簡明邏輯學二十講 · 第五講　條件推論

「周文璞，我請問你，假如我說『如果天下雨，那麼地會濕』，可不可以因此就說，『地濕了，所以天下了雨』？」吳先生問。 「當然可以。」周文璞衝口而出。 「哦！你這人倒真是心直口快。」吳先生笑道，「那麼，灑水車灑過了街，地濕不濕？」 周文璞給這一問，愣住了。 「我再請問你，假若我們說『如果某人嗜吸鴉片煙，那麼某人便面黃肌瘦』，我們可不可以因此說，『某人面黃肌瘦，所以某人是嗜吸鴉片煙的』？」 周文璞思索了一下，說：「當然不可以，也許某人營養不良，以致面黃肌痩。」 「對了！……不過，你所舉的理由不是邏輯的理由，我們還得進一步研究這些語句之間的邏輯關係。像『如果某人嗜吸鴉片煙，那麼某人便面黃肌痩』，這樣的語句在舊式教科書中叫作假定語句（hypothetical sentence）。為了種種理由，我們現在把它叫作條件語句（conditional sentence）。各位知道這種語句，在英文文法上看作虛擬語氣（subjunctive mood）。可是，在邏輯上，是把它看作直敘語句的一種。因此，各位別以為這樣的語句語氣不定。它照樣有所斷定（assert）。不過，它所斷說的不像直敘語句那樣，斷說『某人嗜吸鴉片煙』和『某人面黃肌痩』這兩個語句是否分別地為真，這兩個語句在條件語句中是子句。條件語句所斷說的，是這整個語句中子句與子句之間有何真假關聯。 「我們知道邏輯是不注意也更不研究經驗內容的，而是注意和研究借語言表示出來的形式。因此，在這個語句里，我們所要注重的和研究的不是『某人嗜吸鴉片煙』和『某人面黃肌瘦』這些語句所表示的特殊經驗事物，而是『如果怎樣，那麼怎樣』這樣的形式。這樣的形式，簡直可以寫……」吳先生一面說，一面拿起鉛筆在紙上寫道： 如果……那麼…… 「這種形式，」吳先生接著說，「為了方便起見，我們也可以寫作，」吳先生又拿起鉛筆在紙上寫道： 如果p，那麼q 「不過，就邏輯家看來，這樣的寫法還不夠方便，因為邏輯家有時要行演算。行演算時，寫法愈簡便就愈靈活。為了達到這個目標起見，邏輯家發明了這樣的記號法。」老教授又拿起筆寫道： 「這樣一寫，我們不難知道，前一個子句寫作p，後一個子句寫作q。於是p和q不但可以分別地代表『某人嗜吸鴉片煙』和『某人面黃肌瘦』，而且可以代表任何兩個表示事物之關聯的陳述辭。」 「吳先生在這裡所說的『事物之關聯』，所指的是不是事物之因果關聯呢？」王蘊理問。 「邏輯的正身根本不過問因果關聯。」老教授搖搖頭，「這裡所說的，也不是任何事物之間的任何關聯，而是兩個可以表示任何事物的語句之間的關聯，這種關聯是純形式的關聯。不過，為求應用起見，邏輯家常給純形式以種種經驗的解釋（interpretations）。如果沒有種種經驗的解釋，邏輯恐怕只為少數邏輯家在系統的建構上或演算方面的興趣而建立，與我們一般人恐怕就無緣了。當然，在一種解釋之下，我們在此所說的關聯，可以解釋作因果的關聯。……不過，這只是種種可能的解釋之一而已。我們還可以提出別的許許多多的解釋。」 「什麼叫作『解釋』呢？」周文璞急忙問。 「對於一個純形式演算系統之解釋問題，在現代邏輯里，是一個非常麻煩的問題。直到目前為止，現代邏輯學家們，或語意學家們，未能下個界說。……不過，這是頂層問題，這個頂層問題主要是一理論問題。頂層的理論問題沒有妥善解決，與我們現在所進行的討論不相干。因為，我們現在所進行的討論，是實際上如何解釋的問題。從這一方面著眼，我們可以不太嚴格地說，對於邏輯形式套上一組表示經驗內容的語句，叫作該邏輯形式之解釋。上面所舉的邏輯形式『p q』，我們可以給予種種解釋。例如，『如果探險隊到達喜馬拉雅山的最高峰，那麼便可得獎』『如果你刻苦用功，那麼你會成功』『如果她行為失檢，便會聲名掃地』…… 「我們已經在前面說過，在通常情形之下，每一語句不是真的，便是假的。語句之真假，現代邏輯家將其叫作真值（truth value）。 當只有一個語句，比如說p時，它的真假值很容易看出。即p是真的，或者p是假的。在現代邏輯中，表示真與假都有記號：如果p是真的，我們簡單地寫作p。這就好像普通代數式前面第一個『a』如系『正a』，我們就徑直寫作『a』而不寫作『+ a』一樣。如果p是假的我們就這樣寫。」吳先生拿起鉛筆在紙上畫著： - p 「另外，為了便於一目了然起見，現代邏輯家常列一個表格來表示語句的真值。」吳先生說，「在這種表格中，真就寫作T，T系取True的第一個字母；假就寫作F，F系取False的第一個字母。依照這種記號法，一個語句p的真值可以用表格這樣表示出來。」他又畫在紙上： 「我們要會讀這個表格，」老教授說道，「我們先豎著看兩列。p底下有T、F兩個字母，這表示p有真和假兩個真值。–p底下有F、T兩個字母，這表示非p也有兩個真值，即假、真。明白了這些，我們再橫著看。第一行表示：如果p是T，即真的，那麼非p便是F，即假的。這是一定的道理。是不是？如果p是一真語句，則與它相反的語句之反面必然也是真的。因為，反反得正，即反面的反面是正面。第二行表示：如果p是F，即假的，那麼非p是T，即真的。這也是一定的道理。如果p是假的，則非p一定真。」 「假若有p、q兩個語句，它們的真值怎樣排列？」周文璞問。 「請別性急，我們一步一步來好了。」老教授說，「如果，我們拿『健』與『美』這兩種性質來形容女性，那麼可能的排列，我們可以寫出來。 1．既美且健 2．美而不健 3．不美而健 4．既不美又不健 「好萊塢有許多明星既美且健，是不是？例如蘇珊·海沃德（Susan Hayward）就是其中之一。美而不健，林黛玉是也！許多尼格羅婦人，恐怕是健而不美吧！既不美又不健的女士也有的是。看看美與健的這種排列，我們可以構思，如果有p和q兩個語句，那麼二者真假的可能排列有： 「我們看這裡的排列，」老教授指著紙上寫的說，「就可以知道，p和q兩個語句，二者的真假可能排列不能少於四個，也不能多於四個——不多不少，剛好是四個。第一種是p和q二者都真；第二種是p真而q假；第三種是p假而q真；第四種是p和q二者皆假。p和q的這種真假可能排列，與上述美與健的可能排列是一一相當的吧！因我們了解美與健的可能排列，就可了解p和q的真假可能排列。假如我們所取的語句有p、q、r三個呢？那麼它們的真假可能排列自然有八個： 「在理論上，我們所取的語句可以有n個之多。每一語句經假定有真假二值，於是n個語句的真假值就有2n。所以，n個語句的真假可能排列一概依2n的公式來計算。……不過，在實際上，我們所取的語句，通常是三個或四個；多於此數就不方便。 「我們知道了p、q等語句的真值情形，我們就可以進一步知道，現代邏輯家規定，在什麼真值情形之下，p q為真。關於這一點，用表格法可以表現得最清楚： 「這個表格告訴我們：在第一種條件之下，p  q為真。這也就是說，如果p真而且q也真，則p  q也真。例如，『假若患血壓病的人飲酒過量，那麼血壓增高。』在第二種條件之下，p  q為假。這也就是說，如果p是真的而q是假的，那麼p  q整個是假的。例如說，『如果×××死了，那麼我吃下這頂呢帽。』在事實上，×××死了，但我不會吃下這頂呢帽。……×××死了，我們正好喝杯酒呢！在第三種條件之下，p  q為真。這也就是說，如果p是假的而q是真的，那麼p  q整個兒是真的。例如，『如果太陽從西邊出來，那麼天文學家修正其學說。』在實際上，太陽不會從西邊出來；而儘管如此，天文學家時常修正其學說。在第四種條件之下，p  q也為真。這就是說，在p為假而q也為假時，p  q整個是真的。關於這一條，各位只要記得邏輯只管形式不管經驗內容，便可明了。在這一條件之下，雖然p是假的，q也是假的，但這影響不到p與q之間的蘊涵關係。p和q自己是假的，這是一件事；p和q之間有蘊涵關係，這是另一回事，我們必須分清楚。p和q儘管都假，但二者之間的蘊涵關係存在時，p  q當然為真。例如，『如果恐龍現在飛得起來，那麼現在天昏地暗。』現在沒有恐龍，也沒有天昏地暗。所以二者皆假，但整個蘊涵關係成立。 「從上面所展示，我們可以知道，在表格所列的真值情形中，只有在第二種條件之下p  q才假；在其餘條件之下，p  q皆真。這樣看來，p  q所表示的蘊涵關係是比較寬泛的一種關係。雖然比較寬泛，但卻是我們所不可少的。因為，條件推論是有賴於這種關係的。」 「吳先生！您說的蘊涵關係，在第一種情形下成立，那是很自然的。可是在第三種情形下也成立，即如果p假而q真時也成立，這似乎不符合習慣。照我們想p假而q真是不可能的。」王蘊理說。 「是的，『p假而q真是不可能的』，這在一種說法之下是如此。哈佛大學教授劉易斯（Lewis）就是這麼說的，並且他並本著這種說法發展出了那有名的嚴格蘊涵系統（system of strict implication）。不過，為數學的精確推理上的便利，我們必須承認包含第三種情形的蘊涵關係成立，嚴格的科學語言也少不了它。這方面的理由，我們現在不討論。……至於符合習慣與否，並非真假與否的標準。科學，常常打破常識的習慣或成規。科學的結論也常使我們覺得不自然。這……是我們應該努力去接近的。 「我們以上所說的，主要的是現代邏輯家對於p  q這種形式的解釋……」老教授沉思一會兒，接著說，「除此以外，對於這個形式，還有一種傳統的解釋。這種傳統的解釋對於科學的研究，以及日常的推理，多少是有幫助的。在傳統的解釋中，我們把p叫作前件（antecedent），把q叫作後件（consequent）。」 「前件與後件有什麼關係呢？」周文璞插嘴問。 「我正預備作進一步的說明。前件對於後件而言，有兩種關係：第一，充足條件（sufficient condition）；第二，充足而又必須的條件（sufficient and necessary condition）。後件對於前件而言，乃必須條件（necessary condition）。 「這三種條件，決定條件語句的前件與後件之間的推論可能，所以非常重要。這三種條件，在經驗科學裡引用起來，我們更可以看出它們的重要。我們現在要依次解釋一下。」 吳先生抽一口煙，沉思一會兒，接著說：「我們先討論什麼叫作充足條件。如果有X則有Y，而且無X則有Y或無Y，那麼X為Y的充足條件。這就是說，如果有X那麼便有Y；可是，沒有X，不見得一定沒有Y；沒有X時，也許有Y，也許無Y。如果X對於Y有這樣的關係，那麼X便是Y的充足條件。舉個例子吧！如果出太陽，那麼人看得見，可是不出太陽時人不見得一定看不見，因為出月亮或有電燈時，人照樣看得見。在這樣的關係中，『出太陽』是『看得見』的充足條件。同樣，我們在前面所說的『下雨』也只是『地濕』的一個充足條件。因為，下雨地固然濕；但不下雨，地不見得一定不濕。 「其次，我們要討論必須條件。《墨子·經說上》有一句話：『小故，有之不必然，無之必不然。』在這一句話中，『有之不必然，無之必不然』用來表示必須條件，真是再恰當不過了。這句話，翻譯成我們現代的語言是：如果有X那麼有Y或無Y，而無X時則無Y；那麼X為Y的必須條件。這也就是說，如果有X那麼也許有Y，也許無Y；可是，如果無X，那麼一定也就無Y。這就是所謂『有之不必然，無之必不然』。當花是有顏色時固然不必是紫的；可是如果花是沒有顏色的，那麼一定不是紫的。如果花沒有顏色，那麼便根本說不上紫的或黃的或藍的。在這種關聯上，『有顏色』是『紫色』的必須條件。 「我剛才舉這個例子來說明什麼是必須條件，二位也許覺得顯而易見。但是，這種條件如果混攪在複雜的事物之中，恐怕不見得如此顯而易見吧！例如，經濟條件，對於人類的美好生活，在我們看來只是一個必須條件；可是，由於長期有計劃的宣傳或現實生活苦惱之影響，許多人把它當作美好生活之充足而必須的條件。這顯然是不正確的。我們固然可以說，經濟條件不滿足時，人不能有美好的生活，但我們不能反過來說，經濟條件滿足了，人便有美好的生活。因為，即使經濟條件滿足了，而其他條件，如道德、秩序、科學、藝術等未滿足時，人仍無美好生活，是不是？其他依此類推。 「第三，我們要談談什麼是充足而又必須的條件。《墨子·經說上》說：『大故，有之必然，無之必不然。』這話可算是充足而又必須的條件之簡明的陳述。用現代的語言來說，充足而又必須的條件是：如果有X則有Y，而且如果無X則無Y，那麼X為Y之充足而又必須的條件。如果二氫一氧相化合，那麼成水；如果無二氫一氧相化合，那麼就不能成水。在這種情形之下，『二氫一氧化合』乃『成水』之充足而又必須的條件。直到此刻為止，還不能用人為方法制出葉綠素。要制出葉綠素，必須靠日光。如果沒有日光，便沒有葉綠素。如果有日光，便有葉綠素。在這種情形之下，我們說『日光』是『葉綠素』制出之充足而又必須的條件。 「我們必須明了，充足而又必須的條件在自然界的研究中是較多的。所以，自然科學家所希望求得的條件，多為充足而又必須的條件。但是，在社會現象或人文現象中，許許多多條件常常是相互交織或彼此牽連的。於是，這些條件常常互為充足條件，或互為必須條件。所以，至今為止，除經濟科學——不是什麼史觀——稍具科學面目以外，所謂社會科學，遠不及自然科學來得精確。明了了這個道理，那麼，如果目前有人說他在社會現象里發現了唯一的真理，並且可借之以解決整個人類的整個問題，我們似乎需要以極其謹慎的態度予以考慮。」 「……另外，」他又補充說，「我們要明了，上述三種條件不過是三種格式，或三種型定方式（formulations）。我們在上面說有三個條件，這話並不表示在這個世界上有哪些現象天生是另一種現象的必須條件，哪些現象天生是其他現象的充足條件，等等。在理論物理學中，我們要接近一個概念，不止可經由一條路徑，而可經由幾條路徑。類似地，我們要把那一現象當作充足條件，或必須條件，或充足而又必須的條件，這全視情境的需要甚或研究程序上的便利而定。所以，我們不可看得太固執。我們栽一株玫瑰，當土壤、空氣、日光和水分倶備，但無磷肥它未開花。這時，我們加入適量的磷肥，玫瑰就開花了。在這種情境之下，『加入磷肥』是『開花』的充足條件，或充足而又必須的條件。可是，如果其他條件未滿足，例如沒有水分，則雖已經加入磷肥，也未必開花。在這種情境之下，『加入磷肥』對於『開花』而言，就不成必須條件了。這樣看來，一個條件是否為充足條件，或是否為必須條件，等等，不能由它僅由一組因素所構成的一個情境去決定。所以，我說，何者為何種條件，全視情境的需要甚或研究程序上的便利而定，不可固執。不過，」老教授眉頭閃動，眼中露出一股嚴肅的光芒，他說，「我們的思路不要順著溝兒溜，以為『不可固執』就是可以『隨隨便便』。我們已經說過，決定何者為何種條件，是要視情境的需要甚或研究程序上的便利而定。既然如此，情境的需要以及研究程序上的便利，就是決定何者為何種條件的條件。是不是？既是有條件的，當然就不是可以隨便把什麼當作什麼條件。是不是？另外，」老教授加重語氣說，「一旦我們因情境的需要或研究程序上的便利而決定了什麼是什麼條件以後，我們據之以行推理時，更不能隨隨便便，而是要依照邏輯規律行事。」 說到這裡，吳先生將身子靠在椅背上，休息了一會兒，慢慢吸著煙。然後，他又開始說：「在以上我們解釋了什麼是條件語句、前件、後件，以及充足條件、必須條件，和充足又必須的條件。現在，我們要進而談談條件推論的一些規律。一提到『規律』二位不要頭痛。其實，如果明了了條件語句的性質，明了了什麼是前件和後件以及上述三種條件，自然會明了我所要談的規律，用不著死記的。就一般的情形而論，前件與後件是充足條件對必須條件的關係。所以，我們還是從這一關係開始吧！ 「如果前件為後件的充足條件而且後件為前件的必須條件，那麼推論規律有四條： 「第一條，從前件真可以推論後件亦真。這就是說，肯定前件可以肯定後件。這一條的道理是很顯而易見的。因為前件是後件的充足條件。既然如此，當前件滿足時，後件亦隨之而滿足。如果溫度增高，那麼物體膨脹。在其他情境不變之下，溫度增高了，物體隨之而膨脹。 「第二條，從前件假不可以推論後件真或假。這也就是說，前件假時，後件可真可假，不一定。這個道理也是顯而易見的，前件是後件的充足條件，充足條件可以不止一個而可有許多個。一個充足條件不滿足時，也許別的充足條件可以滿足。既然如此，我們不能因某一個充足條件未滿足而否定後件。總而言之，一個充足條件未滿足時，其他充足條件是否滿足，不得而知。既不得而知，於是我們不能由一個充足條件為假而推論後件是真的還是假的。例如，構成人死的充足條件很多。人可以被打死、殺死、餓死、病死、氣死、老死……假如我們說『如果某人被殺，那麼他死了』，可是我們不能接著說『如果某人未被殺，那麼他不死』，因為，他也許被打死、被餓死……在這類情形之下，否定前件不能否定後件。可是，有的情形不同，例如『如果他的功課平均得九十分，那麼他可以得到優秀生獎學金』；可是『如果他的功課平均沒有九十分，那麼他得不到優秀生獎學金』。在這種情形之下，否定前件可以否定後件。既然在有的情形之下否定前件不可以否定後件，而在有的情形之下否定前件可以否定後件，而邏輯所說的永遠是普遍的p和q，所以從否定前件一概不否定或不肯定後件，便永遠不會錯。因為，既說是邏輯規律，必須存有普遍妥當性。所謂普遍妥當性，即對於每一個情形都真。這是邏輯規律的特色。」 「我們說真假不定，因而不作積極肯定，這有什麼用呢？」周文璞趕緊問。 「哎！」吳先生嘆了一口氣，「年輕人就喜歡簡單的確定（simple certainty）這類的說辭，真是害人不淺！如果不能確定的事物，我們就還它一個不能確定，老老實實說不能確定，留著一步一步去切實研究，理就可明白了……世界不也就太平了嗎？邏輯之為學，從一方面看來，就是嚴格地劃分哪些是可以確定的、哪些是不能確定的之學。當世人常將不能確定的當作確定的，因而得到偽推論或偽知識時，邏輯家告訴人們，哪些推論不一定為真，或不一定為假，因而可避免得到偽知識或偽結論時，影響所至，豈不很有益人生嗎？ 「……其實，以上關於前件假則後件真假不定的解析，完全是為了說明的方便，否則用不著那麼麻煩。我們只需規定（stipulate）若前件為後件的充足條件，那麼前件假時，後件真假不定，就足夠了。 「第三條，從後件真不可以推論前件真或假。這也就是說，當後件真時，我們既不可推論前件是真的、又不可以推論前件是假的。因為，後件真時，前件有時真、有時假，不一定。既然後件真時前件真假不定，所以不能作任何推論。我們在從前舉的例子，說『如果下雨，那麼地濕』，周文璞馬上就接著說『地濕了，所以下了雨』，這就是由肯定後件而肯定前件，即由後件之真而推論前件亦真。一般人容易這樣想。但是，這樣的想法，是不妥當的。因為，別的原因也可以導致地濕，所以，我們不能由『地濕』而推論『下雨』。邏輯的訓練，告訴我們：如果這樣想，所得到的推論不一定有效。對於『下雨』與『地濕』這樣簡單而易於指明的前件與後件之間的關聯，二位也許覺得並不嚴重，不需要邏輯訓練即可辨明。但是，碰到複雜的知識，我們不知悉前件與後件的關係時，如沒有邏輯訓練，而且不知道前件與後件之間的這些推論應守的分寸時，一定難免弄出錯誤。從前有位學者，他作了一篇論文，說墨子出於印度。他的理由是墨子是墨者，而印度人也是黑的，所以，墨子出於印度。這就是犯了肯定後件因而肯定前件的錯誤。他的推理方式可以寫成： 如果X是印度人，那麼X是黑的。 X是黑的，所以X是印度人。 「這種推論與周文璞最先所做的是一樣的。這樣看來，邏輯訓練還不重要嗎？ 「第四條，從後件假可以推論前件必假。這也就是說，必須條件未能滿足時，充足條件必不能滿足。如果□是一動物，那麼必然是一生物；但是，如□根本連生物都不是，那麼當然更說不上是動物了。 「總結以上所說的，前件真時，有肯定的推論力；後件假時，有否定的推論力。可是前件假和後件真時，都沒有推論力。……二位明白了吧？」 「明白了。」王蘊理說，「如果前件是充足而又必須的條件，那麼推論必須依照什麼規律呢？」 「如果前件是充足而又必須的條件，那麼推論規律是對稱的，非常簡單。即如前件真則後件真，如前件假則後件假；如後件真則前件真，如後件假則前件假。」 「這樣說來，」王蘊理說，「我們首先必須將前件確定清楚，看它究竟是充足條件還是充足而又必須的條件，然後才能決定引用什麼推論規律。是不是？」 「是的，」吳先生答道，「不過，邏輯只是告訴我們有這些條件以及這些條件的推論規律。至於哪些前件是充足條件，哪些前件是充足而必須的條件，那不是邏輯的事。可是，一旦我們決定了哪些前件是什麼條件，再運用推論規律時，我們才走進邏輯的範圍。這是必須劃分清楚的。」