三；二人，人二，為列衰。副並為法。以五斛乘未並者各自為實。實如法得一斛〔37〕 【注釋】 〔1〕衰（cuī）分：按一定的等級進行分配，即按比例分配。衰，由大到小按一定等級遞減。《管子·小匡》：「相地而衰其政，則民不移矣。」尹知章註：「衰，差也。」李籍在引用尹知章注之後云：「以差而平分，故曰衰分。」衰分是「九數」之三，鄭玄引鄭眾「九數」作「差分」，是為衰分在先秦的名稱。 〔2〕稟：賜人以谷。《說文解字》：「稟，賜谷也。」　　稅：本義是田賦。引申為一切賦稅。李籍云：「供谷曰稟。或曰廩，非是。」知李籍看到的抄本中有一本訛作「廩」。 〔3〕差（cī）：次第，等級。《孟子·滕文公上》：「愛無差等，施由親始。」趙岐註：「當同其恩愛，無有差次等級親疏也。」 〔4〕列衰：列出的等級數，即各物品的分配比例，設為ai，i=1，2，…，n。 〔5〕計算中所使用的列衰都是相與率。 〔6〕重疊：重複疊加。這裡實際上指有等數。如果有等數，可以約簡。 〔7〕副並為法：在旁邊將列衰相加，作為法，即將作為法。 〔8〕所分：被分配的總量，設為A。　　未並者：沒有相加的列衰。這是將沒有相加的列衰與被分配的總量相乘即aiA分別作為實，i=1，2，…，n。 〔9〕法集而衰別：法是列衰集中到一起，而列衰ai是有區別的。 〔10〕劉徽將列衰ai作為所求率，副並作為所有率，所分A作為所有數，從而將衰分術歸結為今有術。 〔11〕經分：從以下的內容看，這裡的經分指整數除法。 〔12〕逐家：一家一家依次（求之）。逐，依次，挨著次序。 〔13〕此術先乘而後除：指衰分術是先乘後除。蓋其算理，應該先以法除實，即，然後乘列衰：，i=1，2…，n，得到答案。然而先除可能出現分數，計算會繁瑣，故採用交換律，先乘後除。 〔14〕設各份是Ai，則 〔15〕以法命之：如果實有餘數，便用法命名一個分數。 〔16〕大夫：官名，起自殷周。又，爵位名，據《漢書·百官公卿表》，秦漢分爵位二十級，大夫為第五級。此指後者。李籍云：「夫，以智率人者也。大夫，則以智率人之大者也。」 〔17〕不更：爵位名。秦漢爵位之第四級。《漢書·百官公卿表》註：「言不豫更卒之事也。」李籍云：「次大夫，取其不與戍更。」 〔18〕簪（niǎo）：亦作簪裊。爵位名，秦漢爵位之第三級。《漢書·百官公卿表》註：「以組帶馬曰裊。簪裊者，言飾此馬也。」《後漢書·百官志》注引劉邵《爵制》：「三爵曰簪，御駟馬者。要，古之名馬也。駕駟馬者其形似簪，故曰簪也。」李籍云：「次不更，取其纓冠乘馬。」 〔19〕上造：爵位名，秦漢爵位之第二級。《漢書·百官公卿表》註：「造，成也。言有成命於上也。」李籍云：「次簪，取其為造士而居上。」 〔20〕公士：爵位名，秦漢爵位之第一級。《漢書·百官公卿表》註：「言有爵命，異於士卒，故稱公士也。」李籍云：「次上造，取其為士而在公。」 〔21〕爵次：爵位的等級。「爵」本是商、周的酒器，又引申為貴族的等級。《周禮·天官·大宰》：「以八柄詔王馭群臣，一曰爵，以馭其貴；二曰祿，以馭其富。」 〔22〕以爵級為賜：現存《墨子·號令篇》無此語。孫詒讓《墨子間詁》認為此指「疾斗者，對二人賜上奉。而勝圍城周里以上，封城將三十里地，為關內侯。輔將如令，賜上卿。丞，及吏比於丞者，賜爵五大夫。官吏豪傑與計堅守者十人，及城上吏比於五官者，皆賜公乘。男子有守者，爵人二級」。 〔23〕列衰為：大夫:不更:簪:上造:公士=5:4:3:2:1。在旁邊將列衰相加5+4+3+2+1=15作為法。大夫得之實：5鹿×5=25鹿；不更得之實：5鹿×4=20鹿；簪得之實：5鹿×3=15鹿；上造得之實：5鹿×2=10鹿；公士得之實：5鹿×1=5鹿。故大夫得：25鹿÷15=鹿；不更得：20鹿÷15=鹿；簪得：15鹿÷15=1鹿；上造得：10鹿÷15=鹿；公士得：5鹿÷15=鹿。 〔24〕衰償：按列衰賠償。償，償還。李籍云：「還也。」 〔25〕此謂羊食=馬食，馬食=牛食，故列衰為：牛:馬:羊=4:2:1。在旁邊將列衰相加4+2+1=7作為法。牛食之實：5斗×4=20斗；馬食之實：5斗×2=10斗；羊食之實：5斗×1=5斗。故牛主償：升。馬主償：升。羊主償：升。 〔26〕關：本義是門閂，引申為要塞，關口。《孟子·盡心下》：「古之為關也，將以御暴。」 〔27〕關稅：指關卡徵收賦稅。稅，作動詞，指徵收或交納賦稅。 〔28〕此謂列衰為：甲:乙:丙=560:350:180。在旁邊將列衰相加560+350+180=1 090作為法。甲稅之實：100錢×560=56 000錢；乙稅之實：100錢×350=35 000錢；丙稅之實：100錢×180=18 000錢。故甲出：錢。乙出：錢。丙出：錢。 〔29〕《算數書》、《孫子算經》亦有此問。秦簡《數》、《算書》有類似的題目。 〔30〕日自倍：第二日是第一日的2倍。若第一日織1尺，則第二日織1尺×2=2尺，第三日織2尺×2=4尺，第四日織4尺×2=8尺，第五日織8尺×2=16尺。 〔31〕列衰為：第一日織:第二日織:第三日織:第四日織:第五日織=1:2:4:8:16。在旁邊將列衰相加1+2+4+8+16=31作為法。第一日織之實：5尺×1=5尺；第二日織之實：5尺×2=10尺；第三日織之實：5尺×4=20尺；第四日織之實：5尺×8=40尺；第五日織之實：5尺×16=80尺。故第一日織得：；第二日織得：；第三日織得：；第四日織得：；第五日織得：。 〔32〕算：算賦，漢代的人丁稅。《漢書·高帝紀》載，四年（前203）八月「初為算賦」。如淳曰：「《漢儀注》民年十五以至五十六出賦錢，人百二十為一算，為治庫兵車馬。」李籍云：「算者，計口出錢。漢律：人出一算。一算百二十錢。賈人與奴婢倍算。」 〔33〕徭：勞役。李籍雲「役也」。 〔34〕列衰為：北鄉:西鄉:南鄉=8 758:7 236:8 356。在旁邊將列衰相加8 758+7 236+8 356=24350作為法。北鄉徭之實：378人×8 758；西鄉徭之實：378人×7 236；南鄉徭之實：378人×8 356。故北鄉遣：人。西鄉遣：人。南鄉遣：人。 〔35〕稟粟：賜人以谷曰稟。《漢書·文帝紀》元年詔曰：「今聞吏稟當受鬻者，或以陳粟，豈稱養老之意哉！」 〔36〕列衰為：大夫:大夫:不更:簪:上造:公士=5:5:4:3:2:1。在旁邊將列衰相加5+5+4+3+2+1=20作為法。大夫出粟之實：5斗×5=25斗；不更出粟之實：5斗×4=20斗；簪出粟之實：5斗×3=15斗；上造出粟之實：5斗×2=10斗；公士出粟之實：5斗×1=5斗。故大夫出粟：斗；不更出粟：20斗÷20=1斗；簪出粟：斗；上造出粟：斗；公士出粟：斗。 〔37〕列衰為：3:3:3:2:2。在旁邊將列衰相加3+3+3+2+2=13作為法。三人組一人得粟之實：5斛×3=15斛，則一人得粟：15斛÷13=；二人組一人得粟之實：5斛×2=10斛，則一人得粟。 【譯文】 衰分為了處理物價貴賤、賜予穀物及賦稅等問題 衰分衰分，就是按等級分配。術：分別布置列衰。列衰是相與之率。如果有重疊，就可以約簡。在旁邊將它們相加作為法。以所分的數量乘未相加的列衰，分別作為實。法是將列衰集合在一起，而列衰是各自的。這個所分的數量本來是一個整體，現在用所分的數量乘布置在上方的各自的列衰，用布置在下方的集合在一起的法除之，一乘一除恰好相消，所以所分的數量仍然存在，只是分別對應於各自的率而有所區別罷了。對於今有術，列衰分別是所求率，在旁邊將它們相加的結果是所有率，所分的數量是所有數。　　又用經分術來表述之：假設甲家有3人，乙家有2人，丙家有1人，相加為6人，共同分12，就是每人得到2。想再得到一家一家的數量，則應當列出各家的人數，以1人所得的數量乘之。現在此術是先作乘法而後作除法。實除以法。不滿法者，用法命名一個分數。 假設大夫、不更、簪、上造、公士總計5人，共獵得5隻鹿。想按爵位的等級分配，問：各得多少？ 術：列出爵位的等級，各自作為衰。爵位的級數，是說大夫是5，不更是4，簪是3，上造是2，公士是1。《墨子·號令篇》說按照爵位的等級進行賞賜，那麼戰國初期就有這些名號了。對於今有術，列衰各自作為所求率，在旁邊將它們相加作為所有率，現獵得的鹿數作為所有數，對之施用今有術，就得到答案。在旁邊將它們相加作為法。以5隻鹿乘未相加的列衰作為實。實除以法，得到每人的鹿數。假設牛、馬、羊啃了人家的莊稼。莊稼的主人索要5斗粟作為賠償。羊的主人說：「我的羊啃的是馬的一半。」馬的主人說：「我的馬啃的是牛的一半。」現在想按照比例償還，問：各出多少？ 術：布置牛4、馬2、羊1，各自作為列衰。在旁邊將它們相加作為法。以5斗乘未相加的列衰各自作為實。實除以法，得每人賠償的斗數。淳風等按：這一問題的意思是：羊啃的是馬的一半，馬啃的是牛的一半，這是說4隻羊啃的相當於1頭牛啃的，2隻羊啃的相當於1匹馬啃的。現在術中布置羊1，馬2，牛4，這是使它們的率相通並以其作為列衰。 假設某甲帶著560錢，某乙帶著350錢，某丙帶著180錢，3人一道出關，關防徵稅100錢。想按照所帶錢數多少分配稅額，問：各出多少？ 術：分別布置所帶的錢數作為列衰。在旁邊將它們相加作為法。用100錢乘未相加的列衰，各自作為實。實除以法，得到每人出的稅錢。淳風等按：此術中以甲、乙、丙所帶的錢數作為列衰，在旁邊將它們相加，作為所有率，未相加的列衰分別作為所求率，100錢作為所有數，應用今有術，就得到答案。 假設一女子善於紡織，每天都增加一倍，5天共織了5尺。問：每天織多少？ 術：布置1，2，3，4，5作為列衰。在旁邊將它們相加作為法。以5尺乘未相加的列衰，各自作為實。實除以法，得到每天織的尺數。 假設北鄉的算賦是8 758，西鄉的算賦是7 236，南鄉的算賦是8 356。三鄉總共要派遣徭役378人。想按照各鄉算賦數的多少分配，問：各鄉派遣多少人？ 術：分別布置各鄉的算賦數作為列衰。淳風等按：三鄉的算賦數，可約簡，或可取其一半的，就約簡或取其一半，作為列衰。在旁邊將它們相加作為法。以所要派遣的徭役人數乘未相加的列衰，分別作為實。實除以法，得每鄉派遣的徭役人數。按：此術有今有術的意義。 假設要發放粟米，大夫、不更、簪、上造、公士共5人，發放15斗。如果有另一個大夫來晚了，也應當發給他5斗。可是糧倉中已經沒有粟米，想讓各人按爵位等級拿出粟給他，問：各人出多少？ 術：分別布置所發放的粟米的斗數，以爵位等級調節之，作為列衰。在旁邊將它們相加，又加晚來的大夫的爵位數也是5斗，得到20，作為法。以5斗乘未相加的列衰，各自作為實。實除以法，便得到每人拿出的斗數。重新發放粟米之前，5人共15斗，這是大夫得5斗，不更得4斗，簪得3斗，上造得2斗，公士得1斗。想使5人各按照所得到的粟的多少減損並給晚來的大夫，使他與先來的大夫相同。根據先來的大夫已得到5斗，所以說晚來的大夫「也是5斗」。各以所得的斗數作為列衰，相加得15，又加晚來的大夫也是5斗，總共是20斗，作為法。這就成為6人共出5斗——晚來的大夫也一道減損。對於今有術，在旁邊相加列衰作為所有率，未相加的列衰各為所求率，5斗作為所有數，應用今有術，就得到答案。 假設發放粟米5斛，5個人分配。想使3個人每人得3份，2個人每人得2份，問：各得多少？ 術：布置3個人，每人3；2個人，每人2，作為列衰。在旁邊將它們相加，作為法。以5斛乘未相加的列衰，各自作為實。實除以法，得到每人得的斛數。 返衰〔1〕以爵次言之，大夫五、不更四……欲令高爵得多者，當使大夫一人受五分，不更一人受四分……人數為母，分數為子。母同則子齊，齊即衰也。故上衰分宜以五、四……為列焉。今此令高爵出少，則當使大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分……故謂之返衰〔2〕。人數不同，則分數不齊。當令母互乘子。母互乘子，則「動者為不動者衰」也〔3〕。亦可先同其母，各以分母約，其子為返衰〔4〕；副並為法；以所分乘未並者，各自為實。實如法而一。術曰：列置衰而令相乘〔5〕，動者為不動者衰。 今有大夫、不更、簪、上造、公士凡五人，共出百錢。欲令高爵出少，以次漸多，問：各幾何？ 荅曰： 大夫出八錢一百三十七分錢之一百四， 不更出一十錢一百三十七分錢之一百三十， 簪出一十四錢一百三十七分錢之八十二， 上造出二十一錢一百三十七分錢之一百二十三， 公士出四十三錢一百三十七分錢之一百九。 術曰：置爵數，各自為衰，而返衰之。副並為法。以百錢乘未並者，各自為實。實如法得一錢〔6〕。 今有甲持粟三升，乙持糲米三升，丙持糲飯三升。欲令合而分之，問：各幾何？ 荅曰： 甲二升一十分升之七， 乙四升一十分升之五， 丙一升一十分升之八。 術曰：以粟率五十、糲米率三十、糲飯率七十五為衰，而返衰之。副並為法。以九升乘未並者，各自為實。實如法得一升〔7〕。按：此術，三人所持升數雖等，論其本率，精粗不同。米率雖少，令最得多；飯率雖多，返使得少。故令返之，使精得多而粗得少。於今有術，副並為所有率，未並者各為所求率，九升為所有數，而今有之，即得。 【注釋】 〔1〕返衰：以列衰的倒數進行分配。 〔2〕使大夫五人共出一人分，不更四人共出一人分……：大夫1人出，不更1人出……大夫、不更、簪、上造、公士5人以，1為列衰分配，所以稱為返衰。 〔3〕根據劉徽注，《九章算術》返衰術給出公式 顯然，在求Ai的時候，用不到以其衰ai乘所分A，所以說「動者為不動者衰」。 〔4〕其子：指以分母約「同」的結果。同即公分母。 〔5〕列置衰而令相乘：就是布置列衰，使分母互乘分子。即得到a1a2…ai-1ai+1…an，i=1，2，…，n為列衰。 【譯文】 返衰以爵位等級表述之，大夫是5，不更是4……想使爵位高的得的多，應當使大夫1人接受5份，不更1人接受4份……人數作為分母，每人接受的份數作為分子。分母相同，則分子應該相齊，相齊就能作列衰。所以應用上面的衰分術應當以5，4……作為列衰。現在此處使爵位高的出的少，那麼應當使大夫5個人共出1份，不更4個人共出1份……所以稱之為返衰。人數不同，則份數不相齊。應當使分母互乘分子。分母互乘分子，就是變動了的為不變動的進行衰分。也可以先使它們的分母相同，以各自的分母除同，以它們的分子作為返衰術的列衰。在旁邊將它們相加作為法。用所分的數量乘未相加的列衰，分別作為實。實除以法。術：布置列衰而使它們相乘，變動了的為不變動的進行衰分。 假設大夫、不更、簪、上造、公士5個人，共出100錢。想使爵位高的出的少，按順序逐漸增加，問：各出多少？ 術：布置爵位等級數，各自作為衰，而對之施行返衰術。在旁邊將返衰相加作為法。用100錢乘未相加的返衰，各自作為實。實除以法，得每人出的錢數。 假設甲拿來3升粟，乙拿來3升糲米，丙拿來3升糲飯。想把它們混合起來重新分配，問：各得多少？ 術：以粟率50，糲米率30，糲飯率75作為列衰，而對之施行返衰術。在旁邊將返衰相加作為法。以9升乘未相加的返衰，各自作為實。實除以法，得每人分得的升數。按：此術中，三個人所拿來的粟米的升數雖然相等，但是論到它們各自的率，卻有精粗的不同。糲米率雖然小，卻使得到的多；糲飯率雖然大，反而使得到的少，所以對之施行返衰術，使精的得的多而粗的得的少。對今有術，在旁邊將返衰相加作為所有率，未相加的返衰各自作為所求率，9升作為所有數，而應用今有術，即得到答案。 今有絲一斤〔1〕，價直二百四十。今有錢一千三百二十八，問：得絲幾何？ 荅曰：五斤八兩一十二銖五分銖之四。 術曰：以一斤價數為法，以一斤乘今有錢數為實，實如法得絲數。按：此術今有之義。以一斤價為所有率，一斤為所求率，今有錢為所有數，而今有之，即得。 今有絲一斤，價直三百四十五。今有絲七兩一十二銖，問：得錢幾何？ 荅曰：一百六十一錢三十二分錢之二十三。 術曰：以一斤銖數為法，以一斤價數乘七兩一十二銖為實。實如法得錢數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以絲一斤銖數為所有率，價錢為所求率，今有絲為所有數，而今有之，即得。 今有縑一丈，價直一百二十八。今有縑一匹九尺五寸，問：得錢幾何？ 荅曰：六百三十三錢五分錢之三。 術曰：以一丈寸數為法，以價錢數乘今有縑寸數為實。實如法得錢數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以縑一丈寸數為所有率，價錢為所求率，今有縑寸數為所有數，而今有之，即得。 今有布一匹，價直一百二十五。今有布二丈七尺，問：得錢幾何？ 荅曰：八十四錢八分錢之三。 術曰：以一匹尺數為法，今有布尺數乘價錢為實，實如法得錢數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以一匹尺數為所有率，價錢為所求率，今有布為所有數，今有之，即得。 今有素一匹一丈〔2〕，價直六百二十五。今有錢五百，問：得素幾何？ 荅曰：得素一匹。 術曰：以價直為法，以一匹一丈尺數乘今有錢數為實。實如法得素數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以價錢為所有率，五丈尺數為所求率，今有錢為所有數，今有之，即得。 今有與人絲一十四斤，約得縑一十斤。今與人絲四十五斤八兩，問：得縑幾何？ 荅曰：三十二斤八兩。 術曰：以一十四斤兩數為法，以一十斤乘今有絲兩數為實。實如法得縑數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以一十四斤兩數為所有率，一十斤為所求率，今有絲為所有數，今有之，即得。 今有絲一斤，耗七兩。今有絲二十三斤五兩，問：耗幾何？ 荅曰：一百六十三兩四銖半。 術曰：以一斤展十六兩為法；以七兩乘今有絲兩數為實。實如法得耗數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以一斤為十六兩為所有率，七兩為所求率，今有絲為所有數，而今有之，即得。 今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩。今有乾絲一十二斤，問：生絲幾何？ 荅曰：一十三斤一十一兩十銖七分銖之二。 術曰：置生絲兩數，除耗數，余，以為法。餘四百二十兩，即乾絲率。三十斤乘乾絲兩數為實。實如法得生絲數。凡所得率知〔3〕，細則俱細，粗則俱粗，兩數相抱而已〔4〕。故品物不同，如上縑、絲之比，相與率焉。三十斤凡四百八十兩，令生絲率四百八十兩，令乾絲率四百二十兩，則其數相通。可俱為銖，可俱為兩，可俱為斤，無所歸滯也〔5〕。若然，宜以所有乾絲斤數乘生絲兩數為實。今以斤、兩錯互而亦同歸者，使乾絲以兩數為率，生絲以斤數為率。譬之異類，亦各有一定之勢〔6〕。　　臣淳風等謹按：此術，置生絲兩數，除耗數，余即乾絲之率，於今有術為所有率；三十斤為所求率，乾絲兩數為所有數。凡所謂率者，細則俱細，粗則俱粗。今以斤乘兩知，乾絲即以兩數為率，生絲即以斤數為率，譬之異物，各有一定之率也。 今有田一畝，收粟六升太半升。今有田一頃二十六畝一百五十九步，問：收粟幾何？ 荅曰：八斛四斗四升一十二分升之五。 術曰：以畝二百四十步為法，以六升太半升乘今有田積步為實，實如法得粟數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以一畝步數為所有率，六升太半升為所求率，今有田積步為所有數，而今有之，即得。 今有取保一歲〔7〕，價錢二千五百。今先取一千二百，問：當作日幾何？ 荅曰：一百六十九日二十五分日之二十三。 術曰：以價錢為法，以一歲三百五十四日乘先取錢數為實。實如法得日數。臣淳風等謹按：此術亦今有之義。以價為所有率，一歲日數為所求率，取錢為所有數，而今有之，即得。 今有貸人千錢〔8〕，月息三十。今有貸人七百五十錢，九日歸之，問：息幾何？ 荅曰：六錢四分錢之三。 術曰：以月三十日乘千錢為法；以三十日乘千錢為法者，得三萬，是為貸人錢三萬，一日息三十也。以息三十乘今所貸錢數，又以九日乘之，為實。實如法得一錢〔9〕。以九日乘今所貸錢為今一日所有錢，於今有術為所有數；息三十為所求率；三萬錢為所有率。此又可以一月三十日約息三十錢，為十分一日，以乘今一日所有錢為實；千錢為法。為率者，當等之於一也〔10〕。故三十日或可乘本，或可約息，皆所以等之也。 【注釋】 〔1〕自此問起至卷末，不是衰分類問題，其體例亦與前不合，系張蒼或耿壽昌增補的內容。它們都可以直接用今有術求解，但是與卷二今有術的例題有所不同。卷二的例題中，所有率與所求率都根據粟米之法，所有數都是粟米的斛斗數。這些問題卻不然。比如此問中，其解法是：「以一斤價數為法，以一斤乘今有錢數為實，實如法得絲數。」劉徽將其歸結到今有術，今有錢1 328為所有數，絲1斤為所求率，絲1斤價錢240為所有率。以所有率即1斤價錢為法，以所求率即1斤絲乘所有數即今有錢數為實。所有率與所求率，分別是由錢數與重量得到的，不是同類的，而且今有錢數與1斤絲相乘作為實，兩者也不是同類的，作為法的所有率與所有數是同類的。所以宋代起將這一類問題歸於「異乘同除」類。 〔2〕素：本色的生帛。《禮記·雜記下》：「純以素，以五彩。」孔穎達疏：「素，謂生帛。」 〔3〕凡所得率知：與下文「生絲」問劉徽注「今以斤乘兩知」中，兩「知」字，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔4〕相抱：互相轉取也。抱，古通「捊」。許慎《說文解字》卷十二上：「抱：捊，或從包。」又：「『捊』，引取也。」劉安《淮南子·原道訓》：「扶搖抮抱，羊角而上。」高誘註：「『扶』，攀也；『搖』，動也；『抮抱』，引戾也。扶搖直如羊角轉如曲縈行而上也。」《文選·射雉賦》（潘岳）：「戾翳旋把，縈隨所歷。」李善註：「戾，轉也。」因此，「抱」，轉取也。劉徽在此提出了率的重要性質。 〔5〕這是將諸物化成同一單位，以導出諸物之率，是為率的一種最直觀最常用的方式。 〔6〕譬之：謂把它比作。《論語·子張》：「子貢曰：『譬之宮牆，賜之牆也及肩，窺見室家之好。』」此謂比方說是不同類的物品也可以形成率。 〔7〕保：傭工。《史記·季布欒布列傳》：「窮困，賃傭於齊，為酒人保。」李籍云：「傭也。如所謂酒家保。」 〔8〕貸：李籍云：「以物假人也。」《算數書》亦有一「貸人千錢」的問題，但與此同類不同題。 〔9〕此即以今所貸錢×9日為所有數，1 000錢×30日為所有率，月息為所求率，則所求數即所得息 所得息=［（今所貸錢×9日）×月息］÷（1 000錢×30日）。 〔10〕這是劉徽提出的另一種使用率，應用今有術求解的方式：以月息30錢÷30日=10分/日為所求率，今所貸錢×9日為所有數，1 000錢為所有率。兩者殊途同歸。 【譯文】 假設有1斤絲，價值是240錢。現有1 328錢，問：得到多少絲？ 答：得5斤8兩銖絲。 術：以1斤價錢作為法，以1斤乘現有錢數作為實，實除以法，得到絲數。此術具有今有術的意義。以1斤價錢作為所有率，1斤作為所求率，現有錢數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設有1斤絲，價值是345錢。現有7兩12銖絲，問：得到多少錢？ 答：得錢。 術：以1斤的銖數作為法，以1斤的價錢乘7兩12銖作為實。實除以法，得到錢數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。以1斤的銖數作為所有率，1斤的價錢作為所求率，現有的絲數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設有1丈縑，價值是128錢。現有1匹9尺5寸縑，問：得到多少錢？ 答：得錢。 術：以1丈的寸數作為法，以1丈的價錢數乘現有縑的寸數作為實。實除以法，得到錢數。淳風等按：此術也具有今有術的意義：以1丈縑的寸數作為所有率，1丈的價錢作為所求率，現有縑的寸數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設有1匹布，價值是125錢。現有2丈7尺布，問：得到多少錢？ 答：得錢。 術：以1匹的尺數作為法，現有布的尺數乘價錢作為實。實除以法，得到錢數。淳風等按：此術也具有今有術的意義：以1匹的尺數作為所有率，1匹的價錢作為所求率，現有布的尺數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設有1匹1丈素，價錢是625錢。現有500錢，問：得多少素？ 答：得1匹素。 術：以價值作為法，以1匹1丈的尺數乘現有錢數作為實。實除以法，得到素數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。以價錢作為所有率，5丈的尺數作為所求率，現有錢數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設給人14斤絲，約定取得10斤縑。現給人45斤8兩絲，問：得多少縑？ 答：得32斤8兩縑。 術：以14斤的兩數作為法，以10斤乘現有絲的兩數作為實。實除以法，得到縑數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。以14斤的兩數作為所有率，10斤作為所求率，現有絲數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設有1斤絲，損耗7兩。現有23斤5兩絲，問：損耗多少？ 答：損耗163兩銖。 術：將1斤展開，成為16兩，作為法。以7兩乘現有絲的兩數作為實。實除以法，得損耗數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。把1斤變成16兩作為所有率，7兩作為所求率，現有絲數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設30斤生絲，曬乾之後，損耗3斤12兩。現有乾絲12斤，問：原來的生絲是多少？ 答：原來的生絲是13斤11兩銖。 術：布置生絲的兩數，減去損耗數，以餘數作為法。餘數420兩，就是乾絲率。30斤乘乾絲的兩數作為實。實除以法，得到生絲數。凡是所得到的率，要細小則都細小，要粗大則都粗大。兩個數互相轉取罷了。因此，不同的物品，例如上面的縑與絲的比率，就是相與率。30斤共有480兩。使生絲率為480兩，使乾絲率為420兩，則它們的數相通。可以都用銖，可以都用兩，可以都用斤，沒有什麼地方有窒礙。如果這樣，應該用所有的乾絲斤數乘生絲的兩數作為實。現在將斤、兩錯互——使乾絲以兩數形成率，生絲以斤數形成率，也得到同一結果的原因在於，比方說是不同的類，也各有一定的態勢。　　淳風等按：在此術中，布置生絲的兩數，減去損耗的數，餘數就是乾絲率。對於今有術，這作為所有率，30斤作為所求率，乾絲的兩數作為所有數。凡是稱為率的，要細小則都細小，要粗大則都粗大。現在以斤乘兩，是因為乾絲以兩數形成率，生絲以斤數形成率，比方說是不同的物品，都各有一定的率。 假設1畝田收穫升粟。現有1頃26畝159步田，問：收穫多少粟？ 答：收穫8斛4斗升粟。 術：以1畝的步數240步2作為法，以升乘現有田的積步作為實。實除以法，得到粟數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。以1畝的步數作為所有率，升作為所求率，現有田的積步作為所有數，應用今有術，即得答案。 假設僱工，一年的價錢是2 500錢。現在先領取1 200錢，問：應當工作多少天？ 答：應當工作天。 術：以價錢作為法，以一年354天乘先領取的錢數作為實。實除以法，得到日數。淳風等按：此術也具有今有術的意義。以價錢作為所有率，一年的天數作為所求率，領取的錢數作為所有數，應用今有術，即得到答案。 假設向別人借貸1 000錢，每月的利息是30錢。現在向別人借貸了750錢，9天歸還，問：利息是多少？ 答：利息是錢。 術：以一月30天乘1 000錢作為法，以30天乘1 000錢作為法，得到30 000，這相當於向別人借貸30 000錢，一天的利息是30錢。以利息30錢乘現在所借貸的錢數，又以9天乘之，作為實。實除以法，便得到利息的錢數。以9天乘現在所借貸的錢數作為現在一日所有的錢，對於今有術，作為所有數，利息30錢作為所求率，30 000錢作為所有率。這又可以用一月30天除利息30錢，得到一天10分。以它乘現在一日所有錢作為實。1 000錢作為法。建立率，應當使它等於1。所以，30天有時可以用來乘本來的錢，有時可以用來除利息，都是用來使率等之於1的。