幾何原本 · 幾何原本卷五
西洋利瑪竇撰
第一題
此數幾何彼數幾何此之各率同幾倍於彼之各率則此之並率亦幾倍於彼之並率
解曰如甲乙丙丁此二幾何大於戊己彼二幾何各若干倍題言甲乙丙丁並大於戊己並亦若干倍
論曰如甲乙與丙丁既各三倍大於戊與己即以甲乙三分之各與戊等為甲庚庚辛辛乙又以丙丁三分之各與己等為丙壬壬癸癸丁即甲乙與丙丁所分之數等而甲庚既與戊等丙壬既與己等既於甲庚加丙壬於
戊加己其甲庚丙壬並與戊己並必等依顯庚辛壬癸並辛乙癸丁並與戊己並各等夫甲乙與丙丁之分三合於戊己皆等【本卷界説二】則甲乙丙丁並三倍大於戊己並
第二題
六幾何其第一倍第二之數等於第三倍第四之數而第五倍第二之數等於第六倍第四之數則第一第五並倍第二之數等於第三第六並倍第四之數解曰一甲乙倍二丙之數如三丁戊倍四己之數又五乙庚倍二丙之數如六戊辛倍四己之數題言一甲乙五乙庚並倍二丙之數若三丁戊六戊辛並倍四己之數
論曰甲乙丁戊之倍於丙己其數等則甲乙幾何內有丙幾何若干與丁戊幾何內
有己幾何若干其數亦等【本卷界説二】依顯乙庚丙有丙若干與戊辛內有己若干亦等次於甲乙丁戊兩等數率每加一等數之乙庚戊辛率則甲庚丁辛兩幾何內之分數等而一五並之甲庚內有二丙若干與三六並之丁辛內有四己若干亦等
注曰若第一第三兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等而第五倍第二之數等於第六倍第四之數或第一倍第二之數等於第三倍第四之數而第五第二兩幾何之數與第六第四兩幾何
之數各等俱同本論如上二
圖甲庚為第一第五之並率
其倍二丙之數與丁辛為第
三第六之並率其倍四己之數等也【甲庚內有丙若干與丁辛內有己若干等故同理】他若第一第三兩幾何之數第五第六兩幾何之數與第二第四兩幾何之數各等此理更明何者第一第五並之倍第二若第三第六並之倍第四俱兩倍故
第三題
四幾何其第一之倍於第二若第三之倍於第四次倍第一又倍第三其數等則第一所倍之與第二若第三所倍之與第四
解曰一甲所倍於二乙若三丙所倍於四丁次作戊己兩幾何同若干倍於甲於丙題言以平理推戊倍乙之數若己倍丁論曰戊與己之倍甲與丙其數既等試以戊作若干分各與甲等為戊庚庚辛辛壬次分己亦如之為己癸癸子子丑即戊內有甲若干與己內有丙若干等
【本卷界説二】夫戊庚與甲己癸與丙既等而甲之倍乙與丙之倍丁又等則戊庚倍乙若己癸倍丁也依顯庚辛辛壬各所倍於乙若癸子子丑各所倍於丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁則一戊庚五庚辛並之倍二乙若三己癸六癸子並之倍四丁也【本篇二】又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁則一戊辛五辛壬並之倍二乙若三己子六子丑並之倍四丁也辛壬子丑以上任作多分皆仿此論
第四題【其系爲反理】
四幾何其第一與二偕第三與四比例等第一第三同任為若干倍第二第四同任為若干倍則第一所倍與第二所倍第三所倍與第四所倍比例亦等觧曰甲與乙偕丙與丁比例等次作戊與己同任若干倍於一甲三丙別作庚與辛同任若干倍於二乙
四丁題言一甲
所倍之戊與二
乙所倍之庚偕
三丙所倍之己
與四丁所倍之
辛比例亦等
論曰試以戊己二防何同任倍之為壬為癸別以庚辛同任倍之為子為丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本篇三】依顯子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲與乙偕丙與丁之比例既等而壬癸所倍於甲丙子丑所倍於乙丁各等即三試之若倍甲之壬小於倍乙之子則倍丙之癸亦小於倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等矣若壬大於子即癸亦大於丑矣【本卷界説六】夫戊己之倍為壬癸也庚辛之倍為子丑也不論防許倍其等大小三試之恆如是也則一戊所倍之壬與二庚所倍之子偕三己所倍之癸與四辛所倍之丑等大小皆同類也而戊與庚偕己與辛之比例必等【本卷界説六】
一系凡四防何第一與二偕第三與四比例等即可反推第二與一偕第四與三比例亦等何者如上倍甲之壬與倍乙之子偕倍丙之癸與倍丁之丑等大小俱同類而顯甲與乙若丙與丁即可反説倍乙之子與倍甲之壬偕倍丁之丑與倍丙之癸等大小俱同類而乙與甲亦若丁與丙【本卷界説六】
二系別有一論亦本書中所恆用也曰若甲與乙偕兩與丁比例等則甲之或二或三倍與乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍與丁之或二或三倍比例俱等仿此以至無窮
第五題
大小兩防何此全所倍於彼全若此全截取之分所倍於彼全截取之分則此全之分余所倍於彼全之分余亦如之
解曰甲乙大防何丙丁小防何甲乙所倍於丙丁若甲乙之截分甲戊所倍於丙丁之截分丙己題言甲戊之分余戊乙所倍於丙巳之分余巳丁亦如其數
論曰試作一他防何為庚丙今戊巳之倍庚丙若甲戊之倍丙巳也【本卷界説増】甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
數等即其兩並甲乙之倍庚巳亦若 【甲】戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己則丙丁與庚己等也次毎減同用之丙巳即庚丙與巳丁亦等而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己則戊乙為甲戊之分余所倍於巳丁為丙巳之分余者亦若甲乙之倍丙丁也
又論曰試作一他防何為庚甲令庚甲之
倍己丁若甲戊之倍丙巳【本説界説二十】即其兩並庚戊之倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊與甲乙等矣次毎減同用之甲戊即庚甲與戊乙等也而庚甲之倍己丁若甲乙之倍丙丁也則戊乙之倍巳丁亦若甲乙之倍丙丁也
第六題
此兩防何各倍於彼兩防何其數等於此兩防何毎減一分其一分之各倍於所當彼防何其數等則其分余或各與彼防何等或尚各倍於彼防何其數亦等觧曰甲乙丙丁兩防何各倍於戊巳兩防何其數等毎減一甲庚丙辛甲庚丙辛之倍戊巳其數等題言分余庚乙辛丁或與
戊巳等或尚各倍於戊巳其數亦等
論曰甲乙全與其分甲庚既各多倍於戊則分余庚乙與戊其或等或尚防倍必矣何者庚乙與戊不等不防倍其加於甲庚不成為戊之多倍也然則庚乙與戊等曷為辛丁與巳亦等試作壬丙與己等其一甲庚之倍二戊既若
三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙之等四巳則第一第五並之甲乙所倍於二戊若第三第六並之壬辛所倍於四巳也【本篇二】而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己即壬辛與丙丁亦等次毎減同用之丙辛
即壬丙與辛丁必等是辛丁與己亦等矣然則庚乙之倍戊曷為與辛丁之倍己等試作壬丙其倍己若庚乙之倍戊依前論甲乙之倍戊若壬辛之倍己【本篇二】而壬辛與丙丁等壬丙與辛丁亦等是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣
第七題【二支】
此兩幾何等則與彼幾何各為比例必等而彼幾何與此相等之兩幾何各為比例亦等
解曰甲乙兩幾何等彼幾何丙不論等大小於甲乙題言甲與丙偕乙與丙各為比例必等又反上言丙與甲偕丙與乙各為比例亦等
論曰試作丁戊兩率任同若干倍於甲乙即丁與戊等別作己任若干倍於丙其丁戊既等即丁視己與戊視己或等或大或小必同類矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
當二又當四之丙所倍之己其等大小既同類【本卷界説六】則一甲與二丙之比例若三乙與四丙矣反説之當一當三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊其等大小既同類則一丙與二甲之比例若三丙與四乙矣
後論與本篇第四題之系同用反理如甲與丙若乙與丙反推之丙與甲亦若丙與乙也
第八題
大小兩幾何各與他幾何為比例則大與他之比例大於小與他之比例而他與小之比例大於他與大之比例解曰不等兩幾何甲乙大丙小又有他幾何丁不論等大小於甲乙於丙題言甲乙與丁之比例大於丙與丁之比例又反上言丁與丙之比例大於丁與甲乙之比例
論曰試於大幾何甲乙內分甲戊與小几何丙等而戊乙為分余次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚己而庚己為戊乙之倍必令大於丁辛庚為甲戊之倍必令大於丁或等於丁若不足以倍加之也其庚己辛庚之倍於戊乙甲戊既等即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣【本篇一】甲戊即丙也次作一壬癸為丁之倍令
僅大於辛庚兩倍不足三之又不足任加之己大勿倍也次於壬癸截取子癸與丁等即壬子必不大於辛庚何者向作壬癸為丁之倍元令僅大於辛庚若壬子大於辛庚者何必又倍之為壬癸也故僅大之壬癸截去子癸者必不大於辛庚也則壬子或等或小於辛庚矣夫庚己既大於丁而子癸與丁等即庚己必大於子癸又辛庚不小於壬子【或大或等】即辛己亦大於壬癸也夫辛己辛庚同若干倍於第一甲乙第三丙也而壬癸之倍於當二之丁當四之丁又同一率也則第一所倍之辛己大於第二所倍之壬癸而第三所倍之辛庚不大於第四所倍之壬癸【辛庚元小於壬癸】是一甲乙與二丁之比例大於三丙與四丁矣【本卷界説八】次反上説一丁所倍之壬癸【反説則丁當一當三丙二甲乙四】大於二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大於四甲乙所倍之辛己【壬癸必小於辛己】是一丁與二丙之比例大於三丁與四甲乙矣【本卷界説八】
第九題【二支】
兩幾何與一幾何各為比例而等則兩幾何必等一幾何與兩幾何各為比例而等則兩幾何亦等
先解曰甲乙兩幾何各與丙為比例等題言甲與乙等
論曰如雲不然而甲大於乙即甲與丙之比例
宜大於乙與丙【本篇八】何先設兩比例等也故比例等則甲與乙等
後解曰丙幾何與甲與乙各為比例等題言甲與乙等論曰如雲不然而甲大於乙即丙與乙之比例宜大於丙與甲【本篇八】何先設兩比例等也
第十題【二支】
彼此兩幾何此幾何與他幾何之比例大於彼與他之比例則此幾何大於彼他幾何與彼幾何之比例大於他與此之比例則彼幾何小於此
先解曰甲乙兩幾何復有丙幾何甲與丙之比例大於乙與丙題言甲大於乙
論曰如雲不然甲與乙等即所為兩比例宜等
【本篇七】何先設甲與丙大也又不然甲小於乙即乙與丙之比例宜大於甲與丙【本篇八】何先設甲與丙大也後解曰丙與乙之比例大於丙與甲題言乙小於甲論曰如雲不然乙與甲等即所為兩比例宜等【本篇七】何先設丙與乙大也又不然乙大於甲即丙與甲之比例宜大於丙與乙何先設丙與乙
大也
第十一題
此兩幾何之比例與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例與他兩幾何之比例亦等則彼兩幾何之比例與此兩幾何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各與戊己之比例等題言甲乙與丙丁之比例亦等論曰試於各前率之甲丙戊同任倍之為庚辛壬別於各後率之乙丁己同任倍之為癸子丑其一甲與二乙之比例既若三戊與四己即三試之若倍一甲之庚小於倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小於倍四己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大於癸即壬亦大於丑矣【本卷界説六】依顯壬之
視丑若辛之視子其等大小亦同類矣此三前三後率任作幾許倍其等大小皆同類也【本卷界説六】則甲與乙之比例若丙與丁也
第十二題
數幾何所為比例皆等則並前率與並後率之比例若各前率與各後率之比例
解曰甲乙丙丁戊己數幾何所為比例皆等者甲與乙若丙與丁丙與丁若戊與己也題言甲丙戊諸前率並與乙丁己諸後率並之比例若甲與乙丙與丁戊與己各前各後之比例也
論曰試於各前率之甲丙戊同任倍之為庚辛壬別於各後率之乙丁己同任倍之為癸子丑即庚辛壬並之倍甲丙戊並若庚之倍甲也癸子丑並之倍乙丁己並若癸之倍乙也【本篇一】夫一甲與二乙既若三
丙與四丁又若三戊與四己則庚之倍一甲與癸之倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊與子五之倍四丁己等大小同類也又各前所倍庚辛壬並與各後所倍癸子丑並其或等或大或小亦偕各前所自倍與各後所自倍其等大小必同類也【本卷界説六】則一甲與二乙之比例若三甲丙戊並與四乙丁己並矣
第十三題
數幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第三與四之比例大於第五與六之比例則第一與二之比例亦大於第五與六之比例
解曰一甲與二乙之比例若三丙與四丁而三丙與四丁之比例大於五戊與六己題言甲與乙之比例
亦大於戊與己
論曰試以甲丙戊各前率同任倍之為庚辛壬別以乙丁己各後率同任倍之為癸子丑其甲與乙既若丙與丁即三試之若倍甲之庚大於倍乙之癸即倍丙之辛必大於倍丁之子矣若庚癸等即辛子亦等若庚小於癸即辛亦小於子矣【本卷界説六】次丙與丁既大於戊與己又三試之即倍丙
之辛大於倍丁之子而倍戊之壬不必大於倍己之丑也或等或小矣【本卷界説八】夫庚癸與辛子等大小同類則壬丑不類於辛子者亦不類於庚癸也故甲與乙之比例亦大於戊與己【本卷界説八】
注曰若三丙與四丁之比例或小或等於五戊六己則一甲與二乙之比例亦小亦等於五戊六己依此論推顯
第十四題
四幾何第一與二之比例若第三與四之比例而第一幾何大於第三則第二幾何亦大於第四第一或等或小於第三則第二亦等亦小於第四
解曰甲與乙之比例若丙與丁題言甲大於丙則乙亦大於丁若等亦等若小亦小先論曰如甲大於丙即甲與乙之比例大
於丙與乙矣【本篇八】夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而三甲與四乙之比例大於五丙與六乙即一丙與二丁之比例亦大於五丙與六乙【本篇十三】是丁
幾何小於乙也【本篇十一】
次論曰如甲丙等即甲與乙之比例若丙與乙【本篇七】夫甲與乙之比例元若丙與丁
而又若丙與乙是丙與丁之比例亦若丙與乙也【本篇十一】則乙與丁等也【本篇九】
後論曰如甲小於丙即丙與乙之比例大於甲與乙矣【本篇八】夫一丙與二丁之比例既若三甲與四乙而三甲與四乙之比例小於五丙與六乙即一丙與二丁之比例亦小於五丙與六乙也【本篇十三】是乙小於丁也【本篇十】
第十五題
兩分之比例與兩多分並之比例等
解曰甲與乙同任倍之為丙丁為戊己題言丙丁與戊己之比例若甲與乙
論曰丙丁之倍甲既若戊己之倍乙即丙丁內有甲若干與戊己內有乙若干等次分丙丁為丙庚庚辛辛丁各與甲分等分戊己為戊壬壬癸癸己各與乙分等即丙庚與戊壬若甲與乙也【丙庚與甲等戊壬與乙等故見本篇七】庚辛與壬癸辛丁與癸己皆若甲與乙也【本篇十一】則等甲之丙庚與等乙之戊
壬定若丙丁全與戊己全而丙丁全與戊己全若甲與乙矣【本篇十二】
第十六題【更理】
四幾何為兩比例等即更推前與前後與後為比例亦等解曰甲乙丙丁四幾何甲與乙之比例若丙與丁題言更推之甲與丙之比例亦若乙與丁
論曰試以甲與乙之任倍之為戊為己別以丙與丁同任倍之為庚為辛即戊與己若甲與乙也【本篇十五】庚與辛若丙與丁也夫
甲與乙若丙與丁而戊與己亦若甲與乙即戊與己亦若丙與丁矣依顯庚與辛若丙與丁即戊與己亦若庚與辛也【本篇十一】次三試之若戊大於庚則己亦大於辛也若等亦等若小亦小任作幾許倍恆如是也【本篇十四】則倍一甲之戊倍三乙之己與倍二丙之庚倍四丁之辛其等大小必同類也而甲與丙若乙與丁矣
第十七題【分理】
相合之兩幾何為比例等則分之為比例亦等
解曰相合之兩幾何其一為甲乙丁乙其一為丙戊己戊比例等者甲乙與丁乙若丙戊與己戊也題言分之為比例亦等者甲丁與丁乙若丙己與己戊也
論曰試以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之為庚辛辛壬為癸子子丑即庚壬之倍甲
乙若庚辛之倍甲丁也亦若癸子之倍丙己也【本篇一】夫癸子之倍丙己亦若癸丑之倍丙戊即庚壬之倍甲乙亦若癸丑之倍丙戊也次別以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯其一辛壬之倍二丁乙既若三子丑之倍四己戊而五壬寅之倍二丁乙亦若六丑卯之倍四己戊即辛寅之倍丁乙亦若子卯之倍己戊也【本篇二】夫一甲乙與二丁乙之比例既若三丙戊與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若一甲乙所倍之庚壬大於二丁乙所倍之辛寅即三丙戊所倍之癸丑亦大於四己戊所倍之子卯也若等亦等若小亦小也【本卷界説六】如庚壬小於辛寅而癸丑小於子卯者即每減一同用之辛壬子丑其所存庚辛亦小於壬寅而癸子亦小於丑卯矣依顯庚壬等辛寅而癸丑等子卯者即庚辛等壬寅而癸子等丑卯矣庚壬大於辛寅而癸丑大於子卯
者即庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯矣夫庚辛為甲丁之倍癸子為丙己之倍壬寅為丁乙之倍丑卯為己戊之倍而甲丁丙己之所倍視丁乙己戊之所倍其等大小皆同類則甲丁與丁乙若丙己與己戊也【本卷界説六】
第十八題【合理】
兩幾何分之為比例等則合之為比例亦等
解曰甲丁丁乙與丙己己戊兩分幾何其比例等者甲丁與丁乙若丙己與己戊是也題言合之為比例亦等者甲乙與丁乙若丙戊與己戊也
論曰如前論以甲丁丁乙丙己己戊同任倍之為庚辛辛壬為癸子子丑【本篇二】次別
以丁乙己戊同任倍之為壬寅為丑卯即庚壬之倍甲乙若癸丑之倍丙戊也【本篇一】而辛寅之倍丁乙若子卯之倍乙戊也【本篇二】夫一甲丁與二丁乙既若三丙己與四己戊而一與三二與四各所倍等即三試之若一甲丁所倍之庚辛小於二丁乙所倍之壬寅即三丙己所倍之癸子亦小於四己戊所倍之丑卯也若等亦等若大亦大也【本卷界説六】如庚辛小於壬寅而癸子亦小於丑卯即每加一辛壬子丑其所並庚壬亦小於辛寅而癸丑亦小於子卯矣依顯庚辛等壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
丑等子卯矣庚辛大於壬寅而癸子大於丑卯即庚壬大於辛寅而癸丑大於子夘矣夫一甲乙所倍之庚壬與二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑與四己戊所倍之子夘其等大小皆同類則甲乙與丁乙若丙戊與己戊也【本卷界説六】
第十九題【其係為轉理】
兩幾何各截取一分其所截取之比例與兩全之比例等則分余之比例與兩全之比例亦等
解曰甲乙丙丁兩幾何其甲乙全與丙丁全之比例若截取之甲戊與丙己題言分余戊乙與己丁之比
例亦若甲乙與丙丁
論曰甲乙與丙丁既若甲戊與丙己試更之甲乙與甲戊若丙丁與丙己也【本篇十六】次分之戊乙與甲戊若己丁與丙己也【本篇十七】又更之戊乙與己丁若甲戊與丙己也【本篇十六】夫甲戊與丙己元若甲乙與丙丁則戊乙與己丁亦若甲乙與丙
丁矣
一系從此題可推界説第十六之轉理如上甲乙與戊乙若丙丁與己丁即轉推甲乙與甲戊若丙丁與丙己也何者甲乙與戊乙既若丙丁與己丁試更之甲乙與丙丁若截取之戊乙與己丁也【本篇十六】即甲乙全與丙丁全又若分余之甲戊與丙己矣【本題】又更之則甲乙與甲戊若丙丁與丙己也【本篇十六】此轉理也注曰凡更理可施於同類之比例不可施於異類若轉理不論同異類皆可用也依此系即轉理亦頼更理為用似亦不可施於異類矣今別作一論不頼更理以為轉理明轉理可施於異類也論曰甲乙與丙乙若丁戊與己戊即轉推甲乙與甲丙若丁戊與丁己何者甲乙與丙乙既若丁戊與己戊試分之甲丙與丙乙若丁己與
己戊也【本篇十七】次反之丙乙與甲丙若己戊與丁己也【本篇四】次合之甲乙與甲丙若丁戊與丁己也【本篇十八】
第二十題【三支】
有三幾何又有三幾何相為連比例而第一幾何大於第三則第四亦大於第六第一或等或小於第三則第四亦等亦小於第六
先解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何其甲與乙之比例若丁與戊乙與丙之比例若戊與己而甲大於丙題言丁亦大於己論曰甲既大於丙即甲與乙之比例大於
丙與乙矣【本篇八】而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦大於丙與乙矣【本篇十三】又丙與乙之比例若己與戊【乙與丙若戊與己反之則丙與乙若己與戊】即丁與戊之比例大於己與戊矣是丁大於己也【本篇十】
次解曰若甲丙等題言丁己亦等
論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與乙矣【本篇七】而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦若丙與乙矣【本篇十一】又丙
與乙之比例若己與戊【反理】即丁與戊之比例亦若己與戊矣是丁己等也【本篇九】
後解曰若甲小於丙題言丁亦小於己論曰甲既小於丙即甲與乙之比例小於丙與乙矣【本篇八】而甲與乙之比例若丁與戊即丁與戊之比例亦小於丙與乙矣又
丙與乙之比例若己與戊【反理】即丁與戊之比例小於己於戊矣是丁小於己也【本篇十】
第二十一題【三支】
有三幾何又有三幾何相為連比例而錯以平理推之若第一幾何大於第三則第四亦大於第六若第一或等或小於第三則第四亦等亦小於第六
解曰甲乙丙三幾何丁戊己三幾何相為連比例不序不序者甲與乙若戊與己乙與丙若丁與戊也以平理推之若甲大於
丙題言丁亦大於己
論曰甲既大於丙即甲與乙之比例大於丙與乙【本篇八】而甲與乙若戊與己即戊與己之比例亦大於丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也【本篇四】則戊與己大於戊與丁也是丁大於己也【本篇二十】
次解曰若甲丙等題言丁己亦等
論曰甲丙既等即甲與乙之比例若丙與乙【本篇七】而甲與乙若戊與己即丙與乙之
比例亦若戊與己也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙亦若戊與丁也【本篇四】則戊與己若戊與丁也是丁己等也【本篇九】
後解曰若甲小於丙題言丁亦小於己論曰甲既小於丙即甲與乙之比例小於丙與乙【本篇八】而甲與乙若戊與己即戊與
己之比例小於丙與乙也又乙與丙既若丁與戊反之即丙與乙若戊與丁【本篇四】則戊與己小於戊與丁也是丁小於己也【本篇十】
第二十二題【平理之序】
有若干幾何又有若干幾何其數等相為連比例則以平理推
解曰有若干幾何甲乙丙又
有若干幾何丁戊己而甲與
乙之比例若丁與戊乙與丙
之比例若戊與己題言以平
理推之甲與丙之比例若丁
與己
論曰試以甲與丁同任倍之為庚為辛別以乙與戊同任倍之為壬為癸別以丙與己同任倍之為子為丑其一甲與二乙既若三丁與四戊即倍甲之庚與
倍乙之壬若倍丁之辛與倍
戊之癸也【本篇四】依顯一乙與
二丙既若三戊與四己即倍
乙之壬與倍丙之子若倍戊
之癸與倍己之丑也是庚壬
子三幾何辛癸丑三幾何又相為連比例矣次三試之若庚大於子即辛必大於丑也【本篇二十】若等亦等者小亦小也則倍一甲之庚倍三丁之辛與倍二丙之子倍四己之丑等大小皆同類也是甲與丙若丁與己也【本卷界説六】其幾何自三以上如更有丙與寅若己與卯亦依顯甲與寅若丁與卯也何者上既顯甲與丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯即以甲丙寅作三幾何以丁己卯作又三幾何相為連比例依上推論亦得甲與寅之比例若丁與夘也自四以上可至無窮依此推顯
第二十三題【平理之錯】
若干幾何又若干幾何相為連比例而錯亦以平理推
解曰甲乙丙若干幾何丁戊
己若干幾何相為連比例而
錯者甲與乙若戊與己乙與
丙若丁與戊也題言以平理
推之甲與丙之比例亦若丁與己
論曰試以甲乙丁同任倍之為庚辛壬別以丙戊己同任倍之為癸子丑即甲與乙若所自倍之庚與辛
【本篇十五】而甲與乙既若戊與己
即庚與辛亦若戊與己【本篇十一】戊與己又若所自倍之子與
丑即庚與辛亦若子與丑【本篇】
【十一】依顯一乙與二丙既若三丁與四戊即倍一乙之辛與倍二丙之癸若倍三丁之壬與倍四戊之子也【本篇四】是庚辛癸三幾何壬子丑三幾何又相為連比例而錯矣次三試之若庚大於癸即壬亦大於丑若等亦等若小亦小【本篇廿一】則一甲三丁所倍之庚壬與二丙四己所倍之癸丑等大小皆同類也是一甲與二丙若三丁與四己【本卷界說六】如三以上既有甲與乙若己與夘乙與丙若戊與己又有丙與寅若丁與戊亦顯甲與寅若丁與卯何者依上論先顯甲與丙若戊與夘次丙與寅又若丁與戊即以甲丙寅作三幾何丁戊夘作又三幾何相為連比例而錯依上論亦得甲與寅若丁與夘四以上悉依此推顯
第二十四題
凡第一與二幾何之比例若第三與四幾何之比例而第五與二之比例若第六與四則第一第五並與二之比例若第三第六並與四
解曰一甲乙與二丙之比例若三丁戊與四己而五乙庚與二丙若六戊辛與四己題言一甲乙五乙庚並與二丙若三丁戊六戊辛並與四己論曰乙庚與丙既若戊辛與己反之丙與乙庚若己與戊辛也【本篇四】又甲乙與丙既若丁戊與
己而丙與乙庚亦若己與戊辛平之甲乙與乙庚若丁戊與戊辛也【本篇廿二】又合之甲庚全與乙庚若丁辛全與戊辛也【本篇十八】夫甲庚與乙庚既若丁辛與戊辛而乙庚與丙亦若戊辛與己平之甲庚與丙若丁辛與己矣【本篇廿二】
注曰依本題論可推廣第六題之義作後増題【第六題言幾倍後增題不止言倍其義稍廣矣】
増題此兩幾何與彼兩幾何比例等於此兩幾何每截取一分其截取兩幾何與彼兩幾何比例等則分余兩幾何與彼兩幾何比例亦等
解曰如上圗甲庚丁辛此兩幾何與丙己彼兩幾何比例等者甲庚與丙若丁辛與己也題言截取之甲乙與丙若丁戊與己則分余之乙庚與丙亦若戊辛與己
論曰甲乙與丙既若丁戊與己即反之丙與甲乙若己與丁戊也【本篇四】又甲庚與丙既若丁辛與己而丙與甲乙亦若己與丁戊即平之甲庚與甲乙若丁辛與丁戊也【本篇廿二】又分之乙庚與甲乙若戊辛與丁戊也【本篇十七】夫乙庚與甲乙既若戊辛與丁戊而甲乙與丙若丁戊與己
即平之若戊辛與己也【本篇廿三】
第二十五題
四幾何為斷比例則最大與最小兩幾何並大於余兩幾何並
解曰甲乙與丙丁之比例若戊與己甲乙最大己最小題言甲乙己並大於丙丁戊並
論曰試於甲乙截取甲庚與戊等於丙丁截取丙辛與己等即甲庚與丙辛之比例若戊與己也亦若甲乙與丙丁也夫甲乙全與丙丁全既若截取之甲庚與丙辛即亦若分余之庚乙與辛丁也【本篇十九】而甲乙最大必大於丙丁即庚乙亦大於辛丁矣又甲庚與戊丙辛與己既等即於戊加丙
辛於己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁則甲乙己並豈不大於丙丁戊並
第二十六題
第一與二幾何之比例大於第三與四之比例反之則第二與一之比例小於第四與三之比例
解曰一甲與二乙之比例大於三丙與四丁題言反之二乙與一甲之比例小於四丁與三丙
論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與
乙之比例大於戊與乙而甲幾何大於戊【本篇十】則乙與戊之比例大於乙與甲也【本篇八】反之則乙與戊之比例若丁與丙【本篇四】而乙與甲之比例小於丁與丙第二十七題
第一與二之比例大於第三與四之比例更之則第一與三之比例亦大於第二與四之比例
解曰一甲與二乙之比例大於三丙與四丁題言更之則一甲與三丙之比例亦大於二乙與四丁
論曰試作戊與乙之比例若丙與丁即甲與乙
之比例大於戊與乙而甲防何大於戊【本篇十】則甲與丙之比例大於戊與丙也【本篇八】夫戊與乙之比例既若丙與丁更之則戊與丙之比例亦若乙與丁【本篇十六】而甲與丙之比例大於乙與丁矣
第二十八題
第一與二之比例大於第三與四之比例合之則第一第二並與二之比例亦大於第三第四並與四之比例
解曰一甲乙與二乙丙之比例大於三丁戊與四戊己題言合之則甲丙與乙丙之比例亦大於丁己與戊己
論曰試作庚乙與乙丙之比例若丁戊與戊
己即甲乙與乙丙之比例大於庚乙與乙丙而甲乙幾何大於庚乙矣【本篇十】此二率者每加一乙丙即甲丙亦大於庚丙而甲丙與乙丙之比例大於庚丙與乙丙也【本篇八】夫庚乙與乙丙之比例既若丁戊與戊己合之則庚丙與乙丙之比例亦若丁己與戊己也【本篇十八】而甲丙與乙丙之比例大於丁己與戊己矣第二十九題
第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例分之則第一與二之比例亦大於第三與四之比例解曰甲丙與乙丙之比例大於丁己與戊己題言分之則甲乙與乙丙之比例亦大於丁戊與戊己
論曰試作庚丙與乙丙之比例若丁己與戊
己即甲丙與乙丙之比例亦大於庚丙與乙丙而甲丙幾何大於庚丙矣【本篇十】此二率者每減一同用之乙丙即甲乙亦大於庚乙而甲乙與乙丙之比例大於庚乙與乙丙也【本篇八】夫庚丙與乙丙之比例既若丁己與戊己分之則庚乙與乙丙之比例亦若丁戊與戊己也【本篇十七】而甲乙與乙丙之比例大於丁戊與戊己矣
第三十題
第一合第二與二之比例大於第三合第四與四之比例轉之則第一合第二與一之比例小於第三合第四與三之比例
解曰甲丙與乙丙之比例大於丁己與戊己題言轉之則甲丙與甲乙之比例小於丁己與丁戊
論曰甲丙與乙丙之比例既大於丁己與戊己分之即甲乙與乙丙之比例亦大於丁戊與戊己也【本篇廿九】又反之乙丙與甲乙之比例小於戊
己與丁戊矣【本篇廿六】又合之甲丙與甲乙之比例亦小於丁己與丁戊也【本篇廿八】
第三十一題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第一與二之比例此第二與三之比例大於彼第二與三之比例如是序者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比例
解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大於丁與戊乙與丙之比例大於戊與己如是序者題言以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
論曰試作庚與丙之比例若戊與己即乙與丙之比例大於庚與丙而乙幾何大於庚【本篇十】是甲與小庚之比例大於甲與大
乙矣【本篇八】夫甲與乙之比例元大於丁與戊即甲與庚之比例更大於丁與戊也次作辛與庚之比例若丁與戊即甲與庚之比例亦大於辛與庚而甲幾何大於辛【本篇十】是大甲與丙之比例大於小辛與丙矣【本篇八】夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也【本篇廿二】則甲與丙之比例大於丁與己也
第三十二題
此三幾何彼三幾何此第一與二之比例大於彼第二與三之比例此第二與三之比例大於彼第一與二之比例如是錯者以平理推則此第一與三之比例亦大於彼第一與三之比例
解曰甲乙丙此三幾何丁戊己彼三幾何而甲與乙之比例大於戊與己乙與丙之比例大於丁與戊如是錯者題言以平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己
論曰試作庚與丙之比例若丁與戊即乙與丙之比例大於庚與丙而乙防何大於庚【本篇十】是甲與小庚之比例大於
甲與大乙矣【本篇八】夫甲與乙之比例既大於戊與己即甲與庚之比例更大於戊與己也次作辛與庚之比例若戊與己即甲與庚之比例亦大於辛與庚而甲幾何大於辛【本篇十】是大甲與丙之比例大於小辛與丙矣【本篇八】夫辛與丙之比例以平理推之若丁與己也【本篇廿三】則甲與丙之比例大於丁與己也
第三十三題
此全與彼全之比例大於此全截分與彼全截分之比例則此全分余與彼全分余之比例大於此全與彼全之比例
解曰甲乙全與丙丁全之比例大於兩截分甲戊與丙己題言兩分余戊乙與己丁之比例大於甲乙與丙丁
論曰甲乙與丙丁之比例既大於甲戊與丙己更之即甲乙與甲戊之比例亦大於丙丁與丙己也【本篇廿七】又轉之甲乙與戊乙之比例小於丙丁與己丁也【本篇三十】又更之甲乙與丙丁之比例小於戊乙與己丁也【本篇廿七】戊乙與己丁分余也則分余之比例大於甲乙全與丙丁全矣依顯兩全之比例小於截分則分余之比例小於
兩全
第三十四題【三支】
若干幾何又有若干防何其數等而此第一與彼第一之比例大於此第二與彼第二之比例此第二與彼第二之比例大於此第三與彼第三之比例以後俱如是則此並與彼並之比例大於此末與彼末之比例亦大於此並減第一與彼並減第一之比例而小於此第一與彼第一之比例
解曰如甲乙丙三幾何又有丁戊己三幾何其甲與丁之比例大於乙與戊乙與戊之比例大於丙與己題先言甲乙丙並與丁戊己並之比例大於丙與己次言亦大於乙丙並與戊己並後言小於甲與丁
論曰甲與丁之比例既大於乙與戊更之即甲與乙之比例大於丁與戊也【本篇廿七】又合之甲乙並與乙之比例大於丁戊並與戊也【本篇】
【廿八】又更之甲乙並與丁戊並之比例大於乙與戊也【本篇廿七】是甲乙全與丁戊全之比例大於減並乙與減並戊也既爾即減余甲與減余丁之比例大於甲乙全與丁戊全也【本篇卅三】依顯乙與戊之比例亦大於乙丙全與戊己全即甲與丁之比例更大於乙丙全與戊己全也又更之甲與乙丙並之比例大於丁與戊己並也【本篇廿七】又合之甲乙丙全與乙丙並之比例大於丁戊己全
與戊己並也【本篇廿八】又更之甲乙丙全與丁戊己全之比例大於乙丙並與戊己並也【本篇廿七】則得次解也又甲乙丙全與丁戊己全之比例既大於減並乙丙與減並戊己即減余甲與減余丁之比例大於甲乙丙全與丁戊己全也【本篇卅三】則得後解也又乙與戊之比例既大於丙與己更之即乙與丙之比例大於戊與己也【本篇卄七】又合之乙丙全與丙之比例大於戊己全與己也【本篇卄八】又更之乙丙並與戊己並之比例大於丙與己也【本篇卄七】而甲乙丙並與丁戊己並之比例既大於乙丙並與戊己並即更大於末丙與末己也則得先解也
若兩率各有四幾何而丙與己之比
例亦大於庚與辛即與前論同理
蓋依上文論乙與戊之比例大於乙丙庚
並與戊己辛並即甲與丁之比例更
大於乙丙庚並與戊己辛並也更之
即甲與乙丙庚並之比例大於丁與
戊己辛並也【本篇十八】又合之甲乙丙庚
全與乙丙庚並之比例大於丁戊
己辛全與戊己辛並也又更之甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例大於乙丙庚並與戊己辛並也【本篇廿七】則得次解也又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例既大於減並乙丙庚與減並戊己辛即減余甲與減余丁之比例大於甲乙丙庚全與丁戊己辛全也【本篇卅三】則得後解也又依前論顯乙丙庚並與戊己辛並之比例既大於庚與辛而甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例大於乙丙庚並與戊己辛並即更大於末庚與末辛也則得先解也自五以上至於無窮俱仿此論可顯全題之防
幾何原本卷五
欽定四庫全書