簡明邏輯學二十講 · 第九講　對待關係

一陣雷雨過後，王蘊理和周文璞到吳先生家裡來。 「今天下暴雨，蜉蝣很多，飛得滿屋子裡都是。真討厭。……如果『一切蜉蝣是短命的』這個語句為真，那麼什麼語句是假的？」他們坐下了，吳先生想了一想，問王蘊理。 「……不……不知道。」王蘊理答不出來。 「也許……我的問法有點兒籠統。」吳先生笑道，「我的意思是問：在A、E、I與O四型之中，如果有一個語句是真的，那麼與之對待的什麼語句是假的。在A、E、I、O四式之中，任一語句之真或假與其餘三個語句之真或假，或真假不定的情形，傳統叫作語句的『對待』（opposition）。在這種對待關係里，我們從A、E、I、O四型語句中任一之真假的設定開始，可以推論其餘語句之真，或假，或真假不定。另外，我們任取AO，或EI，為矛盾，那麼我們可以推論其餘語句有何對待關係。這種推論相當有用，而且我們在日常言談之間時常可以碰見。所以，我們現在要加以討論。為求易於明了起見，我們現在還是畫一個圖。這個圖，傳統地叫作『對待方形』（square of opposition）。不過，我們現在關於對待的講法不是傳統的講法。我們現在的講法是對於傳統講法的一種修正。這是必須聲明的。」 吳先生在紙上畫著： 「我們現在要將這裡的符號和名詞解釋一下。A！表示有存在意含的A；E！亦然。我們之所以要標明A和E有存在意含，是因為我們日常言談之間大都肯定A、E在主位的詞端之所指存在，即有實際存在的事物。」 「吳先生！這樣說來，還有在主位的詞端之所指不是實際存在的事物嗎？」王蘊理問。 「當然有！」 「您可以舉個例嗎？」王蘊理又問。 「例如，『一切希臘的神是擬人的』，或『一切希臘的神是有人的缺點的』。這兩個A型語句中的主位詞端『神』之所指，並非一實際存在的事物。我們用邏輯名詞說，『神』並無存在意含。可是，偏謂語句的主位詞端，都有存在意含。顯然得很，只有具有存在意含的全謂語句才涵蘊著與之相當的偏謂語句；不具存在意含的全謂語句當然不涵蘊與之相當的偏謂語句。更特指地說，如果A有存在意含，那麼涵蘊I；否則不能。如果E有存在意含，那麼涵蘊O；否則不能。但是，A型語句並非都有存在意含，E型亦然。總而言之，全謂語句，並非都有存在意含。全謂語句有些有存在意含，有些沒有。例如，剛才舉的兩個例子就沒有。但是，『一切挪威人是歐洲人』『一切毒蛇是危險的』，其中主位詞端之所指都是實際的事物，所以有存在意含。全謂語句既然不是在一切情形之下都有存在意含，所以也就不是在一切情形之下涵蘊偏謂語句。既然如此，全謂語句必須確有存在意含，才涵蘊與之相當的偏謂語句。然後再行邏輯的推論。……當然，在日常語言中，沒有這麼嚴格，因而也就沒有分得這麼清楚。可是，我們在邏輯科學中就必須嚴格而清楚。我們明白了這一層，也就可以知道，中文裡的『所有的……』並不必然表示真正的『有』。例如，『所有的飛虎是兩棲動物』，事實上並沒有『飛虎』，所謂『飛虎』無存在意含，因而並無『有』。嚴格地說，在這種情況之下用『所有的……』系一語病。可是，在我們明白了它並無存在意含之後，我們知道它不能涵蘊I型語句『有些飛虎是兩棲動物』，那也就不足為害了。」 吳先生歇了一會兒，指著紙上的圖解，繼續說道：「雙箭頭表示在其兩端的語句之關係是對稱的。所謂『反對』（contrariety），它的條件是：假定有甲乙二個語句，如果甲真則乙假，如果甲假則乙不定；而且如果乙真則甲假，如果乙假則甲不定；那麼甲乙兩種語句之間的關係為反對的對待關係。所謂『等差』（subalternation），它的條件是：假定有全謂與偏謂兩種語句，如果全謂語句真則與之相當的偏謂語句真；如果全謂語句假則與之相當的偏謂語句之真假不定；而且如果偏謂語句真則與之相當的全謂語句真假不定；如果偏謂語句假則與之相當的全謂語句假；那麼全謂語句及與之相當的偏謂語句之間的關係為等差的對待關係。所謂『獨立』（independence），它的條件是：假定有甲乙兩個語句，如果甲真則乙真假不定；如果甲假則乙真假不定；如果乙真則甲真假不定；如果乙假則甲真假不定；那麼甲與乙之間的關係為獨立的對待關係。」 「吳先生可不可以將這三種關係作進一步的解釋？」王蘊理問。 「是的，我正預備這樣。我並且預備借著舉例來討論四型語句之間的對待關係。我們先從A！開始吧！如A！真，則E！假，則I真，則O假。如A！假，則E！真假不定，則I真假不定，則O真假不定。如果『一切蜉蝣是短命的』為真，則『有些蜉蝣是短命的』亦真；但是『沒有蜉蝣是短命的』一定假；因而『有些蜉蝣不是短命的』亦假。如果『一切蜉蝣是短命的』是假的呢？那麼，『有些蜉蝣是短命的』真假不定；『沒有蜉蝣是短命的』真假不定；因而『有些蜉蝣不是短命的』也是真假不定。」 「吳先生，就這個例子講，恐怕不好說。因為，就我們之所知，沒有蜉蝣不是短命的，亦即所有的蜉蝣是短命的。蘇東坡有句：『寄蜉蝣於天地，渺滄海之一粟。』言人命如蜉蝣之短也。」周文璞說。 「不錯……可是你說的又是一個特殊的經驗問題。請你注意，我們所討論的，始終一貫地是語句的形式，而不是語句的內容。A！、E！、I、O所代表的是四種語句形式，而不是具有其中之任何形式的特殊語句。因此，所謂語句的對待關係，不是具有其中任一形式的特殊語句與具有其中另一形式的特殊語句之間的特殊對待關係，而是四式之中之任一與其餘三式之間的普遍的對待關係。既然所謂對待關係是普遍的對待關係，於是我們制定規律時，必須關照一般的情形，而不可局限於一二特例。就上例說，假若我們說『一切蜉蝣是短命的』是一句假話，則『沒有蜉蝣是短命的』亦假；但是，另外的例子則不然：如果『一切冰激凌是熱的』為假，那麼『沒有冰激凌是熱的』為真。前者『一切蜉蝣是短命的』的對待語句E！假，而後者的對待語句『沒有冰激凌是熱的』E！真。簡要地總括起來：如A！假，則E！真假不定。 「由以上的解析，各位可知A！和E！之真假對待關係乃指具有這兩種形式的一切語句而言的，並非針對某一特殊語句而言的。嚴格地說，僅就一個特殊語句而言，根本就無所謂對待關係，也許有因果關係，也許有函數關係，也許有其他的關係。邏輯貴妥當，所謂妥當，就是在一切情形之下為真，或者對於一切解釋皆有效，或說能涵蓋或顧到一切情形。我們之所以舉例，完全是為便於理解起見。在我們研究邏輯時一聽例子，我們應須立即由之而理解藉此例子所顯示的普遍之邏輯形式，不應該將思路局限於那一特例，或者轉到純形式以外的問題上去，或者扯到經驗例證之本身。這是最重要的邏輯訓練。」 「吳先生，您不注重經驗嗎？」周文璞問。 「不。」吳先生連忙搖頭，「我非常注重經驗。我是說在研究邏輯時必須遠離經驗，以免拖泥帶水、混淆不清。如其不然，一個人抽象的推論力一定永遠不能增加。一個人初學數學或算術時，算『三個桃子加五個桃子等於八個桃子』固然需要扳著指頭數；可是，這只限於初學階段而已。你試設想，如果一個人永遠需要扳著指頭數，而且離開桃子李子這些實物就無法了解純數理，不知運用X、Y、Z這樣的變量，他的數學還有希望好嗎？他還能夠懂得『無窮大』『無窮小』嗎？邏輯的情形，完全一樣。近九十餘年來，邏輯家和數學家的努力，證明邏輯和數學是姊妹學問了。所以，研究數學時所需要的心理習慣，研究邏輯時也常需要。不然的話，我們很容易把邏輯弄成玄學。」 「是！是！」周文璞點點頭。 「我們進行E！吧！」吳先生抽口煙，「如E！真，則A！假，則I假，則O真。如E！假，則A！真假不定，則I不定，則O不定。例如，如果『沒有海洋是陸地』為真，那麼『一切海洋是陸地』為假，『有些海洋是陸地』也假，『有些海洋不是陸地』為真。如果『沒有鑽石是珍貴的』為假，那麼『一切鑽石是珍貴的』為真。但是，如果『沒有學生是用功的』為假，那麼『所有的學生是用功的』也假。『沒有鑽石是珍貴的』和『沒有學生是用功的』這二個E！語句都假。可是與第一語句對待的語句『一切鑽石是珍貴的』為真，而與第二語句對待的語句『所有的學生是用功的』是假的。這兩個語句都是A！。由此可見，E！假時，A！之真假不定。如E！假，則I與O之真假不定，其理由是顯而易見的，E！與I為反對。所謂反對，就是兩個語句雖不可同真，但可同假。既然如此，於是E！真時，I固然一定假，但E！假時，I可能是假的，也可能是真的。E！與O的對待關係為等差。即是，如E！真則O真，但如E！假時，O可真可假。所以，E！假則O不定。例子，只要我們留心日常的言談，幾於俯拾即是。二位不妨自己舉舉試試看。由舉例既然可能理解邏輯，所以也是一種不無幫助的訓練。 「I與O之間的對待關係是獨立的。所謂獨立，我們已經在前面說過，乃任一之真或假不牽涉另一之真或假。既然如此，於是I與O可同真，可同假；也可以一真而另一為假，可一假而另一為真。我們先從I起吧！如果『有些人是善良的』為真，那麼『有些人不是善良的』也真。在日常言談中，我們多是肯定語句之所指存在的。既然肯定語句之所指存在，於是語句之所指存在乃這一語句之為真的必須條件。既然如此，如果語句之所指不存在，於是這一語句不能是真的，如果『有些人是神仙』是假的，那麼『有些人不是神仙』也是假的。既然肯定沒有神仙，於是說有些人是神仙固然是假的，說有些人不是神仙當然也是假的。因為，根本就沒有神仙這個東西存在。 「O到I，對待情形還是一樣，如果『有些事業家不是愛錢的』為真，那麼『有些事業家是愛錢的』也真。如果『有些江湖奇俠不是三頭六臂的』為假，那麼，『有些江湖奇俠是三頭六臂的』還是假的。可是，如果『有些軍閥不是愛地盤的』為假，那麼『有些軍閥是愛地盤的』為真。可見O真時，I可真可假，O假時I也可真可假。既然如此，可見O與I之間的對待關係是獨立的對待關係。這也就是說，由I或O之任一之真或假，推論不出另一之真或假。」吳先生說完，慢慢吸著煙。看樣子，他的煙質地很粗劣。他抽這種煙，不過是為過癮而已，並不感到什麼興趣。 「吳先生，您怎麼不抽點兒好煙？」周文璞問。 「好煙？……」他臉上浮起一絲淡淡的苦笑。 「吳先生，您剛才說I與O二式語句是獨立的。既然二者是獨立的，那麼就是互不相倚的意思，是不是？」王蘊理問。 「是的。」 「既然二者互不相倚，怎麼可以說是有對待關係呢？」王蘊理進一步地問。 「獨立的對待關係？是對待關係中之一limiting case，即限制情形，亦若零為蓋然probability之limiting case然。科學中常有這種限制情形。當然，如果單獨將I與O提出來看，可以說是沒有什麼對待關係的。可是A！、E！、I、O四式形成一套關係，I與O不過是這一套關係中之最薄弱的一面而已。」吳先生說完，又抽著粗劣的煙。 「吳先生，您在開始的時候說，關於對待關係，您現在所講的是傳統的講法之修正。傳統的講法是怎樣的？說得通嗎？」王蘊理問。 「如果假定在主位的詞端有存在意含，也說得通。就近人的解析，對待關係可以至少有三種說法。我們在上面所討論的，是其中的一種；傳統的說法，也可以看作其中的一種，而且這一種在教科書中仍占重要地位。」 「既然如此，吳先生可不可以講給我們聽？」王蘊理又問。 「可以的。不過，我們以後的講法，只直陳其邏輯結構，而不舉例。因為，我們不再需要了。而且凡與前面雷同的地方，也略而不談。」 吳先生又畫了一個對待方形： 「二位請留意，在這個對待方形所表示的對待關係中，有兩種對待關係與上面的對待方形所表示的不同，即I與O之間為小反對（subcontrary）；AO、EI各為矛盾（contradictory）。I與O之間的對待關係既為小反對，於是，為了標別起見，我們把A與E之間的關係改稱為『大反對』，但是其界說條件不變。還有一點，我們也須留意的，即在這一傳統的對待方形中，全謂語句的存在意含只是假定的，未曾明指。所以，我們沒有用A！和E！來表示，而只徑直用A、E來表示。」 「什麼是小反對的對待關係呢？」周文璞問。 「小反對的對待關係之界說是：I與O兩個語句，如果可以同真，但不能同假，則二者之間的關係叫作小反對。依此，I與O既可以同真，那麼由其中之一為真，我們不能斷定另一究竟為真抑為假。因為，其中之一為真時，另一可以為真，也可以為假，究竟為真抑為假，這要視個別特例而定。例如，『有些人是食素的』，I為真時，『有些人不是食素的』，O也真。但是，『有些人是生物』為真，『有些人不是生物』則為假。然而，I與O不能同假。『有些北極熊是熱帶動物』為假，『有些北極熊不是熱帶動物』不能為假。……當然，我們在日常言談中，不會說『有些北極熊不是熱帶動物』這樣的話，假若有人這樣說話，許多人一定笑他是呆子。不過，我們不要忘記，許多人之笑說這種話的人是呆子，是從習慣出發的。習慣並非真理的標準。科學之可貴，常在其結論出乎常識的局限。在邏輯上，『有些』之所指有時可以是『一切』。因此，『有些北極熊不是熱帶動物』，實在等於說『一切北極熊不是熱帶動物』。我們這麼一想，就覺得沒有什麼不自然了。這樣設句，正所以表示科學設句能到達常識與習慣所不能到達的境地。……另外，從純邏輯的理由，我們更可以顯然知道I、O不能同假，但能同真。『有些』所指的範圍有時既可以普及於『一切』，因此只要一部分的S是P，而有一部分S不是P，則I與O可以同真。如果『有些』所指的範圍普及於『一切』，即一切S是P，那麼，I與O之中總有一為真。這麼一來，二者不能同假。關於這種情形用圖解可以表示得很清楚。」老教授又畫著： 「從這三個圖解，我們可明明白白看出，I與O之間的真假有三種情形：一、I真而O假；二、O真而I假；三、I與O俱真。但是，沒有I、O俱假的可能。二位明白了吧？」 「明白了！」周文璞說。 「這種證明方法，比舉例嚴格牢靠多了。」王蘊理說。 「是囉！」老教授很高興，「這話就算叩擊科學方法的邊沿了……我們現在再來談談什麼叫作矛盾。假若我們說『一切歐洲人是基督教徒』，那麼這個語句的矛盾語句是不是『沒有歐洲人是基督教徒』？」 「是！」周文璞說。 「非也！非也！」老教授搖搖頭，「許多人以為『一切歐洲人是基督教徒』的矛盾語句是『沒有歐洲人是基督教徒』，這是錯誤的。其所以是錯誤的，從邏輯的形式一看便知。『一切歐洲人是基督教徒』是A型語句，『沒有歐洲人是基督教徒』是E型語句。依前面所說，AE是互相反對的語句，而不是互相矛盾的語句。」 「吳先生！什麼才是互相矛盾的語句呢？」周文璞接著問。 「『一切歐洲人是基督教徒』的矛盾語句是『有些歐洲人不是基督教徒』。『有些歐洲人不是基督教徒』是O型語句。依剛才所畫的對待方形，我們可知AO為互相矛盾的語句。EI亦然。……具體地說，設有甲、乙兩個語句，如果甲為真，則乙為假；如果甲為假，則乙為真。同樣，如果乙為真，則甲為假；如果乙為假，則甲為真。甲乙之間的這種關係，叫作矛盾關係。這樣看來，甲乙不同真，亦不同假。既然如此，由其中之一為真，可以推斷另一為假；由其中之一為假，可以推斷另一為真……矛盾與反對的分別，弄清楚了吧？」 「弄清楚了。」周文璞說。 「弄清楚了，我們可以再進一步以嚴格的方法來演證A、E、I與O之間的對待關係。我們可以假定AO與EI各為矛盾，來證明其餘任一種對待關係。剛才畫的一個對待方形可以看作四個三角形之併合。每一個三角形可在矛盾的那一邊反覆各一次。所以，四乘二共得八次。而A、E、I、O中每個語句又有真假二值，或正負兩面。於是，二乘八得一十六次。這樣，就窮盡了該圖所示的一切對待關係之演證。我們現在就開始吧！」老教授不厭其煩地畫著，寫著： 「吳先生！這些公式我們看不懂。」周文璞著急起來。 「別忙！別忙！說穿了比什麼都簡單。」老教授笑道，「第一條，E字頭上掛的小十字架『+』表示『真』。『  』符號表示『如果……則——』。一點『∙』表示『而且』。I字頭上掛的一個小橫扁『-』表示『假』。兩邊有兩個小點兒的符號，即『∙  ∙』，比兩邊沒有小點兒的符號『  』等級高一層。第一條，用尋常括號表示出來就是這樣的。」他寫道： 「所以，第一條，用尋常語言讀出，就是：『如果E為真則I為假，而且如果I為假則A為假，那麼，如果E為真則A為假』。你看！這是多麼累贅，而且層次多麼不顯著！」老教授吸了一口長氣說，「可是，用像第一條那樣的符號方式表明，就簡明輕鬆得多了，是不是？咱們用象形字用慣了，一看見符號就認為繁難，望而卻步。這真是一個大大的誤解！我們會讀第一條，便會讀第二條，不用贅述。不過，在第二條中，『？』代表『真假不定』。……我們剛才是從EI出發，經過IA，證明EA為大反對。我們現在從IE出發，經過EA，求證IA為等差。 「我們再證下去。好吧？」 「好的。」王蘊理似乎很有興趣。 「還有一個沒有證。我已經證得太多了，剩下的一個留給二位試試，這樣也可以得到一點兒邏輯訓練。二位覺得這樣演證起來，太麻煩嗎？」 「不，不，我們覺得這是一種很好的思考訓練，可以使我們領會到謹嚴的思考方式是怎麼回事。」周文璞說。 「對了！這樣才會入邏輯之門，而且會發生興趣的。」吳先生很高興。 「吳先生，您的演證，除了每一次系從一對矛盾語句之一的正反兩面著手，好像都是循著一種推論方式進行的。是不是？」王蘊理問。 「是的，如果將A、E、I、O撇開，並且不計其正負，而把證明的語句分別地代以a、b、c，那麼我們就可以把這些證明依之而進行的推論方式寫成這個樣子。是不是？」 「是的，我想的正是這個意思，不過我表示不清楚，謝謝您的幫助……這種推論方式叫作什麼呢？」王蘊理又思索著。 「這種是三段式的推論方式。」 「您以後有機會可以把這種推論方式講講嗎？」 「三段式的推論方式很重要，有機會也是要研究研究的。」