簡明邏輯學二十講 · 第七講　語句和類

「我們談邏輯談了這許久，談了幾種推論。在這幾種推論之中，我們常常提到語句。可是，我們在這些場合中提到語句，只假定了語句，而對於語句未曾分析。我們在以上之所以如此，是因為在那些推論之中，我們只須以未經解析的語句作推論中的元素就夠了。可是，這種辦法，對於以後所要說的推論行不通，我們在以後所要談的推論是以經過解析的語句做骨架的。因此，我們在這裡必須對語句加以解析，以未經解析語句作元素的推論可說是外部推論（outward inference）。所謂外部推論，所涉及的是語句與語句之間的邏輯關係。在這種情形之下，推論有效與否，和各個語句自身內部的結構毫不相干。而以經過解析的語句做骨架的推論，叫作內部推論（inward inference）。所謂內部推論，所涉及的，並不是每一語句可能表示的特殊內容（content），而是語句內部的邏輯結構。比如說，什麼包含什麼，什麼是什麼的一分子，等等。在這種情形之下，推論有效與否，和語句自身內部的這類結構直接相干。」吳先生一面說著一面抽菸。 「我簡直不懂。」周文璞很著急的樣子。 「這當然需要一番解釋。」老教授繼續道，「我們在前幾次所說的選取推論和條件推論以及二者之複合，都是外部推論。茲以條件推論為例。在條件推論中，我們曾經用過p、q等字母。在這種場合，p、q……叫作變量，嚴格地說，叫作自由變量（free variables）。代數學裡也有變量，如X、Y等。在條件推論之中，我們以p、q分別代表任何語句。在這種推論之中，只要符合這種推論的規律，以p、q代表語句所行的這種推論總是有效的。在這種場合，我們根本不知道p、q……的內部結構，而且我們根本無須過問它們的內部結構。當我們根本不知道p、q……的內部結構時，條件推論照樣有效。例如說，如果我們知道p涵蘊q，而且又知道q涵蘊r，那麼，我們可以不問p、q、r分別地代表什麼，更不必問p、q、r這些語句的內部結構如何，我們可以確切無疑地說p涵蘊r。這樣的推論就是外部推論。既然外部推論完全不靠語句的內部結構，這好比從前津浦鐵路，火車從浦口開到南京，車內乘客根本不用換車，而是火車乘渡輪到南京似的。載人的火車還是原來的火車，火車裡面的人還是原來的人。所不同的，只是火車由浦口過渡到南京而已，內容毫無改變。」 「那麼，內部推論是怎樣的呢？」王蘊理問。 「我預備以後有機會作比較詳細的解析。不過，在談內部推論之前，我們必須對於『語句』有所了解。我們現在就來談這一點。我們著書立說，寫文章，寫信，或表達情意，常借語言來進行。我們在借著語言來進行這些事的時候，所用的有意義的單位，總是語句。當然，在我們日常言談之間，不一定完全說出一個完整的語句。例如，『火』。在這類情形之中，完整的語句形式是隱伏不見的；雖然隱伏不見，可還是有完整的意義。例如『城門失火』。我們在有些場合之中說話或寫文章，為了簡短有力，或為了動聽，或為了逗趣……常常不說出完整的語句，而只說出一二個字。比如在看戲時，我們喝彩，就說『好』『妙』。我們不說『這戲唱得真好』，否則就太笨了，是不是？但是，在嚴格的語言之科學的用法裡，卻要求我們陳述完整的語句。簡短有力、動聽、逗趣的語言不見得是精確的語言，精確的語言不見得都是簡短有力的、動聽的，或逗趣的。我在這裡所謂的『精確』語言，至少有一方面的意義，就是能夠確定其真正的所指；或能夠確定其真假。嚴格的語言之科學的用法，必須滿足這一點。所以，我們在這裡所說的『語句』是形式明顯而且語法完備的語句。例如，『莎士比亞是《威尼斯商人》劇本的作者』。 「但是，希望各位注意，我們說符合科學用法的語句是語法形式完備的語句，可是，並不是說語法形式完備的語句就一定是符合科學用法的語句，符合科學用法的語句是語法形式完備的語句之一種或一部分而已。各位都讀過英文文法，英文文法告訴我們，語句有四種：一、請求或希望或命令語句；二、詢問語句；三、驚嘆語句；四、直敘語句。第一種，例如『請你明天來開會』或『願老天保佑自由人』。第二種，例如『你喜歡喝葡萄酒嗎』『第三次世界大戰誰先動手』。第三種，例如『哎呀！原子彈爆發了』『哎喲！木屋區失火了』。第四種，例如『紐約市有八百萬人口』『地球是三角形的』。 「在這四種語句之中，前三種是沒有真假可言的。它們也許是倫理或宗教或文學的工具，但不是邏輯的工具。邏輯的工具是第四種語句，即直敘語句。……不過，」吳先生特別加重語氣，「我們必須分辨清楚，在邏輯以直敘語句為研究工具時，邏輯既不研究一個一個特殊的直敘語句的特殊內容，又不研究它的文法構造，而只研究其普遍的語法結構（syntactical structures），或有時涉及其語意條件（semantical conditions）。當然，關於這一方面，我們在此只能提到而已。我們在此不能走得太遠。這裡所說的直敘語句，許多邏輯家叫作『命辭』（proposition）。語句和命辭的區別，是一個哲學問題，對於我們不甚重要。因此，我們在這裡用『語句』，是不過問命辭和語句有什麼區別的。另外，我們為了簡便起見，以『語句』代替『直敘語句』。以前是如此，以後也將如此。 「在一般情形之下，語句有一個主詞、一個系詞和一個賓詞。例如，在『海鷗是白的』這個語句之中，『海鷗』是主詞，『是』乃係詞，『白的』乃賓詞。我們將語句分作主詞、賓詞和系詞，因而這種語句形式叫作『主賓詞式』（subject predicate form），這種解析是傳統的。這種傳統的解析與文法上對於語句的解析很相似，因而也易相混。所以，有許多人老是將邏輯與文法分不開。其實，語句不必分解為主賓詞式，即令可分解為主賓詞式，形式也不限於這一種。可是，為了集中注意力起見，我們也不討論。 「我們現在為了得到邏輯的簡便，將主賓詞式的語句分作包含兩個詞端（terms）和一個系詞（connective）。在主詞地位的詞端可以是一個類（class），可以是一個體。例如，在『海鷗是水鳥』這個語句中，主位詞端『海鷗』是一個類，即海鷗之類。在『羅素是哲學家』這個語句中，主位詞端『羅素』是一個體。這一個體乃『哲學家』這一類的一分子。在賓詞地位的詞端可以是一個類，也可以是一個體。前者如『海鷗是水鳥』中的『水鳥』；後者如『張居正是張江陵』中的『張江陵』。」 「假如在賓位的詞端是一形容詞，那麼怎麼辦呢？」王蘊理問。 「形容詞是文法中的元素，它與邏輯不相干的。如果主賓詞式的語句的賓位詞端是一形容詞，那麼我們很容易把它變成類，我們把它看作類。前例『海鷗是白的』中，『白的』從文法觀點看是一形容詞，或說海鷗有白的屬性，但從嚴格邏輯技術的觀點看，『白的』乃一類，即『白的東西』或『白的動物』之類，於是『海鷗是白的』變成『海鷗是白的動物』。這也就等於說『海鷗之類被包含在白的動物之類之中』。當然，」老教授笑道，「這是邏輯呆子說話的口氣。這樣說話太笨，平常沒有人這樣說話的。不過，從邏輯的觀點看，我們必須明了『海鷗是白的』等於『海鷗之類被包含在白的動物之類之中』。這樣展開，我們的思想才清楚。我們遇到賓位詞端在文法上是一形容詞時，一概可以這樣處理的。」 「『白的』是一種性質，我們怎麼可以將其視作類呢？」王蘊理又問。 「從前的邏輯家以為性質與類不同。這種看法，是受文法的影響，也受文法的限制。他們以為性質是內涵（intension），類是外范（extension）。可是，至少從邏輯之現代技術觀點而言，內涵是可以外范化（extensionalize）的。因之，一個性質可以決定一個類。這樣在技術處理（manipulation）上方便。所以，表示性質的形容詞是很不難看作類的。 「現在，我們要分析分析系詞。聯繫兩個詞端的聯繫者叫作系詞。在主賓詞式的語句里，系詞主要乃『是』（is，are）字。因此，從前的邏輯家將這個『是』字看得非常重要。固然，相對於主賓詞式的語句而言，『是』字的確重要；不過，在主賓詞式的語句里，這個『是』字的用法相當混含。『是』字的用法很多。『是』之不同的用法可以產生不同的推論關係。所以，對於『是』之不同的用法，我們不可不弄清楚。」 老教授一面彈彈菸灰，一面說著：「第一種用法，『是』字表示類的包含（class-inclusion）關係。『海鷗是水鳥』這個語句之中的『是』乃表示『海鷗』之類被包含在『水鳥』之類之中。第二種用法，『是』字表示類的分子關係（class-membership）。『艾森豪威爾是一個名將』這個語句中的『是』字乃表示『艾森豪威爾』乃『名將』這個類中之一分子。第三種用法，『是』字表示同一（identity）。『張居正是張江陵』，這個語句中的『是』字表示『張居正』與『張江陵』兩個名稱乃同一的個體。第四種用法，『是』字表示相等（equivalence）。『等角三角形是等邊三角形』這個語句中的『是』字表示『等角三角形』等於『等邊三角形』。 「邏輯傳統將主賓詞式的語句看得非常重要。邏輯傳統是以主賓詞式為研究中心的。過去的邏輯家，以及現在涉及傳統邏輯的人，以為主賓詞式的語句是根本的語句形式，而且一切其他形式的語句都可以化約而為以後所要提到的四種主賓詞式的語句。因此，一直遲至十九世紀中葉，邏輯還局限於以研究主賓詞式的邏輯為主的一個狹小範圍里。不過，雖然如此，邏輯傳統對於主賓詞式的語句所做的邏輯研究，仍有些可取的地方；而且主賓詞式的語句為我們日常言談所用的語句形式。所以，對於主賓詞式的語句之邏輯，我們也不可忽略。 「依邏輯傳統，我們可以將主賓詞式的語句分作四種：全謂肯定語句（universal affirmative sentence）、全謂否定語句（universal negative sentence）、偏謂肯定語句（particular affirmative sentence）、偏謂否定語句（particular negative sentence）。對於這四種語句，我們可以從兩個方面來觀察：一是形式的特質；二是形式的分量。肯定和否定是形式的性質。形式的性質以後簡稱『性質』。全謂和偏謂是形式的分量。形式的分量以後簡稱『分量』。 「『凡是英雄都是好大喜功的』是全謂肯定語句。這個語句的意思是，英雄之類被包含在好大喜功的人之類中。這也就是說，是英雄而不好大喜功的人之類是沒有的。『沒有守財奴是慷慨好義的』是全謂否定語句。這個語句的意思是說，凡守財奴之類都不在慷慨好義的人之類中。這也就是說，是守財奴而又慷慨好義的人之類是沒有的。『有些思想家是性情孤僻的』，這個語句是偏謂肯定語句。這個語句說，有些思想家之類是包含在有些性情孤僻的人之類之中。這也就是說，是思想家而又是性情孤僻的人之類不是沒有的。『有些詩人是不好飲酒的』這個語句是偏謂否定語句。這個語句的意思是，有些詩人包含在不好飲酒的人之類中。這也就是說，是詩人而又不好飲酒之類不是沒有的。 「在這四種語句之中，我們最應注意的，是『一切』『有些』『沒有』等字樣。這類的字樣之作用，是表示形式的量化（formal quantification），所以叫作表形詞字。所謂形式的量化，即語句中的一個詞端指涉一個類的全部或一部分。一個語句具有表形詞字，再加上系詞，那麼這個詞句便是『在邏輯形式中』了。 「為了便於處理起見，從前的邏輯家給予這四種語句以四種稱號。全謂肯定語句叫作A，全謂否定語句叫作E，偏謂肯定語句叫作I，偏謂否定語句叫作O。A、I表示肯定語句，這是從拉丁字affirmo中抽出來的。E、O表示否定語句，這是從拉丁字nego中抽出來的。 「如果我們以S代表主位詞端，以P代表賓位詞端，那麼這四種語句的形式可以展示如下。」老教授一邊說，一邊在紙上寫道： Ａ 一切S是P Ｅ 沒有S是P Ｉ 有些S是P Ｏ 有些S不是P 「請各位特別注意呀！」老教授提高嗓音，「這四種語句形式中有一種情形與推論有直接的關係，它就是詞端的普及與否，也就是前述形式的量化問題。如果詞端所指涉的是一類的全部，那麼這個詞端是普及的（distributed）。如果詞端所指涉的是一類的一部分或是未定的部分，那麼這個詞端是未普及的（undistributed）。我們現在可依這兩個界說來看，在這四種語句形式之中，哪些詞端是普及的，哪些是未普及的。 「全謂肯定語句『凡是英雄都是好大喜功的』中，『英雄』顯然是指所有的英雄而言，或指英雄之類之一切分子而言，所以是普及的。而『好大喜功的人』則未普及，因為英雄只是好大喜功的人之一部分，古代暴君也有好大喜功的。『英雄』之類只與『好大喜功的人』之類之未定的部分發生關聯。全謂否定語句『沒有守財奴是慷慨好義的』中，所有的守財奴都不是慷慨好義的人，守財奴之類之一切分子被排斥於慷慨好義的人之類。因此，『守財奴』是普及的。同樣，所有慷慨好義的人不是守財奴，慷慨好義的人之類之一切分子被排斥於守財奴之類以外。因此，『慷慨好義的人』也是普及的。偏謂肯定語句『有些思想家是性情孤僻的』中，『思想家』為『有些』這一形式詞字所限制，顯然沒有普及。『性情孤僻的人』也沒有普及，因為『思想家』之類只與『性情孤僻的人』之類之未定部分發生聯繫。偏謂否定語句『有些詩人是不好飲酒的』中，『詩人』顯然是未普及的；『不好飲酒的人』則是普及的，因為『有些詩人』被排斥於所有『不好飲酒的人』之類以外。 「我們可將以上所說的四種語句之已普及和未普及的情形列個表來表示一下，便可一望而知了。我們現在拿一個圓圈代表已普及，拿一個半圈代表未普及，那麼便可列表於下。」老教授寫著： Ａ 一切S°是P︶ Ｅ 沒有S°是P° Ｉ 有些S︶是P︶ Ｏ 有些S︶不是P° 「為了將來易於處理起見，這個表還可以簡單化。我們現在假定語句的兩端是不對稱的，即○︶不等於︶○，而且︶○不等於○︶。在此有兩種情形：一種情形是一端為○，另一端為︶；還有一種情形是一端為︶，另一端為○。而凡兩端都用○或都用︶表示的語句，兩端在記號上沒有區別，所以我們可以不管。於是，我們可以將上表更簡化一點。」吳先生又寫著： Ａ　○︶ Ｅ　○○ Ｉ　︶︶ Ｏ　︶○ 「其實，我們一看○︶，除了一目了然A之普及與否的情形以外，同時又知道了它就是A。因為○︶既不等於︶○，所以只能是A。其餘三者皆然。因此，我們簡直連A、E、I、O都可以不要，而徑直寫那四排記號就夠了。」他又寫著： ○︶ ○○ ︶︶ ︶○ 「詞端普及與否的情形，與我們以後所要討論的推論密切相關，所以我們必須弄個清楚明白。」 「吳先生，您在前面常常提到類。可是您似乎只假定了類，並沒有討論到它。是不是？」王蘊理提出這個問題。 「是的，我們在前面有好幾次提到『類』，直到現在為止，我們已假定了類，而對於類尚無所討論。」 「您可不可以把有關『類』的種種講點兒給我們聽呢？」周文璞問。 「我……正預備在這方面談談的。」老教授沉默了一會兒，接著說，「所謂的『類』，並不是邏輯家的專利品。我們在日常生活里，思想時，處理東西時，常常用到類。比如，體育教員要學生站隊，叫男生站一邊，女生站另一邊，這就是有意或無意依據性別之不同而分類的。擺香菸攤的人，常常把牌子相同的煙放在一起，把另一種牌子的煙放在另一處，這就是依著牌子之同異而分類的。其他類似之事，不勝枚舉。在這些分類中所用的，都是類概念。……不過，在日常生活中，分類之運用類概念，多是出於直覺；而且所用的類概念，相當簡陋。這樣，應付日常生活及日常語言中的需要，也許還不致捉襟見肘。但是，碰到繁複的情況，用這樣簡陋的類概念，就應付不了。邏輯家對於類的處理，那就精細多、複雜多了。」 「請問精細和複雜到什麼程度呢？」王蘊理問。 「哦！其精細和複雜的程度，不是憑常識所能想像的，也絕不是用日常的語言文字所能表達的。我只說一點，二位就能明了：現代邏輯是夠複雜的學問了。而全部現代邏輯，可由此類概念之展演為骨幹來構成；而且許許多多現代邏輯家就是這麼辦的。結果，現代邏輯與數學中的組論（set theory）互相表里。……可是，」吳先生輕咳了一聲，接著說，「這種問題過於專門，不是我們現階段所能接近的，而且必須用構造精密的符號語言（symbolic language）才能表達出來。好在我們此刻也不需要知道這些。我們現在所需要知道的，是關於類的基本知識，以及基本的表示法。當然，熟悉了這些，我們就可循序漸進、由簡入繁、由淺入深。 「從邏輯之符號的觀點而言，類是一種邏輯構造。從構思的程序著想，類，是我們安排事物的一種便利方式。只要頭腦不太混亂的人，常常會把性質相同的東西安排在一起；或者，依照其他標準來區別事物之異同，是不是？由前面所說的，我們可以知道，一種性質，決定一個類。例如，『甜的』性質決定『甜的東西』之類，『香的』性質決定『香的東西』之類，等等。因此，具有某種性質的分子，也就可以說是某個類之分子。例如，具有甜的性質的東西之分子，亦即甜的東西之類之分子，等等都是。 「我們在前面說過，『海鷗』一詞之所指，乃海鷗之類，等等。我們這樣說，也許容易引起大家產生一個想法，以為所謂類，就是分子之集合。如果我們這樣想，那麼就是把思想泥陷於常識之中，因而未免有時失之粗忽。因為一個類（class），並不僅僅是一堆分子之集合（collection）。一堆東西之集合，更不容易說是一個類。例如，把豬玀、孔雀、電燈和鋼筆堆在一起，我們簡直說不出這一堆是什麼類。另外，我們所經驗到的大多數的類固然有分子，但是並非所有的類都有分子。例如，恐龍、獨角獸、現在法國的王，等等，都無任何分子可言。 「我們現在可用符號來表示許多類，以及類與類之間的關係，小楷字母a、b、c分別用來表示任何類。相等記號『=』表示一種關係。如果a=b，而且b=a，那麼a和b二者是同一的。這也就是說，在此a的分子即b的分子，而且b的分子即a的分子。等邊三角形的類之分子即等角三角形的類之分子。反之亦然。記號『×』，表示邏輯積（logical product）。a×b這個類為既是a又是b之類。記號『＋』表示邏輯和（logical sum），a＋b為a或b之類。記號『－』表示『非』。a×－b意即，是a而又非b的類。記號『○』表示沒有分子的類，記號『I』表示論域。依此，我們可以表示一些不同的類。」而老教授在紙上慢慢畫著、寫著： 「可是，無論空類或全類都是獨類（unique class）。」老教授說，「所謂獨類，意即沒有兩個與之相同的類。依此，沒有兩個空類，也沒有兩個全類。空類只有一個，全類也只有一個。」 「在實際上，有這樣的類嗎？」王蘊理問。 「有的。」老教授點點頭，「地球就是獨類。在一方面，地球自成一類。在另一方面，宇宙間沒有兩個行星叫作地球，所以它是獨類……」老教授說到這裡又寫下去： 「吳先生，最後這四條，不就是您在上面已經說過的E、I、A、O四種語句嗎？」王蘊理問。 「對了！對了！你看出來了！」老教授很高興，「我在這裡所寫的最後四條，正是上述四種語句之邏輯代數學（algebra of logic）的表示。換句話說，我是用邏輯代數學的方式來表示E、I、A、O四種語句的。這種表現方式便於演算些。……除此以外，還有一種好處，即E與I是相反的，A與O也是相反的。這兩對語句之相反，在符號方式上可以一目了然。是不是？」 「什麼叫作邏輯代數學呢？吳先生！」周文璞問。 「這個……等我們以後有機會再說。……除了上述以邏輯代數學的方式表示類以及類與類之間的關係以外，我們還可以用圖解方法來表示。現在我們可以試試。」老教授換了一張紙連寫帶畫： 表示除a以外皆是非a。圓圈以內系a的範圍，圓圈以外方形以內的範圍系非a的範圍。a與非a二者共同構成一個論域。在此論域以內，除了a便是非a，除了非a便是a。如以a代表任何東西，那麼我們談及任何東西，不能既不是a又不是非a。a或非a，二者必具其一。一棵樹，要麼是活的，要麼不是活的；總不能既活又不活。所以，a與非a既然互相排斥，而又共同盡舉可能。 「上面所畫的，只限於一個類a。假定有a與b兩個類，那麼怎樣畫呢？」老教授提出這個問題，看了看他們兩個，然後又畫著： 「請注意呀！」他說，「在這個圖解中，一共有兩個類，而每一個類又有正反兩面。二乘二等於四。於是，兩個類共有四個範圍。計有1.a；2.ab；3.b；4.-a-b。這也就是說：一、有是a而不是b的部分；二、有既是a而又是b的部分；三、有是b而不是a的部分；四、有既非a又非b的部分。」 「如果我們明白了這個構圖，那麼，就可以利用它來表示A、E、I和O四種語句了。」老教授又興致勃勃地換了一張紙畫著： a-b=○ 在這個圖解中，是a而非b的部分被黑線塗去了，結果，凡a皆b。 ab=○ 在此圖解中，既是a又是b的部分被塗去。結果，沒有a是b。 ab≠○ 既是a又是b的部分未被塗去。「×」表示「有」。即有些a是b。 a-b≠○ 此圖表示，是a而又不是b者並非沒有。即有些a不是b。 「這種圖解是邏輯家維恩（Venn）所用的，所以又叫作維恩圖解。這種圖解法的妙處，就是利用空間關係來表示類的關係，可使我們一目了然。……二位自己也可依樣畫葫蘆吧！」