九章算術譯註 · 九章算術卷第二

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 粟米〔1〕以御交質變易〔2〕 粟米之法〔3〕凡此諸率相與大通，其特相求〔4〕，各如本率。可約者約之。別術然也。 粟率五十 糲米三十〔5〕 粺米二十七〔6〕 糳米二十四〔7〕 御米二十一〔8〕 小十三半〔9〕 大五十四〔10〕 糲飯七十五 粺飯五十四 糳飯四十八 御飯四十二 菽〔11〕、荅〔12〕、麻〔13〕、麥各四十五 稻六十 豉六十三〔14〕 飧九十〔15〕 熟菽一百三半 糵一百七十五〔16〕 【注釋】 〔1〕粟米：泛指穀類，糧食。李籍云：「粟者，禾之未舂。米者，谷實之無殼。」粟，古代泛指穀類，又指穀子。下文粟率指後者之率。「粟米」作為一類數學問題是「九數」之二，明之後，常稱作「粟布」。 〔2〕交質：互相以物品作抵押，即交易稱量。方程章五雀六燕術「交易質之」，即此義。質，評量，後引申為稱，衡量。　　變易：交易。「交質」、「變易」後人都有使用，但筆者未查到劉徽之前的例句。 〔3〕粟米之法：這裡是互換的標準，即各種粟米的率。法，標準。 〔4〕特：特地。 〔5〕糲米：糙米，有時省稱為米。《九章算術》及其劉徽注、李淳風等注釋單言「米」，則指糲米。糲，李籍云：「粗也。」指粗米，糙米。 〔6〕粺米：精米。李籍云：「精於糲也。」《詩經·大雅·召旻》：「彼疏斯粺，胡不自替。」毛傳：「彼宜食疏，今反食精粺。」 〔7〕糳米：舂過的精米。李籍云：「精於粺也。」糳，本義是舂。 〔8〕御米：供宮廷食用的米。李籍云：「精於糳也。供王膳之米也。蔡邕《獨斷》曰：『所進曰御。御者，進也。凡衣服加於身，飲食入於口，皆曰御。』」 〔9〕小（zhí）：細麥屑。李籍云：「細曰小。粗曰大。」《說文》：「，麥核屑也。」，麥屑。 〔10〕大：粗麥屑。 〔11〕菽：大豆。又，豆類的總稱。 〔12〕荅：小豆。《說文》：「荅，小尗也。」「尗」同「菽」。 〔13〕麻：古代指大麻，亦指芝麻。《正字通》引《素問》云：「麻麥稷黍豆為五穀。」此指芝麻。 〔14〕豉（chǐ）：又音shì，用煮熟的大豆發酵後製成的食品。《釋名·釋飲食》：「豉，嗜也。五味調和，須之而成，乃可甘嗜也。故齊人謂豉，聲如嗜也。」李籍云：「鹽豉也。《廣雅》雲『苦李作豉』。」 〔15〕飧（sūn）：熟食，夕食。李籍引《說文》曰：「也。」《六書故·工事》：「飧，夕食也。古者夕則餕朝膳之餘，故熟食曰飧。」 〔16〕糵：粬糵。李籍引《說文》曰：「米芽。」 【譯文】 粟米為了處理抵押交換問題 粟米之率這裡的各種率都相互關聯而廣泛地通達。如果特地互相求取，則要遵從各自的率。可以進行約簡的，就約簡之。其他的術也是這樣。 粟率50 糲米27 粺米27 糳米24 御米21 小 大54 糲飯75 粺飯54 糳飯48 御飯42 菽、荅、麻、麥各45 稻60 豉63 飧90 熟菽 糵175 今有此都術也〔1〕。凡九數以為篇名，可以廣施諸率〔2〕，所謂告往而知來〔3〕，舉一隅而三隅反者也〔4〕。誠能分詭數之紛雜〔5〕，通彼此之否塞〔6〕，因物成率〔7〕，審辨名分〔8〕，平其偏頗，齊其參差〔9〕，則終無不歸於此術也〔10〕。術曰〔11〕：以所有數乘所求率為實〔12〕。以所有率為法〔13〕。少者多之始，一者數之母〔14〕，故為率者必等之於一〔15〕。據粟率五、糲率三，是粟五而為一，糲米三而為一也。欲化粟為米者，粟當先本是一〔16〕。一者，謂以五約之，令五而為一也。訖，乃以三乘之，令一而為三。如是，則率至於一〔17〕，以五為三矣。然先除後乘，或有餘分，故術反之〔18〕。又完言之知〔19〕，粟五升為糲米三升；分言之知〔20〕，粟一斗為糲米五分斗之三。以五為母，三為子。以粟求糲米者，以子乘，其母報除也〔21〕。然則所求之率常為母也。　　臣淳風等謹按：宜云「所求之率常為子，所有之率常為母」，今乃雲「所求之率常為母」知，脫錯也〔22〕。實如法而一〔23〕。 今有粟一斗，欲為糲米。問：得幾何？ 荅曰：為糲米六升。 術曰：以粟求糲米，三之，五而一〔24〕。臣淳風等謹按：都術，以所求率乘所有數，以所有率為法。此術以粟求米，故粟為所有數。三是米率，故三為所求率。五為粟率，故五為所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故唯雲三、五也。 今有粟二斗一升，欲為粺米。問：得幾何？ 荅曰：為粺米一斗一升五十分升之十七。 術曰：以粟求粺米，二十七之，五十而一。臣淳風等謹按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。 今有粟四斗五升，欲為糳米。問：得幾何？ 荅曰：為糳米二斗一升五分升之三。 術曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一〔25〕。臣淳風等謹按：糳米之率二十有四，以為率太繁，故因而半之，故半所求之率，以乘所有之數。所求之率既減半，所有之率亦減半。是故十二乘之，二十五而一也。 今有粟七斗九升，欲為御米。問：得幾何？ 荅曰：為御米三斗三升五十分升之九。 術曰：以粟求御米，二十一之，五十而一。 今有粟一斗，欲為小。問：得幾何？ 荅曰：為小二升一十分升之七。 術曰：以粟求小，二十七之，百而一〔26〕。臣淳風等謹按：小之率十三有半。半者二為母，以二通之，得二十七，為所求率。又以母二通其粟率，得一百，為所有率。凡本率有分者，須即乘除也。他皆放此。 今有粟九斗八升，欲為大。問：得幾何？ 荅曰：為大一十斗五升二十五分升之二十一。 術曰：以粟求大，二十七之，二十五而一。臣淳風等謹按：大之率五十有四，其可半，故二十七之，亦如粟求糳米，半其二率。 今有粟二斗三升，欲為糲飯。問：得幾何？ 荅曰：為糲飯三斗四升半。 術曰：以粟求糲飯，三之，二而一〔27〕。臣淳風等謹按：糲飯之率七十有五。粟求糲飯，合以此數乘之。今以等數二十有五約其二率，所求之率得三，所有之率得二，故以三乘二除。 今有粟三斗六升，欲為粺飯。問：得幾何？ 荅曰：為粺飯三斗八升二十五分升之二十二。 術曰：以粟求粺飯，二十七之，二十五而一。臣淳風等謹按：此術與大多同。 今有粟八斗六升，欲為糳飯。問：得幾何？ 荅曰：為糳飯八斗二升二十五分升之一十四。 術曰：以粟求糳飯，二十四之，二十五而一。臣淳風等謹按：糳飯率四十八。此亦半二率而乘除。 今有粟九斗八升，欲為御飯。問：得幾何？ 荅曰：為御飯八斗二升二十五分升之八。 術曰：以粟求御飯，二十一之，二十五而一。臣淳風等謹按：此術半率，亦與糳飯多同。 今有粟三斗少半升〔28〕，欲為菽。問：得幾何？ 荅曰：為菽二斗七升一十分升之三。 今有粟四斗一升太半升〔29〕，欲為荅。問：得幾何？ 荅曰：為荅三斗七升半。 今有粟五斗太半升，欲為麻。問：得幾何？ 荅曰：為麻四斗五升五分升之三。 今有粟一十斗八升五分升之二，欲為麥。問：得幾何？ 荅曰：為麥九斗七升二十五分升之一十四。 術曰：以粟求菽、荅、麻、麥，皆九之，十而一〔30〕。臣淳風等謹按：四術率並四十五，皆是為粟所求，俱合以此率乘其本粟。術欲從省，先以等數五約之，所求之率得九，所有之率得十。故九乘十除，義由於此。 今有粟七斗五升七分升之四，欲為稻。問：得幾何？ 荅曰：為稻九斗三十五分升之二十四。 術曰：以粟求稻，六之，五而一。臣淳風等謹按：稻率六十，亦約二率而乘除。 今有粟七斗八升，欲為豉。問：得幾何？ 荅曰：為豉九斗八升二十五分升之七。 術曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。 今有粟五斗五升，欲為飧。問：得幾何？ 荅曰：為飧九斗九升。 術曰：以粟求飧，九之，五而一。臣淳風等謹按：飧率九十，退位，與求稻多同。 今有粟四斗，欲為熟菽。問：得幾何？ 荅曰：為熟菽八斗二升五分升之四。 術曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。臣淳風等謹按：熟菽之率一百三半。半者其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率隨而俱長，故以二百七之，百而一。 今有粟二斗，欲為糵。問：得幾何？ 荅曰：為糵七斗。 術曰：以粟求糵，七之，二而一〔31〕。臣淳風等謹按：糵率一百七十有五，合以此數乘其本粟。術欲從省，先以等數二十五約之，所求之率得七，所有之率得二。故七乘二除。 今有糲米十五斗五升五分升之二，欲為粟。問：得幾何？ 荅曰：為粟二十五斗九升。 術曰：以糲米求粟，五之，三而一。臣淳風等謹按：上術以粟求米，故粟為所有數，三為所求率，五為所有率。今此以米求粟，故米為所有數，五為所求率，三為所有率。准都術求之〔32〕，各合其數。以下所有反求多同，皆準此〔33〕。 今有粺米二斗，欲為粟。問：得幾何？ 荅曰：為粟三斗七升二十七分升之一。 術曰：以粺米求粟，五十之，二十七而一。 今有糳米三斗少半升，欲為粟。問：得幾何？ 荅曰：為粟六斗三升三十六分升之七。 術曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一〔34〕。 今有御米十四斗，欲為粟。問：得幾何？ 荅曰：為粟三十三斗三升少半升。 術曰：以御米求粟，五十之，二十一而一。 今有稻一十二斗六升一十五分升之一十四，欲為粟。問：得幾何？ 荅曰：為粟一十斗五升九分升之七。 術曰：以稻求粟，五之，六而一。 今有糲米一十九斗二升七分升之一，欲為粺米。問：得幾何？ 荅曰：為粺米一十七斗二升一十四分升之一十三。 術曰：以糲米求粺米，九之，十而一〔35〕。臣淳風等謹按：粺率二十七，合以此數乘糲米。術欲從省，先以等數三約之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘而十除。 今有糲米六斗四升五分升之三，欲為糲飯。問：得幾何？ 荅曰：為糲飯一十六斗一升半。 術曰：以糲米求糲飯，五之，二而一〔36〕。臣淳風等謹按：糲飯之率七十有五，宜以本糲米乘此率數。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得五，所有之率得二。故五乘二除，義由於此。 今有糲飯七斗六升七分升之四，欲為飧。問：得幾何？ 荅曰：為飧九斗一升三十五分升之三十一。 術曰：以糲飯求飧，六之，五而一。臣淳風等謹按：飧率九十，為糲飯所求，宜以糲飯乘此率。術欲從省，先以等數十五約之，所求之率得六，所有之率得五。以此故六乘五除也。 今有菽一斗，欲為熟菽。問：得幾何？ 荅曰：為熟菽二斗三升。 術曰：以菽求熟菽，二十三之，十而一〔37〕。臣淳風等謹按：熟菽之率一百三半。因其有半，各以母二通之，宜以菽數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得一十一半，所有之率得五也〔38〕。 今有菽二斗，欲為豉。問：得幾何？ 荅曰：為豉二斗八升。 術曰：以菽求豉，七之，五而一〔39〕。臣淳風等謹按：豉率六十三，為菽所求，宜以菽乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得七，而所有之率得五也。 今有麥八斗六升七分升之三，欲為小。問：得幾何？ 荅曰：為小二斗五升一十四分升之一十三。 術曰：以麥求小，三之，十而一。臣淳風等謹按：小之率十三半，宜以母二通之，以乘本麥之數。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得三，所有之率得十也。 今有麥一斗，欲為大。問：得幾何？ 荅曰：為大一斗二升。 術曰：以麥求大，六之，五而一。臣淳風等謹按：大之率五十有四，合以麥數乘此率。術欲從省，先以等數九約之，所求之率得六，所有之率得五也。 【注釋】 〔1〕都術：總術，總的方法，普遍方法。都，總，總共，見卷一方田術李淳風等注釋注〔18〕。 〔2〕諸：之於的合音。 〔3〕告往知來：根據已經發生的事情，可以推知事物未來的發展趨勢。中國古代的一種思維方法。語出《論語·學而》：「子曰：『賜也，始可與言《詩》已矣，告諸往而知來者。』」 〔4〕舉一隅而三隅反：根據某一事物的性質，可以推知與它同類的事物的性質。中國古代的一種思維方法。語出《論語·述而》：「子曰：『不憤不啟，不悱不發，舉一隅不以三隅反，則不復也。』」 〔5〕誠：如果，假如。　　詭數：不同的數。詭，差別，不同。 〔6〕通彼此之否（pǐ）塞：通過「通分」等運算使各種阻隔不通的數量關係互相通達。否，閉塞。《周易·否》：「否之匪人。」陸德明釋文：「否，閉也，塞也。」否塞，阻隔不通。 〔7〕物：這裡指各種物品的數量。 〔8〕名分：地位，身份。《莊子·天下》：「《易》以道陰陽，《春秋》以道名分。」也泛指物品的所屬關係。《商君書·定分》：「夫賣者滿市，而盜不敢取，由名分已定也。」此謂各個物品在問題中的地位。 〔9〕平其偏頗，齊其參差：即「齊同」運算。偏頗，又作「偏陂」，本義是不公正。王符《潛夫論》：「內偏頗於妻子，外僭惑於知友。」 〔10〕劉徽將《九章算術》大部分術文，200餘個題目歸結為今有術。 〔11〕今有術：即今之三率法，或稱三項法（rule of three）。一般認為，此法源於印度。但印度婆羅門笈多才通曉此法（628），所使用的術語的意義也與《九章算術》相近，參見錢寶琮主編《中國數學史》。 〔12〕所有數：今有術的重要概念，指現有物品的數量。　　所求率：今有術的重要概念，指所求物品的率。 〔13〕所有率：今有術的重要概念，指現有物品的率。 〔14〕少者多之始，一者數之母：1是數之母，在有理數範圍之內無疑是正確的，但在實數內則不盡然。比如，邊長為1的正方形，其對角線是2，1似不能說是之母，因為它們之間沒有公度。這個命題顯然是劉徽將《老子·第三十九章》的命題「無名天地之始，有名萬物之母」與王弼說的「夫少者多之所貴也。寡者眾之所宗也」（《周易略例·明彖》）與「一，數之始而物之極也」（《老子注·第三十九章》）結合起來提出的。 〔15〕為率者必等之於一：某物率的確定，必須以1為標準。多少數量的某物能化為1，則該物的率就是多少。對同一標準1，粟5化為1，糲米3化為1，故粟率是5，糲米率是3。 〔16〕粟當先本是一：粟本來應當先成為1。 〔17〕則率至於一：由率的本義，粟率5是說粟5為1，糲率3是說糲米3為1。從粟求糲米，粟數先除以粟率5，就是粟5變成了1，再乘以糲率3，糲米1又變成了3。如是，則率至於1。 〔18〕余分：剩餘的分數。由上可見，做到「率至於1」的過程是先除後乘。實際上，此處既可以先乘後除，也可以先除後乘，即滿足交換律：（A÷a）×b=（A×b）÷a。然而先除後乘，有時會除不盡，產生分數，運算繁瑣，所以術文反過來，採取先乘後除。 〔19〕完言之：以整數表示之。此處即以整數5與3入算。「完言之」與下「分言之」對舉。完，整數。　　知：訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔20〕分言之：以分數表示之。此處即以粟1斗與糲米斗入算。知：亦訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔21〕報除：回報以除。 〔22〕李淳風等所見到的劉徽注已有脫錯。 〔23〕今有術就是：已知所有數A、所有率a和所求率b，求所求數B的公式為 B=Ab÷a。（2-1） 〔24〕三之，五而一：與下文「以粟求稻」問「六之，五而一」、「以粟求飧」問「九之，五而一」、「以糲米求粟」問「五之，三而一」、「以稻求粟」問「五之，六而一」凡5處，因為有關的粟米之法都是10的倍數，故都是通過退位約簡為率，得相與之率入算，而不必用10除，反映了十進位值制記數法的優越性。「三之，五而一」即乘以3，除以5，或說以3乘，以5除。這是今有術在以粟求米問題中的應用。余類此。 〔25〕十二之，二十五而一：與下文「以粟求大」問「二十七之，二十五而一」、「以粟求粺飯」問「二十七之，二十五而一」、「以粟求糳飯」問「二十四之，二十五而一」、「以粟求御飯」問「二十一之，二十五而一」凡5處，都是將有關的粟米之法以等數2約簡，得相與之率，再入算。 〔26〕二十七之，百而一：與下文「以粟求熟菽」問「二百七之，百而一」凡2處，因有關的粟米之法中有，故以2通之，化為整數，以相與之率入算。 〔27〕「以粟」三句：此處粟50，糲飯75，以等數25約簡，得2，3為相與之率。 〔28〕少半：即。 〔29〕太半：即。 〔30〕粟50，菽、荅、麻、麥45，以等數5約簡，得10，9為相與之率。 〔31〕粟50，糵175，以等數25約簡，得2，7為相與之率。 〔32〕准：依照，按照。北周宗懍《荊楚歲時記》：「今寒食准節氣是仲春之末。」 〔33〕准：仿效，效法。左思《詠史八首》之一：「著論准《過秦》，作賦擬《子虛》。」 〔34〕此處亦將糳米率24與粟率50以等數2約簡，得相與之率，再入算。 〔35〕糲米30，粺米27，以等數3約簡，得10，9為相與之率。 〔36〕五之，二而一：與下文「以糲飯求飧」問「六之，五而一」凡兩處，將有關的粟米之法以等數15約簡，得相與之率。 〔37〕二十三之，十而一：與下文「以麥求小」問「三之，十而一」凡兩處，有關的粟米之法中有，故以2通之。所得的結果又有等數9，故以9約簡，為相與之率，再入算。 〔38〕《九章算術》將菽率45，熟菽率化成10與23，以相與之率入算，十分簡省。唐中葉之後的乘除捷算法就是沿著這一方向發展的。李淳風等將其化成5與入算，反不如《九章算術》簡省。 〔39〕七之，五而一：與下文「以麥求大」問「六之，五而一」凡兩處，將有關的粟米之法以等數9約簡，得相與之率。 【譯文】 今有術：這是一種普遍方法。凡是用九數作為篇名的問題，都可以對它們廣泛地施用率。這就是所謂告訴了過去的就能推知未來的，舉出一個角，就能推論到其他三個角。如果能分辨各種不同的數的錯綜複雜，疏通它們彼此之間的閉塞之處，根據不同的物品構成各自的率，仔細地研究辨別它們的地位與關係，使偏頗的持平，參差不齊的相齊，那麼就沒有不歸結到這一術的。術：以所有數乘所求率作為實，以所有率作為法。小是大的開始，1是數的起源。所以建立率必須使它等於1。根據粟率是5，糲米率是3，這是說粟5成為1，糲米3成為1。如果想把粟化成糲米，那麼粟應當本身先變成1。變成1，是說用5約之，使5變為1。完了，再以3乘之，使1變為3。像這樣，那麼率就達到了1，把粟5變成了糲米3。然而，先作除法，後作乘法，有時會剩餘分數，所以此術將運算程序反過來。又，如果以整數表示之，5升粟變成3升糲米；以分數表示之，1斗粟變成斗糲米，以5作為分母，3作為分子。如果用粟求糲米，就用分子乘，用它的分母回報以除。那麼，所求率永遠作為分母。　　淳風等按：應該說「所求率永遠作為分子，所有率永遠作為分母」。這裡卻說「所求率永遠作為分母」，有脫錯。實除以法。 假設有1斗粟，想換成糲米。問：得多少？ 答：換成6升糲米。 術：由粟求糲米，乘以3，除以5。淳風等按：普遍方法：以所求率乘所有數作為實，以所有率作為法。此術由粟求糲米，所以粟為所有數；3是糲米率，所以3是所求率；5是粟率，所以5是所有率。粟率是50，糲米率是30。通過退一位約簡之，所以只說5與3就夠了。 假設有2斗1升粟，想換成粺米。問：得多少？ 答：換成1斗升粺米。 術：由粟求粺米，乘以27，除以50。淳風等按：粺米率是27，所以直接乘以27，除以50。 假設有4斗5升粟，想換成糳米。問：得多少？ 答：換成2斗升糳米。 術：由粟求糳米，乘以12，除以25。淳風等按：糳米率是24，以它作為率太繁瑣，所以取其一半。也就是取所求率的一半，以它乘所有數。所求率既然減半，所有率也應減半。這就是為什麼乘以12，除以25。 假設有7斗9升粟，想換成御米。問：得多少？ 答：換成3斗升御米。 術：由粟求御米，乘以21，除以50。 假設有1斗粟，想換成小。問：得多少？ 答：換成升小。 術：由粟求小，乘以27，除以100。淳風等按：小率是。是以2為分母。用2通分，得27，作為所求率。又用分母2通其粟率，得100，作為所有率。凡原來的率有分數的，必須做乘除化成整數。其他的都仿照此術。 假設有9斗8升粟，想換成大。問：得多少？ 答：換成10斗升大。 術：由粟求大，乘以27，除以25。淳風等按：大率是54，它可以被2除，所以乘以27。這也像由粟求糳米那樣，取二種率的一半。 假設有2斗3升粟，想換成糲飯。問：得多少？ 答：換成3斗升糲飯。 術：由粟求糲飯，乘以3，除以2。淳風等按：糲飯率是75，由粟求糲飯，應當用此數乘。現在用等數25約簡這二種率，所求率得3，所有率得2。所以乘以3，除以2。 假設有3斗6升粟，想換成粺飯。問：得多少？ 答：換成3斗升粺飯。 術：由粟求粺飯，乘以27，除以25。淳風等按：此術與求大之術大體相同。 假設有8斗6升粟，想換成糳飯。問：得多少？ 答：換成8斗升糳飯。 術：由粟求糳飯，乘以24，除以25。淳風等按：糳飯率是48。這也是取二種率的一半再做乘除。 假設有9斗8升粟，想換成御飯。問：得多少？ 答：換成8斗升御飯。 術：由粟求御飯，乘以21，除以25。淳風等按：此術取二種率的一半，也與求糳飯之術大體相同。 假設有3斗升粟，想換成菽。問：得多少？ 答：換成2斗升菽。 假設有4斗升粟，想換成荅。問：得多少？ 答：換成3斗升荅。 假設有5斗升粟，想換成麻。問：得多少？ 答：換成4斗升麻。 假設有10斗升粟，想換成麥。問：得多少？ 答：換成9斗升麥。 術：由粟求菽、荅、麻、麥，皆乘以9，除以10。淳風等按：四種術中的率全是45，都是由粟所求，所以都應當用此率乘本來的粟。想使術簡省，先用等數5約簡之，所求率得9，所有率得10。所以乘以9，除以10，其義理源於此。 假設有7斗升粟，想換成稻。問：得多少？ 答：換成9斗升稻。 術：由粟求稻，乘以6，除以5。淳風等按：稻率是60，也約簡二種率再做乘除。 假設有7斗8升粟，想換成豉。問：得多少？ 答：換成9斗升豉。 術：由粟求豉，乘以63，除以50。 假設有5斗5升粟，想換成飧。問：得多少？ 答：換成9斗9升飧。 術：由粟求飧，乘以9，除以5。淳風等按：飧率是90，退一位，與求稻的方式大體相同。 假設有4斗粟，想換成熟菽。問：得多少？ 答：換成8斗升熟菽。 術：由粟求熟菽，乘以207，除以100。淳風等按：熟菽的率是。的分母是2，所以用分母2通分。既然所求率乘以2，那麼所有率應隨著一道增加。所以乘以207，除以100。 假設有2斗粟，想換成糵。問：得多少？ 答：換成7斗糵。 術：由粟求糵，乘以7，除以2。淳風等按：糵率是175，應當用此數乘本來的粟。想使術簡省，先用等數25約簡之。所求率得7，所有率得2。所以乘以7，除以2。 假設有15斗升糲米，想換成粟。問：得多少？ 答：換成25斗9升粟。 術：由糲米求粟，乘以5，除以3。淳風等按：前面的術由粟求糲米，所以粟為所有數，3為所求率，5為所有率。現在這裡由糲米求粟，所以糲米為所有數，5為所求率，3為所有率。按照普遍方法求之，都符合各自的數。以下所有的逆運算都大體相同，皆按照這一方法。 假設有2斗粺米，想換成粟。問：得多少？ 答：換成3斗升粟。 術：由粺米求粟，乘以50，除以27。 假設有3斗升糳米，想換成粟。問：得多少？ 答：換成6斗升粟。 術：由糳米求粟，乘以25，除以12。 假設有14斗御米，想換成粟。問：得多少？ 答：換成33斗升粟。 術：由御米求粟，乘以50，除以21。 假設有12斗升稻，想換成粟。問：得多少？ 答：換成10斗升粟。 術：由稻求粟，乘以5，除以6。 假設有19斗升糲米，想換成粺米。問：得多少？ 答：換成17斗升粺米。 術：由糲米求粺米，乘以9，除以10。淳風等按：粺米率27，應當用這一數乘糲米。想使術簡省，就先用等數3約簡之，所求率得9，所有率得10，所以乘以9，除以10。 假設有6斗升糲米，想換成糲飯。問：得多少？ 答：換成16斗升糲飯。 術：由糲米求糲飯，乘以5，除以2。淳風等按：糲飯率是75，應當用本來的糲米乘這一率的數。想使術簡省，先用等數15約簡之，所求率得5，所有率得2。所以乘以5，除以2。其義理源於此。 假設有7斗升糲飯，想換成飧。問：得多少？ 答：換成9斗升飧。 術：由糲飯求飧，乘以6，除以5。淳風等按：飧率是90，從糲飯求飧，應當用糲飯乘這一率。想使術簡省，先用等數15約簡之，所求率得6，所有率得5。因此，乘以6，除以5。 假設有1斗菽，想換成熟菽。問：得多少？ 答：換成2斗3升熟菽。 術：由菽求熟菽，乘以23，除以10。淳風等按：熟菽率。因為它有，各用分母2通分。應當用菽數乘這一率，想使術簡省，先用等數9約簡之，所求率得，所有率得5。 假設有2斗菽，想換成豉。問：得多少？ 答：換成2斗8升豉。 術：由菽求豉，乘以7，除以5。淳風等按：豉率是63，從菽求豉，應當用菽率乘這一率。想使術簡省，先用等數9約簡之，所求率得7，而所有率得5。 假設有8斗升麥，想換成小。問：得多少？ 答：換成2斗升小。 術：由麥求小，乘以3，除以10。淳風等按：小率是，應當用分母2通分，用來乘麥本來的數。想使術簡省，先用等數9約簡之，所求率得3，所有率得10。 假設有1斗麥，想換成大。問：得多少？ 答：換成1斗2升大。 術：由麥求大，乘以6，除以5。淳風等按：大率是54，應當用麥的數量乘這一率。想使術簡省，先用等數9約簡之，所求率得6，所有率得5。 今有出錢一百六十，買瓴甓十八枚〔1〕。瓴甓，磚也。問：枚幾何？ 荅曰：一枚，八錢九分錢之八。 今有出錢一萬三千五百，買竹二千三百五十個。問：個幾何？ 荅曰：一個，五錢四十七分錢之三十五。 經率〔2〕臣淳風等謹按：今有之義，以所求率乘所有數，合以瓴甓一枚乘錢一百六十為實。但以一乘不長〔3〕，故不復乘，是以徑將所買之率與所出之錢為法、實也。　　此又按：今有之義，出錢為所有數，一枚為所求率，所買為所有率，而今有之，即得所求數。一乘不長，故不復乘。是以徑將所買之率為法，以所出之錢為實。故實如法得一枚錢。不盡者，等數而命分。術曰：以所買率為法，所出錢數為實，實如法得一錢〔4〕。 今有出錢五千七百八十五，買漆一斛六斗七升太半升〔5〕。欲斗率之〔6〕，問：斗幾何？ 荅曰：一斗，三百四十五錢五百三分錢之一十五。 今有出錢七百二十，買縑一匹二丈一尺〔7〕。欲丈率之，問：丈幾何？ 荅曰：一丈，一百一十八錢六十一分錢之二。 今有出錢二千三百七十，買布九匹二丈七尺。欲匹率之，問：匹幾何？ 荅曰：一匹，二百四十四錢一百二十九分錢之一百二十四。 今有出錢一萬三千六百七十，買絲一石二鈞一十七斤〔8〕。欲石率之，問：石几何？ 荅曰：一石，八千三百二十六錢一百九十七分錢之百七十八。 經率〔9〕此術猶經分。　　臣淳風等謹按：今有之義，錢為所求率，物為所有數，故以乘錢，又以分母乘之為實。實如法而一。有分者通之。所買通分內子為所有率，故以為法。得錢數。不盡而命分者，因法為母，實余為子。實見不滿，故以命之〔10〕。術曰：以所求率乘錢數為實，以所買率為法，實如法得一〔11〕 【注釋】 〔1〕瓴甓（línɡ pì）：長方磚，又稱瓴甋（dì）。《爾雅》：「瓴甋謂之甓。」 〔2〕《九章算術》有兩條「經率術」。此條是整數除法法則。 〔3〕一乘不長（zhǎnɡ）：以1乘任何數，不改變其值。長，增長，進益。《周易·泰》：「君子道長，小人道消也。」 〔4〕設所出錢、所買率、單價分別為A，a，B，則 B=A÷a。（2-2） 〔5〕斛：容量單位。1斛為10斗。一斛六斗七升太半升：。 〔6〕斗率之：求以斗為單位的價錢。下「丈率之」、「匹率之」、「石率之」、「斤率之」、「鈞率之」、「兩率之」、「銖率之」等同。 〔7〕縑：雙絲織成的細絹。《說文解字》：「縑，並絲繒也。」　　匹：長度度量單位，1匹為4丈。一匹二丈一尺：丈。 〔8〕一石二鈞一十七斤：石。石，重量單位，1石為120斤。鈞，重量單位，1鈞為30斤。 〔9〕此條經率術是除數為分數的除法，與經分術相同。 〔10〕此條李注，南宋本、《大典》本必有舛誤，諸家校勘均不合理，暫不翻譯。 〔11〕此處出錢數為所有數，所買率就是所有率，斗（丈，匹，石）率之為所求率，則歸結為今有術。 【譯文】 假設出160錢，買18枚瓴甓。瓴甓是磚。問：1枚瓴甓值多少錢？ 答：1枚瓴甓值錢。 假設出13 500錢，買2 350個竹。問：1個竹值多少錢？ 答：1個竹值錢。 經率淳風等按：根據今有術的意義，用所求率乘所有數，應當用瓴甓1枚乘160錢作為實。但是用1來乘，並不增加，所以不再乘，因此直接把所買率與所出錢作為法與實。　　又按：根據今有術的意義，出錢作為所有數，1枚作為所求率，所買物作為所有率，對它施行今有術，就得到所求數。用1乘並不增加，所以不再乘。因此直接把所買物的率作為法，把所出的錢作為實。所以實除以法就得到1枚的錢數。除不盡的，就用等數約簡之而命名一個分數。術：以所買率作為法，所出錢數作為實。實除以法，得1枚的錢數。 假設出5 785錢，買1斛6斗升漆。想以斗為單位計價，問：每斗多少錢？ 答：1斗值錢。 假設出720錢，買1匹2丈1尺縑。想以丈為單位計價，問：每丈多少錢？ 答：1丈值錢。 假設出2 370錢，買9匹2丈7尺布。想以匹為單位計價，問：每匹多少錢？ 答：1匹值錢。 假設出13 670錢，買1石2鈞17斤絲。想以石為單位計價，問：每石多少錢？ 答：1石值錢。 經率此術如同經分術。術：以所求率乘出錢數作為實，以所買率作為法，實除以法。 今有出錢五百七十六，買竹七十八個。欲其大小率之〔1〕，問：各幾何？ 荅曰： 其四十八個，個七錢； 其三十個，個八錢。 今有出錢一千一百二十，買絲一石二鈞十八斤。欲其貴賤斤率之〔2〕，問：各幾何？ 荅曰： 其二鈞八斤，斤五錢； 其一石一十斤，斤六錢。 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖〔3〕。欲其貴賤石率之，問：各幾何？ 荅曰： 其一鈞九兩一十二銖，石八千五十一錢； 其一石一鈞二十七斤九兩一十七銖，石八千五十二錢。 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤鈞率之，問：各幾何？ 荅曰： 其七斤一十兩九銖，鈞二千一十二錢； 其一石二鈞二十斤八兩二十銖，鈞二千一十三錢。 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤斤率之，問：各幾何？ 荅曰： 其一石二鈞七斤十兩四銖，斤六十七錢； 其二十斤九兩一銖，斤六十八錢。 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤兩率之，問：各幾何？ 荅曰： 其一石一鈞一十七斤一十四兩一銖，兩四錢； 其一鈞一十斤五兩四銖，兩五錢。 其率〔4〕「其率」知〔5〕，欲令無分〔6〕。按：「出錢五百七十六，買竹七十八個」，以除錢，得七，實餘三十，是為三十個復可增一錢。然則實余之數則是貴者之數〔7〕。故曰「實貴」也〔8〕。本以七十八個為法，今以貴者減之，則其餘悉是賤者之數。故曰「法賤」也〔9〕。「其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，余各為銖」知，謂石、鈞、斤、兩積銖除實，以石、鈞、斤、兩積銖除法，余各為銖，即合所問。術曰：各置所買石、鈞、斤、兩以為法，以所率乘錢數為實，實如法而一〔10〕。不滿法者，反以實減法，法賤實貴〔11〕。其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其積數，余各為銖。 【注釋】 〔1〕大小率之：按大小兩種價格計算，此問實際上是按「大小個率之」。 〔2〕貴賤斤率之：以斤為單位，求物價，而貴賤差1錢。下「貴賤石（鈞、斤、兩）率之」同。 〔3〕自此以下5個題目的題設完全相同，只是設問依次為石、鈞、斤、兩、銖「率之」，成為不同的題目。前4題錢多物少，用「其率術」求解，而「銖率之」者，將所買絲化成以銖為單位，物多錢少，用「反其率術」求解。　　兩：重量單位，1斤為16兩。　　銖：重量單位。1兩為24銖。《孫子算經》曰：「稱之所起，起於黍。十黍為一絫，十絫為一銖，二十四銖為一兩，十六兩為一斤，三十斤為一鈞，四鈞為一石。」李籍云：「八銖為錙，二十四銖為兩。」 〔4〕其率：揣度它們的率。其，表示揣度。《左傳·成公三年》：「子其怨我乎？」根據劉徽注「欲令無分」，顯然要求整數解，而從答案看，還有貴賤單價之差是1的條件。設錢數為A，共買物B，A＞B，如果貴物單價a，買物m，賤物單價b，買物n，則其率術是求滿足 m+n=B ma+nb=A a-b=1 的正整數解m，n，a，b。 〔5〕「其率」知：與下文「『其求……余各為銖』知」之二「知」字，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔6〕欲令無分：是說要求沒有零分的正整數解。 〔7〕實余之數則是貴者之數：實中的餘數就是貴者的數量。以買竹為例，576÷78=7（錢），實剩餘30，則此30個每個增加1錢，為8錢。那麼剩餘的30，就是貴的個數。 〔8〕實貴：由實的餘數得到貴的數。比如在買竹問中，貴的個數30，由「實余」產生，所以稱為「實貴」。 〔9〕法賤：由法的餘數得到賤的數。78-30=48（個），每個7錢。賤的個數48，由「法余」產生，所以稱為「法賤」。 〔10〕「各置所買」三句：其方法是。 〔11〕「不滿法者」三句：有不滿法的余實，就以余實減法，法中的剩餘就是賤的數量，實中的剩餘就是貴的數量。亦即令a=b+1，n=B-m，則m，n分別是貴的和賤的數量，a，b分別就是貴的價錢和賤的價錢。 【譯文】 假設出576錢，買78個竹。想按大小計價，問：各多少錢？ 答：其中48個，1個值7錢； 其中30個，1個值8錢。 假設出1 120錢，買1石2鈞18斤絲。想按貴賤以斤為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中2鈞8斤，1斤值5錢； 其中1石10斤，1斤值6錢。 假設出13 970錢，買1石2鈞28斤3兩5銖絲。想按貴賤以石為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中1鈞9兩12銖，1石值8 051錢； 其中1石1鈞27斤9兩17銖，1石值8 052錢。 假設出13 970錢，買1石2鈞28斤3兩5銖絲。想按貴賤以鈞為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中7斤10兩9銖，1鈞值2 012錢； 其中1石2鈞20斤8兩20銖，1石值2 013錢。 假設出13 970錢，買1石2鈞28斤3兩5銖絲。想按貴賤以斤為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中1石2鈞7斤10兩4銖，1斤值67錢； 其中20斤9兩1銖，1斤值68錢。 假設出13 970錢，買1石2鈞28斤3兩5銖絲。想按貴賤以兩為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中1石1鈞17斤14兩1銖，1兩值4錢； 其中1鈞10斤5兩4銖，1兩值5錢。 其率其率是想使答案沒有分數。按：出576錢，買78個竹。用它除錢數，得到7。實還剩餘30。這就是說，有30個，每個的價錢可再增加1。那麼，實中剩餘的數量就是價錢貴的物品的數量，所以說「剩餘的實是貴的數量」。本來以78作為法，現在以貴的數量減之，那麼它的剩餘就是價錢賤的物品的數量，所以說「剩餘的法是賤的數量」。如果求石、鈞、斤、兩，就用積銖的數分別除剩餘的法和實，依次得到石、鈞、斤、兩的數，每次餘下的都是銖數，就符合所問問題的答案。術：布置所買的石、鈞、斤、兩作為法，以所要計價的單位乘錢數作為實，實除以法。不滿法者，反過來用剩餘的實減法，剩餘的法是賤的數量，剩餘的實是貴的數量。如果求石、鈞、斤、兩的數，就用積銖數分別除剩餘的法和實，依次得到石、鈞、斤、兩的數，每次餘下的都是銖數。 今有出錢一萬三千九百七十，買絲一石二鈞二十八斤三兩五銖。欲其貴賤銖率之，問：各幾何？ 荅曰： 其一鈞二十斤六兩十一銖，五銖一錢； 其一石一鈞七斤一十二兩一十八銖，六銖一錢。 今有出錢六百二十，買羽二千一百翭〔1〕。翭，羽本也。數羽稱其本，猶數草木稱其根株。欲其貴賤率之，問：各幾何？ 荅曰： 其一千一百四十翭，三翭一錢； 其九百六十翭，四翭一錢。 今有出錢九百八十，買矢簳五千八百二十枚〔2〕。欲其貴賤率之，問：各幾何？ 荅曰： 其三百枚，五枚一錢； 其五千五百二十枚，六枚一錢。 反其率〔3〕臣淳風等謹按：「其率」者，錢多物少；「反其率」知〔4〕，錢少物多。多少相反，故曰反其率也。其率者，以物數為法，錢數為實；反之知，以錢數為法，物數為實。不滿法知，實余也。當以余物化為錢矣。法為凡錢，而今以化錢減之，故以實減法。「法少」知，經分之所得〔5〕，故曰「法少」〔6〕；「實多」者，余分之所益，故曰「實多」〔7〕。乘實宜以多，乘法宜以少，故曰「各以其所得多少之數乘法、實，即物數」。「其求石、鈞、斤、兩，以積銖各除法、實，各得其數，余各為銖」者，謂之石、鈞、斤、兩積銖除實，石、鈞、斤、兩積銖除法，余各為銖，即合所問。術曰：以錢數為法，所率為實，實如法而一〔8〕。不滿法者，反以實減法，法少實多〔9〕。二物各以所得多少之數乘法、實，即物數〔10〕。其率，按：出錢六百二十，買羽二千一百翭。反之，當二百四十錢，一錢四翭；其三百八十錢，一錢三翭。是錢有二價，物有貴賤。故以羽乘錢，反其率也。 【注釋】 〔1〕羽：箭翎，裝飾在箭杆的尾部，用以保持箭飛行的方向。《釋名·釋兵》：矢「其旁曰羽，如鳥羽也。鳥須羽而飛，箭須羽而前也」。　　翭（hóu）：羽根。 〔2〕簳（ɡàn）：李籍《音義》引作「干」，云：「干，莖也。一本作『簳』。」李籍所說「一本」即南宋本的母本，他自己所用的抄本「簳」作「干」。 〔3〕反其率：與其率相反。蓋其率術求單價貴賤差1，故以物數為法，錢數為實。反其率術亦是求兩種單價，但要求1錢所買物的個數差1，故以錢數為法，物數為實。仍設錢數為A，共買物B，若A＜B，如果貴物單價a，買物m，賤物單價b，買物n，則反其率術就是求 的正整數解m，n，a，b。 〔4〕「反其率」知：與下文「反之知」、「不滿法知」、「『法少』知」之四「知」字，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔5〕經分：《九章算術》中的分數除法，但李淳風等將其理解成「以人數分所分，故曰經分也」（見卷一經分術及其李淳風等注釋），即包括整數除法在內的除法。比如在買羽問中，出錢620，買羽2 100翭。2 100÷620=3，餘240。按照李淳風等的理解，3由經分得到。 〔6〕故曰「法少」：從上文看不出為什麼說「故曰『法少』」，李淳風等邏輯推理水平之低下可見一斑。 〔7〕故曰「實多」：從上文看不出為什麼說「故曰『實多』」。 〔8〕「以錢數為法」三句：此即。 〔9〕「不滿法者」三句：有不滿法的余實，就以余實減法，余法就是1錢買的少的錢數，余實就是1錢買的多的錢數。即余實p是1錢買a=b+1個的錢數。余法B-p就是1錢買b個的錢數。比如買羽問中，由2 100÷620=3，余實240，則240錢中每錢可增加1翭，為1錢4翭，就是「實多」。由法620錢中除去1錢4翭的240錢，則620-240=380錢，每錢3翭，就是「法少」。 〔10〕「二物各以所得」二句：兩種東西分別以1錢所買的多、少的數乘余實，得m=ap就是1錢買的多的東西的數量，n=b（B-p）就是1錢買的少的東西的數量。在買羽問中，240錢中每錢4翭，那麼共4×240=960翭。380錢中每錢3翭，共3×380=1 140翭。 【譯文】 假設出13 970錢，買1石2鈞28斤3兩5銖絲。想按貴賤以銖為單位計價，問：各多少錢？ 答：其中1鈞27斤6兩11銖，5銖值1錢； 其中1石1鈞7斤12兩18銖，6銖值1錢。 假設出620錢，買2 100翭鳥羽。翭，鳥羽的本。數鳥羽稱本，就如同數草稱根，數木稱株一樣。想按貴賤計價，問：各多少錢？ 答：其中1 140翭，3翭值1錢； 其中960翭，4翭值1錢。 假設出980錢，買5 820枚箭杆。想按貴賤計價，問：各多少錢？ 答：其中300枚，5枚值1錢； 其中5 520枚，6枚值1錢。 反其率淳風等按：其率術是出的錢數量大，而買的物品數量小；反其率術是出的錢數量小，而買的物品數量大；大與小的情況正好相反，所以叫作反其率術。其率，是以物數作為法，以錢數作為實；反過來，就以錢數作為法，以物數作為實。不滿法的，就是實的餘數。應當將餘下的物品數量化為錢。法為總的錢數，而現在以餘下的物品數量化成的錢減之，所以以實減法。「法少」，是由經分所得到的，所以叫作「法少」；「實多」，是餘下的部分所增加的，所以叫作「實多」。乘實應該用多的，乘法應該用少的，所以說「分別用其所得多的與少的數量乘剩餘的法、實，就得到賤與貴的物品的數量」。「如果求石、鈞、斤、兩的數量，就用它們化成銖的數量分別除法、實，分別得到它們的數量，餘數分別作為銖」，這是說用石、鈞、斤、兩化成銖的數量分別除實，石、鈞、斤、兩化成銖的數量分別除法，餘數分別作為銖，就符合所問的問題。術：以出的錢數作為法，所買物品作為實，實除以法。不滿法者，反過來用剩餘的實減法。剩餘的法是買的少的物品的數量，剩餘的實是買的多的物品的數量。分別用所得到的買的多少二種物品數乘剩餘的實與法，就得到賤與貴的物品的數量。按：其率術是出620錢買2 100翭鳥羽。反過來，應當是其中240錢，1錢買4翭；其中380錢，1錢買3翭。這是出錢有兩個價錢，物品有貴有賤。所以用1錢買的鳥羽數乘錢數，這就是反其率術。