九章算術譯註 · 九章算術卷第一

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋〔1〕 方田〔2〕以御田疇界域〔3〕 今有田廣十五步〔4〕，從十六步〔5〕。問〔6〕：為田幾何〔7〕？ 荅曰〔8〕：一畝〔9〕。 又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何？ 荅曰：一百六十八步〔10〕。圖〔11〕：從十四，廣十二。 方田術曰〔12〕：廣、從步數相乘得積步〔13〕。此積謂田冪〔14〕。凡廣、從相乘謂之冪〔15〕。　　臣淳風等謹按：經雲「廣、從相乘得積步」，注云「廣、從相乘謂之冪」，觀斯注意，積、冪義同〔16〕。以理推之，固當不爾。何則？冪是方面單布之名，積乃眾數聚居之稱。循名責實，二者全殊〔17〕。雖欲同之，竊恐不可。今以凡言冪者據廣從之一方；其言積者舉眾步之都數〔18〕。經雲相乘得積步，即是都數之明文。注云謂之為冪，全乖積步之本意。此注前雲積為田冪，於理得通。復雲謂之為冪，繁而不當。今者注釋存善去非，略為料簡〔19〕，遺諸後學。以畝法二百四十步除之〔20〕，即畝數。百畝為一頃〔21〕。臣淳風等謹按：此為篇端，故特舉頃、畝二法。余術不復言者，從此可知。按：一畝田，廣十五步，從而疏之〔22〕，令為十五行，即每行廣一步而從十六步。又橫而截之，令為十六行，即每行廣一步而從十五步。此即從疏橫截之步，各自為方。凡有二百四十步，為一畝之地，步數正同。以此言之，即廣從相乘得積步，驗矣。二百四十步者，畝法也；百畝者，頃法也。故以除之，即得。 今有田廣一里〔23〕，從一里。問：為田幾何？ 荅曰：三頃七十五畝〔24〕。 又有田廣二里，從三里。問：為田幾何？ 荅曰：二十二頃五十畝。 里田術曰：廣、從里數相乘得積里〔25〕。以三百七十五乘之，即畝數。按：此術廣從里數相乘得積里。故方里之中有三頃七十五畝〔26〕，故以乘之，即得畝數也。 【注釋】 〔1〕朝議大夫：散官，簡稱朝議，始置於隋，唐因之，為文散官正五品下。　　太史令：官名，相傳置於夏代，掌文書。後代沿置，漢景帝中元六年（前114）隸太常，掌天文、曆法及修撰史書。唐初隸秘書省，從五品下。龍朔二年（662）改稱秘閣郎中，後復名。　　上輕車都尉：官名，唐武德七年（624）改開府儀同三司置「輕車都尉」，為從四品上勛官。都尉，唐、宋、金、元、明武臣勛官等級，次於將軍，高於騎尉，有上輕車都尉、輕車都尉、上騎都尉等名目。　　奉敕：奉皇帝之命。敕，漢魏指尊長、長官對後輩、下屬的告誡等上命下之辭。南北朝之後專指皇帝詔書。 〔2〕方田：九數之一。傳統的方田討論各種面積問題和分數四則運算。狹義的方田，後來又稱為直田，即長方形的田，如圖1-1。李籍云：「田者，圍周之以為疆，橫從之以為理，平夷著建，興作利養之地也。方田者，田之正也。諸田不等，以方為正，故曰方田。」 圖1-1　直田 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔3〕御：本義是駕馭馬車，引申為處理，治理。《玉篇》：「御，治也。」李籍與《廣韻》均云：「御，理也。」　　疇：已經耕作的田地。李籍引《說文解字》：「疇，耕治之田也。」　　界域：李籍云：「疆也。」 〔4〕今有：假設有，《九章算術》問題題設的起首方式。今，連詞，表示假設，相當於「若」、「假如」。《孟子·梁惠王下》：「今王與百姓同樂，則王矣。」由秦漢數學簡牘（《數》、《算書》、《算數書》、《算術》等）知道，先秦數學問題題設的起首方式異彩紛呈，大多數題目沒有任何引語作為起首，少數或以「程」，或以「取程」，或以「有」，或以「今有」等作起首。張蒼等整理《九章算術》，遂以「今有」統一了數學問題題設的起首方式。當一種術文有多個例題時，則從第二題起題設的起首用「又有」。　　廣：一般指物體的寬度。李籍云：廣，「闊也」。《墨子·備城門》：「沈機長二丈，廣八尺。」有時廣有方向的意義，表示東西的長度。趙爽《周髀算經注》：「東西南北謂之廣長。」 〔5〕從（zōnɡ）：又音zònɡ，又作袤，今作縱，表示直，南北的量度。《集韻》：「南北曰從。」李籍云：從，「長也」。廣、從，今多譯為寬（或闊）、長。實際上，中國古代的廣、從有方向的含義。因此，廣未必小於從，見下乘分術的第三個例題。《墨子·備城門》中「突」之「袤九尺，廣十尺」，也是廣大於袤。　　步：古代長度單位，秦漢1步為5尺。隋唐以後為6尺。 〔6〕問：中國古典數學問題發問的起首語。由秦漢數學簡牘知道，先秦數學問題發問的起首也是不統一的。有的沒有任何發問的起首語，而採取直敘的方式；有的以「欲」、「欲求」、「求」作為發問的起首語。張蒼等整理《九章算術》，遂以「問」統一了數學問題發問的起首方式。 〔7〕幾何：若干，多少。李籍云：「幾何，數之疑也。」中國古典數學問題的發問語。傳統數學問題的發問語也經歷了一個發展過程，秦漢數學簡牘的發問方式不統一，儘管有的以「幾何」發問，占了大多數，但還有的沒有任何發問語，而以「欲」、「欲求」、「求」代替發問語。張蒼等整理《九章算術》，則完全以「幾何」發問，沒有例外。明末利瑪竇與徐光啟合譯歐幾里得的「Element」，定名為《幾何原本》，「幾何」實際上是拉丁文mathematica的中譯，指整個的數學。後日本將geometria譯作幾何學，傳到中國，幾何遂成為數學中關於空間形式的學問。 〔8〕荅：同「答」。對荅之荅原作「畣」。荅本是小豆之名，後來借為對荅之荅。《玉篇》：「荅，當也。」《五經文字·艸部》：「荅：此荅本是小豆之一名，對荅之荅本作畣。經典及人間行此已久，故不可改。」《爾雅》：「畣，然也。」《玉篇》：「畣，今作荅。」對荅之荅，後作答。《廣韻》：「答，當也，亦作荅。」本書的答案，凡引原文皆用「荅」字，而譯文則全部改作「答」。從秦漢數學簡牘可以看出，在先秦，答案的表示方式相當複雜，有的沒有任何引語，以直敘的方式給出答案，有的以「曰」、「得」或「得曰」作引語給出答案。值得注意的是，沒有一個題目使用「荅曰」。張蒼等整理《九章算術》，則統一使用「荅曰」，沒有任何例外。 〔9〕畝：古代的土地面積單位。《九章算術》中1畝為240步。此處「步」實際上為步2。 〔10〕步：此處「步」為步2。 〔11〕圖：此「圖」應該在劉徽所撰《九章重差圖》中，已亡佚。本書凡提到劉徽注之圖者，除另加說明者外，皆亡佚。 〔12〕術：方法，計算程序。《算數書》中的計算方法皆作「術」，不是簡化字；《九章算術》本作「術」，簡化成「術」。《算數書》之「術」當是「術」的假借字。術（shú），指秫。又音zhú，菊科草類。 〔13〕乘：登，升。李籍云：乘，「登也。登之使其數多」。廣從步數相乘得積步：設方田的面積為S，廣、從分別是a，b，則長方形的面積公式是 S=ab。（1-1） 積步：是《九章算術》提出的表示面積的概念，也可以作為面積的單位，即步之積。將1步長的線段在平面上積累起來，長a步，就是a積步，常簡稱為a步，步即今之平方步，因此古代之步，視不同情況，有時指今之步，有時指步2。下文中之積尺、積寸、積里等概念與此類似。由此又引申出積分等概念。值得注意的是，劉徽對公式（1-1）沒有試圖證明，顯然是當作公理使用的。 〔14〕冪：即今之面積。王莽銅斛銘文中始使用，作「冥」。根據不同的情況，劉徽《九章算術注》中有田冪、矩冪、勾冪、股冪、弦冪、方冪、圓冪、立冪等，還有以顏色表示的青冪、朱冪、黃冪等。清末李善蘭、華衡芳等翻譯西方數學著作，遂用「冪」表示指數，沿用至今。古今「冪」的含義既有聯繫，又有區別。 〔15〕凡廣從相乘謂之冪：這是劉徽對冪即面積的定義。 〔16〕李淳風等從劉徽的話中得出「積冪義同」的結論是完全錯誤的。劉徽將「廣從相乘」這種積稱為冪，冪與積是種屬關係，積包括冪，但積不一定是冪，因為三數相乘的體積，或更多的數相乘，也是積。李淳風等由劉徽注看不出冪和積的區別，說明他們的邏輯水平低下。 〔17〕循名責實，二者全殊：李淳風等認為積與冪完全不同。他們不懂冪屬於積，兩者有相同之處，說積、冪「二者全殊」，當然是錯誤的。他們指責正確的劉徽，徒然暴露其數學水平的低下和邏輯的混亂。殊，不同，異。《周易·繫辭下》：「天下同歸而殊塗。」 〔18〕都（dū）數：總數。都，聚，匯集。《管子·水地》：「卑也者，道之室，王者之器。而水以為都居。」注云：「都，聚也。」引申為總，總共。《漢書·西域傳》：「都護之起，自吉置矣。」顏師古註：「都猶總也，言總護南北之道。」 〔19〕料簡：品評選擇。蔡邕《太尉楊公碑》：「沙汰虛冗，料簡貞實。」亦作「料揀」。自唐起，「料簡」就有誤作「科簡」者。《北史·循吏·張華原傳》：「華原科簡輕重，隨事決遣。」 〔20〕畝法：1畝的標準度量。李籍引《司馬法》曰：「六尺為步，步百為畝。秦孝公之制，二百四十步為一畝。」秦漢制度1畝=240步2，1頃=100畝。已知某田地的面積的步2數，求畝數，便以240步2為除數，故稱240步2為畝法。秦漢數學簡牘與此同。　　除：在《九章算術》及其劉徽注中有二義。一是除去，即現今之「減」。卷六「客去忘持衣」問劉徽注「除」曰：「除，其減也。」一是現今「除法」的除，此處即用此義。李籍釋「除」云：「去也。去之使其少。」可見「除」之義先引申為「減去」，後進一步引申為除法之「除」。此二義在下文中一般不再一一指出，觀前後文及譯文即可明白。 〔21〕百畝為一頃：100畝為1頃，故稱為頃法。 〔22〕疏：分，截。《史記·黥布傳》：「上裂地而王之，疏爵而貴之。」司馬貞索隱：「按：裂地是對文，故知疏即分也。」此處橫截與從疏為對文，知「疏」即截。 〔23〕里：長度單位，秦漢時1里為300步。 〔24〕三頃七十五畝：1里2=375畝=3頃75畝。故375畝為里法。《算數書》亦有此問。 〔25〕以里為單位的田地的面積求法，其公式與方田術（1-1）相同。 〔26〕故：猶「夫」。裴學海《古書虛字集釋》卷五：「『故』，猶『夫』也，提示之詞也。」 【譯文】 方田為了處理田地等面積 假設一塊田寬15步，長16步。問：田的面積有多少？ 答：1畝。 又假設一塊田寬12步，長14步。問：田的面積有多少？ 答：168步。圖：長14，寬12。 方田術：寬與長的步數相乘，便得到積步。這種積叫作田的面積。凡是寬與長的步數相乘，就叫它作面積。　　淳風等按：《九章算術》說寬、長步數相乘，便得到積步。劉徽注說寬、長相乘，就把它叫作冪。考察這個注的意思，積和面積的意義相同。按道理推究之，本不應當是這樣的。為什麼呢？面積是一層四方布的名稱，積卻是眾多的數量積聚的名稱。循名責實，二者完全不同。即使想把它看成相同的，我們認為是不可以的。現在凡是說到面積，都是占據有寬有長的一個方形，而說到積，都是列舉眾多步數的總數。《九章算術》說相乘得到積步，就是總數的明確文字。劉徽注說叫它做面積，完全背離了積步的本意。這個注前面說積是田的面積，在道理上可以講得通。又說叫它做面積，繁瑣而不恰當。現在注釋，留下正確的，刪去錯誤的，稍加品評選擇，把它貢獻給後來的學子。以畝法240步2除積步，就是畝數。100畝為1頃。淳風等按：這是本篇的開端，因此特別舉出頃、畝二者的法。其他的術中不再談到它們，就是因為由這裡可以知道。按：1畝地，寬為15步，豎著分割它，使成為15行，就是每行寬為1步而長為16步。又橫著裁截它，使成為16行，就是每行寬為1步而長為15步。這就是豎著分割橫著裁截的1步，各自成正方形，共有240步2。作為1畝的田地，步數恰好與畝法相同。由此說來，就是寬、長相乘便得到積步，被驗證了。240步2，是畝法；100畝，是頃法。因此，用來除積步，便得到答案。 假設一塊田寬1里，長1里。問：田的面積有多少？ 答：3頃75畝。 又假設一塊田寬2里，長3里。問：田的面積有多少？ 答：22頃50畝。 里田術：寬與長的里數相乘，便得到積里。以375畝乘之，就是畝數。按：這一術中，寬、長里數相乘，便得到積里。而1方里中有3頃75畝，所以以它乘積里，就得到畝數。 今有十八分之十二〔1〕。問：約之得幾何〔2〕？ 荅曰：三分之二。 又有九十一分之四十九。問：約之得幾何？ 荅曰：十三分之七。 約分〔3〕按：約分者，物之數量，不可悉全〔4〕，必以分言之〔5〕。分之為數，繁則難用。設有四分之二者，繁而言之〔6〕，亦可為八分之四；約而言之〔7〕，則二分之一也〔8〕。雖則異辭，至於為數，亦同歸爾。法實相推〔9〕，動有參差〔10〕，故為術者先治諸分〔11〕。術曰：可半者半之〔12〕；不可半者，副置分母、子之數〔13〕，以少減多，更相減損〔14〕，求其等也〔15〕。以等數約之〔16〕。等數約之，即除也。其所以相減者，皆等數之重疊〔17〕，故以等數約之。 【注釋】 〔1〕非名數真分數的表示方式在中國也有一個發展過程。由秦漢數學簡牘知道，現今的真分數（a，b皆為正整數）在先秦有兩種表示方式：一是表示為「b分a」，一是表示為「b分之a」。張蒼等整理《九章算術》，遂統一為「b分之a」。 〔2〕約：本義是纏束。《說文解字》：「約，纏束也。」引申為精明、簡要。《吳子·論將》：「約者，法令省而不煩。」李籍云：「約者，欲其不煩。」這裡是約簡。 〔3〕約分：約簡分數。約分術，就是約簡分數的方法。 〔4〕不可悉全：不可能都是整數。悉，副詞，全，都。全，整數。 〔5〕必以分言之：必須以分數表示之。劉徽在這裡說明分數產生的最初的原因。言，記載，表示。 〔6〕繁而言之：繁瑣地表示之。 〔7〕約而言之：約簡地表示之。 〔8〕此謂。 〔9〕推：計算。 〔10〕動有參差（cēn cī）：往往有參差不齊的情形。動，往往。《史記·律書》：「且兵兇器，雖克所願，動亦耗病。」參差，長短、高低、大小不等。《詩經·周南·關雎》：「參差荇菜，左右流之。」 〔11〕諸分：各種分數運算法則。 〔12〕可半者半之：可以取其一半的就取其一半。亦即分子、分母都是偶數的情形，可以被2除。 〔13〕副置：即在旁邊布置算籌。李籍云：「別設算位，有所分也。」副，貳，次要的（區別於主或正）。段玉裁《說文解字注》：「周人言貳，漢人言副，古今語也。」李籍云：副，「敷救切，別也」。置，「陟吏切，設也」。 〔14〕更相減損：相互減損。這是一種與輾轉相除法異曲同工的運算程序。更相，相互。《史記·張丞相列傳》：「田文言曰：『今此三君者，皆丞相也。』其後三人竟更相代為丞相。」減損，減少。《史記·禮書》：「叔孫通頗有所增益減損。」 〔15〕等：等數的簡稱。等數，今之最大公約數。因它是分子、分母更相減損，至兩者的餘數相等而得出的，故名。 〔16〕以等數約之：以等數同時除分子與分母。 〔17〕皆等數之重疊：分子、分母都是等數的重疊。設分母、分子分別為a，b，等數為rn-1=rn，計算每次更相減損的餘數ri，i=1，2，3，…n，則 rn-2=rn-1qn+rn=rn（qn+1）， rn-3=rn-2qn-1+rn-1=rn（qnqn-1+qn-1+1）， rn-4=rn-3qn-2+rn-2=rn（qnqn-1qn-2+qn-1qn-2+qn-2+qn+1）， … b=rnP（q2，q3，…qn）， a=rnQ（q1，q2，…qn）。 其中P，Q分別是q2，q3，…qn與q1，q2，…qn的多項式，是整數。因此a，b都是rn的倍數，故云皆等數之重疊。 【譯文】 假設有。問：約簡它，得多少？ 答：。 又假設有。問：約簡它，得多少？ 答：。 約分按：要約分，是因為事物的數量，不可能都是整數，必須用分數表示之；而分數作為一個數，太繁瑣就難以使用。假設有，繁瑣地表示之，又可以成為；約簡地表示之，就是。雖然表示形式不同，而作為數，還是同樣的結果。法與實互相推求，常常有參差不齊的情況，所以探討計算法則的人首先要研究各種分數的運算法則。術：可以取分子、分母一半的，就取它們的一半；如果不能取它們的一半，就在旁邊布置分母、分子的數值，以小減大，輾轉相減，求出它們的等數。用等數約簡之。用等數約簡之，就是除。之所以用它們輾轉相減，是因為分子、分母都是等數的重疊。所以用等數約簡之。 今有三分之一，五分之二。問：合之得幾何〔1〕？ 荅曰：十五分之十一。 又有三分之二，七分之四，九分之五。問：合之得幾何？ 荅曰：得一、六十三分之五十。 又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問：合之得幾何？ 荅曰：得二、六十分之四十三。 合分〔2〕臣淳風等謹按：合分知〔3〕，數非一端，分無定準，諸分子雜互，群母參差。粗細既殊，理難從一。故齊其眾分，同其群母〔4〕，令可相併〔5〕，故曰合分。術曰：母互乘子，並以為實。母相乘為法。母互乘子，約而言之者，其分粗〔6〕；繁而言之者，其分細〔7〕。雖則粗細有殊，然其實一也。眾分錯難，非細不會〔8〕。乘而散之，所以通之〔9〕。通之則可並也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同〔10〕。同者，相與通同共一母也；齊者，子與母齊，勢不可失本數也〔11〕。方以類聚，物以群分〔12〕。數同類者無遠；數異類者無近。遠而通體知，雖異位而相從也；近而殊形知，雖同列而相違也〔13〕。然則齊同之術要矣〔14〕：錯綜度數，動之斯諧〔15〕，其猶佩觿解結〔16〕，無往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀乎〔17〕。　　其一術者〔18〕，可令母除為率〔19〕，率乘子為齊〔20〕。實如法而一〔21〕。不滿法者，以法命之〔22〕。今欲求其實，故齊其子，又同其母，令如母而一。其餘以等數約之，即得知。所謂同法為母，實余為子，皆從此例。其母同者，直相從之〔23〕。 【注釋】 〔1〕合：聚合，聚集。《論語·憲問》：「桓公九合諸侯。」進而引申為合併，相加。 〔2〕合分：將分數相加。李籍云：「合分者，欲其不離。」合分術，就是將分數相加的方法。 〔3〕合分知：與下文「遠而通體知」、「近而殊形知」，此三「知」字，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔4〕齊：使一個數量與其相關的數量同步增長的運算。此處謂使各個分數的分子分別與其分母同步增長，即劉徽所說「母互乘子謂之齊」。　　同：使幾組數量中某同類數相同的運算。此處謂使各個分數的分母相同，即劉徽所說「群母相乘謂之同」。 〔5〕並：即相加。表示「加」，古代有「合」、「並」、「從」、「和」等術語。 〔6〕粗：指數值大。分數約簡後分數單位變大，亦即「約以聚之」。若分子、分母有等數m，a=mp，b=mq，則。 〔7〕細：指數值小。分子、分母同乘一數，使分數單位變小，亦即「乘以散之」。即，其中m是正整數。 〔8〕眾分錯難，非細不會：諸分數錯互（指分數單位不同一），難以處理，不將它們的分數單位變小，便不能相會通。 〔9〕通：通過等量變換使各組數量會通的運算。對分數而言就是通分。 〔10〕這是劉徽關於齊、同的定義。 〔11〕「齊者」三句：此謂通過「同」的運算，使諸分數有一共同的分母，而通過「齊」的運算，使諸分數的值不喪失什麼，亦即其值保持不變。勢，本義是力量，威力，權力，權勢。引申為形勢，態勢。失，遺失，喪失，丟掉。《說文解字》：「失，縱也。」段玉裁註：「失，一曰舍也。」 〔12〕方以類聚，物以群分：義理按類分別相聚，事物按群分門別類。語出《周易·繫辭上》：「方以類聚，物以群分，吉凶生矣。」孔穎達疏：「方，道也。」方，義理，道理。 〔13〕「數同類者」六句：劉徽借鑑稍前的何晏的「同類無遠而相應，異類無近而不相違」，反其意而用之，是說同類的數不管表面上有什麼差異，總還是相近的；不同類的數不管表面上多麼接近，其差異總是很大的。通體，相似、相通。相從，狹義地指相加，廣義地指相協調。 〔14〕齊同術：在數學運算中，「齊」與「同」一般同時運用，稱為「齊同術」，今稱為「齊同原理」。它最先產生於分數的通分，如分數，通分後化成，就是同其母，齊其子。後來推廣到率的運算中。 〔15〕錯綜度數，動之斯諧：錯綜複雜的數量，施之齊同術就會和諧。斯，則，就。 〔16〕猶：好像，如同。《左傳·隱公四年》：「夫兵，猶火也。」　　觿（xī）：古代用以解繩結的角錐。《詩經·衛風·芃蘭》：「芃蘭之支，童子佩觿。」 〔17〕「乘以散之」四句：劉徽在這裡將「乘以散之，約以聚之，齊同以通之」這三種等量變換看成「算之綱紀」。這三種等量變換本來源於分數運算，劉徽將其從分數推廣到「率」的運算中，實際上將「率」看成「算之綱紀」。綱紀，大綱要領，法度。《荀子·勸學》：「禮者，法之大分、類之綱紀也。」 〔18〕其一術：另一種方法。 〔19〕母除為率：指分別以各分數的分母除眾分母之積，以其結果作為這個分數的率。 〔20〕率乘子為齊：以各個率乘各自的分子，就是齊。 〔21〕母互乘子，並以為實。母相乘為法。實如法而一：即分數加法法則 顯然這裡分數的加法沒有用到分母的最小公倍數。 〔22〕以法命之：即以法為分母命名一個分數。命，命名。 〔23〕其母同者，直相從之：如果各個分數的分母相同，就直接相加。直，徑直，直接。《史記·魏公子列傳》：「侯生攝敝衣冠，直上載公子上座，不讓。」從，本義是隨從，此處是「加」的意思。 【譯文】 合分淳風等按：合分，是因為分數不止一個，分數單位也不同一；諸分子互相錯雜，眾分母參差不齊；分數單位的大小既然不同，從道理上說難以遵從其中一個數。因此，要讓各個分數分別與分母相齊，讓眾分母相同，使它們可以相加，所以叫作合分。術曰：分母互乘分子，相加作為實。分母相乘作為法。分母互乘分子：約簡地表示一個分數，其分數單位大；繁瑣地表示一個分數，其分數單位小。雖然單位的大小有差別，然而其實是一個。各個分數互相錯雜，難以處理，不將其分數單位化小，就不能會通。通過乘就使分數單位散開，藉此使它們互相通達。使它們互相通達就可以相加。凡是分母互乘分子，就把它叫作齊；眾分母相乘，就把它叫作同。同就是使諸分數相互通達，有一個共同的分母；齊就是使分子與分母相齊，其態勢不會改變本來的數值。各種方法根據各自的種類聚合在一起，天下萬物根據各自的性質分離成不同的群體。數隻要是同類的就不會相差很遠，數隻要是異類的就不會很切近。相距很遠而能相通者，雖在不同的位置上，卻能互相依從；相距很近而有不同的形態，即使在相同的行列上，也會互相背離。那麼，齊同之術是非常關鍵的：不管多麼錯綜複雜的度量、數值，只要運用它就會和諧，這就好像用佩戴的觽解繩結一樣，不論碰到什麼問題，沒有不能解決的。乘使之散開，約使之聚合，齊同使之互相通達，這難道不是算法的綱紀嗎？另一術：可以用分母除眾分母之積作為率，用率分別乘各分子作為齊。實除以法。實不滿法者，就用法命名一個分數。現在要求它們的實，所以使它們的分子分別相齊，使它們的分母相同，用分母分別相除。其餘數用等數約簡，就得到結果。所謂相同的法作為分母，實中的餘數作為分子的情況，都遵從此例。如果分母本來就相同，便直接將它們相加。 今有九分之八，減其五分之一。問：余幾何？ 荅曰：四十五分之三十一。 又有四分之三，減其三分之一。問：余幾何？ 荅曰：十二分之五。 減分〔1〕臣淳風等謹按：諸分子、母數各不同，以少減多，欲知余幾，減余為實，故曰減分。術曰：母互乘子，以少減多，余為實。母相乘為法。實如法而一〔2〕。「母互乘子」知〔3〕，以齊其子也，「以少減多」知，齊故可相減也。「母相乘為法」者，同其母。母同子齊，故如母而一，即得。 今有八分之五，二十五分之十六。問：孰多？多幾何？ 荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。 又有九分之八，七分之六。問：孰多？多幾何？ 荅曰：九分之八多，多六十三分之二。 又有二十一分之八，五十分之十七。問：孰多？多幾何？ 荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。課分〔4〕臣淳風等謹按：分各異名，理不齊一，校其相多之數，故曰課分也。術曰：母互乘子，以少減多，余為實。母相乘為法。實如法而一，即相多也〔5〕。臣淳風等謹按：此術母互乘子，以少分減多分。按〔6〕：此術多與減分義同。唯相多之數，意共減分有異：減分知〔7〕，求其餘數有幾；課分知，以其餘數相多也。 【注釋】 〔1〕減分：將分數相減。李籍雲「減分者，欲知其餘」。減，《說文解字》與李籍均云：「減，損也。」減分術，就是將分數相減的方法。 〔2〕「母互乘子」五句：即分數減法法則，設，則 〔3〕知：與下文「『以少減多』知」，二「知」字，訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔4〕課分：就是考察分數的大小。李籍云：「欲知其相多。」課，考察，考核。《管子·明法》：「明分職而課。」李籍云：課，「校也」。課分術，就是比較分數大小的方法。元、明的著作常將兩者歸結為同一術，或稱為減分術，或稱為課分術。 〔5〕課分術的程序與減分術（1-3）基本相同。 〔6〕李淳風等指出減分術與課分術的區別：前者是求餘數是多少，後者是將餘數看作相多的數。 〔7〕減分知：與下文「課分知」，兩「知」字訓「者」，說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 【譯文】 減分淳風等按：諸分子、分母的數值各不相同，以小減大，要知道余幾。使相減的餘數作為實，所以叫作減分。術：分母互乘分子，以小減大，餘數作為實。分母相乘作為法。實除以法。「分母互乘分子」，是為了使它們的分子相齊；「以小減大」，是因為分子已經相齊，故可以相減。「分母相乘作為法」，是為了使它們的分母相同。分母相同，分子相齊，所以相減的餘數除以分母，即得結果。 課分淳風等按：諸分數各有不同的分數單位，在數理上不整齊劃一。比較它們相多的數，所以叫作課分。術：分母互乘分子，以小減大，餘數作為實。分母相乘作為法。實除以法，就得到相多的數。淳風等按：此術中分母互乘分子，以小減大。按：此術與減分的意義大體相同，只是求相多的數，意思跟減分有所不同：減分是求它們的餘數有幾，課分是將餘數看作相多的數。 今有三分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少〔1〕，各幾何而平〔2〕？ 荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，並，以益三分之一，而各平於十二分之七〔3〕。 又有二分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，各幾何而平？ 荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，並，以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。 平分〔4〕臣淳風等謹按：平分知〔5〕，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也。術曰：母互乘子，齊其子也。副並為平實〔6〕。臣淳風等謹按：母互乘子，副並為平實知，定此平實主限，眾子所當損益知，限為平〔7〕。母相乘為法。「母相乘為法」知，亦齊其子，又同其母〔8〕。以列數乘未並者各自為列實。亦以列數乘法〔9〕。此當副置列數除平實，若然則重有分，故反以列數乘同齊〔10〕。　　臣淳風等謹又按：問雲所平之分多少不定，或三或二，列位無常。平三知，置位三重；平二知，置位二重。凡此之例，一準平分不可預定多少，故直雲列數而已。以平實減列實〔11〕，余，約之為所減〔12〕。並所減以益於少〔13〕。以法命平實，各得其平〔14〕。 【注釋】 〔1〕益：增加。方程章之「損益」，與此「益」同義。宋元時期又用之表示開方式的負係數，如「益隅」就是負的最高次冪。 〔2〕平：平均值。李籍云：「均也。」 〔3〕此處「二」、「一」均是以十二為分母的分數的分子。這是說從減，從減，將加到上，得到它們的平均值。這實際上是將分母先置於旁邊。下問同此。這種方法在宋元時期發展為處理分式運算的方式，稱為「寄母」。 〔4〕平分：求幾個分數的平均值。李籍云：「平分者，欲減多增少，而至於均。」平分術，求幾個分數的平均值的方法。以求三個分數的平均值為例。列數是3。 〔5〕平分知：與下文「平實知」、「損益知」、「母相乘為法知」，此四「知」字，訓「者」，說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔6〕並：加。李籍云：「兼也。別兼算位，有所合也。」　　平實：分母互乘分子，求其和，稱為平實。分子分別得adf，bcf，bde，平實為adf+bcf+bde。 〔7〕「定此平實主限」三句：確定這個平實作為主要的界限。各個分子所應當減損增益的，以這個界限作為標準。 〔8〕齊其子：分母互乘分子就是齊其子。　　同其母：分母相乘就是同其母。分母得bdf，稱為法。 〔9〕「以列數乘未並者」二句：以列數乘相齊後還沒有相加的分子，得列實3adf，3bcf，3bde。又以列數乘法，得3bdf。未並者，指相齊後還沒有相加的分子。 〔10〕「此當副置列數除平實」三句：這是說，《九章算術》的方法有些曲折，本來用列數先除平實，再用法除即可。但是如此可能出現「重有分」的情形，故反過來，用列數乘同，得3bdf，又用列數乘齊，得3adf，3bcf，3bde。重有分，即今之繁分數。同，指術文中的法。齊，指術文中的「未並者」。 〔11〕以平實減列實：得3adf-（adf+bcf+bde），3bcf-（adf+bcf+bde），3bde-（adf+bcf+bde）。 〔12〕約之為所減：是指以平實減列實的餘數與法3bdf約簡（見下注），作為應該從大的數中減去的分子。 〔13〕並所減以益於少：將應該減去的分子相加，增益到小的分子上。 〔14〕以法命平實，各得其平：以法除平實，得到平均值。此即。法，指列數與原「法」之積3bdf。之所以仍稱為「法」，是因為此位置為「法」，是位值制的一種表示。 【譯文】 平分淳風等按：平分是當各個分數參差不齊時，想使它們齊等。減那個分數所多的部分，增益這個分數所少的部分，所以叫作平分。術：分母互乘分子，這是為了使它們的分子相齊。在旁邊將它們相加作為平實。淳風等按：「分母互乘分子，在旁邊將它們相加作為平實」，是為了確立這個平實作為主要的界限。各個分子所應當減損的、增益的，以這個界限作為標準。分母相乘作為法。「分母相乘作為法」的原因是，既然已使它們的分子相齊，也應該使它們的分母相同。以分數的個數乘未相加的分子，各自作為列實。同時以分數的個數乘法。這本來應當在旁邊布置分數的個數去除平實。如果那樣做，就會出現雙重分數，所以反過來用分數的個數乘同與齊。　　淳風等又按：問題給出的要求其平均值的分數的個數多少不一定，有時是3個，有時是2個，個數不固定。求3個分數的平均值，就布置3位，求2個分數的平均值，就布置2位。凡是這類例子，求其平均值的分數的個數不能預定多少，所以直接說「個數」就夠了。用平實減列實，用法將其餘數約簡，作為應該從大的數中減去的分子。將應該減去的分子相加，增益到小的分子上。用法除平實，便得到各分數的平均值。 今有七人，分八錢三分錢之一〔1〕。問：人得幾何？ 荅曰：人得一錢二十一分錢之四。 又有三人三分人之一，分六錢三分錢之一、四分錢之三。問：人得幾何？ 荅曰：人得二錢八分錢之一。 經分〔2〕臣淳風等謹按：經分者，自合分已下，皆與諸分相齊，此乃直求一人之分。以人數分所分，故曰經分也〔3〕。術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之〔4〕；母互乘子知〔5〕，齊其子；母相乘者，同其母；以母通之者，分母乘全內子〔6〕。乘，散全則為積分〔7〕，積分則與分子相通之，故可令相從。凡數相與者謂之率〔8〕。率知，自相與通〔9〕。有分則可散，分重疊則約也〔10〕。等除法實，相與率也〔11〕。故散分者，必令兩分母相乘法實也。重有分者同而通之〔12〕。又以法分母乘實，實分母乘法〔13〕。此謂法、實俱有分，故令分母各乘全分內子〔14〕，又令分母互乘上下。 【注釋】 〔1〕由秦漢數學簡牘知道，先秦的名數分數的表示方式也多種多樣。比如現今的以尺為單位的分數尺（m，a，b均為正整數），有的在「分」後無名數單位，表示成m尺b分a，或m尺b分之a。有的在「分」後有名數單位，表示成m尺b分尺a，或m尺有b分尺之a，或m尺b分尺之a。張蒼等整理《九章算術》，遂統一為m尺b分尺之a。 〔2〕經分：本義是分割分數，也就是分數相除。李籍云：「經分者，欲徑求一人之分而至於徑。」似受李淳風等影響，未必符合原意。經，劃分，分割。《孟子·滕文公》：「夫仁政必自經界始。」李籍引《釋名》曰：「經者，徑也。」經分術，分數除法。「經分」在《算數書》中作「徑分」。《九章算術》與《算數書》中的經分術的例題中被除數都是分數，而除數可以是分數也可以是整數。但在本卷乘分術劉徽注、卷三衰分術的劉徽注、卷二反其率術的李淳風等注釋中，將除數、被除數都是整數的除法也稱為經分，不知是不是符合《九章算術》之義。 〔3〕李淳風等將「經分」理解成「以人數分所分」，「直求一人之分」，也就是說含有整數除法。 〔4〕有分者通之：此言實即被除數是分數，法即除數是整數的情形。此時需將實與法通分，其法則是 〔5〕母互乘子知：與下文「率知」，此二「知」字，訓「者」，其說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔6〕以母通之者，分母乘全內子：此謂以分母通分，就是將分數的整數部分乘以分母后納入分子，化成假分數。內（nà），交入，納入，後作「納」。《史記·秦始皇本紀》：「百姓內粟千石，拜爵一級。」 〔7〕積分：即分之積，與「積步」、「積里」、「積尺」等術語同類。「積分」與現代數學的積分當然不同，但兩者的淵源關係是不言而喻的。清末李善蘭等以此翻譯「integral」，非常恰當。 〔8〕凡數相與者謂之率：凡諸數相關就稱之為率。這是劉徽關於「率」的定義。相與，相關。《周易·咸》：「二氣感應以相與。」 〔9〕自：本來，本是。《樂府詩集》：「東家有賢女，自名秦羅敷。」 〔10〕有分則可散，分重疊則約也：如果有分數就可以散開，分數單位重疊就可以約簡。散，散分。通過乘以散之，即下文之「兩分母相乘法實」，化成相與率。 〔11〕相與率：就是沒有等數（公約數）的一組率關係。劉徽在運算中經常使用相與率，它在某種意義上彌補了中國古算中沒有互素概念的不足。 〔12〕重（chónɡ）有分：在這裡是分數除分數的情形，將除寫成分數的關係，就是繁分數。其法則是 〔13〕以法分母乘實，實分母乘法：這是分數除法中的顛倒相乘法 過去，中國數學史界一直認為這是劉徽的首創。實際上，《算數書》「啟從」條提出「廣分子乘積分母為法，積分子乘廣分母為實」，就是分數除法中的顛倒相乘法。可見先秦時人們已經掌握了顛倒相乘法，張蒼等整理《九章算術》時沒有採用。 〔14〕全分：即「全」，整數部分。 【譯文】 經分淳風等按：經分，自合分術以下，皆使諸分數相齊。這裡卻是直接求一人所應分得的部分。用人數去分所分的數，所以叫作經分。術：把人數作為法，錢數作為實，實除以法。如果有分數，就將其通分。分母互乘分子，是為了使它們的分子相齊；分母相乘，是為了使它們的分母相同；用分母將其通分，使用分母乘整數部分再納入分子。通過乘將整數部分散開，就成為積分。積分就與分子相通達，所以可以使它們相加。凡是互相關聯的數量，就把它們叫作率。率，本來就互相關聯通達；如果有分數就可以散開，分數單位重疊就可以約簡；用等數除法與實，就得到相與率。所以，散分就必定使兩分母互乘法與實。有雙重分數的，就要化成同分母而使它們通達。又可以用法的分母乘實，用實的分母乘法。這裡是說法與實都是分數，所以分別用分母乘整數部分納入分子，又用分母互乘分子、分母。 今有田廣七分步之四，從五分步之三。問：為田幾何？ 荅曰：三十五分步之十二。 又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問：為田幾何？ 荅曰：十一分步之七。 又有田廣五分步之四，從九分步之五〔1〕。問：為田幾何？ 荅曰：九分步之四。 乘分〔2〕臣淳風等謹按：乘分者，分母相乘為法，子相乘為實，故曰乘分。術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一〔3〕。凡實不滿法者而有母、子之名〔4〕。若有分，以乘其實而長之〔5〕。則亦滿法，乃為全耳〔6〕。又以子有所乘，故母當報除〔7〕。報除者，實如法而一也。今子相乘則母各當報除，因令分母相乘而連除也〔8〕。此田有廣、從，難以廣諭。設有問者曰：馬二十匹，直金十二斤〔9〕。今賣馬二十匹，三十五人分之，人得幾何？荅曰：三十五分斤之十二。其為之也，當如經分術，以十二斤金為實，三十五人為法。設更言馬五匹，直金三斤。今賣四匹，七人分之，人得幾何？荅曰：人得三十五分斤之十二。其為之也，當齊其金、人之數，皆合初問入於經分矣〔10〕。然則「分子相乘為實」者，猶齊其金也；「母相乘為法」者，猶齊其人也。同其母為二十，馬無事於同，但欲求齊而已〔11〕。又，馬五匹，直金三斤，完全之率〔12〕；分而言之，則為一匹直金五分斤之三〔13〕。七人賣四馬，一人賣七分馬之四〔14〕。金與人交互相生，所從言之異，而計數則三術同歸也〔15〕。 今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二。問：為田幾何？ 荅曰：十八步。 又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五。問：為田幾何？ 荅曰：一百二十步九分步之五。 又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六。問：為田幾何？ 荅曰：一畝二百步十一分步之七。 大廣田〔16〕臣淳風等謹按：大廣田知〔17〕，初術直有全步而無餘分〔18〕；次術空有餘分而無全步〔19〕；此術先見全步復有餘分〔20〕，可以廣兼三術，故曰大廣〔21〕。術曰：分母各乘其全，分子從之，「分母各乘其全，分子從之」者，通全步內分子，如此則母、子皆為實矣。相乘為實。分母相乘為法。猶乘分也。實如法而一〔22〕。今為術廣從俱有分，當各自通其分。命母入者，還須出之，故令「分母相乘為法」而連除之。 【注釋】 〔1〕此問是廣大於從的情形。 〔2〕乘分：分數相乘。李籍云：「乘分者，欲知其所積。」乘分術，就是分數相乘的方法。李籍云：「自合分已下，獨乘言田，而皆列於方田者，欲其學數者不可後也。故說算者以謂『為術者先治諸分』。能治諸分，則數學之能事盡矣。」這裡道出了將分數四則運算法則列入方田章的原因。 〔3〕「母相乘為法」三句：此即分數乘法法則。 〔4〕凡實不滿法者而有母、子之名：當實除以法時，如果出現實不滿法的情形，即有餘數，則以餘數作為分子，法作為分母，就成為一個分數。這是分數產生的第二種方式。 〔5〕若有分，以乘其實而長之：如果有分數，以某數乘其實（分子），會使它增長。 〔6〕則亦滿法，乃為全耳：則如果有滿法（分母）的部分，就得到整數。亦，連詞，相當於假如。《詩經·小雅·雨無正》：「雲不可使，得罪於投資，亦云可使，怨及朋友。」全，整數。 〔7〕報除：回報以除。報，回報，回贈。《詩經·衛風·木瓜》：「投我以木瓜，報之以瓊琚。」 〔8〕今子相乘則母各當報除，因令分母相乘而連除：如果分子相乘，則應當分別以分母回報以除，因而將分母相乘而連在一起除。即。連除，連在一起除。連，聯合，連接。 〔9〕直：值，價格。《史記·平準書》：「乃以白鹿皮方尺，緣以藻績，為皮幣，直四十萬。」 〔10〕入於經分：納入經分術。劉徽此處亦將整數相除歸於經分。入，納入。卷五劉徽注「以負土術入之」，卷八《九章算術》經文「以方程術入之」，皆同義。 〔11〕此是以齊同術解賣馬分金的問題。 〔12〕完全：整數。5匹馬值3斤金，都是整數。 〔13〕分而言之：以分數表示之。1匹馬值斤金，是分數。 〔14〕此是以乘分術解賣馬分金的問題。 〔15〕三術：指解決此問的經分術、齊同術和乘分術。 〔16〕大廣田：《算數書》的「大廣」條提出大廣術，與此基本一致。 〔17〕知：訓「者」，說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔18〕初術：指方田術，此術中的數都是整數。　　直：只，只是，僅。《孟子·梁惠王上》：「直不百步耳，是亦走也。」　　余分：分數部分。 〔19〕次術：指乘分術，此術中的數都是真分數。　　空：只，僅。《齊民要術》：「取石首魚、麨魚、鯔魚三種腸、肚、胞，齊淨洗，空著白鹽。」 〔20〕見（xiàn）：顯露，顯現。《廣韻》：「見，露也。」《周易·乾》：「見龍在田。」下文「見徑」、「見其形」、「見冪」之「見」均同。 〔21〕三術：是方田術、乘分術和大廣田術。 〔22〕「分母各乘其全」五句：設兩個帶分數為和，其中a，b分別是兩個分數的整數部分。其法則就是 【譯文】 乘分淳風等按：對於乘分，分母相乘作為法，分子相乘作為實，所以叫作乘分。術：分母相乘作為法，分子相乘作為實，實除以法。凡是有實不滿法的情況才有分母、分子的名稱。若有分數，通過乘它的實而擴大它，則如果滿了法，就形成整數部分。又因為分子有所乘，所以在分母上應當用除回報。用除回報，就是實除以法。如果分子相乘，則應當分別以分母回報以除，因而將分母相乘而連在一起除。這裡田地有寬、長，難以比喻更多的方面。假設有人問：20匹馬值12斤金。如果賣掉20匹馬，35人分所得的金，每人得多少？答：斤金。那處理它的方式，應當像經分術那樣，以12斤金作為實，以35人作為法。又假設說：5匹馬，值3斤金，如果賣掉4匹，7人分所得的金，每人得多少？答：每人得斤金。那處理它的方式，應當使金、人的數相齊，都符合開始的問題，而納入經分術了。那麼，「分子相乘作為實」，如同使其中的金相齊；「分母相乘作為法」，如同使其中的人相齊。使它們的分母相同，成為20。馬除了用來使分母相同之外沒有什麼作用，只是想用它求金、人相齊之數罷了。又，5匹馬，值3斤金，這是整數之率；若用分數表示之，就是1匹馬值斤金。7人賣4匹馬，1人賣匹馬。金與人交互相生。表示它們的言辭雖然不同，然而計算所得的數值，則三種方法殊途同歸。 大廣田淳風等按：開頭的術只有整數步而無分數，第二術只有分數而無整數步，此術先出現整數步，又有分數，可以廣泛地兼容三種術，所以叫作大廣。術：分母分別乘自己的整數部分，加入分子，「分母分別乘自己的整數部分，加入分子」，這是將整數部分通分，納入分子。這樣，分子、分母都化成為實。互相乘作為實。分母相乘作為法。如同乘分術。實除以法。現在所建立的術是寬、長都有分數部分，應當各自通分。既然分母已融入分子，那麼還必須將它剔除，所以將分母相乘作為法而一下子除。 今有圭田廣十二步〔1〕，正從二十一步〔2〕。問：為田幾何？ 荅曰：一百二十六步。 又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二〔3〕。問：為田幾何？ 荅曰：二十三步六分步之五。 術曰：半廣以乘正從〔4〕。半廣知〔5〕，以盈補虛為直田也〔6〕。亦可半正從以乘廣〔7〕。按半廣乘從，以取中平之數〔8〕，故廣從相乘為積步〔9〕。畝法除之，即得也。 【注釋】 〔1〕圭田：本是古代卿大夫士供祭祀用的田地。《孟子·滕文公上》：「卿以下必有圭田。」圭田應是等腰三角形。李籍云：「圭田者，其形上銳有如圭然。」《九章算術》之圭田可以理解為三角形。如圖1-2（1）。《夏侯陽算經》「圭田」自注云「三角之田」。圭，本是古代帝王、諸侯舉行隆重儀式所執玉制禮器，上尖下方。李籍引《白虎通》曰：「圭者，上銳，象物皆生見於上也者。」 圖1-2　圭田 （采自譯註本《九章算術》） 〔2〕正從：即「正縱」，三角形的高。 〔3〕從八步三分步之二：此圭田給出「從」，而不說「正從」，可見從就是正從，即其高。因此此圭田應是勾股形。 〔4〕這是圭田面積公式 其中S，a，h分別是圭田的面積、廣和正從。 〔5〕知：訓「者」，說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔6〕以盈補虛：在卷五稱為「損廣補狹」，在卷九稱為「出入相補」，今通稱為出入相補原理。出入相補原理基於這樣兩個明顯的事實：一是將一個圖形平移或旋轉不改變該圖形的面積或體積，一是將一個圖形分割成若干部分，則所有這些部分的面積或體積的總和等於原圖形的面積或體積。圭田面積的以盈補虛方法如圖1-2（2）所示。 〔7〕這是劉徽記載的圭田面積的另一公式。其以盈補虛方法如圖1-2（3）所示。 〔8〕中平之數：平均值。中平，中，中等，平均。 〔9〕此是劉徽記載的關於圭田面積公式的推導。將圖1-2（2），1-2（3）中的Ⅰ，Ⅱ分別移到Ⅰ′，Ⅱ′處，便將圭田化為直田，由方田術求解。 【譯文】 假設有一塊圭田，寬12步，長21步。問：田的面積是多少？ 答：126步2。 又假設有一塊圭田，寬步，長步。問：田的面積是多少？ 答：步2。 術：用寬的一半乘高。取寬的一半，是為了以盈補虛，使它變為長方形田。又可以取高的一半，以它乘寬。按：寬的一半乘高，是為了取其寬的平均值，所以寬與長相乘成為積步。以畝法除之，就得到答案。 今有邪田〔1〕，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步〔2〕。問：為田幾何？ 荅曰：九畝一百四十四步。 又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步〔3〕。問：為田幾何？ 荅曰：二十三畝七十步。 術曰：並兩邪而半之〔4〕，以乘正從若廣〔5〕。又可半正從若廣，以乘並〔6〕。畝法而一。並而半之者，以盈補虛也〔7〕。 今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步〔8〕，正從三十步。問：為田幾何？ 荅曰：一畝一百三十五步。 又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問：為田幾何？ 荅曰：四十六畝二百三十二步半。 術曰：並踵、舌而半之，以乘正從。畝法而一〔9〕。中分箕田則為兩邪田，故其術相似〔10〕。又可並踵、舌，半正從以乘之〔11〕。 【注釋】 〔1〕此問之邪田如圖1-3（1）所示。　　邪田：直角梯形。邪，斜。 圖1-3　邪田 （采自譯註本《九章算術》） 〔2〕正從：高。 〔3〕此問之邪田如圖1-3（2）所示。兩問之邪田在數學上沒有什麼不同。　　正廣：指直角梯形兩直角間的邊。　　畔：邊側。 〔4〕兩邪：指與邪邊相鄰的兩廣或兩從，此是古漢語中實詞活用的修辭方式。 〔5〕以乘正從若廣：以並兩邪而半之乘正從或廣。若，訓「或」，或者。《左傳·定公元年》：「若從踐土，若從宋，亦唯命。」商功章城、垣、堤、溝、塹、渠術，芻童、曲池、盤池、冥谷術之「若」與此同義。這裡給出邪田面積公式 其中S，a1，a2，h分別是邪田的面積、一頭廣或一畔從、另一頭廣或一畔從，以及正從或廣。 〔6〕此給出邪田面積的另一公式 〔7〕證明以上兩個公式的以盈補虛方法分別如圖1-3（3），（4）所示。分別將Ⅰ分別移到Ⅰ′處即可。 〔8〕箕田：是形如簸箕的田地，即一般的梯形，如圖1-4（1）。李籍云：「箕田者，有舌有踵，其形哆侈，如有箕然。」又引《詩經》曰：「哆兮侈兮，成是南箕。」箕，簸箕，簸米去糠的器具。　　踵：腳後跟。舌和踵分別是梯形的上底與下底。 圖1-4　箕田 （采自譯註本《九章算術》） 〔9〕此給出箕田面積公式，其中S，a1，a2，h分別是箕田的面積、舌、踵和正縱，與（1-7-1）相同。 〔10〕箕田分割成兩邪田，如圖1-4（2）所示。　　相似：相類，相像。《周易·繫辭上》：「與天地相似，故不違。」 〔11〕劉徽提出箕田的另一面積公式，與（1-7-2）相同。 【譯文】 假設有一塊斜田，一頭寬30步，一頭寬42步，長64步。問：田的面積是多少？ 答：9畝144步2。 又假設有一塊斜田，寬65步，一側的長100步，另一側的長72步。問：田的面積是多少？ 答：23畝70步2。 術：求與斜邊相鄰兩寬或兩長之和，取其一半，以乘長或寬。 又可以取其長或寬的一半，用以乘兩寬或兩長之和。除以畝法。求其和，取其一半，這是以盈補虛。 假設有一塊箕田，舌處寬20步，踵處寬5步，長30步。問：田的面積是多少？ 答：1畝135步2。 又假設有一塊箕田，舌處寬117步，踵處寬50步，長135步。問：田的面積是多少？ 答：46畝步2。 術：求踵、舌處的兩寬之和而取其一半，以它乘長。除以畝法。從中間分割箕田，則成為兩塊斜田，所以它們的術相似。又可求踵、舌處兩寬之和，取長的一半，用來相乘。 今有圓田〔1〕，周三十步，徑十步〔2〕。臣淳風等謹按：術意以周三徑一為率，周三十步，合徑十步。今依密率〔3〕，合徑九步十一分步之六。問：為田幾何？ 荅曰：七十五步。此於徽術〔4〕，當為田七十一步一百五十七分步之一百三。　　臣淳風等謹依密率，為田七十一步二十二分步之一十三。 又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。臣淳風等謹按：周三徑一，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。依密率，徑五十七步二十二分步之十三。問：為田幾何？ 荅曰：十一畝九十步十二分步之一。此於徽術，當為田十畝二百八步三百一十四分步之一百一十三。　　臣淳風等謹依密率，為田十畝二百五步八十八分步之八十七。 術曰：半周半徑相乘得積步〔5〕。按：半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步也〔6〕。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面〔7〕，與圓徑之半，其數均等。合徑率一而弧周率三也〔8〕。　　又按：為圖〔9〕，以六觚之一面乘一弧半徑〔10〕，因而三之〔11〕，得十二觚之冪〔12〕。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑〔13〕，因而六之〔14〕，則得二十四觚之冪。割之彌細〔15〕，所失彌少〔16〕。割之又割，以至於不可割〔17〕，則與圓周合體而無所失矣〔18〕。觚面之外，猶有餘徑〔19〕，以面乘余徑，則冪出弧表〔20〕。若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑〔21〕。表無餘徑，則冪不外出矣〔22〕。以一面乘半徑，觚而裁之〔23〕，每輒自倍〔24〕。故以半周乘半徑而為圓冪〔25〕。此以周、徑，謂至然之數〔26〕，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環耳〔27〕。以推圓規多少之覺〔28〕，乃弓之與弦也〔29〕。然世傳此法，莫肯精核；學者踵古〔30〕，習其謬失〔31〕。不有明據，辯之斯難。凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也〔32〕。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬〔33〕，故置諸檢括〔34〕，謹詳其記注焉〔35〕。　　割六觚以為十二觚術曰：置圓徑二尺，半之為一尺，即圓里觚之面也。令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股〔36〕：以句冪二十五寸減弦冪〔37〕，餘七十五寸，開方除之，下至秒、忽〔38〕。又一退法，求其微數〔39〕。微數無名知以為分子〔40〕，以十為分母，約作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二〔41〕。以減半徑，餘一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面而又謂之小股。為之求弦〔42〕。其冪二千六百七十九億四千九百一十九萬三千四百四十五忽〔43〕，余分棄之〔44〕。開方除之，即十二觚之一面也〔45〕。　　割十二觚以為二十四觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股〔46〕。置上小弦冪，四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬八千三百六十一忽，余分棄之，即句冪也〔47〕。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之四〔48〕。以減半徑，餘三分四厘七秒四忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦〔49〕。其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，余分棄之〔50〕。開方除之，即二十四觚之一面也〔51〕。　　割二十四觚以為四十八觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股〔52〕。置上小弦冪，四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，余分棄之，即句冪也〔53〕。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之四〔54〕。以減半徑，餘八厘五毫五秒五忽五分忽之一，謂之小句〔55〕。觚之半面又謂之小股。為之求小弦〔56〕。其冪一百七十一億一千二十七萬八千八百一十三忽，余分棄之。開方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分棄之，即四十八觚之一面〔57〕。以半徑一尺乘之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也〔58〕。　　割四十八觚以為九十六觚術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股〔59〕。置次上弦冪，四而一，得四十二億七千七百五十六萬九千七百三忽，余分棄之，則句冪也〔60〕。以減弦冪，其餘，開方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九〔61〕。以減半徑，餘二厘一毫四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面又謂之小股。為之求小弦〔62〕。其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，余分棄之。開方除之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分棄之，即九十六觚之一面〔63〕。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千四百一十億二千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之冪也〔64〕。以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分寸之一百五，謂之差冪〔65〕。倍之，為分寸之二百一十，即九十六觚之外弧田九十六所，謂以弦乘矢之凡冪也〔66〕。加此冪於九十六觚之冪，得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，則出於圓之表矣〔67〕。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定率而棄其餘分〔68〕。以半徑一尺除圓冪，倍所得，六尺二寸八分，即周數〔69〕。令徑自乘為方冪四百寸，與圓冪相折，圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率。方冪二百，其中容圓冪一百五十七也〔70〕。圓率猶為微少〔71〕。按：弧田圖令方中容圓，圓中容方，內方合外方之半〔72〕。然則圓冪一百五十七，其中容方冪一百也〔73〕。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑得五十，則其相與之率也。周率猶為微少也〔74〕。　　晉武庫中漢時王莽作銅斛〔75〕，其銘曰：律嘉量斛〔76〕，內方尺而圓其外〔77〕，庣旁九厘五毫〔78〕，冪一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十斗〔79〕。以此術求之，得冪一百六十一寸有奇〔80〕，其數相近矣。此術微少。而觚差冪六百二十五分寸之一百五〔81〕。以一百九十二觚之冪以率消息〔82〕，當取此分寸之三十六〔83〕，以增於一百九十二觚之冪，以為圓冪，三百一十四寸二十五分寸之四〔84〕。置徑自乘之方冪四百寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率。方冪五千中容圓冪三千九百二十七；圓冪三千九百二十七中容方冪二千五百也〔85〕。以半徑一尺除圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，倍所得，六尺二寸八分二十五分分之八，即周數也〔86〕。全徑二尺與周數通相約，徑得一千二百五十，周得三千九百二十七，即其相與之率〔87〕。若此者，蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法為約耳。當求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪〔88〕，而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳〔89〕。　　臣淳風等謹按：舊術求圓，皆以周三徑一為率〔90〕。若用之求圓周之數，則周少徑多。用之求其六觚之田，乃與此率合會耳。何則？假令六觚之田，觚間各一尺為面，自然從角至角，其徑二尺可知。此則周六徑二與周三徑一已合。恐此猶以難曉〔91〕，今更引物為喻。設令刻物作圭形者六枚，枚別三面，皆長一尺。攢此六物，悉使銳頭向里，則成六觚之周，角徑亦皆一尺。更從觚角外畔，圍繞為規，則六觚之徑盡達規矣〔92〕。當面徑短，不至外規。若以徑言之，則為規六尺，徑二尺，面徑皆一尺。面徑股不至外畔，定無二尺可知。故周三徑一之率於圓周乃是徑多周少。徑一周三，理非精密。蓋術從簡要，舉大綱略而言之。劉徽將以為疏，遂乃改張其率〔93〕。但周、徑相乘，數難契合。徽雖出斯二法〔94〕，終不能究其纖毫也。祖沖之以其不精，就中更推其數〔95〕。今者修撰，攈摭諸家〔96〕，考其是非，沖之為密。故顯之於徽術之下，冀學者之所裁焉〔97〕。 【注釋】 〔1〕圓田：即圓，如圖1-5。 圖1-5　圓 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕由此問及下問知當時取「周三徑一」之率，即π=3。後來的數學著作常將此率稱為「古率」。 〔3〕密率：精密之率。密率是個相對概念。此處李淳風等將圓周率近似值稱作密率，元明以前的數學著作皆如此。蓋比3精確，也比徽率精確。而在《隋書·律曆志》中祖沖之則將他求出的圓周率近似值稱作密率，而將稱作約率。 〔4〕徽術：又稱作「徽率」，即下文劉徽所求出的圓周率近似值。 〔5〕此即圓面積公式 其中S，L，r分別是圓的面積、周長和半徑。 〔6〕半周為從，半徑為廣，故廣從相乘為積步：這是劉徽記載的前人對《九章算術》圓面積公式的推證。它是以圓內接正六邊形的周長代替圓周長，以圓內接正十二邊形的面積代替圓面積，推證方法大體是：如圖1-6，將圓內接正十二邊形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11凡16部分，使Ⅰ，1不動，而將Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ及2，3，4，5，6，7，8，9，10，11移到Ⅱ′，Ⅲ′，Ⅳ′，Ⅴ′及2′，3′，4′，5′，6′，7′，8′，9′，10′，11′處，形成一個以圓半徑為廣，正六邊形周長的一半為縱的長方形。再由方田術，就得到《九章算術》的圓面積公式。 圖1-6　《九章算術》時代圓面積之推導 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔7〕六觚：本是正六角形，今稱正六邊形。同樣，n觚本是正n角形，今稱正n邊形。下面的注釋與今譯一般不再使用正n角形，而徑直使用正n邊形。觚，多稜角的器物。《史記·酷吏列傳》：「破觚而為圓。」　　面：邊。 〔8〕合徑率一而弧周率三：劉徽指出，以上的推證是以周三徑一為前提的，實際上是以圓內接正六邊形的周長代替圓周長，以圓內接正十二邊形的面積代替圓面積，因而並沒有真正證明《九章算術》的圓面積公式（1-8-1）。 〔9〕此段為劉徽用極限思想和無窮小分割方法對《九章算術》圓面積公式（1-8-1）的證明。為圖：作圖。 〔10〕一弧半徑：即圓半徑。 〔11〕因而三之：南宋本、《大典》本訛作「二因而六之」，匯校本及其增補版依戴震輯錄校勘本改作「三之」，本書初版從。今依《九章算術新校》校正。 〔12〕十二觚之冪：即圓內接正12邊形之面積。設正6邊形一邊長為l0，正12邊形面積為S1，則S1=3l0r。24觚之冪亦可類似求得，即S2=6l1r。其中S2，l1分別是圓內接正24邊形的面積及正12邊形的一邊長。 〔13〕一弧之半徑：即圓半徑。 〔14〕因而六之：南宋本、《大典》本訛作「四因而六之」，匯校本及其增補版依戴震輯錄校勘本改作「六之」，本書初版從。今依《九章算術新校》刪「四」字。 〔15〕割之彌細：這裡指將圓內接正6邊形割成正24，48，96……邊形，那麼割的次數越多，則它們的邊長就越細小。彌細，益加細微。彌，本義是弓張滿。引申為滿，遍。《周禮·春官·大竹》：「國有大故天烖，彌祀社稷禱祠。」鄭玄註：「彌，猶遍也。」《史記·司馬相如列傳》：「離宮別館，彌山跨谷。」張守節正義：「彌，滿也。」又引申為表示程度加深的副詞。《論語·子罕》：「仰之彌高，鑽之彌堅。」邢昺疏：「彌，益也。」 〔16〕所失彌少：此謂如果把圓內接正多邊形的面積當作圓面積，則圓面積的損失越來越少。換言之，設第n次分割得到正6·2n邊形的面積為Sn，顯然Sn＜S，但S-Sn越來越小。失，損失。這裡指圓面積的損失。彌少，益加少。 〔17〕不可割：不可再割。這裡指無限分割下去，會達到對圓內接多邊形不可再分割的境地。當然只有圓內接多邊形的邊都變成點，才會不可再割。《墨經·經下》：「非半弗則不動，說在端。」《經說下》：「半，進前取也。前，則中無為半，猶端也。前後取，則端中也。必半；毋與非半，不可也。」顯然劉徽的割圓會達到「不可割」的境地，與《墨經》的無限分割會達到「不可」的端的思想是一脈相承的。（zhuó），破，析，可以理解為分割。 〔18〕合體：合為一體，重合。此謂無限分割下去，割到不可再分割的境地，則圓內接正無窮多邊形就與圓周完全重合。　　無所失：沒有損失。與圓周合體而無所失，此謂此時將圓內接正多邊形的面積作為圓面積，則圓面積就不再有損失。換言之，當n→∞時，則。如圖1-7（1）所示。 圖1-7　劉徽對圓面積公式的證明 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔19〕余徑：半徑剩餘的部分，即圓半徑與圓內接正多邊形的邊心距之差。 〔20〕冪出弧表：面積超出了圓周。弧表，即圓周。將余徑乘正多邊形的每邊之積加到正多邊形的面積上，則大於圓面積，即Sn+6×2nlnrn=Sn+2（Sn+1-Sn）＞S，其中rn是圓內接正n邊形的余徑。如圖1-7（2）。 〔21〕「若夫觚之細者」三句：至於觚間的距離非常細微，圓內接正多邊形與圓周合體的時候，則不再有餘徑。亦即n→∞時，有。若夫，至於。《周易·繫辭下》：「若夫雜物撰德，辯是與非，則非其中爻不備。」 〔22〕表無餘徑，則冪不外出矣：劉徽認為，當不再有餘徑時，則余徑乘正多邊形的每邊之積與正多邊形的面積之和不再大於圓面積。亦即時，有 〔23〕以一面乘半徑，觚而裁之：此謂以正多邊形的一邊乘圓半徑，當然這得將與圓周合體的正多邊形從每個角將其裁開。劉徽考慮與圓周合體的正無窮多邊形，將它分割成以圓心為頂點，以每邊為底的無窮多個小等腰三角形。「觚而裁之」四字，本書初版誤植於「以一面乘半徑」之前，今依《九章算術新校》恢復原序。蓋「觚而裁之」是劉徽自注「以一面乘半徑」。 〔24〕每輒自倍：由於每個小等腰三角形的高就是圓半徑，顯然以正多邊形的一邊乘圓半徑，總是每個小等腰三角形面積的2倍。設每個小等腰三角形的底邊長為li，其面積為Ai，則lir=2Ai。如圖1-7（3）所示。輒，總是。《史記·李斯列傳》：「二世拜趙高為中丞相，事無大小輒決於高。」自倍，自身的2倍。 〔25〕故以半周乘半徑而為圓冪：所以以圓周長的乘半徑就得到圓面積。蓋所有這些小等腰三角形的底邊之和為圓周長，它們的面積之和為圓面積。因此，。由此式反求出S，就得到（181）式，即。這是一個使用極限思想和無窮小分割方法對《九章算術》圓面積公式的完整證明。可是在20世紀70年代末以前，所有涉及劉徽割圓術的著述都有意無意地忽略了劉徽「以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍。故以半周乘半徑而為圓冪」這幾句畫龍點睛之語——甚至一篇逐字逐句翻譯劉徽割圓術的文章對這幾句話竟略而不譯，因此都沒有認識到劉徽在證明《九章算術》的圓面積公式（1-8-1）。而證明《九章算術》的圓面積公式，是劉徽割圓術的主旨所在。同時，所有著述都將劉徽此注中的幾個極限過程說成是為了求圓周率。實際上，下面將看到，求圓周率用不到極限過程和無窮小分割，只是極限思想在近似計算中的應用。並且，由於沒有認清劉徽割圓術的主旨，20世紀70年代末以前所有關於劉徽求圓周率程序的論述都背離了劉徽注。 〔26〕至然之數：非常精確的數值。 〔27〕六觚之環：圓內接正六邊形的周長。 〔28〕覺（jiào）：「較」之通假字。《孟子·離婁下》趙岐註：「如此賢不肖相覺，何能分寸？」較（jiào），比較，較量。《老子·第二章》：「長短相較，高下相頃。」 〔29〕乃弓之與弦也：此謂圓內接正六邊形與圓的關係，就是弓與弦的關係。 〔30〕踵古：追隨古人。踵，本義是腳後跟，引申為追，追逐，追隨。《左傳·昭公二十四年》：「吳踵楚，而疆埸無備，邑能無亡乎？」 〔31〕習：沿襲。「習」的本義是鳥類頻頻試飛。《說文解字》：「習，數飛也。」引申為學習、習慣，沿襲，重複。《書經·大禹謨》：「龜筮協從，卜不習吉。」孔傳：「習，因耶。」　　謬失：錯誤。謬，荒謬，謬誤，差錯。《說文解字》：「謬，狂者之妄言也。」《漢書·司馬遷傳》：「故《易》曰：『差以豪厘，謬以千里。』」失，錯誤，過失。《漢書·路溫舒傳》：「臣聞秦有十失，其一尚存，治獄之吏是也。」 〔32〕「方圓之率」三句：此謂在近處求出方率與圓率，在遠處也是可以知道的。其意思是，方率與圓率是常數，在任何地方都是一樣的。 〔33〕昧：冥，昏暗，不清楚。　　譬：明白，通曉。《後漢書·鮑永傳論》：「若乃言之者雖誠，而聞之者未譬。」但此例句已在劉徽之後。 〔34〕檢括：法則，法度。晉劉越石《答盧遜詩並書》：「昔在少年，未嘗檢括。」此例句亦在劉徽之後。 〔35〕其記注就是劉徽在中國首創的求圓周率的程序。 〔36〕這是考慮由圓內接正六邊形的邊長的一半AC作為勾，邊心距OC作為股，圓半徑OA作為弦的勾股形OAC。已知弦、勾，求股。如圖1-8。 圖1-8　劉徽求圓周率 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔37〕句冪：是以勾為邊長的正方形的面積。該正方形稱為勾方。　　弦冪：是以弦為邊長的正方形的面積。該正方形稱為弦方。下「股冪」、「股方」同。見卷九勾股術注釋。 〔38〕秒、忽：都是長度單位。李籍云：「忽者，數之始也。一蠶所吐謂之忽。」又引《孫子算術》曰：「蠶所生吐絲為忽，十忽為秒，十秒為毫，十毫為厘，十厘為分。」即1分=10厘，1厘=10毫，1毫=10秒，1秒=10忽。李籍所引與《隋書·律曆志》所引《孫子算經》的文字相同，而與南宋本、《大典》本不同。 〔39〕微數：微小的數。求微數是劉徽創造的以十進分數逼近無理根的近似值方法，見卷四開方術注釋。 〔40〕知：訓「者」，其說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔41〕考慮以圓內接正6邊形一邊長之半AC為勾，邊心距OC為股，圓半徑OA為弦的勾股形OAC，那麼忽。 〔42〕考慮以圓內接正6邊形的余徑CA1為勾，其邊長之半AC為股，正12邊形一邊長AA1為弦的勾股形A1AC，余徑。 〔43〕億：萬萬曰億。李籍云：「十萬曰億。萬者，物數也。以人之意數為足以勝物數故也。或曰：萬萬曰億。黃帝為法，數有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，謂億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載也。三等者，謂上、中、下之數也。下數者，十十變之。若言：十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京。中數者，萬萬變之。若言：萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京。上數者，數窮則變。若言：萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京。《詩》云：『不稼不穡，胡取禾三百億兮？』毛氏曰：『萬萬曰億。』鄭氏曰：『十萬曰億。』據如此言，則鄭用下數，毛用中數也。」數有十等之說，李籍引自東漢末徐岳《數術記遺》。北周甄鸞《數術記遺注》引用《詩經》及其毛、鄭注釋三等數。 〔44〕余分棄之：捨去分數部分。此謂 〔45〕那麼弦 就是圓內接正12邊形的一邊長l1。 〔46〕考慮以圓內接正12邊形一邊長之半AC1為勾，邊心距OC1為股，圓半徑OA為弦的勾股形OAC1。 〔47〕 〔48〕那麼勾股形OAC1的股即正12邊形的邊心距 〔49〕考慮以圓內接正12邊形的余徑C1A2為勾，其邊長AA1之半AC1為股，正24邊形一邊長A2A為弦的勾股形A2AC1，余徑即勾 求其弦A2A。 〔50〕那麼弦冪為 棄去余分，則弦冪 A2A2=68 148 349 466忽2。 〔51〕開方除之，得 就是圓內接正24邊形的一邊長l2。 〔52〕考慮以圓內接正24邊形一邊長之半AC2為勾，邊心距OC2為股，圓半徑OA為弦的勾股形OAC2。 〔53〕勾AC2之冪。棄去余分，得。 〔54〕則股即正24邊形的邊心距 〔55〕勾即余徑C2A3=OA3-OC2=10寸-忽=忽。 〔56〕考慮以圓內接正24邊形的余徑C2A3為勾，其邊長AA2之半AC2為股，正48邊形一邊長A3A為弦的勾股形A3AC2。 〔57〕 就是圓內接正48邊形的一邊長l3。 〔58〕圓內接正96邊形的面積 〔59〕考慮以圓內接正48邊形一邊長之半AC3為勾，邊心距OC3為股，圓半徑OA為弦的勾股形OAC3。 〔60〕勾AC3之冪。 〔61〕那麼股即正48邊形的邊心距 〔62〕考慮以圓內接正48邊形的余徑C3A4為勾，其邊長AA3之半AC3為股，正96邊形一邊長A4A為弦的勾股形A4AC3。 〔63〕余徑，那麼弦，就是圓內接正96邊形的一邊長l4。 〔64〕圓內接正192邊形的面積 〔65〕差冪：謂圓內接正192邊形與96邊形的面積之差。即 〔66〕以弦乘矢之凡冪：以弦乘矢的總面積。此即96l4r4，其中r4是圓內接正96邊形的余徑。凡，總共，總計。《史記·陳涉世家》：「陳勝王凡六月。」凡冪，總面積。 〔67〕此即。 〔68〕定率：確定的率。此謂取圓內接正192邊形面積的整數部分314寸2作為圓面積的近似值S≈314寸2。 〔69〕「以半徑一尺除圓冪」四句：以半徑1尺除圓面積，將結果加倍，得到6尺2寸8分，就是圓周長。此藉助圓面積公式（1-8-1），由圓面積近似值314寸2反求出圓周長的近似值8分。 〔70〕方冪二百，其中容圓冪一百五十七也：圓的外切正方形與圓的面積之比為 S外:S=200:157。（1-9-1） 〔71〕圓率猶為微少：圓率仍然微少。猶，還，仍。《詩經·衛風·氓》：「士之耽兮，猶可說也。」 〔72〕圓中容方，內方合外方之半：圓內接一個正方形，則圓內接正方形的面積是其外切正方形的，如圖1-9。 圖1-9　圓與外切大方及內接中方 （采自譯註本《九章算術》） 〔73〕圓冪一百五十七，其中容方冪一百：圓與圓內接正方形的面積之比為 S:S內=157:100。（1-9-2） 由（1-9-1）與（1-9-2），得 S外:S:S內=200:157:100。（1-9-3） 〔74〕劉徽用圓直徑2尺與圓周長6尺2寸8分相約，得到 這就是徽術或徽率。20世紀70年代末以前，所有著述由於沒有認識到劉徽在證明圓面積公式（1-8-1），將求圓周率的程序也搞錯了。這些著述皆認為在確定了圓面積的近似值314寸2之後，使用中學數學教科書中的圓面積公式S=πr2。這不僅背離了劉徽注，而且會將劉徽置於他從未犯過的循環推理的錯誤境地。因為劉徽此時並未證明這個圓面積公式，而是在求出圓周率（1-10-1）之後，用它修正了與之相當的圓面積公式，即下文之（1-8-3）。 〔75〕晉武庫：劉徽所稱「晉武庫」是晉朝之武庫，還是晉王之武庫，學術界有爭論。蓋魏景元四年（263）司馬昭稱晉公，旋為晉王。筆者傾向於此為晉王甚或晉公之武庫。因為在魏朝，劉徽可以說晉王之武庫為「晉武庫」。若是晉朝之武庫，則劉徽肯定入晉，不當加「晉」字。武庫，儲藏兵器的倉庫。《漢書·毋將隆傳》：「武庫兵器，天下公用。」從晉武庫藏王莽銅斛看，武庫不僅藏兵器，還藏國家的重要器物。　　王莽銅斛：西漢末年劉歆為王莽製造的標準量器。新始建國元年（9）頒行，合斛、斗、升、合、龠為一器。上部為斛，下部為斗，左耳為升，右耳為合、龠。今藏台北故宮博物院。如圖1-10。 圖1-10　王莽銅斛 （引自譯註本《九章算術》） 〔76〕律嘉量斛：標準量器中的斛器。律，本是用竹管或金屬管制成的定音儀器，後引申為標準、法紀，如樂律、歷律、格律、律尺、律呂等。嘉量，古代的標準量器。有鬴、豆、升三量。　　《周禮·考工記》：「㮚氏為量……其銘曰：『時文思索，允臻其極，嘉量既成，以觀四國。』」 〔77〕內方尺而圓其外：王莽銅斛的斛量的截面是圓形的，內部的一個邊長1尺的正方形，這是虛擬的，實際上並不存在。 〔78〕庣（tiāo）旁：是銅斛的截面中假設的邊長1尺的正方形的對角線不滿外圓周的部分。如圖1-11。庣，凹下或不滿之處。李籍云：「不滿之貌也。」王莽銅斛之庣旁與齊量之庣旁恰好相反，在那裡是量器的截面中假設的邊長1尺的正方形的對角線超過外圓周的部分，見卷五委粟術劉徽注及圖5-46。 圖1-11　王莽銅斛之庣旁 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔79〕現存王莽銅斛之斛銘是：「律嘉量斛，內方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。」劉徽注所述與此略有不同，而與《隋書·律曆志》的記載基本一致。《隋書·律曆志》是李淳風撰寫的，劉徽所述的斛銘或許經過李淳風等改竄，亦未可知。 〔80〕奇（jī）：奇零。李籍云：「餘數也。」假設的正方形邊長為1尺，那麼銅斛的圓直徑為。以徽術計算，底面積為，故云161寸2有奇。 〔81〕觚差冪：兩個正多邊形面積之差，這裡是圓內接正192邊形與96邊形的面積之差，即。 〔82〕這是說以圓內接正192邊形的面積作為增減的基礎。以：訓「為」。裴學海《古書虛字集釋》卷一：「『以』猶『為』也。」　　消息：謂一消一長。《周易·豐》：「天地盈虛，與時消息。」 〔83〕寸2是如何取得的，學術界有不同看法。筆者認為是估值。蓋寸2，而S-S4大約是S5-S4的，即約寸2，如圖1-12。為化簡方便，取其為寸2。 圖1-12　估值 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔84〕此確定圓面積的近似值。 〔85〕此即 S外:S:S內=5 000:3 927:2 500。（1-9-4） 〔86〕此亦藉助圓面積公式（1-8-1），由圓面積近似值寸2，反求出圓周長的近似值 〔87〕劉徽用圓直徑2尺與圓周長的近似值6尺2寸分相約，得到 這是劉徽求得的第二個圓周率近似值，相當於3.141 6。 〔88〕據嚴敦傑計算，圓內接正1 536邊形的邊長忽，正3 072邊形的面積寸2。 〔89〕劉徽以寸2作為圓面積的近似值，再利用（1-8-1）式反求出圓周長的近似值，與圓直徑2尺相約，重新驗證了（1-10-2）式。 〔90〕舊術：指《九章算術》時代的圓周率。 〔91〕如此簡單的問題，李淳風等還恐算學館的學子不懂，可見當時數學水平之低下。以：訓「為」。 〔92〕畔：本指田界。《說文解字》：「畔，田界也。」引申為界限，邊。規：這裡指用圓規畫出的圓。 〔93〕將：訓「則」。裴學海《古書虛字集釋》卷八：「將，猶則也。」《左傳·襄公二十九年》：「專責速及，侈將以其力斃。」 〔94〕二法：指劉徽求出的兩個圓周率近似值。有的學者根據戴震輯錄本認為此當作「一法」，僅指，並將此作為系祖沖之所創的根據，失之。 〔95〕祖沖之（429—500）：南北朝宋、齊數學家、天文學家。字文遠。祖籍范陽遒（今河北淶水），父、祖均仕南朝。沖之少稽古，有機思，專攻數術。青年時直華林學省（學術機關），後任南徐州（今江蘇鎮江）從事史、婁縣（今江蘇崑山）令。入齊，官至長水校尉。注《九章算術》，撰《綴術》，均亡佚。特善算，推算出圓周率近似值領先世界約千年。制定《大明曆》，首先引入歲差，其日月運行周期的數據比以前的曆法更為準確。撰《駁議》，不畏權貴，堅持科學真理，反對「虛推古人」。又曾改造指南車、水碓磨、千里船、木牛流馬、欹器，解鐘律、博、塞，當時獨絕。注《周易》、《老子》、《莊子》，釋《論語》，亦亡佚。又撰《述異記》，今有輯本。嚴敦傑撰有《祖沖之科學著作校釋》（遼寧教育出版社，2000年；山東科學技術出版社，2017年），校釋了現傳世的祖沖之的著作及有關祖沖之的史料。　　更推其數：重新計算圓周率的數值。《隋書·律曆志》（李淳風撰）云：「宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈、朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，周二十二。」這相當於3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，密率，約率。李淳風等在此將後者稱為密率，並顯之於徽術之下。 〔96〕攈摭（jùn zhí）：摘取，搜集。《漢書·刑法志》：「三章之法，不足以御奸，於是相國蕭何攈摭秦法，取其宜於時者，作律九章。」李籍云：「攈摭，取拾也。」攈，或作捃。是當時還有一「攈」作「捃」的抄本。 〔97〕李淳風等指出祖沖之所求的圓周率比徽率精確，是對的。但對劉徽有微詞，則不妥。劉徽在中國數學史上首創求圓周率的科學方法，理論意義與實踐意義十分重大。祖沖之的方法已失傳，一般認為，他使用的是劉徽的方法。錢寶琮指出：「李淳風等缺乏歷史發展的認識，有意輕視劉徽割圓術的偉大意義，徒然暴露了他們自己的無知。」 【譯文】 假設有一塊圓田，周長30步，直徑10步。淳風等按：問題的意思是以周三徑一作為率，那麼周長30步，直徑應當是10步。現在依照密率，直徑應當是步。問：田的面積是多少？ 答：75步2。用我的方法，此田的面積應當是步2。　　淳風等按：依照密率，此田的面積是步2。 又假設有一塊圓田，周長181步，直徑步。淳風等按：按照周三徑一，周長181步，直徑應當是步。依照密率，直徑為。問：田的面積是多少？ 答：11畝步2。用我的方法，此田的面積應當是10畝步2。　　淳風等按：依照密率，此田的面積是10畝步2。 術：半周與半徑相乘便得到圓面積的積步。按：以圓內接正六邊形的周長之半作為長，圓半徑作為寬，所以寬、長相乘就成為圓面積的積步。假設圓的直徑為2尺，圓內接正六邊形的一邊與圓半徑，其數值相等。這符合周三徑一。　　又按：作圖。以圓內接正6邊形的一邊乘圓半徑，以3乘之，便得到正12邊形的面積。如果再分割它，以正12邊形的一邊乘圓半徑，又以6乘之，便得到正24邊形的面積。分割得越細，正多邊形與圓的面積之差就越小。這樣分割了又分割，一直分割到不可再分割的地步，則正多邊形就與圓周完全吻合而沒有什麼差別了。正多邊形每邊之外，還有餘徑。以每邊長乘余徑，加到正多邊形上，則其面積就超出了圓弧的表面。如果是其邊非常細微的正多邊形，因為與圓吻合，那麼每邊之外就沒有餘徑。每邊之外沒有餘徑，則它的面積就不會超出圓弧的表面。以正多邊形的每邊乘圓半徑——將與圓周合體的正多邊形從每個角到圓心裁開，分割成無窮多個小等腰三角形。其乘積總是每個小等腰三角形的面積的二倍。所以以圓的周長之半乘半徑，就成為圓面積。這裡所用的圓周和直徑，說的是非常精確的數值，而不是周三徑一之率。周3，只符合正6邊形的周長，用來推算與圓周多少的差別，就像弓與弦一樣。然而世代傳襲這一方法，不肯精確地核驗；學者跟隨古人的腳步，沿襲他們的謬失。沒有明晰的證據，辯論這個問題就很困難。凡是事物的形象，不是圓的，就是方的。方率與圓率，如果在切近處確實很明顯，那麼即使在邈遠處也是可以知道的。由此說來，它的應用是非常廣博的。我謹藉助圖形作為驗證，提出計算精密圓周率值的方法。我擔心憑空設立一種方法數值不清晰而且使人難以通曉，因此把它置於一個法度之中，謹詳細地寫下這個注釋。　　割圓內接正6邊形為正12邊形之術：布置圓直徑2尺，取其一半，為1尺，就是圓內接正6邊形之一邊長。取圓半徑1尺作為弦，正6邊形邊長之半5寸作為勾，求它們的股：以勾方的面積25寸2減弦方的面積，餘75寸2。對它作開方除法，求至秒、忽。又再退法，求它的微數。微數中沒有名數單位的，就作為分子，以10作為分母，約簡成忽。因此得到股是8寸6分6厘2秒忽。以它減圓半徑，餘1寸3分3厘9毫7秒忽，稱作小勾。正6邊形邊長之半又稱作小股。求它們的弦。它的面積是267 949 193 445忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數。對它作開方除法，就是圓內接正12邊形的一邊長。　　割圓內接正12邊形為正24邊形之術：也取圓半徑作為弦，正12邊形邊長之一半作為勾，求它們的股。布置上述小弦方的面積，除以4，得66 987 298 361忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數，就是勾方的面積。以它減弦方的面積，對其餘數作開方除法，得到股是9寸6分5厘9毫2秒忽。以它減圓半徑，餘3分4厘7秒忽，稱作小勾。正12邊形邊長之半又稱作小股。求它們的小弦。它的面積是68 148 349 466忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數。對它作開方除法，就是圓內接正24邊形的一邊長。　　割圓內接正24邊形為正48邊形之術：也取圓半徑作為弦，正24邊形邊長之一半作為勾，求它們的股。布置上述小弦方的面積，除以4，得17 037 087 366忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數，就是勾方的面積。以它減弦方的面積，對其餘數作開方除法，得到股是9寸9分1厘4毫4秒忽。以它減圓半徑，餘8厘5毫5秒忽，稱作小勾。正24邊形邊長之半又稱作小股。求它們的小弦。它的面積是17 110 278 813忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數。對它作開方除法，就是圓內接正48邊形的一邊長。以圓半徑1尺乘之，又以24乘之，得到面積3 139 344 000 000忽2。以10 000 000 000除之，得到面積寸2，就是圓內接正96邊形的面積。　　割圓內接正48邊形為正96邊形之術：也取圓半徑作為弦，正48邊形邊長之一半作為勾，求它們的股。布置上述小弦方的面積，除以4，得4 277 569 703忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數，就是勾方的面積。以它減弦方的面積，對其餘數作開方除法，得到股是9寸9分7厘8毫5秒忽。以它減圓半徑，餘2厘1毫4秒忽，稱作小勾。正48邊形邊長之半又稱作小股。求它們的小弦。它的面積是4 282 154 012忽2，捨棄了忽以下剩餘的分數。對它作開方除法，得小弦6分5厘4毫3秒8忽，捨棄了忽以下剩餘的分數，就是圓內接正96邊形的一邊長。以圓半徑1尺乘之，又以48乘之，得到面積3 141 024 000 000忽2。以10 000 000 000除之，得到面積寸2，就是圓內接正192邊形的面積。以圓內接正96邊形的面積減之，余寸2，稱作差冪。將其加倍，為寸2，就是圓內接正96邊形之外96塊位於圓弧上的田，是以弦乘矢之總面積。將此面積加到正96邊形的面積上，得到寸2，則就超出於圓弧的表面了。因而回過頭來取圓內接正192邊形的面積的整數部分314寸2作為圓面積的定率，而捨棄了寸以下剩餘的分數。以圓半徑1尺除圓面積，將所得的數加倍，為6尺2寸8分，就是圓周長。使圓的直徑自乘，為正方形的面積400寸2，與圓面積相折算，圓面積得157作為率，正方形面積得200作為率。如果正方形面積是200，其內切圓的面積就是157，而圓面積之率仍然稍微小一點。按：弧田圖中，使正方形中有內切圓，內切圓中又有內接正方形，內接正方形的面積恰恰是外切正方形的一半。那麼，如果圓面積是157，其內接正方形的面積就是100。又使圓直徑2尺與圓周長6尺2寸8分相約，圓周得157，直徑得50，就是它們的相與之率。而圓周的率仍然稍微小一點。　　晉武庫中西漢王莽製作的銅斛，其銘文說：律嘉量斛：外面是圓形的，而內部相當於一個有9厘5毫的庣旁而邊長為1尺的正方形，面積是162寸2，深是1尺，容積是1 620寸3，容量為10斗。用這種周徑之率計算之，得到面積為161寸2，還帶有奇零。它們的數值相近，而這樣的計算結果稍微小一點。而圓內接正192邊形與正96邊形的面積差為寸2。以192邊形的面積作為求率時增減的基礎，應該取寸2，加到正192邊形的面積上，作為圓面積，即寸2。布置圓直徑自乘的正方形面積400寸2，使之與圓面積通分約簡，圓面積得3 927，正方形面積得5 000，這就是方圓之率。如果正方形面積是5 000，其內切圓的面積就是3 927；如果圓面積是3 927，則其內接正方形的面積是2 500。以圓半徑1尺除圓面積寸2，將所得的數加倍，為6尺2寸分，就是圓周長。圓直徑2尺與圓周長通分相約，直徑得1 250，圓周得3 927，就是它們的相與之率。如果取這樣的值，大概達到非常精確的地步了。拿來應用，上述方法是簡約一些。應當求出圓內接正1 536邊形的一邊長，得出正3 072邊形的面積，裁去其微小的分數，其數值也是這樣，再次得到驗證。　　淳風等按：以舊術解決圓的各種問題，皆以周三徑一為率。若用之求圓周長，則圓周小，直徑大。用來求正6邊形的田地，才與此率相吻合。為什麼呢？假設正6邊形的田，稜角之間各是1尺，作為邊長，那麼自然可以知道，從角至角，直徑為2尺。這就是周六徑二，與周三徑一相吻合。我們擔心，這仍然使人難以明白，今進一步拿一種物品作為比喻。假設將一種物品刻成三角形，共6枚，每一枚各有三邊，每邊1尺。把這6個物品集中起來，使它們的尖頭都朝里，就成為正6邊形的周長，相鄰兩角間的長度都是1尺。再從稜角的外緣，圍繞成圓弧形，則正6邊形的直徑全都抵達圓弧。而正6邊形對邊之間的直徑短，不能抵達外圓弧。如果以圓直徑說來，則應該為圓弧6尺，直徑2尺，每邊長都是1尺。然而每邊的股不能抵達外圓弧，可以知道肯定不足2尺長。所以周三徑一之率對圓直徑而言就是直徑略大而圓周長略小。徑一周三，從數理上說並不精密。因為數學方法都要遵從簡易的原則，所以略舉它的大綱，概略地表示之。劉徽則認為這個率太粗疏，於是就改變它的率。但是圓周長與直徑相乘，其數值難以吻合。劉徽儘管提出了這兩種方法，終究不能窮盡其纖毫。祖沖之因為他的值不精確，就此重新推求其數值。現在修撰，搜集各家的方法，考察他們的是非，認為祖沖之的值是精密的。因此，將它顯揚於劉徽的方法之下，希望讀者有所裁斷。 又術曰：周、徑相乘，四而一〔1〕。此周與上弧同耳。周、徑相乘各當以半。而今周、徑兩全，故兩母相乘為四，以報除之。於徽術，以五十乘周，一百五十七而一，即徑也〔2〕。以一百五十七乘徑，五十而一，即周也〔3〕。新術徑率猶當微少。則據周以求徑，則失之長〔4〕；據徑以求周，則失之短〔5〕。諸據見徑以求冪者，皆失之於微少；據周以求冪者，皆失之於微多〔6〕。　　臣淳風等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即徑〔7〕；以二十二乘徑，七而一，即周〔8〕。依術求之，即得。 【注釋】 〔1〕此即圓面積的又一公式 〔2〕此為劉徽修正的由圓周求直徑的公式。 〔3〕此為劉徽修正的由圓直徑求圓周的公式。 〔4〕此謂的失誤在於稍微大了點。 〔5〕此謂的失誤在於稍微小了點。 〔6〕此謂稍微小，稍微大。 〔7〕此為李淳風等修正的由圓周求直徑的公式。 〔8〕此為李淳風等修正的由圓直徑求圓周的公式。 【譯文】 又術：圓周與直徑相乘，除以4。此處的圓周與上術中的周是相同的。圓周與直徑相乘，應當各用它們的一半。而現在圓周與直徑兩者都是整個的，所以兩者的分母相乘為4，回報以除。用我的方法，用50乘圓周，除以157，就是直徑；用157乘直徑，除以50，就是圓周。新的方法中，直徑的率還應當再稍微小一點。那麼，根據圓周來求直徑，則產生的失誤在於長了；根據直徑來求圓周，則產生的失誤在於短了。至於根據已給的直徑來求圓面積，那麼產生的失誤都在於稍微小了一點；根據已給的圓周來求圓面積，那麼產生的失誤都在於稍微大了一點。　　淳風等按：依照密率，用7乘圓周，除以22，就是直徑；用22乘直徑，除以7，就是圓周。用這種方法求，就得到了。 又術曰：徑自相乘，三之，四而一〔1〕。按：圓徑自乘為外方〔2〕。「三之，四而一」者，是為圓居外方四分之三也〔3〕。若令六觚之一面乘半徑，其冪即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也〔4〕。是為圓里十二觚之冪耳。取以為圓，失之於微少。於徽新術，當徑自乘，又以一百五十七乘之，二百而一〔5〕。　　臣淳風等謹按：密率，令徑自乘，以十一乘之，十四而一，即圓冪也〔6〕。 【注釋】 〔1〕此即圓面積的第三個公式 〔2〕外方：即圓的外切正方形。它的面積是d2。 〔3〕這是說，圓面積是其外切正方形面積的。 〔4〕此謂以圓內接正12邊形的面積為圓面積，用出入相補原理推證圓田又術。如圖1-13，將圖1-13（1）中的圓內接正12邊形分割成Ⅰ—Ⅸ，1—9等18份，移到圖1-13（2）中的Ⅰ′—Ⅸ′，1′—9′上，恰占滿該正方形的。這是劉徽采前人之說記入注中。 圖1-13　圓田第三術的推導 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔5〕此為劉徽修正的公式 〔6〕此為李淳風等修正的公式 【譯文】 又術：圓直徑自乘，乘以3，除以4。按：圓的直徑自乘為它的外切正方形。「乘以3，除以4」，這是因為圓占據外切正方形的。若令圓內接正6邊形的一邊長乘圓半徑，其面積就是外切正方形的。乘以3，就占據外切正方形的，這就成為圓內接正12邊形的面積。取它作為圓，產生的失誤在於小了一點。用我的方法，應該使圓直徑自乘，又乘以157，除以200。　　淳風等按：依照密率，使圓直徑自乘，乘以11，除以14，就是圓面積。 又術曰：周自相乘，十二而一〔1〕。六觚之周，其於圓徑，三與一也〔2〕。故六觚之周自相乘為冪，若圓徑自乘者九方〔3〕，九方凡為十二觚者十有二〔4〕，故曰十二而一，即十二觚之冪也〔5〕。今此令周自乘，非但若為圓徑自乘者九方而已〔6〕。然則十二而一，所得又非十二觚之類也〔7〕。若欲以為圓冪，失之於多矣〔8〕。以六觚之周，十二而一可也〔9〕。於徽新術，直令圓周自乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圓冪〔10〕。其率：二十五者，圓冪也；三百一十四者，周自乘之冪也〔11〕。置周數六尺二寸八分，令自乘，得冪三十九萬四千三百八十四分。又置圓冪三萬一千四百分。皆以一千二百五十六約之，得此率〔12〕。　　臣淳風等謹按：方面自乘即得其積。圓周求其冪，假率乃通。但此術所求用三、一為率。圓田正法，半周及半徑以相乘。今乃用全周自乘，故須以十二為母。何者？據全周而求半周，則須以二為法。就全周而求半徑，復假六以除之。是二、六相乘除周自乘之數。依密率，以七乘之，八十八而一〔13〕。 【注釋】 〔1〕此即圓面積的第四個公式 〔2〕三與一：3與1之率。此謂圓內接正六邊形的周長是圓直徑的3倍。 〔3〕如圖1-14，以圓直徑自乘形成一個正方形（含有4個以半徑為邊長的小正方形），而以圓內接正六邊形的邊長自乘形成一個大正方形，含有9個以直徑為邊長的正方形。 圖1-14　圓田第四術的推導 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔4〕這裡仍以圓內接正12邊形的面積代替圓面積，由圖1-13，圓內接正12邊形的面積是圓直徑形成的正方形的，因此圓內接正六邊形的周長形成的大正方形有12個圓內接正12邊形。 〔5〕此謂1個正12邊形的面積恰為大正方形的。這也是劉徽采前人用出入相補原理推證圓田又術（1-8-4）的方法記入注中。 〔6〕此謂以圓周形成的正方形不只9個圓直徑形成的正方形，換言之，不只12個圓內接正12邊形的面積。　　非但：不僅，不只。　　若：乃，就。 〔7〕此謂不是圓內接正12邊形的面積。 〔8〕此謂如果以作為圓面積，失誤在於多了一點。 〔9〕此謂圓內接正六邊形周長形成的正方形的面積，除以12，是圓內接正12邊形的面積，是可以的。 〔10〕此為劉徽的修正公式 〔11〕此謂L2:S=314:25。 〔12〕以上的率這樣得到：L2=（628分）2=394384分2，S=314寸2=31 400分2。兩者有等數1 256，以其約簡即可。 〔13〕此為李淳風等的修正公式 【譯文】 又術：圓周自乘，除以12。圓內接正6邊形的周長對於圓的直徑是3比1。因此，正6邊形的周自乘形成的面積，相當於9個圓直徑自乘所形成的正方形。這9個正方形總共形成12個正12邊形，所以說除以12，就是正12邊形的面積。現在使圓周自乘，那就不只是9個圓直徑自乘所形成的正方形。那麼，除以12，更不是正12邊形之類。如果想把它作為圓面積，產生的失誤就在於多了一點。用正6邊形的周長作正方形，除以12，作為正12邊形的面積是可以的。用我的新方法，徑直使圓周自乘，又乘以25，除以314，就得到圓面積。其中的率：25是圓面積的，314是圓周自乘的面積的。布置圓周數6尺2寸8分，使自乘，得到面積394 384分2。又布置圓面積31 400分2，都以1 256約簡，就得到這個率。　　淳風等按：邊長自乘就得到它的面積。用圓周求它的面積，藉助於率就會通達。但是這一方法中所求的卻是用周三徑一作為率。正確的圓田面積方法是半圓周與半徑相乘。現在卻是整個圓周自乘，所以須以12作為分母。為什麼呢？根據整個圓周而求半圓周，則必須以2作為法。根據整個圓周而求它的半徑，應再除以6。這就是用2與6相乘，去除圓周自乘之數。依照密率，乘以7，除以88。 今有宛田〔1〕，下周三十步，徑十六步。問：為田幾何？ 荅曰：一百二十步。 又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問：為田幾何？ 荅曰：五畝六十二步四分步之一。 術曰：以徑乘周，四而一〔2〕。此術不驗〔3〕。故推方錐以見其形〔4〕。假令方錐下方六尺，高四尺。四尺為股，下方之半三尺為句。正面邪為弦〔5〕，弦五尺也。令句、弦相乘，四因之，得六十尺，即方錐四面見者之冪〔6〕。若令其中容圓錐，圓錐見冪與方錐見冪，其率猶方冪之與圓冪也〔7〕。按：方錐下六尺，則方周二十四尺。以五尺乘而半之，則亦方錐之見冪。故求圓錐之數，折徑以乘下周之半，即圓錐之冪也。今宛田上徑圓穹，而與圓錐同術，則冪失之於少矣〔8〕。然其術難用，故略舉大較〔9〕，施之大廣田也。求圓錐之冪，猶求圓田之冪也。今用兩全相乘，故以為法，除之，亦如圓田矣。開立圓術說圓方諸率甚備〔10〕，可以驗此。 【注釋】 〔1〕宛田：是類似於球冠的曲面形。其徑指宛田表面上穿過頂心的大弧，如圖1-15。李籍云：「宛田者，中央隆高。《爾雅》曰：『宛中宛丘。』又曰：『丘上有丘為宛丘。』皆中央隆高之義也。」亦有人根據所設的兩個例題的數值，計算出若為球冠，必為優球冠，而世間不可能有此類田地，從而認為宛田不是球冠形，而是優扇形。今按：《九章算術》的例題只是說明其術文的應用，並不是都來源於人們的生產生活實踐。元朱世傑《四元玉鑒·混積問元門》的畹田有圖示，正是球冠形。 圖1-15　宛田 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕此是《九章算術》提出的宛田面積公式 其中S，L，D為宛田的面積、下周和徑。 〔3〕劉徽指出，《九章算術》宛田術是錯誤的。 〔4〕此謂通過計算方錐的體積以顯現《九章算術》宛田術不正確。推：計算。　　見（xiàn）：顯現。 〔5〕劉徽考慮以方錐下方之半為勾，方錐高為股，正面邪為弦構成的勾股形。　　正面邪：即方錐側面上的高。 〔6〕方錐四面見者之冪：即「方錐見冪」，也就是方錐的表面積（不計底面）。 〔7〕圓錐見冪：即圓錐的表面積（不計底面）。此即劉徽提出的重要原理S方錐:S圓錐=4:π，其中S方錐、S圓錐分別是方錐、圓錐的見冪。如圖1-16。 圖1-16　圓錐與方錐見冪 （采自譯註本《九章算術》） 〔8〕劉徽指出《九章算術》宛田術「不驗」是對的，然而此處的論證並不充分。《九章算術》提出的宛田術是，劉徽提出的圓錐見冪公式是，其中d為圓錐兩母線之和，兩者取同一形式。但由於D＞d，當然有，因而無法由兩者同術而證明比真值小。劉徽在此混淆了D與d，犯了反駁中混淆概念的失誤。這是劉徽極為罕見的失誤。 〔9〕大較：大略，大致。《史記·貨殖列傳》：「夫山西饒材、竹、榖、、旄、玉石，山東多魚、鹽、漆、絲、聲色，江南出楠、梓……此其大較也。」 〔10〕開立圓術：見卷四。 【譯文】 假設有一塊宛田，下周長30步，穹徑16步。問：田的面積是多少？ 答：120步2。 又假設有一塊宛田，下周長99步，穹徑51步。問：田的面積是多少？ 答：5畝步2。 術：以穹徑乘下周，除以4。這一方法不正確。特地用方錐進行推算，以顯現這一問題的真相。假令方錐底面是6尺見方，高是4尺。把4尺作為股，底邊長的一半3尺作為勾，那麼側面上的高就是弦，弦是5尺。使勾與弦相乘，乘以4，得60尺2，就是方錐四個側面所顯現的面積。如果使其中內切一個圓錐，那麼圓錐所顯現的面積與方錐所顯現的面積，其率如同正方形的面積之對於內切圓的面積。按：方錐底邊6尺，那麼底的周長是24尺，乘以5，取其一半，那麼也是方錐所顯現的面積。所以求圓錐的數值，將穹徑折半，乘以底周長的一半，就是圓錐的面積。現在宛田的上徑是一段圓弧，而與圓錐用同一種方法，則產生的面積誤差在於過小。然而這一方法難以處置，因此粗略地舉出其大概，應用於大的田地。求圓錐的面積，如同求圓田的面積。現在用兩個整體相乘，因此以4作為法除之，也像圓田那樣。開立圓術註解釋圓方諸率非常詳細，可以檢驗這裡的方法。 今有弧田〔1〕，弦三十步，矢十五步。問：為田幾何？ 荅曰：一畝九十七步半。 又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。 問：為田幾何？ 荅曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。 術曰：以弦乘矢，矢又自乘，並之，二而一〔2〕。方中之圓，圓里十二觚之冪，合外方之冪四分之三也。中方合外方之半，則朱、青合外方四分之一也〔3〕。弧田，半圓之冪也〔4〕，故依半圓之體而為之術〔5〕。以弦乘矢而半之則為黃冪〔6〕，矢自乘而半之為二青冪〔7〕。青、黃相連為弧體〔8〕。弧體法當應規〔9〕。今觚面不至外畔〔10〕，失之於少矣。圓田舊術以周三徑一為率，俱得十二觚之冪，亦失之於少也。與此相似，指驗半圓之弧耳。若不滿半圓者，益復疏闊。　　宜依句股鋸圓材之術〔11〕，以弧弦為鋸道長，以矢為句深〔12〕，而求其徑〔13〕。既知圓徑，則弧可割分也〔14〕。割之者，半弧田之弦以為股，其矢為句，為之求弦，即小弧之弦也〔15〕。以半小弧之弦為句，半圓徑為弦，為之求股〔16〕，以減半徑，其餘即小弦之矢也〔17〕。割之又割，使至極細。但舉弦、矢相乘之數，則必近密率矣〔18〕。然於算數差繁〔19〕，必欲有所尋究也〔20〕。若但度田，取其大數，舊術為約耳〔21〕。 【注釋】 〔1〕弧田：即今之弓形，如圖1-17。李籍云：「弧田者，有弧有矢，如弧之形。」 圖1-17　弧田 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕設S，c，v分別是弓形的面積、弦和矢，此即弓形面積公式 〔3〕劉徽以半圓作為弧田以論證《九章算術》弧田術之不準確。如圖1-18（1）。「中方」是圓內接正方形，其面積是外方之半。兩朱冪、兩青冪是圓內接正12邊形減去中方所剩餘的部分，如圖1-18（2）。兩青冪分別是ABCD和ALKJ，兩朱冪分別是DEFG和GHIJ。將青冪ALKJ中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別移到AMDCB的Ⅰ′，Ⅱ′，Ⅲ′上，便知一個青冪為外方的。朱冪亦然。兩朱冪與兩青冪的總面積是外方的。 圖1-18　劉徽證明弧田術之不準確 （采自譯註本《九章算術》） 〔4〕「弧田」二句：弧田可以是半圓之冪。 〔5〕故依半圓之體而為之木：故以半圓為例論證《九章算術》弧田術之不準確。 〔6〕以弦乘矢而半之則為黃冪：黃冪是弦矢相乘之半即勾股形ADJ。 〔7〕矢自乘而半之為兩青冪：即勾股形AMD，亦即ABCD與ALKJ之和。 〔8〕青、黃相連為弧體：二青冪與黃冪形成所設的弧體，亦即半圓ABCDJKL，其結構應如圖1-18（2）。 〔9〕弧體法當應規：此謂弧田的弧應與圓弧重合。 〔10〕觚面不至外畔：這是說，如此算出的面積是圓內接正12邊形的一半，達不到外面的圓弧。 〔11〕如圖1-19。已知弧田之弦AB，記為c，及弧田之矢A1D，記為v，勾股鋸圓材之術見卷九。 圖1-19　弧田密率 〔12〕弦AB相當於鋸道長，矢A1D就是鋸道深。 〔13〕依據勾股章勾股鋸圓材之法，那麼弧田所在的圓直徑為。 〔14〕這是將弧田分割成以弦AB為底的等腰三角形A1AB，以及分別以AA1，A1B為弦的兩個小弧田。將小弧田AA2A1再分割成小等腰三角形A2AA1，以及分別以AA2，A2A1為弦的兩個更小弧田。對小弧田BA′2A1亦可分割成小等腰三角形A′2BA1，以及分別以A1A′2，A′2B為弦的兩個更小弧田。如此可以繼續下去。 〔15〕考慮勾股形AA1D，由勾股術，小弧之弦為。 〔16〕由勾股形OA1D1，求出。 〔17〕小弦之矢即小弧之矢。 〔18〕上述的分割過程可以無限繼續下去，依次求出，i=1，2，3，…n。顯然，當n足夠大時，k=1就相當準確，故云「必近密率矣」。顯然，這裡不是一個極限過程，而是極限思想在近似計算中的應用。 〔19〕差（cī）繁：繁雜。差，不整齊，參差。 〔20〕劉徽的意思是，有所尋究，才這樣做。這種「尋究」無疑是數學家的數學研究，具有純數學的性質。　　尋究：查考，研求。 〔21〕約：簡約。劉徽認為，如果實際應用，還是用舊的方法。顯然，在劉徽的頭腦中有明確的純數學研究與數學的實際應用的區分。 【譯文】 假設有一塊弧田，弦是30步，矢是15步。問：田的面積是多少？ 答：1畝步2。 又假設有一塊弧田，弦是步，矢是步。問：田的面積是多少？ 答：2畝步2。 術：以弦乘矢，矢又自乘，兩者相加，除以2。正方形中有一個內切圓，圓中的內接正12邊形的面積等於外切正方形面積的。中間的正方形的面積等於外正方形的一半，那麼朱青的面積等於外正方形的。這裡的弧田是半圓的面積，因此就依照半圓的圖形而考察該術。以弦乘矢，取其一半，作為黃色的面積；矢自乘，取其一半，是二青色的面積。如果青色的與黃色的面積連在一起成為弧體，那麼弧體在道理上應當與圓弧相吻合。但現在這個多邊形的邊達不到圓弧的外周，產生的失誤在於小了。舊的圓田面積的方法以周三徑一為率，都是得到圓內接正12邊形的面積，產生的失誤也在於太小了，與此相同。這裡只考察了半圓形弧田，如果不是半圓形弧田，這種方法更加疏漏。　　應當按照勾股章勾股鋸圓材之術，把弧田的弦作為鋸道長，把矢作為鋸道深，而求弧田所在圓的直徑。既然知道了圓的直徑，那麼弧田就可以被分割。如果分割它的話，以弧田弦的一半作為股，它的矢作為勾，求它的弦，就是小弧的弦。以小弧弦的一半作為勾，圓半徑作為弦，求它的股。以股減半徑，其剩餘就是小弦的矢。對弧分割了再分割，使至極細。只要全部列出弦與矢相乘的數值，將它們相加，則必定會接近密率。然而這種方法的算數非常繁雜，必定要有所研求才這樣做。如果只是度量田地，取它大概的數值，那麼舊的方法還是簡約的。 今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步〔1〕。此欲令與周三徑一之率相應，故言徑五步也。據中、外周，以徽術言之，當徑四步一百五十七分步之一百二十二也〔2〕。　　臣淳風等謹按：依密率，合徑四步二十二分步之十七〔3〕。問：為田幾何？ 荅曰：二畝五十五步。於徽術，當為田二畝三十一步一百五十七分步之二十三〔4〕。　　臣淳風等依密率，為田二畝三十步二十二分步之十五〔5〕。 又有環田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。此田環而不通匝〔6〕，故徑十二步三分步之二。若據上周求徑者，此徑失之於多，過周三徑一之率，蓋為疏矣。於徽術，當徑八步六百二十八分步之五十一〔7〕。　　臣淳風等謹按：依周三徑一考之，合徑八步二十四分步之一十一〔8〕。依密率，合徑八步一百七十六分步之一十三〔9〕。問：為田幾何？ 荅曰：四畝一百五十六步四分步之一。於徽術，當為田二畝二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也〔10〕。依周三徑一，為田三畝二十五步六十四分步之二十五〔11〕。　　臣淳風等謹按密率，為田二畝二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也〔12〕。 術曰：並中、外周而半之，以徑乘之，為積步〔13〕。此田截而中之周則為長。並而半之知〔14〕，亦以盈補虛也〔15〕。此可令中、外周各自為圓田，以中圓減外圓，余則環實也〔16〕。 密率術曰〔17〕：置中、外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周減外周，余半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為密實。分母相乘為法。除之為積步，余，積步之分。以畝法除之，即畝數也〔18〕。按：此術，並中、外周步數於上，分母、子於下。母互乘子者，為中、外周俱有分，故以互乘齊其子。母相乘同其母。子齊母同，故通全步，內分子。「半之」知〔19〕，以盈補虛，得中平之周。〔20〕周則為從，徑則為廣，故廣、從相乘而得其積。既合分母，還須分母出之。故令周、徑分母相乘而連除之，即得積步。不盡，以等數除之而命分。以畝法除積步，得畝數也。 【注釋】 〔1〕環田：即今之圓環，如圖1-20（1）。李籍云：「環田者，有肉有好，如環之形。《爾雅》曰：『肉好若一，謂之環。』或作鐶。」知當時還有一抄本作「鐶田」。　　中周：即圓環的內圓之周。　　外周：即圓環的外圓之周。　　徑：即中外周之間的距離。 圖1-20　圓環 （采自《古代世界數學泰斗劉徽》） 〔2〕記圓環之徑為d，構成圓環的內圓的周長和半徑分別是L1，r1，外圓的周長和半徑分別是L2，r2。則劉徽求出圓環之徑 〔3〕李淳風等求出圓環之徑。 〔4〕劉徽求得面積。 〔5〕李淳風等求得面積。 〔6〕此問之環田為大約240°的環缺，如圖1-20（2），故劉徽說「此田環而不通匝」。　　匝：周。環繞一周曰一匝。《史記·高祖本紀》：「圍宛城三匝。」 〔7〕不知為什麼，劉徽和李淳風等都將其看成「通匝」的圓環進行計算。劉徽的計算應是 〔8〕李淳風等依周3徑1的計算是 由下文劉徽計算了按周3徑1的面積，劉徽應按周3徑1計算過直徑。 〔9〕李淳風等依密率的計算是 〔10〕劉徽依環田密率術的計算是 〔11〕劉徽依周3徑1之率的計算是 〔12〕李淳風等依環田密率術的計算是 〔13〕此即圓環面積公式 〔14〕知：訓「者」，見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔15〕此處「以盈補虛」是將圓環沿環徑剪開，展成等腰梯形，如圖1-21。然後如梯形（箕田）那樣出入相補。 圖1-21　環田展為梯形 （采自沈康身《九章算術導讀》） 〔16〕這是劉徽提出的圓環的另一面積公式 其中S1，S2分別是構成圓環的內圓和外圓的面積。 〔17〕此術是針對各項數值都帶有分數的情形而設的，比關於整數的上術精密，故稱「密率術」。 〔18〕用現代符號寫出，此術亦是（1-15）式。 〔19〕知：訓「者」，其說見劉徽序「故枝條雖分而同本干知」之注釋。 〔20〕中平之周：中周與外周長的平均值。中平，平均。 【譯文】 假設有一塊環田，中周長92步，外周長122步，環徑5步。這裡想與周三徑一之率相應，所以說環徑5步。根據中、外周，用我的方法處理它，環徑應當是步。　　淳風等按：依照密率，環徑是步。問：田的面積是多少？ 答：2畝55步2。用我的方法，田的面積應當是2畝步2。　　淳風等按：依照密率，田的面積是2畝步2。 又假設有一塊環田，中周長是步，外周長是步，環徑是步。這塊田是環形的但不滿一周，所以環徑為步。如果根據上述周長求環徑，這一環徑的誤差在於太大，超過了周三徑一之率，很粗疏。用我的方法，環徑應當是步。　　淳風等按：依照周三徑一之率考察之，環徑是步。依照密率，環徑是步。問：田的面積是多少？ 答：4畝步2。用我的方法，田的面積應當是2畝步2。依周三徑一之率，田的面積是3畝步2。　　淳風等按：依照密率，田的面積是2畝步2。 術：中外周長相加，取其一半，乘以環徑長，就是積步。這塊田被截割而得到的中平之周，就作為長。「中外周長相加，取其一半」，也是以盈補虛。這裡也可以使中、外周各自構成圓田，以中周減外周，由其餘數就得到環田的面積。 密率術：布置中、外周長的步數，分子、分母各置於下方，分母互乘分子，將整數部分通分，納入分子。以中周減外周，取其餘數的一半，增益到中周上。對環徑亦通分，納入分子。以它乘周長，作為密實。周、徑的分母相乘，作為法。實除以法，就是積步；餘數是積步中的分數。以畝法除之，就是畝數。按：在此術中，將中、外周長步數相加，置於上方，分子、分母置於下方。「分母互乘分子」，是因為中、外周長都有分數，所以通過互乘使它們的分子相齊。分母相乘，是使它們的分母相同。分子相齊，分母相同，所以可以將步數的整數部分通分，納入分子。取中、外周長之和的一半，這是為了以盈補虛，得中平之周。中平之周就是縱，環徑就是廣，所以廣縱相乘就得到它們的積。既然分子中融合了分母，還需把分母分離出去，所以要使周、徑的分母相乘而合起來除，就得到積步。如不盡，就用等數約之，命名一個分數。以畝數除積步，便得到畝數。