幾何原本 · 幾何原本卷六之首
西洋利瑪竇譯
界說六則
第一界
凡形相當之各角等而各等角旁兩線之比例俱等為相似之形
甲乙丙丁戊己兩角形之甲角與丁角等乙與戊丙
與己各等其甲角旁之甲乙與甲丙
兩線之比例若丁角旁之丁戊與
丁己兩線而甲乙與乙丙若丁戊與
戊己甲丙與丙乙若丁己與己戊則
此兩角形為相似之形依顯凡平邉
形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上諸形俱仿此
第二界
兩形之各兩邉線互為前後率相與為比例而等為互相視之形
甲乙丙丁戊己庚辛兩方形其甲乙
乙丙邉與戊己己庚邉相與為比例
等而彼此互為前後如甲乙與戊己
若己庚與乙丙也則此兩形為互相
視之形依顯壬癸子丑寅卯兩角形
之壬子與丑寅若丑夘與壬癸或壬癸與丑寅若丑夘與壬子亦互相視之形也
第三界
理分中末線者一線兩分之其全與大分之比例若大分與小分之比例
甲乙線兩分之於丙而甲乙與大分甲丙之比例若大分甲丙與小分丙乙此為理分中末線其分法見本卷三十題而與二卷十一題理同
名異此線為用甚廣至量體尤所必須十三卷諸題多頼之古人目為神分線也
第四界
度各形之髙皆以垂線之亘為度
甲乙丙角形從甲頂向乙丙底作甲庚垂線即甲庚為甲乙丙之髙又丁戊己角形作丁辛垂線即丁辛為丁戊己之髙若兩
形相視兩垂線等即兩形之髙必等如上兩形在兩平行線之內者是也若以丙己為頂以甲乙丁戊為底則不等自余諸形之度髙俱仿此
凡度物髙以頂底為界以垂線為度蓋物之定度止有一不得有二自頂至底垂線一而己偏線無數也第五界
比例以比例相結者以多比例之命數相乗除而結為一比例之命數
此各比例不同理而相聚為一比例者則用相結之法合各比例之命數求首尾一比例之命數也曷為比例之命數謂大幾何所倍於小几何若干或小几何在大幾何內若干也如大幾何四倍於小或小几何為大四分之一即各以四為命比例之數也【五卷界說
三】今言以彼多比例之命數相
乗除而結為此一比例之命數
者如十二倍之此比例則以彼
二倍六倍兩比例相結也二六
相乗為十二故也或以彼三倍
四倍兩比例相結也三四相乗
亦十二故也又如三十倍之此
比例則以彼二倍三倍五倍三
比例相結也二乗三為六六乗
五為三十故也
其曰相結者相結之理蓋在中率凡中率為前比例之後後比例之前故以二比例合為一比例則中率為輳合之因如兩爿合此為之膠如兩襟合此為之紐矣第五卷第十界言數幾何為同理之比例則第一與第三為再加之比例再加者以前中二率之命數再加為前後二率之命數亦以中率為紐也但彼所言者多比例同理故止以第一比例之命數累加之此題所言則不同理之多比例不得以第一比例之命數累加之故用此乗除相結之理於不同理之中求其同理別為累加之法其紐結之義頗相類焉下文仍發明借象之術以需後用也
五卷言多比例同理者第一與第三為再加與第四為三加與第五為四加以至無窮今此相結之理亦
以三率為始三率則兩比例
相乗除而中率為紐也若四
率則先以前三率之兩比例
相乗除而結為一比例復以
此初結之比例與第三比例
乗除相結為一比例也若五率則先以前三率之兩比例乗除相結復以此再結之比例與第三比例乗除相結又以三結之比例與第四比例乗除相結為一比例也或以第一第二第三率之兩比例乗除相結以第三第四第五之兩比例乗除相結又以此二所結比例乗除相結而為一比例也自六以上仿此以至無窮
設三幾何為二比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三兩比例相結也如上圗三幾何二比例皆以大不等者其甲乙與丙丁為二倍大丙丁與戊己為三倍大則甲乙與戊己為六倍大二乗三為六也若以小不等戊己
為第一甲乙為第三三乗二亦六則戊己與甲乙為反六倍大也
甲乙與丙丁既二倍大試以甲乙二平分之為甲庚庚乙必各與丙丁等丙丁與戊己既三倍大而甲庚庚乙各與丙丁等即甲庚亦三倍大於戊己庚乙亦三倍大於戊己而甲乙必六倍大於戊己
又如上圗三幾何二比例前以大不等後以小不等者中率小子前後兩率也
其甲乙與丙丁為三倍大丙丁與戊己為反二倍大【反二倍大者丙丁得戊己之半】即甲乙與戊己為等帶半三乗半得等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三反推之半除三為反等帶半也
又如上圗三幾何二比例前以小不等後以大不等者中率大於前後二率也
其甲乙與丙丁為反二倍大【甲乙得丙丁之半】丙丁與戊己為等帶三分之一即甲乙與戊己為反等帶半【甲乙得戊己三分之二】何者如甲乙二即丙丁當四丙丁四即戊己當三是甲乙二戊己當三也
後増其乗除之法則以命數三帶得數一為四以半除之得二二比三為反等帶半也若以戊己為第一甲乙為第三三比二為等帶半也
設四幾何為三比例不同理而合為一比例則以第一與二第二與三第三與四三比例相結也如上圗甲乙丙丁四
幾何三比例先依上論以甲與乙乙與丙二比例相結為甲與丙之比例次以甲與丙丙與丁相結即得甲與丁之比例也如是逓結可至無窮也
或用此圗申明本題之防曰甲與乙之命數為丁乙
與丙之命數為戊即甲與丙之命數
為己何者三命數以一丁二戊相乗
得三己即三比例以一甲與乙二乙
與丙相乗得三甲與丙
後増若多幾何各帶分而多寡不等者當用通分法如設前比例為反五倍帶三之二後比例為二倍大帶八之一即以前命數三通其五倍為十五得分數從之為十七是前比例為三與十七也以後命數八通其二倍為十六得分數從之為十七是後比例為十七與八也即首尾二幾何之比例為三與八得二倍大帶三之二也
曷謂借象之術如上所說三幾何二比例者皆以中率為前比例之後後比例之前乗除相結畧如連比例之同用一中率也而不同理別有二比例異中率者是不同理之斷比例也無法可以相結當於其所設幾何之外別立三幾何二比例而同中率者乗除相結作為儀式以彼異中率之四幾何二比例依仿求之即得故謂之借象術也假如所設幾何十六為
首十二為尾卻雲十六
與十二之比例若八與
三及二與四之比例八
為前比例之前四為後
比例之後三與二為前
之後後之前此所謂異
中率也欲以此二比例乗除相結無法可通矣用是別立三幾何二比例如其八與三二與四之比例而務令同中率如三其八得二十四為前比例之前三其三得九為前比例之後即以九為後比例之前又求九與何數為比例若二與四得十八為後比例之後其二十四與九若八與三也九與十八若二與四也則十六與十二若二十四與十八俱為等帶半之比例矣是用借象之術變異中率為同中率乗除相結而合二比例為一比例也其三比例以上亦如上方所說展轉借象逓結之 詳見本卷二十三題筭家所用借象金法雙金法俱本此
第六界
平行方形不滿一線為形小於線若形有餘線不足為形大於線
甲乙線其上作甲戊丁丙平行方形不滿甲乙線而丙乙上無形即作己乙線與丁丙平行次引戊丁線遇己乙於己是為甲戊己乙滿甲乙線平行方形則甲丁為依甲乙線之有闕平行方形而丙己平行方形為甲丁之闕形又
甲丙線上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大於元設甲丙線之較為丙乙而甲己形大於甲丙線上之甲丁形則甲己為依甲丙線之帶餘平行方形而丙己平行方形為甲己之餘形
幾何原本卷六之首
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