簡明邏輯學二十講 · 第十三講　關係

「吳先生！邏輯傳統比現代邏輯的範圍窄，是不是？」王蘊理問。 「是。」 「窄在什麼地方呢？」王又追問。 「很多，很多，最明顯而易見的地方，是邏輯傳統沒有將關係的研究包含進去。我想……如果當初邏輯傳統將關係的研究包含進去，它的內容一定豐富得多。『關係』（relation）在邏輯里很重要。如果沒有關係，那麼邏輯的內容，恐怕要少掉許多。十九世紀有位德國邏輯家叫作施羅德（Ernst Schröder），他對於關係就做過許多研究，蔚為大觀。」 「關係既然這樣重要，吳先生可不可以講點兒給我們聽呢？」周文璞問。 「當然可以，不過……關於關係的研究，認真說來，在邏輯各部門中是最複雜的一個部門，我們現在只好簡單地談談。」 「關係是什麼呢？」王蘊理問。 「我們最好先不談這個問題。就一派哲學的說法，關係好像是空氣，無所不在的東西。這種說法，無論通或不通，似乎不在邏輯範圍以內，所以我們不必討論。如果從純邏輯觀點來推敲什麼是關係，那麼必須從函數論，即theory of functions開始，這非我們現在之所宜。我們現在所知道的，是『關係』一詞在各種情形之下的用法。照科學家看來，宇宙之間事事物物總是以各種不同的方式聯繫起來的。物理的事物彼此有空間關係，或有引力關係。人同人之間，是靠婚姻、血統、朋友、同學、同事、同隊等關係聯繫起來的。 「關係，我們首先可以從兩種觀點來討論。第一觀點是從關係的性質（property）來考察，第二種是從關係的外范之數目來考察。就我們現在的目的而言，我們只能多注意關係的性質方面。在談關係的種種性質以先，為了便於了解起見，我們要介紹幾個概念。」 老教授一條一條地寫著： 界域（domain）： 一種關係R的界域乃使R與各種事物發生聯繫的一切事物之類。例如，「做丈夫」關係的界域乃一切丈夫之類。 逆界域（converse domain）： 一種關係R的逆界域乃該關係R由之而生的一切事物之類。例如「做丈夫」的關係之逆界域，乃一切妻子之類。沒有妻子，當無丈夫可言。當然，我們也可以說「丈夫」之類乃「做妻子」的關係R之逆界域。 范限（field）： 一種關係R的范限乃屬於關係R的界域與逆界域的一切事物之類。換句話說，范限乃一種關係R的界域及逆界域之邏輯和（logical sum）。例如，一切丈夫與妻子的類乃「做丈夫」的關係之范限，也是「做妻子」的關係之范限，也是「夫婦」關係之范限。 反逆（converse）： 關係R的反逆，乃當任何時候a與b有R關係時，b與a亦有關係R。「在東」的關係乃「在西」的關係之反逆。「被稱讚」這種關係，乃「稱讚」關係之反逆。一種關係R的反逆之界域的分子與R的反逆范限的分子相同。 「談到關係的性質，基本的有三種，即自反性（reflexivity）、對稱性（symmetry）和傳達性（transitivity）。而每一種都有其反面和中間情形，所以一共有九種。 「自反性。一談到自反性，我們不要望文生義，以為是『吾日三省』中的那種『自反』。那種『自反』，是在道德修養上下功夫；也不是所謂『自反的思想』（reflective thinking）中的『自反』。這種自反，至少在一種意義之下，是思想反照著思想。我們現在所說的自反是一種純粹的關係，一個類是它自己，一個語句是它自己。用符號來表示是： xRx 「如果aRa對於關係R的范限之每一分子為真，則此關係R是自反的。『相似』是一種自反關係。一個人，無論如何，在任何情形之下，總是與他自己相似。 「自反的反面是不自反（irreflexive）關係，如果aRa對於關係R的范限之每一分子為假，則此關係是不自反的。『異於』是不自反的關係。任何人不能『異於』他自己。『做兒子』的關係是不自反的，任何人不能夠自己做自己的兒子；『做父親』的關係也不是自反的，一個人不能是他自己的父親。不自反關係，在我們現在看來，似乎無關緊要，不值一提，這是因為我們沒有碰見邏輯上比較精細的問題。類的分子關係（class membership）是不自反的，這點就至關重要，如果不然，我們說類是它自己的分子，那麼便會引起極嚴重的自相矛盾。這種自相矛盾，是一種詭論。現代邏輯家費了很大的氣力才消除了這種詭論。 「在自反與不自反之間有準自反（mesoreflexive）關係。如果aRa在有些情形之下為真，而在另外的許多情形之下為假，則關係R為準自反，『欣賞』便是這種關係。有人自我欣賞，有人不好意思，所以，是准自反的。在一類人中，『自傲』是准自反性的關係。因為，在一類人中，有的人自傲，有的人不自傲。可能自反而不必然自反的關係就是准自反關係。 「對稱性。如果無論在何種情形之下aRb為真則bRa亦真，則關係R是對稱的。『夫婦』關係是對稱的，如果a與b有夫婦關係，則b與a也必有夫婦關係。中國傳統的建築多半是對稱性的；皇帝兩邊有左臣右相，也是對稱的。曹操款待劉備，青梅煮酒論英雄時，若曹操坐在劉備對面，劉備也當然坐在曹操對面，『對面』就是有對稱性的。『同年』有對稱性，如果張三與李四是同年的，那麼李四一定也與張三是同年的。不過，邏輯並不涉及類似一個一個有對稱性的特殊關係，而只研究普遍的對稱性。對稱性用符號表示出來是： 如果aRb，那麼bRa 「在黑板上所寫的公式中，a、b……表示關係項之變量。R表示任何關係。於是，這個公式讀作：如果a與b有R關係，那麼b與a有R關係。假若a、b是一對雙生子。如果我們說a的相貌像b，那麼我們也得承認b的相貌像a，因為『相像』是對稱的。在這種關係之中的兩項，無論怎樣對調，總是說得通的。」 「可是，並非所有的關係皆有對稱性。周文璞，我現在請問你，如果a是b的弟兄，那麼b是否是a的兄弟？」吳先生慢慢吸菸，等著周文璞回答。 「大概是的吧！」 「哈哈，大概是的！我說大概不是的。邏輯界域裡有什麼大概可言？」老教授忍不住笑道，「如果蘇轍是蘇軾的弟兄，那麼蘇軾是不是蘇轍的兄弟？請你再想想。」 「當然是的。」 「好吧！那麼我再請問你，如果蘇軾是蘇小妹的弟兄，那麼蘇小妹是不是蘇軾的兄弟？」 周文璞愣住了。 「哦！這一下你發現困難了吧！從這個例子，我們就可以知道，我們不能由a是b的弟兄而隨便順口就說b是a的兄弟。如果a是b的弟兄，那麼在有的情形之下，b是a的兄弟；在另外的情形之下不是，而是姊妹。類似的關係很多。例如，如果甲男子愛乙女子，那麼乙女子也許愛他，也許不愛，可沒有人保險，是吧？」 「呵呵！」 「哈哈！」 「這種關係用符號表示出來是，」吳先生又在黑板上寫著： 如果aRb，那麼bRa或不是bRa 「這種關係性質叫作準對稱性（mesoymmetry）。『做朋友』的關係便是准對稱性的。a跟b扯交情，b不見得一定與a扯交情：也許扯，也許不扯。有的人愛說『我的朋友胡適之』，也許胡適之還不認得他哩！……可是，准對稱性並不是反對稱性（asymmetry）。反對稱性可以表示為： 如果aRb，那麼不是bRa 「如果美國較英國富，那麼一定不是英國較美國富；如果我較你高，那麼你一定不比我高；如果甲在乙之右，那麼乙一定不在甲之右；如果黃帝是我們的祖先，則我們一定不是黃帝的祖先。『做祖先』『較富』『較高』『在右』等關係都是反對稱性的。 「我們現在要談談傳達性（transitivity）。假若某趙大於某錢，而且某錢大於某孫，那麼一定是某趙大於某孫。假若有A、B、C三個類。如果A包含B，而且B包含C，那麼A一定包含C。如果甲矮於乙，而且乙矮於丙，那麼甲一定矮於丙。『大於』『包含』『矮於』等關係，都是有傳達性的。用符號表示是： 如果aRb而且bRc，那麼aRc 「可是，如果a和b有某種關係R，而且b和c有某種關係R，那麼a和c之間在某種情形之下有某關係R，而在其他情形之下沒有，這種關係叫作準傳達性（mesotransitivity）的關係。用符號寫出來： 如果aRb而且bRc， 那麼aRc或不是aRc 「這種關係是很多的，『朋友』關係便是其中之一。如果周文璞是王蘊理的朋友，而且王蘊理是另一人的朋友，那麼周文璞也許是另一人的朋友，也許不是那另一人的朋友。周文璞也許根本就不認得那個人。所以，我們不可因周文璞是王蘊理的朋友，而且王蘊理是那另一人的朋友，而推論周文璞是那另一人的朋友。『朋友的朋友是朋友』不見得是真話。『喜歡』也是如此，甲喜歡乙，而且乙喜歡丙時，甲也許喜歡丙，也許不喜歡，並無一定，這是因為『喜歡』雖然可能有傳達性，但不必然有傳達性。 「不過，准傳達性與反傳達性（intransitivity）不同，我們不可混為一談。」吳先生加重語氣，「反傳達性的關係是：如果a與b有某種關係R，而且b與c有某種關係R，那麼a與c一定沒有某種關係R。我的祖父是我父親的父親，但是，我的祖父一定不是我的父親。X是Y的兒子，Y是Z的兒子，X一定不是Z的兒子。具有這種性質的關係不少，『……的師傅』『……的母親』等都是。我們可以將這種關係性質表示作……」 吳先生寫出： 如果aRb而且bRc，那麼不是aRc 吳先生靠在沙發上，慢慢抽著煙。 「這幾種關係性質並列在一起，便有怎樣的性質呢？」王蘊理問。 「如果這幾種性質並列在一起，那麼所產生的性質便很複雜。我們現在只將幾種最簡單的提出說說。 「最顯而易見的性質，是既自反又對稱而且又有傳達性的關係。等於，就是具有這三種性質的關係。A等於它自己，這是有自反性；若A等於B，則B等於A，這是有對稱性；若A等於B，而且B等於C，則A等於C，這是有傳達性。 「既有對稱性又有傳達性的關係。『同時』是既有對稱性又有傳達性的關係。若甲與乙同時到達，則乙必與甲同時到達；若甲與乙同時上船，而且乙與丙同時上船，則甲與丙必為同時上船。 「有對稱性而又有反傳達性的關係，一排士兵在一條直線上站立時便有這種關係。若甲兵緊靠乙兵之旁，則乙兵必緊靠甲兵之旁。這是有對稱性的。可是，若甲兵緊靠乙兵之旁，而且乙兵緊靠丁兵之旁，則甲兵一定不是緊靠丁兵之旁，這是無傳達性。 「有傳達性而又有反對稱性的關係。若周文璞比王蘊理起得早，而且王蘊理比我起得早，則周文璞一定比我起得早。『早些』有傳達性，但無對稱性。若周文璞比王蘊理起得早，則王蘊理一定不比周文璞起得早。『兄長』也是如此。若老大是老二的哥哥，而且老二是老三的哥哥，則老大一定是老三的哥哥。這是有傳達性，但沒有對稱性；若老大是老二的哥哥，則老二一定不是老大的哥哥。『美些』『在右』等都屬這一類。 「反對稱而又反傳達的關係。『做祖父』『做父親』『做兒子』……都是這種關係。若甲是乙的祖父，則乙一定不是甲的祖父，這表示『祖父』無對稱性；若甲是乙的父親，而且乙是丙的父親，則甲一定不是丙的父親。『做兒子』的關係亦然，都無傳達性。 「從關係的外范著想，即依照關係所包含的項目之多少著想，關係可以分作兩項的（dyadic），三項的（triadic），四項的（tetradic），五項的（pentadic）……多項的（polyadic）。『羅密歐愛朱麗葉』，在這個語句中，『愛』是兩項關係。結婚時『做介紹人』則是三項關係。因此項關係牽涉『做介紹人者，男方，以及女方』。」 「我們還可以從別的方面來考慮關係嗎？」周文璞問。 「當然可以。依項目與項目之間的對應情形來考慮，關係可分作：一對一（one-one）、一對多（one-many）、多對一（many-one）、多對多（many-many）四種。在法律的規定之下，夫婦關係是一對一的關係。可是，假若一個未婚女子不止交一個男友，則她對男友的關係是一對多的關係。……所以，」老教授笑道，「你在與某小姐交朋友時，別生出誤會，以為是一對一的關係哩！」 「哈哈！學了邏輯就不致誤會了！」周文璞得意地說。 「『做司令官』的關係也是一對多的關係。是不是？因為，在一個單位中，只有一個司令官，而兵則很多。多對一的關係也常見。在演講中，聽眾是多，講演者往往是一。『做臣僕』的關係也是多對一。在古代專制之下，做臣僕者眾，而做君王者只有一人。多對多的關係，例如，『做教員』。在一個學校中，教員有許多，學生也有許多，所以，是『多對多』。 「關係的研究，我們在這裡已把基本要點指出。至於詳細的推演，只有待將來。」