九章算術譯註 · 九章算術卷第八

魏　劉徽　注 唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉敕注釋 方程〔1〕以御錯糅正負〔2〕 今有上禾三秉〔3〕，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問：上、中、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉九斗四分斗之一， 中禾一秉四斗四分斗之一， 下禾一秉二斗四分斗之三。 方程程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率〔4〕，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，並列為行，故謂之方程〔5〕。行之左右無所同存，且為有所據而言耳〔6〕。此都術也，以空言難曉，故特系之禾以決之〔7〕。術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗於右方。中、左禾列如右方〔8〕。又列中、左行如右行也〔9〕。右行上禾遍乘中行，而以直除〔10〕。為術之意，令少行減多行，返覆相減，則頭位必先盡。上無一位，則此行亦闕一物矣。然而舉率以相減，不害餘數之課也〔11〕。若消去頭位，則下去一物之實。如是疊令左右行相減〔12〕，審其正負，則可得而知。先令右行上禾乘中行，為齊同之意。為齊同者，謂中行直減右行也〔13〕。從簡易雖不言齊同，以齊同之意觀之，其義然矣〔14〕。又乘其次，亦以直除。復去左行首〔15〕。然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。亦令兩行相去行之中禾也〔16〕。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實〔17〕。上、中禾皆去，故餘數是下禾實，非但一秉。欲約眾秉之實，當以禾秉數為法。列此，以下禾之秉數乘兩行，以直除，則下禾之位皆決矣〔18〕。各以其餘一位之秉除其下實。即計數矣，用算繁而不省〔19〕。所以別為法，約也。然猶不如自用其舊，廣異法也〔20〕。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實〔21〕。此謂中兩禾實〔22〕，下禾一秉實數先見，將中秉求中禾〔23〕，其列實以減下實〔24〕。而左方下禾雖去一秉，以法為母，於率不通〔25〕。故先以法乘，其通而同之〔26〕。俱令法為母，而除下禾實〔27〕。以下禾先見之實令乘下禾秉數，即得下禾一位之列實〔28〕。減於下實，則其數是中禾之實也〔29〕。余，如中禾秉數而一，即中禾之實〔30〕。余，中禾一位之實也。故以一位秉數約之，乃得一秉之實也。求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實〔31〕。此右行三禾共實，合三位之實，故以二位秉數約之，乃得一秉之實〔32〕。今中、下禾之實，其數並見，令乘右行之禾秉以減之，故亦如前，各求列實，以減下實也。余，如上禾秉數而一，即上禾之實〔33〕。實皆如法，各得一斗〔34〕。三實同用。不滿法者，以法命之。母、實皆當約之。 【注釋】 〔1〕方程：中國古典數學的重要科目，「九數」之一，即今之線性方程組解法，與今之「方程」的含義不同。今之方程古代稱為開方。1859年李善蘭（1811—1882）與傳教士偉烈亞力（A.Wylie，1815—1887）合譯棣麼甘（De Morgen，1806—1871）的《代數學》時，將equation譯作「方程」，1872年華蘅芳（1833—1902）與傳教士傅蘭雅（J.Fryer，1839—？）合譯華里司（William Wallace，1768—1843）的《代數術》時將equation譯作「方程式」。華蘅芳在《學算筆談》（1896）等著作中「方程」與「方程式」並用，前者仍是《九章算術》本義，後者指equation。1934年數學名詞委員會確定用「方程（式）」表示equation，用「線性方程組」表示中國古代的「方程」。1950年傅鍾孫力主去掉「式」字，1956年科學出版社出版的《數學名詞》去掉了「式」字，最終改變了「方程」的本義。 〔2〕錯糅（róu）：就是交錯混雜。糅，本義是雜飯，引申為混雜，混合。《儀禮·鄉射禮》：「旌各以其物，無物，則以白羽與朱羽糅槓。」鄭玄註：「糅，雜也。」 〔3〕禾：粟，今之小米。《說文解字》：「禾，嘉穀也。」又指莊稼的莖稈。《說文解字》：「稼，禾之秀實為稼，莖節為禾。」這裡應該是帶谷穗的谷秸。　　秉：禾束，禾把。《詩經·小雅·大田》：「彼有遺秉，此有滯穗。」毛傳：「秉，把也。」李籍云：「一禾為秉。」 〔4〕令每行為率：此謂每一個數量關係構成一個有順序的整體，並投入運算，類似於今之線性方程組中之行向量的概念。行，古代豎置為行，橫置為列，與今相反。因此古代方程的一行，仍是今之線性方程組的一行。只不過古代的行是自右向左排列。 〔5〕此為劉徽關於方程的定義。自宋以來，直到20世紀，關於方程的含義多有誤解，比如將「方」理解成方形，方陣，正，比，比方等；將「程」理解成式、表達式等。這都是望文生義。方程：本義是並而程之。方，並也。《說文解字》：「方，並船也。像兩舟，省總頭形。」程，本義是度量名，引申為事務的標準。《荀子·致仕》：「程者，物之准也。」《九章算術》「冬（春、夏、秋）程人功」、「程功」、「程行」、「程粟」等皆指標準度量。因此，方程就是並而程之，即將諸物之間的幾個數量關係並列起來，考察其度量標準。一個數量關係排成有順序的一行，像一枝竹或木棍。將它們一行行並列起來，恰似一條竹筏或木筏，這正是方程的形狀。顯然，劉徽的定義完全符合《九章算術》方程的本義。李籍云：「方者，左右也。程者，課率也。左右課率，總統群物，故曰方程。」李籍的說法接近本義。《儀禮·大射禮》：「左右曰方。」鄭玄註：「方，出旁也。」應該是由「並」引申出來的。 〔6〕行之左右無所同存，且為有所據而言耳：此謂方程中沒有等價的行，同時，每一行都是有根據的。前者符合現代線性方程組有解的條件。 〔7〕劉徽認為，方程術是「都術」，即普遍方法。但是，由於方程術太複雜，只好藉助於禾來闡釋。　　決：古多作「決」。本義是開鑿壅塞，疏通水道，引申為解決問題。 〔8〕這是列出方程，如圖8-1（1），設x，y，z分別表示上、中、下禾一秉之實，它相當於線性方程組 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 x+2y+3z=26。 圖8-1 〔9〕又列中、左行如右行也：各本均竄於「術曰」之前，今校正。 〔10〕遍乘：整個地乘，普遍地乘。遍，普遍地。　　直除：面對面相減，兩行對減。直，當，臨。《儀禮·士冠禮》：「直東序西面。」賈公彥疏：「直，當也。謂當堂上東序牆也。」除，減。此是以右行上禾係數3乘整個中行，如圖8-1（2）。然後以右行與中行對減，兩度減，中行上禾的係數變為0，如圖8-1（3）。它相當於線性方程組 3x+2y+z=39 5y+z=24 x+2y+3z=26。 〔11〕舉率以相減，不害餘數之課也：方程整個的行互相減，不影響方程的解。劉徽在此提出了方程術消元的理論基礎。劉徽對此沒有證明，顯然認為這是一條不證自明的公理。劉徽「令每行為率」，則舉率就是整行。 〔12〕疊：重複，重疊。《玉篇》：「疊，重也，累也。」 〔13〕為齊同者，謂中行直減右行也：為了做到齊同，就是說應當從中行對減去右行。 〔14〕以齊同之意觀之，其義然矣：不過以齊同的意圖考察之，其意義確實是這樣。劉徽以齊同原理闡釋方程術的消元法。他「令每行為率」，因此便可以將率的三種等量變換「乘以散之，約以聚之，齊同以通之」施用於方程。以某數乘整行，如上述以右行的上禾係數3乘中行，就是乘以散之。同樣，如果一行中諸係數和常數項有等數，可以約去，就是約以聚之。而消元的過程就是齊同以通之。也就是說，以右行首項係數乘整個中行，就是使中行其他項與其首項相齊；而從中行直減右行，直到使中行首項係數化為0，實際上減去的右行首項係數的總數量與中行首項相同，就是同。後來李淳風等在《張丘建算經注釋》中稱為「同齊者，謂同行首，齊諸下」。對其他行、其他項亦如此。 〔15〕此是以右行上禾係數3乘整個左行，以右行直減左行，使左行上禾係數也化為0，如圖8-1（4）。它相當於線性方程組 3x+2y+z=39 5y+z=24 4y+8z=39。 〔16〕這是以中行中禾係數5乘左行整行，以中行直減左行，4度減，則左行中禾係數亦化為0。 〔17〕左行下禾係數為36，實為99。下禾係數與實有等數9，以其約簡，下禾係數為4，作為法，實為11。實只是下禾的實。如圖8-1（5），它相當於線性方程組 3x+2y+z=39 5y+z=24 4z=11。 〔18〕皆決：皆去。決，訓「絕」。此處劉徽仍用直除法由左行下禾係數消去中、右行的下禾係數，如圖8-1（6）所示。它相當於線性方程組 12x+8y=145 4y=17 4z=11。 同樣，再用中行中禾的係數消去右行中禾的係數，如圖8-1（7）。它相當於線性方程組 4x=37 4y=17 4z=11。 顯然，這是一種將直除法進行到底的方法，與《九章算術》的方法（見下）有所不同。 〔19〕即計數矣，用算繁而不省：那麼統計用算的次數，運算太繁瑣而不簡省。即，訓「則」。數，用算的次數。 〔20〕然猶不如自用其舊，廣異法也：然而這種方法還不如仍用其舊法，不過，這是為了擴充不同的方法。 〔21〕「求中禾」三句：《九章算術》為了求中禾，以左行的法（即下禾的係數）乘中行的下實，減去左行下禾的實。記直除後中行的實為B′，中禾係數為，下禾係數為，左行的法（即下禾係數）為，下實為C′，則得。在此問中即24×4-11×1=85。 〔22〕中兩禾實：即中行的中、下兩種禾之實。中，謂中行。此下是劉徽解釋《九章算術》的方法。 〔23〕下禾一秉實數先見（xiàn），將中秉求中禾：1捆下等禾的實數已先顯現出來了，那麼就中等禾的捆數求中等禾的實。見，顯現。中秉，指中禾秉數。 〔24〕其列實以減下實：就用它（下禾）的列實去減中行下方的實。此處「列實」指下禾的列實，即左行下禾的實乘中行的下禾秉數。此問中即是11×1。其，它的。 〔25〕「左方下禾雖去一秉」三句：雖可以減去左行1捆下等禾的實，可是以法作為分母，對於率不能通達。此謂由左行可以求出下禾一秉之實，減中行、右行，可是那樣做會出現以法為分母的分數，於率不通。 〔26〕其通而同之：使其通達而做到同。「通而同之」系漢、魏關於齊同術的術語，它是通過「通」而做到「同」，與方田章等處的「同而通之」通過「同」做到「通」不同。 〔27〕俱令法為母，而除下禾實：都以左行的法作為分母，而減去下等禾的實。 〔28〕以下禾先見之實令乘下禾秉數，即得下禾一位之列實：以左行下等禾先顯現的實乘中行下等禾的捆數，就得到下等禾一位的列實。 〔29〕減於下實，則其數是中禾之實也：以它去減中行下方的實，則其餘數就是中等禾之實。 〔30〕余，如中禾秉數而一，即中禾之實：中禾之餘實除以中行的中禾的秉數，即就是中禾之實（仍以左行之法為法）。記右行實為A1，右行之上、中、下禾係數為a1，a2，a3，即得。此問中即以（24×4-11×1）÷5=17為中禾之實，以4為法。 〔31〕「求上禾」三句：如果求上禾，《九章算術》亦以左行之法乘右行下實，減去左行下禾之實乘右行下禾秉數，再減去中行中禾之實乘右行中禾秉數。此問中即39×4-11×1-17×2。 〔32〕乃得一秉之實：就得到1秉一種禾的實。 〔33〕余，如上禾秉數而一，即上禾之實：其餘數，除以上等禾的捆數，就是1捆上等禾之實。余，指以左行之法乘右行下實，減去左行下禾實乘右行下禾秉數，再減去中行中禾之實乘右行中禾秉數之餘數。它除以右行上禾之秉數，即，就是上禾之實，仍以左行之法為法。在此問中就是（39×4-11×1-17×2）÷3=37，仍以4為法。亦得到形如圖8-1（7）的方程。《九章算術》在消去中、左行的首項及左行的中項之後，沒有再用直除法，而是採用類似於今之代入法的方法求解。劉徽認為這種方法比一直使用直除法簡約。 〔34〕實皆如法，各得一斗：這就是實皆除以法，分別得1捆的斗數。亦即得到1秉上禾之實斗，1秉中禾之實斗，1秉下禾之實斗。 【譯文】 方程處理交錯混雜及正負問題 假設有3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗實；2捆上等禾，3捆中等禾，1捆下等禾，共34斗實；1捆上等禾，2捆中等禾，3捆下等禾，共26斗實。問：1捆上等禾、1捆中等禾、1捆下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾斗， 1捆中等禾斗， 1捆下等禾斗。 方程程，就是求解其標準。各種物品混雜在一起，各列都有不同的數，總的表示出它們的實。使每行作為率，兩個物品有兩程，三個物品有三程，程的多少都與物品的種數相等。把各列並列起來，就成為行，所以叫作方程。某行的左右不能有等價的行，而且都是有所根據而表示出來的。這是一種普遍方法，因為太抽象的表示難以使人通曉，所以特地將它與禾聯繫起來以解決之。 術：在右行布置3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗實。中行、左行的禾也如右行那樣列出。又像右行那樣列出中行、左行。以右行的上等禾的捆數乘整個中行，而以右行與之對減。造術的意圖是，數值小的行減數值大的行，反覆相減，則頭位必定首先減盡。上面沒有了這一位，則此行就去掉了一種物品。然而用整個的行互相減，其餘數不影響方程的解。若消去了這一行的頭位，則下面也去掉一種物品的實。像這樣，反覆使左右行相減，考察它們的正負，就可以知道它們的結果。先使右行上等禾的捆數乘整個中行，意圖是要讓它們齊同。為了做到齊同，就是說應當從中行對減去右行。遵從簡易的原則，雖然不叫作齊同，不過以齊同的意圖考察之，其意義確實是這樣。又以右行上禾的捆數乘下一行，亦以右行對減。再消去左行頭一位。然後以中行的中等禾沒有減盡的捆數乘整個左行，而以中行對減。又使中、左兩行相消除去左行的中等禾。左行的下等禾沒有減盡的，上方的作為法，下方的作為實。這裡的實就是下等禾之實。左行的上等禾、中等禾皆消去了，所以餘數就是下等禾之實，但不是1捆的。想約去眾多的捆的實，應當以下等禾的捆數作為法。列出這一行，以下等禾的捆數乘另外兩行，以左行對減，則這二行下等禾位置上的數就都被消去了。分別以各行餘下的一種禾的捆數除下方的實。那麼統計用算的次數，運算太繁瑣而不簡省。創造別的方法，是為了約簡。然而這種方法還不如仍用其舊法，不過，這是為了擴充不同的方法。如果要求中等禾的實，就以左行的法乘中行下方的實，而減去下等禾之實。這是說中行有中等、下等兩種禾的實，而1捆下等禾的實數已先顯現出來了，那麼就中等禾的捆數求中等禾的實，就用下禾的列實去減中行下方的實。——而雖可以減去左行1捆下等禾的實，可是以法作為分母，對於率不能通達。所以先以左行的法乘中行下方的實，使其通達而做到同。都以左行的法作為分母，而減去下等禾的實。以左行下等禾先顯現的實乘中行下等禾的捆數，就得到下等禾一位的列實。以它去減中行下方的實，則其餘數就是中等禾之實。它的餘數，除以中等禾的捆數，就是1捆中等禾的實。餘數是中等禾這一種物品的實。所以以它的捆數除之，就得到1捆中等禾的實。如果要求上等禾的實，也以左行的法乘右行下方的實，而減去下等禾、中等禾的實。這右行是三種禾共有的實，是三種物品的實之和，所以去掉二種物品的捆數，就得到一種的實。現在中等禾、下等禾的實，它們的數量都顯現出來了，便以它們乘右行中相應的禾的捆數，以減下方的實，所以也像前面那樣，分別求出中等禾、下等禾的列實，以它們減下方的實。其餘數，除以上等禾的捆數，就是1捆上等禾之實。這就是實皆除以法，分別得1捆的斗數。三個實被同樣地使用。如果實有不滿法的部分，就以法命名一個分數。分母、分子都應當約簡。 今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗；下禾八秉，益實一斗，與上禾二秉，而實一十斗〔1〕。問：上、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實一斗五十二分斗之一十八， 下禾一秉實五十二分斗之四十一。 術曰：如方程。損之曰益，益之曰損〔2〕。問者之辭雖〔3〕？今按：實雲上禾七秉、下禾二秉，實一十一斗；上禾二秉、下禾八秉，實九斗也〔4〕。「損之曰益」，言損一斗，余當一十斗。今欲全其實，當加所損也。「益之曰損」，言益實以一斗，乃滿一十斗。今欲知本實，當減所加，即得也。損實一斗者，其實過一十斗也；益實一斗者，其實不滿一十斗也。重諭損益數者，各以損益之數損益之也。 【注釋】 〔1〕設x，y分別表示上、下禾一秉之實，題設相當於給出關係 （7x-1）+2y=10 2x+（8y+1）=10。 〔2〕損之曰益，益之曰損：在此處減損某量，也就是說在彼處增益同一個量，在此處增益某量，也就是說在彼處減損同一個量。損益是建立方程的一種重要方法。損之曰益，是說關係式一端減損某量，相當於另一端增益同一量。益之曰損，是說關係式一端增益某量，相當於另一端減損同一量。雖然《九章算術》沒有賦予其「損益術」之名，但從許多題目聲明「損益之」來看，它與正負術等術文具有同等的功能。損益之說本是先秦哲學家的一種辯證思想。《周易·損》：「損下益上，其道上行。」《老子·四十二章》：「物或損之而益，或益之而損。」其他學者也經常用到「損益」。《九章算術》的編纂者借用「損益」這一術語，仍是增減的意思，與《老子》之說十分接近，當然其含義稍有不同。一般認為，代數「algebra」來自阿拉伯文al jabr，是因為花拉子米（Al-Khowârizmî，約783—約850）寫了一部代數著作《算法與代數學》（al-Kitāb al-mukhta sarfi hisab al-jabr wa almuquābala，直譯為《還原與對消計算概要》）。Al jabr在阿拉伯文中的意思是「還原」或「移項」，解方程時將負項由一端移到另一端，變成正項，就是「還原」；wa'l muquābalah是「對消」，即將兩端相同的項消去或合併同類項。（D.E.Smith，History of Mathematics，vol.Ⅱ，Dover Publications，P.382，1925）顯然，《九章算術》使用還原與合併同類項，要比花拉子米早一千年左右。 〔3〕問者之辭雖：提問者的話是什麼意思呢？雖，古與「誰」通用，訓為「何」。 〔4〕劉徽指出，通過損益，其線性方程組就是 7x+2y=11 2x+8y=9。 【譯文】 假設有7捆上等禾，如果它的實減損1斗，又增益2捆下等禾，而實共是10斗；有8捆下等禾，如果它的實增益1斗，與2捆上等禾，而實也共是10斗。問：1捆上等禾、下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾的實斗， 1捆下等禾的實斗。 術曰：如同方程術那樣求解。在此處減損某量，也就是說在彼處增益同一個量，在此處增益某量，也就是說在彼處減損同一個量。提問者的話是什麼意思呢？今按：這實際上是說，7捆上等禾、2捆下等禾，實是11斗；2捆上等禾、8捆下等禾，實是9斗。「在此處減損某量，也就是說在彼處增益同一個量」，是說實減損1斗，餘數應當是10斗。今想求它的整個實，應當加所減損的數量。「在此處增益某量，也就是說在彼處減損同一個量」，是說實增益1斗，才滿10斗。今想知道本來的實，應當減去所增加的數量，就得到了。「它的實減損1斗」，就是它的實超過10斗的部分；「它的實增益1斗」，就是它的實不滿10斗的部分。再一次申明減損增益的數量，就是各以減損增益的數量對之減損增益。 今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中、中取下、下取上各一秉而實滿斗〔1〕。問：上、中、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實二十五分斗之九， 中禾一秉實二十五分斗之七， 下禾一秉實二十五分斗之四。 術曰：如方程。各置所取。置上禾二秉為右行之上，中禾三秉為中行之中，下禾四秉為左行之下。所取一秉及實一斗各從其位。諸行相借取之物，皆依此例。以正負術入之〔2〕。 正負術曰〔3〕：今兩算得失相反，要令正、負以名之〔4〕。正算赤，負算黑。否則以邪、正為異〔5〕。方程自有赤、黑相取，法、實數相推求之術，而其並、減之勢不得廣通，故使赤、黑相消奪之〔6〕。於算或減或益，同行異位殊為二品，各有並、減之差見於下焉〔7〕。著此二條〔8〕，特系之禾以成此二條之意。故赤、黑相雜足以定上下之程，減、益雖殊足以通左右之數，差、實雖分足以應同異之率〔9〕。然則其正無人以負之〔10〕，負無人以正之〔11〕，其率不妄也〔12〕。同名相除〔13〕，此謂以赤除赤，以黑除黑。行求相減者〔14〕，為去頭位也〔15〕。然則頭位同名者當用此條；頭位異名者當用下條〔16〕。異名相益〔17〕，益行減行，當各以其類矣〔18〕。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對也，非所得減也〔19〕。故赤用黑對則除，黑〔20〕，無對則除，黑〔21〕；黑用赤對則除，赤〔22〕，無對則除，赤〔23〕；赤、黑並於本數。此為相益之〔24〕，皆所以為消、奪。消、奪之與減、益成一實也〔25〕。術本取要，必除行首，至於他位，不嫌多少，故或令相減，或令相併，理無同異而一也〔26〕。正無人負之〔27〕，負無人正之〔28〕。無人，為無對也。無所得減，則使消奪者居位也。其當以列實或減下實〔29〕，而行中正、負雜者亦用此條〔30〕。此條者，同名減實、異名益實，正無人負之，負無人正之也。　　其異名相除〔31〕，同名相益〔32〕，正無人正之〔33〕，負無人負之〔34〕。此條「異名相除」為例，故亦與上條互取。凡正負所以記其同異，使二品互相取而已矣〔35〕。言負者未必負於少，言正者未必正於多〔36〕。故每一行之中雖復赤、黑異算無傷。然則可得使頭位常相與異名〔37〕。此條之實兼通矣，遂以二條返覆一率。觀其每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術也〔38〕。又，本設諸行，欲因成數以相去耳〔39〕，故其多少無限，令上下相命而已。若以正、負相減，如數有舊增法者，每行可均之，不但數物左右之也〔40〕。 【注釋】 〔1〕設x，y，z分別表示上、中、下禾一秉之實，它相當於線性方程組 2x+y=1 3y+z=1 x+4z=1。 其籌式如圖8-2（1）。 圖8-2 〔2〕以正負術入之：將正負術納入其解法。入，納入。此問的方程在消去左行上禾的係數時，其中會出現0-1=-1的運算，從而變成 2x+y=1 3y+z=1 -y+8z=1。 其籌式如圖8-2（2），所以要將正負術納入此術的解法。 〔3〕正負術：即正負數加減法則。《九章算術》中負數的引入及正負數加減法則的提出，都是世界上最早的，超前其他文化傳統幾百年甚至上千年。 〔4〕這是劉徽的正負數定義。它表示，正數與負數是互相依存的，相對的。正數相對於負數而言為正數，負數相對於正數而言為負數。因此，正數與負數可以互相轉化，已經擺脫了以盈為正，以欠為負的素樸觀念。 〔5〕正算赤，負算黑：這是正負數的算籌表示法。不過學術界在理解上尚有不同意見。有的學者認為是整個算籌塗成紅色或黑色，有的學者認為只是在算籌上有紅色或黑色的標記。「以邪正為異」，有的學者認為是指邪置、正置，有的學者認為指正算的截面為正三角形（有三廉），負算的截面為正方形（有四廉）。宋元時期常在算籌上置一邪籌表示負數。本書亦以這種方式表示負數，如圖8-2（2）左行的，就表示-1。 〔6〕消奪：指相消與奪位兩種運算。相消是以某數消減另一個數。如果將該數相消化為0，則就是奪，即奪其位。 〔7〕「於算或減或益」三句：對於算數有的減損，有的增益，它們在同一行的不同位置上完全表示兩種不同的物品，它們各有加，有減，其和差顯現於下方。益，增益，加。見，顯現。劉徽在此說明為什麼必須建立正負術，即赤、黑相消奪之術。 〔8〕二條：指正負數加法法則與正負數減法法則。 〔9〕赤、黑相雜：指方程的一行中正負數相雜。　　減、益雖殊：指方程中左右行相對的正負數相加減。　　差、實雖分：指各行中諸未知數的係數與實的關係。劉徽在此說明正負術在這三種情況中的應用。這裡的「率」指計算方法。「率」的本義是標準，引申為按標準計算，計算方法。《隋書·律曆志》在談到數學方法時說：「夫所謂率者，有九流焉。」 〔10〕正無人以負之：正的算數如果無偶，就變成負的。無人，就是「無偶」。人，偶，伴侶。《莊子·大宗師》：「彼方且與造物者為人，而游乎天地之一氣。」王先謙集解引王引之云：「為人，猶言為偶。」「無人」系《大典》本、楊輝本之原文，不誤。楊輝本「賣牛羊」問在「一法」之「無入」下註：「古本誤刻『無人』者，非。」所謂「古本」即北宋賈憲的《黃帝九章算經細草》，它是楊輝本的底本。宋景昌據此認為「楊氏亦從『入』」。戴震輯錄校勘本改「人」作「入」。錢寶琮認定戴震此處參考過《永樂大典》中所引楊輝本。此後諸本均改作「入」。汪萊、李潢不同意戴震的意見。汪萊云：「『無人』，『人』不誤。『無人』謂有空位也。」李潢云：「『入』字原本作『人』，孔刻改為『入』，非是。」李潢本「於經、注作『入』，仍微波榭本也。『說』中作『人』，遵原本也」。然此後各本均從戴校。今恢復《大典》本、楊輝本原文。下「無人」均同，恕不再注。以，訓「則」。 〔11〕負無人以正之：負的算數如果無偶，就變成正的。 〔12〕率：這裡亦指計算方法。 〔13〕同名相除：相減的兩個數如果符號相同，則它們的數值相減。這是《九章算術》提出的正負數減法法則。名，名分，指稱，此處即今之正負號。同名，同號。除，這裡是減的意思。此謂符號相同的數相減，即劉徽所說的「以赤除赤」，「以黑除黑」，則它們的數值（這裡是絕對值）相減。即 （±a）-（±b）=±（a-b），a＞b， （±a）-（±b）=∓（b-a），a＜b。 〔14〕相減：這裡指相加減，偏詞復義。 〔15〕為去頭位：為的是消去頭位。《九章算術》的直除法只是消去某行的頭位。 〔16〕此條：指正負數減法法則中的「同名相除」。　　下條：指下文正負數減法法則中的「異名相益」。 〔17〕異名相益：相減的兩個數如果符號不同，則它們的數值相加。異名，即不同號。這裡是說，符號不同的數相減，即以赤除黑，或以黑除赤，則它們的數值（這裡是絕對值）相加。即 （±a）-（∓b）=±（a+b）。 〔18〕益行減行，當各以其類矣：兩行相加或相減，都應當分別依據它們的類別。其類，它們的類別。這裡指同號、異號。 〔19〕「非其類者」三句：不是它那一類的，就好像是沒有對減的數，則就不可以相減了。無對，沒有相對的數。這是說在建立正負數加減法則之前正負數是無法相加減的。 〔20〕故赤用黑對則除，黑：紅算數如果用黑算數作對減的數，則得黑算數。此即 （-a）-（+b）=-（a+b）。 〔21〕無對則除，黑：如果紅算數沒有與之對減的數，也得黑算數，即 0-（+a）=-a。 〔22〕黑用赤對則除，赤：黑算數如果用紅算數對減，則得紅算數，即 （+a）-（-b）=+（a+b）。 〔23〕無對則除，赤：如果黑算數沒有與之對減的數，也得紅算數，即 0-（-a）=a。 〔24〕之：語氣詞。 〔25〕消奪之與減益成一實：此謂通過消奪減益化成一種物品的實。 〔26〕劉徽在此又一次強調，《九章算術》的直除法是消去某行有效數字的頭位，而其他位或者相減，或者相加，都是同一個道理。而：訓「乃」。王引之《經傳釋詞》卷七：「『而』，猶『乃』也。」 〔27〕正無人負之：《九章算術》的術文是說，正數沒有與之對減的數，則為負數。即 0-（+a）=-a，a＞0。 〔28〕負無人正之：《九章算術》的術文是說，負數沒有與之對減的數，則為正數。即 0-（-a）=+a，a＞0。 以上兩種情形都是劉徽所說的「消奪者居位」。 〔29〕或：與「有」通，訓「而」，見裴學海《古書虛字集釋》卷二。 〔30〕此條：指正負數減法法則。 〔31〕其異名相除：如果兩者是異號的，則它們的數值（這裡是絕對值）相減。即 （±a）+（∓b）=±（a-b），a＞b。 自此起是《九章算術》提出的正負數加法法則。 〔32〕同名相益：如果相加的兩者是同號的，則它們的數值（這裡是絕對值）相加。即 （±a）+（±b）=±（a+b）。 〔33〕正無人正之：如果正數沒有與之相加的，則為正數。即 0+（+a）=+a，a＞0。 〔34〕負無人負之：如果負數沒有與之相加的，則為負數。即 0+（-a）=-a，a＞0。 〔35〕使二品互相取而已：只是使二種物品互取而已。 〔36〕劉徽在此再一次闡明正數與負數是相對的，就其絕對值而言，正的未必就大，負的未必就小。 〔37〕劉徽指出，在一行中，赤算統統變成黑算，黑算統統變成赤算，其數量關係不變。因此，可以將用來消元的兩行的頭位變成互相異號，以使它們相加。 〔38〕劉徽認為，由於正數與負數是相對而言的，並且減一正數相當於加一負數，減一負數相當於加一正數，那麼，正負數的加減法則可合為一術。即 （±a）-（±b）=（±a）+（∓b）=±（a-b）。 〔39〕成數：指每行都有確定之數，故可相減。成，訓「定」，猶如開方術「成方」之「成」。 〔40〕「如數有舊增（cénɡ）法者」三句：如一行諸數中有原來的法的重疊，那麼這一行可以自行調節，不只是對各物品的數量利用左右行相消。換言之，如果某行的諸數中有公因子，可以用它約簡，不只是左右行相消。增，訓「層」。劉向《說苑·反質》：「宮室台閣，連屬增累。」增法，重疊的法。均，調和，調節。《詩經·小雅·皇皇者華》：「我馬維駰，六轡既均。」毛傳：「均，調也。」 【譯文】 假設有2捆上等禾，3捆中等禾，4捆下等禾，它們各自的實都不滿1斗。如果上等禾借取中等禾、中等禾借取下等禾、下等禾借取上等禾各1捆，則它們的實恰好都滿1斗。問：1捆上等禾、中等禾、下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾的實是斗， 1捆中等禾的實是斗， 1捆下等禾的實是斗。 術：如同方程術那樣求解。分別布置所借取的數量。布置上等禾的捆數2為右行的上位，中等禾的捆數3為中行的中位，下等禾的捆數4為左行的下位。每行所借取的1捆及實1斗都遵從自己的位置。凡是各行之間有互相借取物品的問題，皆依照此例。將正負術納入之。 正負術：如果兩個算數所表示的得與失是相反的，必須引入正負數以命名之。正的算數用紅籌，負的算數用黑籌。否則就用邪籌與正籌區別它們。方程術自有紅算數與黑算數互相借取，法與實的數值互相推求的方法，然而它們相加、相減的態勢不能廣泛通達，所以使紅算數與黑算數互相消減、奪位。對於算數，有的減損，有的增益，它們在同一行的不同位置上，完全表示兩種不同的物品，它們各有加、有減，其和、差顯現於下方的位置上。於是，撰著這二條法則，並且特地將它們與禾聯繫起來，為的是闡明此二條的意義。因此紅算數與黑算數雖然互相錯雜，卻足以確定上下的程式，相減、相加雖然不同卻足以使左右行之數互相通達，差與實雖然有區別，卻足以適應於同號異號的計算。那麼在減法運算中正的算數如果無偶，就變成負的，負的算數如果無偶，就變成正的，其計算方法並不是虛妄的。相減的兩個數如果符號相同，則它們的數值相減，這是說以紅算數減紅算數，以黑算數減黑算數。諸行中要求相加減，為的是消去它的頭位。那麼兩行的頭位如果是同號的，應當用此條；頭位如果是異號的，應當用下條。相減的兩個數如果符號不相同，則它們的數值相加，不管是兩行相加，還是相減，都應當分別依據它們的類別。如果是與它符號不同的，就不是它那一類的。不是它那一類的，就好像是沒有對減的數，則就不可以相減了。紅算數如果用黑算數作對減的數，則得黑算數，如果沒有對減的數，也得黑算數；黑算數如果用紅算數對減，則得紅算數，如果沒有對減的數，也得紅算數；紅算數與黑算數都是原本的數相加。這裡是兩者相增益，都是用來消減、奪位。消減、奪位與減損、增益使之成為一種物品的實。一種術最根本的是要抓住其關鍵。方程術中必定要消去某一行的首位，至於其他位，不管是多少，所以有時是它們相減，有時是它們相加，不論符號是相同還是不同，原理都是一樣的。正數如果無偶，就變成負的，負數如果無偶，就變成正的。無偶，就是沒有與之對減的數。沒有能夠被減的，則就使用來消減的數居於這個位置。那些應當以列實去減下方的實的，以及一行中正負數相錯雜的，也應當應用這一條。這一條就是，同符號的就減實、不同符號的就加實，正數如果無偶就變成負數，負數如果無偶就變成正數。相加的兩個數如果符號不相同，則它們的數值相減，相加的兩個數如果符號相同，則它們的數值相加，正數如果無偶就是正數，負數如果無偶就是負數。這一條以「相加的兩個數如果符號不相同，則它們的數值相減」為例，所以也與上一條互取。凡是正負數所以記出它們的同號異號，只是使二種物品互取而已。表示成負的，負的其數值未必就小，表示成正的，正的其數值未必就大。所以每一行之中即使將紅算與黑算互易其符號，也沒有什麼障礙。那麼可以使兩行的頭位取成互相不同的符號。這些條文的實質全都是相通的，於是以上二條翻來覆去都是同一種運算。考察它們在一行中上下互相選取的符號，則總是根據運算的需要而表示出來的，仍然是同一種方法。又，設置諸行，本意是想憑藉已有的數互相消減，所以不管行數是多少，使上下相命就可以了。若用正負數相減，如一行諸數中有原來的法的重疊，那麼這一行可以自行調節，不只是對各物品的數量利用左右行相消。 今有上禾五秉，損實一斗一升，當下禾七秉；上禾七秉，損實二斗五升，當下禾五秉〔1〕。問：上、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉五升， 下禾一秉二升。 術曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一斗一升正〔2〕。言上禾五秉之實多，減其一斗一升，余，是與下禾七秉相當數也。故互其算，令相折除，以一斗一升為差〔3〕。為差者，上禾之餘實也。次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二斗五升正〔4〕。以正負術入之。按：正負之術本設列行，物程之數不限多少，必令與實上、下相次，而以每行各自為率。然而或減或益，同行異位殊為二品，各自並、減之差見於下也〔5〕。 今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉；下禾一十五秉，損實五升，當上禾五秉〔6〕。問：上、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實八升， 下禾一秉實三升。 術曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉負，損實一斗八升正。次〔7〕，上禾五秉負，下禾一十五秉正，損實五升正〔8〕。以正負術入之。言上禾六秉之實多，減損其一斗八升，余，是與下禾十秉相當之數。故亦互其算，而以一斗八升為差實。差實者，上禾之餘實。 今有上禾三秉，益實六斗，當下禾一十秉；下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉〔9〕。問：上、下禾實一秉各幾何？ 荅曰： 上禾一秉實八斗， 下禾一秉實三斗。 術曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉負，益實六斗負。次置上禾二秉負，下禾五秉正，益實一斗負〔10〕。以正負術入之。言上禾三秉之實少，益其六斗，然後於下禾十秉相當也〔11〕。故亦互其算，而以六斗為差實。差實者，下禾之餘實。 【注釋】 〔1〕設x，y分別表示上、下禾一秉之實，《九章算術》的題設相當於給出關係 5x-11=7y 7x-25=5y。 此下3問都是常數項和未知數項的損益問題，合為一組。 〔2〕《九章算術》列出方程的右行，相當於 5x-7y=11。 未知數的係數有負數。 〔3〕互其算：交換算數，即損益。 〔4〕《九章算術》列出方程的左行，相當於 7x-5y=25。 〔5〕各自並、減之差見（xiàn）於下也：各自有加有減，其和差顯現於下方。見，顯現。 〔6〕設x，y分別表示上、下禾一秉之實，《九章算術》的題設相當於給出關係 6x-18=10y 15y-5=5x。 〔7〕次：即「次置」。 〔8〕《九章算術》得出方程，相當於 6x-10y=18 -5x+15y=5。 兩個未知數的係數都有負數。 〔9〕設x，y分別表示上、下禾一秉之實，《九章算術》的題設相當於給出關係 3x+6=10y 5y+1=2x。 〔10〕《九章算術》得出方程，相當於 3x-10y=-6 -2x+5y=-1。 此不僅兩個未知數都有負係數，而且實亦為負數。 〔11〕於下禾十秉相當：與10秉下禾相當。於，訓「與」。裴學海《古書虛字集釋》卷一：「『於』，猶『與』也。」 【譯文】 假設有5捆上等禾，將它的實減損1斗1升，等於7捆下等禾；7捆上等禾，將它的實減損2斗5升，等於5捆下等禾。問：1捆上等禾、下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾的實是5升， 1捆下等禾的實是2升。 術：如同方程術那樣求解。布置上等禾的捆數5，是正的，下等禾的捆數7，是負的，減損的實1斗1升，是正的。這是說5捆上等禾的實多，減損它1斗1升，餘數就與7捆下等禾的實相等。所以互相置換算數，使它們互相折消，以1斗1升作為差。成為這個差的，就是上等禾餘下的實。其次布置7捆上等禾，是正的，5捆下等禾，是負的，減損的實2斗5升，是正的。將正負術納入之。按：應用正負術，本來設置各列各行，需要求解的物品個數不管多少，必須使它們與實上下一一排列，而以每行各自作為率。然而有的減損，有的增益，它們在同一行不同位置完全表示二種不同的物品，各自有加有減，其和差顯現於下方。 假設有6捆上等禾，將它的實減損1斗8升，與10捆下等禾的實相等；15捆下等禾，將它的實減損5升，與5捆上等禾的實相等。問：1捆上等禾、下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾的實是8升， 1捆下等禾的實是3升。 術曰：如同方程術那樣求解。布置上等禾的捆數6，是正的，下等禾的捆數10，是負的，所減損的實1斗8升，是正的。接著，布置上等禾的捆數5，是負的，下等禾的捆數15，是正的，所減損的實5升，是正的。將正負術納入之。這是說6捆上等禾的實多，減損它1斗8升，餘數與10捆下等禾的實相等。所以也互相置換算數，而以1斗8升作為差實。差實就是上等禾餘下的實。 假設有3捆上等禾，將它的實增益6斗，與10捆下等禾的實相等；5捆下等禾，將它的實增益1斗，與2捆上等禾的實相等。問：1捆上等禾、下等禾的實各是多少？ 答： 1捆上等禾的實是8斗， 1捆下等禾的實是3斗。 術：如同方程術那樣求解。布置上等禾的捆數3，是正的，下等禾的捆數10，是負的，增益的實6斗，是負的。接著布置上等禾的捆數2，是負的，下等禾的捆數5，是正的，增益的實1斗，是負的。將正負術納入之。這是說3捆上等禾的實少，給它增益6斗，然後與10捆下等禾的實相等。所以也互相置換算數，而以6斗作為差實。差實就是下等禾餘下的實。 今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩〔1〕。問：牛、羊各直金幾何？ 荅曰： 牛一直金一兩二十一分兩之一十三， 羊一直金二十一分兩之二十。 術曰：如方程。假令為同齊，頭位為牛，當相乘。右行定〔2〕，更置牛十、羊四，直金二十兩；左行牛十、羊二十五，直金四十兩〔3〕。牛數等同，金多二十兩者，羊差二十一使之然也。以少行減多行，則牛數盡，惟羊與直金之數見，可得而知也〔4〕。以小推大，雖四、五行不異也〔5〕。 【注釋】 〔1〕設x，y分別表示牛、羊直金，題設給出的方程圖8-3（1），相當於線性方程組 5x+2y=10 2x+5y=8。 圖8-3 〔2〕相乘：指頭位互相乘，以做到齊同。這是劉徽創造的解線性方程組的互乘相消法。 〔3〕「更置牛十、羊四」四句：此謂通過齊同運算，右行由「牛五、羊二，直金十兩」變換成「牛十、羊四，直金二十兩」，左行由「牛二、羊五，直金八兩」變成「牛十、羊二十五，直金四十兩」，得到如圖8-3（2）的方程，它相當於 10x+4y=20 10x+25y=40。 〔4〕以少行減多行，即以右行減左行，得方程如圖8-3（3），它相當於 10x+4y=20 21y=20。 因此1隻羊直金兩。 〔5〕劉徽認為，這一方法可以推廣到任意多行的方程。可惜，劉徽的這一創造長期未引起數學家的重視。直到北宋賈憲《黃帝九章算經細草》才大量使用互乘相消法，同時也使用直除法。南宋秦九韶《數書九章》才廢止直除法，完全使用互乘相消法。 【譯文】 假設有5頭牛、2隻羊，值10兩金；2頭牛、5隻羊，值8兩金。問：1頭牛、1隻羊各值多少金？ 答： 1頭牛值兩金， 1隻羊值兩金。 術：如同方程術那樣求解。假令作齊同變換，兩行的頭位是牛，應當互相乘。右行就確定了，重新布置牛的頭數10，羊的只數4，值金數20兩；左行牛的頭數10，羊的只數25，值金數40兩。兩行牛的頭數相等，那麼金多20兩，是羊多了21隻造成的。以數值少的行減多的行，則牛的頭數減盡，只有羊的只數與所值的金數顯現出來，因此可以知道一隻羊所值的金的兩數。以小推大，即使是四、五行的方程也沒有什麼不同。 今有賣牛二、羊五，以買一十三豕，有餘錢一千；賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足；賣六羊、八豕，以買五牛，錢不足六百〔1〕。問：牛、羊、豕價各幾何？ 荅曰： 牛價一千二百， 羊價五百， 豕價三百。 術曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三負，余錢數正；次，牛三正，羊九負，豕三正；次，五牛負，六羊正，八豕正，不足錢負〔2〕。以正負術入之。此中行買、賣相折，錢適足，故但互買、賣算而已〔3〕。故下無錢直也。設欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故終於下實虛缺矣，故注曰「正無實負，負無實正」，方為類也〔4〕。方將以別實加適足之數與實物作實。 盈不足章「黃金白銀」與此相當。「假令黃金九、白銀一十一，稱之重適等。交易其一，金輕十三兩。問：金、銀一枚各重幾何？」與此同。 【注釋】 〔1〕設牛、羊、豕價分別是x，y，z，《九章算術》的題設相當於關係式 2x+5y=13z+1 000 3x+3z=9y 6y+8z=5x-600。 〔2〕《九章算術》列出方程，如圖8-4（1），它相當於線性方程組 2x+5y-13z=1 000 3x-9y+3z=0 -5x+6y+8z=-600。 圖8-4 〔3〕故但互買、賣算而已：所以只是互相置換買賣的算數即可。故但，所以只是。 〔4〕故註：舊注。劉徽此處所引，當然是前人的舊注。 【譯文】 假設賣了2頭牛、5隻羊，用來買13頭豬，還剩餘1 000錢；賣了3頭牛、3頭豬，用來買9隻羊，錢恰好足夠；賣了6隻羊、8頭豬，用來買5頭牛，不足600錢。問：1頭牛、1隻羊、1頭豬的價格各是多少？ 答： 1頭牛的價格是1 200錢， 1隻羊的價格是500錢， 1頭豬的價格是300錢。 術：如同方程術那樣求解。布置牛的頭數2、羊的只數5，都是正的，豬的頭數13，是負的，余錢數是正的；接著布置牛的頭數3，是正的，羊的只數9，是負的，豬的頭數3，是正的；再布置牛的頭數5，是負的，羊的只數6，是正的，豬的頭數8，是正的，不足的錢是負的。將正負術納入之。這裡中行的買賣互相折算，錢數恰好足夠，所以只是互相置換買賣的算數即可。因而下方沒有值的錢數。如果想把方程的解法用於這一行，須先使牛的頭數2整個地乘中行，而用右行與之對減。中行下方的實既然虛缺，那麼舊注說「正的沒有實被減，就是負的，負的沒有實被減，就是正的」，就是為了這一類問題。將用別的實加適足的數，以實物作為實。盈不足章的黃金白銀問題與此相似。「假設有9枚黃金，11枚白銀，稱它們的重量，恰好相等。交換其一枚，黃金這邊輕13兩。問：1枚黃金、1枚白銀各重多少？」與此相同。 今有五雀六燕〔1〕，集稱之衡〔2〕，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平〔3〕。並雀、燕重一斤。問：雀、燕一枚各重幾何？ 荅曰： 雀重一兩一十九分兩之一十三， 燕重一兩一十九分兩之五。 術曰：如方程。交易質之〔4〕，各重八兩〔5〕。此四雀一燕與一雀五燕衡適平。並重一斤，故各八兩。列兩行程數。左行頭位其數有一者，令右行遍除〔6〕。亦可令於左行，而取其法、實於左。左行數多，以右行取其數。左頭位減盡，中、下位算當燕與實。右行不動，左上空。中法，下實，即每枚當重宜可知也〔7〕。按：此四雀一燕與一雀五燕其重等，是三雀四燕重相當，雀率重四，燕率重三也。諸再程之率皆可異術求也〔8〕，即其數也。 【注釋】 〔1〕成語「五雀六燕」即由此衍化而成，喻雙方分量相等，如五雀六燕，銖兩悉稱。亦省作「五雀」。清趙翼《哭汪文端師》詩：「乙鴻精鑑別，五雀定衡銓。」 〔2〕稱（chēnɡ）：稱量。李籍云：「正斤兩也。」　　衡：衡器，秤。李籍云：「權衡也。」 〔3〕《藝文類聚》卷九十二鳥部下於「燕」字云：「《九章算術》曰：『五雀六燕，飛集衡，衡適平。』」文字與此稍異。 〔4〕質：稱，衡量。《漢語大字典》、《漢語大詞典》此釋義均以《九章算術》此問為例句。疑「稱量」之義由「質」訓評斷、評量引申而來。《周禮·夏官·馬質》：「馬質掌質馬。」賈公彥疏：「質，平也。」筆者故鄉山東膠州至今說稱量某物為「質質」，當是古語。 〔5〕《九章算術》實際上給出形如圖8-5（1）的方程。設1隻雀、燕的重量分別為x，y，它相當於線性方程組 4x+y=8 x+5y=8。 圖8-5 〔6〕由於左行頭位為1，令從右行四度減去左行，右行頭位化為0，下位為-19，實為-24。整行乘以-1，如圖8-5（2）所示，即得1隻燕的重量。 〔7〕此是消去方程左行頭位的程序。因為左行燕的只數多，所以求燕的重量可以用此行，在此行求燕的法與實。以右行的頭位4乘左行整行，減去右行，左行頭位為0，法為19，實為24。如圖8-5（3）所示。 〔8〕異術：實際上就是劉徽在麻麥問提出的方程新術。由原方程即圖8-5（1）中的兩行相減，下方的實變為0，雀的係數為3，燕的係數為-4，也就是3雀相當於4燕，於是 雀:燕=4:3，　　或　　x:y=4:3。 任取一行，比如右行，用今有術將雀化為燕，即 於是 【譯文】 假設有5隻麻雀、6隻燕子，分別在衡上稱量之，麻雀重，燕子輕。將1隻麻雀、1隻燕子交換，衡恰好平衡。麻雀與燕子合起來共重1斤。問：1隻麻雀、1隻燕子各重多少？ 答： 1隻麻雀重兩， 1隻燕子重兩。 術：如同方程術那樣求解。將1隻麻雀與1隻燕子交換，再稱量它們，各重8兩。這裡4隻麻雀、1隻燕子與1隻麻雀、5隻燕子恰好使衡平衡。它們合起來重1斤，所以各重為8兩。列出兩行用以求解的數。左行頭位的數為1，使左行整個地去減右行。也可使右行與左行對減，而在左行取得法與實。左行的下位與實的數值大，以右行消減它的數。左行的頭位減盡，中位與下位應當是燕與實的算數。右行不動，左行上位空。中位是法，下位是實，那麼每1隻燕子的重量應當是可以知道的。按：此4隻麻雀、1隻燕子與1隻麻雀、5隻燕子，它們的重量相等，這就是3隻麻雀與4隻燕子的重量相當，所以麻雀重的率是4，燕子重的率是3。各種求若干率的問題都可以用特殊的方法解決，就得到其數值。 今有甲、乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十〔1〕。問：甲、乙持錢各幾何？ 荅曰： 甲持三十七錢半， 乙持二十五錢。 術曰：如方程。損益之〔2〕。此問者言一甲、半乙而五十，太半甲、一乙亦五十也。各以分母乘其全，內子，行定：二甲、一乙而錢一百；二甲、三乙而錢一百五十〔3〕。於是乃如方程。諸物有分者放此〔4〕。 今有二馬、一牛價過一萬，如半馬之價；一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價〔5〕。問：牛、馬價各幾何？ 荅曰： 馬價五千四百五十四錢一十一分錢之六， 牛價一千八百一十八錢一十一分錢之二。 術曰：如方程。損益之。此一馬半與一牛價直一萬也，二牛半與一馬亦直一萬也〔6〕。「一馬半與一牛直錢一萬」，通分內子，右行為三馬、二牛，直錢二萬。「二牛半與一馬直錢一萬」，通分內子，左行為二馬、五牛，直錢二萬也〔7〕。 【注釋】 〔1〕設甲、乙持錢分別是x，y，《九章算術》的題設相當於給出關係式 此問與下問都是通過損益得到分數係數方程組，合為一組。 〔2〕損益之：此處的「損益」與第2問的意義及其他有關問題的用法有所不同，是指將分數係數通過通分損益成整數係數。 〔3〕劉徽指出其方程相當於線性方程組 2x+y=100 2x+3y=150。 〔4〕放：訓「仿」。此問是《九章算術》第一個分數係數方程，故劉徽指出其他有關分數係數的方程，仿此處理。 〔5〕設馬、牛之價分別是x，y，《九章算術》的題設相當於給出關係式 〔6〕損益之，得出 這裡既有未知數和常數項的互其算，又有未知數的合併同類項。 〔7〕劉徽說，通過通分納子，將方程化成 3x+2y=20 000 2x+5y=20 000。 【譯文】 假設甲、乙二人帶著錢，不知是多少。如果甲得到乙的錢數的，就有50錢，乙得到甲的錢數的，也就有50錢。問：甲、乙各帶了多少錢？ 答： 甲帶了錢， 乙帶了25錢。 術：如同方程術那樣求解。先對之減損增益。這一問題是說，1份甲帶的錢與份乙帶的錢而共有50錢，份甲帶的錢與1份乙帶的錢也共有50錢。各以分母乘其整數部分，納入分子，確定兩行為：甲的份數2、乙的份數1而共有100錢，甲的份數2、乙的份數3而共有150錢。於是就如同方程術那樣求解。各種物品有分數的都仿照此問。 假設有2匹馬、1頭牛，它們的價錢超過10 000錢的部分，如同1匹馬的價錢的；1匹馬、2頭牛，它們的價錢不滿10 000錢的部分，如同1頭牛的價錢的。問：1頭牛、1匹馬的價錢各是多少？ 答： 1匹馬的價錢是錢， 1頭牛的價錢是錢。 術：如同方程術那樣求解。先對之減損增益。這裡匹馬與1頭牛的價錢值10 000錢，頭牛與1匹馬的價錢也是10 000錢。「匹馬與1頭牛的價錢值10 000錢」，通分納子，右行為：馬的匹數3、牛的頭數2，值錢20 000錢。「頭牛與1匹馬的價錢也是10 000錢」，通分納子，左行為：馬的匹數2、牛的頭數5，值錢20 000錢。 今有武馬一匹〔1〕，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至坂〔2〕，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上〔3〕。問：武、中、下馬一匹各力引幾何〔4〕？ 荅曰： 武馬一匹力引二十二石七分石之六， 中馬一匹力引一十七石七分石之一， 下馬一匹力引五石七分石之五。 術曰：如方程。各置所借。以正負術入之〔5〕。 【注釋】 〔1〕武馬：上等馬。李籍云：「武馬，戎馬也。戎馬言武馬者，猶《曲禮》謂戎車為武車也。取其健猛而善行也。」 〔2〕坂（bǎn）：斜坡。《說文解字》：「坂，坡者曰坂。」李籍云：「不平也。」 〔3〕借：李籍云：「從人假物也。」設1匹武馬、中馬、下馬之力引分別是x，y，z，《九章算術》給出的方程相當於線性方程組 x+y=40 2y+z=40 x+3z=40。 〔4〕力引：拉力，牽引力。引，本義是拉弓，開弓。引申為牽引，拉。李籍云：「引，重也。《易》曰：『引重致遠。』」 〔5〕此問的方程是已經討論過的類型，劉徽沒有注。 【譯文】 假設有1匹上等馬，2匹中等馬，3匹下等馬，分別載40石的物品至一陡坡，都上不去。這匹上等馬借1匹中等馬，這些中等馬借1匹下等馬，這些下等馬借1匹上等馬，於是都能上去。問：1匹上等馬、中等馬、下等馬的拉力各是多少？ 答： 1匹上等馬的拉力石， 1匹中等馬的拉力石， 1匹下等馬的拉力石。 術：如同方程術那樣求解。分別布置所借的1匹馬。將正負術納入之。 今有五家共井，甲二綆不足〔1〕，如乙一綆；乙三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮〔2〕。問：井深、綆長各幾何？ 荅曰： 井深七丈二尺一寸， 甲綆長二丈六尺五寸， 乙綆長一丈九尺一寸， 丙綆長一丈四尺八寸， 丁綆長一丈二尺九寸， 戊綆長七尺六寸。 術曰：如方程〔3〕。以正負術入之。此率初如方程為之，名各一逮井。其後，法得七百二十一，實七十六，是為七百二十一綆而七十六逮井，並用逮之數。以法除實者，而戊一綆逮井之數定，逮七百二十一分之七十六〔4〕。是故七百二十一為井深，七十六為戊綆之長，舉率以言之〔5〕。 【注釋】 〔1〕綆：汲水用的繩索。《說文解字》：「綆，汲井緶也。」李籍云：綆，「汲水索」。 〔2〕逮（dài）：及，及至。《說文解字》：「逮，及也。」設甲、乙、丙、丁、戊綆長與井深分別是x，y，z，u，v，w，《九章算術》的題設相當於給出線性方程組 2x+y=w 3y+z=w 4z+u=w 5u+v=w 6v+x=w。 〔3〕《九章算術》依方程術求解。然而此方程6個未知數，只能列出5行，實際上是一個不定問題，有無窮多組解。《九章算術》的編纂者未認識到這一點。 〔4〕劉徽求出戊1綆逮井之數是井深的。 〔5〕劉徽指出，以721為井深，76為戊綆長，129為丁綆長……是「舉率以言之」。這是在中國數學史上第一次明確指出不定方程問題。事實上，上述方程經過消元，可以化成： 721x=265w 721y=191w 721z=148w 721u=129w 721v=76w。 這實際上給出了 x:y:z:u:v:w=265:191:148:129:76:721。 顯然，只要令w=721n，n=1，2，3，…，都會給出滿足題設的x，y，z，u，v，w的值。《九章算術》只是把其中的最小一組正整數解作為定解。 【譯文】 假設有五家共同使用一口井，甲家的2根井繩不如井的深度，如同乙家的1根井繩；乙家的3根井繩不如井的深度，如同丙家的1根井繩；丙家的4根井繩不如井的深度，如同丁家的1根井繩；丁家的5根井繩不如井的深度，如同戊家的1根井繩；戊家的6根井繩不如井的深度，如同甲家的1根井繩。如果各家分別得到所不足的那一根井繩，都恰好及至井底。問：井深及各家的井繩長度是多少？ 答： 井深是7丈2尺1寸， 甲家的井繩長是2丈6尺5寸， 乙家的井繩長是1丈9尺1寸， 丙家的井繩長是1丈4尺8寸， 丁家的井繩長是1丈2尺9寸， 戊家的井繩長是7尺6寸。 術：如同方程術那樣求解。將正負術納入之。這些率最初是如方程術那樣求解出來的，指的是各達到一次井深。其後，得到法是721，實是76。這就是721根戊家的井繩而能76次達到井底，這是合併了達到井底的次數。如果以法除實，那麼就確定了戊家1根井繩達到井底的數，達到井深的。所以把721作為井深，76作為戊家1根井繩之長，這只是用率將它們表示出來。 今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步，實各不滿斗。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青各一步，而實滿斗〔1〕。問：白、青、黃、黑禾實一步各幾何？ 荅曰： 白禾一步實一百一十一分斗之三十三， 青禾一步實一百一十一分斗之二十八， 黃禾一步實一百一十一分斗之一十七， 黑禾一步實一百一十一分斗之一十。 術曰：如方程。各置所取。以正負術入之。 今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆過於石：甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一〔2〕。問：甲、乙、丙禾一秉各重幾何？ 荅曰： 甲禾一秉重二十三分石之一十七， 乙禾一秉重二十三分石之一十一， 丙禾一秉重二十三分石之一十。 術曰：如方程。置重過於石之物為負〔3〕。此問者言甲禾二秉之重過於一石也。其過者何雲〔4〕？如乙一秉重矣。互言其算〔5〕，令相折除，而一以石為之差實〔6〕。差實者，如甲禾余實，故置算相與同也。以正負術入之。此入，頭位異名相除者，正無人正之，負無人負之也。 今有令一人〔7〕、吏五人〔8〕、從者一十人〔9〕，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從者一人，食雞六〔10〕。問：令、吏、從者食雞各幾何？ 荅曰： 令一人食一百二十二分雞之四十五， 吏一人食一百二十二分雞之四十一， 從者一人食一百二十二分雞之九十七。 術曰：如方程。以正負術入之。 今有五羊、四犬、三雞、二兔直錢一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔直錢九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔直錢八百六十一〔11〕。問：羊、犬、雞、兔價各幾何？ 荅曰： 羊價一百七十七， 犬價一百二十一， 雞價二十三， 兔價二十九。 術曰：如方程。以正負術入之。 【注釋】 〔1〕設1步白禾、青禾、黃禾、黑禾之實分別是x，y，z，u，《九章算術》的題設相當於給出線性方程組 2x+y+z=1 3y+z+u=1 x+4z+u=1 x+y+5u=1。 消元中會產生負數，所以納入正負術。這也是已經討論過的情形，劉徽未出注。此問及以下三問都比較簡單，合為一組。 〔2〕甲二重如乙一：是說2秉甲禾超過1石的重量與1秉乙禾的重量相等。《九章算術》給出關係式 2x-1=y 3y-1=z 4z-1=x。 〔3〕重過於石之物：指與某種禾的重量超過1石的部分相當的那種物品。《九章算術》列出方程，相當於線性方程組 2x-y=1 3y-z=1 -x+4z=1。 〔4〕其過者何云：那超過的部分是什麼呢？ 〔5〕互言其算：互相置換它們的算數。 〔6〕而一以石為之差實：謂二甲減一乙，三乙減一丙，四丙減一甲，差實都是一石也。一，都，一概。《詩·邶風·北門》：「王事適我，政事一埤益我。」朱熹註：「一，猶皆也。」 〔7〕令：官名，古代政府某機構的長官，如尚書令、大司農令等。也專指縣級行政長官。 〔8〕吏：古代官員的通稱。《說文解字》：「吏，治人者也。」漢以後特指官府中的小官和差役。 〔9〕從：隨從。李籍云：「隨也。」 〔10〕設令、吏、從者1人食雞分別是x，y，z，《九章算術》給出的方程相當於線性方程組 x+5y+10z=10 10x+y+5z=8 5x+10y+z=6。 此亦為已經討論過的類型，劉徽未出注。 〔11〕設羊、犬、雞、兔1隻的價錢分別是x，y，z，u，《九章算術》給出的方程相當於線性方程組 5x+4y+3z+2u=1 496 4x+2y+6z+3u=1 175 3x+y+7z+5u=958 2x+3y+5z+u=861。 此亦為已經討論過的類型，劉徽未出注。 【譯文】 假設有2步白禾、3步青禾、4步黃禾、5步黑禾，各種禾的實都不滿1斗。2步白禾取青禾、黃禾各1步，3步青禾取黃禾、黑禾各1步，4步黃禾取黑禾、白禾各1步，5步黑禾取白禾、青禾各1步，而它們的實都滿1斗。問：1步白禾、青禾、黃禾、黑禾的實各是多少？ 答： 1步白禾的實是斗， 1步青禾的實是斗， 1步黃禾的實是斗， 1步黑禾的實是斗。 術：如同方程術那樣求解。分別布置所取的數量。將正負術納入之。 假設有2捆甲等禾，3捆乙等禾，4捆丙等禾，它們的重量都超過1石：2捆甲等禾超過1石的恰好是1捆乙等禾的重量，3捆乙等禾超過1石的恰好是1捆丙等禾的重量，4捆丙等禾超過1石的恰好是1捆甲等禾的重量。問：1捆甲等禾、乙等禾、丙等禾各重多少？ 答： 1捆甲等禾重石， 1捆乙等禾重石， 1捆丙等禾重石。 術：如同方程術那樣求解。布置與重量超過1石的部分相當的那種物品，為負的。這個問題是說，2捆甲等禾的重量超過1石。那超過的部分是什麼呢？就如同1捆乙等禾的重量。互相置換它們的算數，使其互相折算，那麼都以1石作為差實。差實，如同甲等禾餘下的實，所以布置的算數都是相同的。將正負術納入之。這裡的「納入」就是，頭位的兩個數如果符號不相同，則它們的數值相減，正數如果無偶就是正數，負數如果無偶就是負數。 假設有1位縣令、5位官吏、10位隨從，吃了10隻雞；10位縣令、1位官吏、5位隨從，吃了8隻雞；5位縣令、10位官吏、1位隨從，吃了6隻雞。問：1位縣令、1位官吏、1位隨從，各吃多少只雞？ 答： 1位縣令吃了只雞， 1位官吏吃了只雞， 1位隨從吃了只雞。 術：如同方程術那樣求解。將正負術納入之。 假設有5隻羊、4條狗、3隻雞、2隻兔子值錢1 496錢；4隻羊、2條狗、6隻雞、3隻兔子值錢1 175錢；3隻羊、1條狗、7隻雞、5隻兔子值錢958錢；2隻羊、3條狗、5隻雞、1隻兔子值錢861錢。問：1隻羊、1條狗、1隻雞、1隻兔子價錢各是多少？ 答： 1隻羊的價錢是177錢， 1條狗的價錢是121錢， 1隻雞的價錢是23錢， 1隻兔子的價錢是29錢。 術曰：如同方程術那樣求解。將正負術納入之。 今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直錢九十五〔1〕。問：一斗直幾何？ 荅曰： 麻一斗七錢， 麥一斗四錢， 菽一斗三錢， 荅一斗五錢， 黍一斗六錢。 術曰：如方程。以正負術入之。此麻麥與均輸、少廣之章重衰、積分皆為大事〔2〕。其拙於精理徒按本術者，或用算而布氈，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多為貴。故其算也，莫不暗於設通而專於一端〔3〕。至於此類，苟務其成，然或失之，不可謂要約〔4〕。更有異術者，庖丁解牛〔5〕，遊刃理間，故能歷久其刃如新。夫數，猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理。故能和神愛刃，速而寡尤。凡《九章》為大事，按法皆不盡一百算也〔6〕。雖布算不多，然足以算多。世人多以方程為難，或盡布算之象在綴正負而已，未暇以論其設動無方。斯膠柱調瑟之類〔7〕。聊復恢演，為作新術〔8〕，著之於此，將亦啟導疑意。網羅道精〔9〕，豈傳之空言？記其施用之例，著策之數，每舉一隅焉〔10〕。方程新術曰：以正負術入之。令左、右相減，先去下實，又轉去物位，則其求一行二物正、負相借者，是其相當之率〔11〕。又令二物與他行互相去取，轉其二物相借之數，即皆相當之率也。各據二物相當之率，對易其數，即各當之率也〔12〕。更置成行及其下實〔13〕，各以其物本率今有之，求其所同，並以為法。其當相併而行中正負雜者，同名相從，異名相消，余以為法。以下置為實〔14〕。實如法，即合所問也〔15〕。一物各以本率今有之，即皆合所問也〔16〕。率不通者，齊之〔17〕。其一術曰〔18〕：置群物通率為列衰〔19〕。更置成行群物之數，各以其率乘之，並以為法。其當相併而行中正負雜者，同名相從，異名相消，余為法。以成行下實乘列衰，各自為實。實如法而一，即得〔20〕。以舊術為之〔21〕，凡應置五行〔22〕。今欲要約。先置第三行，減以第四行〔23〕，又減第五行〔24〕；次置第二行，以第二行減第一行〔25〕，又減第四行〔26〕，去其頭位；余，可半〔27〕；次置右行及第二行，去其頭位〔28〕；次以右行去第四行頭位〔29〕；次以左行去第二行頭位〔30〕；次以第五行去第一行頭位〔31〕；次以第二行去第四行頭位；余，可半〔32〕；以右行去第二行頭位〔33〕；以第二行去第四行頭位〔34〕。余，約之為法、實，實如法而一，得六，即有黍價〔35〕。以法治第二行，得荅價〔36〕，右行得菽價〔37〕，左行得麥價〔38〕，第三行麻價〔39〕。如此凡用七十七算〔40〕。以新術為此〔41〕：先以第四行減第三行〔42〕。次以第三行去右行及第二行、第四行下位〔43〕。又以減左行下位，不足減乃止〔44〕。次以左行減第三行下位〔45〕。次以第三行去左行下位。訖，廢去第三行〔46〕。次以第四行去左行下位，又以減右行下位〔47〕。次以右行去第二行及第四行下位〔48〕。次以第二行減第四行及左行頭位〔49〕。次以第四行減左行菽位，不足減乃止〔50〕。次以左行減第二行頭位，余，可再半〔51〕。次以第四行去左行及第二行頭位〔52〕。次以第二行去左行頭位。余，約之，上得五，下得三，是菽五當荅三〔53〕。次以左行去第二行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止〔54〕。次以右行減第二行頭位，不足減乃止〔55〕。次以第二行去右行頭位〔56〕。次以左行去右行頭位。余，上得六，下得五。是為荅六當黍五〔57〕。次以左行去右行荅位。余，約之，上為二，下為一〔58〕。次以右行去第二行下位〔59〕，以第二行去第四行下位，又以減左行下位〔60〕。次，左行去第二行下位。余，上得三，下得四。是為麥三當菽四〔61〕。次以第二行減第四行下位。次以第四行去第二行下位。余，上得四，下得七，是為麻四當麥七〔62〕。是為相當之率舉矣〔63〕。據麻四當麥七，即麻價率七而麥價率四〔64〕；又麥三當菽四，即為麥價率四而菽價率三〔65〕；又菽五當荅三，即為菽價率三而荅價率五〔66〕；又荅六當黍五，即為荅價率五而黍價率六〔67〕；而率通矣〔68〕。更置第三行，以第四行減之，余有麻一斗、菽四斗正，荅三斗負，下實四正〔69〕。求其同為麻之數，以菽率三、荅率五各乘其斗數，如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一負。則菽、荅化為麻〔70〕，以並之，令同名相從，異名相消，余得定麻七分斗之四，以為法。置四為實，而分母乘之，實得二十八，而分子化為法矣。以法除得七，即麻一斗之價〔71〕。置麥率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自為實。以麻率七為法，所得即各為價〔72〕。亦可使置本行實與物同通之，各以本率今有之，求其本率所得〔73〕，並，以為法〔74〕。如此，即無正負之異矣〔75〕，擇異同而已〔76〕。　　又可以一術為之〔77〕：置五行通率，為麻七、麥四、菽三、荅五、黍六以為列衰〔78〕。成行麻一斗、菽四斗正，荅三斗負〔79〕，各以其率乘之，訖，令同名相從，異名相消，余為法。又置下實乘列衰，所得各為實〔80〕。此可以置約法，則不復乘列衰，各以列衰為價〔81〕。如此則凡用一百二十四算也〔82〕。 【注釋】 〔1〕設1斗麻、麥、菽、荅、黍的實分別是x，y，z，u，v，《九章算術》給出的方程相當於線性方程組 9x+7y+3z+2u+5v=140 7x+6y+4z+5u+3v=128 3x+5y+7z+6u+4v=116 2x+5y+3z+9u+4v=112 x+3y+2z+8u+5v=95。 〔2〕重衰：指均輸章用連鎖比例求解的各個問題的方法。　　積分：指少廣章開方及開立方問題。 〔3〕暗於設通：不通曉全面而通達。暗，不通曉，不明白，不了解。 〔4〕約（yào）：要領，關鍵。《孟子·公孫丑上》：「然而孟施捨守約也。」焦循正義曰：「約之訓為要，於眾道之中得其大，是得其要也。」 〔5〕庖（páo）丁解牛：是《莊子·養生主》中的一則寓言，雲「庖丁為文惠君解牛，手之所觸，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀然，莫不中音」。文惠君曰：「善哉！技蓋至此乎？」庖丁對曰：「臣之所好者，道也，進乎技矣。……方今之時，臣以神遇而不以目視，官知止而神欲行。……今臣之刀十九年矣，所解數千牛矣，而刀刃若新發於硎。彼節者有間，而刀刃者無厚。以無厚入有間，恢恢乎其於遊刃必有餘地矣，是以十九年而刀刃若新發於硎。」庖，廚房。又作廚師，如越俎代庖。 〔6〕不盡：不能窮盡。盡，完，竭。 〔7〕膠柱調瑟：如果用膠黏住瑟的弦柱，就無法調節音調，以比喻拘泥不知變通。又作「膠柱鼓瑟」。瑟，古代的撥弦樂器，如圖8-6，春秋時已流行。形似古琴，但無徽位，通常25弦，每弦一柱，鼓瑟者轉動弦柱，以調節樂音。 圖8-6　瑟 （采自明王圻《三才圖會》） 〔8〕聊復恢演，為作新術：姑且展開演算，為之創造新的方法。聊，姑且，暫且，勉強。《詩經·檜風·素冠》：「我心傷悲兮，聊與子同歸兮。」鄭玄箋：「聊，猶且也。」復，助詞。聊復，姑且。南朝劉義慶《世說新語》有「未能免俗，聊復爾耳」之語，在劉徽之後矣。恢，張布，展開。不過李籍云：恢，「大也」。演，演算。不過李籍云：演，「廣也」。劉徽提出的方程新術包括兩種程序，一種是以今有術求解，即方程新術本術。一種以衰分術求解。 〔9〕網羅：搜羅。　　道精：道理的精髓。 〔10〕每舉一隅：舉一反三。此實際上是方程新術的序，闡發了劉徽關於數學方法的精闢見解。 〔11〕其求一行二物正、負相借者，是其相當之率：由此求出一行中兩種物品以正、負表示的互相借取的數，就是它們的相當之率。其，訓「以」。相當之率，與相與之率相反的率關係。對易相當之率的兩數，就變成相與之率。比如某行消成 bx-ay=0　　a＞0，b＞0 那麼b，a分別是x，y的相當之率，則 x:y=a:b a，b就是x，y的相與之率。各行的相與之率，通過通而同之，就求出了所有未知數的相與之率。 〔12〕各當之率：即相與之率。自「令左右行相減」至此，是方程新術的第一步，即求諸未知數的相與之率。其方法就是將方程的每一行都消去下實，再消去某些未知數，使每一行只剩兩個未知數，所謂「一行二物正、負相借者」，得出諸未知數的相當之率。根據相當之率，對易其數，成為相與之率。 〔13〕更置成行及其下實：重新布置所確定的一行及其下方的實。成，訓「定」。成行，指所確定的一行。 〔14〕以下置為實：以下方所布置的數作為實。 〔15〕這是方程新術的第二步：求一個未知數的值。選定成行，即上述確定的一行，利用諸未知數的相與之率，藉助今有術，將各未知數化成同一個未知數。各項係數相加，作為法。以成行之下實作為實。實除以法，即得該未知數之值。設諸未知數為x1，x2，…，xn，已求出諸未知數的相與之率 x1:x2:…:xn=m1:m2:…:mn， 成行為 a1x1+a2x2+…+anxn=A。 若先求xj，則由今有術，，i=1，2，…，n，i≠j。由此，成行化為 或 於是A作為實，作為法，則 成行是相消過程中確定的一行，亦可使用相消前方程的任意一行。當然，使用成行會簡單一點。 〔16〕這是方程新術的第三步，即求其他未知數的值，i=1，2，…，n，i≠j。 〔17〕率不通者，齊之：第一步所求出的諸未知數的兩兩相與之率不一定互相通達，便使用齊同術，使諸率悉通。 〔18〕其一術：是方程新術的另一種方法。即在求出諸未知數的相與之率後，以其為列衰，用衰分術求解。 〔19〕通率：諸未知數的相與之率。通率在應用衰分術時作為列衰。 〔20〕劉徽的其一術是：在成行中，以諸未知數之率乘各自的係數，相加，得，作為法。以未知數之率乘下實，得Amj，j=1，2，…，n，作為實。則 〔21〕舊術：這裡的「舊術」不是《九章算術》的方程術，而是劉徽將直除法進行到底的那種方法。參見方程術劉徽注。 〔22〕行、列仍按古代的意義，而以阿拉伯數字記算籌數字，則此5行方程如圖8-7（1）。此為1算。 圖8-7 〔23〕先置第三行，減以第四行：以第4行減第3行。 〔24〕又減第五行：又去減第5行。由於位值制，這裡是以第3行減去第4行後新的第3行去減第5行，第5行頭位變為0，其方程如圖8-7（2）。此共3算。 〔25〕次置第二行，以第二行減第一行：再布置第2行，以第2行減第1行。 〔26〕又減第四行：這裡仍然是以第2行減第1行之後新的第1行減第4行。 〔27〕去其頭位；余，可半：消去第4行的頭位；剩餘的整行，可以被2整除，便除以2。如圖8-7（3）。以上共4算。 〔28〕次置右行及第二行，去其頭位：此謂布置右行及第2行，分別以第3行二度減、七度減，其頭位均變為0，如圖8-7（4）。此共11算。 〔29〕次以右行去第四行頭位：此謂布置第4行，以右行二度減第4行，第4行頭位變為0（頭位均就有效數字而言），如圖8-7（5）。此共3算。 〔30〕次以左行去第二行頭位：此謂布置第2行，以左行二度減第2行，第2行頭位變為0，如圖8-7（6）。此共3算。 〔31〕次以第五行去第一行頭位：此謂布置第1行，以第5行頭位3遍乘第1行，減去第5行，第1行頭位變為0，如圖8-7（7）所示。此共3算。 〔32〕次以第二行去第四行頭位；余，可半：此謂布置第4行，將第2行加於第4行，並整行除以2。第4行頭位變為0。如圖8-7（8）。此共3算。 〔33〕以右行去第二行頭位：此謂布置第2行，以右行頭位25遍乘第2行，二十度減右行，第2行頭位變為0。如圖8-7（9）所示。此共21算。 〔34〕以第二行去第四行頭位：此謂布置第4行，以第2行頭位遍乘第4行，二度減第2行，則第4行頭位變為0。第4行僅有黍的係數及下實。如圖8-7（10）。此共4算。 〔35〕此謂以等數62約間第4行，作為法、實。實除以法，得1斗黍為6錢。此共2算。 〔36〕將黍價1斗6錢代入第2行，減實，約簡，得1斗荅為5錢。此共3算。 〔37〕這裡將黍、荅價代入右行，從實中減去，約簡，得1斗菽為3錢。此共5算。 〔38〕這裡將黍、荅、菽價代入左行，從實中減去，約簡，得1斗麥為4錢。此共7算。 〔39〕將菽、荅價代入第3行，從實中減去，得1斗麻為7錢。此共4算。 〔40〕一算即一次運算，如布算，以某數乘或除某一整行，行與行的一度減，實除以法，等等，都是一次運算。以上共77次運算。 〔41〕這是劉徽用方程新術解麻麥問的細草。 〔42〕在圖8-7（1）中，使第4行減第3行，其結果如圖8-8（1）所示。 圖8-8 〔43〕以第3行減右行、第2行、第4行，直到它們的下位（實）變為0，如圖8-8（2）所示。 〔44〕又以第3行減左行，以消減左行下位（實），直到不足減為止，其方程如圖8-8（3）所示。 〔45〕以左行減第3行，以消減其下位，如圖8-8（4）所示。 〔46〕以第3行減左行，直到其下位變為0。然後廢去第3行，其餘四行的下位變為0，如圖8-8（5）所示。以下的程序是消去物位。 〔47〕以第4行（仍是原來的序號）減左行，直到其下位變為0；又以第4行減右行，消減其下位；如圖8-8（6）。 〔48〕以右行減第2行、第4行，直到其下位變為0，如圖8-8（7）。 〔49〕以第2行減第4行、左行，以消減其頭位，如圖8-8（8）。 〔50〕以第4行減左行，以消減其菽位（第3位），直到不足減為止，如圖8-8（9）所示。 〔51〕以左行加第2行，以消減其頭位（絕對值）。剩餘的第2行整行，除以4。如圖8-8（10）所示。 〔52〕以第4行加左行，減第2行，直到其頭位變為0，如圖8-8（11）。 〔53〕以第2行加左行，直到其頭位變為0。左行之剩餘，上為-310，下為186，以等數62約簡，上為-5，下為3。這表示菽5相當於荅3。如圖8-8（12）所示。 〔54〕以左行減第2行，直到其菽位變為0。又以左行加第4行，減右行，直到菽位不足減為止，如圖8-8（13）所示。 〔55〕以右行減第2行，直到頭位不足減為止，如圖8-8（14）所示。 〔56〕以第2行減右行，直到頭位變為0，如圖8-8（15）所示。 〔57〕以左行減右行，直到頭位變為0。上為-6，下為5。這表示荅6相當於黍5，如圖8-8（16）所示。 〔58〕以左行加右行，直到荅位變為0。右行上為-10，下為5，以等數5約簡，上為-2，下為1，如圖8-8（17）所示。 〔59〕以右行加第2行，直到其下位變為0，如圖8-8（18）所示。 〔60〕以第2行加第4行，其下位變為0。又以第2行加左行，消減其下位，如圖8-8（19）所示。 〔61〕以左行加第2行，直到其下位變為0。上得-3，下得4。這表示麥3相當於菽4，如圖8-8（20）所示。 〔62〕以第2行減第4行，消減其下位。以第4行減第2行，直到其下位變為0。第2行上為4，下為-7。這表示麻4相當於麥7。如圖8-8（21）所示。 〔63〕諸物的相當之率：麻4相當於麥7，麥3相當於菽4，菽5相當於荅3，荅6相當於黍5。 〔64〕此由麻4相當於麥7得出：麻:麥=7:4。 〔65〕此由麥3相當於菽4得出：麥:菽=4:3。 〔66〕此由菽5相當於荅3得出：菽:荅=3:5。 〔67〕此由荅6相當於黍5得出：荅:黍=5:6。 〔68〕由於麻與麥，麥與菽，菽與荅，荅與黍的四組率中，麥、菽、荅的率已分別相等，故不必再進行齊同，直接得出 麻:麥:菽:荅:黍=7:4:3:5:6， 或 x:y:z:u:v=7:4:3:5:6。 〔69〕此謂重新布置第3行，以第4行減第3行，得到圖8-7（11）中的第3行，它相當於 x+4z-3u=4。 〔70〕欲先求1斗麻（x）之價，需根據菽（z）、荅（u）與麻的相與之率，求菽、荅同為麻之數，即將z，u化為x，得 〔71〕由上條注釋得到 所以1斗麻之價x=7。 〔72〕這是說根據已得到的麻價，利用已求出的麻、麥、菽、荅、黍各價的相與率，援引今有術，求出麥、菽、荅、黍諸價 〔73〕此謂也可以布置本來的行，將諸物與實同而通之，求其本率所對應的結果。這裡「本行」不是用兩行對減所得到的行，而是指原方程的任一行，比如左行，它相當於 x+3y+2z+8u+5v=95。 由諸未知數的相與之率，利用今有術，將其化成同一未知數，比如x，則 〔74〕於是 以作為法，求出x，即麻價7。 〔75〕無正負之異：沒有正負數的加減問題。 〔76〕擇異同而已：只是選擇所同於的穀物罷了。 〔77〕此是以上述「其一術」解麻麥問的細草，它歸結到衰分術。 〔78〕以麻、麥、菽、荅、黍的相與之率作為列衰。即 m1:m2:m3:m4:m5=7:4:3:5:6。 〔79〕這裡以第4行減第3行，得到圖8-7（11）中的第3行為成行，它相當於 x+4z-3u=4。 〔80〕這裡法為；諸未知數的實為 麻的實Am1=4×7， 麥的實Am2=4×4， 菽的實Am3=4×3， 荅的實Am4=4×5， 麻的實Am5=4×6。 〔81〕各以列衰為價：分別以列衰作為價格。此術用衰分術求解。一般情況下，以下實乘列衰各為實，成行中的係數分別以列衰乘之，並為法，實如法，各得所求。然此問恰巧「下實」與「法」相等，可以約法，故不必以下實乘列衰，徑以列衰作為所求數即可。 〔82〕劉徽認為，以方程新術計算，需124算，比使用方程舊術的77算多。劉徽提出方程新術的意圖在於說明同一類數學問題，可以用不同的方法解決。 【譯文】 假設有9斗麻、7斗小麥、3斗菽、2斗荅、5斗黍，值140錢；7斗麻、6斗小麥、4斗菽、5斗荅、3斗黍，值128錢；3斗麻、5斗小麥、7斗菽、6斗荅、4斗黍，值116錢；2斗麻、5斗小麥、3斗菽、9斗荅、4斗黍，值112錢；1斗麻、3斗小麥、2斗菽、8斗荅、5斗黍，值95錢。問：1斗麻、小麥、菽、荅、黍各值多少錢？ 答： 1斗麻值7錢， 1斗小麥值4錢， 1斗菽值3錢， 1斗荅值5錢， 1斗黍值6錢。 術：如同方程術那樣求解。將正負術納入之。此麻麥問與均輸章的重衰、少廣章的積分等都是重要問題。那些對數理的精髓認識膚淺，只知道按本來方法做的人，有時為了布置算數而鋪下氈毯，正是喜好煩瑣而導致錯誤，竟然不知道這樣做不好，反而想以布算多為貴。所以他們都不通曉全面而通達的知識而拘泥於一孔之見。至於此類做法，即使努力使其成功，然而有時會產生失誤，不能說是抓住了關鍵。更有一種新異的方法，就像是庖丁解牛，使刀刃在牛的肌理間遊動，所以能歷經很久其刀刃卻像新的一樣。數學方法，就好像是刀刃，遵從易簡的原則使用之，就常常正合於庖丁解牛的道理。所以只要能和諧精神，愛護刀刃，就會做得迅速而錯誤極少。凡是《九章算術》中成為大的問題，按方法都不足100步計算。雖然布算不多，然足以計算很複雜的問題。世間的人大都把方程術看得很難，或者認為布算之象只不過在點綴正負數而已，沒有花時間討論它們的無窮變換。這是膠柱調瑟那樣的事情。我姑且展示演算，為之創作新術，撰著於此，只不過是想啟發開導疑惑之處。搜羅數理的精髓，豈能只說空話？我記述其施用的例子，運算的方法，在這裡只舉其一隅而已。 方程新術：將正負術納入之。使左、右相減，先消去下方的實，又轉而消去某些位置上的物品，則由此求出某一行中二種物品以正、負表示的互相借取的數，就是它們的相當之率。又使此二種物品的係數與其他行互相去取，轉而求出那些行的二種物品的互相借取之數，則全都是相當之率。分別根據二種物品的相當之率，對易其數，那麼就是它們分別對應的率。重新布置那確定的一行及其下方的實，分別以各種物品的本率應用今有術，求出各物同為某物的數，相加，作為法。如果其中應當相加而行中正負數相混雜的，那麼同一符號的就相加，不同符號的就相消，餘數作為法。以下方布置的數作為實。實除以法，便應該是所問的那種物品的數量。每一種物品各以其本率應用今有術，便都應該是所問的物品的數量。其中如果有互相不通達的率，就使它們相齊。 其一術曰：布置所有物品的通率，作為列衰。重新布置那確定的一行各個物品之數，各以其率乘之，相加，作為法。如果其中有應當相加而行中正負數相混雜的，那麼同一符號的就相加，不同符號的就相消，餘數作為法。以確定的這行下方的實乘列衰，各自作為實。實除以法，即得到答案。 用舊的方程術求解之，共應該布置五行。現在想抓住問題的關鍵，並使之簡約。先布置第三行，減去第四行，又減第五行；再布置第二行，以第二行減第一行，又減第四行，消去它的頭位；剩餘的整行，可以被2整除；再布置右行及第二行，消去它們的頭位；再以右行消去第四行的頭位；再以左行消去第二行的頭位；再以第五行去第一行的頭位；再以第二行消去第四行的頭位；剩餘的整行，可以被2整除；以右行消去第二行的頭位；以第二行消去第四行的頭位。剩餘的整行，約簡，作為法、實，實除以法，得6，就是1斗黍的價錢。分別以法處理，第二行得到1斗荅的價錢，右行得到1斗菽的價錢，左行得到1斗麥的價錢，第三行得到1斗麻的價錢。這樣做，共用了77步運算。 以方程新術解決這個問題：先以第四行減第三行。再以第三行消去右行及第二行、第四行的下位。又以第三行消減左行，直到其下位不足減才停止。再以左行減第三行，消減其下位。再以第三行消去左行的下位。完了，廢去第三行。再以第四行消去左行的下位，又以第四行減右行，消減其下位。再以右行消去第二行及第四行的下位。再以第二行減第四行及左行，消減它們的頭位。再以第四行減左行，直到其菽位不足減才停止。再以左行減第二行，消減其頭位，其剩餘的行，可以兩次被2整除。再以第四行加左行，減第二行，消去它們的頭位。再以第二行加左行，消去其頭位。餘數，約簡之，上方得到5，下方得到3，這就是菽5相當於荅3。再以左行減第二行，消去其菽位，又以左行加第四行，減右行，消減其菽位，直到不足減才停止。再以右行減第二行，直到其頭位不足減才停止。再以第二行消去右行的頭位。再以左行消去右行的頭位。餘數，上方得到6，下方得到5。這就是荅6相當於黍5。再以左行加右行，消去其荅位。餘數，約簡之，上方為2，下方為1。再以右行加第二行，消去其下位，再第二行加第四行，消去其下位，又以第二行加左行，消減其下位。再以左行加第二行，消去其下位。餘數，上方得到3，下方得到4。這就是麥3相當於菽4。再以第二行減第四行，消減其下位。再以第四行減第二行，消去其下位。餘數，上方得到4，下方得到7。這就是麻4相當於麥7。這樣，各種穀物的相當之率都列舉出來了。根據麻4相當於麥7，就是麻價率是7而麥價率是4；又根據麥3相當於菽4，就是麥價率是4而菽價率是3；又根據菽5相當於荅3，就是菽價率是3而荅價率是5；又根據荅6相當於黍5，就是荅價率是5而黍價率是6；因而諸率都互相通達了。重新布置第三行，以第四行減之，余有1斗麻、4斗菽，都是正的，3斗荅，是負的，下方的實4，是正的。求出它們同為麻的數，就以菽率3、荅率5各乘菽、荅的斗數，除以麻率7，得到菽為斗，是正的，得到荅為斗，是負的。那麼菽、荅都化成了麻，將它們相加，使同一符號的相加，不同符號的相消，那麼確定麻的餘數是斗，作為法。布置4作為實，而以分母乘之，得到實為28，而分子化為法。以法除，得到7，就是1斗麻的價錢。布置麥率4、菽率3、荅率5、黍率6，皆以1斗麻的價錢乘之，各自作為實。以麻率7作為法，實除以法，所得就是各種穀物的價錢。也可以布置原來某一行的實與諸穀物的斗數，將它們同而通之，分別以其本率，應用今有術，求其本率所相應的某穀物的數，相加，作為法。這樣做，就沒有正負數的差異了，只是選擇它們所同於的穀物罷了。　　又可以用另一術求解它：布置五行的通率，就是麻7、麥4、菽3、荅5、黍6，作為列衰。取確定的一行：1斗麻、4斗菽，是正的，3斗荅，是負的，分別以它們各自的率乘之。完了，使它們符號相同的就相加，符號不同的就相消，餘數作為法。又布置下方的實乘列衰，所得分別作為實。而在這一問題中，下方布置的實可以與法互約，則不再乘列衰，分別以列衰作為1斗的價錢。這樣做，共用了124步運算。