簡明邏輯學二十講 · 第八講　位換和質換

「周同學，我請問你，假若我說『一切讀書的人是有知識的人』，我們可不可以因之而說『一切有知識的人是讀書的人』？」吳先生一開頭就問。 「這……這……這很難說。」周文璞顯得很遲疑的樣子。 「哦！你怎麼沒有從前那樣爽快了？」 「這是許久以來聽吳先生講邏輯的結果。」王蘊理笑道。 「這要算一個不小的進步。說話多用腦筋想想，不一下子衝口而出，總是一種好的習慣。」吳先生笑著說。 「吳先生今天預備對我們講什麼呢？」王蘊理問。 「我今天預備講講幾種說話的方式。當然，說話的方式很多，我在這裡所謂的說話的幾種方式，不是修辭方式，也不是如何動人的方式，而是嚴格從邏輯方面著眼的方式。我們在這裡預備進行討論的說話方式，系從A、E、I和O出發的。因而，我們的討論也就限於A、E、I、O四種語句。第一種方式，邏輯傳統叫作位換（conversion）；第二種方式叫作質換（obversion）。 「我們先討論第一種方式。所謂位換，就是將上述四種語句之一之主位詞端換到賓位去，而將賓位詞端換到主位去。這樣的更換，不是可以任意為之的，而必須遵守兩個規則。第一，在原來語句中沒有普及的詞端在換位語句中也不可普及。但是，這話並未禁止我們將已普及的詞端變為不普及的詞端。在某種條件之下，我們可以這樣做。第二，不可變更原來語句之形式的性質。這也就是說，原來語句是肯定的，換位語句仍須為肯定的；原來語句是否定的，換位語句須為否定的。 「各位看第一條規律，立刻就可以知道我們在上一次所說的A、E、I、O四種語句的詞端之普及與否的情形是位換的重要依據。這也就是說，那四種語句的位換，要以它們的詞端是否普及為依據。因此，依據上一次所說的四種語句的詞端之普及與否的情形，我們可以決定那四種語句的換位可能。 「我們先看A吧！我們在上次說過，A的主位詞端普及而賓位詞端未普及。就以我剛才所說的『一切讀書的人是有知識的人』為例，這個語句的主位詞端『讀書的人』是已普及的，而賓位詞端『有知識的人』沒有普及。根據位換的第一條規律，我們不能換作『一切有知識的人是讀書的人』。因為，這樣一換，在原來語句中沒有普及的詞端『有知識的人』到了換位語句中變成了普及的。這犯了第一條規律。」 「吳先生，這裡也許包含『有知識的人』這個類的範圍之大小怎樣劃定的問題。」周文璞說，「如果所謂『知識』不限於書本上的知識，那麼『讀書的人』的確是『有知識的人』之一部分，因而不可作剛才的位換。可是，如果所謂『知識』的解釋只限於書本的知識，那麼，『讀書的人』就是『有知識的人』，而且『有知識的人』也就是『讀書的人』。這樣一來，『一切讀書的人是有知識的人』換成『一切有知識的人是讀書的人』，雖不合第一條規律，但內容是對的。我們何必因遵守形式規律而犧牲內容呢？」 「你這個問題，問得相當有道理，但可惜不是一個邏輯問題。對於『知識』的範圍大小之劃分，各人有其自由，邏輯也不去規定。但是，請你注意邏輯所研究的，不是一個一個特殊的語句，而是某一種語句所共同具有的形式。因而，它所說的話，是對於某一語句之形式所說的話。於是，具有這種形式的一切語句之變換，都須以這種形式所須遵守的規律為依據。我們常常得注意，邏輯所要保證的是推論之普遍的效准。既言普遍的效准，當然必須對一切情形有效而無一例外。因此，如果有種推論方式，有時固然可得出真的結論，但有時則得出假的結論，既然如此，那麼它並非對於一切情形有效，因此，我們必須放棄它……當然，」老教授提高聲音，「每一種科學有一特定範圍。如果我們進入某一特定範圍，而且明白劃定所要對付的題材，那麼也可以試用特定的推論的程序。例如，在數學中，常常可以像你那樣推論的，凡用等號表示的程序都可如此。你所做的推論，一個語句兩頭的詞端可以互相對換，沒有限制，我們叫作無限位換（unlimited conversion）。在邏輯上，我們在許多條件之下把一個語句兩頭的詞端之互相對換，加上某些條件之限制，這種位換，我們叫它限量位換。……但是，我們不要以為這種分別是由於數學的推論與邏輯相反。無限位換在基本上，如果可以行得通，那麼限量位換，自然更可以行得通，是不是？不過，限量位換行得通的語句多於可行無限位換的語句。所以，邏輯只規定限量位換的規律。上面的規律是普遍地對於具有A形式的一切語句而說的，並非對於某一具有A形式的語句之特殊內容而說的。這一點必須弄清楚。上面所舉第一條規律說凡在原位語句沒有普及的詞端在換位語句也不可普及。這一條規律，如不遵守，對於將『一切讀書的人是有知識的人』換成『一切有知識的人是讀書的人』這樣的例子好像看不出很明顯的毛病，可是，對於其他A式語句，常常可以產生嚴重的後果。再舉個A式語句為例吧！假如我們將『一切尼姑是女人』換位成『一切女人是尼姑』，那豈不糟糕？」 「哈哈！」 「哈哈！」 「如果遵守位換的第一條規律，那麼就可保證不出這種笑話了。」吳先生接著說，「當然，這種錯誤是顯而易見的。我們知道並非一切女人都是尼姑，可是，這種錯誤之所以顯而易見，不是依據邏輯的理由，而是依據經驗知識。在我們具備某一語句所表示的經驗知識時，我們固然可以特殊地決定它是否可以將在主位的詞端和在賓位的詞端對換。可是，在我們未具備某一詞句所表示的經驗知識時，我們就不能特殊地決定是否可以將它在主位的詞端和在賓位的詞端對換。當我們熟雪梨姑是女人的一部分而且不是一切女人都是尼姑時，我們憑著這一經驗知識來決定我們不能將『一切尼姑是女人』換位成『一切女人是尼姑』。可是，當我們知道『凡大朵的薔薇花是大葉子的』時，我們是否可以說『凡大葉子的薔薇是開大朵的花』，這就需要有園藝上的專門知識。在這一關卡上，如果我們有了一點兒邏輯訓練，我們就可以不冒冒失失地從『凡大朵的薔薇花是大葉子的』推論『凡大葉子的薔薇是開大朵的花』。嚴謹，一方面可以減少錯誤知識之發生，另一方面可為正確知識預留地步。像這一類的問題是非常多的，如果我們一個不小心，隨便換位，得到假知識，往往發覺不出假知識由何而生。可是，邏輯告訴我們，這一類的語句是A式語句。凡A式語句不可簡單地將主位詞端換成賓位詞端。如果我們謹守這一條規律，無論我們對於所說的A式語句的內容是否有經驗知識，我們一概不簡單地將其在主位的詞端換位為賓位的詞端，那麼憑著這一邏輯規律的保證，我們就不會觸犯上述的錯誤。」 「假如我們要將A式語句換位，那麼怎樣辦呢？」王蘊理問。 「辦法很簡單，就是當要將賓位詞端換成主位詞端時，我們把它的量加以限制；即是，賓位詞端在原來語句中未普及，在換位語句中不讓它普及。這樣，位換就不會發生毛病。前例『一切尼姑是女人』可換成『有些女人是尼姑』。這種位換法，傳統叫作『限量位換』，亦即conversion per accidens。 「我們在前面說過，就A在主位的詞端和賓位的詞端是否普及之情形來觀察，A是○︶。而且，我們又說過，○︶不對稱。既然如此，○︶不等於︶○。如果○︶等於︶○，則在原來語句未普及的詞端，經過換位手續後，變成普及詞端○。這就犯了邏輯之大忌。但是，我們只說在原來語句中沒有普及的詞端在換位語句中不可變成普及的；我們並沒有說，在原來語句中普及的詞端在換位語句中不可變成未普及的。在一種條件下，我們可以把在原來語句中普及的詞端在換位語句中變成未普及的。依據這條規律，我們可以得到關於A換位之最簡單的手續。即，」老教授寫著： ○︶ 可換成︶︶ 「不過，行限量位換，必須詞端有存在的意含（existential import），即詞端所指之類有分子。……」老教授慢慢地說，「可是……這方面的道理，不是此時所需要的，所以我們提到一下就夠了。」 「E式語句怎樣換位？」周文璞問。 「E式語句的換位最簡單。」吳先生說，「這從符號就可以知道。E式語句的詞端的普及情形是○○。既然如此，兩端都已普及，毫無分別。既然毫無分別，當然可以毫無限制地將主位詞端換成賓位詞端，而且將賓位詞端換成主位詞端。『沒有獨裁者是講民主的人』，在這個語句中，『獨裁者』之類之一切分子被排斥於『講民主的人』之類以外。同樣，『講民主的』之類之一切分子被排斥於『獨裁者』之類以外。於是，『沒有獨裁者是講民主的人』可以換位為『沒有講民主的人是獨裁者』。E的位換可能，從其普及記號，我們只要一秒鐘就可決定。」老教授又寫道： ○○ 換成○○ 「I式語句的位換也最簡單。這也可以從符號︶︶看出。兩端既然同樣未普及，當然可以簡單換位。『有些紅顏是薄命的』可以換成『有些薄命的是紅顏』，還是︶︶。所以，我們可以寫： ︶︶ 換成︶︶ 「O式語句無法換位。這有兩個理由：第一，如果將在主位的詞端簡單地換成在賓位的詞端，而且將在賓位的詞端換成在主位的詞端，那麼便違反上述位換的第一條規律。這種情形從符號︶○與○︶並不對稱可以一眼看出。『有些人不是音樂家』如果換位為『有些音樂家不是人』顯然是可笑的。『有些人不是窮小子』換成『有些窮小子不是人』也不對。『有些人不是窮小子』是一真語句，而『有些窮小子不是人』乃一假語句。由真語句產生假語句，可見這種推論方式無效。如果由真得假可行，那麼整個邏輯要破產了。第二，如果將O中表示否定的形式字詞移到換位後的主位詞端，即原來的賓位詞端，那麼結果改變了原有語句的形式性質，即由O式語句經過換位後變成I。這有違第二條規律。『有些黑鳥不是烏鴉』如果換成了『有些非烏鴉是黑鳥』，顯然將原來的否定語句O變質為肯定語句I，這有違第二規律。」 「但是，」周文璞想了一下，說：「吳先生，我們從『有些暴君不是心理正常的人』，換位成『有些心理正常的人不是暴君』，系由一真語句得到一個真語句。這豈不表示O還是可以位換嗎？」 「是的，如果僅僅就這一對語句來說，O是可以換位的。但是，這樣的簡單位換，並非普遍有效。除了上面所說的例子以外，我可以再列舉一對例子。如果『有些狗不是獵犬』為真，則其換位語句『有些獵犬不是狗』顯然為假。我在前面說過，邏輯的推論方式，必須普遍有效。既然O型語句在有些例子之下可以換位，而在有些例子之下換位會弄出剛才所說的毛病，可見，如果把O看成可以簡單位換的語句，這一辦法並不普遍有效。既不普遍有效，那麼，在邏輯的範圍里，我們不能這樣辦……就邏輯的理由說，O之不能換位，理由非常簡單，即如果︶○換成○︶，便是在原來語句中未普及的詞端︶，在換位語句中變成普及的詞端○。調一個頭，就偷偷由偏而全，犯了邏輯之大忌。僅僅這一條理由，就足以防止我們對O實行換位，而用不著一個一個舉出語句來試了。 「我轉了這麼久，二位嫌太繁吧！其實，位換手續，如果從表示A、E、I、O的普及之符號方面著眼，真是再簡單不過了。我們現在把上面所說的，用符號表示出來，以作關於位換的討論之總結。箭頭表示推論。」吳先生畫著、寫著： 老教授畫完寫完，放下鉛筆，靠在沙發上休息一會兒，又抽著煙，慢慢吞吞地說：「關於位換，我們已經討論完了。我們現在要來討論質換。質換，也是我們常用的一種說話方式；更嚴格地說，它是一種改變語句之質的方式。質換就是改變原有語句之形式性質，而得到一個與原有語句相等的語句。詳細一點兒說，質換就是借改換原有語句的賓位詞端的性質以得到與原有語句之意義相等的反面語句。在質換時，語句的量須保持不變。這是一個要求。 「我們現在試試將A、E、I、O一一加以質換。我們還是照前面的記號法，以A代表全謂肯定語句，S代表主位詞端，P代表賓位詞端。我們將A寫在S與P之間。於是，A式語句可寫成SAP。以P代表『非P』，於是，SAP質換時可寫成SEP。反過來也是一樣。SEP質換時可以寫成SAP。二者的質換是對稱的。例如，『所有的動物是有機體』可以質換成『沒有動物是非有機體』。同樣，『沒有動物是非有機體』可以換成『所有的動物是有機體』。『凡英雄皆當配美人』可質換成『沒有英雄不當配美人』。 「E式語句可以質換成與之相等的A式語句。『沒有魔鬼是天使』可以質換為『一切魔鬼是非天使』。倒轉來也是一樣：『一切魔鬼是非天使』可以質換成『沒有魔鬼是天使』。普遍地說，SEP與SAP可以互相質換。 「I式語句可以質換成與之相等的O式語句。『有些螞蟻是好鬥的』可以質換為『有些螞蟻不是非好鬥的』，倒轉來也是一樣。普遍地說，SIP與SOP二者可以互相質換。 「O式語句可以質換成與之相等的I語句。『有些學生不是運動員』，可以質換成『有些學生是非運動員』。倒過來說也是一樣。普遍地說，SOP與SIP二者可以互相質換。 「從以上所說的，我們可以知道，凡是肯定語句的質換，是雙重否定；凡是否定語句的質換是將系詞上的否定記號移置到在賓位的詞端上去。雙重否定等於一個肯定。例如，在代數學中： -（-a）=a 「所以原來語句經質換後與被換語句相等。」 「吳先生，在修辭學上，雙重否定並不等於一個肯定，而是加強了肯定的語氣。」周文璞說。 「不錯，」吳先生答道，「可是，那是一個心理問題，與邏輯的語句形式是否相等無關。……另外，我們知道，四種語句質換後，與原有語句是相等的。既然相等，所以是對稱的，這種情形，我們可以畫一個圖表示表示。」老教授在紙上畫著： 「雙箭頭表示對稱。我們看了這個圖表，質換的情形便可一目了然。」吳先生說。 「除了我們在以上所說的，一個語句之位換和質換可以輪轉舉行。這樣仍可得到不同形式的語句。如果我們知道了輪轉舉行位換與質換之方式，那麼我們就可以對付許多問題了。現在，我們可以擇其重要的談一談。 「第一種問題乃確定一組語句是否相等。假定有這兩個語句： ①沒有非英雄是可配美人的 ②一切可配美人的是英雄 「我們現在要決定①和②兩個語句是否相等。為了作此決定，我們先把這兩個語句的形式列出，然後進而換質與換位，一直到得著一些形式為止。我們再看這些形式，就可以知道二者是否相等。我們以『h』表示英雄，以『e』表示『可配美人者』，三橫表示相等關係： ①』沒有非h是e≡沒有e是非h 沒有e是非h≡一切e是h ②』一切e是h≡沒有e是非h 沒有e是非h≡沒有非h是e ①』等於②』 所以①等於② 「依據相似的程術，我們再決定下列一雙語句是否相等。 ③有些醫生是不可信賴的 ④有些可信賴的人是非醫生 「照樣我們把③、④的形式列出：在此，我們用『d』代表醫生，用『t』代表可信賴者。 ③』有些d是非t≡有些d不是t ④』有些t是非d≡有些t不是d 「這兩個等式的右邊，顯然彼此皆為潛越位換，即不合法的位換。由此可知，③不等於④。關於③與④之不相等，借圖解最易看出。」老教授不厭其煩地畫著： ③有些d是非t ④有些t是非d 「另一種問題是，如果我們知道了這些程術，那麼我們就可以討論，一個包含類的語句會有些什麼結論。假若有『有些財閥不是有遠見的』，那麼，我們能做些什麼推論？茲以『c』表示財閥，『f』表示遠見者。我們可以列出形式如下： 有些c不是f≡有些c是非f 有些c是非f≡有些非f是c 有些非f是c≡有些非f不是非c 「我們在此所能推論的是，有些非具遠見的人不是非財閥。 「……當然，在邏輯傳統中，位換與質換輪轉配合起來的花樣還有許多。不過，其中有些似乎無關宏旨，所以不必注意。同時，位換與質換之輪轉運用，在基本上，無非是位換與質換，並沒有新的邏輯因素。因此，關於二者的輪轉程術，看看我們在這裡的示例，也就可以舉一反三，無須多說了。」