教育的本質 · 第六章 數學課程
現代教育所面臨的情況，在數百年前中世紀的傳統知識體系開始解體時也出現過。當時和現在一樣，人們對智力的傳統認識雖然剛剛占據上風，但終究過於狹隘，不利於全人類的利益。人類追求的利益發生了變化，這要求教育基礎也跟著轉變，從而讓學生得以接受新的觀點。歷史上，如果人類社會對智力的認識發生了改變，那麼教育也必然會迎來變革。不過這類變革可能會推遲一代人的時間，因為總有些人會為了保護自己的既得利益而阻撓改革，或者純粹是因為因循守舊，不願年輕時接受的觀念被歷史淘汰。但教育必須讓學生接受新的觀點，讓他們有能力理解自身所處的時代的主流思想，這樣的教育才是成功的、有生命力的。
處在真空中的教育體系，即與當時的知識氛圍脫節的教育體系，是註定要失敗的。教育如果不是現代的，便會像有機生命一般衰老腐朽。
然而，光是「現代」還不足以解決我們的問題。我們要做的是將教育與現代思想相連。這裡所指的現代思想包括現代觀念及其所培養的能力。一天前剛被發現的事物並不一定就是現代的，它可能來自久遠的思想體系，又或者太過高深，超出現代人的理解範圍。教育應該與現代思想相關聯，我們所說的現代思想，指的是那些廣泛傳播到有修養人群中的思想。在這裡，我想談一談普通教育中所涉及的高深學科的問題。
對數學家來說，這是一個非常敏感的問題。外行人都抱怨我們的學科太深奧了。我還是大膽地承認吧，大部分人都會認為，數學是深奧科目的典型代表。我用了「深奧」這個詞，並不是說這門學科很難，而是說其涉及的知識非常專業，基本與人們的日常思維沒有多大關係。
數學的深奧導致其在博雅教育中難以發揮作用。如果我們只是將其當作一種教學工具看待，大眾的數學能力就必然會維持在一個非常低的水平。對此我非常擔憂，也非常希望我們能夠加強數學教育。要達到這一目的，我們要做的不是盲目地教授更多的數學知識，而是直面阻礙數學得到廣泛運用的真正難題。
數學很深奧嗎？從整體上來說，確實如此。人類的一般判斷是可靠的。
從人們對數學的認識和課本上的數學知識看來，數學確實是深奧的。一般原理能演繹出無數個推論，而且每一個推論比上一個推論更加深奧難懂。我的任務不是為數學的深奧地位進行辯護。它已經是公認的深奧學科了。我想強調的是，數學令人著迷的地方，正是它難以被用作教學工具的原因。也就是說，從一般前提演繹推論出無窮無盡的推論，推論之間關係複雜，與最初前提的關係相距甚遠，數學方法多種多樣，具有抽象性的特徵，這種抽象性能夠帶領我們通向永恆的真理。
當然，數學的這些特性對學生們來說都是無價的珍寶，自古以來吸引了許多頂尖的人才投身其中。然而我想指出的是，除了那些精挑細選的優秀學生，數學的這些特性是不適合運用到普通教學之中的。數學中充滿了數不勝數的細節知識，看起來即與偉大理論無關，也與日常生活脫節，學生們對此只會感到不知所措。對教育而言，這種不斷向學生灌輸細節知識的方法是最無用的。
因此，如果想把數學運用到普通教育之中，我們就必須對教學內容進行嚴格的篩選和調整。當然我並不是說，不論投入多少時間，普通學生的數學造詣都無法得到很大的提高。不論他們在數學方面的進步多麼微小，數學在各個發展階段都是自然的，不是純粹的思維遊戲。因此，我們要將數學的某些特性嚴格地排除出去。我們不能讓年輕的學生認為科學是深奧的，而是應該以簡單直接的方式將重要的一般性原理傳授給他們。
在數學教育改革方面，我們這一代教師取得了值得我們自豪的成就。我們的改革很有力，並且在如此短的時間內取得了出乎意料的成果。對公共考試背後確立已久的課程體系進行改革是一項艱巨的任務，其難度超乎人們的想像。
即便如此，我們還是取得了很大的進步。至少，我們打破了僵化落後的教學模式。我想向大家說明的是一個指導思想。我在前面其實已經說過了，那就是讓教育中的數學科目不再晦澀難懂。
我們的課程應該以簡單明了的方式向學生介紹一系列重要的知識，其他的細枝末節都應該被嚴格剔除。數學教育的目標是讓學生熟悉抽象思維，明白如何將其運用到具體情形之中，並且掌握邏輯推理的一般方法。確立了這個理想目標後，我們就會知道，沒有比盲目地增加課本中的定理更加糟糕的事情了。這些定理出現在課本中的唯一理由是，出題人能通過簡單的題目對學生進行考查。課本的內容非常重要，必須清晰地闡明知識點。使用的例子要儘可能多，可以是抽象的特殊個例，也可以是具體的實際運用，但必須直接對定理進行闡釋。在此我還想指出一點，如果考試中出現的案例依舊涵蓋了很多深奧的細節知識，那我們對課本的簡化就沒有意義了。有人認為，習題能測試一個人的能力與天賦，而書本知識只能測試一個人有沒有背課本。這種觀點是錯誤的，至少以我的經驗看來是錯誤的。只有那些為了獎學金而死記硬背的學生，才能得到好成績。好的課本不應該根據錯誤的大綱，將零散知識拼湊在一起；而應該為學生提供豐富的直接案例，這樣的課本比考試更能測試學生的能力。這也說明考試會對教學產生不良影響，但這都是題外話了。
數學的基礎知識並不深奧。數學很抽象，但將數學納入博雅教育中的主要目的之一就是訓練學生掌握抽象概念的能力。這門科學中的抽象概念，是人類大腦很自然地以精確的方式接觸到的第一批抽象概念。數學涉及數的關係、量的關係和空間關係，這不是一般的數學定義，更體現了數學的科學面向。不過我們現在討論的是數學在教育中的作用。數的關係、量的關係和空間關係，這三種關係是互相關聯的。
在教育中，我們要從特殊案例出發，然後上升到普遍原理。因此，學生們應該通過簡單的例題來掌握知識的運用方式。在此我想指出一點：我們的目標不是盲目地讓學生學會大量的數學定理，而是通過多年的教育，幫助他們意識數的關係、量的關係和空間關係，這些才是最為重要的。這種訓練應該成為所有哲學思維形成的基礎。事實上，以正確方法教授的基礎數學，恰好能為學生提供這樣的哲學訓練，普通學生也能將其掌握。但是，我們要不惜一切代價避開那些毫無意義的細節知識。你可以為學生提供儘可能多的例題，讓他們學習數個學期或者數年，但這些例題必須是對主要原理的直接闡釋。只有這樣，數學才不會變得過於深奧難懂。
但是，我所介紹的教學方法並不適用於以下兩類人：想成為專業數學家的學生，和出於職業需要，必須掌握一定的數學細節知識的學生。我所討論的是針對學生整體的博雅教育，而前面所提的兩類學生也被囊括在其中。將數學廣泛運用到教育中時，我們應該讓學生通過實際案例學習簡單的普遍定理。這類學習應該是自成一體的，與前面提到的專業學習完全區分開來，但其本身也能為專業學習打下良好的基礎。在最終的學習階段，學生們應該已經掌握課程中的一般定理。就我所知，目前處於數學教育最終階段的學生應該能證明與三角形連在一起的圓的某些特性。這些特性是數學家感興趣的。但是，這些是不是太過深奧了？它們與博雅教育的理想目標之間有什麼關聯嗎？古典文化教育中，所有的語法課程最終都要學生閱讀維吉爾和賀拉斯 [57] ，了解這些偉人的偉大思想。而數學教育的最終結果，是讓學生明白九點圓 [58] 的屬性，這樣的結果真能讓我們滿意嗎？能讓我們為自己的學科終於在教育中占據一席之地而高興嗎？坦白說，這難道不是一種「倒退」嗎？
我們這一代數學教師在數學教學的改革方面嘔心瀝血，所以我們要相信，自己可以通過課程體系的改革，為學生留下比三角形的「兩解情況」 [59] 更為寶貴的知識財富。
接下來我想討論在基礎數學課程即將結束之時，如何為更優秀的學生制訂複習計劃。毫無疑問的是，我們要對所學過的知識進行整體回顧，但不用包含那些過於細枝末節的知識，而應該強調一般性概念及其在未來學習中的重要性。同時，我們還要將分析法和幾何理論直接運用到實驗之中，在物理實驗室里，一些簡單的實驗力學課程已經系統學習過了。從這裡可以看出，物理知識和數學知識是相輔相成的。
數學知識是力學定律精確公式化的基礎。只有學好數學原理，學生們才能理解精確的自然法則，明白這些法則在實驗中得到了多大程度的論證，並了解形成公式的抽象思維是如何成形的。整個過程需要我們詳細展開，為學生提供充足的實例，光是抽象說明是不夠的。
然而，如果我們在最終的複習階段，將過多的精力投入對過往內容的直接闡釋中，反而得不償失。我的意思是，在課程的最後階段，我們應該對課程內容進行篩選，將過往所做的所有數學練習背後的一般原理放在首位。我們可以通過引入新的學科來做到這點。例如，數與量的概念是所有精確思維的基礎。在過去的階段中，我們不會對它們進行嚴格的區分，學生們也不用在這兩者上花費多大精力，便能直接進入代數的學習。但在課程的最終階段，那些更為優秀的學生將通過思考量的基本屬性而大有所獲，從而進入數字度量的領域。該領域也有很多書籍能幫助學生學習。專家們將歐幾里得《幾何原本》的第五卷視為古希臘數學最重要的傑作之一。該卷介紹的就是這方面的知識。傳統數學教育最為愚蠢的是，忽視了這本書的重要性。因為這本書談的是數學理論，所以就被捨棄了。當然，要使用這本書，我們必須對其中的命題和論證進行仔細的篩選和修訂，選出那些能代表其主要思想的命題。這本書不適合處於下游的學生，但會吸引那些更為優秀的學生。他們能對量的性質和測算量的方式進行有趣的探討。教授這本書的時候，我們不應該誇誇其談。不論在哪一個階段，我們都應該通過具體的案例，向學生們展示哪些情況下存在量的特徵，哪些情況下不存在，哪些情況下量的特徵不明顯、不確定。溫度、熱度、電流、喜悅與痛苦、質量與距離都能被考慮進去。
另一個需要闡述的概念是函數。數學分析中的函數相當於物理中的定律和幾何中的曲線。學生在開始接觸代數時，即畫圖表的時候，就學習過函數與曲線之間的關係。近年來，我們對圖表教學進行了不少改革。但就目前階段而言，我們的改革不是太過激進，就是不夠徹底。光是畫圖表是不夠的。圖表背後的理論才是令其生效的關鍵，就好比持槍者不扣動扳機，槍就無法發射子彈一樣。而目前，我們只是傾向於讓孩子畫曲線而已。這一問題有待解決。
在學習簡單的代數函數和三角函數時，學生們其實在學習如何精確地表達物理定律。曲線是展示這些定律的另一種方式。我們不應該教授簡單的基本法則，例如平方反比和直接距離，而應該教授運用簡單的函數來表現物理定律的重要實例。在課程最後的複習階段，我們可以將主要的微分知識運用到簡單的曲線之中。變化率並不是一個很難理解的概念，x的冪之間的區別，例如x2 、x3 等，都是很容易的知識點。在幾何知識的幫助下，我們甚至能教會學生區分sinx和cosx。如果我們不再將學生們無法理解也永遠不會用到的定理強行教給他們，我們就有足夠的時間將他們的注意力集中到真正重要的知識點上，讓他們熟悉真正對思維有益的概念。
在結束關於物理定律和數學函數的討論之前，我想再指出幾點。那些無法通過觀察徹底得到證明的精確定律，要解釋起來並不困難，而且也有很多合適的案例。例如，統計規律，即對大量事件整體起作用的規律，是很容易就能學會的知識點。事實上，代數運用的最簡單的例子之一，就是將基本的統計法運用到社會現象之中。
另一個幫助學生將所學知識歸納統一的方法就是學習數學史。學生們要學的，不是裡面的時間和人名，而是各個時期的思想潮流，正是這些思潮決定了哪些理論在提出之時能吸引人們的注意力。我認為，這或許是實現我所追求的教學結果的最佳方式。
至此，我們提到了兩個方面，即量的概念和自然規律，這都是博雅教育的數學課程應該涵蓋的知識點。但還有一點不能忽視，那就是訓練邏輯思維方法的主要方式。
那麼，什麼是邏輯方法呢？我們又該怎樣培養這種思維方法？
要學好邏輯方法，光是了解各式各樣的推理方法，並訓練大腦掌握這些方法是不夠的——不過能做到這兩點就已經很難得了，因為在很久之前，人類大腦的演化不是為了邏輯推理，而是為了更多地捕獲新鮮的食物。因此，很少有人能在沒有大量練習的情況下，就擁有嚴密的邏輯。
但要成為一名擅長推理的人，或者讓普通人了解推理的核心知識，光做到以上兩點是不夠的。推理的藝術需要我們從正確的角度看待事物，通過一般原理掌握事物的全貌，並不斷整合事物周邊的相關細節。人們必須通過不斷的訓練，認識宏觀思想的重要性並將其牢牢抓住，才能成為優秀的推理者。我認為，幾何比代數更適合用作這方面的訓練。代數知識更為晦澀，而空間感則是人人都有的。而且，幾何涉及的簡化或抽象化，即將所有不相關的物質屬性，例如顏色、風格和重量統統剔除，這本身也是一種需要培養的能力。此外，幾何里的定義和有待證明的命題，要求我們必須對研究對象的各個基本事實和基本事實之間的關聯有一個清晰的認識。所有這些，都還只是幾何的淺顯知識而已。當我們深入研究該學科的發展，我們會發現越來越多的亮點。學生們在剛剛接觸幾何時，不會遇到任何難以記憶的抽象知識。而在學習推理的初期，只要學習方法得當，學生們所遇到的知識大多也都是清晰易懂的，這些知識將帶領他們完成每一階段的學習。因此通過幾何，學生們很快就能了解邏輯方法的核心。
現在，先不考慮普通學生接受能力有限和教學時間受到其他學科限制的問題，幾何能為博雅教育帶來怎樣的幫助呢？我想向大家介紹一下幾何學習的幾個階段，不過這些階段並不一定就要按照我介紹的順序進行。
第一個階段中，我們要學習全等。實踐中，如果幾何圖形在不斷變化的外部條件下能保持內部特質的不變，我們就可以判定它們全等。然而，不論是什麼樣的全等，本質上都是兩個空間區域點對點的對應，如此一來，所有的對應的距離與角都是相等的。需要注意的是，邊與角的對等才是全等，而測量是否對等的方式，例如碼尺，不過是幫助我們更輕鬆地判斷圖形是否全等的工具而已。我指出這點是希望大家明白，全等的重要性並不只是在於涉及的邏輯推理。這個概念本身便代表一種更為廣闊、深遠的概念，非常值得我們認真研究。全等涉及的命題能闡釋三角形、平行四邊形和圓形的基本特性以及兩個平面圖形之間的關係。不過在教學中，我們應該對證實了的命題進行嚴格篩選，去除那些多餘的不言自明的命題，僅僅留下那些非常基礎、非常重要的命題。
第二個階段中，我們要學習相似性。這一階段的教學中，我們可以只介紹三四個基本命題。相似性是對全等的擴充，也是兩個空間之間點對點的對應。如果要對這一階段的學習進行拓展，我們可以向學生介紹相似或位置相似的直線圖形，研究它們的一兩個簡單特性。這一階段的知識可以直接運用到平面圖和地圖的繪製中。不過我們要記住，要將主要理論用於實踐，就必須掌握好三角學的原理。
第三階段要學習的就是三角形原理。三角學研究的是相似圖形的相互關係的特性和圖形旋轉的周期性問題。在這一階段，我們會少量運用以數與量的研究為基礎的代數分析法，這也是我們首次向學生介紹這一方法。我們要讓學生們明白函數周期性有多重要。解三角形時，或者將解三角形的方法運用到測繪中時，我們只需運用函數的一些最為簡單的特質。課本中密集出現的公式雖然很重要，但對幾何學習毫無用處，所以我們在教學中要避開這些公式，除非學生能以它們為案例進行證明練習。
三角學的教學也表明了剔除公式的重要性。當然，我的判斷也有可能是錯誤的。如果我們將三角學的教學限制在三角形的一個角上，並且去除與正弦、餘弦和兩角總和的多餘公式，那麼三角學就能很好地運用到教育之中。我們能通過繪製函數圖來解三角形。如此一來，我們就能通過書本知識和例證，讓學生們明白三角學的三個用途：1.通過圖像分析並展現全等和相似性的理論；2.解決測量中遇到的主要問題；3.掌握必要的基礎函數以展示周期性和波動的特性。
如果我們想要拓展三角學的教學，就應該加入一些公式的學習。但我們也要注意，不要讓學生專門學習遇到的公式，即不要讓他們投入太多的時間與精力去熟練掌握那些公式。老師可能覺得運用案例予以講解會很有趣，但那些都不是學生應該記住的知識點。而且，不論是在三角學還是在前面幾個階段的幾何教學中，我們都應該剔除外切圓和內切圓的知識。這些知識本身沒有什麼問題，但對非專業的基礎課程來說，這些知識是無用的。
如此一來，三角學的實際書本內容就被壓縮到了比較好掌控的程度。幾天前我聽說有一所美國大學要求學生記住90個三角學的公式或推算結果。幸好我們的教育還沒有差到那種程度。事實上，在三角學的基礎教學中，我們幾乎達到了初級課程的理想目標。
第四個階段的學習內容是解析幾何。由於代數學習中的圖表部分已經涉及解析幾何的基礎概念，因此在這一階段，我們只需要對課程內容進行嚴格篩選，通過方程式向學生們介紹直線、圓和三種圓錐曲線即可。對這一階段，我想向大家指出，我們在教授數學知識的時候，不用將所有的知識都證明一遍。例如，在平面解析幾何中，對二次方程的一般形式進行化簡雖然超出了這一階段大部分學生的接受能力，但這並不妨礙我們闡釋圓錐曲線的基本內容，介紹各種類型的曲線。
我們應該將「幾何圓錐曲線」劃分為單獨的科目進行教學。當然，在適當的情形下，如果我們能將一些簡單圖形的直接推論運用到解析幾何中，那對我們的解析過程將有很大的幫助。但是幾何圓錐曲線是從圓錐曲線以焦點和準線為基礎的定義發展而來的，這便是幾何圓錐曲線的致命缺點。它是非常深奧的。在這套理論中，圓錐曲線的基本定義是SP=e.PM，從這裡開始就已經很不利於教學了。這個公式很晦澀，而且看起來毫無意義。我們為什麼要學習這種曲線公式而不學習其他的曲線公式？但當我們開始研究笛卡爾 [60] 方法後，我們自然首先要考慮一次方程和二次方程式。
在理想的幾何教育中，第五階段的內容應該是射影幾何學，其基礎概念包括交比和投影。投影是點對點關係的又一個案例，前面在全等和相似中我們已經提過這種對應關係。在這一階段，我們同樣要避開令人困惑的細節知識。
射影幾何學就是要讓學生明白如何通過推理證明圖形射影中的關聯關係和不變的圖形性質。圖形經過射影變換後，一些圖形性質依然保持不變是射影幾何學的重要知識點之一。交比是射影中涉及度量的基本不變量。我們在教學中選擇的命題，應該讓學生了解以下兩個相互聯繫的過程。第一個過程是通過簡化進行證明。這裡的簡化指的是心理上的簡化而非邏輯上的簡化，因為在一般案例中，邏輯上的簡化是最為簡單的簡化。這裡所選取的應該是我們最熟悉或最簡單的案例，然後以此來證明命題。另一個過程是從已知的一般真理推斷出具體案例，前提是我們能夠發現這些案例，或者有評判標準來檢驗它們。
圓錐曲線的射影定義以及通過二次方程推導出的各類曲線都是很容易就能闡釋清楚的，但這些其實都是射影幾何學的邊緣知識。我們只用來把這些知識教給學生，不用對其進行證明。
這裡所介紹的幾何教學內容並不多，但完全是理想化的幾何教學，是永遠也無法實現的。每一個階段所涉及的書本上的數學推理知識都非常少。但我們要對這些知識進行詳細講解，讓學生明白每個命題的重要性。為此，我們可以選擇一些能展現各個幾何領域思想的案例進行講解或讓學生自己去證明。如此一來，學生就能學會如何對空間的首要特性及其證明方式進行分析。
通過以上方式進行的數學原理教學能訓練學生的邏輯思維，幫助他們了解科學和哲學研究的基本原理。如今，我們已經在數學教育改革上取得了驚人的成就，我們能否推進改革，將這些覆蓋面更廣、哲學性更強的思想納入課程體系呢？坦白說，要以個人之力實現這一目標非常困難。由於我所提及的那些原因，所有的教育改革推行起來都十分困難。但只要我們齊心協力、堅持不懈，只要廣大教師都認識到這一理想的教學模式，我們就能走得更遠，最終實現驚人的改革成果。慢慢地，我們的教科書能得到優化，考試也不再像過去那樣強調過於專業的知識。事實上，大多數教師都非常希望數學能不再因為刻板無趣而受人詬病。