教育的目的 · 第八章 思想的組織
（1916年在英國紐卡斯爾召開的英國促進學術進步協會大會A分會上的會長演講）
這次演講的主題是思想的組織 ，這個話題明顯地能夠處理成許多不同方式。我打算更詳細地介紹邏輯科學範疇的內容，我的一些研究與之相關。我有點擔心自己能否成功地做到，表明有機思想與一般科學活動所依據的某些考慮因素之間的關係。
科學發展進入到一個有機時代，這絕非偶然。有組織的思想是有組織的活動的基礎。有機，是對不同元素作調整，使它們之間的相互關係可以呈現某種預先確定的性質。一篇史詩的寫成是一次有機的勝利。在可以寫成史詩的但未必能寫出一篇好史詩的一系列事件中，它取得了勝利。它成功地把大量詞語的聲音、詞語的聯想、日常生活中發生的事件和感受的圖像記憶組織起來，並結合了一種宏大事件的特殊敘述。這個有機組織起來的整體會激起人們的情感，就如彌爾頓所定義的，這些情感是樸素的、感覺的和激情的。成功的史詩數量與組織任務的明顯難度成反比，或更準確地說，組織任務的明顯難度與成功的史詩數量成反比。
科學是思想的組織，但那個史詩的例子提醒我們注意，科學並非任意的思想的組織。科學是某種特定類型的思想的組織，我們將努力來確定其類型。
科學是一條有兩個來源的河流，即實踐源頭和理論源頭。實踐的源頭是指導我們的行動以達到預定目標的欲望。例如，大不列顛民族為正義而戰，他們轉向了科學，科學教給他們氮化合物的重要性。理論源頭是對理解的欲望。現在我要強調理論在科學中的重要性。但為了避免誤解，我必須申明：我不認為一個來源在任何意義上比另一個更高貴，或本質上更有趣。我不明白，為什麼努力去理解比正確地安排自己的行為更高尚 。它們都有自己壞的一面。有被邪惡目標指引的行動，也有不光彩的好奇心驅使的理解。
科學理論方面的重要性，恰恰是在實踐中，由於那些發生於非常複雜的境況下必須立即採取行動的事實而呈現出來。如果我們在開始整理觀念之前等待行動的必需品，在和平時期，我們將失去貿易；而在戰爭中，我們將失去勝利。實踐的成功依賴理論家，由於其他探究的引領，他曾經到過那裡，通過某種很好的機會偶然發現了相應觀念的應用。我所說的理論家不是指一個在雲端的人，而是一個這樣的人，他的思想動機是：根據發生的事件，渴望規劃正確的規則。一個成功的理論家應該對即時事件感興趣，否則他就不太可能過分正確地規劃任何有關它們的一切。當然，科學的兩種源頭存在於所有人身上。
我們稱之為科學的思想組織是什麼？現代科學的第一個方面是它的歸納，歸納邏輯的規則已經被一系列的思考者考慮過了，特別是英國的思考者：培根、赫歇爾 、J·S·密爾 、文恩 、傑文斯 和其他人。我不打算深入分析歸納法的過程。歸納是機器而不是產品，而我想要考慮的是產品。當我們了解產品時，我們改進機器才會處於更強有力的地位。
首先，有一點必須強調。在分析科學過程時，有一種傾向，即假定一組特定的概念可以適用於自然，並設想自然規律的發現在於：通過歸納邏輯，在可能存在於自然界事物之間的替代關係中，選中一個以回答這些目標。在某種意義上，這個假設是相當正確的，特別是在科學的早期階段。人類發現自己擁有一些尊重自然的概念，例如，相當永久的物質實體的概念，並開始確定在自然中相應知覺的有關法則。但是，法則的制定卻改變了這些概念，有時是通過增加精確性而溫和地改變，有時是劇烈地改變。起初，這個過程不太令人注意，至少被人認為是一個約束在狹隘的界限之內的過程，不觸及基本的觀念。在我們現在所處的階段，擬定概念，被我們視為和擬定經驗法則一樣重要。那些經驗法則把宇宙中的事件按照我們設想的那樣關聯起來。這些擬定的概念，包括生命、遺傳、物質體、分子、原子、電子、能量、空間、時間、數量和數字諸概念。在獲得清晰觀念的最好的方式上，我並非獨斷地主張。當然，只有那些致力於對相關事實進行專門研究的人才能做到這一點。成功從來不是絕對的，朝著正確的方向的前進是一個緩慢、漸進的過程，是不斷地將觀念與事實進行比較的結果。成功的準則是，我們應該能夠擬定經驗法則，也就是說，陳述關係，按照我們的設想把宇宙的各個部分聯繫起來。法則有這樣的屬性，我們可以將生活中的實際事件解釋成一個相互關聯的整體的零碎知識。
但是，從科學的目的來看，現實世界是什麼？科學是否需要等待形上學辯論的結束之後，才能夠確定自己的主題？我認為科學有一個更平凡的起跑場地。它的任務是發現存在於構成我們生活體驗的感知、感覺和情感的流變的關係。由視覺、聽覺、味覺、嗅覺、觸覺和更早期的理智的感覺，這些所產生的全景是行動的唯一領域。科學就是把經驗用這種方式組織起來的有機思想。實際經驗領域裡最明顯的方面就是其無序性特徵。對於每個人來說，它是一個連續統一體，支離破碎，有著不能清晰區分的元素。對不同的人進行理智經驗的比較，本身就困難。我堅持認為，科學始於實際體驗的領域，這個領域的特徵就是凌亂、失當。在建構科學哲學時，掌握這個基本真理是智慧的第一步。事實由科學塑形，卻被語言的影響所掩蓋，強加給我們精確的概念，好像它們才代表體驗的即刻交付 。其結果是，我們想像我們直接體驗了一個世界，一個與被完美定義的物體密切關聯的世界。正如我們所知道的那樣，在一個空間中，我們的感覺是由精確的點形成，那些點不能分成部分也沒有量級值。科學思想的目標就是整潔、整齊、有條理、精確的世界。
我的論點是，這個世界是一個觀念的世界，其內在關係是抽象概念之間的關係。科學哲學的基本問題是闡明這個世界與現實經驗感受之間的精確關係。我請你們考慮這個問題：精確的思想如何適用於支離破碎、模糊不清的連續經驗？我不是說它不適用，恰恰相反我想知道它是如何應用的。我要的解答不是一個的措辭，無論這個措辭多麼才華橫溢。我要的解答是一門可靠的科學分支，以緩慢的耐心構建而成，詳細地展示這種對應是如何產生的。
思想的組織那偉大的第一步，完全源於科學活動的實踐來源，沒有混入任何的理論的搏動。它們的緩慢實現是普通理性人類得以逐漸進化的原因和結果。我的意思是，形成有關物質客體 、限定的時間流變 、同時性 、重現性 、相對位置 和類似的基礎觀念的概念。我們的經驗之流，按照這些概念，在內心世界被排列為方便的參考系。事實上這些概念是我們常識思維所用的整套設備。在你的頭腦中考慮某一把明確的椅子吧。這把椅子的概念僅僅是與這把椅子相關的所有相關經驗的概念，也就是製造它的人的經驗的概念。出售它的人，見過或使用過它的人，現在正經歷著一種舒適的支撐感的人，加上我們對類似未來的預判，當椅子倒塌並成為柴火時，最終被一系列不同的體驗所終止。這類概念的形成是一項巨大的工作，動物學家和地質學家告訴我們，這需要數千萬年的時間。對此我完全相信。
我現在強調兩點。首先，科學植根於被我叫做常識思維的整體裝置 的東西。常識思維的整體裝置，就是那個由此開端、由此重現的基準 [1] 。如果願意，我們可以做出猜測：其他星球上的其他存在，它們根據完全不同的概念代碼來安排了類似的經驗，也就是說，它們在各種體驗中把它們的注意力主要集中在不同關係上。但這項任務過於複雜、過於巨大，主要的梗概並未被改變。你可以對常識潤色，你可能在細節上與常識牴觸，你可能會對常識感到驚訝。但最終你的全部任務就是滿足常識。
第二，無論常識還是科學，如果在某一方面脫離了經驗中所謂實際的嚴格思考，都不能繼續完成思想組織的任務。再想一下那把椅子，在「椅子」概念所依據的經驗中，我包括了對其未來歷史的預期。我應該更進一步，把對椅子所有可能的經驗的想像也包括進來。在日常語言中，我們把這種想像成為可能會發生的對那把椅子的知覺 。我有一個很難的疑問，我還沒想出解答的方式。但是現在，在空間理論和時間理論的建構中，如果我們拒絕承認理念的經驗 ，似乎就有不能克服的困難。
我們的生活中，這種想像性的經驗知覺似乎是基本的。它們被人想到時，會跟我們的實際經驗結合起來。這種知覺既不是完全任意的，也不是完全被決定的。它是一個模糊的背景，在獨立思想活動中只是部分地被明確了。例如，想想我們對從未見過的巴西花神的看法 。
理念的經驗，緊密地關聯著我們對其他人的實際經驗的想像性再現。理念的經驗，也跟我們在接受超越我們自身之外的複雜現實的印象時，那幾乎不可避免的自我概念有關。對每一種來源和每一種類型的經驗進行充分的分析，或許就可以證明這種現實及其性質。事實上，這一點毋庸置疑。對這個問題的精確闡釋是形上學的問題。我在這次演講中力持的一個觀點是，科學的基礎不依賴於任何一種形上學結論的假定，科學和形上學兩者都始於相同的直接經驗的地基，並且在主要進程中以相反方向完成它們不同的任務。
例如，形上學查究我們對那把椅子的知覺怎樣把我們與某種真實實在關聯起來。科學則把這些知覺收集起來作為一個確定的種類，並在它之上增加我們在特定環境下獲得的、相似類型的那種理念中的知覺。這套知覺的單一概念就是科學所需的全部。
我當下的問題是探究科學的本性。科學本質上是邏輯的。其概念間的聯繫是邏輯上的聯繫，其詳細斷言的根據是邏輯的根據。國王詹姆斯 說：「沒有主教，就沒有國王。」我們可以非常自信地說：「沒有邏輯，就沒有科學。」對承認這個真理，大多數科學人士會感到本能般的厭惡。我認為其中的原因是，在過去的三四個世紀，邏輯理論貧瘠無果。我們可以把這種失敗歸因為人們對權威的崇拜，在文藝復興時期，權威在學術界的某些方面有所增加。然後人類改變了它的權威，這個事實暫時起到了解放的作用。但最主要的事實是，我們在現代運動一開始就發現人們對文藝復興的抱怨 ，那就是，文藝復興時期的學者們對古典作家所作的任何聲明都畢恭畢敬，學者們成了真理的注釋者，而這些真理太脆弱以至於經不起轉譯。一門科學如果在忘卻創立者上猶疑不定，它就迷失了。我把這種猶疑不定歸因於邏輯的匱乏。人們不信任邏輯理論和數學的另一個原因是，人們相信演繹推理不能給你任何新的東西。你的結論包含在你的前提中，這是你已知的假設。
首先，人們對邏輯的最後的譴責，忽略了人類知識的支離破碎、不連貫的特點。對星期三的你來說，在星期一知道一個前提，星期二知道另一個前提，徒勞無益。科學是前提、推論和結論的永久性記錄，通過與事實的一致性的路線來驗證一切。其次，我們知道前提的時候未必知道結論。例如，在算術方面，人類不是計算著的孩子們。 任何理論，只要證明他們熟悉假設的後果，都是錯誤的。我們能夠想像出擁有這種洞察力的存在者，但我們不是這種造物。我認為，這兩個答案都是真實的和相關的。但它們並不令人滿意。它們本性上太過外鑠，太外在。我們想對這個問題所暗示的真正困難作些更詳細的解釋。事實上，真正的答案嵌入在我們關於邏輯與自然科學關係的主要問題的討論中。
有必要大致勾勒出現代邏輯的一些相關特徵。在這樣做時，我將儘量避免深入的一般性討論和細微的技術分類，它們占據了傳統邏輯的主要部分。早期科學的特徵是，既雄心勃勃地懷著遠大目的，也有瑣碎的細節處理。在這樣一種階段，邏輯已經僵化。
我們可以分辨出邏輯理論的四個部分。通過一個不那麼遙遠的類比，我將這些部分或部門稱為算術部分、代數部分、一般函數理論部分和分析部分。我的意思不是說算術出現在第一部分，代數出現在第二部分，以此類推。而是這些名稱暗示了每一部分思想的某些特質，這些特質讓人想起在算術中、在代數中、在數學函數的一般理論中，以及在數學上分析特定函數中相似的特質。
第一個部分，也就是算術階段，處理確定命題之間的關係，就像算術處理確定的數字那樣。考慮任意一個明確的命題，稱之為「 p 」。我們設定總有另一個命題是與「 p 」直接矛盾的，稱之為「not- p 」。當我們有兩個命題， p 和 q 時，我們可以從它們和它們的矛盾中形成衍生命題。我們可以說，「 p 或 q 中最終會有一個命題是真的，或許兩個都是真的」，我們把這個命題稱為「 p or q 」。我可以順便提一句，一位在世的最偉大的哲學家 說過，詞「or」的這種用法，也就是「 p or q 」的命題，在二選一（either）的意義上可能是真實的，在兩者都是（both）的意義上也可以是真實的，使他對準確的表達感到絕望。我們無法理解他的憤怒，但是我們必須勇敢地面對他的憤怒。
因此，我們得到了四個新的命題，即，「 p or q 」、「not- p or q 」、「 p or not- q 」和「not- p or not- q 」。我們稱這些命題為一組衍生的選言命題 。到現在為止，總共有八個命題： p 、not- p 、 q 、not- q 和四個衍生的選言命題。這八個命題中任何一對都可能被採納，並在前面的處理中代替 p 和 q 。因此，每一對都會產生八個命題，其中一些命題可能是以前得到的。以這種方式繼續進行下去，我們得到了一組愈加複雜的命題，但它們根本上起源於這兩個原始的命題 p 和 q 。當然，只有少數幾個命題是重要的。同樣地，我們能夠從三個命題 p 、 q 、 r 開始，或從四個命題 p 、 q 、 r 、 s 開始，等等。這些集合中的任何一個命題都可能是真的或是假的。它別無選擇。無論它是真的或假的，都稱之為該命題的「真值」 。
邏輯探究的第一部分是，當我們知道其中一些命題的真值時，就去解決我們所知道的這些命題的真值。就探究的價值而言，這種探究並不十分深奧。表達調查結果的最佳方式，是一個我現在還不想考慮的細節。這個探究形成了算術階段。
邏輯的下一部分是代數階段。算術和代數的區別是：在算術中，考慮的是確切的數字；在代數符號中，即引入代表任何數字的字母。數字的概念也被擴大了。這些字母代表著任何數字，有時稱為變量，有時稱為參數。它們的本質特徵是不確定，除非它們所滿足的代數條件無疑地確定了它們。它們有時被稱為未知數。帶字母的代數公式是空白形式。當用確定的數字代入字母時，它就成為確定的算術語句。代數的重要性在於其對形式研究的貢獻。現在，我們考慮下面的命題——
汞的特殊比熱是0．033。
這是一個確定的命題，在某種限定下，它是真的。但這個命題的真值跟我們沒有直接關係。我們僅用一個字母來代替汞，以字母作為某種未確定物的名稱，我們可得——
x 的特殊比熱是0．033。
這不是一個命題，它已被羅素稱為命題函數。命題函數是對一個代數表達的邏輯類推。讓我們寫下 f （ x ）來代表任何一個命題函數。
我們甚至還能進一步進行概括，說：
x 的特殊比熱是 y 。
這樣我們就得到了另一個命題函數 F （ x ， y ），有兩個自變量 x 和 y ，等許多諸如此類的參數。
現在，考慮一下 f （ x ）。 x 存在著取值范國，在此範圍內 f （ x ）是一個命題，真的或假的。在這個範圍之外對 x 取值， f （ x ）根本不是一個命題，無論真的或假的。它也許對我們有一些模糊的暗示，但它沒有一個明確肯定的意義。例如，
水的特殊比熱是0．033。
這是一個假的命題；並且——
美德的特殊比熱是0．033。
我應該想到，這根本不是一個命題。儘管它的組成部分在我們頭腦中建立了各種聯繫，它既非真命題也非假的命題。在使 f （ x ）具有意義的範圍內的取值，被稱為自變量 x 的參數「類型」（type）。
但 x 還有一個取值範圍，其中 f （ x ）是一個真命題。這是滿足 f （ x ）的自變量的那些值的集（class）。這個集可能一個成員都沒有，或者處在另一種極端，自變量的整個類型都是這個集合的成員。
於是，我們設想兩個一般命題，它們涉及享有同樣邏輯形式的不定數目的命題。更確切地說，這些命題是同一個命題函數的各種值。其中一個命題是，
取值範圍內 x 取每一個值， f （ x ）都會產生一個真命題。
另一個命題則是，
x 取某一個值時， f （ x ）是一個真命題。
給定兩個（或更多）命題函數 f （ x ）和φ（ x ）。它們具有相同的自變量 x ，我們便形成導出函數，即
f （ x ）or φ（ x ）， f （ x ）or not-φ（ x ）
等等，帶著矛盾如此這般繼續下去，就像在算術階段一樣，一個無終止的命題函數的聚集體。同樣，每個命題函數也產生兩個一般命題。從任何這樣的命題函數的集合中都會產生一般命題，產生這些一般命題的真值之間的相互聯繫。真值之間的相互聯繫理論形成了數學邏輯中簡單而優雅的一章。
在邏輯的代數部分，類型的理論出現了，如我們已經提到的那樣。它不可以僅僅因為介紹上的錯誤而被我們忽略。類型理論至少需要通過某個可靠的假設被確定下來，即使它還沒有抵達問題的哲學根基。儘管羅素卓越的工作已經開啟這門學科，但是邏輯學科的這個部分是晦澀而困難的，還沒有最終被闡明。
對現代邏輯的最終推動來自於由弗雷格 和皮亞諾 各自獨立發現的邏輯變量的重要性。弗雷格比皮亞諾走得更遠，但用了一種不幸的符號論使他的工作顯得如此晦澀，沒有人能完全理解他的意思，因為他本人沒有發現這一點。但這項運動具有很長的歷史，可以追溯到萊布尼茨 ，甚至可以追溯到亞里士多德。其中，卓有貢獻的英國人是德·摩根 、布爾 和艾爾弗雷德·肯普爵士 ，他們的功績是一流的。
第三個邏輯部分是一般函數理論的階段。在邏輯語言中，我們在這一階段進行了從內涵到外延的轉換，並考察了外延理論。取命題函數 f （ x ），有一個集合，其成員滿足 f （ x ），或者說是 x 的取值範圍。但這個取值範圍的成員也可以是滿足另一個命題函數φ（ x ）的集。這個情況下，我們有必要研究如何表示這個集，用一種與它的任何成員所滿足的各種命題函數無關的方式，這個集得是唯一的表示 [2] 。我們必須要做的是分析關於一個集的命題性質，即，那些命題，它們的真值取決於這個集本身，而不是取決於集所指示的特定意義 。
此外，還有一些命題是關於所謂個體的，這些個體通過描述性詞語來表明。例如，關於「現在的英國國王」，他確實存在；和「現在的巴西皇帝」，他並不存在。這些命題，更複雜了，但是也更類似。涉及一個自變量的函數牽涉到集；涉及兩個自變量的命題函數也是類似的問題，但是更複雜，牽涉到「相關」的概念；相似的，三個自變量的命題函數產生三角相關，等等。這一邏輯部分是羅素一個人完成，通過始終保持做基礎性的工作，羅素作出了獨特貢獻。我把這稱為函數理論的一部分，因為它的思想對於邏輯表示函數的構造是必不可少的。用邏輯表示函數的構造，包括普通的數學函數作為特例，如正弦函數、對數函數等。如果我們要達到第四階段，在這三個階段中的每一個階段，我們必須逐漸引入適當的符號象徵。
第四個邏輯部分是分析階段，主要研究特殊邏輯結構的性質。確切地說，是研究集和特殊種類的集的關聯。整個數學都包括在這裡。所以這個部分非常龐大。事實上，這不多也不少正是數學。但它包括對數學觀念的分析，迄今為止這種分析還沒有包括在這門科學的範圍內，甚至根本沒有人考慮到這一點。這一階段的精義在於，通過適當的構造，闡述了由數字、數量、時間、空間等理論構成的應用數學的大框架。
即使在簡要的概述中，我們也不可能解釋，如何從集的概念和相關的概念中，包括在第三部分中確立的許多相互關聯中，將數學發展出來。我只能提到這個過程的標題：「數學原理」，這個工作由羅素先生和本人充分發展而來。在這一發展過程中，有七種特殊的相互關係，每種都具有特定的意義。第一種包括一對多、多對一、一對一的相關性。第二種包括連續的關係，即某個域的成員按連續的相關性來順序排列，使得在以關係定義的意義上，該域的任何一個成員在其他成員前或後。第三種包括歸納關係，即數學歸納理論所依賴的相互關係。第四種包括選擇關係，這是算術運算的一般理論和其他地方所要求的關係。正是由於這種選擇關係，才產生了著名的乘法公理。第五種是向量關係，從中產生了數量的理論。第六種是比率關係，它把數字和數量聯繫起來。第七種是幾何中出現的三角關係和四角關係。
直白列舉如上面所述的技術名稱，並不是很有啟發性。儘管這可能有助於理解學科的界限。請記住，這些名字是技術性的，毫無疑問是富於暗示性的，但在嚴格定義的意義上使用。我們遭受了許多批評者的非議，他們認為，只要對這些術語字典的含義有一點兒了解，就足以批評我們的程序。例如，一對一的關聯，依賴於只有一個成員的集的概念。而且，我們定義這個概念時，不需要訴諸數字1。所有人想要多樣性的概念。因此，當集 α 只有一個成員，
如果（1）命題函數 x 不是 α 的一個值，
滿足這個命題函數， x 取值的集就不是 x 的相應值的整個類型。
如果（2）命題函數， x 和 y 是 α 的值，且 x 不等於 y ，
這個命題函數就是錯誤的，無論在那個相應類型中的 x 和 y 的取值是什麼。
對於較高的有限基數成員 ，類似的程序顯然是可能的。因此，一步一步地，當前數學觀念的整個循環都能夠進行邏輯定義。這個過程是詳細而費力的，而且，就像所有的科學一樣，對由輕率話語組成的捷徑一無所知。首先，這個過程的本質是，根據命題的形式來構造概念，或者說，以相關命題函數的形式來構造概念；其次，通過參考邏輯代數部分得到的結果，證明關於概念的基本真理。
我們可以看到，在這個過程中，特殊的不可確定的數學概念，還有關於數字、數量和空間的特殊的先驗數學前提，這一切已經統統消失了。數學僅僅是一種分析推論的工具，只要這些推論取決於命題的形式，推論就可以從任何特定的前提中得出，由常識提供，或者通過更精確的科學觀察得出。某些形式的命題在思想中不斷出現。我們現有的數學是對與這些跟形式有關的推論的分析。無論是從實際效用還是從理論意義上來說，在某種程度上，這些推論都是重要的。在這裡，我說的是實際存在的科學。數學的理論定義必須包括其範圍內的所有推論，那些僅僅取決於命題形式的推論。但是，當然沒有人願意發展數學中沒什麼重要性的部分。
對邏輯觀念的匆促總結，啟示了一些反思。問題來了，有多少種形式的命題？答案是，無窮無盡。由此可以看出，邏輯科學被認為是貧乏無果的原因。亞里士多德通過構想一個命題的形式的概念，並通過在形式的基礎上發生的推論，從而創立了這門科學。但他把命題局限於四種形式，現在我們把它們叫作A、I、E、O。只要邏輯學家被這種不幸的限制所困擾，就不可能有真正的進步。再有，在形式論中，亞里士多德和後來的邏輯學家的理論，都非常接近邏輯變量理論。但是，正如科學史告訴我們的那樣，去接近一個真正的理論，與掌握一個真正理論的精確應用，是完全不同的兩碼事。所有重要的事情，都是由那些沒有發現它的某人在此前說出來的。
還有，邏輯推理不明顯的一個原因是，邏輯形式不是一個通常進入人們思考的主題。常識推論很可能是憑藉盲目的本能進行的，通過從具體命題到具體命題的那種演繹，它受某種觀念的習慣性聯想所指導。因此，在大量的材料面前，常識是行不通的。
一個更重要的問題是，基於觀察的歸納法與演繹邏輯的關係。歸納法和演繹法的追隨者之間有一種對立的傳統。在我看來，這就像是一條蟲子的兩頭在彼此爭吵。對於任何值得擁有的知識，觀察和演繹都是必要的。如果不藉助於命題函數，我們就無法得出歸納法。例如，以觀察到的事實為例：
這個物體是汞，它的特殊比熱是0．033。
形成的命題函數則是，
要麼 x 不是汞，要麼它的特殊比熱是0．033 [3] 。
歸納法是對一般命題真理性的假設，即假設上述命題函數對相關類型中，x的每一個值都是真的。
但有人反對說，這一過程及其後果是如此簡單，以致一門精心設計的科學已經過時了。同樣地，一個英國水手在海上航行時，他就會知道海水含鹽。那麼，對海水進行精細的化學分析有什麼用處呢？有一個普遍的答案：對於你一直使用的方法，你知道的可能並不太多；還有一個專業的答案：邏輯形式和邏輯含義並不那麼簡單，整個數學就是這個效應的證據。
邏輯方法研究的一個重大用處，不在於詳盡推演的領域，而是指導我們研究科學主要概念的形成。考慮一下幾何學，例如，組成空間的那些點是什麼？歐幾里得告訴我們，這些點不可分割和沒有量級。但是，點的概念，是如何從作為科學起點的那些感官知覺里導出的呢？當然，這些點肯定不是由感覺直接導出的。到處都是暗示我們點的概念的東西，我們可能會看到或不愉快地感覺到。但這是一種少有的現象，當然也不能確保由點組成的空間概念。我們在空間性質方面的知識並不基於點之間關係的觀察，它來自物體之間關係的經驗。物體之間有這樣一種基本的空間關係，一個物體可能是另一個物體的一部分。我們嘗試來定義「整體和部分」的關係，被部分占據的那些點是被整體占據的那些點中的一部分。但「整體和部分」概念要比「點」的概念更加基本，所以這種定義其實是惡性的死循環。
因此，我們要問，是否可以給出某種其他「空間上的整體和部分」的定義？我認為可以這麼做。如果我弄錯了，對於我的一般的論證也沒有根本性的影響。我們得出了這樣的結論：一個廣延的物體，不過是由所有的知覺者對它的知覺的集合而已，無論實際的知覺者還是觀念的知覺者。當然，它是某一確定種類知覺的集合，而不是任意知覺的集合。那什麼是確定種類知覺，我還沒有明確定義，除非我用惡意的方法說它們是對事物的感知 。現在，一個物體的某一部分的知覺，是組成這整個物體的知覺的一個部分。於是，兩個物體a和b，就是兩個知覺的集合。當b的集合被包含在a的集合中時，b就是a的一部分。按這個定義的邏輯形式可以得出，如果b是a的一部分，而c是b的一部分，那麼c是a的一部分。因此，「整體到部分」的關係是可傳遞的。再有，允許一個物體是它自身的一部分，這是很方便的。這只不過是你如何定義的問題。懷著這種理解，關係就是反身的關係。最後，如果a是b的一部分，而b也是a的一部分，那麼a和b必須相同。這些「整體和部分」的性質不是新鮮的假設，它們遵循我們定義的邏輯形式。
如果我們假設空間在理念上的無限可分割，那麼我們不得不做出一個假定，即，我們假定：每一種知覺集合都是一個廣延物體，包含其他知覺集合。其中，被包含的知覺集合也是廣延物體，且跟包含它的知覺集合不同 。這個假定幾乎可說是理念的感知理論的大體草案。除非你以某種形式來制定幾何學，否則幾何學將不復存在。我闡述的假設並非我獨有的。
然後，就可以來定義我們所說的點。一個點就是廣延物體的一個集合。廣延物體，用日常語言來說，就是包含了這個點的那些物體。如果沒有預先假定點的觀念，這個定義會是相當複雜的，而我現在沒有時間陳述它。
把點引入幾何學，好處在於它們之間邏輯關係的表達很簡單。對於科學而言，定義的簡單並不重要，但是相互關係的簡單是必要的根本。這條法則還有一個實例：物理學家和化學家把一個簡單的概念，比如說連小孩兒都能懂的「一把椅子」，分解成一個令人困惑的概念——分子、原子、電子和光波的複雜舞蹈。因此，他們得到了邏輯關係更簡單的概念。
由此設想的空間是常識經驗世界的外現空間性質的精確構想。它不一定是物理學家設想空間的最佳方式。一個基本的必要條件是：空間中的常識世界和物理學家的世界之間的對應關係，應該是確定的和相互的。
現在，我不再闡述與自然科學相聯繫的邏輯功能。我試圖把它作為組織原則來展示，分析那些從直接現象衍生出來的概念，審查那些被假定為自然規律的一般命題的結構，在相互影響的方面建立彼此的關係，推斷在給定環境下我們可以預期的現象。
邏輯，如果被恰當地使用，並不會給思想上鎖。它給我們自由，最重要的是，給我們魄力。不合邏輯的思想在得出結論時猶豫不決，因為它從不知道自己指的是什麼，也不知道自己能假定什麼，或能在多大程度上信任自己的假定，以及對假定作出任何修改會帶來什麼後果。那些未經訓練的大腦，在與手頭主題相關的建構性邏輯中，會對從各種假設出發的結論一無所知。在預測歸納法則時，也會相應地遲鈍。在這種相關邏輯中的基本訓練，毫無疑問是以積極的心態去思考案例中的已知事實，直接觀察。但是，在有可能進行精細推論的地方，這種精神活動就需要對抽象的邏輯關係進行充分的研究。這就是應用數學。
在科學的形成中，沒有觀察的邏輯，或沒有邏輯的觀察，兩者都寸步難行。我們不妨把人性設想成在青年和老年之間的一場廝殺。青春不由年齡來定義，而是用要成就某事的創造性衝動來定義。那些在一切事情面前希望不犯一點兒錯誤的人，是上了年紀的人。邏輯是從老年人手裡傳遞給年輕人的橄欖枝，這嫩枝在年輕人手裡具有創造科學的魔法般的屬性。
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[1] 原文為：That is the datum from which it starts，and to which it must recur.——譯者注
[2] 當一個取值範圍，既符合函數 f （ x ），又符合函數φ（ x ）的時候，我們描述符合函數 f （ x ）的取值範圍時所用的集就要避免讓人產生誤解，讓人們不要因為取值範圍相同而混淆兩個函數。因此這種集都是有且只有一個。——譯者注
[3] 原文為：Either x is not mercury，or its specific heat is 0.033.譯成中文之後，意思表達得有點不明朗。更乾脆一點的說法是：除非 x 不是汞，否則它的比熱就是0.033。——譯者注